Póster: Escuela de Partículas, UniAndes.
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MODELO DE GRAVEDAD CUA´ NTICA DE HORˇ AVA-LIFSHITZ SIN

MODELO DE GRAVEDAD CUA´ NTICA DE HORˇ AVA-LIFSHITZ SIN
INVARIANZA DE LORENTZ.

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Póster: Escuela de Partículas, UniAndes. Póster: Escuela de Partículas, UniAndes. Document Transcript

  • ´ ˇ MODELO DE GRAVEDAD CUANTICA DE HORAVA-LIFSHITZ SIN INVARIANZA DE LORENTZ Y. Bonilla ´ Grupo de Gravitacion, Universidad del Valle, A.A. 25360, Cali, Colombia. yohana.bonilla@correounivalle.edu.co ´ Se define la teor´a cuantica de campos para la gravedad, por medio de la integral de camino: ı Resumen ´Se estudia el modelo de gravedad cuantica propuesto por Petr Hoˇava en [1, 2]. Esta teor´a r ı Dgij DNi DN exp{iS}. (10) ´ ´cuantica de campos gravitacional, presenta escalamiento anisotropico entre espacio y tiem- ´po, con exponente dinamico cr´tico z = 3. La teor´a describe gravitones no relativistas in- ı ı ´ ´ Donde S es la accion mas general compatible con los requerimientos de simetr´as gauge ıteractuantes para distancias cortas y se caracteriza por ser renormalizable por conteo de ´ ´ y restringida por la unitariedad de la teor´a [1]. En los ordenes mas bajos en las derivadas ıpotencias en 3 + 1 dimensiones (ADM), pero abandona la invarianza de Lorentz como una ´ ´ temporales, la dinamica de la teor´a proyectable, se describe por la accion [1], ısimetr´a fundamental en altas energ´as [1]. Para grandes distancias (infrarrojo), la teor´a ı ı ıfluye naturalmente al valor relativisita z = 1, recuperando la invarianza de Lorentz. Por lo 2 S= 2 dt dD x √g N Kij K ij − λK 2 − V , (11)tanto, puede servir como una candidata posible para la completez UV de la Teor´a de la ı κ ´ ´Relatividad General (RG), en el sentido de renormalizacion, o su modificacion infrarroja (IR). donde ´Aqu´ se exponen algunos de los aspectos basicos del modelo y sus resultados. ı 1 Kij ≡ gij − iNj − j Ni ˙ (12) 2N ´ 1. Introduccion es la curvatura extr´nseca de Σ, K = g ij Kij , κ y λ son constantes de acoplamiento adimen- ı sionales, y el termino potencial V es un funcional escalar invariante bajo DiffF (M) construido ´ ´ QFT, el obstaculo principal en contra de la renormalizabilidad perturbativa de la teor´a N ı a partir de la metrica gij , su tensor de Riemann Rijk y las derivadas covariantes espaciales. ´E de la Relatividad General (RG) en 3 + 1 dimensiones [3, 4], radica en que la constante ´de acoplamiento gravitacional GN es dimensional, con dimension negativa [GN ]= - 2 en z−D [κ] = . (13)unidades de masa (para = c = 1, GN ≈ 6, 7 × 10−39GeV−2) [4]. Para obtener la teor´a ı 2gravitacional renormalizable por conteo de potencias en el UV, se introduce el escalamiento ´ ´ λ representa una constante de acoplamiento dinamica sujeta a correcciones cuanticas, con ´anisotropico entre espacio y tiempo, medido por z [1]. ´ λ = 1 para RG. Terminos potenciales, son independientes de las derivadas temporales [1]. ´El modelo se inspira en los metodos implementados en la teor´a de sistemas dinamicos ı ´ 2.4 Teor´a UV con Balance Detallado ı ı ´cr´ticos [6, 7] y criticalidad cuantica cuyo prototipo, es la teor´a escalar de Lifshitz en D + 1 ı ´dimensiones caracterizada por la accion [8]: ´ Se impone la condicion de simetr´a de balance detallado que limita el numero de constantes ı ´ ´ de acoplamiento independientes, al elegir los terminos potenciales que implica: S = ˙ dtdD x{(Φ)2 − ( Φ)2}, (1) κ2 D x √gN E ij G SV = dt d ijk Ek , (14) 8 ´que describe un “campo libre de punto fijo” con escalamiento anisotropico, z = 2 y es el ´ ´laplaciano espacial. Adicionando a la accion la deformacion: y que E ij provenga de un principio variacional v´a la relacion: ı ´ −c2 dtdD x∂iΦ∂iΦ (2) √ ij = δW [gk ] gE (15) δgijla teor´a fluye en el infrarrojo a z = 1, surgiendo la invarianza de Lorentz como una simetr´a ı ıaccidental [1, 9]. El modelo gravitacional de Hoˇava, aun siendo fundamentalmente no rela- r ´ para alguna accion D-dimensional W . En (14) Gijk , denota la inversa de la metrica de ´ ´ ´tivista en el UV, describe polarizaciones propagantes de la metrica [1]. Restaurando los De Witt Gijk = 1 g ik g j + g i g jk − λg ij g k (16)factores expl´citos de la velocidad de la luz, el propagador para los gravitones toma la forma ı 2[1], 1 Si z = 3 para 3 + 1 dimensiones, E ij debe ser de tercer orden en las derivadas espaciales. , (3) ω 2 − c2k2 − G(k2)z Un candidato para este objeto es el tensor de Cotton [1]; ´ ´En el escenario de altas energ´as el propagador del graviton es dominado por el termino ı 1 j janisotropico 1/(ω 2 − G(k2)z ), c2k2 es importante solo para las energ´as mas bajas y surge ´ ı ´ C ij = εik k R − Rδ . (17) 4 ´de una deformacion relevante del punto fijo UV, con c una constante de acoplamiento dimen- ´sional. El propagador (3) es reproducido por la resumacion del propagador de altas energ´as ı ´ ´ ´ La accion mas general de la teor´a de gravedad en 3 + 1 dimensiones y z = 3, modulo la ıen la teor´a deformada [1], ı ´ ´ ´ posible adicion de terminos relevantes, esta descrita por: 1 1 1 2 k2 1 2 2 − c2k2 − G(k2)z = 2 2 )z + 2 2 )z c 2 − G(k2)z + ... (4) 3 x √g N 2 ij − λK 2 − κ C C ij ω ω − G(k ω − G(k ω S= dt d 2 Kij K ij (18) κ 2w4 ´ 2. Descripcion General 3. Teor´a deformada y RG ı ´2.1 Gravedad con escalamiento anisotropicoSe define la teor´a en una variedad espacio temporal M fija, con coordenadas ı 3 x √g N 2 κ2 κ2µ ijk S= dt d Kij K ij − λK 2 − 4 Cij C ij + 2 ε Ri j Rk κ2 2w 2w (t, x) ≡ (t, xi), i = 1, ...D, (5) κ2µ2 ij + κ2µ2 1 − 4λ 2 ´ ´Desde el formalismo de descomposicion ADM se utilizan los campos cuanticos: gij (de sig- − Rij R R + ΛW R − 3Λ2 W . (19) 8 8(1 − 3λ) 4natura (+,...,+)) en Σ, N (lapse) y el vector Ni (shift), dando el elemento de l´nea, ı ds2 = −N 2c2dt2 + gij (dxi − N idt)(dxj − N j dt), (6) κ2µ ΛW 3 κ2 c= , Λ = ΛW , GN = (20) 4 1 − 3λ 2 32πc ´Las teor´as del tipo Lifshitz exhiben puntos fijos con escalamiento anisotropico del tipo: ı x → bx, t → bz t. (7) Referencias ´ ´El “exponente dinamico cr´tico” z, esta asociado con un punto fijo del grupo de renorma- ı [1] P. Hoˇava, “Quantum Gravity at a Lifshitz Point”, Phys. Rev. D 79, 084008 (2009) r ´ ´lizacion (GR) (“Renormalization Group”) [1]. El prototipo de una teor´a cuantica de campos ı [arXiv:0901.3775 [hep-th]].con exponente cr´tico no trivial z >1, es la teor´a de un escalar de Lifshitz Φ(x, t) en D + 1 ı ı ´ ´ ´dimensiones [1, 7, 8]. En su representacion mas sencilla, con z = 2, la teor´a esta descrita ı [2] P. Hoˇava, “Membranes at Quantum r Criticality”, JHEP 0903, 020 (2009) ´ ´ ´por la accion (1). Para que los dos terminos en la accion (1) escalen de la misma manera [arXiv:0812.4287 [hep-th]].se asignan las dimensiones [xi]= −1, [t]= −2. Para S adimensional [Φ] = (D − 2)/2, y conse- [3] C. Rovelli, “Notes for a brief history of quantum gravity”, arXiv:gr-qc/0006061v3. ´ ´cuentemente la dimension cr´tica (mas baja) se desplaza, del valor relativista 1 + 1, a 2 + 1 ı [4] S. Weinberg, “Ultraviolet Divergences in Quantum Theories of Gravitation” en: Generalcuando z = 2 [2, 10]. Relativity. An Einstein Centenary Survey, editado por S.W Hawking and W. Israel (Cam- ı ´2.2 Simetr´as y version Proyectable de la teor´a ı bridge University Press, 1980). ´En (7) la dimension temporal tiene un papel privilegiado, as´ la variedad espacio temporal ı [5] T. P. Sotiriou, M. Visser and S . Weinfurtner, “Quantum gravity without Lorentz invari-M, posee la estructura adicional de una foliacion F de codimension uno [1], con hojas Σ ´ ´ ance”, arXiv:0905.2798v3 [hep-th].(hipersuperficies) de tiempo constante. Las transformaciones de coordenadas adaptadas a [6] P. C. Hohenberg and B. I. Halperin, “Theory of Dynamic Critical Phenomena”, Rev. Mod. ´la foliacion son: Phys. 49, 435 (1977). xi = xi(xj , t), ˜ ˜ ˜ ˜ t = t(t). (8) [7] S. K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Frontiers in Physics (Benjamin. Inc, ´ ´as´ las funciones de transicion son diff., preservando la foliacion, con DiffF (M) el grupo de ı 1976).diff., espacio temporales que respetan la foliacion preferencial Fc1 y sus generadores [1]: ´ [8] E. M. Lifshitz, “On the Theory of Second-Order Phase Transitions I-II”, Zh. Eksp. Teor. δt = f (t), δxi = ξ i(t, x). (9) Fiz. 11, 255 (1941). [9] S. Chadha and H. B. Nielsen, “Lorentz Invariance as a Low-Energy Phenomenon”, Nucl.Asumiendo que N (t) es una funcion del tiempo, constante en Σ 1 se obtiene la teor´a de ´ ı Phys. B 217, 125 (1983).gravedad proyectable [10]. [10] P. Hoˇava, “General Covariance in Gravity at a Lifshitz Point”, arXiv:1101.1081v1 r ´2.3 Dinamica de la teor´a proyectable ı [hep-th]. 1 Aquellas funciones que toman valores constantes en cada hoja de la foliacion F, se denominaran “funciones proyectables” [1]. ´ ´ ı ı ´Escuela de F´sica de Part´culas, Mayo 23-27 de 2011, Bogota, Colombia