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Lógica proposicional

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  • 1. LÓGICA PROPOSICIONAL.Aprender matemáticas, física y química es muy difícil; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos losniveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas losalumnos. Tal vez se deba a que Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar lasconocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se lepresentan en la vida real. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente módulopretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la lógica matemática, él sea capaz de encontrarestos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga unabuena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estosconocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determinasi un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación,física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tenerdiferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En los matemáticospara demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. Enla computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquiertrabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo; para ir de compras al supermercado unama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una personadesea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes noprepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque semancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar deizquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se haenfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientosacumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilizaciónde los mismos.El orden en que se abordará el pensamiento lógico es el siguiente: Primeramente se establece laimportancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece elsignificado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos lasproposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, yproporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llamaproposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos losmétodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.En este módulo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestroobjetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el métodopor contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación ydemostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendráproblemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de Lic. Yeimsor Pabón M
  • 2. computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver nproblema determinado.Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. Elcamino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que elalumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones comoalumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en laaplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz deinventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas deinferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.DESARROLLO.La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógicaproporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógicose emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son ono correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; yen las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usaen forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.PROPOSICIONES Y CONECTIVOS LÓGICOS.Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Laproposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porquéalgunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula,dos puntos y la proposición propiamente dicha.Ejemplo:p: La tierra es plana.q: -17 + 38 = 21r: x>y-9s: El Junior será campeón en la presente temporada de fútbol.t: Hola ¿como estas?w: Lava el coche por favor.Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposicionesvalidas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende delvalor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también estaperfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara Lic. Yeimsor Pabón M
  • 3. la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valorde falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.CLASES DE PROPOSICIONESHay dos clases de proposiciones:Proposiciones Simples. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo:p: El cielo es azul. (Verdadero)Proposiciones Compuestas. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidaspor conectivos lógicos. Ejemplo: Los Patos nadan y vuelan.La proposición anterior es compuesta porque está formada por dos proposiciones simples unidas por unconectivo lógico (y), y por lo tanto se puede dividir, veamos como: P: los patos nadan q: los patos vuelanOtros Ejemplos: Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto.Conectivos Lógicos.Son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Conectores lógicos Nombres Símbolo no Negación ~ y Conjunción ˄ o Disyunción v Si……. entonces…… Condicional → Si y sólo si Bicondicional ↔Ejemplo:Negación. P: Juan conversa ~ p: Juan no conversaConjunción. P: La casa está sucia. Q: La empleada la limpia mañana P ˄ Q: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana Lic. Yeimsor Pabón M
  • 4. Disyunción. P: Pedro juega básquet Q: María juega fútbol p v q: Pedro juega básquet o María juega fútbol.Condicional. p: Si me saco la lotería q: Te regalaré un carro P → q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.Bicondicional. p: Simón Bolívar vive q: Montalvo está muerto p ↔ q: Simón Bolívar vive si y solo si Montalvo está muerto.Actividad:¿Crees que el estudio de la lógica y el desarrollo del pensamiento lógico son importantes? Explica.Determina cuál de las siguientes expresiones son proposiciones. 1. Simón Bolívar murió en Colombia. 2. Buenos días!. 3. Colombia es un país suramericano. 4. Los peces son animales vertebrados. 5. ¿cuál es su nombre? 6. Brasil es el mejor equipo de futbol. 7. ¿cómo esta?Forma proposiciones compuesta (una por cada conectivo lógico: ˄, v, →,↔) para cada una de las siguientesproposiciones simples. 1. p: 1 es un número impar q: 3 es un número primo 2. m: París se encuentra en Inglaterra n: París está en Francia 3. f: Alemania se encuentra en Europa g: Londres está en Inglaterra 4. r: Hoy es jueves q: Hay clases de matemáticas Lic. Yeimsor Pabón M