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  • PROFESSOR HELANDERSON SOUSAEquilíbrio e estabilidadeO equilíbrio é conseguido, quando o momento do peso que pende relativo aoeixo de rotação do disco, é igual e de sentido contrário ao momento damassa adicional m colada ao disco a uma distância r de seu eixo. Odeslocamento angular de equilíbrio θe da massa pontual é MgR=mgr·senθeA altura de equilíbrio do bloco é he=R·θeO ângulo θe existe se é cumprido que MR≤mrEstudaremos agora a situação do ponto de vista energético.Consideremos a situação de quando a massa adicional m foi deslocada de umângulo θ, e o bloco de massa M tenha descido uma altura h=R·θ (veja aprimeira figura)Ep(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ.Calculamos seus extremos derivando a função energia potencial Ep(θ)relativo ao ângulo θ, e igualando a zero.Existem dois possíveis ângulos, θe e π-θe. Vamos comprovar que o primeirocorresponde a um mínimo da energia potencial, enquanto que ao segundo
  • corresponde um máximo. Encontramos a derivada segunda da funçãoenergia potencialO coseno é positivo (mínimo) para θe, é negativo (máximo) para π-θe.Na figura, vemos que a função Ep(θ) apresenta um mínimo para θe=41º, e ummáximo para 180- θe=139ºQuando mr=MR o máximo e o mínimo coincidem em θ=90º que é o ponto deinflexão.Quando MR>mr a função energia potencial é uma função decrescente de θ.
  • Equação do movimento Na figura, é mostrada as forças que atuam sobre o disco e as forças que atuam sobre o bloco de massa M. O disco gira no sentido indicado com aceleração angular α, e o bloco tem uma aceleração a. A relação entre ambas acelerações é a=α·R Equação do movimento do bloco Mg-T=Ma Equação do movimento do disco e a massa pontual m Iα=T·R-mgr·senθO momento de inércia do disco de massa md e da massa adicional m éEliminando a tensão T da corda, chegamos a equação diferencial domovimento do discoResolvemos está equação diferencial por procedimentos numéricos com asseguintes condições iniciais t=0, θ=0, dθ/dt=0.Oscilações ao redor da posição de equilíbrio estávelComo caso particular, estudamos as oscilações de pequena amplitude, aoredor da posição de equilíbrio θeColocando θ=θe+φ, na equação diferencial
  • Desenvolvendo o seno de uma soma, e aproximando senφ≈φ, cosφ≈1Que é a equação diferencial de um MHS de freqüência angularExemplo: Massa do disco, md=1 kg Massa pontual colada ao disco, m=0.3 kg Massa do bloco que pende, M=0.1 kg Raio do disco R=1 m Distância da massa pontual m ao centro do disco, r=0.5 mÂngulos máximo e mínimoA função energia potencial apresenta um mínimo para θe=41.8º, e ummáximo para 180- θe=138.2ºO período das oscilações de pequena amplitude ao redor da posição deequilíbrio estável é
  • Na simulação, o sistema parte do repouso da posição θ=0. A energia inicial ézero. Quando se encontra na posição θ=60º=π/3, a energia potencial valeEp=0.3·9.8·0.5(1-cos(π/3))-0.1·9.8·1.0·(π/3)=-0.29 JA energia cinética é a soma da energia cinética de rotação do disco que semove com velocidade angular ω, e a energia cinética do bloco que se movecom velocidade v. A relação entre ambas as velocidades é v= ω·RAplicando o princípio de conservação da energiaEk+Ep=0,0.3375ω2-0.29=0, ω=0.93 rad/sA energia volta a ser zero na posiçãoEp(θ)=mgr(1-cosθ)-MgR·θ=0. O ângulo θ, é obtido resolvendo a equaçãotranscendentalmr(1-cosθ)-MR·θ=01.5(1-cosθ)-θ=0A raiz é θ=1.56 rad=89.2º, como podemos apreciar no primeiro gráfico.
  • O código na Linguagem Java para resolver uma equação transcendental peloprocedimento do ponto médio, é encontrada na página titulada "Outrosmáximos do tiro parabólico". Duvidas e sugestões helandersomslavyero@hotmail.com