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  • 1. Elementos DiscretosFacultad de Ciencias y Tecnología Departamento de Computación Teoría de Grafos: Grafos Eulerianos Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 2. Problema de los Puentes de Königsberg: Los Puentes de Königsberg: Problema delos Puentes de Königsberg (populosa y rica ciudad de la Prusia Oriental), nombre Königsberg antiguo de la actual ciudad de Kaliningrado (Rusia). La solución de Euler Definición de Grafo Euleriano El río Pregel atraviesa la ciudad y existen 2 islas en el medio del río, Teorema del Circuito conectadas entre sí y con las márgenes del río, a través de 7 puentes. Euleriano Demostración del Teorema Corolario del Camino Euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 3. Problema de los Puentes de Königsberg: Los Puentes de Königsberg: Problema delos Puentes de Protagonistas de uno de los problemas de los matemáticos del siglo Königsberg XVIII. La solución de Euler Definición de Grafo Euleriano Teorema del Circuito Euleriano Demostración del Teorema Corolario del Camino Problema: Euleriano ¿Es posible partir de un punto de la ciudad y recorrer cada puente una sola vez regresando al punto de partida.? Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 4. La solución de Euler: Euler: Problema delos Puentes de En 1736, el matematico suizo Leonhard Euler Königsberg modelo el problema usando un grafo G = (V, A)La solución de donde: Euler V = {las islas y las dos márgenes del río} y A = {los puentes} 1707 - 1783 Definición de Grafo Euleriano margen 1 G = (V, A) isla 1 isla 2 Teorema del Circuito Euleriano margen 2Demostración Problema:del Teorema ¿Existirá un circuito en el grafo G que recorra todos los arcos una sola vez? Corolario del Camino Euleriano Respuesta: Euler demostró que no existe dicho circuito. Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 5. La solución de Euler: Euler: Problema delos Puentes de Para que existiera el circuito buscado, todos los vértices de G debían Königsberg ser de grado par (en este caso todos son de grado impar).La solución de Euler 3 G = (V, A) Definición de 5 3 Grafo Euleriano 3 Teorema del Circuito Construcción de puentes: Euleriano Si se construyeran dos puentes el problema tendría soluciónDemostración afirmativa.del Teorema 4 G = (V, A) Corolario del Camino 6 4 Euleriano 4 Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 6. Definición de Grafo Euleriano: Definiciones: Problema delos Puentes de Königsberg Camino euleriano: Es un camino que recorre todos los arcos del grafo una sola vez.La solución de Euler Por lo tanto, es un camino simple que transita por todos los arcos del grafo.Definición de Grafo Euleriano Circuito euleriano: Es un camino euleriano, donde el vértice de partida coincide con el Teorema del Circuito vértice de llegada. Euleriano G = (V, A, ϕ) G1 = (V1, A1, ϕ) 3 e2 4 2 e2 4Demostración Ejemplos:del Teorema e9 4 e6 2 e6 e1 e10 4 e7 e3 e1 2 e7 e3 e5 e5 Corolario del e11 Camino e8 e8 e4 e4 Euleriano 4 3 4 2 C = (e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e1, e9, e10, e11) C = (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8) camino euleriano circuito euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 7. Definición de Grafo Euleriano: Grafo Euleriano: Problema delos Puentes de Un grafo es euleriano si contiene un camino o un circuito euleriano. Königsberg G = (V, A, ϕ) G1 = (V1, A1, ϕ)La solución de Por lo tanto 3 e2 4 2 e2 4 Euler e9 4 e6 2 e6 e1 e10 4 e7 e3 e1 2 e7 e3 e5 e5Definición de e11 Grafo e8 e8 e4 e4 Euleriano 4 3 4 2 C = (e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e1, e9, e10, e11) C = (e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8) camino euleriano circuito euleriano Teorema del Circuito Euleriano euleriano euleriano 3 G = (V, A)Demostracióndel Teorema 5 3 Corolario del 3 Camino No se puede construir un Euleriano camino euleriano no es euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 8. Teorema del Circuito Euleriano: Teorema: Problema delos Puentes de Para cualquier grafo G = (V, A). Königsberg Si G es conexo y todos sus vértices son de grado par, entonces GLa solución de tiene un circuito Euleriano. Euler Definición de Grafo grado par grado impar EulerianoTeorema del Circuito EulerianoDemostracióndel Teorema Corolario del Camino Euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 9. Demostración del Teorema: Demostración: Problema delos Puentes de Por inducción y por construcción. Königsberg Hipótesis: Tesis:La solución de Sea G = (V, A) un grafo, tal que: G tiene un circuito Euler (i) G es conexo, euleriano Definición de (ii) G tiene todos sus vértices de grado par Grafo Euleriano Teorema del Observaciones: Circuito Euleriano El problema del circuito euleriano radica en los arcos de G, por eso se va a hacer inducción sobre el número de arcos de G, es decir,Demostracióndel Teorema sobre |A| = m. Corolario del La intención es que al ir variando m, si el grafo cumple las hipótesis Camino Euleriano del teorema (G es conexo y todos sus arcos son de grado par) entonces se compruebe que G tiene un circuito euleriano. Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 10. Demostración del Teorema: Inducción: Colocamos el teorema como la propiedad a probar. Problema delos Puentes de P(m): Dado un grafo G = (V, A) con |A| = m. Königsberg Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entoncesLa solución de G contiene un circuito Euleriano. Euler La inducción se hace para |A| ≥ 3 Definición de Grafo Euleriano Se descartan los casos |A| = 1 y |A| = 2, porque con esa cantidad de arcos, los grafos que satisfacen las hipótesis no son simples. Teorema del Circuito EulerianoDemostracióndel Teorema Corolario del Camino Euleriano no son grafos simples Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 11. Demostración del Teorema: Inducción: Se usará la forma fuerte de inducción. Problema delos Puentes de P(m): Dado un grafo G = (V, A) con |A| = m. Königsberg Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entoncesLa solución de G contiene un circuito Euleriano. Euler Definición de Caso Base: Probar P(m) para m = 3 Grafo Euleriano P(3): Dado un grafo G = (V, A) con |A| = 3. Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces Teorema del G contiene un circuito Euleriano. Circuito Euleriano El grafo G = (V, A) con |A| = 3, que cumple las hipótesis es:Demostración 2del Teorema v1 En G existe el siguiente circuito euleriano: C = (v1, v2, v3, v1) Corolario del Camino Euleriano v3 v2 Por lo tanto, P(3) es verdadero. 2 2 Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 12. Demostración del Teorema: Paso Inductivo: Problema delos Puentes de Königsberg Hipótesis Inductiva:La solución de Euler Asumimos como cierto P(3) ∧ P(4) ∧ ... ∧ P(k-1), es decir, asumimos que: Definición de Grafo Para cualquier grafo G = (V, A) con |A| < k. Euleriano Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces G contiene un circuito Euleriano. Teorema del Circuito Euleriano Tesis Inductiva: Debemos probar P(k), es decir:Demostracióndel Teorema Dado un grafo G = (V, A) con |A| = k. Si G es conexo y todos los vértices de G son de grado par, entonces Corolario del G contiene un circuito Euleriano. Camino Euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 13. Demostración del Teorema: Paso Inductivo: Aquí se usa el Proceso de construcción. Problema delos Puentes de Königsberg Estrategia:La solución de Desarrollar la tesis, Euler partiendo de su antecedente (hipótesis de la tesis), Definición de por construcción se hace aparecer la hipótesis inductiva, Grafo Euleriano se sustituye y se trata de llegar al consecuente de la tesis. Teorema del Circuito Euleriano Antecedente de la tesis inductiva Consecuente de la Sea G = (V, A) un grafo con |A| = k, tal que: Tesis inductiva:Demostracióndel Teorema (i) G es conexo, G tiene un circuito (ii) G tiene todos sus vértices de grado par euleriano Corolario del Camino Euleriano Asumimos entonces que disponemos de un grafo G = (V, A), con |A| = k arcos, que es conexo y todos sus vértices son de grado par. Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 14. Demostración del Teorema: Paso Inductivo: Aquí se usa el Proceso de construcción. Problema delos Puentes de Königsberg Construcción: Ilustración:La solución de (1) Conseguir un circuito cualquiera (1) Euler en G, denominándolo Cprinc. Definición de Si Cprinc es euleriano entonces inicio Grafo la demostración termina Euleriano sino continuamos: G4 G2 Teorema del (2) Quitar de G los arcos del circuito Cpric. (2) Circuito G3 Se generan una o varias componentes Euleriano conexas en G (p ≥ 1). inicio G1Demostración (3) Cada componente conexa cumple que: (3) G5del Teorema tiene cantidad de arcos menor que k, es conexa y G4 G2 Corolario del todos sus vértices son de grado par. G3 Camino Por hipótesis inductiva, cada G1 Euleriano componente conexa posee un G5 circuito euleriano. euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 15. Demostración del Teorema: Paso Inductivo: Aquí se usa el Proceso de construcción. Problema delos Puentes de Königsberg Construcción: Ilustración:La solución de (4) Escoger p vértices de Cpric: ui , uno (4) Euler u3 G4 u3 G2 por cada componentes conexas, u4 u2 u4 G3 u2 i ∈ {1, 2, ..., p} u1 inicio Definición de u1 G1 Grafo en el orden en que fueron visitadas las u5 u5 Euleriano componentes conexas. G5 Teorema del (5) Armar el circuito euleriano de G, (5) Circuito ensamblando el circuito Cpric con los Euleriano circuitos eulerianos de las componentes inicio conexas, en el orden que son visitadasDemostracióndel Teorema por el circuito Cpric. Corolario del Camino Euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos
  • 16. Corolario del Camino Euleriano: Corolario: Problema delos Puentes de Para cualquier grafo G = (V, A). Königsberg Si G es conexo y todos sus vértices son de grado par o exactamenteLa solución de dos son de grado impar, entonces G tiene un camino Euleriano. Euler Ejemplo: G = (V, A) 2 Definición de Grafo Euleriano 4 4 G = (V, A) G = (V, A) Teorema del Circuito 3 3 Euleriano En G existen exactamente dos vértices de grado impar,Demostración entoncesdel Teorema G tiene un camino euleriano Extraemos un camino Queda componenteCorolario del que inicie en uno de los conexa con un circuito Camino Euleriano vértices de grado impar euleriano. y que termine en el otro Ensamblando ambos se vértice de grado impar. obtiene el camino euleriano. euleriano Teoría de Grafos Unidad Académica Elementos Discretos

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