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Construcción de una caja de base cuadrada sin tapa proporcionalidad
 

Construcción de una caja de base cuadrada sin tapa proporcionalidad

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Consideremos una caja de base cuadrada de largo y ancho x, y de altura y. El volumen de la caja V es igual a: ...

Consideremos una caja de base cuadrada de largo y ancho x, y de altura y. El volumen de la caja V es igual a:
V=x*x*y=x^2 y
El área superficial total de las 4 caras laterales de la caja es: A=4xy

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    Construcción de una caja de base cuadrada sin tapa proporcionalidad Construcción de una caja de base cuadrada sin tapa proporcionalidad Document Transcript

    • YOHANA BONILLA G. 2012 CONSTRUCCIÓN DE UNA CAJA DE BASE CUADRADA SIN TAPA Trabajo presentado por: Octubre 08 de 20121. Consideremos una caja de base cuadrada de largo y ancho , y de altura El volumen de la caja es igual a: El área superficial total de las 4 caras laterales de la caja es:2. Dibujaremos una cuadrícula de 20x20 cuadrados, cada cuadrado de lado , de la cual extraeremos el mayor número posible de cajas de base cuadrada fija 1 cuadrado de lado y alturas 1 cuadrito, 2 cuadritos, 3, 4…Hasta donde sea posible. En este caso dibujaremos la caja de tal forma que al cortarla solamente necesitemos doblar los lados y pegar. Página 1
    • YOHANA BONILLA G. 20121 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20234567891011121314151617181920 De la cuadrícula vemos que con esta opción para elaborar las cajas, se desperdiciaría mucho papel. Entonces elegimos otra vía para recortar las cajas, cortaremos primero las caras de altura y luego las uniremos a la base, como mostramos en el gráfico: Página 2
    • YOHANA BONILLA G. 2012 Para esto representamos todas las opciones posibles en la cuadrícula. Del 1 al 12 son las partes que necesitamos para elaborar las 12 cajas sin tapa: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201 2 3 4 5 623 74 c75 8 96 107 1189101112131415 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121617 121819 120 De aquí obtenemos 12 cajas de base cuadrada de lado con las siguientes alturas consecutivas: Página 3
    • YOHANA BONILLA G. 2012 Tabla: Cajas y alturas Caja # Altura ( unidades de c) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 123. Examinaremos la variación del Volumen de las cajas en función de su altura Tabla: Volumen de las cajas en función de la altura . Caja # Altura (unidades de c) 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 De la tabla de Volumen de las cajas en función de la altura vemos que para y=0 no hay volumen, y para el volumen es .4. Claramente la variable dependiente es el Volumen y la altura la variable independiente o de entrada.5. Los puntos o parejas ordenadas se presentan en la siguiente tabla: Página 4
    • YOHANA BONILLA G. 2012 Tabla: (unidades de c) 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 126. A continuación vamos a representar las parejas de puntos en el plano cartesiano vs : V(y) 14 12 10 8 V (c^3) 6 V(y) 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 y (c) Gráfico: V vs y, cajas de base Del gráfico observamos claramente una relación lineal entre las variables y , de la forma punto pendiente. La gráfica intercepta al eje vertical en el origen de coordenadas. Página 5
    • YOHANA BONILLA G. 2012 Este gráfico también lo podemos hacer en papel milimetrado, como lo adjuntamos. 7. De los datos graficados obtenemos el volumen máximo para la altura dada por , . 8. Sobre el sistema de numeración usado: Recordemos que los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos usados para representar cantidades, así se tienen los sistemas de numeración decimal, binario, octal, hexadecimal, romano, etc. Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (número de dígitos diferentes: diez, dos, ocho, dieciseis respectivamente) mientras que el sistema romano no posee base y resulta más complicado su manejo tanto con números, así como en las operaciones básicas. El sistema de numeración usado en nuestro caso es el sistema de numeración decimal que tiene como base el número 10.  De los datos obtenido de y se encuentra que estas dos magnitudes son directamente proporcionales pues cuando aumenta altura, aumenta el volumen en la misma proporción. La constante de proporcionalidad entre y es : 9. Dominio de la función volumen: Df: Reales positivos y el cero. Rango: Rf: Reales positivos y el cero. 10. Ahora vamos a probar obtener una caja de volumen máximo pero superior al ya encontrado con las cajas de base 1 cuadrado.Para esto probamos tomando cajas de base cuadrada de lado . Empezamos con alturasde 1cuadrado, 2, 3, 4… Y así sucesivamente. Si usamos la misma cuadrícula lograríamosobtener solamente 9 cajas. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Página 6
    • YOHANA BONILLA G. 2012 1 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 9 1 2 18 9 19 3 4 5 6 7 8 20Los números del 1 al 9 representan las partes de papel necesarias para construir las cajassin tapa, con base cuadrada de lado . 11. Para esta nueva elección en la forma de construir las cajas, llegamos nuevamente al sistema numérico decimal para describir las variables del problema. 12. La nueva tabulación es la siguiente: Tabla: (y,V) para las cajas de base (unidades de c) 0 0 1 4 2 8 3 12 4 16 5 20 6 24 7 28 8 32 9 36 Página 7
    • YOHANA BONILLA G. 2012Con esta tabulación obtenemos el siguiente gráfico: V 40 35 30 25 V(y) 20 V 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 y(c) Gráfico 2: V vs y, cajas con área de la base . El gráfico obtenido es una línea recta descrito por la ecuación: Donde la pendiente de la recta o la constante de proporcionalidad es claramente . 13. La altura que en este caso genera un volumen máximo es . Sugerimos que para alcanzar cajas de mayor volumen, cada vez, es conveniente aumentar el área de la base que se mantiene fija. Se podría probar con otras áreas de la base con área fija: por ejemplo y hallar el número de cajas máximo que se pueden obtener de la cuadricula de 20x20cuadritos. 14. Vamos a ver el orden de magnitud del volumen en los siguientes casos: a) En el orden de medición de las amebas: Ejemplo: ameba Pelomyxa palustris normalmente mide de 500 a 800 μm 1μm=10-6m El volumen se mediría en . b) En el orden de medición más ínfima que ha alcanzado el hombre: Página 8
    • YOHANA BONILLA G. 2012Podemos tener una idea con el ångström (símbolo Å ) que es una unidadde longitud empleada principalmente para expresar longitudes de onda, distanciasmoleculares y atómicas.1 Å= 1 x 10-10 m = 0,1 nmEn este orden de magnitud, por ejemplo una caja con volumenc) En el orden de medición de la medida más grande alcanzada por el hombre: Un buen estimativo en este caso pueden ser las distancias astronómicas medidas en la unidad Pársec. Pársec = 206.265 ua = 3,2616 años luz = 3,0857 × 1016 m Consideremos por ejemplo un volumen de15. En los casos anteriores, con las distancias en las escalas extremas mencionadas, aún cuando cambiamos el orden de magnitud de la altura de la caja, tenemos el mismo dominio y rango de la función volumen: Df: Reales positivos y el cero. Rango: Rf: Reales positivos y el cero.16. La fórmula que representa la función volumen que pintamos en el plano cartesiano es la de un modelo lineal: Donde es la constante de proporcionalidad entre y , o la pendiente de la recta que resulta de graficar estos datos. En los casos que estudiamos17. El modelo matemático para el volumen ya fue representado gráficamente usando la herramienta Excel. Esta se usó para corroborar el trabajo realizado con el papel milimetrado. Página 9
    • YOHANA BONILLA G. 201218. La situación problema claramente era obtener cajas de diferente volumen con altura variable, a partir de una cuadricula de tamaño limitado 20x20cuadrados, de allí verificar cual era la de volumen máximo.La situación se abordó de diferentes formas:1. Recortando las cajas directamente de la cuadrícula para construirlas con papel.2. Tabulando el volumen de las cajas a en función de la altura usando las medidas especificas.3. Graficando los datos obtenidos y para obtener la relación entre las mismas. La opción más cómoda para abordar el problema es el procedimiento gráfico, ya que de allí podemos ver directamente para cuál altura se obtiene el volumen máximo, sin necesidad de recurrir a la elaboración de la caja, lo cual implica inversión de tiempo, la tabulación la obtenemos también de las cuadriculas donde pintamos el número de cajas que se obtenían.19. El trabajo manual o a la antigua es importante en cuanto a que nos obliga a cuestionarnos sobre cuál es la mejor forma de describir el problema matemático de obtener el volumen de las cajas, empleando materiales para su construcción, así como la gráfica manual de vs . El problema radica en que el tiempo invertido para abordar el problema manualmente es mayor, por eso antes de cortar, recurrimos al dibujo de nuestra cuadrícula para ver previamente cual era la mejor forma de elaborar las cajas desechando la mínima cantidad de material. Página 10