Las reglas de divisibilidad demostradas con congruencias
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Las reglas de divisibilidad demostradas con congruencias Las reglas de divisibilidad demostradas con congruencias Document Transcript

  • LAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD DEMOSTRADAS POR CONGRUENCIA NUMÉRICAS Hagamos un freno en el camino y pensemos “qué aporta una demostración a la formación intelectual de un estudiante”, y si de alguna manera logramos visualizar los beneficios implícitos en su forma de pensar y actuar, entonces estamos valorando su necesidad no solo como parte integral del currículo de la Matemática si no como la formación de seres humanos racionales y pensantes en un mundo que está siendo digerido por una serie de distractores, llámese televisión, redes sociales, juegos electrónicos entre otros. En la mayoría de las ocasiones en esta Costa Rica, ajena a una mejora significativa en los programas de la enseñanza de la matemática, nosotros los formadores de secundaria generalizamos las demostraciones simplemente como pruebas o verificaciones de las proposiciones que se les ocurrieron hace mucho tiempo a algunos matemáticos y perdemos la perspectiva de lo que somos y enseñamos. Las demostraciones se convierten casi siempre en procesos de memoria para lograr ganar un curso y en nuestra práctica, la labor por una u otra circunstancia se desvía de lo esencial. Y si bien es cierto las demostraciones verifican lo enunciado dando muestra de seguridad en lo que se está definiendo, también cabe señalar otras características que pueden definirlas de una manera más elegante como cita (Ibañes, 2001), quien le otorga otras como la de iluminación (se espera que una buena demostración proporcione ideas del porqué es cierta) y la de sistematización (organización de un sistema deductivo de la teoría: axiomas, definiciones y teoremas ya demostrados con anterioridad). Otros como De Villiers (1993), quien critica a los que sólo le adjudican a la demostración la función tradicional de prueba o verificación, destaca además la función de explicación de las demostraciones pues no es sólo cuestión de asegurarse, sino de explicar por qué la proposición es cierta, de hacer la actividad significativa, si no que a la vez constituye una motivación. Incluye en su lista de funciones la de descubrimiento, pues a menudo es un método de exploración, análisis, inventiva que en ocasiones lleva a nuevos resultados; y la de comunicación, como una manera de expresar los resultados ante otros profesionales, al profesorado y ante los propios estudiantes, es un foro para el análisis crítico de aciertos y desaciertos. En fin, es un reto intelectual entre lo desconocido y conocido. Pues tomando en cuenta la caracterización que estos autores le dan a las demostraciones es para nosotros un reto intelectual en el que vamos a descubrir la verificación de los criterios de divisibilidad comunicándolos a todos aquellos interesados que visiten este blog, claro está que existen otras maneras de demostrarlos.
  •  Definición Se dice que dos enteros a y b son congruentes módulo d, donde d es entero mayor que 1, si a y b dan el mismo residuo al dividirlos por d. Si a es congruente con b módulo d, se anota (mód. d)  Lema 1 Las siguientes condiciones son equivalentes: 1) (mód. d) 2) , para algún entero 3) divide  Corolario (mód. d) si y sólo si es divisible por  Lema 2 Si (mód. m) y (mód. n), donde m y n son primos relativos, entonces (mód )  Lema 3 Si (mód. d) y (mód. d), entonces: 1) (mód. d) 2) (mód. d) 3) (mód. d) 4) (mód. d) para cualquier número real
  • Las reglas de divisibilidad Sea cualquier entero expresado en el sistema decimal en la forma , donde , y La expresión anterior nos indica que si por ejemplo entonces podemos expresar a . Y que al ser la base 10 el sistema en que trabajamos las demostraciones a continuación se fundamentaran en dicho sistema.  Divisibilidad por 2 Si un entero termina en cifra par, entonces es divisible por 2 Demostración Tenemos que 0 (mód. 2) para k = 1,2,…..n Corolario del Lema 1 Por lo que, (mód. 2) La propiedad 4) del Lema 3 Si (mód. 2) (es decir, si es número par), entonces (mód. 2) (mód. 2) (mód. 2) (mód. 2) Sumando de manera vertical estas congruencias se tiene que (mód. 2) De ahí que es divisible por 2.
  •  Divisibilidad por 3 Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3. Tenemos que (mód. 3) para k = 1,2,3,…….,n Además (mód. 3) (mód. 3) La propiedad 4) del lema 3 ( mód. 3) Sumando estas congruencias, resulta ( mód. 3 ) De aquí se obtiene la regla que al sumar los dígitos de un número entonces es divisible por 3.  Divisibilidad por 5 Si un número termina en 0 ó en 5, entonces es divisible por 5 Se tiene que (mód. 5) para k = 1,2,3,…...,n Entonces si (mód. 5), resulta que y como se obtiene ó . En consecuencia, ó Por lo tanto: 0 (mód. 5) (mód. 5) (mód. 5) Sumando: (mód. 5)
  •  Divisibilidad por 7 Si la expresión: es divisible por 7, entonces el número también lo es. Tenemos que (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) y así sucesivamente Por lo tanto , (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) (mód. 7) Sumando se obtiene: Ejemplo. El número 3927 es divisible por 7 porque es divisible por 7
  • Divisibilidad por 10 Si un entero termina en 0, entonces es divisible por 10 Tenemos que (mód. 10) para . Si (mód.10) entonces , ya que . Divisibilidad por 11 Si la suma de los dígitos de un entero alternados en signos es divisible por 11, entonces el número es divisible por 11. Se tiene que (mód. 11) (mód. 11) (mód. 11) (mód. 11) … ( mód. 11) dependiendo si es par o impar Por lo tanto, (mód. 11) (mód. 11) (mód. 11) … (mód. 11), dependiendo si es par o impar Resulta entonces Ejemplo: el número 3162819 es divisible por 11 ya que 9-1+8-2+6-1+3 = 22 es divisible por 11