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Modelo de póster: Valenzuela Toledo C A.

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Poster ibagué 01 Poster ibagué 01 Document Transcript

  • ORBITA CIRCULAR MARGINALMENTE ESTABLE DE PART´CULAS CARGADAS EN EL PLANO ECUATORIAL DE UNA I ´ FUENTE ROTANTE CON CAMPO MAGNETICO ´ Valenzuela Toledo C A and Sanabria-Gomez J D Universidad Industrial de Santander calvalto@tux.uis.edu.co,jsanabri@uis.edu.co ´ Si se considera una part´cula de masa m0 y carga e moviendose en presencia de una combi- ı Resumen ´ ´ nacion de campos gravitacionales y electromagneticos descritos por las funciones gαβ y por ´ el cuadrivector potencial electromagnetico Aα, el Lagrangiano del movimiento esta dado por ´Se estudia una clase particular de orbitas, la llamada orbita circular marginalmente estable [3]de una part´cula cargada en el plano ecuatorial de una fuente rotante con campo electro- ı 1 ´magnetico y utilizando el formalismo dado en la relatividad general. Para el estudio se utiliza L = gαβ xα xβ + e Aα xα, ˙ ˙ ˙ (5) 2 ´una solucion exacta de las ecuaciones de de Einstein-Maxwell que se conoce en la literatu- donde el punto denota la derivada con respecto al tiempo propio τ y xα(τ ) son las coorde-ra como .exact solution for the exterior field of a rotating neutron star”. El principal objetivo ´ ´ nadas de la part´cula. Si los campos son estacionarios (o estaticos) y axialmente simetricos ı ´del trabajo consiste en estudiar el efecto que tiene cada uno de los parametros de la solu- ´ ´ (o esfericamente simetricos), el lagrangiano es independiente de la coordenada temporal t ´ ´cion sobre el radio de la orbita marginalmente estable y de manera especial el parametro ´ y la coordenada azimutal ϕ, por lo tanto hay dos constantes de movimiento ´relacionado con el campo magnetico. ∂L = −E, (6) ˙ ∂t ´ 1. Introduccion ∂L ´ ´ = l, (7) A dinamica del movimiento de las part´culas en relatividad general se estudia a traves ıL ´ de la metrica. Las part´culas pueden presentar diversos tipos de trayectorias, en general ıacotadas y no acotadas. Esto depende de la energ´a y del momento angular de la part´cula ı ı ∂ϕ˙ ı ´ donde E y l representan la energ´a de la part´cula y el momento angular canonico, respecti- ı vamente De (5), (6) y (7) se pueden obtener las siguientes dos ecuaciones: ´antes de la interaccion, en este trabajo se analizan las condiciones que deben satisfacerse g (E + e At) + gtϕ (l − e Aϕ)para que una part´cula en el plano ecuatorial describa una trayectoria circular. La existen- ı t˙ = ϕϕ (8) ´ 2 gϕϕ gtt + gtϕcia de una ultima orbita estable se atribuye, generalmente, al intenso campo gravitatorio de ´ ´ ´este tipo de estrellas. El interes por calcular la ultima orbita estable se basa en el hecho ´ gtt (l − e Aϕ) − gtϕ (E + e At) ´ ´de que esta determina el borde interno de un posible disco de acrecion alrededor de la es- ˙ ϕ = 2 . (9) gϕϕ gtt + gtϕ ¨trella. El trabajo de Aliev y Ozdemir [7] quienes estudiaron orbitas marginalmente estables ´para el caso de geometr´as de Kerr y Schwarzschild sobre campos magneticos. Bajo estas ı En el presente trabajo se estudia el movimiento de part´culas masivas reales (tardiones), por ı ´ ´condiciones se obtuvo que la interaccion magnetica adicional modifica la estructura de las lo tanto el vector cuadrivelocidad uα sera tipo tiempo, lo que se expresa como ´´ ´orbitas, en especial se encuentran orbitas que no son posibles en la ausencia de este cam- gαβ uαuβ = −1, (10) ´po o viceversa. En el presente trabajo se estudia orbita circular marginalmente estable en la ´vecindad de una fuente de campo gravitacional y electromagnetico, en relatividad general. ´ lo cual permite obtener la siguiente ecuacion ´Para el estudio se utiliza la solucion exterior de las ecuaciones de Einstein-Maxwell titulada ˙ x 2=− 1 1 + gyy y 2 + gϕϕϕ2 + 2gtϕtϕ − gttt2 ˙ ˙ ˙˙ ˙ (11)“An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole”, tomada gxxde [2] . Como caso particular se consideran las trayectorias de las part´culas en el plano ecuatorial ı 2. General Description ˙ ¨ ´ de la fuente central, dado por y = 0 con lo cual y = 0 y y = 0, con esta restriccion se puede ´ decir que las ecuaciones (8), (9) y (11) dan toda la informacion acerca de la naturaleza deEl elemento de linea mas general que describe los espacio tiempos estacionarios y axial- ´ las orbitas. En este caso x, la otra primera integral, puede ser obtenida directamente usando ˙ ´mente simetricos, se puede escribir de la siguiente manera ˙ ˙ t y ϕ de (8) y (9) en (11), con lo cual se obtiene ds2 = gxx dx2 + gyy dy 2 + gϕϕ dϕ2 + 2gtϕ dt dϕ − gtt dt2, (1) 1 (x)2 = − ˙ [D + gtt (l − e Aϕ)2 − gϕϕ (E + e At)2 − 2 gtϕ (E + e At)(l − e Aϕ)], (12) e2γ k 2(x2 − y 2) gxx D gxx = 2 − 1) , 2 f (x ´ con D = gϕϕgtt + gtϕ. De la anterior ecuacion se puede definir el potencial efectivo para el e2γ k 2(x2 − y 2) movimiento radial de la particula. gyy = 2) , f (1 − y Dgxxx2 = V (E, l, x, a, b, µ, e, m), ˙ (13) gϕϕ = f −1k 2(x2 − 1)(1 − y 2) − f ω, gtϕ = 2f ω, V (E, l, x, a, b, µ, e, m) = D + gtt (l − e Aϕ)2 − gϕϕ (E + e At)2 − 2 gtϕ (E + e At)(l − e Aϕ) (14) gtt = f, Es claro que si se quiere estudiar solo orbitas circulares la velocidad propia de la part´cula ı ´ ´donde gαβ son las componentes del tensor metrico y las funciones f , γ y ω solo dependen ´ en direccion radial x, tiene que ser cero, esto requiere que: ˙ ´de x y y. Para el caso particular de la solucion que se utiliza en el presente estudio, las V (E, l, x, a, b, µ, e, m) = 0 (15) ´funciones metricas tienen la siguiente forma ∂ f = E/D, e2γ = E/16k 8(x2 − y 2)4, ω = (y 2 − 1)L/E, ∂x V (E, l, x, a, b, µ, e, m) = 0 (16) E = {4[k 2(x2 − 1) + δ(1 − y 2)]2 + (a − b)[(a − b)(d − δ) − M 2b](1 − y 2)2}2 La estabilidad de la orbita circular requiere la siguiente relacion ´ −16k 2(x2 − 1)(1 − y 2){(a − b)[k 2(x2 − y 2) + 2δy 2] + M 2by 2}2, ∂2 D = {4(k 2x2 − δy 2)2 + 2kM x[2k 2(x2 − 1) + (2δ + ab − b2)(1 − y 2)] + (a − b)[(a − b) V (E, l, x, a, b, µ, e, m) 0 (17) ∂ 2x ×(d − δ) − M 2b](y 4 − 1) − 4d2}2 + 4y 2{2k 2(x2 − 1)[kx(a − b) − M b] −2M bδ(1 − y 2) + [(a − b)(k 2 − 2δ) − M 2b](2kx + M )(1 − y 2)}2, donde el caso de igualdad corresponde al movimiento en la orbita marginalmente estable. L = 8k 2(x2 − 1){(a − b)[k 2(x2 − y 2) + 2δy 2] + M 2by 2} ´ La solucion simultanea de las ecuaciones (15-17), determinan la region de estabilidad, la energ´a y el momento angular asociados a la orbita marginalmente estable. La solucion ı ´ ×{kM x[(2kx + M )2 − a2 + b2 − 2y 2(2δ + ab − b2)] − 2y 2(4δd − M 2b2)} anal´tica de estas ecuaciones es muy complicada debido a la gran complejidad de la solu- ı −{4[k 2(x2 − 1) + δ(1 − y 2)]2 + (a − b)[(a − b)(d − δ) − M 2b](1 − y 2)2} ´ ´ ´ cion, por lo tanto se intenta una solucion numerica con el fin de conocer el comportamien- × (1 − y 2){2M (2kx + M )[(a − b)(d − δ) − b(M 2 + 2δ)] − 4M 2bδ to de la orbita marginalmente estable, cuando se consideran espacio tiempos con campo ´ magnetico. +(a − b)(4δd − M 2b2)} − 8k 2M b(kx + M )(x2 − 1) , (2)donde 3. Conclusiones µ2 − m2b2 1 2 2] √ δ := 2 2 d := [m − (a − b) k := d + δ : m − (a − b) 4 ´ Como conclusion parcial de nuestro trabajo, se puede decir que la presencia del parametro ´ ´Esta solucion depende de cuatro parametros reales que son la masa m, el momento angular ´ de dipolo magnetico µ, altera considerablemente la estructura del potencial efectivo, para ´ ´total por unidad de masa a, el parametro de deformacion arbitraria b y el momento dipolar ´ algunos conjuntos de parametros no existe orbita marginalmente estable ya desaparece al ´ ´ ´magnetico µ. El campo electromagnetico de esta solucion esta descrito por las componentes ´ introducir parametro µ. ´ ´ ´electrica At y magnetica Aϕ del cuadripotencial electromagnetico Aα = (0, 0, Aϕ, At). Estas ´dos cantidades estan dadas por la parte real de los siguientes potenciales complejos Referencias 2iµC Φ1 = (3) A + 2M B K [1] W. B. BONNOR. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a mag- Φ2 = , (4) netic dipole. Z. Phys. 190, 444 (1966). A + 2M Bdonde ´ [2] V S MANKO, E W MIELKE and J D SANABRIA-GOMEZ. Exact solution for the exterior field of a rotating neutron star. Phys. Rev. D 61, 081501 (2000). A = 4[(k 2x2 − δy 2)2 − d2 − ik 3xy(a − b)(x2 − 1)] [3] A R PRASANNA. General-Relativistic analysis of charged-particle motion in electromag- −(1 − y 2)[(a − b)(d − δ) − M 2b][(a − b)(y 2 + 1) + 4ikxy], netic fields surrounding black holes. Riv. Nuovo Cimento 3 11 (1980). B = kx{2k 2(x2 − 1) + [b(a − b) + 2δ](1 − y 2)} +iy{2k 2b(x2 − 1) − [k 2(a − b) − M 2b − 2aδ](1 − y 2)}, [4] A R PRASANNA and R K VARMA. Charged particle trajectories in a magnetic field on a curved space-time. Pramana 8, 229 (1977). C = 2k 2y(x2 − 1) + [2δy − ikx(a − b)](1 − y 2), [5] A R PRASANNA and C V VISHVESHWARA. Charged particle motion in an electromag- K = (1 − y 2) 2k 2(x2 − 1)[3m + 2kx + iy(a − b)] netic field on Kerr backgroun geometry. Pramana 11, 259 (1978). +m{4δ + (b − a)[(y 2 − 1)b + 2a]} + (m + 2kx)[m2 + δ(1 − y 2)] [6] G PRETI. On charged particle orbits in dipole magnetic fields around Schwarzschild black −2iy[(m2 + 2kxm + 2δ)b − 2aδ] µ, holes. Class. Quantum Grav. 21, 3433 (2004). ´ [7] A N ALIEV and N OZDEMIR. Motion of charged particles around a rotating black hole ines decir, a magnetic field. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 336, 241 (2002). At == Re[Φ1] Aϕ = Re[Φ2]. ´XXII Congreso Nacional de F´sica, 22 al 26 de Octubre de 2007, Ibague, Colombia ı