虚数とオイラーの等式

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虚数とオイラーの等式

  1. 1. 虚数とオイラーの等式 @yokkuns 里 洋平 第2回数式ニヤニヤ勉強会 2010/07/21
  2. 2. AGENDA <ul><li>自己紹介 </li></ul><ul><li>本日の数式 </li></ul><ul><li>虚数 </li></ul><ul><li>オイラーの公式 </li></ul><ul><li>オイラーの等式 </li></ul>
  3. 3. 自己紹介
  4. 4. 自己紹介 <ul><li>id : yokkuns </li></ul><ul><li>名前 : 里 洋平 </li></ul><ul><li>所属 : tkul 、 Tokyo.R 、数式ニヤニヤ勉強会 </li></ul><ul><li>確率統計とかデータマイニング、機械学習など勉強中です。 </li></ul><ul><li>プログラミング言語は、 C/C++/Perl/Ruby/PHP/R/JS/Java とかやってます。 </li></ul><ul><li>最近、 Android アプリにも手を出し始めました </li></ul>
  5. 5. 本日の数式
  6. 6. 本日の数式
  7. 7. 虚数
  8. 8. 虚数の誕生 1 <ul><li>カルダノの問題 </li></ul><ul><ul><li>足して10、かけて40になる二つの整数とは何か? </li></ul></ul>
  9. 9. 虚数の誕生 2 <ul><li>カルダノの問題を解く </li></ul><ul><ul><li>A = 5+x 、 B = 5-x として、 </li></ul></ul>
  10. 10. 虚数の誕生 2 <ul><li>カルダノの問題を解く </li></ul><ul><ul><li>A = 5+x 、 B = 5-x として、 </li></ul></ul>25 より小さい数になる! 40 には届かない・・・
  11. 11. 虚数の誕生 2 <ul><li>カルダノの問題を解く </li></ul><ul><ul><li>A = 5+x 、 B = 5-x として、 </li></ul></ul>25 より小さい数になる! 40 には届かない・・・ 解なし
  12. 12. 2 乗してマイナスになる数を使えば、どんな 2 次方程式にも答えが出せる!
  13. 13. <ul><li>カルダノの解き方 </li></ul><ul><li>二つの数は、 </li></ul>
  14. 14. 虚数はすぐには受け入れられなかった
  15. 15. 虚数はすぐには受け入れられなかった 「マイナスの平方根」は図にえがけない! よって、想像上の数に すぎない!
  16. 16. マイナスの数も、初めは受け入れられなかった 3 個のりんご -3 個のりんご?
  17. 17. マイナスの数も、初めは受け入れられなかった 3 個のりんご -3 個のりんご? イメージしやすい イメージしにくい
  18. 18. 数直線の発明 <ul><li>数直線の登場により、負の数が視覚的に捉えられるようになり、受け入れられるようになった! </li></ul>
  19. 19. 数直線の発明 <ul><li>数直線の登場により、負の数が視覚的に捉えられるようになり、受け入れられるようになった! </li></ul><ul><li>But…. 虚数は、この数直線で表せない・・・!! </li></ul>
  20. 20. nombre imaginaire !
  21. 21. 複素平面の発明 虚数は、数直線の 「外」にある!
  22. 22. 虚数は、数直線の「外」 - 複素平面
  23. 23. 虚数は、数直線の「外」 - 複素平面
  24. 24. マイナス × マイナス = プラス <ul><li>マイナス × マイナス = プラス について考える </li></ul>
  25. 25. マイナス × マイナス = プラス? 1 -1 0 ×(-1)
  26. 26. マイナス × マイナス = プラス? 1 -1 0 ×(-1)
  27. 27. -1 をかけるとは原点のまわりを 180° 回転させることだった! 1 -1 0 ×(-1) ×(-1)
  28. 28. 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
  29. 29. 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
  30. 30. 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
  31. 31. 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
  32. 32. 虚数 i の掛け算は、原点のまわりを 90° 回転させることだった! 1 -1 0 × × × ×
  33. 33. オイラーの公式
  34. 34. Leonhard Euler <ul><li>Leonhard Euler (1707/4 /15 – 1783/9/18) </li></ul><ul><ul><li>数学者・物理学者であり、天文学者 </li></ul></ul><ul><ul><li>18世紀最大・最高の数学者 </li></ul></ul><ul><ul><li>主な業績 </li></ul></ul>
  35. 35. 三角関数 <ul><li>直角三角形の角の大きさから辺の比を与える関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称 </li></ul>
  36. 36. 指数関数 <ul><li>a を 1 でない正の定数、 x を変数とするとき、 の形の関数を、 a を底とする指数関数という </li></ul>
  37. 37. 三角関数と指数関数の級数展開 <ul><li>オイラーは、指数関数( e^x )や三角関数が、以下のような無限級数の形になることを発見した! </li></ul>
  38. 38. 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ <ul><li>指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入 </li></ul>
  39. 39. 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ <ul><li>指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入 </li></ul>
  40. 40. 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ <ul><li>指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入 </li></ul>
  41. 41. 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ <ul><li>指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入 </li></ul>
  42. 42. 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ <ul><li>指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入 </li></ul>
  43. 43. 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ <ul><li>オイラーの公式 </li></ul><ul><ul><li>実数の世界では互いに無関係だった指数関数と 三角関数が、複素数の世界では固く結ばれている! </li></ul></ul>
  44. 45. オイラーの等式
  45. 46. オイラーの等式 <ul><li>オイラーの公式の x に、 π を代入 </li></ul>
  46. 47. 本日の数式
  47. 48. 本日の数式
  48. 49. 1 とは <ul><li>最も基本的な自然数 </li></ul><ul><li>掛け算の単位元と呼ばれる </li></ul><ul><ul><li>どんな数にかけても、もとの数のまま! </li></ul></ul><ul><li>ちなみに、「数字」が生まれたのは、およそ4000年前の古代エジプトや古代メソポタミア </li></ul>
  49. 50. 本日の数式
  50. 51. 0 とは <ul><li>「無」を表す数 </li></ul><ul><li>6世紀ごろにインドで発明された </li></ul><ul><li>足し算の単位元と呼ばれる </li></ul><ul><ul><li>どんな数に0をたしても、もとの数のまま! </li></ul></ul>
  51. 52. 本日の数式
  52. 53. 円周率 π とは <ul><li>円周の長さを直径で割った値 </li></ul><ul><li>無理数 </li></ul><ul><li>3.14159265358979….. </li></ul><ul><li>2009年に、2兆6999億9999万桁まで計算! </li></ul><ul><ul><li>バイナリーでの計算に103日 </li></ul></ul><ul><ul><li>検算に13日 </li></ul></ul><ul><ul><li>データ量1137GB </li></ul></ul>
  53. 54. 本日の数式
  54. 55. 自然対数の底 e とは <ul><li>自然対数の底 </li></ul><ul><li>無理数 </li></ul><ul><li>2.718281828459…. </li></ul><ul><li>自然現象や経済活動を説明するのに重要な 定数 </li></ul>
  55. 56. 本日の数式
  56. 57. i とは <ul><li>2乗すると-1になる数 </li></ul><ul><li>オイラーが定義した虚数単位 </li></ul>
  57. 58. 世界で一番美しい数式 <ul><li>「 1 」、「 0 」、「 π 」、「 e 」という、それぞれ別個の由来をもつ 4 つの重要な数が、虚数単位「 i 」を介することで、たった一つの数式で簡潔に結ばれる! </li></ul>
  58. 59. ご清聴ありがとうございました
  59. 60. 参考文献 <ul><li>Newton 虚数がよくわかる </li></ul><ul><li>レオンハルト・オイラー – Wikipedia http://alturl.com/633h7 </li></ul>

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