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  • Los temas estan tan bien explicados que es muy facil comprender. Gracias
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  1. 1. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios El Álgebra, la parte de las Matemáticas de 3 Polinomios la que los polinomios son la base, nació con los árabes en Bagdad en el siglo IX. La palabra árabe “álgebra” alude al hábil manejo de los cálculos con signos, similar a la maestría de los autores del intricado arte decorativo árabe. LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD ANTERIOR SALIR
  2. 2. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Árabes y matemáticas Enlace a la Casa de la Sabiduría de Bagdad y la ciencia islámica Enlace a una historia de la Matemática árabe ANTERIOR SALIR
  3. 3. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Esquema de contenidos Polinomios Monomios Concepto Monomios semejantes Polinomios Conceptos Grado Valor numérico Operaciones con polinomios Suma y resta Multiplicación División Igualdades notables Cuadrado de una suma Cuadrado de una diferencia Fracciones algebraicas Suma por diferencia Simplificación ANTERIOR SALIR
  4. 4. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. Para que pueda realizarse la división, el grado del dividendo debe ser mayor que el del divisor. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  5. 5. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 Disponemos los polinomios dividendo y divisor, dejando huecos en el dividendo cuando falte una potencia. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  6. 6. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 3x2 Dividimos el primer monomio del dividendo por el primero del divisor y el resultado es el primero del cociente. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  7. 7. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 – 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3x2 Multiplicamos ese monomio por todo el divisor y el resultado, cambiado de signo, se pone bajo el dividendo. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  8. 8. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 – 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 Se repite el proceso 3 x 2 – 2x hasta que el polinomio – 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 resultante del dividendo sea de grado menor que el del divisor. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  9. 9. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 – 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x – 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 Que no se te olvide + 2 x3 + 6 x 2– 2 x cambiar el signo…. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  10. 10. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 – 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 – 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 + 2 x3 + 6 x 2– 2 x 9x2 –4 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  11. 11. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 – 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 – 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 + 2 x3 + 6 x 2– 2 x 9x2 –4 – 9 x 2 – 27x + 9 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  12. 12. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios División de polinomios La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso. Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1. 3 x 4 + 7 x3 +2x–4 x2+3x–1 – 3 x 4 – 9 x3 + 3 x 2 3 x 2 – 2x + 9 Puesto que el grado del polinomio resultante es – 2 x3 + 3 x 2+ 2 x – 4 menor que el del divisor, + 2 x3 + 6 x 2– 2 x la división ha terminado. 9x2 –4 – 9 x 2 – 27x + 9 Resultado: – 27x + 5 Cociente: 3 x 2 – 2x + 9 Resto: – 27x + 5 ANTERIOR SALIR
  13. 13. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una suma Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura: En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde). SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  14. 14. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una suma Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura: En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde). La expresión correcta es: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que accedes haciendo clic en el enlace siguiente: Cuadrado suma ANTERIOR SALIR
  15. 15. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una diferencia La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así: (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  16. 16. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Cuadrado de una diferencia La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así: (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen dinámica correspondiente: Cuadrado diferencia ANTERIOR SALIR
  17. 17. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Diferencia de cuadrados La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir: a2 – b2 = (a + b) · (a – b) SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  18. 18. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Identidades notables: Diferencia de cuadrados La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir: a2 – b2 = (a + b) · (a – b) Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace: Diferencia de cuadrados ANTERIOR SALIR
  19. 19. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  20. 20. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta. x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)   x2  5 ó   x5 x x x x SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  21. 21. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta. x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5)   x2  5 ó   x5 x x x x La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando. Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo: x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  22. 22. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5) a)   x2  5 ó   x5 x x x x SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  23. 23. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5) a)   x2  5 ó   x5 x x x x En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  24. 24. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5) a)   x2  5 ó   x5 x x x x En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1): SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  25. 25. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5) a)   x2  5 ó   x5 x x x x En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos: x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1 y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1): x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1) Se va a poder simplificar la fracción del caso b): SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
  26. 26. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Sacar factor común y simplificar fracciones Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no. Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes: a) x 2  5x b) xy  x  y  1 x x 1 x2  5 x x2  5 x x 2  5x x( x  5) a)   x2  5 ó   x5 x x x x b) xy  x  y  1 x( y  1)  y  1 ( x  1) ( y  1)    y 1 x 1 x 1 x 1 ANTERIOR SALIR
  27. 27. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Enlaces de interés Actividades y Diccionario Actividades de la BBC IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB ANTERIOR SALIR
  28. 28. MATEMÁTICAS 3.º ESO INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD Unidad 3: Polinomios Actividad: Moquetas de superficies variables Dirección: http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF Aparecen aquí diversas situaciones en las que, al enmoquetar el suelo de una habitación, surgen expresiones polinómicas. Para conocerlo, sigue este enlace. ANTERIOR SALIR
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