1. Trigonometría
Moderna
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
Y SUS
RAZONES TRIGONOMETRICAS

2. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el
semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen
de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en
cualquier lugar del plano cartesiano.
x
Y
Lado inicial del ángulo
en posición normal
Lado final del ángulo
en posición normal

Medida del ángulo
en posición normal Ángulo en el 2do
Cuadrante
o
Origen de
Coordenadas

3. Y
X
Lado inicial
Lado Final

Medida del ángulo en
posición normal
Ángulo
ubicado en el
3er
cuadrante
X
Y

Lado inicial
Lado Final
Ángulo
ubicado en el
4to
cuadrante

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición
normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0)
el radio vector de dicho punto, entonces la Razones
Trigonométricas de” “ , se definen como sigue:
X
Y

 yxP ;
y
x
rr
y
Senθ 
r
x
Cosθ 
x
y
Tanθ 
y
x
Ctgθ 
x
r
θSec 
y
r
θCsc 


5. Del gráfico:
x
y
 12;5

x
y
Como:
222
yxr 
Entonces:    222
125 r
13r 
Calcula todas las R.T. de 
Luego:
13
12

r
y
Sen
13
5

r
x
Cos
5
12


x
y
Tan
12
5

y
x
Ctg
5
13


x
y
Sec
12
13

y
r
Csc

6. 2) Calcula: CscθSecθ en:
-2
-1
θ
Resolución.-
Lo primero será calcular el valor del radio vector r
r
    222
r12 

Entonces: 5r;1y;2x 
CscθSecθLuego:
 y
r
x
r
  1-
5
2-
5

CscθSecθ  2
52
2
5 


 2
53
θ

7. En el gráfico:
SecφSenφ 
( 4 ; 5)
Calcula:
( -4 ; -5)
Resolución.-
Trasladamos el punto (4;5) por simetría, asiendo rotaciones de 90°.
Luego:
SecφSenφ  =
4
41
41
5



=
414
21

 =
414
21
θ

8. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Como las razones trignométricas dependen de dos cantidades
(abscisas, ordenadas y/o radio vector), nos percatamos que las
razones trigonométricas tienen un signo que se obtiene de la
combinación de los signos que poseen estas cantidades.
( x ; y)
+ ; +
θ
Senθ = y : r = + : + = +
Cosθ = x : r = + : + = +
Tanθ = x : r = + : + = +
Ctgθ = x : r = + : + = +
Secθ = x : r = + : + = +
Cscθ = x : r = + : + = +

9. ( x ; y)
- ; +
θ
Senθ = y : r = + : + = +
Cosθ = x : r = - : + = -
Tanθ = x : r = + : - = -
Ctgθ = x : r = - : + = -
Secθ = x : r = + : - = -
Cscθ = x : r = + : + = +
θ
Senθ = y : r = - : + = -
Cosθ = x : r = - : + = -
Tanθ = x : r = - : - = +
Ctgθ = x : r = - : - = +
Secθ = x : r = + : - = -
Cscθ = x : r = + : - = -
( x ; y)
- ; -

10. θ
( x ; y )
+ ; -
Senθ = y : r = - : + = -
Cosθ = x : r = + : + = +
Tanθ = x : r = - : + = -
Ctgθ = x : r = + : - = -
Secθ = x : r = + : + = -
Cscθ = x : r = + : - = +
TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE
LAS R.T. POR CUADRANTES
1er CUADRANTE
Todas las Razones
Trigonométricas
son Positivas
2do CUADRANTE
El SENO y el
CO-SECANTE son
Positivas, las demás
Negativas.
3er CUADRANTE
La TANGENTE y
La COTANGENTE
son Positivas, las
demás Negativas.
4to CUADRANTE
El COSENO y La
SECANTE son
Positivas, las demás
Negativas.

11. ALGUNAS APLICACIONES