Algebra 2

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resumen de relacion binaria

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Algebra 2

  1. 1. República Bolivariana de VenezuelaMinisterio Del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Antonio José de Sucre Barquisimeto Estado Lara Yinmary Y. Vásquez R. 19.482.641 Informática 78 2º semestre
  2. 2. Relaciones BinariasEl caso particular de relaciones binarias merece ser tratado aparte, por la riqueza deconceptos y resultados a que da lugar y el tipo de técnicas que pueden utilizarse. En primerlugar, si es una relación entre y , el hecho de que un par ordenado esté en suele denotarseEjemplo Dado el conjunto R de los números reales, definimos la relación binaria P (x, y) de los puntos del plano, tal que: Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo conduce p:Diagrama índiceA modo de guía o diagrama índice del estudio de las relaciones binarias, podemos presentarel siguiente gráfico.
  3. 3. Conceptos previosAntes de afrontar el estudio de las relaciones binaria, veamos algunos conceptos que esnecesario conocer:Par ordenadoArtículo principal: Par ordenado.Las partes de un par ordenado son: Primer conjunto Primer componente Segundo conjunto Segundo componente
  4. 4. Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que: a es el primer componente del primer conjunto y; b como el segundo componente del segundo conjunto.Matemáticamente esto se expresa:y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que xpertenece a A e y pertenece a B.Producto cartesianoArtículo principal: Producto cartesiano.Definimos los conjuntos:Obtenemos el producto cartesiano de A porB, colocando en una tabla los elementos delconjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos lospares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar secoloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:Relación binaria, subconjunto del producto cartesianoVisto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, porejemplo: mayor que, que se puede expresar:que por extensión resulta:Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del productocartesiano de los conjuntos.2
  5. 5. ClasificaciónLa importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte delas asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hacede dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntosdistintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relaciónbinaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, enlas primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por loque en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas seestablecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones ofunciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada comoheterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.Relación homogéneaUna relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos soniguales:
  6. 6. Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:O bien:Relación heterogéneaUna relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:3Relación binaria homogéneaComo ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre loselementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintostipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos,determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:Dado el conjunto A:y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede verque solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto,en este caso representado por las flechas.
  7. 7. En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos delconjunto A.o como conjunto de pares ordenados:También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondenciade A sobre A:Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nospermite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinandouna operación o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta,que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional,y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este conel a.En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos decorrespondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneasRepresentación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:Dado el producto de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relaciónbinaria será el subconjunto de que contiene todos los pares de elementosrelacionados. d (a, d) (b, d) (c, d) (d, d) c (a, c) (b, c) (c, c) (d, c)
  8. 8. Si el producto es: b (a, b) (b, b) (c, b) (d, b) a (a, a) (b, a) (c, a) (d, a) A×A a b c del conjunto R de la relación binaria se representa:Nótese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical elconjunto final.Propiedades de las relaciones binarias homogéneaUna relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formenparte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:Propiedad reflexivaArtículo principal: Relación reflexiva.Una relación tiene la propiedad reflexiva, si todo elemento esta relacionado consigo mismo,si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que larelación no es reflexiva.Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a larelación binaria R.Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción,si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a larelación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.Propiedad irreflexivaArtículo principal: Relación irreflexiva.
  9. 9. Una relación binaria tiene la propiedad irreflexiva, también llamada: antirreflexiva oantirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:Que también puede expresarseNo existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.Propiedad simétricaArtículo principal: Relación simétrica.Una relación binaria tiene la propiedad simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b)pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) tambiénpertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a)tampoco tiene que pertenecer a esa relación:No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca aR.Propiedad antisimétricaArtículo principal: Relación antisimétrica.Una relación binaria se dice que tiene la propiedad antisimétrica si los pares ordenado (a,b)y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado conb y b este relacionado con aPropiedad transitivaArtículo principal: Relación transitiva.
  10. 10. Una relación binaria tiene la propiedad transitiva cuando, dado los elementos a, b, c delconjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionadocon c:Propiedad totalArtículo principal: Relación total.Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a estarelacionado con b ó b esta relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:Relación bien fundadaArtículo principal: Relación bien fundada.Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, esta relación sedice bien fundada, si pata todo subconjunto B de A se cumple que existe un m en B talque para todo b de B, y b sistinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.Esto es para todo subconjunto B de A, existe un m en B, que el elemento mínimo de esesubconjunto.
  11. 11. Clases de las relaciones binarias homogéneaPartiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se puedendiferenciar algunas por su especial interés:Relación reflexivaLa propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados,téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muyparticulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.Las relaciones reflexivas son las definidas así:Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta
  12. 12. relacionado consigo mismo.El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, así dado un conjunto denúmeros, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos quetodo número natural es igual a sí mismo.Dado un conjunto A, formado los siguientes elementos:Y una relación R entre los elementos del conjunto, definida así:Podemos ver que los pares ordenados que tienen sus dos términos iguales pertenecen a larelación:Luego la relación R es reflexiva.La relación R, también se puede representar en coordenadas cartesianas.En el eje horizontal (ordenadas) representamos el conjunto inicial, de izquierda a derecha, yen el eje vertical(abscisas) el conjunto final, de abajo a arriba, si un determinado par
  13. 13. pertenece a la relación se coloca una cruz en la casilla correspondiente, si no pertenece sedeja en blando, representando de este modo en coordenadas cartesianas la relación binaria.En la diagonal principal, inferior izquierda, superior derecha, corresponde a los paresordenados en los que sus dos elementos son iguales, si todas las casillas de esta diagonaltienen aspas, la relación es reflexivaComo puede verse en el diagrama, la relación estudiada es reflexiva, dado que:Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) pertenece a la relación R.En cualquiera de las tres formas de representación vistas: enumeración de pares ordenados,donde los pares (e,e) pertenecen a la relación, el diagrama sagital, con una flecha que sale yllega a cada elemento del conjunto, o en coordenadas cartesianas, donde hay cruces en ladiagonal principal, en todos los casos se representa una relación reflexiva, en la que todoelemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.Relación no reflexivaLos casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen lapropiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, uncaso particular de relación no reflexiva son las irreflexivas en las que ningún elemento delconjunto esta relacionado consigo mismo, puede verse que si en una relación binariaalgunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no la relación no es reflexivay tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:
  14. 14. Las relaciones irreflexivas es un caso de las no reflexivas.Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no estarelacionado consigo mismo.También podemos decir que una relación es irreflexiva si:Una relación es irreflexiva si no existe un a en A que cumpla que a esta relacionadoconsigo mismo.Dado el conjunto:y la relación entre los elementos de este conjunto:Podemos ver que:Para todo elemento e del conjunto A, el par ordenado (e,e) no pertenece a la relación R,luego esta relación en irreflexiva.
  15. 15. La representación de la relación en coordenadas cartesianas nos permite ver que la diagonalprincipal no tiene ninguna cruz, lo que es equivalente a la irrefrexibilidad de la relación.La propiedad reflexiva e irreflexiva son mutuamente excluyentes en una misma relación, elcumplimiento de una de ellas da lugar al incumplimiento de la otra necesariamente, si unarelación es reflexiva, tenemos que:y si es irreflexiva, se cumple:Donde se ve claramente la incompatibilidad de las dos condiciones. El razonamientocontrario no es cierto dado que una relación binaria puede ser NO reflexiva y NOirreflexiva simultáneamente:Una relación binaria es no reflexiva si:Y una relación es no irreflexiva cuando:Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, dando lugar a una relación binaria noreflexiva y no irreflexiva:veamos un ejemplo, dado el conjunto:
  16. 16. En la que se ha definido la relación binaria:Podemos ver que:Y también que:Luego la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.Si representamos la relación binaria en coordenadas cartesianas, podemos ver que en ladiagonal principal no todas las casillas tienen un aspa, luego la relación no es reflexiva, ytampoco están todas en blanco luego tampoco es irreflexiva, esto es un relación binaria noreflexiva y no irreflexiva, al darse estas dos condiciones simultáneamente en una mismarelación.En resumen, podemos diferenciar tres clases de relaciones: Relaciones reflexivas Relaciones irreflexivas Relaciones no reflexivas y no irreflexivas.Dado, que como ya se ha mencionado, una relación no puede ser reflexiva e irreflexivasimultáneamente, pero si puede ser no reflexiva y no irreflexiva simultáneamente.
  17. 17. Relación de dependenciaArtículo principal: Relación de dependencia.Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple:1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A estarelacionado consigo mismo.2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta relacionadocon otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos ladistancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo unvalor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:es simétrica:relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:
  18. 18. que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, noimplica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación dedependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero sidenota una dependencia entre ellos.Conjunto preordenadoArtículo principal: Conjunto preordenado.Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple:1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A estarelacionado consigo mismo.2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a estarelacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta tambiénrelacionado con el c.Relación de equivalenciaArtículo principal: Relación de equivalencia.Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:4Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple:1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta
  19. 19. relacionado consigo mismo.2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a esta relacionadocon otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionadocon otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionadocon el c.Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases deequivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de lossubconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos sondisjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así: el resto de dividir 5 entre 2 es 1 el resto de dividir 6 entre 3 es 0 el resto de dividir 7 entre 3 es 1se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos númerospor n dan el mismo resto:el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan porresto 2.La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación deequivalencia, dado que es reflexiva:
  20. 20. es simétrica:y es transitivaConjunto parcialmente ordenadoArtículo principal: Conjunto parcialmente ordenado.Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R sila relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado,si cumple:1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A estarelacionado consigo mismo.2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionadocon otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionadocon el c.3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado(a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.
  21. 21. Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:Definimos el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si elprimero es Subconjunto del segundo:La relación pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmenteordenado, al ser reflexiva:Transitiva:
  22. 22. Antisimetrica:Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es unconjunto parcialmente ordenado.Esta relación no es total dado que:Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de lasflechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.
  23. 23. Orden totalArtículo principal: Orden total.Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si larelación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total:Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple:1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A estarelacionado consigo mismo.2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionadocon otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionadocon el c.3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado(a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento delconjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relaciónbinaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:es transitiva:
  24. 24. es antisimetrica:y es total:Conjunto bien ordenadoArtículo principal: Conjunto bien ordenado.Dado un conjunto A y una relación R, entre los elementos de ese conjunto, se dice que esun conjunto bien ordenado si cumple:Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementosSe dice que esta relación binaria define un conjunto bien ordenado, si cumple:1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A estarelacionado consigo mismo.2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionadocon otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionadocon el c.3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado(a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del
  25. 25. conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.5.- Relación bien fundada: dado un conjunto A y una relación R, entre loselementos de ese conjunto, esta relación se dice bien fundada, si pata todosubconjunto B de A se cumple que existe un m en B tal que para todo b de B,distinto de m, el par ordenado (b,m) no pertenece a R.Relación binaria heterogénea Artículo principal: Correspondencia matemática.Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distintode B:Lo que también se llama correspondencia matemática.5 6A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual serepresentan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otroconjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en eldiagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caraspintadas, asociando a cada pincel la cara que esta pintada del mismo color.Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementosdistintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la mismacaracterística color, siendo elementos del conjunto diferentes.
  26. 26. En el diagrama podemos ver el conjunto inicial de pinceles P, sobre el que esta definida larelación: , , ,Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementosforman el conjunto origen: , ,Y el conjunto final de caras pintadas C es: , , ,Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjuntoimagen: , ,La relación binaria es la formada por los pares ordenados: , , , ,Una relación binaria homogénea:Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos,si lo que se esta tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntosserían distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea,si es factible.
  27. 27. Propiedades de las relaciones binarias heterogéneaPartiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permitendiferenciar los subtipos de correspondencias.Condición de existencia de imagen. (ei)La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a deA tiene al menos una imagen b en B.
  28. 28. para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b esténrelacionado.En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles: ,y el C de las caras pintada: , , ,Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todoslos pinceles tienen al menos una cara asociada.Condición de existencia de origen. (eo)La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos unorigen a en A.para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura: , , ,y el conjunto C de caras pintada:
  29. 29. ,Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada unode los elementos del conjunto final tiene un origen.Condición de unicidad de imagen. (ui)La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que estánrelacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:si un elemento a de A esta relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos soniguales.Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tenganuna sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, estadiferencia es importante.En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P: , , ,Y el conjunto final C, de caras pintada: , ,Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.
  30. 30. Condición de unicidad de origen. (uo)La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionadoscon algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores: , , ,y el conjunto final C de caras pintadas: , , ,Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras quetienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, notodas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.Galería de ejemplosSegún las cuatro condiciones expuestas, cada una de ellas independiente de las demás,podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjuntofinal el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.
  31. 31. Correspondencia Correspondencia C. Unívoca AplicaciónExistencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: siUnicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: siExistencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: noUnicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no Correspondencia Correspondencia C. Unívoca A. SobreyectivaExistencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: siUnicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: siExistencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: siUnicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no Unicidad origen: no
  32. 32. Correspondencia Correspondencia C. Biunívoca A. InyectivaExistencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: siUnicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: siExistencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: no Existencia origen: noUnicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si Correspondencia Correspondencia C. Biunívoca A. BiyectivaExistencia imagen: no Existencia imagen: si Existencia imagen: no Existencia imagen: siUnicidad imagen: no Unicidad imagen: no Unicidad imagen: si Unicidad imagen: siExistencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: si Existencia origen: siUnicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si Unicidad origen: si
  33. 33. Clases de las relaciones binarias heterogéneaPartiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciarlos siguientes casos.Correspondencia unívocaArtículo principal: Correspondencia unívoca.Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:Esta relación es una correspondencia unívoca, si cumple:1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad deimagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea consideradaunívoca.
  34. 34. Correspondencia biunívocaArtículo principal: Correspondencia biunívoca.Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen yunicidad de origen:Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:Esta relación es una correspondencia biunívoca, si cumple:1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad deimagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origensi los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:AplicaciónArtículo principal: Aplicación matemática.Una correspondencia se denomina aplicación7 8 si cumple la condición de unicidad deimagen y de existencia de imagen. El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.9 Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.10Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:Esta relación es una aplicación, si cumple:1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de
  35. 35. imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia deimagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.Aplicación inyectivaArtículo principal: Aplicación inyectiva.Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad deimagen, existencia de imagen y unicidad de origen.Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:Esta relación es una aplicación inyectiva, si cumple:1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad deimagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia deimagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origensi los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es unaAplicación inyectiva.
  36. 36. De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumplala condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.Aplicación sobreyectivaArtículo principal: Aplicación sobreyectiva.Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidadde imagen, existencia de imagen y existencia de origen:Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:Esta relación es una aplicación sobreyectiva, si cumple:1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad deimagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia deimagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia deorigen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condiciónde existencia de origen.Aplicación biyectivaArtículo principal: Aplicación biyectiva.Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad deimagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:
  37. 37. Esta relación es una aplicación biyectiva, si cumple:1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad deimagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia deimagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origensi los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia deorigen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.PropiedadesLas relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:Relación simétricaRelación antisimétricaRelación reflexivaRelación irreflexivaRelación transitivaRelación intransitivaRelación circular
  38. 38. Relación total

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