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  • 1. PROFESSOR HELANDERSON SOUSAMOMENTO DE INÉCIAMomento de inércia de uma distribuição de massaspontuaisTemos que calcular a quantidadeonde xi é a distância da partícula de massa mi ao eixo de rotação.Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma massa desprezível. Sãocolocados 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, e 1.0 m de umdos extremos. Calcular o momento de inércia do sistema relativo a um eixoperpendicular a varinha que passa através de Um extremo Da segunda massa Do centro de massa O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela primeira partícula é IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2 O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela segunda partícula é IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2 O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa pela terceira partícula (centro de massas) é IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2Em vez de calcular de forma direta os momentos de inércia, podemos calcular de formaindireta empregando o teorema de Steiner. Conhecido IC podemos calcular IA e IB,sabendo as distâncias entre os eixos paralelos AC=0.5 m e BC=0.25 m.A fórmula que temos que aplicar é
  • 2. I=IC+Md2 IC é o momento de inércia do sistema relativo a um eixo que passa pelo centro de massa I é o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior M é a massa total do sistema d é a distância entre os dois eixos paralelos.IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.Momento de inércia de uma distribuição contínua demassaPassamos de uma distribuição de massas pontuais a uma distribuição contínua de massa.A fórmula que temos que aplicar édm é um elemento de massa situado a uma distância x do eixo de rotaçãoResolveremos vários exemplos divididos em duas categorias Aplicação direta do conceito de momento de inércia Partindo do momento de inércia de um corpo conhecidoMomento de inércia de uma varinha Vamos calcular o momento de inércia de uma varinha de massa Me comprimento L relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa pelo centro de massas.A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido entre x e x+dx éO momento de inércia da varinha é
  • 3. Aplicando o teorema de Steiner, podemos calcular o momento de inércia da varinha relativo a um eixo perpendicular a mesma que passa por um de seus extremos.Momento de inércia de um discoVamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R relativo a umeixo perpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro.Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um anelde raio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, é convertido em umretângulo de comprimento 2 x e largura dx, cuja massa éO momento de inércia do disco éMomento de inércia de um cilindroVamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R ecomprimento L relativo a seu eixo.
  • 4. Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é umacamada cilíndrica cujo raio interno é x, externo x+dx, e de comprimento L, tal como émostrada na figura. A massa dm que contém esta camada éO momento de inércia do cilindro éMomento de inércia de uma placa retangular Vamos calcular o momento de inércia de uma placa retangular delgada de massa M de lados a e b relativo ao eixo que passa pela placa. Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um retângulo de comprimento a de largura dx. A massa deste retângulo éO momento de inércia da placa retangular é
  • 5. Momento de inércia de um disco Vamos calcular o momento de inércia de um disco de massa M e raio R, relativo a um de seus diâmetros. Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O elemento é um retângulo de comprimento 2y de largura dx. A massa deste retângulo éO momento de inércia do disco éFazendo a mudança de variávelx=R·cosθy=R·senθChegamos a integralMomento de inércia de uma esferaVamos calcular o momento de inércia de uma esfera de massa M e raio R relativo a umde seus diâmetros
  • 6. Dividimos a esfera em discos de raio x e de espessura dz. O momento de inércia de cadaum dos discos elementares éA massa de cada um dos discos éO momento de inércia da esfera, é a soma dos momentos de inércia de todos os discoselementares.Para resolver a integral temos que relacionar a variável x com a z. Como vemos nafigura x2+z2=R2Momento de inércia de um cilindroVamos calcular o momento de inércia de um cilindro de massa M, raio R ecomprimento L, relativo a um eixo perpendicular a sua geratriz e que passa por seucentro.
  • 7. Dividimos o cilindro em discos de raio R e espessura dx. O momento de inércia de cadaum dos discos relativo a um de seus diâmetros éAplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia deste disco, relativoa um eixo paralelo situado a uma distância x.O momento de inércia do cilindro éMomento de inércia de um paralelepípedoVamos calcular o momento de inércia de um paralelepípedo de massa M e delados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces.Dividimos o paralelepípedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx.
  • 8. O momento de inércia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria éAplicando o teorema de Steiner, calculamos o momento de inércia desta placa relativo aum eixo paralelo situado a uma distância x éO momento de inércia do sólido em forma de paralelepípedo é Duvidas e sugestões helandersomslavyero@hotmail.com