虚数とオイラーの等式
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    虚数とオイラーの等式 虚数とオイラーの等式 Presentation Transcript

    • 虚数とオイラーの等式 @yokkuns 里 洋平 第2回数式ニヤニヤ勉強会 2010/07/21
    • AGENDA
      • 自己紹介
      • 本日の数式
      • 虚数
      • オイラーの公式
      • オイラーの等式
    • 自己紹介
    • 自己紹介
      • id : yokkuns
      • 名前 : 里 洋平
      • 所属 : tkul 、 Tokyo.R 、数式ニヤニヤ勉強会
      • 確率統計とかデータマイニング、機械学習など勉強中です。
      • プログラミング言語は、 C/C++/Perl/Ruby/PHP/R/JS/Java とかやってます。
      • 最近、 Android アプリにも手を出し始めました
    • 本日の数式
    • 本日の数式
    • 虚数
    • 虚数の誕生 1
      • カルダノの問題
        • 足して10、かけて40になる二つの整数とは何か?
    • 虚数の誕生 2
      • カルダノの問題を解く
        • A = 5+x 、 B = 5-x として、
    • 虚数の誕生 2
      • カルダノの問題を解く
        • A = 5+x 、 B = 5-x として、
      25 より小さい数になる! 40 には届かない・・・
    • 虚数の誕生 2
      • カルダノの問題を解く
        • A = 5+x 、 B = 5-x として、
      25 より小さい数になる! 40 には届かない・・・ 解なし
    • 2 乗してマイナスになる数を使えば、どんな 2 次方程式にも答えが出せる!
      • カルダノの解き方
      • 二つの数は、
    • 虚数はすぐには受け入れられなかった
    • 虚数はすぐには受け入れられなかった 「マイナスの平方根」は図にえがけない! よって、想像上の数に すぎない!
    • マイナスの数も、初めは受け入れられなかった 3 個のりんご -3 個のりんご?
    • マイナスの数も、初めは受け入れられなかった 3 個のりんご -3 個のりんご? イメージしやすい イメージしにくい
    • 数直線の発明
      • 数直線の登場により、負の数が視覚的に捉えられるようになり、受け入れられるようになった!
    • 数直線の発明
      • 数直線の登場により、負の数が視覚的に捉えられるようになり、受け入れられるようになった!
      • But…. 虚数は、この数直線で表せない・・・!!
    • nombre imaginaire !
    • 複素平面の発明 虚数は、数直線の 「外」にある!
    • 虚数は、数直線の「外」 - 複素平面
    • 虚数は、数直線の「外」 - 複素平面
    • マイナス × マイナス = プラス
      • マイナス × マイナス = プラス について考える
    • マイナス × マイナス = プラス? 1 -1 0 ×(-1)
    • マイナス × マイナス = プラス? 1 -1 0 ×(-1)
    • -1 をかけるとは原点のまわりを 180° 回転させることだった! 1 -1 0 ×(-1) ×(-1)
    • 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
    • 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
    • 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
    • 虚数 i の掛け算は 1 -1 0 ×
    • 虚数 i の掛け算は、原点のまわりを 90° 回転させることだった! 1 -1 0 × × × ×
    • オイラーの公式
    • Leonhard Euler
      • Leonhard Euler (1707/4 /15 – 1783/9/18)
        • 数学者・物理学者であり、天文学者
        • 18世紀最大・最高の数学者
        • 主な業績
    • 三角関数
      • 直角三角形の角の大きさから辺の比を与える関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称
    • 指数関数
      • a を 1 でない正の定数、 x を変数とするとき、 の形の関数を、 a を底とする指数関数という
    • 三角関数と指数関数の級数展開
      • オイラーは、指数関数( e^x )や三角関数が、以下のような無限級数の形になることを発見した!
    • 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ
      • 指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入
    • 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ
      • 指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入
    • 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ
      • 指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入
    • 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ
      • 指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入
    • 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ
      • 指数関数( e^x )の x に、虚数倍した x ( =ix )を代入
    • 虚数という“魔法”が、三角関数と指数関数を結ぶ
      • オイラーの公式
        • 実数の世界では互いに無関係だった指数関数と 三角関数が、複素数の世界では固く結ばれている!
    •  
    • オイラーの等式
    • オイラーの等式
      • オイラーの公式の x に、 π を代入
    • 本日の数式
    • 本日の数式
    • 1 とは
      • 最も基本的な自然数
      • 掛け算の単位元と呼ばれる
        • どんな数にかけても、もとの数のまま!
      • ちなみに、「数字」が生まれたのは、およそ4000年前の古代エジプトや古代メソポタミア
    • 本日の数式
    • 0 とは
      • 「無」を表す数
      • 6世紀ごろにインドで発明された
      • 足し算の単位元と呼ばれる
        • どんな数に0をたしても、もとの数のまま!
    • 本日の数式
    • 円周率 π とは
      • 円周の長さを直径で割った値
      • 無理数
      • 3.14159265358979…..
      • 2009年に、2兆6999億9999万桁まで計算!
        • バイナリーでの計算に103日
        • 検算に13日
        • データ量1137GB
    • 本日の数式
    • 自然対数の底 e とは
      • 自然対数の底
      • 無理数
      • 2.718281828459….
      • 自然現象や経済活動を説明するのに重要な 定数
    • 本日の数式
    • i とは
      • 2乗すると-1になる数
      • オイラーが定義した虚数単位
    • 世界で一番美しい数式
      • 「 1 」、「 0 」、「 π 」、「 e 」という、それぞれ別個の由来をもつ 4 つの重要な数が、虚数単位「 i 」を介することで、たった一つの数式で簡潔に結ばれる!
    • ご清聴ありがとうございました
    • 参考文献
      • Newton 虚数がよくわかる
      • レオンハルト・オイラー – Wikipedia http://alturl.com/633h7