Complexos

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  • 1. Números ComplexosPROFESSOR HELANDERSON SOUSA helandersomslavyero@hotmail.comProblema 1Prove que é uma número real puro, sendo i = Solução: =Racionalizando teremos o numero entre parênteses pode ser reescrito como cos + isen mas isso é Cis lembrando da forma exponencial podemosescrever Cis = onde “e” é o número de Eulerassim teremos = = finalmente teremos = que é uma número real puro.Problema 2Prove que = 2i
  • 2. SoluçãoPartindo da informação que = (se você não sabia disso tente provar!!!)Tirando o logaritmo natural nos dois lados da igualdade ficamos comln = lnilni = lne = assim = -2ilniOu = 2ilnProblema 3Mostre que todas as raízes da equação: pertencem a uma mesma retaparalela ao eixo imaginário no plano complexo. Solução dividindo todo mundo por = -1 = = cis[(2k + )/2]Faremos (2k + )/2) = x 1 + 1/z = cis x 1/z =cisx – 1Z = 1/(cosx-1) = 1/[(cosx-1) + isenx] = 1/[(cosx-1) + isenx]. NOnde N =[(cosx -1)-isenx]/ [(cosx -1)-isenx] = 1Com um pouco de álgebra simples teremosZ=- - asssim Re(z) = -Assim provamos que z pertence a uma reta paralela ao eixo imaginário pois sua partereal é constante
  • 3. Problema 4Determine o valor da soma, para n natural, tal que n 1:S = sen( ) + sen( ) + … + sen( ) Solução:Analisemos inicialmente o somatórioA = cis( ) + cis( ) + cis(3 ) + ...+ cis( )Pela lei de Moivre a soma A torna-seA = cis( ) + + + ...+Fazendo z = cis( ) temos A = z + + + ... +Essa é a soma de uma P.G de razão zLogo podemos escrever A = da lei de Moivre temos z= cis( ) z=1Assim teremos A = = -1A soma pedida é justamente a parte imaginária de A, a qual obtemos um resultadonuloAssim podemos concluir queS = sen( ) + sen( ) + … + sen( ) =0Problema 5Mostre, para n 0, que -3 + - + ... = sen Solução:A soma pedida pode ser expressa em forma de somatório da seguinte formaS=
  • 4. ( Nesse momento realmente tente se convencer da proposta do somatório)Sabemos que =Fazendo a = e considerando a lei de MoivreTeremos =Para x = teremos = -3 + -… Olá, sou Jean Fourier gosto dessas questões de Séries. Nesse ponto lembre-se que cis( = cos ) + isen )=iContinuado teremos que a parte imaginaria de = = sen(n /3)“Note que = 2cisy logo y = /3”Assim teremos sen(n /3) = - + - …]FinalmenteS= = sen(n /3) ESSA NÃO FOI TÃO FÁCIL !!!Problema 6
  • 5. soluçãoProblema 7Se x + = , Prove que + = 2cos(yn) SoluçãoPrimeiro note queAssim teremosx+ = ou + 1 = 2xcos(n)assim x = cos(n) isen(n)Pela lei de Moivre temos cos(yn) isen(yn) ; = = cos(yn) isen(yn)Somando obtemos: + = 2cos(yn)
  • 6. Problema 8Ache a soma as série infinita1 + cos + cos + cos3 + ...Problema 9Ache o valor da soma infinitasen + )+ )+ )+…Problema 10Calcule o valor da soma infinitacos + x cos + + ...A SOLUÇÃO DAS QUESTÕES 8,9 E 10 SERÃO POSTADAS BREVEMENTE EM UMA LISTA APENAS COM PROBLEMAS DE SOMATORIOS TRIGONOMÉTRICOS ENVOLVENDO NÚMEROS COMPLEXOS