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Trigonometria Trigonometria Presentation Transcript

  • TRIGONOMETRIA
  •  Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo. – Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía, navegación e ingeniería.  Podemos desarrollar el tema de trigonometría por medio de dos enfoques, éstos son: – El círculo – El triángulo rectángulo
  • Trigonometría Enfocada por medio del TRIANGULO RECTANGULO
  • Triángulo Rectángulo Triángulo rectángulo α hipotenusa β γ catetos Característica principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900
  • Observaciones importantes sobre los triángulos rectángulos.  Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.  La suma de los tres ángulos es 1800  La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.  Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2 γ
  •  Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo; γ “gamma”; α“alpha” ; β “betha”
  •  Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.  Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.  Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.
  • RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO Relaciones básicas Relaciones recíprocas adyacentelado opuestolado hipotenusa adyacentelado hipotenusa opuestolado seno = = = γ γ γ tangente coseno opuestolado hipotenusa sen ecante == γ γ 1 cos adyacentelado hipotenusa eno ante == γ γ cos 1 sec opuestolado adyacentelado angente == γ γ tan 1 cot
  • Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo  Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo γ γ Lado adyacente a “gamma” Lado opuesto a “gamma ” adyacentelado opuestolado hipotenusa adyacentelado hipotenusa opuestolado seno = = = γ γ γ tangente coseno
  • EJEMPLO 1 3 4 tangente 5 3 coseno 5 4 == == == adyacentelado opuestolado hipotenusa adyacentelado hipotenusa opuestolado seno γ γ γ 5 2591634 22 22 = =+=+= += c c bac HIPOTENUSALADEMEDIDA γ 4 3 4 51 cos == γ γ sen ecante 3 5 cos 1 sec == γ γ eno ante 4 3 tan 1 cot == γ γangente
  • Continuación EJEMPLO 1 33.1 3 4 tangente6.0 5 3 coseno8.0 5 4 ====== γγγseno γ 4 3 25.1 4 5 cos ==γecante 67.1 3 5 sec ==γante 75. 4 3 cot ==γangente Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la medida del ángulo γ Veamos el siguiente ejemplo
  • γ 4 3Hallar la medida del ángulo indicado. La razón seno γ es .8 , si necesito hallar la medida de γ y conozco el valor de seno γ , la función inversa de seno me permite encontrar el valor de γ de la siguiente forma: )8(.,8. 1− == senoentoncessenoSi γγ Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información que te provea el ejercicio. 8.0 5 4 ==γseno
  • )8(. ,8. 1− = = seno entonces senoSi γ γ CALCULAR LA INVERSA DE SENO Utilizaremos la calculadora ENTRADA EN LA CALCULADORA .8 SEN-1 = Presenta la respuesta en : Grados___ Radianes___
  • ENTRADA EN LA CALCULADORA .8 SEN-1 = Pantalla Radianes .927 Grado 53.13 Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes) antes de hacer los cómputos.
  • 4 3 β Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas. PRACTICA 1 1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β 2. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno. 3. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente.
  • Respuestas -PRACTICA 1 1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para β 75. 4 3 tangente 8. 5 4 coseno 6. 5 3 == == == β β βseno 67.1 3 5 cos ==βecante 25.1 4 5 sec ==βante 33.1 3 4 cot ==βangente 2. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación coseno. 87.366435. )8(. 1 cos8. 5 4 coseno gradosradianes eno = − ==β 3. Halla el valor de β , en grados y en radianes, utilizando la relación tangente. 0 87.366435. )75(. 1 tan;75. 4 3 tangente gradosradianes γβ = − ==
  • Compara las relaciones trigonométricas seno y coseno de γ y β 8. 5 4 coseno 6. 5 3 == == β βseno β = 36.870γ=53.130 6.0 5 3 coseno 8.0 5 4 == == γ γseno La suma de γ y β es 900 Por tanto γ y β son ángulos complementarios.
  • Sean γ y β dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes relaciones: βγ βγ βγ cottan seccsc cos = = = sen γβ γβ γβ cottan seccsc cos = = = sen
  • Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas. PRACTICA 2 1`. Halla el valor de β , en grados y en radianes. 2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes. 2 2 3 γ β
  • Respuestas -PRACTICA 2 1. Halla el valor de β , en grados y en radianes. 11.498571. )1547.1( 1 tan1547.1 3 2 tangente gradosradianes gente = − ==β 2. Halla el valor de γ, en grados y en radianes. En la forma corta tenemos que γ + β= 90, Por lo tanto γ= 90 - β γ= 90-49.11=40.89 Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos 89.407137. )866(. 1 tan866. 2 3 tangente gradosradianes gente = − ==β
  • Observación Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la medida de sus ángulos.
  • Ejemplo 2 Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo. 40 12 12 es la medida del lado opuesto a 40 grados 12 es la medida del lado adyacente de 50 grados 668.18 6428. 12 12 6428. 12 40 == = = xx xparadespejamos x x seno 668.18 6428. 12 12 6428. 12 50cos == = = xx xparadespejamos x x eno ó Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
  • PRACTICA 1 Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo 30 25 b a
  • Respuestas-PRACTICA 1 Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo 30 25 b a 5.12)25)(5(. 25 25. 25 30 == = = b bparadespejamos b b seno 65.21)25)(87(. 25 87. 25 30cos == = = b bparadespejamos a a eno
  • Estamos cargando una escalera de largo L por un pasillo de 3 pies de ancho hacia un area de 4 pies de ancho, según el siguiente dibujo. Halla la medida del largo de la escalera como función del ángulo θ tal como se ilustra. 3 pies 4 piesθescalera APLICACION
  • 3 pies 4 piesθescalera