2. Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a
una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede
generalizar en un tamaño de intervalo es una operación matemática que
se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos. La
operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y
se representa así
5. Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y
continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos
dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de
cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del
área real.
6. Si observamos la figura 1, el
área se dividió en dos
rectángulos y al calcular el
área de cada uno de ellos, se
incluye una parte del
rectángulo que no pertenece al
área buscada, por lo tanto esta
es una aproximación.
En la figura 2, el número de
rectángulos se ha incrementado
hasta 9 y observamos que la
parte que no nos interesa es
menor que cuando tomamos 2
rectángulos, lo que nos conduce a
concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos
aproximamos al área real
7. INTEGRAL DEFINIDA
cuando hablamos de integrales indefinidas, hablamos de parámetros o valores de integración en el cual no
están definidos o bien no contiene los puntos de integración, por lo cual solo se dejan expresados. En este
caso no encontramos el valor para hallar el área bajo la curva de un función F(x), ya que solo dejamos
expresada la función en términos de variables
8. es un método de integración numérica que nos sirve para
calcular el valor de una integral definida, es decir, el área
bajo una curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema fundamental del calculo
Estas sumas toman su nombre del
matemático alemán Bernhard Riemann
9. Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al
área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas
verticales x = a y x = b.
Propiedad #1 El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
10. Propiedad #2 límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
Propiedad #3 Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral
definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los
intervalos [a, c] y [c, b]
11. Propiedad #4 La integral definida de una suma de funciones es igual a
la suma de integrales
propiedad #5 La integral del producto de una constante por una función
es igual a la constante por la integral de la función.
12. Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo
cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
•Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal
que
f(c)(b a)
Interpretación gráfica del teorema para una función
positiva:
rectángulo del valor
medio (área igual
que la de la región)
rectángulo inscripto
(área menor que la
de la región)
13. El método de integración por sustitución o cambio de
variable se basa en la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que
se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se
obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
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14. 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más
sencilla, integramos:
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