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ความเท่ากันทุกประการ

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เรื่อง ความเท่ากันทุกประการ

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  • 1. ¤ÇÒÁà·Ò¡¹·¡»ÃСÒà è Ñ Ø1. ¹ÂÒÁ ÃÙ»ÊͧÃÙ»à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ¡çµÍàÁ×ÍÃٻ˹֧·ÑºÍÕ¡Ãٻ˹֧ä´éʹԷ¾Í´Õ Ô è è è è ãªéÊ­Åѡɳì " ≅ " á·¹¤ÓÇèÒ "à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒÃ" àªè¹ Ñ ÃÙ» A à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒáѺÃÙ» B à¢Õ¹᷹´éÇ ÃÙ» A ≅ ÃÙ» B2. ¹ÂÒÁ Êèǹ¢Í§àÊ鹵çÊͧàÊ鹨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ¡çµÍàÁ×ÍÊèǹ¢Í§àÊ鹵çÊͧàÊ鹹ѹÂÒÇ Ô è è é à·èҡѹ Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç AB à¢Õ¹᷹´éÇ AB Êèǹ¢Í§àÊ鹵ç CD à¢Õ¹᷹´éÇ CD ¤ÇÒÁÂÒǢͧÊèǹ¢Í§àÊ鹵ç AB à¢Õ¹᷹´éÇ m( CD ) ¶éÒ AB ≅ CD áÅéǨÐä´é m( AB ) = m( CD ) ËÃ×Í m( AB ) = m( CD ) áÅéǨÐä´é AB ≅ CD áÅÐàÃÒ¹ÔÂÁà¢Õ¹ AB = CD á·¹ AB ≅ CD ËÃ×Í m( AB ) = m( CD )3. ¹ÂÒÁ ÁØÁÊͧÁØÁ¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà ¡çµÍàÁ×ÍÁØÁ·Ñ§Êͧ¹Ñ¹ÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ Ô è è é é ÁØÁ A à¢Õ¹᷹´éÇ A áÅТ¹Ò´¢Í§ÁØÁ A à¢Õ¹᷹´éÇ m( A ) ÁØÁ B à¢Õ¹᷹´éÇ B áÅТ¹Ò´¢Í§ÁØÁ B à¢Õ¹᷹´éÇ m( B ) â´Â¹ÔÂÒÁ¢éÒ§µé¹ ¶éÒ A ≅ B áÅéǨÐä´é m( A ) = m( B ) áÅÐ ¶éÒ m( A ) = m( B ) áÅéǨÐä´é Ñ é A ≅ B áµèàÃÒ¹ÔÂÁãªéÊ­Åѡɳì A á·¹ m( A ) ´Ñ§¹Ñ¹ àÃÒ¨Ö§¹ÔÂÁãªé A = B á·¹ m( A ) = m( B ) áÅÐ ãªé A = B á·¹ B ≅ B4. ·Äɮպ· ¶éÒàÊ鹵çÊͧàÊ鹵Ѵ¡Ñ¹ ÁØÁµÃ§¢éÒÁ·Õàè ¡Ô´¢Ö¹¨ÐÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ é A IH IH D ¡Ó˹´ãËé AB áÅÐ CD µÑ´¡Ñ¹·Õ¨´ O èØ 1 àÃÕ¡ 1 ¡Ñº áÅÐ ¡Ñº ÇèÒà»ç¹ÁØÁµÃ§¢éÒÁ 3 2 4 4 2 O µÒÁ·Äɮպ·¹Õé àÃÒ¨Ðä´éÇÒ 1 = áÅÐ = è 3 2 4 3 B C
  • 2. 5. ¤ÇÒÁà·Ò¡¹·¡»ÃСÒâͧûÊÒÁàËÅÂÁ è Ñ Ø Ù èÕ ¹ÔÂÒÁ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ¤×Í ÃÙ»·Õ»ÃСͺ´éÇÂÊèǹ¢Í§àÊ鹵çÊÒÁàÊé¹ è èàª×ÍÁµèͨشÊÒÁ¨Ø´·ÕäÁèÍÂÙº¹àÊ鹵çà´ÕÂǡѹ áÅÐàÃÒàÃÕ¡¨Ø´·Ñ§ÊÒÁ¨Ø´¹ÕÇÒ ¨Ø´ÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ è è è é éè è X ¨Ò¡ÃÙ» ¨Ø´ X ,Y , Z à»ç¹¨Ø´ÊÒÁ¨Ø´«Ö§äÁèÍÂÙè è º¹àÊ鹵çà´ÕÂǡѹ XY , YZ áÅÐ ZX àª×ÍÁµèͨش X ,Y áÅÐ Z à¡Ô´à»ç¹ÃÙ» è Y Z ÊÒÁàËÅÕÂÁ XYZ «Ö§à¢Õ¹᷹´éÇ ∆ XYZ è è A D B C E F ¶éÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF ¡çáÊ´§ÇèÒÃÙ» ∆ ABC ¨Ð·Ñº¡Ñ¹Ê¹Ô·¡ÑºÃÙ» ∆ DEF ¨Ø´ A ¨Ð·Ñº¨Ø´ D ¨Ø´ B ¨Ð·Ñº¨Ø´ E áÅШش C ¨Ð·Ñº¨Ø´ F AB ¨Ð·Ñº DE BC ¨Ð·Ñº EF áÅÐ CA ¨Ð·Ñº FD A ¨Ð·Ñº D B ¨Ð·Ñº E áÅÐ C ¨Ð·Ñº F ¨Ò¡¤Ø³ÊÁºÑµ´§¡ÅèÒÇ àÃÒ¨ÐÊÃØ»ä´éÇÒ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà àÁ×Í´éÒ¹áÅÐÁØÁ ÔÑ è è è¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ·Ñ§ÊͧÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹà»ç¹¤Ùè æ è é6. ûÊÒÁàËÅÂÁ·ÊÁ¾¹¸¡¹áºº ´Ò¹-ÁÁ-´Ò¹ (´.Á.´.) Ù èÕ èÕ Ñ Ñ ì Ñ é Ø é ¶éÒÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕ´Ò¹à·èҡѹÊͧ¤Ùè áÅТ¹Ò´¢Í§ÁØÁã¹ÃÐËÇèÒ§´éÒ¹¤Ù·àèÕ ·èҡѹáÅéÇ è é èÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà è é A D B C E F ãËé ∆ ABC áÅÐ ∆ DEF ÁÕ AB = DF , BAC = EDF áÅÐ AC = DE ¨Ðä´éÇÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF (´.Á.´.) è
  • 3. 7. ûÊÒÁàËÅÂÁ·Á¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸¡¹áºº ÁÁ-´Ò¹-ÁÁ (Á.´.Á.) Ù èÕ èÕ Õ Ñ Ñ ìÑ Ø é Ø ¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕÁÁà·èҡѹÊͧ¤Ùè áÅдéÒ¹·Õàè »ç¹á¢¹ÃèÇÁ¢Í§ÁØÁ·Ñ§ÊͧÂÒÇà·èҡѹ áÅéÇ è Ø éÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà è é A D B C E F ãËé ∆ ABC áÅÐ ∆ DEFÁÕA B C = D E F, BC = EF áÅÐ A C B = D E F ¨Ðä´éÇÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF (Á.´.Á.) è8. ûÊÒÁàËÅÂÁ·Á¤ÇÒÁÊÁ¾¹¸¡¹áºº ´Ò¹-´Ò¹-´Ò¹ (´.´.´.) Ù èÕ èÕ Õ Ñ Ñ ìÑ é é é ¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕ´Ò¹à·èҡѹÊÒÁ¤ÙáÅéÇ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà è é è è é A| D B C E F ãËé ∆ ABC áÅÐ ∆ DEF ÁÕ´Ò¹ AB = DE , BC = EF áÅÐ AC = DF é ¨Ðä´éÇÒ ∆ ABC ≅ ∆ DEF (´.´.´.) è9. ûÊÒÁàËÅÂÁÊͧû·ÊÁ¾¹¸¡¹áºº ÁÁ-ÁÁ-´Ò¹ (Á.Á.´.) Ù èÕ Ù èÕ Ñ Ñ ì Ñ Ø Ø é ¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃٻ㴠æ ÁÕÁÁ·ÕÁ¢¹Ò´à·èҡѹÊͧ¤Ùè áÅÐÁÕ´Ò¹à·èҡѹ¤Ù˹֧áÅéÇ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ è Ø èÕ é è è èÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà é O R M N P Q
  • 4. ¨Ò¡ÃÙ» OMN = R Q P (ÁØÁ) M N O = PQR (ÁØÁ) OM = RP (´éÒ¹) ´Ñ§¹Ñ¹ é ∆ MNO ≅ ∆ PQR à¾ÃÒÐÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¡¹áºº Á.Á.´. Ñ10. ûÊÒÁàËÅÂÁÊͧû·ÊÁ¾¹¸¡¹áºº ©Ò¡-´Ò¹-´Ò¹ (©.´.´.) Ù èÕ Ù èÕ Ñ Ñ ì Ñ é é ¶éÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÁØÁ©Ò¡ 2 ÃÙ» ÁÕ´Ò¹µÃ§¢éÒÁÁØÁ©Ò¡ÂÒÇà·èҡѹ áÅÐÁÕ´Ò¹ÍÕ¡´éҹ˹֧ÂÒÇà·èҡѹ áÅéÇ è é é èÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»¹Ñ¹¨Ðà·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà è é M P N O Q R ¨Ò¡ÃÙ» M N O = PQR (ÁØÁ©Ò¡) MO = PR (´éÒ¹µÃ§¢éÒÁÁØÁ©Ò¡) NO = QR (´éÒ¹) ´Ñ§¹Ñ¹ é ∆ MNO ≅ ∆ PQR à¾ÃÒÐÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ì¡¹áºº ©.´.´. Ñ11. ûÊÒÁàËÅÂÁË¹Ò¨Ç Ù èÕ é èÑ ¹ÔÂÒÁ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ ¤×Í ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ·ÕÁ´Ò¹Êͧ´éÒ¹ÂÒÇà·èҡѹ è è è èÕé A ÁØÁÂÍ´ ´éÒ¹»ÃСͺÁØÁÂÍ´ ´éÒ¹»ÃСͺÁØÁÂÍ´ °Ò¹ ÁØÁ·Õ°Ò¹ è ÁØÁ·Õ°Ò¹ è B C ∆ ABC à»ç¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ ÁÕ AB = AC è è àÃÕ¡ BC ÇèÒ °Ò¹ àÃÕ¡ A B C áÅÐ A C B ÇèÒ ÁØÁ·Õ°Ò¹ è àÃÕ¡ BAC ÇèÒ ÁØÁÂÍ´ àÃÕ¡ AB áÅÐ AC ÇèÒ ´éÒ¹»ÃСͺÁØÁÂÍ´
  • 5. 12. ¤Ø³ÊÁºÑµ¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ Ô è è A B| C D ãËé ∆ ABC à»ç¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ ÁÕ AB = AC è è 1. ÁØÁ·Õ°Ò¹¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨÐÁÕ¢¹Ò´à·èҡѹ (A B D = A C D) è è è 2. ¶éÒÅÒ¡àÊé¹áºè§¤ÃÖ§ÁØÁÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨÐáºè§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇÍÍ¡à»ç¹ÃÙ» è è è è è ÊÒÁàËÅÕÂÁÊͧÃÙ»à·èҡѹ·Ø¡»ÃСÒà è 3. ¶éÒÅÒ¡àÊé¹áºè§¤ÃÖ§ÁØÁÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨÐáºè§¤ÃÖ§°Ò¹¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ è è è è è è 4. ¶éÒÅÒ¡àÊé¹áºè§¤ÃÖ§ÁØÁÂÍ´¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑǨеѧ©Ò¡¡Ñº°Ò¹¢Í§ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇ è è è é è è µÑÇÍÂèÒ§·Õè 1 ¡Ó˹´ãËé AB = AC áÅÐ B A D = C A D ¨§¾Ôʨ¹ìÇÒ ∆ ABD ≅ ∆ ADC Ù è A ÇÔ¸·Ó 1. AB = AC Õ ( _______________ ) 2. B A D= C A D ( _______________ ) 3. AD = AD ( _______________ ) ´Ñ§¹Ñ¹ ∆ ABD ≅ ∆ ADC ( _______________ ) é B| C| D µÑÇÍÂèÒ§·Õè 2 ¡Ó˹´ãËé C A E = D B E áÅÐ AE = BE ¨§Í¸ÔºÒÂÇèÒà¾ÃÒÐà˵Øã´ ∆ ACE ≅ ∆ BDE A| D 1. C A E = D B E ( _______________ ) 2. AE = BE ( _______________ ) E| 3. A E C = B E D ( _______________ ) ´Ñ§¹Ñ¹ ∆ ACE ≅ ∆ BDE é ( _______________ ) C| B
  • 6. è µÑÇÍÂèÒ§·Õè 3 ¡Ó˹´ãËé PQ = PR áÅÐ QS = RS ¨§Í¸ÔºÒÂÇèÒ à¾ÃÒÐà˵Øã´ PS áºè§¤ÃÖ§ QPR Q 1. _______________ ( _______________ ) 2. _______________ ( _______________ ) P S| 3. _______________ ( _______________ ) 4. _______________ ( _______________ ) ∴ _______________ ( _______________ ) R µÑÇÍÂèÒ§·Õè 4 ¡Ó˹´ãËé PQR áÅÐ SQR à»ç¹ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ˹éÒ¨ÑÇÊͧÃÙ»·ÕÁ°Ò¹ QR ÃèÇÁ¡Ñ¹ è è èÕ ∆ PQS ≅ ∆ PRS ËÃ×ÍäÁèà¾ÃÒÐà˵Øã´ P 1. _______________ ( _______________ ) S 2. _______________ ( _______________ ) 3. _______________ ( _______________ ) ∴ _______________ ( _______________ )Q R µÑÇÍÂèÒ§·Õè 5 ¾Ô¨ÒóÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕÂÁ·Õ¡Ó˹´ãËéã¹áµèÅТé͵èÍ仹ÕÇÒÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ìẺ㴠è è éè 2. 4.1. 3.5. 7. 6. 8. 9.