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Problemas solucionados de estadística descriptiva
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Problemas solucionados de estadística descriptiva

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Solución a problemas típicos de estadística descriptiva usando hojas de cálculo de Excel.

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  • 1. TALLER No 1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA1. Dada la lista de puntuaciones en una prueba de Sistemas en los siguientes datos y utilizando un intervalo de clase de 5, establecer una distribución de frecuencia. Empezar el intervalo inferior de clase con una puntuación de 35. Graficar las distribuciones absolutas y acumuladas. Encontrar la Media, Mediana, Moda, la Desviación Estándar, coeficientes de: Variación, de Asimetría y Curtosis. 59 48 53 47 57 64 62 62 65 57 57 81 83 48 65 76 53 61 60 37 51 51 63 81 60 77 71 57 82 66 54 47 61 76 50 57 58 52 57 40 53 66 71 61 61 55 73 50 70 59 50 59 69 67 66 47 56 60 43 54 47 81 76 69Solución: a. Tabla de distribución de Frecuencias para los datos agrupados Frecuencia Intervalo (absoluta) f 35-39 1 40-44 2 45-49 6 50-54 11 55-59 12 60-64 11 65-69 8 70-74 4 75-79 4 80-84 5 b. Distribuciones de frecuencia absoluta y acumulada Frecuencia Frecuencia Intervalos acumulada f FI 35-39 1 1 40-44 2 3 45-49 6 9 50-54 11 20 55-59 12 32 60-64 11 43 65-69 8 51 70-74 4 55 75-79 4 59 80-84 5 64 y mayor... 0Yohana Bonilla G. Página 1
  • 2. 14 Distribución de frecuencia absoluta 12 Frecuencia 12 11 11 10 8 Frecuencia 8 6 6 5 4 4 4 2 2 1 0 0 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 y mayor... Intervalos Gráfico: Distribución de frecuencia absoluta. Distribución de frecuencia acumulada 70 64 Frecuencia acumulada 59 60 55 51 50 Frecuencia acumulada 43 40 32 30 20 20 9 10 1 3 0 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 Intervalos Gráfico: Distribución de frecuencia acumulada. c. Media : 60,453 Mediana: d. Asimetría: 59,5 0,29252031 Moda: Curtosis: 57 -0,36653649 Desviación estándar s: Coeficiente de variación:Yohana Bonilla G. Página 2
  • 3. Coeficiente de asimetría:En este caso tenemos Asimetría positiva de los datos.Curtosis:2. Dada una lista de puntuaciones, cada una de las cuales es el porcentaje de palabras consideradas agradables por una persona (Coeficientes de Afectividad) entre 64 palabras, elaborar una distribución de frecuencia haciendo la mejor elección de intervalo de clase y límite de clase. 43 62 52 48 46 65 43 48 52 51 57 48 48 38 42 44 46 43 35 42 45 45 44 46 40 40 47 52 38 51 45 38 51 40 46 45 54 55 41 50 59 42 39 56 44 43 47 51 43 50 34 40 53 42 31 44 51 43 48 41 43 48 41 55  Calcule la media aritmética, la mediana y la moda  Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y CurtosisSolución: a. Empezaremos por presentar los datos ordenados de menor a mayor en una tabla: Tabla de datos ordenados menor a mayor, (64 datos) No. Datos No. Datos 1 31 33 45 2 34 34 46 3 35 35 46 4 38 36 46 5 38 37 46 6 38 38 47 7 39 39 47 8 40 40 48 9 40 41 48 10 40 42 48 11 40 43 48 12 41 44 48 13 41 45 48 14 41 46 50 15 42 47 50 16 42 48 51 17 42 49 51Yohana Bonilla G. Página 3
  • 4. 18 42 50 51 19 43 51 51 20 43 52 51 21 43 53 52 22 43 54 52 23 43 55 52 24 43 56 53 25 43 57 54 26 44 58 55 27 44 59 55 28 44 60 56 29 44 61 57 30 45 62 59 31 45 63 62 32 45 64 65Si se tienen N datos u observaciones podemos usar la fórmula de Sturges que propone tomar como número kde intervalos el valor:En este caso N=64Tomaremos 7 intervalos.  Para determinar la amplitud o intervalo de clase que llamaremos a sabemos que:Para nuestros datos:Con k=7 y la amplitud a=5 generamos la siguiente distribución de frecuencias: Intervalo Frecuencia 1. 31-35 3 2. 36-40 8 3. 41-45 22 4. 46-50 14 5. 51-55 12 6. 56-60 3 7. 61-65 2Yohana Bonilla G. Página 4
  • 5. Y graficamos la distribución a partir de la tabla anterior: Distribución de frecuencia absoluta 25 22 Frecuencia 20 Frecuencia 14 15 12 10 8 5 3 3 2 0 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 Intervalo b. Media 46,15625 Mediana 45 Moda 43 c. Desviación estándar 6,508160323 Asimetría 0,473309993 Curtosis 0,5531240353. Representar un polígono de frecuencia y un histograma para la distribución de puntuaciones de aptitud para la química de un curso de primer año. Sacar conclusiones referentes a estos datos según se presenten los gráficos y además, graficar las frecuencias relativas acumuladas. Puntuaciones Frecuencias 90 – 94 4 85 – 89 10 80 – 84 14 75 – 79 19 70 – 74 32 65 – 69 31Yohana Bonilla G. Página 5
  • 6. 60 – 64 40 55 – 59 28 50 – 54 29 45 – 49 21 40 – 44 18 35 – 39 10 30 – 34 6 25 – 29 1 20 – 24 3  Calcule la media aritmética, la mediana y la moda  Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis Solución: a. Total de datos N=266 Frecuencia Frecuencia Puntuaciones Frecuencias acumulada relativa (Fi) acumulada=Fi/N 20 – 24 3 3 0,0113 25 – 29 1 4 0,0150 30 – 34 6 10 0,0376 35 – 39 10 20 0,0752 40 – 44 18 38 0,1429 45 – 49 21 59 0,2218 50 – 54 29 88 0,3308 55 – 59 28 116 0,4361 60 – 64 40 156 0,5865 65 – 69 31 187 0,7030 70 – 74 32 219 0,8233 75 – 79 19 238 0,8947 80 – 84 14 252 0,9474 85 – 89 10 262 0,9850 90 – 94 4 266 1,0000 Total de datos N 266Yohana Bonilla G. Página 6
  • 7. Histograma 45 40 Frecuencias (f) 40 35 29 31 32 30 28 Frecuencias 25 21 18 19 20 14 15 10 10 10 6 3 4 5 1 0 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 Puntuaciones Polígono de frecuencias 45 Frecuencias… 40 40 35 29 31 32 30 Frecuencias 28 25 20 21 18 19 15 14 10 10 10 5 6 3 4 0 1 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 PuntuacionesYohana Bonilla G. Página 7
  • 8. Frecuencia relativa acumulada 0,98501,0000 1,0000 0,9474 Frecuencia relativa … 0,8947 Frecuencia relativa acumulada 0,9000 0,8233 0,8000 0,7030 0,7000 0,5865 0,6000 0,5000 0,4361 0,4000 0,3308 0,3000 0,2218 0,2000 0,1429 0,0752 0,1000 0,01130,01500,0376 0,0000 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94 Puntuaciones b.  Media aritmética para datos agrupados: es la frecuencia de cada clase. es el punto medio de cada clase. es el número total de datos igual a la suma de las frecuencias de todas las clases. Para calcularla usamos la siguiente tabla: Punto Puntuaciones Frecuencias medio f.M (Clase) (f) (M) 20 – 24 3 22 66 25 – 29 1 27 27 30 – 34 6 32 192 35 – 39 10 37 370 40 – 44 18 42 756 45 – 49 21 47 987 50 – 54 29 52 1508 55 – 59 28 57 1596 60 – 64 40 62 2480 65 – 69 31 67 2077 70 – 74 32 72 2304 75 – 79 19 77 1463Yohana Bonilla G. Página 8
  • 9. 80 – 84 14 82 1148 85 – 89 10 87 870 90 – 94 4 92 368 Totales 266 16212  Mediana para datos agrupados: Para calcular la mediana usamos la tabla de frecuencias acumuladas. La clase mediana es la clase cuya frecuencia es mayor o igual que N/2. Donde N siempre denota el número de datos o suma de frecuencias absolutas. La mediana puede determinarse entonces como: En donde: es el límite inferior de la clase de la mediana. es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana es la frecuencia absoluta de la clase mediana. es la amplitud o Intervalo de Clase.Yohana Bonilla G. Página 9
  • 10. Tabla para calcular la mediana Frecuencia Clase mediana: Puntuaciones Frecuencias acumulada  Moda para datos agrupados: frecuencia acumulada 156 (Fi) Lmed= 60 20 – 24 3 3 F=116 25 – 29 1 4 fmed= 40 30 – 34 6 10 a=5 35 – 39 10 20 40 – 44 18 38 45 – 49 21 59 50 – 54 29 88 55 – 59 28 116 60 – 64 40 156 65 – 69 31 187 70 – 74 32 219 75 – 79 19 238 80 – 84 14 252 85 – 89 10 262 90 – 94 4 266 Total de datos N 266  Moda para datos agrupados: Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia, se hallará en la clase que tenga la mayor frecuencia, llamada la clase modal. Para estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la fórmula: En donde: es el límite inferior de la clase modal. es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase anterior. es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase siguiente. es el intervalo de clase. De la tabla inmediatamente anterior usada para calcular la Mediana, tenemos queYohana Bonilla G. Página 10
  • 11. c. Desviación estándar para los datos agrupados: Usamos los resultados anteriores obtenidos para y y los puntos medios : Punto Puntuaciones Frecuencias medio f.M^2 (Clase) (f) (M) 20 – 24 3 22 1452 25 – 29 1 27 729 30 – 34 6 32 6144 35 – 39 10 37 13690 40 – 44 18 42 31752 45 – 49 21 47 46389 50 – 54 29 52 78416 55 – 59 28 57 90972 60 – 64 40 62 153760 65 – 69 31 67 139159 70 – 74 32 72 165888 75 – 79 19 77 112651 80 – 84 14 82 94136 85 – 89 10 87 75690 90 – 94 4 92 33856 Totales 266 1044684  Coeficiente de variación CV: Asimetría: La asimetría puede medirse mediante el Coeficiente de Karl Pearson En este caso la distribución será asimétrica negativa.Yohana Bonilla G. Página 11
  • 12. Curtosis: Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:4. Para decidir acerca del número de mostradores de servicio que serán necesarios en las tiendas que se construirán en el futuro, una cadena de supermercados quería obtener información sobre el tiempo (en minutos) requerido para atender a los clientes. Para obtener información acerca de la distribución de los tiempos de atención a los clientes, se obtuvo una muestra de 60 clientes y se anotó el tiempo empleado en atender a cada uno de ellos. 3.6 1.9 2.1 0.3 0.8 0.2 1.0 1.4 1.8 1.6 1.1 1.8 0.3 1.1 0.5 1.2 0.6 1.1 0.8 1.7 1.4 0.2 1.3 3.1 0.4 2.3 1.8 4.5 0.9 0.7 0.6 2.8 2.5 1.1 0.4 1.2 0.4 1.3 0.8 1.3 1.1 1.2 0.8 1.0 0.9 0.7 3.1 1.7 1.1 2.2 1.6 1.9 5.2 0.5 1.8 0.3 1.1 0.6 0.7 0.6  Construya un histograma de frecuencias relativas para estos datos.  Qué fracción de los tiempos de atención es menor o igual que un minuto?  Calcule la media aritmética, la mediana y la moda  Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y CurtosisSolución: a. Presentamos los datos ordenados de menor a mayor: Tabla de datos de tiempo de atención. No. Datos No. Datos No. Datos 1 0,20 21 0,80 41 1,60 2 0,20 22 0,90 42 1,60 3 0,30 23 0,90 43 1,70 4 0,30 24 1,00 44 1,70 5 0,30 25 1,00 45 1,80 6 0,40 26 1,10 46 1,80 7 0,40 27 1,10 47 1,80 8 0,40 28 1,10 48 1,80 9 0,50 29 1,10 49 1,90 10 0,50 30 1,10 50 1,90 11 0,60 31 1,10 51 2,10 12 0,60 32 1,10 52 2,20 13 0,60 33 1,20 53 2,30 14 0,60 34 1,20 54 2,50 15 0,70 35 1,20 55 2,80 16 0,70 36 1,30 56 3,10 17 0,70 37 1,30 57 3,10 18 0,80 38 1,30 58 3,60Yohana Bonilla G. Página 12
  • 13. 19 0,80 39 1,40 59 4,50 20 0,80 40 1,40 60 5,20Los dividimos en 8 intervalos de clase 7: Frecuencia Frecuencia Clase f relativa=f/N=f/60 0,2-0,8 21 0,350 0,9-1,5 19 0,317 1,6-2,2 12 0,200 2,3-2,9 3 0,050 3,0-3,6 3 0,050 3,7-4,3 0 0,000 4,4-5,0 1 0,017 5,1-5,7 1 0,017 Total 60 Frecuencia relativa 0,400 0,350 Frecuencia relativa 0,350 0,317 0,300 Frecuencia relativa 0,250 0,200 0,200 0,150 0,100 0,050 0,050 0,050 0,017 0,017 0,000 0,000 0,2-0,8 0,9-1,5 1,6-2,2 2,3-2,9 3,0-3,6 3,7-4,3 4,4-5 5,1-5,7 Clase b. De la Tabla de datos de tiempo de atención es claro que hay 25 datos de tiempo, menores o iguales a un minuto. Por lo tanto la fracción de los tiempos de atención menor o igual que un minuto es:Yohana Bonilla G. Página 13
  • 14. c. Media aritmética Mediana: 1,10 Moda: 1,10 d. Desviación estándar: Coeficiente de variación: Asimetría: Curtosis:5. En la siguiente tabla se muestra el tiempo transcurrido (en meses) entre la aparición de una enfermedad y su recurrencia, para 50 pacientes. 2.1 4.4 2.7 32.3 9.9 9.0 2.0 6.6 3.9 1.6 14.7 9.6 16.7 7.4 8.2 19.2 6.9 4.3 3.3 1.2 4.1 18.4 0.2 6.1 13.5 7.4 0.2 8.3 0.3 1.3 14.1 1.0 2.4 2.4 18.0 1.6 3.5 11.4 18.0 26.7 3.7 12.6 23.1 5.6 0.4 8.7 24.0 1.4 8.2 5.8  Construya un polígono de frecuencias relativas para estos datos.  Obtenga la fracción de los tiempos de recurrencia menores o iguales que 10.  Calcule la media aritmética, la mediana y la moda  Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y CurtosisSolución: a.Yohana Bonilla G. Página 14
  • 15. Tabla de Datos ordenados de menor a mayor No. Datos No. Datos 1 0,2 26 6,6 2 0,2 27 6,9 3 0,3 28 7,4 4 0,4 29 7,4 5 1,0 30 8,2 6 1,2 31 8,2 7 1,3 32 8,3 8 1,4 33 8,7 9 1,6 34 9,0 10 1,6 35 9,6 11 2,0 36 9,9 12 2,1 37 11,4 13 2,4 38 12,6 14 2,4 39 13,5 15 2,7 40 14,1 16 3,3 41 14,7 17 3,5 42 16,7 18 3,7 43 18,0 19 3,9 44 18,0 20 4,1 45 18,4 21 4,3 46 19,2 22 4,4 47 23,1 23 5,6 48 24,0 24 5,8 49 26,7 25 6,1 50 32,3 En amarillo: tiempos de recurrencia menores o iguales que 10, total=36. Datos agrupados en intervalos de clase 5: Frecuencia Clases Frecuencia relativaYohana Bonilla G. Página 15
  • 16. 0,1-5,0 22 0,44 5,1-10,0 14 0,28 10,1-15,0 5 0,10 15,1-20,0 5 0,10 20,1-25,0 2 0,04 25,1-30,0 1 0,02 30,1-35,0 1 0,02 Total 50Polígono de frecuencias relativas: Frecuencia relativa 0,50 0,45 0,44 Frecuencia relativa 0,40 Frecuencia relativa 0,35 0,30 0,28 0,25 0,20 0,15 0,10 0,10 0,10 0,05 0,04 0,02 0,02 0,00 0,1-5,0 5,1-10,0 10,1-15,0 15,1-20,0 20,1-25,0 25,1-30,0 30,1-35,0 Clases b. Fracción de los tiempos de recurrencia menores o iguales que 10: c. Media: Mediana: 6,35 Moda: 0,26. Veintiocho solicitantes interesados en trabajar para un programa de construcción de viviendas de interés social, rindieron un examen diseñado para medir su aptitud para las obras civiles. Los resultados fueron los siguientes: 79 97 86 76 93 87 98 68 84 88 81 91 86 87 70 94 77 92 66 85 63 68 98 88 46 72 59 79Yohana Bonilla G. Página 16
  • 17. Construya un polígono y un histograma de frecuencias relativas para estas puntuaciones. (Use intervalos de clase de ancho 9, empezando en 44.5).  Calcule la media aritmética, la mediana y la moda  Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis. Solución: a. Frecuencia Frecuencia Clases f relativa=f/28 44,5-53,4 1 0,036 53,5-62,4 1 0,036 62,5-71,4 5 0,179 71,5-80,4 5 0,179 80,5-89,4 9 0,321 89,5-98,4 7 0,250 Total 28 Histograma de frecuencias relativas Frecuencia relativa=f/28 0,350 0,321 Frecuencia relativa=f/28 0,300 0,250 Frecuencia relativa 0,250 0,200 0,179 0,179 0,150 0,100 0,050 0,036 0,036 0,000 44,5-53,4 53,5-62,4 62,5-71,4 71,5-80,4 80,5-89,4 89,5-98,4 Clases Polígono de frecuencias relativasYohana Bonilla G. Página 17
  • 18. Polígono de frecuencias relativas 0,350 Frecuencia… 0,321 0,300 Frecuencia relativa 0,250 0,250 0,200 0,179 0,179 0,150 0,100 0,050 0,036 0,036 0,000 44,5-53,4 53,5-62,4 62,5-71,4 71,5-80,4 80,5-89,4 89,5-98,4 Clases b. Media: Mediana: 84,5 Moda: 68 c. Desviación estándar: Coeficiente de variación: Coeficiente de asimetría: Curtosis:7. Una empresa de ventas lleva registros sobre la inversión en publicidad, expresada en términos del porcentaje de los gastos totales; estos se presentan a continuación: 2.6 3.6 3.1 2.6 2.7 3.9 2.4 2.7 2.5 2.3 4.0 3.2 2.5 1.7 0.3 3.1 2.6 1.3 4.3 1.5 2.8 1.8 4.2 3.5 2.4 2.2 3.4 3.7 0.8 2.3 1.9 4.5 1.2 2.2 2.2 3.0 2.1 1.8 2.9 3.8 3.5 1.6 3.2 4.4 1.4 0.7 2.8 3.3 0.5 2.3Solución:Yohana Bonilla G. Página 18
  • 19. a. Agrupar la información en intervalos de clase y construya una tabla de frecuencias completa.Usamos la fórmula de Sturges para determinar el número de intervalos:En este caso N=50Y el intervalo de clase aPuesto que hemos ordenado los datos de menor a mayor en la siguiente tabla: No. Datos No. Datos 1 0,3 26 2,6 2 0,5 27 2,6 3 0,7 28 2,7 4 0,8 29 2,7 5 1,2 30 2,8 6 1,3 31 2,8 7 1,4 32 2,9 8 1,5 33 3 9 1,6 34 3,1 10 1,7 35 3,1 11 1,8 36 3,2 12 1,8 37 3,2 13 1,9 38 3,3 14 2,1 39 3,4 15 2,2 40 3,5 16 2,2 41 3,5 17 2,2 42 3,6 18 2,3 43 3,7 19 2,3 44 3,8 20 2,3 45 3,9 21 2,4 46 4 22 2,4 47 4,2 23 2,5 48 4,3 24 2,5 49 4,4 25 2,6 50 4,5En amarillo: 33 datos inferiores a 3.1Yohana Bonilla G. Página 19
  • 20. Tomamos el intervalo de clase: 0,6 y agrupamos los datos en una tabla de frecuencias, empezando en 0,3: Tabla de frecuencias Frecuencia acumulada Frecuencia Frecuencia relativa Clase Frecuencia acumulada relativa=(frecuencia f acumulada)/50 0,3-0,8 4 4 0,08 0,08 0,9-1,4 3 7 0,14 0,14 1,5-2,0 6 13 0,26 0,26 2,1-2,6 14 27 0,54 0,54 2,7-3,2 10 37 0,74 0,74 3,3-3,8 7 44 0,88 0,88 3,9-4,4 5 49 0,98 0,98 4,5-5,0 1 50 1 1 Total 50 b. Graficar el histograma y el polígono de frecuencias.Con las frecuencias absolutas f de la Tabla de frecuencias anterior construimos el histograma y el polígonode frecuencias: Histograma 16 14 14 Frecuencia 12 10 Frecuencia 10 8 7 6 6 5 4 4 3 2 1 0 0,3-0,8 0,9-1,4 1,5-2,0 2,1-2,6 2,7-3,2 3,3-3,8 3,9-4,4 4,56-5,0 ClaseYohana Bonilla G. Página 20
  • 21. Polígono de frecuencias 16 14 14 Frecuencia 12 Frecuencia 10 10 8 7 6 6 5 4 4 3 2 1 0 0,3-0,8 0,9-1,4 1,5-2,0 2,1-2,6 2,7-3,2 3,3-3,8 3,9-4,4 4,56-5,0 Clase c. Calcular el porcentaje de registros que son inferiores a 3.1%  A partir de la tabla de frecuencias:Usamos la tabla de frecuencias acumulada. En este caso el porcentaje de registros inferiores a 3,1% estaríadeterminado por la frecuencia 27, previa a la clase 2,7-3,2  Por conteo directo de la muestra bruta, viendo la tabla.  Usando la gráfica:Sumamos las frecuencias absolutas antes de la clase: 2,7-3,2 d. Estime el porcentaje de registros que son mayores que 1.5 pero menores de 3.5. De la tabla obtenemos directamente esta información: Del dato 9 al 39, tenemos la condición buscada, por lo tanto e. Calcule la media aritmética, la mediana y la moda Media: Mediana: 2,6 Moda: 2,2Yohana Bonilla G. Página 21
  • 22. f. Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis. Desviación estándar Variación: Asimetría: Curtosis:Yohana Bonilla G. Página 22