lista 3 -assunto:variado

1. 3435985top<br />PROFESSOR HELANDERSON SOUSA<br />LISTA 3<br />ASSUNTO: VARIADO<br />Problema 1<br />Resolva a equação exponencial abaixo<br />8x+ 27x12x+18x = 76<br />Problema 2<br />Ache todos os números reais x que satisfação a equação<br />2x+3x-4x+6x-9x=0<br />Problema 3<br />Calcule a soma<br />31!+2!+3! + 42!+3!+4! + ... + 20011999!+2000!+2001!<br />Problema 4<br />Calcule a soma<br />1.1! + 2.2! + ... + n.n!<br />Problema 5<br />Dada a função f(x) = 24x+2<br />Calcule o valor de f(12001) + f(22001) + f(32001) + ... + f(20002001)<br />Problema 6<br />Determine o valor da integral<br /> I = 2+2+2+…+2+xdx<br /> <br />Problema 7<br />Calcule <br />limn->∞(1n+1+1n+2+ …+ 12n)<br />Problema 8<br />Se f(y) = y + y6 + y18 +y324 + ...<br />Calcule f(32-1)<br />Problema 9<br />Determine o valor da soma<br />1+112+122 + 1+122+132 + ... + 1+119992+120002<br />Problema 10<br />Sendo (1+x)1/4 a função geradora ordinária para a sequencia ar, encontre a2<br />Soluções<br /> HELANDERSON SOUSA lefttop<br />1)<br />Chamemos a = 2x e b = 3x<br />Assim podemos escrever<br />a3+b3a2b+ b2a= 76<br />a3+b3 = (a + b)(a2- ab + b2)<br />E a2b+ b2a = (a + b)ab<br />Assim <br />a3+b3a2b+ b2a = (a + b)(a2- ab + b2)(a + b)ab = (a2- ab + b2)ab = 76<br />↔ 6a2 - 6 ab +6 b2 = 7 ab<br />= 6a2- 13 ab + 6b2 = 0<br />Fatorando temos<br />(2a – 3b)(3a – 2b) = 0<br />Logo<br />2x+1 = 3x+1 Ou 2x-1 = 3x-1<br />Que só é válida pra x + 1 = 0 ↔ x = -1<br />Ou x – 1 = 0 ↔ x = 1.<br />1 e -1 satisfazem a equação<br />2)<br />Façamos a = 2x e b = 3x<br />Assim teremos <br />a + b - a2 + ab - b2 = 1 ou<br />1 + a2 + b2 – a – b – ab = 0<br />2 + 2a2 + 2b2 – 2a –2 b –2 ab = 2.0<br />1 + 1 + a2 +a2 + b2 +b2 – 2a –2 b –2 ab = 0 <br />(a2 – 2a + 1) + (b2 –2b + 1) + (a2 –2 ab +b2) = 0<br />(a-1)2+(b-1)2+(a-b)2 = 0 <br />Portanto<br />1 = 2x = 3x o que implica x = 0 é a única solução<br />3)<br /> Considere <br />(K+2)k!+k+1!+k+2!= (K+2)k![1+k+1+(k+1)(k+2)= (K+2)k![(k+2)+(k+1)(k+2)<br />= 1k!(k+2) = k+1k+2!= k+2-1k+2!= k+2k+2!-1k+2!= k+2k+2k+1!- 1k+2!=1k+1!-1k+2!<br />Logo a soma se torna <br />12! - 13! + 13! - 14! + ... + 12000! - 12001! = 12! - 12001! = 12 - 12001!<br />4)<br />(k+1)! – k! = [(k+1)k! – k!] = k!k Assim temos que<br />1.1! = 2! – 1!<br />2.2! = 3! – 2!<br />3.3! = 4! – 3!<br />...................<br />n.n! = (n+1)! – n!<br />Somando membro a membro temos<br />1.1! + 2.2! + ... + n.n! = 2! – 1! + 3! – 2! + 4! – 3! + ... + (n+1)! – n!<br />= (n+1)! – 1<br />5)<br />Repare que f(1 – x) = 4x4x+2 e sendo assim<br />f(x) + f(1-x) = 1<br />assim podemos concluir que a soma de um parcela e a sua antecessora é sempre 1, como temos 2000 parcelas, podemos concluir que:<br />f(12001) + f(22001) + f(32001) + ... + f(20002001) = 1000<br />6)<br />Façamos x =2 cost -> dx = -2sent dt<br />Assim teremos<br />2+2+2+…+2+x = 2+2+2+…+2+2cost <br />= 2+2+…+2cost2 = 2cost2n<br />E a integral se transforma em<br />I = 2cost2n-2sentdt= -4sentcost2ndt = -2[sen(2n+12n) - sen(2n-12n)]dt<br />= 2n+12n+1cos(2n+12narcocosx2) - 2n+12n-1cos(2n-12narcocosx2) + k<br />7)<br /> limn->∞(1n+1+1n+2+ …+ 12n) = limn->∞k=1n(1n+k)<br />= limn->∞k=1n(1n1kn+1) = 011x+1dx = Ln(2)<br />8)<br />f(y) = y(1 + 1/6 +1/18 + 1/324 + ...) <br />S = (1 + 1/6 +1/18 + 1/324 + ...) <br />E f(y) = yS<br />(1+x)n = 1 + nx + n(n-1)2!x2 + nn-1(n-2)3!x3+ ...<br />Comparando temos<br />nx = 16 , n(n-1)2!x2 = 118<br />então n(n-1)2!x2(nx)2 = 3618 -> n – 1 = 4x<br />assim teremos n = - 13<br />e x = -12 <br />portanto s = (1+x)n = (1-12)-13 = 32<br />Assim<br />f(y) = y 32 e f(32-1) = 1<br />9)<br />1+1n2+1(n+1)2= (n2+ n+1)2n2(n+1)2 <br />Portanto<br />1+112+122 = n2+ n+1n2+ n = 1 + 1n(n+1)<br />Assim 1+112+122 + 1+122+132 + ... + 1+119992+120002 = n=11999(1 + 1n(n+1)) <br />= 2000 – 1/2000<br />10)<br />Basta tomarmos o coeficiente de x2 na expansão de (1+x)1/4 ;<br />(1+x)1/4 = r=0∞14rxr = 1 + 14x + 14(14- 1)2!x2 + ...<br />Logo<br />a2= 14(14- 1)2! = - 332<br />Dúvidas, sugestões e colaborações<br />helandersomslavyero@hotmail.com<br /> <br />