Econometria i

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Econometria i

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE ECONOMIADEPARTAMENTO ACADEMICO DE ECONOMIA .
  2. 2. CAPITULO I MODELOS DINÁMICOS1. INTRODUCCIÓN1.1. JUSTIFICACIÓN La necesidad de incluir la dinámica temporal en los modelos es: • Existencia de desfases en la disponibilidad de información que hacen que las decisiones se tomen en base a datos del pasado. • Las decisiones se toman tras un proceso de evaluación que genera un desfase entre la información evaluada y la acción final. • Determinados procesos complejos necesitan de un periodo de ejecución que, nuevamente desfasa la acción final de la información valorada. • Existencia de medidas o acciones que tienen efecto en más de un periodo. • La consideración explícita de la evolución pasada como una expectativa de los valores presentes. • Existencia de procesos progresivos de ajuste hasta niveles deseados u óptimos. Sabemos que las variables económicas tienen bastante inercia, lo que hace que una variable dependa de su propio pasado, además de otras causas. Así por ejemplo: para tratar de explicar el comportamiento de la inflación , tendría sentido introducir como variables explicativas, junto con la tasa de crecimiento monetario , retardo de la propia tasa de inflación: Es importante observar que la existencia de una relación dinámica entre variables, así como su mayor o menor persistencia (número de retardos precisos para representarla), dependen crucialmente de cual sea la frecuencia de observación de los datos que se emplean en la estimación. Por ejemplo, si una variable influye sobre otra no sólo contemporáneamente, sino también durante los dos meses siguientes, entonces la relación sería dinámica si el investigador utiliza datos mensuales, pero resultará estática si utilizase datos anuales.
  3. 3. 21.2. TIPOS DE MODELOS Una tipología de modelos uniecuacionales dinámicos (Basado en Hendry, Pagan y Sargan, 1984)), el modelo ADL(1,1) es: Yt = β1 X t + β 2 X t −1 + β 3Yt −1 + ε t donde Zt es exógena débil en relación a los parámetros de interés ( β1 , β 2 y β 3 ) , y el error es: ( ε t ~ N 0,σ ε2 ). Aún cuando todos los modelos tienen una varianza del error, el modelo anterior es denominado modelo de "tres parámetros". Pese a que es una ecuación muy simple, el modelo ADL(1,1) incluye representaciones esquemáticas de nueve distintos tipos de modelos dinámicos como casos especiales. La tabla siguiente presenta estos 9 tipos. Restricciones en Tipo de modelo Ecuación ADL(1,1) 1º Regresión estática Yt = β1 X t + ε t β2 = β3 = 0 2º Serie de tiempo Yt = β 3Yt −1 + ε t β1 = β 2 = 0 univariante 3ºEn diferencias / tasa ∆Yt = β1∆X t −1 + ε t β 3 = 1; β 2 = − β1 de crecimiento
  4. 4. 3 Restricciones en Tipo de modelo Ecuación ADL(1,1)4º Indicador β1 = β 3 = 0 Yt = β 2 X t −1 + ε tadelantado (leadingindicator)5º Retardos Yt = β1 X t + β 2 X t −1 + ε t β3 = 0distribuidos(distributed lags)6º Ajuste parcial Yt = β1 X t + β 3Yt −1 + ε t β2 = 07º Common factor(error Yt = β1 X t + ut ut = β 3ut −1 + ε t β 2 = − β 1β 3autocorrelacionado)8º Mecanismo de ∆ Yt = β1 X t + (1 − β 3 )( X t −1 − Yt −1 ) + ε t βi = 1Corrección del Error9º Forma reducida Yt = β 2 X t −1 + β 3Yt −1 + ε t β1 = 0(dead start) Los nueve modelos describen muy diferentes estilos de retardos y respuestas de largoplazo de y desde x, tiene diferentes ventajas y desventajas como descripciones decomportamientos de series de tiempo, están diversamente afectados por varios problemas demala especificación, y finalmente, conducen a diferentes estrategias de modelización yestimación. Los modelos 1º a 4º son claramente modelos de un parámetro, mientras 5º a 9º son dedos parámetros. Con los supuestos planteados, todos menos el modelos 7º son estimables porMínimos Cuadrados Ordinarios (mientras 7º requiere un procedimiento iterativo por mínimoscuadrados). Cada modelo puede ser interpretado como un modelo "por derecho propio", otambién como una derivación (o una aproximación) del modelo ADL(1,1). La generalización de cada "tipo" en términos de un número mayor de lags y/o variosregresores naturalmente aproximan los casos entre sí. En el cuadro se plantean los modelosmás simples para resaltar sus diferencias y sus propiedades específicas. De todas maneras, las restricciones necesarias para obtener los distintos casos (aúnsuponiendo modelos con mayor número de lags y/u otros regresores) en general son difícilesde justificar. Aún cuando pueden, en ocasiones, existir argumentos teóricos relevantes paraexplicar una forma específica, es siempre preferible testear el modelo seleccionado versus laforma general no restringida (el ADL(1,1)), lo que contribuye a evitar errores deespecificación importantes.
  5. 5. 41.3. CLASIFICACIÓN1.3.1. MODELOS INGENUOS DE EXPECTATIVAS Los modelos más antiguos de expectativas empleaban valores pasados de las variables relevantes, o bien sencillas extrapolaciones de los mismos, como medición de las variables esperadas. Consideremos el modelo: A menos que se especifique de otra manera, las expectativas se forman con base en los periodos anteriores de tiempo. Por lo tanto, el modelo sume: es decir, la compañía cree que la utilidades del próximo periodo serán iguales a las de éste. Un modelo sencillo de extrapolación indicaría que los beneficios del siguiente periodo se elevarán en una cantidad igual a la del último incremento. Es decir, Otro modelo de extrapolación sería indicar que las utilidades se elevarán en un porcentaje igual al del último aumento. Esto da: En todos los casos se sustituye en el modelo la utilidad esperada por su fórmula de formación de expectativas, quedando: como la formación de expectativas se deriva del exterior y son ajenas al modelo económico, estas expectativas se consideran exógenas. Por lo tanto, el modelo se estima por mínimos cuadrados ordinarios.
  6. 6. 5 Es necesario modificar de manera adecuada la formación de expectativas, cuando se cuenta con datos trimestrales o mensuales; porque existen fluctuaciones estacionales. Por ejemplo, las ventas de diciembre de este año serían comparables con las del mismo mes del año pasado, debido a la temporada navideña. La formación de expectativas quedaría: obsérvese que se comparan meses o trimestres correspondientes y que se toma como parámetro el último aumento porcentual. No se recomiendan estos modelos, sin embargo, su uso es frecuente como puntos de referencia para juzgar los datos de cualquier encuesta sobre expectativas.1.3.2. MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÁMICOS Los planteamientos teóricos que conducen a una especificación dinámica son: Modelo de EXPECTATIVAS ADAPTABLES. Cagan (1956). Modelo de AJUSTE PARCIAL Nerlove (1956). Modelo de EXPECTATIVAS RACIONALES. Munth (1960, 1961). Aº Modelo de Expectativas Adaptativas El nivel de la variable endógena Yt depende de un valor no observado de expectativas de la exógena X t* , así: Yt = α 0 + β1 X t* + et Las expectativas se revisan o actualizan en función de las desviaciones observadas en el pasado, así: X t* − X t*−1 = λ ( X t −1 − X t*−1 ) Resolviendo la anterior ecuación diferencial se obtiene: ∞ * X =t λ (1 − λ )i X t −1− i i =0 Sustituyendo el valor de la expectativa en la 1ª ecuación:
  7. 7. 6 ∞ Yt = α 0 + β1 λ (1 − λ ) i X t −1−i + et i =0 Transformado la expresión anterior, queda: Yt = α 0 λ + β1λX t −1 + (1 − λ )Yt −1 + et − (1 − λ )et −1EJEMPLO: P. Cagan propuso un modelo analítico en el que la demanda de saldosmonetarios reales se hacía depender del valor esperado de la tasa de inflación futura: El mecanismo de expectativas adaptativas, utilizado por Cagan (así como M.Friedman en su Teoría de Consumo), es:que postula que los agentes modifican la expectativa a partir de las expectativas delperiodo anterior y considerando el error de predicción cometido.Si las expectativas de inflación son estáticas y no se hacen depender del error de predicción que se haya cometido.Si las expectativas de inflación son totalmente adaptativas, ya que se adapta como valor esperado de la inflación futura el valor que la tasa de inflación ha tomado en este período. Se ignora la información que condujo a formar las expectativas pasadas. Si en el mecanismo de expectativas se colocan todas las variables de expectativaen el primer miembro, nos queda: π t*+1 − (1 − λ )π t* = λπ t Si se incorporan las expectativas adaptativas al modelo, se tiene el siguienteprocedimiento:1º Se retarda el modelo un periodo, así:
  8. 8. 7 2º Se multiplica el modelo retardo por ( 1 - ), nos da: 3º Restamos el modelo menos el modelo retardado, dando: 4º Simplificando y reemplazando por la formación de expectativas, nos queda el modelo transformado siguiente: Dado que el modelo transformado involucra una regresión de sobre , esto se conoce como modelo autorregresivo.Bº Modelo de Ajuste Parcial de Nerlove Las variables exógenas X t determinan el valor óptimo o deseado de la variable * endógena. Yt . Por ejemplo: Y t* = α 0 + β1X t + et Sólo se alcanza una parte del valor óptimo en cada periodo, matemáticamente: Yt − Yt −1 = γ (Yt * − Yt −1 ) Sustituyendo la primera expresión en la segunda: Yt − Yt −1 = γ (α 0 + β1 X t + et − Yt −1 ) Despejando el valor corriente de la endógena:
  9. 9. 8 Yt = γα 0 + β1γX t + (1 − γ )Yt −1 + γetEJEMPLO: Supongamos que el nivel de capital deseado en la economía, Kt* , es una funcióndel nivel de producto Yt : Kt* = β1 + β 2Yt + ut (1) Si un investigador quisiera proceder a estimar cómo varía el stock de capitaldeseado u óptimo, según la economía transcurre a través de una época de recesión ode expansión, tendría el grave problema de no disponer de observaciones de Kt* . Añadimos al modelo anterior una ecuación que describe el mecanismo por el queel stock de capital se ajusta a su nivel deseado. Supongamos: Kt − Kt −1 = δ ( Kt* − Kt −1 ) 0<δ <1 ( 2)postula que el stock de capital observado varía de un período a otro en una proporciónde su distancia con respecto al stock deseado.Si δ = 1 En cada período el stock de capital es igual a su valor deseado. (Economía donde el stock de capital no está sujeto a importantes costes de ajuste). δ =0 El stock de capital no cambia. La ecuación ( 2 ) se puede rescribir: Kt = δKt* + (1 − δ ) Kt −1 K − (1 − δ ) Kt −1 Kt* = t δdonde el stock de capital es una combinación lineal convexa del valor deseado y desu valor previo. Al reemplazar ( 1 ) en ( 2 ) tenemos: Kt = δβ1 + δβ 2Yt + (1 − δ ) Kt −1 + δut (3) Una vez estimado el modelo, el parámetro δ se obtiene del coeficiente de Kt −1 ,mientras que β 2 se obtendría dividiendo el coeficiente de Yt por el valor de δ y β1a partir del término independiente estimado.
  10. 10. 9 La ecuación ( 3 ) es la demanda de capital a corto plazo y la ecuación ( 1 ) es la demanda de capital a largo plazo. Cº Modelo de Expectativas Racionales de Munth El nivel de la variable endógena Yt depende de las expectativas racionales formadas sobre el valor de la exógena X t* , así: Yt = α 0 + β1 X t* + et Las expectativas racionales se forman con toda la información disponible hasta el periodo anterior: X t* = E ( X t θ t −1 ) La esperanza condicional viene representada por un proceso ARMA: X t = a1 * X t −1 + a2 * X t − 2 + ... + ε t + b1 * ε t −1 + b2 * ε t − 2 + ... El modelo inicial se convierte en un modelo dinámico:Yt = α 0 + β1 * ( a1 * X t −1 + a2 * X t − 2 + ... + ε t + b1 * ε t −1 + b2 * ε t − 2 + ...) + et2. VARIABLE ENDÓGENA REZAGADA Si aparecen valores retardados de la variable endógena, dejaría de cumplirse uno de los supuestos bajo los que desarrollamos las teorías de estimación e inferencia del modelo econométrico, pues algunas de las variables explicativas serían variables aleatorias (ya que Yt lo es). El modelo: Yt = β Yt −1 + ut β <1 (1) donde u es un proceso de ruido blanco y el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es: T T Yt Yt −1 Yt −1ut ~ 2 T ( βYt −1 + ut )Yt −1 2 β MCO = T = = β+ 2 2 Yt 2 1 − T Y t −1 Yt 2 1 − 2 2
  11. 11. 10 T Yt −1utel estimador será insesgado si y sólo si se cumple: E 2 T = 0. Yt 2 1 − 2 Si la distribución de u fuera independiente de Ys para todo par (t,s), entonces se tendríapara s = 2, ..., T T T E (YS −1uS / Yt 2 1 ) = E (YS −1 / − Yt 2 1 ) E (uS ) = 0 − 2 2entonces, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios sería insesgado. Sin embargo, (1) muestra que las distribuciones de Yt y us no son independientes,puesto que si el valor absoluto de β es inferior a la unidad, entonces: ∞ Yt = β s ut − s s= 0como Yt depende de ut y de valores retardados de ut ; por lo tanto, el estimador de mínimoscuadrados del modelo (1) será, en general, sesgado. El problema se complica sustancialmente cuando aparecen valores retardados de lavariable endógena como variables explicativas y, además el término de error tieneautocorrelación: Yt = β Yt −1 + ut β <1 ut = ρ ut −1 + ε tla variable explicativa Yt −1 está correlacionada con ut −1 , y a su vez, está correlacionada con ut ;entonces una de las variables explicativas del modelo está correlacionada con el término deerror, por lo que ya no se tiene E (Yt −1ut ) = 0 . No podemos garantizar la consistencia delestimador de mínimos cuadrados ordinarios. Por lo tanto, el estimador mínimo cuadrado de los coeficientes del modelo para que seaconsistente es que se tenga E ( X t − S ut ) = 0 para todo s ≥ 0 y para todas las variablesexplicativas del modelo se tiene: Var.Pr e det er min ada E ( X t − S ut ) = 0 s≥ 0 Var. Exogena E ( X t − S ut ) = 0 ∀s
  12. 12. 112.1. EL TÉRMINO DE ERROR NO TIENE AUTOCORRELACIÓN El modelo especificado es: Yt = β1 + β 2Yt −1 + β 3 X t + ut β2 < 1 (1) cuyas variables explicativas y término de error satisfacen las siguientes propiedades: 2 1º No existe autocorrelación, es decir: E (u) = 0T , E (uu ′ ) = σ u I T . 2º X t es determinista, es decir: E ( X t ut ) = 0, ∀t . 3º E (Yt −1ut ) = 0 aunque Yt −1 es estocástica, si β 2 < 1 , Yt −1 depende de ut −1 , ut − 2 , ..., pero no de ut , y si este proceso es un ruido blanco, entonces se tiene el resultado citado. X ′X 4º p lim = Σ XX matriz simétrica, definida positiva, donde: T T T T −1 Yt −1 Xt 2 2 T T X ′X = Yt 2 1 − Yt −1 X t 2 2 T X t2 2 Esta condición se satisface bajo el supuesto β 2 < 1 , siempre que existan las varianzas y covarianzas de las variables explicativas X t e Yt −1 . Sabemos que: ~ β MCO = β + ( X ′X ) −1 X ′u ( 2) aplicando probabilidad límite nos da: −1 −1 ~ X ′X X ′u X ′X X ′u p lim β MCO = p lim β + = β + p lim p lim T T T T
  13. 13. 12según el teorema de Mann-Wald1 nos queda: ~ p lim β MCO = β + Σ −1 0 K = β XXpor lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es consistente. A veces no se está interesado en la distribución de un estimador, sino en la de unafunción del mismo. De la ecuación (2) deducimos: −1 ~ X ′X X ′u ( β MCO − β ) = T Tmultiplicando por la raíz de T nos da: −1 ~ X ′X X ′u T ( β MCO − β ) = T Taplicando el teorema de Mann-Wald2 tenemos: ~ T ( β MCO − β ) ⎯⎯ →( Σ D ⎯ XX ) −1 N (0, σ u Σ 2 XX )= ( N 0, σ u ( Σ 2 XX ) −1 )Esta distribución sólo es rigurosamente válida según tienda el tamaño muestral a infinito. En la práctica, se realiza la aproximación siguiente:1º Pasando T y β a la derecha, entonces: ~ σ u2 D β MCO ⎯⎯ → N β , ⎯ T (Σ ) XX −1 en muestras grandes. X ′X2º Para muestras suficientemente grande, el límite de Σ XX es ; entonces, la T X ′X matriz Σ XX puede sustituirse por . T 1 X ′X Si E (u) = 0, E ( uu ′ ) = σ 2 I T , E ( X i′u) = 0 y p lim u = Σ XX < ∞ , entonces se T X ′u tiene que : p lim = 0K . T 2 2 X ′X Si E (u) = 0, E (uu ′ ) = σ u I T , E ( X i′u) = 0 y p lim = Σ XX < ∞ , entonces se tiene T X ′u D 2 que: ⎯ → N (0, σ u Σ ⎯ XX ) T
  14. 14. 13Por lo tanto, la matriz de covarianzas se aproxima a: ~ ( ) Var β MCO = σ u ( X ′X ) 2 −1 En cuanto el término de error esté libre de autocorrelación, está justificado el uso demínimos cuadrados en un modelo que incluye retardos de la variable endógena. Puede utilizarsela matriz de covarianzas habitual de dicho estimador, quien tiene además una distribuciónnormal en muestras grandes, por lo que los resultados de inferencia estadística sonaproximadamente válidas. Lo anterior es válido con independencia del número de retardos de la variable endógenaque aparecen como variables explicativas.EJEMPLO 1: Se tiene información trimestral para el periodo 1959 - 1996 de las variablessiguientes: GCP Gasto de consumo personal. IPD Ingreso personal disponible. SYS Sueldos y salarios. R Tasa de interés activa promedioespecificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α1 SYS t + α 2 GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================== C -9.587087 2.659345 -3.605055 0.0004 SYS 0.173464 0.020306 8.542600 0.0000 GCP(-1) 0.891955 0.014170 62.94613 0.0000 ========================================================== R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999934 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 11.97949 Akaike info criteri 7.824331 Sum squared resid 20808.68 Schwarz criterion 7.885085 Log likelihood -576.0005 F-statistic 1108462. Durbin-Watson stat 1.992817 Prob(F-statistic) 0.000000 ==========================================================
  15. 15. 14para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuado debemosverificar autocorrelación:h de Durbin:H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden . se estima el rho: DW 1..99281692505 ρ = 1− = 1− = 0.00359153747518 2 2 se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la forma siguiente: 148 h = 0.00359153747518 = 0.0443569947499 < 1645 . 1 − 148( 0.000200792518378) Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m . se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals ============================================================== Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|. | .|. | 1 0.001 0.001 0.0002 0.989 .|* | .|* | 2 0.083 0.083 1.0538 0.590 ============================================================== m=1 se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la forma siguiente: QBP = 148(0.0012 ) = 0.000184 < 384 . Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula
  16. 16. 15m=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148(0.0012 + 0.0832 ) = 1025685 . < 5.99Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulaBreusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=====================================================F-statistic 0.000181 Probability 0.989287Obs*R-squared 0.000186 Probability 0.989120=====================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 0.000186 < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se obtiene del Eviews: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=====================================================F-statistic 0.521517 Probability 0.594744Obs*R-squared 1.071686 Probability 0.585176=====================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 1071686 . < 5.99Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula. Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es eladecuado.
  17. 17. 16EJEMPLO 2: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1SYSt + α 2 Rt + α 3GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1959:2 1996:1Included observations: 148 after adjusting endpoints========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.========================================================= C -8.224413 2.632759 -3.123876 0.0022 SYS 0.256588 0.034484 7.440758 0.0000 R -1.823686 0.619578 -2.943434 0.0038 GCP(-1) 0.834550 0.023897 34.92267 0.0000=========================================================R-squared 0.999938 Mean dependent var 1854.654Adjusted R-squared 0.999937 S.D. dependent var 1471.192S.E. of regression 11.67493 Akaike info criteri 7.779419Sum squared resid 19627.77 Schwarz criterion 7.860425Log likelihood -571.6770 F-statistic 778035.5Durbin-Watson stat 1.997412 Prob(F-statistic) 0.000000=========================================================para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuadodebemos verificar autocorrelación:h de Durbin: H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden .se estima el rho: DW 1..9974120053 ρ = 1− = 1− = 0.00129399735245 2 2se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la formasiguiente: 148 h = 0.00129399735245 = 0.0164527854599 < 1645 . 1 − 148( 0.00057107024696)Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula
  18. 18. 17Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1Included observations: 148==============================================================Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|. | .|. | 1 -0.002 -0.002 0.0008 0.977 .|* | .|* | 2 0.088 0.088 1.1739 0.556==============================================================m=1se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148( − 0.002) = 0.000793 2 < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: ( 2 ) QBP = 148 ( − 0.002) + 0.088 2 = 1142607 . < 5.99Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulaBreusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 0.000834 Probability 0.977003Obs*R-squared 0.000863 Probability 0.976564=========================================================
  19. 19. 18 se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la forma siguiente: LM = 0.000863 < 384 . Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula m=2 se obtiene del Eviews: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ========================================================= F-statistic 0.600709 Probability 0.549810 Obs*R-squared 1.241676 Probability 0.537494 ========================================================= se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la forma siguiente: LM = 1241676 . < 5.99 Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula. Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es el adecuado.2.2. EL TÉRMINO DE ERROR TIENE AUTOCORRELACIÓN El modelo especificado es: Yt = β1 + β 2Yt −1 + β 3 X t + ut β2 < 1 (1) y sigue un patrón de autocorrelación de primer orden, es decir: ut = ρ ut − 1 + ε t donde ε t es ruido blanco. La existencia de autocorrelación en el término de error hace que la propiedad del caso ( ) anterior no se satisfaga. E (Yt −1ut ) ≠ 0 . Por ejemplo: Asumamos en (1) que β1 = β 3 = 0 , entonces el modelo queda: Yt = β 2 Yt −1 + ut tenemos:
  20. 20. 19 ( ) E (Yt −1ut ) = E ( β 2 Yt − 2 + ut −1 )ut = β 2 E (Yt − 2 ut ) + E (ut −1ut ) ( E (Yt −1ut ) = β 2 E (Yt − 2 ut ) + E ( ρ ut −1 + ε )ut −1 ) E (Yt −1ut ) = β 2 E (Yt − 2 ut ) + ρ E (ut2−1 ) + E (ε t ut −1 ) E (Yt −1ut ) − β 2 E (Yt − 2 ut ) = ρσ u2 ( ) E (Yt −1ut ) − β 2 E Yt − 2 ( ρ ut −1 + ε t ) = ρσ u2 E (Yt −1ut ) − ρβ 2 E (Yt − 2 ut −1 ) − β 2 E (Yt − 2 ε t ) = ρσ u2 E (Yt −1ut ) − ρβ 2 E (Yt −1ut ) = ρσ u2 (1 − ρβ ) E (Y 2 t −1 t u ) = ρσ u2 ρσ u2 E (Yt −1ut ) = (1 − ρβ ) 2como Yt −1 depende de ut −1 a través del modelo, pero ut −1 y ut están relacionados con laestructura autoregresiva del término de error. En consecuencia Yt −1 y ut están correlacionados;por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados es sesgado. Sabemos que: T Yt −1ut 2 p lim T ~ ( p lim β2 MCO = β2 +) T Yt 2 1 − 2 p lim Ty si los momentos muestrales convergen en probabilidad a sus análogos poblacionales, elnumerador y el denominador son diferentes de cero; por lo tanto, el estimador de mínimoscuadrados no es consistente. Es decir, el sesgo no desaparece al aumentar el tamaño muestral. El procedimiento para obtener estimaciones consistentes de un modelo de este tipo seconoce como estimador de variables instrumentales. Una variable instrumental es una variable Z t que satisface tres condiciones:1º No está incluida en el modelo como variable explicativa.
  21. 21. 202º Está incorrelacionada con el término de error E ( Z t ut ) = 0 . ( )3º Está correlacionada con la variable para la cual hace de instrumento. En cuanto a la correlación que debe existir entre una variable instrumental y la variableexplicativa para la que se utiliza, como instrumento, cabe observar lo siguiente:1º Es importante que dicha correlación exista, porque la variable instrumental sustituye parcialmente a la variable endógena rezagada en la estimación del modelo econométrico.2º Dicha correlación no puede ser muy importante, sino también existiría una correlación apreciable entre la variable instrumental y el término de error (esto motivó la necesidad de la variable instrumental). El primer retardo de la variable exógena ( X t −1 ) satisface estas tres condiciones,también podría utilizarse el segundo retardo ( X t −2 ) como variable instrumental; la diferenciaes que la relación entre esta variable y Yt −1 se hace más indirecta. En general, en el vector X tan sólo habrá unas variables que no satisfagan la condiciónE ( Xu) = 0 , y son estas variables las que necesitan de variables instrumentales. Es decir, losvectores X y Z tendrán en común aquellas variables que están incorrelacionadas con el términode error. El estimador de variables instrumentales viene dado: ~ βVI = ( Z ′X ) −1 Z ′Ydonde Z denota la matriz T x K de observaciones muestrales de las variables que componen elvector Z y suponemos que Z ′X es invertible. Para el ejemplo: [ X = 1 Yt −1 Xt ] [ Z = 1 X t −1 Xt ]el estimador de variables instrumentales es: T T −1 T ~ T−1 Yt −1 Xt Yt β1 T T 2 T 2 T 2 ~ β2 = X t −1 X t −1Yt −1 X t X t −1 X t −1Yt ~ 2 2 2 2 β3 VI T T T T Xt X t Yt −1 X t2 X t Yt 2 2 2 2la matriz Z ′X dista de ser simétrica. El estimador de variables instrumentales del modelo, en general, es sesgado porque lavariable Yt −1 aparece en la matriz Z ′X ; pero el estimador es consistente bajo las condicionesde la proposición siguiente:
  22. 22. 21 Sea Z una matriz T x K de observaciones de las variables Z1 , Z 2 ,..., Z K , quizáaleatorias. Sea Zt′ la fila t de Z y supongamos que se tiene: E ( Z t′u) = 0 K ∀t Z ′X Z ′Z p lim = ZX , p lim = ZZ T Tambas matrices son singulares y finitas, entonces tenemos: −1 −1 ~ Z ′X Z ′u Z ′X Z ′u ( ) p lim βVI = β + p lim T T = β + p lim T p lim Treemplazando por los supuestos nos da: ~ ( ) p lim βVI = β + −1 ZX 0K = β ~la consistencia de βVI proviene de la ausencia de correlación entre instrumentos y término deerror, con independencia de que éste tenga o no autocorrelación. ~ En ausencia de autocorrelación, podemos caracterizar la distribución asintótica de βVIde la forma siguiente: Dado el modelo Yt = X t′β + ut , donde X t es el vector de variables explicativas, quepuede incluir algunos retardos de la variable endógena, y ut , el término de error es un ruidoblanco, sea X la matriz T x K de observaciones de las variables Z1 , Z 2 ,..., Z K , y supongamosque: E ( Z t′u) = 0 K ∀t Z ′X p lim = ZX simetrica , definida positiva T Z ′Z p lim = ZZ no sin gular Tel teorema de Mann - Wald asegura que bajo los tres supuestos mencionados se tiene: Z ′u Z ′u p lim = 0K y ≈ N (0 K , σ u2 ZZ ) T Ty como:
  23. 23. 22 −1 ~ Z ′X Z ′u ( T βVI − β = T ) Tconverge en distribución a: ~ ( T βVI − β ≈ ) ( ) N (0 ZX −1 K 2 ,σ u ZZ ) ~ ′ T (β VI − β ) ≈ N 0 ,σ K 2 u −1 ZX ZZ ( −1 ZX ) 2 ~ σ ′ βVI ≈ N β , T u −1 ZX ZZ ( −1 ZX ) Por lo tanto, este resultado justifica que en muestras grandes se utilice como matriz decovarianzas del estimador de variables instrumentales: σ u2 ′ Var βVI = ( )~ T ( −1 ZX ) ZZ [( ZX ) −1 ] Z ′X Z ′Zy se utiliza las matrices de momentos muestrales , para aproximar sus límites T Trespectivos de ZX , ZZ ; reemplazando nos da: −1 −1 σ u2 ~ ( ) Var βVI = T Z ′X T Z ′Z T Z ′X T −1 = σ u ( Z ′X ) ( Z ′Z ) ( Z ′X ) 2 −1 [ ]′ 2 El parámetro σ u se estimaría dividiendo la suma residual por el número de grados delibertad ( T-K ). Los residuos deben calcularse utilizando las variables originales del modelo,es decir: ~ σ u2 = (Y − Xβ )′ (Y − Xβ ) ~ ~ VI VI T− K Este resultado no puede generalizarse fácilmente al caso en que el término de errortiene autocorrelación, por lo que suele utilizarse la matriz de covarianza anterior incluso en talcaso, aun a sabiendas que no es sino una aproximación. Se ha presentado el estimador de variables instrumentales como si se dispusiese de unnúmero de instrumentos igual al número de variables explicativas, entonces no existe diferencia
  24. 24. 23entre instrumentos y variables instrumentales. Generalmente, se dispondrá de un número mayor de instrumentos que de variablesinstrumentales, situación que se denomina " sobreidentificación"; por lo tanto, habría muchasformas de construir las variables instrumentales que precisamos para obtener consistencia. La matriz de covarianzas del estimador de variables instrumentales depende de losvalores de éstas, por lo que el modo en que los instrumentos se “combinan” para generarvariables instrumentales influye sobre la eficiencia de un estimador de variables instrumentalesrespecto a otro estimador de su misma clase. Consideremos el modelo siguiente:en el que las variables , supuestos deterministas, están incorrelacionados conel término de error, y son instrumentos válidos. Pero sólo necesitamos una variable instrumentalpara , y se trataría de buscar cuál de todas las posibles minimiza la varianza del estimadorresultante. Además cualquier combinación lineal de losinstrumentos es asimismo un instrumento válido. Una posibilidad consiste en generar la variable instrumental que presente mayorcorrelación con Yt −1 , entonces estimamos una regresión auxiliar de esta variable sobre los tres ~instrumentos de que disponemos, para obtener la variable generada Yt −1 , que será unacombinación lineal de X 1t −1 , X 2 t −1 y X 3t −1 y, como tal, una variable instrumental válida. ~ La utilización del vector Z t′ = (Yt −1 , X 1t , X 2 t , X 3t ) genera el denominado estimador de (~mínimos cuadrados en dos etapas β MC 2 E . ) El estimador de mínimos cuadrados bietápicos es el estimador lineal de variablesinstrumentales eficiente, en el sentido de tener mínima matriz de covarianza entre losestimadores que utilizan como variables instrumentales combinaciones lineales de losinstrumentos disponibles. La aplicación del método de mínimos cuadrados bietápicos requiere los siguientespasos:1º Estimar una regresión auxiliar de sobre los tres instrumentos de que ~ disponemos, para obtener la variable predicha Yt −1 , que será una combinación lineal de y, como tal, es una variable instrumental válida. ~2º Se sustituye en el modelo original por Yt −1 y se estima el modelo transformado
  25. 25. 24 por mínimos cuadrados ordinarios.EJEMPLO 3: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1 IPDt + α 2 GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000 ========================================================= R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095 Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888850 Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297. Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000 ========================================================= para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuado debemos verificar autocorrelación: h de Durbin: H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden . se estima el rho: DW 17096162998 . ρ = 1− = 1− = 0145191850101 . 2 2 se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la forma siguiente: 148 h = 0145191850101 . = 1852993577 . > 1645 . 1 − 148( 0.000617205200589) Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula
  26. 26. 25Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1Included observations: 148==============================================================Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|* | .|* | 1 0.145 0.145 3.1700 0.075 .|* | .|* | 2 0.168 0.150 7.4631 0.024==============================================================m=1se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148(01452 ) = 3106615 . . < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148(01452 + 0168 2 ) = 7.285250 . . > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nulaBreusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 3.191138 Probability 0.076143Obs*R-squared 3.208674 Probability 0.073249=========================================================
  27. 27. 26se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 3.208674 < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 3.412127 Probability 0.035678Obs*R-squared 6.741162 Probability 0.034370=========================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 6.741162 > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula. Concluimos que mínimos cuadrados ordinarios no es el método de estimaciónadecuado y debemos aplicar el método de variables instrumentales de la siguiente forma: Primero creamos los grupos y a continuación se convierten en matrices, tenemos losgrupos siguientes: G1 = [ 1 IPD GCP(-1) ] ≡ X G2 = [ GCP ] ≡ Y G3 = [ 1 IPD IPD(-1) ] ≡ Z Obtenemos el estimador de los coeficientes de variables instrumentales, así: ~ α0 − 4.191603 ~ ~ −1 αVI = α1 = ( Z ′X ) Z ′Y = 0.298547 ~ α2 0.686558a continuación se calcula el estimador de la varianza de la perturbación, de la siguientemanera: ~ σ u2 = (Y − Xβ )′ (Y − Xβ ) = 165.4665 ~ VI ~ VI 148 − 3
  28. 28. 27ahora se estima la varianza de los estimadores de variable intsrumental, así: 6.861411 − 0.093411 0101153 . ~ ( ) Var βVI ~ 2 ( Z ′X ) −1 ( Z ′Z )( Z ′X ) −1 = − 0.093411 0.002198 − 0.002403 = σu 0101153 . − 0.002403 0.002628con esta información podemos calcular el t estadístico para cada estimador de variableinstrumental, de la forma siguiente: tα 0 ~ ~ - 1.60019686721 αi t αVI = t α 1 = ~ ~ = 6.36810211651 tα 2 ~ VAR(α i ) 13.3934789812EJEMPLO 4: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1 IPDt + α 2 Rt + α 3GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1959:2 1996:1Included observations: 148 after adjusting endpoints========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.========================================================= C 2.046243 2.649849 0.772211 0.4413 IPD 0.214902 0.032202 6.673643 0.0000 R -0.495999 0.517889 -0.957733 0.3398 GCP(-1) 0.778189 0.035086 22.17975 0.0000=========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192S.E. of regression 12.00548 Akaike info criteri 7.835259Sum squared resid 20754.96 Schwarz criterion 7.916265Log likelihood -575.8092 F-statistic 735778.3Durbin-Watson stat 1.679188 Prob(F-statistic) 0.000000=========================================================para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuadodebemos verificar autocorrelación:
  29. 29. 28h de Durbin: H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden .se estima el rho: DW 1..67918769606 ρ = 1− = 1− = 0160406151972 . 2 2se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la formasiguiente: 148h = 0160406151972 . = 2.15786848852 > 1645 . 1 − 148( 0.00123099578102)Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals===========================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148===========================================================Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob=========================================================== .|* | .|* | 1 0.160 0.160 3.8730 0.049 .|* | .|* | 2 0.180 0.158 8.8008 0.012===========================================================m=1se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: 2 QBP = 148(016) = 3.7888 . < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: ( . . ) QBP = 148 ( 016) + 018 2 = 8.591901 2 > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.
  30. 30. 29Breusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 4.321373 Probability 0.039423Obs*R-squared 4.341279 Probability 0.037199=========================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 4.341279 > 384 .Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nulam=2se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 4.734702 Probability 0.010219Obs*R-squared 9.252508 Probability 0.009791=========================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 9.252508 > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula. La estimación de mínimos cuadrados ordinarios presenta autocorrelación y el modelotiene dos variables exógenas, entonces el método adecuado es mínimos cuadrados en dosetapas. En el Eviews escribimos el comando siguiente: TSLS GCP C IPD R GCP(-1) @ C IPD IPD(-1) R R(-1)se obtiene del Eviews:
  31. 31. 30 Dependent Variable: GCP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints Instrument list: C IPD IPD(-1) R R(-1) ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 1.645073 2.834786 0.580316 0.5626 IPD 0.194944 0.059191 3.293451 0.0012 R -0.269375 0.765920 -0.351701 0.7256 GCP(-1) 0.799938 0.064501 12.40185 0.0000 ========================================================= R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.02149 Sum squared resid 20810.34 F-statistic 733707.8 Durbin-Watson stat 1.711471 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================3. VARIABLE EXÓGENA REZAGADA Si el modelo es del tipo: Yt = β1 + β 2 X 2 t + β 3 X 2 t −1 + ...+ β S X 2 t − S + ut no se incumplen las hipótesis básicas del modelo lineal general, porque las distintas variables explicativas del modelo de regresión son todas deterministas. En este modelo aparecen tan sólo dos posibles dificultades: 1º Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionados entre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable. Cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de X t , más importante será la presencia de alto grado de multicolinealidad. 2º Cuando la estructura de retardos es de orden infinito, entonces es imposible estimar directamente el modelo, porque no tendríamos observaciones suficientes para ello. Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricción entre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con un número reducido de variables explicativas. En la formación de expectativas, otros modelos utilizan el total de la historia, asignando pesos específicos que decrecen a los valores anteriores, a medida que se retrocede hacia el pasado distante. Estos se conocen como modelos de expectativas de rezagos distribuidos.
  32. 32. 31 Las posibles soluciones al problema de estimación en presencia de variables exógenas retardadas son los siguientes: 1º Utilizar estimadores adecuados en el caso de multicolinealidad severa (ESTIMADORES CRESTA). β ( k ) = ( X X + kI ) −1 X Y ˆ 2º Elaborar una única variable transformada, por ejemplo: r r r r Zt = X t −i Zt = X t −i /( r + 1) Zt = pi X t − i pi i =0 i =0 i =0 i =0 3º Estimar con distribuciones de retardos. Yt = α * W ( L ) X t + et Wt = ω 0 + ω1 L + ω 2 L2 + ω 3 L3 + ... + ω r Lr3.1. RETARDOS FINITOS Consideremos el siguiente modelo de Demanda de saldos reales: el mecanismo de expectativas adaptativas es: también se puede expresar de la siguiente forma: K * π t +1 = γ i π t −i i=0 Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valores rezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignan a estos valores pasados. El modelo de rezago distribuido finito se obtiene sustituyendo la ecuación de ajuste de expectativas en el modelo original, el resultado es el siguiente:
  33. 33. 32 multiplicando y simplificando se obtiene: en términos de sumatoria sería: K K K Mt = β1 + β 2 γ i π t −i + ut = β1 + β 2γ i π t −i + ut = β1 + β i*π t −i + ut Pt i =o i =o i =o Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionados entre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable; por lo tanto, cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de , más importante será la presencia de alto grado de multicolinealidad. Existen planteamientos alternativos de distribuciones de retardos finitos, por ejemplo: 1º Aritmética: r W ( L) = ( r + 1 − i ) Li i =0 2º V Invertida: s −1 r i W ( L) = (1 + i ) L + ( r + 1 − i ) Li con s = r / 2 i =0 i=s 3º Almon: r W ( L) = (γ 0 + γ 1i + γ 2i 2 + ... + γ q i q ) Li i =0 4º Shiller: rW ( L) = (γ 0 + γ 1i + γ 2i 2 + ... + γ q i q + υ i ) Li con υ i ≈ N (0, σ 2υ ) i =0
  34. 34. 335º Armónicas: q 2πW ( L) = β + ( Ak sen θ kj + Bk cos θ kj ) Li con θ kj = k. j k =0 n +1 Consideraremos a Almon que generalizó para el caso en que sigue un polinomiode grado r en i. Esto se conoce como rezago de Almon o polinomial. Se denota como PDL(K, r), donde PDL significa una distribución polinomial de rezagos, K es la longitud derezagos y r es el grado del polinomio. Por ejemplo, si r = 2, escribimos: Sustituyendo el PDL en el modelo transformado, se obtiene:definiendo:reemplazando en el modelo anterior, nos queda:se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene los estimados de , luegoa partir del polinomio se calcula los valores de . Al reducir el número de parámetros a estimar, se simplifica el modelo original ydisminuye el riesgo de alto grado de multicolinealidad en el modelo auxiliar, aunque al seréste más restrictivo, cabe la posibilidad que el modelo resultante auxiliar no esté bienespecificado, lo que originaría sesgos en las estimaciones de sus parámetros. Aunque todos los desarrollos se han realizado considerando una sola variable exógena X tcon varios retardos, los polinomios anteriores se pueden aplicar a estructuras más complejasde retardos distribuidos en distintas variables exógenas y en la endógena. Los rezagos polinomiales suponen tres tipos de problema:1º Problemas de distribuciones de cola prolongada.- es difícil captar distribuciones de retardo de colas prolongadas, como la que se observa en el gráfico.
  35. 35. 34 Para resolver este problema puede utilizarse un polinomio por tramos, o bien un polinomio para la inicial y un rezago de Koyck o geométrico para la última parte.2º Problema en la elección de la longitud del retardo K.- Schmidt y Waud sugieren escoger K con base en la máxima: Frost efectuó una simulación experimental utilizando este criterio y descubrió un importante sesgo hacia arriba en la longitud del rezago. Por lo tanto, para corregir el sesgo Frost sugiere utilizar relaciones F mayores que 1, es decir, F = 2.3º Problemas para escoger r, el grado del polinomio.- Si se especifica en forma correcta la longitud K del rezago, entonces lo que se hace es iniciar con un polinomio de grado lo suficientemente alto (cuarto o quinto grado) e ir hacia atrás (forma secuencial) hasta rechazar la hipótesis nula (no significancia).EJEMPLO 5: Especificamos la función consumo siguiente: m GCPt = α + βi IPDt −i + ut i=0primero se elige el retardo óptimo, estimando por mínimos cuadrados ordinarios la funciónconsumo con cero retardos, un retardo, dos retardos y así sucesivamente; finalmenteelegimos la mejor estimación. mediante los criterios de información. En el Eviews se escribe los comandos siguientes: LS GCP C IPD LS GCP C IPD IPD(-1) LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3)
  36. 36. 35 LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3) IPD(-4) ............................................................. De las estimaciones de Eviews construimos el siguiente cuadro: ================================================ 2 M T R AKAIKE SCHWARZ ================================================ 0.000000 148.0000 0.999459 9.916938 9.957441 1.000000 148.0000 0.999550 9.739763 9.800517 2.000000 147.0000 0.999595 9.640053 9.721425 3.000000 146.0000 0.999625 9.568611 9.670790 4.000000 145.0000 0.999656 9.489712 9.612887 5.000000 144.0000 0.999687 9.399949 9.544315 6.000000 143.0000 0.999712 9.323912 9.489665 7.000000 142.0000 0.999728 9.270235 9.457576 8.000000 141.0000 0.999739 9.236198 9.445330 9.000000 140.0000 0.999744 9.221678 9.452807 10.00000 139.0000 0.999755 9.185458 9.438794 11.00000 138.0000 0.999768 9.136352 9.412107 12.00000 137.0000 0.999772 9.122193 9.420585 13.00000 136.0000 0.999779 9.097349 9.418598 14.00000 135.0000 0.999786 9.072103 9.416432 15.00000 134.0000 0.999789 9.063944 9.431580 16.00000 133.0000 0.9998067 8.978877 9.370052 17.00000 132.0000 0.9998066 8.984089 9.399037 18.00000 131.0000 0.999804 9.003127 9.442089 19.00000 130.0000 0.999801 9.023694 9.486911 20.00000 129.0000 0.999797 9.045514 9.533234 ===============================================elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado, el menor Akaike y el menor Schwarz. Se aplica el polinomio de retardos distribuidos y se estima por mínimos cuadradosordinarios, empezamos el proceso utilizando un polinomio de grado alto (sexto grado); y severifica si el coeficiente correspondiente a este grado es significativo. Si no lo es, entonces disminuimos un grado el polinomio y se vuelve a verificar lasignificancia. Si lo es, entonces esa es la estimación adecuada. El comando para estimar es: LS GCP C PDL(IPD, 16, 6)el eviews nos muestra el resultado siguiente:
  37. 37. 36Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -6.339855 3.600894 -1.760634 0.0807 PDL01 -0.012270 0.030316 -0.404748 0.6864 PDL02 -0.005282 0.013266 -0.398128 0.6912 PDL03 0.009811 0.009862 0.994854 0.3217 PDL04 0.000367 0.000950 0.386271 0.7000 PDL05 -0.000659 0.000472 -1.396955 0.1649 PDL06 -9.23E-06 1.30E-05 -0.709186 0.4795 PDL07 9.78E-06 5.33E-06 1.832573 0.0692================================================== Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 07 = 0 t β PDL 07 = 1832573 < t( 0.95,125) = 1979124 . . Por lo tanto, no es significativo. Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cinco del polinomio. El comando para estimar es: LS GCP C PDL(IPD, 16, 5)el eviews nos muestra el resultado siguiente:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -6.050610 3.630943 -1.666402 0.0981 PDL01 0.034509 0.016505 2.090798 0.0386 PDL02 -0.008626 0.013262 -0.650385 0.5166 PDL03 -0.007747 0.002358 -3.286186 0.0013 PDL04 0.000644 0.000946 0.680622 0.4974 PDL05 0.000202 4.09E-05 4.943113 0.0000 PDL06 -1.32E-05 1.30E-05 -1.016531 0.3113==================================================
  38. 38. 37 Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 06 = 0 t β PDL 06 = − 1016531 < t( 0.95,126) = 19789706 . . Por lo tanto, no es significativo. Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cuarto del polinomio. El comando para estimar es: LS GCP C PDL(IPD, 16, 4)el eviews nos muestra el resultado siguiente:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints========================================================= Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.========================================================= C -5.808098 3.623573 -1.602865 0.1114 PDL01 0.035690 0.016467 2.167386 0.0321 PDL02 0.003547 0.005701 0.622171 0.5349 PDL03 -0.007954 0.002349 -3.386001 0.0009 PDL04 -0.000308 0.000135 -2.278716 0.0244 PDL05 0.000206 4.08E-05 5.052374 0.0000=========================================================R-squared 0.999819 Mean dependent var 2025.369Adjusted R-squared 0.999812 S.D. dependent var 1456.228S.E. of regression 19.97692 Akaike info criterion 8.871096Sum squared resid 50682.82 Schwarz criterion 9.001487Log likelihood -583.9279 F-statistic 140257.9Durbin-Watson stat 0.484322 Prob(F-statistic) 0.000000========================================================= Lag Distribution of IPD i Coefficie Std. Error T-Statistic============================================================ . *| 0 0.49948 0.04026 12.4056 . * | 1 0.22122 0.01176 18.8102 .* | 2 0.06149 0.01836 3.34862 *. | 3 -0.01368 0.02152 -0.63571 *. | 4 -0.03333 0.01861 -1.79085
  39. 39. 38 *. | 5 -0.02154 0.01451 -1.48436 * | 6 0.00254 0.01370 0.18539 * | 7 0.02470 0.01553 1.59095 .* | 8 0.03569 0.01647 2.16739 .* | 9 0.03118 0.01536 2.03015 * | 10 0.01180 0.01400 0.84292 *. | 11 -0.01689 0.01589 -1.06299 *. | 12 -0.04438 0.02046 -2.16924*. | 13 -0.05523 0.02297 -2.40470 *. | 14 -0.02903 0.01876 -1.54705 .* | 15 0.05954 0.01324 4.49886 . * | 16 0.24077 0.04599 5.23524============================================================ Sum of Lags 0.97433 0.00304 320.727============================================================ Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 05 = 0 t β PDL 05 = 5.052374 < t( 0.95,127 ) = 19788195347 . Por lo tanto, es significativo. La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente: GCPt = −5808098244 + 0.4994778688 IPDt + 0.221219823IPDt −1 . + 0.06149146821IPDt − 2 − 0.01368081228 IPDt − 3 − 0.0333281558 IPDt − 4 − 0.02153941711IPDt −5 + 0.00253887094 IPDt − 6 + 0.02470249744 IPDt − 7 + 0.03568957339 IPDt −8 + 0.03118053171IPDt − 9 + 0.01179812725IPDt −10 − 0.01689256324 IPDt −11 + 0.04438414106 IPDt −12 − 0.0552268856 IPDt −13 − 0.02902875434 IPDt −14 + 0.05954461717 IPDt −15 + 0.2407699153IPDt −16EJEMPLO 6: Especificamos la función consumo siguiente: m GCPt = α 0 + α 1 Rt + β i IPDt −i + ut i =0se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior.
  40. 40. 39 Determinamos el retardo óptimo: ================================================ 2 M T R AKAIKE SCHWARZ ================================================ 0.000000 148.0000 0.999708 9.307039 9.367793 1.000000 148.0000 0.999729 9.240432 9.321438 2.000000 147.0000 0.999726 9.256498 9.358214 3.000000 146.0000 0.999724 9.270765 9.393379 4.000000 145.0000 0.999724 9.275053 9.418758 5.000000 144.0000 0.999730 9.258455 9.423444 6.000000 143.0000 0.999735 9.245726 9.432199 7.000000 142.0000 0.999739 9.236356 9.444513 8.000000 141.0000 0.999744 9.225159 9.455204 9.000000 140.0000 0.999746 9.222191 9.474332 10.00000 139.0000 0.999755 9.192085 9.466532 11.00000 138.0000 0.999767 9.147645 9.444613 12.00000 137.0000 0.999771 9.135508 9.455214 13.00000 136.0000 0.999777 9.111658 9.454324 14.00000 135.0000 0.999784 9.086885 9.452734 15.00000 134.0000 0.999787 9.078252 9.467514 16.00000 133.0000 0.9998052 8.993054 9.405961 17.00000 132.0000 0.9998051 8.998324 9.435112 18.00000 131.0000 0.999802 9.017919 9.478829 19.00000 130.0000 0.999799 9.038893 9.524168 20.00000 129.0000 0.999795 9.060936 9.570825 ===============================================elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado y el menor Akaike; si se considerará el criterio Schwarz el óptimo sería 1. Elección del grado de polinomio óptimo: El comando para estimar es: LS GCP C R PDL(IPD, 16, 6)el eviews nos muestra el resultado siguiente:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -8.162016 5.836322 -1.398486 0.1645 R 0.499054 1.255326 0.397550 0.6916
  41. 41. 40 PDL01 -0.010006 0.030947 -0.323329 0.7470 PDL02 -0.005299 0.013311 -0.398116 0.6912 PDL03 0.009571 0.009914 0.965390 0.3362 PDL04 0.000355 0.000954 0.372635 0.7101 PDL05 -0.000650 0.000474 -1.371854 0.1726 PDL06 -8.85E-06 1.31E-05 -0.676314 0.5001 PDL07 9.67E-06 5.36E-06 1.804222 0.0736================================================== Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 07 = 0 t β PDL 05 = 1804222 < t( 0.95,124 ) = 19792801166 . . Por lo tanto, el coeficiente del grado sexto del polinomio no es significativo,entonces estimamos el modelo considerando un polinomio de quinto grado y los resultadosdel Eviews son:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -8.290242 5.888299 -1.407918 0.1616 R 0.612332 1.265014 0.484052 0.6292 PDL01 0.036662 0.017143 2.138648 0.0344 PDL02 -0.008603 0.013303 -0.646677 0.5190 PDL03 -0.007808 0.002368 -3.297102 0.0013 PDL04 0.000626 0.000950 0.659165 0.5110 PDL05 0.000202 4.11E-05 4.912057 0.0000 PDL06 -1.27E-05 1.30E-05 -0.970754 0.3335================================================== Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 06 = 0 t β PDL 06 = − 0.970754 < t( 0.95,125) = 197912410942 . Por lo tanto, no es significativo. El coeficiente del grado quinto del polinomio no es significativo, entonces estimamosel modelo considerando un polinomio de cuarto grado y los resultados del Eviews son:
  42. 42. 41 Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.423679 5.885348 -1.431297 0.1548 R 0.712117 1.260543 0.564929 0.5731 PDL01 0.038139 0.017071 2.234169 0.0272 PDL02 0.003023 0.005791 0.521900 0.6027 PDL03 -0.008015 0.002358 -3.399155 0.0009 PDL04 -0.000286 0.000141 -2.024389 0.0450 PDL05 0.000205 4.09E-05 5.015150 0.0000 ================================================== Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de la forma siguiente: H0 : β PDL 05 = 0 t β PDL 05 = 5.01515 < t ( 0.95,126) = 197897060199 . Por lo tanto, es significativo. La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente: GCPt = −8.423678855 + 0.7121166325Rt + 0.4874192342 IPDt + 0.214724703IPDt −1 + 0.05901103723IPDt − 2 − 0.01343158555IPDt − 3 − 0.03139067077 IPDt − 4 − 0.01873140654 IPDt −5 + 0.005603336277 IPDt − 6 + 0.02759300405IPDt − 7 + 0.03813936043IPDt −8 + 0.03306648629 IPDt − 9 + 0.01312077977 IPDt −10 − 0.01602904374 IPDt −11 − 0.04379195161IPDt −12 − 0.05465459393IPDt −13 − 0.02818130358 IPDt −14 + 0.06098590386 IPDt −15 + 0.24312733IPDt −163.2. RETARDOS INFINITOS Consideremos el modelo de Demanda de saldos reales: el mecanismo de expectativas adaptativas es:
  43. 43. 42en forma de sumatoria se expresa: ∞ * π t +1 = γ i π t −i i=0cuando el número de retardos es infinito es imposible estimar directamente el modelo,porque no tendríamos observaciones suficientes para ello. Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valoresrezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignana estos valores pasados. Los modelos de rezago distribuido recibieron mayor atención en la década de 1950,cuando Koyck, Cagan y Nerlove sugirieron utilizar una distribución infinita de rezagos, conpesos específicos que se reducen en forma geométrica. Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricciónentre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con un númeroreducido de variables. Algunos planteamientos alternativos de distribuciones de retardos infinitos son:1º Geométrica: 1− λ W ( L) = 1 − λL2º Pascal: (1 − λ ) r W ( L) = con r entero y positivo (1 − λL) r3º Racional: U ( L) W ( L) = con U ( L ) y V ( L ) polinomios de gra do m y n V ( L)4º Gamma:

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