Ejercicios resueltos-ecuaciones-primer-grado

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Ejercicios resueltos-ecuaciones-primer-grado

  1. 1. Titulo: EJERCICIOS CON ECUACIONES DE PRIMERGRADO CON DOS INCOGNITASAño escolar: 4to. año de bachilleratoAutor: José Luis Albornoz SalazarOcupación: Ing Civil. Docente UniversitarioPaís de residencia: VenezuelaCorreo electrónico: martilloatomico@gmail.com El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección : martilloatomico@gmail.com Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y se le enviará resuelto a la suya.
  2. 2. Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución detodo el problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puedeser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego lasfacultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar elencanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a unaedad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual eimprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter. Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica sutiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos elinterés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando suoportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnosplanteándoles problemas adecuados a sus conocimientos, y los ayuda a resolverlospor medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por elpensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello. Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemáticas tienetambién una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro está,si ve las matemáticas como una materia de la que tiene que presentar unexamen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. Puededescubrir, sin embargo, que un problema de matemáticas puede ser tanto o másdivertido que un crucigrama. Habiendo degustado el placer de las matemáticas, yano las olvidará fácilmente, presentándose entonces una buena oportunidad paraque las matemáticas adquieran un sentido para él, ya sean como un pasatiempo ocomo herramienta de su profesión, o su profesión misma o la ambición de su vida. G. POLYA
  3. 3. INTRODUCCIÓN 1) Escribir la suma de A y B. A+B 2) Compro X libros por Bs m. ¿Cuánto me costó cada libro?. ÁLGEBRA es la rama de la Matemática que estudia la cantidadconsiderada del modo más general posible. Bs (m / X ) 3) Tenía Bs 9 y gasté Bs X. ¿Cuánto me queda? El concepto de la cantidad en Álgebra es mucho más amplio que Bs ( 9 – X )en Aritmética. 4) Escriba la diferencia entre m y n. m–n En Aritmética las cantidades se representan por números y éstos 5) Debía X bolívares y pagué 6. ¿Cuánto debo?expresan valores determinados. Así, 20 expresa un solo valor: veinte; Bs ( X – 6 )para expresar un valor mayor o menor que éste habrá que escribir un 6) De una jornada de X kilómetros se han recorrido m kilómetros.número distinto de 20. ¿Cuánto falta por recorrer? ( X – m ) km. En Álgebra, para lograr la generalización, las cantidades serepresentan por medio de letras, las cuales pueden representar todos 7) Siendo X un número entero, escriba los dos números enteroslos valores. Así, “a” representa el valor que nosotros le asignemos, y consecutivos posteriores.por lo tanto puede representar 20 o más de 20 o menos de 20, a X + 1, X+2nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema 8) Siendo X un número entero, escriba los dos números enterosasignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede consecutivos anteriores.representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos X - 1, X – 2asignado. 9) Siendo Y un número entero par, escriba los tres números pares consecutivos posteriores. Los símbolos usados en Álgebra para representar las cantidades Y + 2, Y + 4, Y + 6son los números y las letras. 10) Jaimito tenía Bs A, cobró Bs X y le regalaron Bs m. ¿Cuánto tiene Jaimito? Los números se emplean para representar cantidades conocidas y Bs ( A + X + m )determinadas. 11) Arturo tenía Bs X, ganó Bs 9 y pagó Bs Y ¿Cuánto tiene Artturo? Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya Bs ( X + 9 – Y )sean conocidas o desconocidas. 12) Al vender un carro en Bs X gané Bs 300.000 ¿Cuánto me costó el carro? Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos Bs ( X – 300.000)por medio de comillas ( a’, a´´,a’’’) o también por medio de subíndices 13) Si han transcurrido X días de un año. ¿Cuántos días faltan por( X1, X2, X3 ). transcurrir? ( 365 – X ) días. Con las cantidades algebraicas, representadas por letras, se pueden 14) Si un pantalón cuesta $ b ¿Cuánto costarán 8 pantalones; 15hacer las mismas operaciones que con los números aritméticos. pantalones; X pantalones.? $ 8b; $ 15b; $ XbEjemplos: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -1- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -2-
  4. 4. Para que el alumno tenga una visión mas profunda del Álgebra me Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no quedapermito recomendar la lectura y análisis del capítulo “PRELIMINARES” más que resolver la última ecuación. ( Capital inicial X = ₤ 1.120 ,oo)( página 5 hasta página 39 ) del reconocido libro “ÁLGEBRA DEAURELIO BALDOR”, de donde han sido extraídos los enunciados de LA VIDA DE DIOFANTOlos problemas que se resuelven en esta guía para estudiantes. La vida ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos El idioma del álgebra es la ecuación. “Para resolver un esta inscripción:problema referente a números o relaciones abstractas decantidades, basta con traducir dicho problema, del inglés u otra En la lengua vernácula: En el idioma del álgebra:lengua al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en su manual ¡CAMINANTE! AQUÍ FUERONde álgebra titulado: Aritmética Universal.. Isaac Newton SEPULTADOS LOS RESTOS DE DIOFANTO. Y LOS NÚMEROSmostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He aquí uno PUEDEN MOSTRAR, ¡OH, Xde ellos: MILAGRO!, CUÁN LARGA FUE SU VIDA. En la lengua En el idioma del álgebra CUYA SEXTA PARTE X Vernácula CONSTITUYÓ SU HERMOSA 6 INFANCIA. HABÍA TRANSCURRIDO Un comerciante tenía una ADEMÁS UNA DUODÉCIMA determinada suma de X X PARTE DE SU VIDA, CUANDO dinero DE VELLO CUBRIÓSE SU 12 BARBILLA El primer año se gastó 100 X – 100 Y LA SÉPTIMA PARTE DE SU X libras EXISTENCIA TRANSCURRIÓ EN 7 UN MATRIMONIO ESTÉRIL. Aumentó el resto con un (X-100) + X-100 = 4X – 400 PASÓ UN QUINQUENIO MÁS Y tercio de éste LE HIZO DICHOSO EL 5 3 3 NACIMIENTO DE SU PRECIOSO PRIMOGÉNITO. Al año siguiente volvió a QUE ENTREGÓ SU CUERPO, gastar 100 libras 4X – 400 - 100 = 4X - 700 SU HERMOSA EXISTENCIA, A X 3 3 LA TIERRA, QUE DURÓ TAN SOLO LA MITAD DE LA DE SU 2 Y aumentó la suma restante 4X – 700 + 4X – 700 = 16X - 2.800 PADRE en un tercio de ella 3 3 9 Y EN PROFUNDA PENA 3 DESCENDIÓ A LA SEPULTURA, X=X+ X +X+5+X+4 HABIENDO SOBREVIVIDO 6 12 7 2 CUATRO AÑOS AL DECESO DE Llegando así su capital a 16X - 2.800 = 3X SU HIJO. tres medios del inicial 9 2 Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -3- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -4-
  5. 5. Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, X = 84, Se recomienda a los estudiantes que en todos los ejercicios que seconocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los propongan resolver, sigan los cinco (5) pasos indicados y de esa21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84. manera notarán lo útil que resultan. Para resolver cualquier problema con las herramientas Es bueno recordar que existen tres métodos para resolver undel Álgebra se recomienda seguir los siguientes pasos: sistema de ecuaciones, a saber, el método de igualación, el método de sustitución (utilizado en el ejercicio # 1 de este trabajo) y el método de reducción (utilizado en el ejercicio # 2). 1.- Identificar el problema ( Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver ). Para aclarar cualquier duda sobre sistemas de ecuaciones consulte las páginas 321, 322, 323, 340 y 341 del “Álgebra de Baldor”. 2.- Identificar las incógnitas ( Asignar letras a las cantidades desconocidas ). Con la hoja de cálculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de ecuaciones utilizando una de sus herramientas 3.- Expresar el problema en lenguaje algebraico llamada SOLVER. ( Construir ecuaciones utilizando números para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras serán las indicadas en el paso anterior ). 4.- Resolver el problema ( Resolver la ecuación o sistema de ecuaciones ). 5.- Comprobar los resultados ( introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen). Partiendo de la premisa que el interés primordial de este trabajo esel de ayudar metodológicamente a los estudiantes, se hará énfasisespecial en el segundo y tercer paso (Identificar las incógnitas yExpresar el problema en lenguaje algebraico) y se indicarán losresultados, dejando la posibilidad de que el usuario “practique” lasecuencia de resolución en algunos ejercicios. De la misma forma,algunas veces, se dejarán en blanco los pasos 1 y 5 para que elestudiante se ejercite. Lo que se quiere transmitir es que la “esencia” para resolver unproblema en Álgebra está representada en identificar las incógnitas ysaber expresarlo en lenguaje algebraico. La herramienta pararesolverlo puede ser manual o en computadora (el resultado será elmismo) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -5- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -6-
  6. 6. EJERCICIO # 1 EJERCICIO # 2La suma de dos números es 106 y el La suma de dos números es 540 y sumayor excede al menor en 8. Hallar los diferencia es 32. Hallar los números.números. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos números conociendo elIDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar dos números conociendo el producto de su suma y su diferencia.producto de su suma y la diferencia de valor entre ambos. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número mayor. X = Número menor. Y = Número menor. Y = Número mayor. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La suma de dos números es 540:La suma de dos números es 106: X + Y = 540 (1) X + Y = 106 (1) La diferencia de estos mismos números es 32:El número mayor excede al menor en 8: X – Y = 32 (2) Y=X+8 (2) RESOLVER EL PROBLEMA:RESOLVER EL PROBLEMA: Sumando estas dos ecuaciones:Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) X + Y = 540 X + (X+8) = 106 ; X + X + 8 = 106 X – Y = 32 2X = 5722X = 106 – 8 ; 2X = 98 ; X = 98 / 2 X = 49 X = 572 / 2 ; X = 286Si X = 49 y Y=X+8 ; Y = 49 + 8 Si X = 286 y X + Y = 540 Y = 57 286 + Y = 540 ; Y = 540 – 286 ; Y = 254 Los dos números buscados son 57 y 49 Los números buscados son 286 y 254COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos números es 106,(49+57=106). El número mayor excede al menor en 8, (57=49+8). COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de dos números es 540, (286+254 = 540) y su diferencia es 32, (286-254 = 32) ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -7- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -8-
  7. 7. A + B = 1.154 EJERCICIO # 3 - A + B = - 506Entre A y B tienen $ 1.154 y B tiene 506 2B = 648menos que A. ¿Cuántos $ tiene cada B = 648 / 2 ; B = 324 y como A + B = 1.154uno?. A + 324 = 1.154 ; A = 1.154 – 324 ; A = 830IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Determinar la cantidad de $ que tienen dos COMPROBAR LOS RESULTADOS: Entre A y B tienen $ 1.154, (830 + 324 =personas conociendo la cantidad total y la diferencia de las dos 1.154) y B tiene 506 menos que A. (324 = 830 – 506). A tiene $830 y Bcantidades individuales. tiene $324IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Cantidad de $ que tiene A. EJERCICIO # 4 B = Cantidad de $ que tiene B. Dividir el número 106 en dos partes,EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: tales que la mayor exceda a la menorEntre A y B tienen $ 1.154: en 24. A + B = 1.154 (1)B tiene $ 506 menos que A: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: B = A - 506 (2) IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:RESOLVER EL PROBLEMA: X = Parte mayor.Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) Y = Parte menor.A + (A - 506) = 1.154 ; 2A = 1.154 + 506 EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Dividir el número 106 en dos partes: A = 1.660 / 2 ; A = 830 X + Y = 106 (1)Si A = 830 y B = A – 506 Tal que la mayor exceda a la menor en 24: B = 830 – 506 : B = 324 X = Y + 24 (2) RESOLVER EL PROBLEMA: También se puede resolver con un enfoque similar al ejercicio Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dosanterior, para lo cual podemos colocar en el lado izquierdo de la ecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1 y 2. Utiliceigualdad de la segunda ecuación a la variable “A” y después sumar las cualquiera de los dos métodos indicados en dichos ejercicios.dos ecuaciones. X = 65 ; Y = 41Como B = A – 506 ; - A + B = - 506 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -10- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -9-
  8. 8. Los dos números que cumplen con las condiciones del problemason 65 y 41 EJERCICIO # 6 Repartir $ 1.080 entre A y B de modoCOMPROBAR LOS RESULTADOS: Tome las dos ecuaciones de esteproblema y sustituya los valores X=65 , Y=41 . Verifique que las que A reciba 1.014 más que B.igualdades se cumplen. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: EJERCICIO # 5A tiene 14 años menos que B y ambas A = Cantidad de $ que le “tocan” a A.edades suman 56 años. ¿Qué edad B = Cantidad de $ que le “tocan” a B.tiene cada uno?. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Repartir $ 1.080 entre A y B: A + B = 1.080 (1)IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: De modo que A reciba 1.014 más que B: A = Edad de A. A = B + 1.014 (2) B = Edad de B. RESOLVER EL PROBL EMA:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos ecuaciones son muy parecidas a la del ejercicio 3. Utilice cualquiera deA tiene 14 años menos que B: los dos métodos indicados en dicho ejercicio. A = B - 14 (1)Ambas edades suman 56 años: A = 1.047 ; B = 33 A + B = 56 (2)RESOLVER EL PROBLEMA: “A” recibirá $ 1.047 y “B” recibirá $33 Note que al expresar el problema en lenguaje algebraico las dos COMPROBAR LOS RESULTADOS: Lea el enunciado del ejercicio y verifiqueecuaciones son muy parecidas a la de los ejercicios 1, 2 y 3. Utilice si con estos valores se cumple lo indicado.cualquiera de los dos métodos indicados en dichos ejercicios. A = 21 ; B = 35 EJERCICIO # 7 A tiene 21 años y B tiene 35. Hallar dos números enteros conse- cutivos cuya suma sea 103.COMPROBAR LOS RESULTADOS: Tome las dos ecuaciones de esteproblema y sustituya los valores A=21 , B=35 . Verifique que las IDENTIFICAR EL PROBLEMA:igualdades se cumplen. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -12- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -11-
  9. 9. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: RESOLVER EL PROBLEMA: X = Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo a X. X + X + 1 + X + 2= 204 ; 3X + 3= 204 ; X= 201 / 3EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: X = 67 ; (X + 1) = 68 ; (X + 2) = 69Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103: Los tres números buscados son 67, 68 y 69 COMPROBAR LOS RESULTADOS: 67 + 68 + 69 = 204 X + (X+1) = 103 (1)RESOLVER EL PROBLEMA:X + X + 1 = 103 ; 2X = 103 – 1 ; X = 102 / 2 EJERCICIO # 9 Hallar cuatro números enteros X = 51 ; (X + 1) = 52 consecutivos cuya suma sea 74. Los dos números buscados son 51 y 52 IDENTIFICAR EL PROBLEMA:COMPROBAR LOS RESULTADOS: 51 + 52 = 103. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo a X. EJERCICIO # 8 (X+2) = Número consecutivo a X + 1.Hallar tres números enteros (X+3) = Número consecutivo a X + 2.consecutivos cuya suma sea 204. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X + (X+1) + (X+2) + (X+3) = 74 (1) X = Cualquier número entero. (X+1) = Número consecutivo a X. RESOLVER EL PROBLEMA: (X+2) = Número consecutivo a X + 1. Trate de resolverlo atendiendo los pasos de los tres ejerciciosEXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: anteriores. X = 17 ; (X + 1) = 18Hallar tres números enteros consecutivos cuya suma sea 204: (X + 2) = 19 ; (X + 3) = 20 X + (X+1) + (X+2) = 204 (1) Los cuatro números buscados son 17, 18, 19 y 20 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -14- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -13-
  10. 10. COMPROBAR LOS RESULTADOS: 17 + 18 + 19 + 20 = 74 IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: EJERCICIO # 10 A = Costo del caballo.Hallar dos números enteros pares B = Costo del coche. C = Costo de los arreos.consecutivos cuya suma sea 194. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Pagué $ 325 por un caballo, un coche y sus arreos:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A + B + C = 325 (1) X = Cualquier número entero par (X+2) = Número par consecutivo a X. El caballo costó $ 80 más que el coche: A = B + 80 (2)EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Los arreos costaron $ 25 menos que el coche:Hallar dos números enteros pares consecutivos cuya suma sea C = B - 25 (3)194: RESOLVER EL PROBLEMA: X + (X+2) = 194 (1)RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituyendo (2) y (3) en (1)Utilice los mismos pasos de los tres ejercicios anteriores (B + 80) + B + (B – 25) = 325 ; 3B + 80 -25 = 325 X = 96 ; (X + 2) = 98 3B = 270 ; B = 270 / 3 ; B = 90 Los números buscados son 96 y 98 Como A = B + 80 ; A = 90 + 80 ; A = 170COMPROBAR LOS RESULTADOS: 96 + 98 = 194. Como C = B – 25 ; C = 90 – 25 ; C = 65 El caballo costó $170, el coche $90 y los arreos $65 EJERCICIO # 11Pagué $ 325 por un caballo, un coche Es bueno recordar que existen dos métodos para resolver este sistema de ecuaciones, a saber, el método de sustitución (utilizado en ely sus arreos. El caballo costó $80 ejercicio # 1 de este trabajo) y el método de reducción (utilizado en elmás que el coche y los arreos $25 ejercicio # 2). Utilice el que a su criterio le parezca más fácil atendiendomenos que el coche. Hallar los a la forma como esté expresado algebraicamente el problema.precios respectivos. COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -15- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -16-
  11. 11. Como C = B – 20 ; 24 = B – 20 ; B = 44 EJERCICIO # 12Pagué $ 87 por un libro, un traje y un El libro costó $19, el traje $44 y el sombrero $24sombrero. El sombrero costó $ 5 más COMPROBAR LOS RESULTADOS:que el libro y $ 20 menos que el traje.Hallar los precios respectivos. EJERCICIO # 13IDENTIFICAR EL PROBLEMA: La suma de tres números es 200. ElIDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: mayor excede al del medio en 32 y al A = Costo del libro. menor en 65. Hallar los números. B = Costo del traje. C = Costo del sombrero. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número menor.Pagué $ 87 por un libro, un traje y un sombrero: Y = Número del medio. A + B + C = 87 (1) Z = Número mayor.El sombrero costó $ 5 más que el libro: C=A+5 (2) EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:El sombrero costó $ 20 menos que el traje: C = B - 20 (3) La suma de tres números es 200:RESOLVER EL PROBLEMA: X + Y + Z = 200 (1) El mayor excede al del medio en 32:Utilizando el método de la reducción; sumando las tres ecuaciones,teniendo cuidado de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado Z = Y + 32 (2)de la igualdad: El mayor excede al menor en 65: Z = X + 65 (3) A + B + C = 87 RESOLVER EL PROBLEMA: -A +C= 5 - B + C = - 20 Utilice el método de la reducción; sumando las tres ecuaciones, 3C = 72 teniendo cuidado de que las incógnitas estén ubicadas del mismo lado de la igualdad: C = 72 / 3 ; C = 24 X = 34 ; Y = 67 ; Z = 99Como C=A+5 ; 24 = A + 5 ; A = 19 Los números buscados son 34, 67 y 99 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -17- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -18-
  12. 12. COMPROBAR LOS RESULTADOS: Los Cestos tienen 200, 190 y 185 manzanas respectivamente. COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 14Tres cestos contienen 575 manzanas. EJERCICIO # 15El primer cesto tiene 10 manzanas Dividir 454 en tres partes sabiendomás que el segundo y 15 más que el que la menor es 15 unidades menortercero. ¿Cuántas manzanas hay en que la del medio y 70 unidadescada cesto? menor que la mayor. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Número que representa la parte mayor. A = Manzanas que contiene el 1er cesto. B = Nro. que representa la parte del medio. B = Manzanas que contiene el 2do cesto. C = Número que representa la parte menor. C = Manzanas que contiene el 3er cesto. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Dividir 454 en tres partes ( la suma de tres partes debe ser igual a 454):Tres cestos contienen 575 manzanas : A + B + C = 575 (1) A + B + C = 454 (1) La parte menor es 15 unidades menor que la del medio:El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo: C = B - 15 (2) A = B + 10 (2) La parte menor es 70 unidades menor que la mayor:El primer cesto tiene 15 manzanas más que el tercero: A = C + 15 (3) C = A - 70 (3) RESOLVER EL PROBLEMA:RESOLVER EL PROBLEMA: Utilice cualquiera de los tres métodos, observe bien las tres Utilice cualquiera de los tres métodos, observe bien las tres ecuaciones y trate de determinar cuál es de más fácil aplicación. Enecuaciones y trate de determinar cuál es de más fácil aplicación. En estos casos es más recomendable el método de reducción.estos casos es más recomendable el método de reducción. A = 200 ; B = 190 ; C = 185 A = 193 ; B = 138 ; C = 123 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -20- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -19-
  13. 13. Las tres partes buscadas son 193, 138 y 123 EJERCICIO # 17COMPROBAR LOS RESULTADOS: La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene EJERCICIO # 16 20 años más que la menor y la delRepartir 310 bolívares entre tres medio 18 años menos que la mayor.personas de modo que la segunda Hallar las edades respectivas.reciba 20 menos que la primera y 40más que la tercera. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: X = Edad de la persona mayor.IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: Y = Edad de la persona del medio. X = Bs que le “tocan” a la 1ra persona. Z = Edad de la persona menor. Y = Bs que le “tocan” a la 2da persona. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Z = Bs que le “tocan” a la 3ra persona. La suma de las edades de tres personas es 88 años:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: X + Y + Z = 88 (1)Repartir 310 bolívares entre tres personas: La mayor tiene 20 años más que la menor: X + Y + Z = 310 (1) X = Z + 20 (2)La segunda persona recibe 20 menos que la primera: La del medio tiene 18 años menos que la mayor: Y = X - 20 (2) Y = X - 18 (3)La segunda persona recibe 40 más que la tercera: RESOLVER EL PROBLEMA: Y = Z + 40 (3)RESOLVER EL PROBLEMA:Utilice el método de la reducción; sumando las tres ecuaciones, Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio # 12.teniendo cuidado de que las incógnitas estén ubicadas del mismo ladode la igualdad: X = 42 ; Y = 24 ; Z = 22 X = 130 ; Y = 110 ; Z = 70 Las tres edades son 42, 24 y 22 respectivamenteLos Bs 310 se repartirán en 130, 110 y 70 bolívares COMPROBAR LOS RESULTADOS:respectivamente . ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -21- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -22-
  14. 14. X = Edad de Francisco. EJERCICIO # 18 Y = Edad de Antonio.Dividir 642 en dos partes tales que EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:una exceda a la otra en 36. La edad de Francisco triplica la de Antonio:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: X = 3Y (1) Ambos suman 40 años:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X + Y = 40 (2) X = Parte mayor. Y = Parte menor. RESOLVER EL PROBLEMA:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Sustituyendo (1) en (2)Dividir 642 en dos partes: 3Y + Y = 40 ; 4Y = 40 ; Y = 40 / 4 X + Y = 642 (1) Y = 10Tales que una exceda a la otra en 36: Si Y = 10 y X = 3Y X = Y + 36 (2) X = 30RESOLVER EL PROBLEMA:Este ejercicio se resuelva en forma muy similar al ejercicio # 1. La edad de Francisco es 30 y la de Antonio 10 COMPROBAR LOS RESULTADOS: X = 339 ; Y = 303 Las dos partes son 339 y 303 EJERCICIO # 20COMPROBAR LOS RESULTADOS: Se compró un caballo y sus arreos por $ 600. Si el caballo costó 4 veces el EJERCICIO # 19 precio de los arreos. ¿Cuánto costó elLa edad de Francisco triplica la de caballo y cuánto los arreos?.Antonio y ambos suman 40 años. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:Encuentre las edades de ambos. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: X = Costo del caballo. Y = Costo de los arreos.IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -23- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -24-
  15. 15. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: RESOLVER EL PROBLEMASe compró un caballo y sus arreos por $ 600: Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior. X + Y = 600 (1) X = 32 ; Y = 16El caballo costó 4 veces lo de los arreos: X = 4Y (2) En el 1er piso hay 32 habitaciones y 16 en el 2doRESOLVER EL PROBLEMA COMPROBAR LOS RESULTADOS: Utilice el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior. X = 480 ; Y = 120 EJERCICIO # 22 Repartir $ 300 entre A, B y C de modo El caballo costó $ 480 y los arreos $ 120 que la parte de B sea doble que la deCOMPROBAR LOS RESULTADOS: A y la de C el triple que la de A. EJERCICIO # 21 IDENTIFICAR EL PROBLEMA:En un hotel de 2 pisos hay 48 IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:habitaciones. Si las del 2do piso son A = Cantidad de $ que le “tocan” a A. B = Cantidad de $ que le “tocan” a B.la mitad que las del 1ro. ¿Cuántas C = Cantidad de $ que le “tocan” a C.habitaciones hay en cada piso?. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Repartir $ 300 entre A, B y C:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A + B + C = 300 (1) X = Habitaciones del primer piso. La parte de B sea doble que la de A: Y = Habitaciones del segundo piso. B = 2A (2) La parte de C sea el triple de la de A:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: C = 3A (3)En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones: RESOLVER EL PROBLEMA: X + Y = 48 (1) Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y notará como se simplifica el problema (A+2A+3A=300).Las del 2do piso son la mitad que las del 1ro: Y = X/2 (2) A = 50 ; B = 100 ; C = 150 ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -26- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -25-
  16. 16. COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 24 El mayor de dos números es 6 veces EJERCICIO # 23 el menor y ambos números sumanRepartir 133 manzanas entre A, B y C 147. Hallar los números.de modo que la parte de A sea la IDENTIFICAR EL PROBLEMA:mitad que la de B y la de C el dobleque la de B. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: X = Número mayor.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: Y = Número menor.IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A = Cantidad de manzanas que le “tocan” a A El mayor de dos números es 6 veces el menor: B = Cantidad de manzanas que le “tocan” a B X = 6Y (1) C = Cantidad de manzanas que le “tocan” a C Ambos números suman 147:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: X + Y = 147 (2)Repartir 133 manzanas entre A, B y C: RESOLVER EL PROBLEMA: A + B + C = 133 (1) Sustituya la ecuación (1) en la ecuación (2) y notará como seLa parte de A sea la mitad que la de B: simplifica el problema: A = B/2 (2) X = 126 ; Y = 21La parte de C sea el doble que la de B: C = 2B (3) COMPROBAR LOS RESULTADOS:RESOLVER EL PROBLEMA: EJERCICIO # 25 Sustituya las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1) y notará comose simplifica el problema: Repartir $ 140 entre A, B y C de modo que la parte de B sea la mitad que la A = 19 ; B = 38 ; C = 76 de A y un cuarto que la de C.COMPROBAR LOS RESULTADOS: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -28- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -27-
  17. 17. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: A = Cantidad de $ que le “tocan” a A. Dividir el número 850 en tres partes: B = Cantidad de $ que le “tocan” a B. A + B + C = 850 (1) C = Cantidad de $ que le “tocan” a C. La primera parte sea el cuarto de la segunda: A = B/4 (2)EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La primera parte sea el quinto de la tercera: A = C/5 (3)Repartir $ 140 entre A, B y C: A + B + C = 140 (1) RESOLVER EL PROBLEMA:La parte de B sea la mitad que la de A: B = A/2 (2) Despeje “B” y “C” en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente y después sustitúyalas en la ecuación (1).La parte de B sea un cuarto que la de C: B = C/4 (3) A = 85 ; B = 340 ; C = 425RESOLVER EL PROBLEMA: COMPROBAR LOS RESULTADOS: Despeje “A” y “C” en las ecuaciones (2) y (3) respectivamente ydespués sustitúyalas en la ecuación (1). EJERCICIO # 27 A = 40 ; B = 20 ; C = 80 El doble de un número equivale alCOMPROBAR LOS RESULTADOS: número aumentado en 111. Hallar el número. EJERCICIO # 26 IDENTIFICAR EL PROBLEMA:Dividir el número 850 en tres partes de IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:modo que la primera sea el cuarto dela segunda y el quinto de la tercera. X = Número buscado. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: El doble de un número: 2XIDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = Primera parte. Equivale al número aumentado en 111: B = Segunda parte. 2X = X + 111 C = Tercera parte. ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -29- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -30-
  18. 18. RESOLVER EL PROBLEMA: 2X – X = 111 ; X = 111 EJERCICIO # 29 Si un número se multiplica por 8 elCOMPROBAR LOS RESULTADOS: resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número. EJERCICIO # 28 IDENTIFICAR EL PROBLEMA:La edad de María es el triple de la de IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:Rosa más quince años y ambas edades X = Número buscado.suman 59 años. Hallar ambas edades. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Si un número se multiplica por 8 :IDENTIFICAR EL PROBLEMA: 8X El resultado es el número aumentado en 21:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: 8X = X + 21 M = Edad de María. R = Edad de Rosa. RESOLVER EL PROBLEMA: Con un despeje sencillo de 8X= X + 21 se obtiene el resultado siguiente:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: X=3La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años: COMPROBAR LOS RESULTADOS: M = 3R + 15 (1)Ambas edades suman 59 años: EJERCICIO # 30 M + R = 59 (2) Si al triple de mi edad añado 7 años,RESOLVER EL PROBLEMA: tendría 100 años. ¿Qué edad tengo?. Sustituya la ecuación (1) en la ecuación (2): IDENTIFICAR EL PROBLEMA: M = 48 ; R = 11 IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:COMPROBAR LOS RESULTADOS: X = Mi edad. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -31- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -32-
  19. 19. Si al triple de mi edad añado 7 años: A = 36 ; B = 12 ; C = 48 3X + 7Tendría 100 años: COMPROBAR LOS RESULTADOS: 3X + 7 = 100RESOLVER EL PROBLEMA: 3X = 100 – 7 ; X = 93 / 3 ; X = 31 EJERCICIO # 32 La edad de Enrique es la mitad de la deCOMPROBAR LOS RESULTADOS: Pedro, la de Juan el triple de la de Enrique y la de Gustavo el doble de la EJERCICIO # 31 de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno?.Dividir 96 en tres partes tales que laprimera sea el triple de la segunda y la IDENTIFICAR EL PROBLEMA:tercera igual a la suma de la primera y IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:la segunda. E = Edad de Enrique. P = Edad de Pedro.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: J = Edad de Juan.IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: G = Edad de Gustavo. A = Primera parte. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: B = Segunda parte. C = Tercera parte. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro: E = P/2 (1)EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: La edad de Juan es el triple de la de Enrique:Dividir 96 en tres partes: J = 3E (2) A + B + C = 96 (1) La edad de Gustavo es el doble de la de Juan:La primera parte sea el triple de la segunda: G = 2J (3) A = 3B (2) Las cuatro edades suman 132 años: E + P + J + G = 132 (4)La tercera parte sea igual a la suma de la primera y la segunda: RESOLVER EL PROBLEMA: C=A+B (3) Utilice el método de sustitución, para lo cual se recomienda queRESOLVER EL PROBLEMA: coloque todas las ecuaciones con las incógnitas del lado izquierdo del Sustituya la ecuación (3) en la ecuación (1) y en la ecuación signo de igualdad y mantenga el orden de secuencia de las letrasresultante introduzca la ecuación (2): (E,P,J,G): ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -34- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -33-
  20. 20. E – P/2 = 0 T = Costo del traje. - 3E + J = 0 B = Costo del bastón. - 2J + G = 0 E + P + J + G = 132 S = Costo del sombrero EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Si multiplica la primera ecuación por “2” y posteriormente se sumanlas cuatro ecuaciones: Se ha comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259: 2E–P = 0 T + B + S = 259 (1) - 3E + J = 0 - 2J + G = 0 El traje costó 8 veces lo que el sombrero: E + P + J + G = 132 T = 8S (2) 0 + 0 + 0 + 2G =132 El bastón costó $30 menos que el traje:2G = 132 ; G = 132 / 2 ; G = 66 B = T – 30 (3) RESOLVER EL PROBLEMA:Como G = 2J ; 66 = 2J ; J = 33 Despeje “S” en (2) y sustitúyala en (1) y posteriormente sustituya (3)Como J = 3E ; 33 = 3E ; E = 11 en la ecuación resultante.Como E = P/2 ; 11 = P/2 ; P = 22 T = 136 ; B = 106 ; S = 17COMPROBAR LOS RESULTADOS: COMPROBAR LOS RESULTADOS: EJERCICIO # 33 EJERCICIO # 34Se ha comprado un traje, un bastón y Una estilográfica y un lapicero hanun sombrero por $259. El traje costó 8 costado $18. Si la estilográfica hubieraveces lo que el sombrero y el bastón costado 6 dólares menos y el lapicero 4$30 menos que el traje. Hallar los dólares más, habrían costado lo mismoprecios respectivos. cada uno. ¿Cuánto costó cada uno?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -35- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -36-
  21. 21. E = Costo de la estilográfica. Hace 10 años la edad de A era el triple de la de B: L = Costo del lapicero. A – 10 = 3 (B-10) (2)EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, es muy frecuente cometer el error de escribir : A – 10 = 3B – 10 . La edadUna estilográfica y un lapicero han costado $ 18: de B hace diez años es (B-10) y el triple de esa edad es 3(B-10). E+ L = 18 (1) RESOLVER EL PROBLEMA:Si la estilográfica hubiera costado 6 dólares menos (E – 6) y ellapicero 4 dólares más (L + 4), habrían costado lo mismo: Sustituya (1) en (2): E-6=L+4 (2) A = 40 ; B = 20RESOLVER EL PROBLEMA: COMPROBAR LOS RESULTADOS: Simplifique la ecuación (2) y posteriormente use el método dereducción: E = 14 ; L=4 EJERCICIO # 36 La edad actual de A es el triple que laCOMPROBAR LOS RESULTADOS: de B, y dentro de 5 años será el doble. Hallar las edades actuales. EJERCICIO # 35La edad actual de A es el doble que la IDENTIFICAR EL PROBLEMA:de B, y hace 10 años la edad de A era IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:el triple de la de B. Hallar las edades A = Edad de A.actuales. B = Edad de B. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: La edad actual de A es el triple que la de B:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = 3B (1) A = Edad de A. B = Edad de B. Dentro de 5 años la edad de A será el doble de la de B: A + 5 = 2 (B + 5) (2)EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Tenga sumo cuidado cuando se expresen problemas de este tipo, esLa edad actual de A es el doble que la de B: muy frecuente cometer el error de escribir : A + 5 = 2B + 5 . La edad A = 2B (1) de B dentro de 5 años será (B+5) y el doble de esa edad es 2(B+5). ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -37- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -38-
  22. 22. RESOLVER EL PROBLEMA: EJERCICIO # 38 Sustituya (1) en (2): A tiene la mitad de lo que tiene B. Si A A = 15 ; B=5 gana $66 y B pierde $90, A tendrá el doble de lo que le quede a B. ¿CuántoCOMPROBAR LOS RESULTADOS: tiene cada uno?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EJERCICIO # 37 IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:A tiene doble dinero que B. Si A pierde A = Cantidad de $ que tiene A.$10 y B pierde $5. A tendrá $20 más B = Cantidad de $ que tiene B.que B.¿Cuánto tiene cada uno?. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: A tiene la mitad de lo que tiene B:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: A = B/2 (1) Si A gana $66 y B pierde $90, A tendrá el doble de lo que le quede a A = Cantidad de $ que tiene A. B: B = Cantidad de $ que tiene B. (A + 66) = 2 (B – 90) (2) RESOLVER EL PROBLEMA:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Sustituya (1) en (2):A tiene doble de dinero que B: A = 82 ; B = 164 A = 2B (1) COMPROBAR LOS RESULTADOS:Si A pierde 10 dólares (A-10) y B pierde cinco (B-5), A tendrá $20más que B: EJERCICIO # 39 (A – 10) = (B - 5) + 20 (2) En una clase el número de señoritas esRESOLVER EL PROBLEMA: 1/3 del número de varones. Si Sustituya (1) en (2): ingresaran 20 señoritas y dejaran de asistir 10 varones, habría 6 señoritas A = 50 ; B = 25 más que varones.¿Cuántos varones hay y cuantas señoritas?.COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -39- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -40-
  23. 23. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: EJERCICIO # 40IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: La edad de un padre es el triple de la V = Cantidad de varones. edad de su hijo. La edad que tenía el S = Cantidad de señoritas. padre hace 5 años era el doble de la edad que tendrá su hijo dentro de 10EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: años. Hallar las edades actuales. IDENTIFICAR EL PROBLEMA:En una clase el número de señoritas es 1/3 del número de varones: S = V/3 (1) IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:Si ingresaran 20 señoritas (S + 20) y dejaran de asistir 10 varones(V – 10), habría 6 señoritas más que varones: P = Edad actual del padre. (S + 20) = (V – 10) + 6 (2) H = Edad actual del hijo. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:RESOLVER EL PROBLEMA: La edad de un padre es el triple de la edad de su hijo: P = 3H (1) Sustituya (1) en (2): 1/3 V + 20 = V -10 + 6 La edad que tenía el padre hace 5 años (P – 5) era el doble de la1/3 V = V – 10 + 6 -20 ; 1/3 V = V – 24 edad que tendrá su hijo dentro de 10 años (H + 10):V = 3 ( V – 24 ) ; V = 3V – 72 ; 72 = 3V – V (P - 5) = 2 (H + 10) (2)72 = 2V ; V = 72 / 2 ; V = 36 RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2):Si V = 36 y S = V/3 P = 75 ; H = 25 S = 36 / 3 ; S = 12 Los resultados se leen: Actualmente el padre tiene 75 años y el Los resultados se leen: En la clase hay 36 varones y 12 señoritas. hijo 25. COMPROBAR LOS RESULTADOS:COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -41- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -42-
  24. 24. EJERCICIO # 41 EJERCICIO # 42Enrique tiene 5 veces lo que tiene su Un colono tiene $ 1.400 en dos bolsas.hermano. Si Enrique le diera a su Si de la bolsa que tiene más dinerohermano $50, ambos tendrían lo saca 200 y los pone en la otra bolsa,mismo. ¿Cuánto tiene cada uno?. ambas tendrían igual cantidad de dinero.¿Cuánto tiene cada bolsa?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:E = Cantidad de $ que tiene Enrique.H = Cant. de $ que tiene el hermano de Enrique. A = Cantidad de $ en la 1ra bolsa. B = Cantidad de $ en la 2da bolsa.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:Enrique tiene 5 veces lo que tiene su hermano: E = 5H (1) Un colono tiene $ 1400 en dos bolsas: A + B = 1.400 (1)Si Enrique le diera a su hermano $50, ambos tendrían lo mismo(Enrique tendrá 50 menos y su hermano tendrá 50 más de lo que Si de la bolsa que tiene más dinero saca 200 y los pone en la otratienen actualmente): bolsa, ambas tendrían igual cantidad de dinero: (E - 50) = (H + 50) (2) (A - 200) = (B + 200) (2)RESOLVER EL PROBLEMA: RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): E = 125 ; H = 25 A = 900 ; B = 500 Enrique tiene $125 y su hermano $25. Una bolsa tiene $900 y la otra $500COMPROBAR LOS RESULTADOS COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -44- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -43-
  25. 25. EJERCICIO # 43 EJERCICIO # 44El número de días que ha trabajado Hace 14 años la edad de un padre eraPedro es 4 veces el número de días el triple de la edad de su hijo y ahoraque ha trabajado Enrique. Si Pedro es el doble. Hallar las edadeshubiera trabajado 15 días menos y respectivas hace 14 años.Enrique 21 días más, ambos habríantrabajado igual número de IDENTIFICAR EL PROBLEMA:días.¿Cuántos días trabajó cada uno?. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: P = Edad del padre hace 14 años. H = Edad del hijo hace 14 años. P = Días que trabajó Pedro. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: E = Días que trabajó Enrique.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: Hace 14 años la edad de un padre era el triple de la edad de su hijo: P = 3H (1)El número de días que ha trabajado Pedro es 4 veces el número dedías que ha trabajado Enrique: Ahora es el doble (14 años después): P = 4E (1) (P + 14) = 2 (H + 14) (2)Si Pedro hubiera trabajado 15 días menos (P – 15) y Enrique 21días más (E + 21), ambos habrían trabajado igual número de días: RESOLVER EL PROBLEMA: (P – 15) = (E + 21) (2) Sustituya (1) en (2):RESOLVER EL PROBLEMA: P = 42 ; H = 14 Sustituya (1) en (2): Los resultados se leen: Hace 14 años el padre tenía 42 años y el P = 48 ; E = 12 hijo 14 años. Pedro trabajó 48 días y Enrique 12 días. COMPROBAR LOS RESULTADOS:COMPROBAR LOS RESULTADOS ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -46- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -45-
  26. 26. EJERCICIO # 45 EJERCICIO # 46Un hacendado compró doble número Compré doble número de sombrerosde vacas que de bueyes. Por cada que de trajes por $702. Cada sombrerovaca pagó $70 y por cada buey $85. Si costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántosel importe de la compra fue de $ sombreros y cuántos trajes compré?.2.700. ¿Cuántas vacas y cuantosbueyes compró?. IDENTIFICAR EL PROBLEMA: IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS:IDENTIFICAR EL PROBLEMA: S = Sombreros comprados. T = Trajes comprados.IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: V = Cantidad de vacas compradas. EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: B = Cantidad de Bueyes comprados. Compré doble número de sombreros que de trajes:EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: S = 2T (1)Un hacendado compró doble número de vacas que de bueyes: Sea muy cuidadoso al expresar cantidades de este tipo, generalmente V = 2B (1) se cae en el error de expresarlo “2S=T” y la expresión correcta es “S=2T”, es decir por cada valor que asigne a “T” obtendré el doble valorSea muy cuidadoso al expresar cantidades de este tipo, generalmente de “S”.[ Si compro un traje (T=1) compraré dos sombreros (2=2*1)].se cae en el error de expresarlo “2V=B” y la expresión correcta es“V=2B”, es decir por cada valor que asigne a “B” obtendré el doble valor Cada sombrero costó $2 y cada traje $50 y el costo total fue dede “V”.[ Si compro un buey (B=1) compraré dos vacas (2=2*1)] $702: 2 S + 50 T = 702 (2)Por cada vaca pagó $70 y por cada buey $85. El importe de lacompra fue de $ 2.700: RESOLVER EL PROBLEMA: 70 V + 85 B = 2.700 (2) RESOLVER EL PROBLEMA: Sustituya (1) en (2): Sustituya (1) en (2): S = 26 ; T = 13 V = 24 ; B = 12 Se compraron 26 sombreros y 13 trajes. Se compraron 24 vacas y 12 bueyes. COMPROBAR LOS RESULTADOS:COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -47- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -48-
  27. 27. EJERCICIO # 47 EJERCICIO # 48Un hacendado compró caballos y Un padre pone 16 problemas a su hijovacas por 40.000 bolívares. Por cada con la condición de que por cadacaballo pagó 600 y por cada vaca 800. problema que resuelva el muchachoSi compró 6 vacas menos que recibirá $12, y por cada problema quecaballos. ¿Cuántas vacas y cuántos no resuelva perderá $5. Después decaballos compró?. trabajar en los 16 problemas el muchacho recibe $73. ¿Cuántos problemas resolvió y cuantos no?.IDENTIFICAR EL PROBLEMA:IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: IDENTIFICAR EL PROBLEMA: V = Vacas compradas. IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS: C = Caballos comprados. R = Problemas resueltos.EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO: N = Problemas no resueltos.Un hacendado compró caballos y vacas por 40.000 bolívares. Por EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO:cada caballo pagó 600 y por cada vaca 800: 800 V + 600 C = 40.000 (1) Un padre pone 16 problemas a su hijo: R + N = 16 (1)Compró 6 vacas menos que caballos: . V=C-6 (2) Por cada problema que resuelva recibirá $12 y por cada problema que no resuelva perderá $5. Después de trabajar en los 16RESOLVER EL PROBLEMA: problemas el muchacho recibe $73: 12R – 5N = 73 (2) Sustituya (2) en (1): RESOLVER EL PROBLEMA: V = 26 ; C = 32 Aplique el método de reducción: Se compraron 26 vacas y 32 caballos. R=9 ; N=7COMPROBAR LOS RESULTADOS: El muchacho resolvió 9 ejercicios y no resolvió 7. COMPROBAR LOS RESULTADOS: ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -49- ING. JOSE L. ALBORNOZ S, -50-

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