Ejercicios de Calculo Multivariable

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Ejercicios de Calculo Multivariable

  1. 1. jairospino@ingenieros.comCreado por: Jair Ospino ArdilaMaterial colaborativoCon el fin de aportar al conocimiento de todos ustedes hecreado este material muy valioso para aquellos que seesmeran en avanzar en la vida, espero puedan disfrutar deeste material. Dios les bendiga.1) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto(2, 3, 4)y es perpendicular al plano determinado por los puntos (0,0,-6),(0,3,0) y (2,0,0)La ecuación de cualquier plano es de la forma Ax+By+Cz+D=0Como los puntos (0,0,-6), (0,3,0) y (2,0,0) están en el plano,tenemos que:-6 + D = 03B + D = 02A + D = 0Por eliminación, reducimos este sistema de ecuaciones a:-6C + D = 03B + D = 02A + D = 0Puesto que los números A, B, C y D están determinados salvo porun multlipo escalar, podemos fijar el valor de uno de ellos,digamos A=1, y entonces los otros estarán ya determinados demanera únicaObtenemos:2A + D = 0 -6C – 2 = 0 3B – 2 = 0 A = 12(1)+D = 0 -6C = 2 3B = 2D = -2 C = - 1/3 B = 2/3
  2. 2. jairospino@ingenieros.comAsí una ecuación del plano que contiene a los puntos dados es:2 123 3x y z  Luego000x x aty y btz z ct   2233143 23( 3)23( 4)x ty tzDespejamos tx ty tz t      Igualamos las ecuaciones32 ( 3) 3( 4)2x y z    3) Encuentre la distancia entre el punto (2, 8,4) y el plano2x + y + z = 5Se sabe que n= <2, 1 ,1>, es normal al plano dadoPara hallar un unto P en el plano se hace: y=0, z=0, y se obtieneun punto P (5/2, 0 ,0).
  3. 3. jairospino@ingenieros.comEl vector que va de P a Q está dado por:52 ,8 0,4 021,8,42PQPQ      Usamos la formula para la distancia2 2 2| ||| ||1| ,8,4 2,1,1 |22 1 1| 1 8 4 |6PQ nDnDD        11611 66 611 66DDD 4) Encuentre la distancia entre el punto (4,-1,5) y la recta x=3,y=3+6t, z = -8tUsando los números de dirección 0, 6, -8 obtenemos un vector dedirección u = <0, 6, -8>
  4. 4. jairospino@ingenieros.comPara determinar un punto en la recta se hace t=0 y se obtienep= (3, 3, 0)Luego4 3, 1 3,5 01, 4,5PQPQ       Se forma el producto vectorial1 4 50 6 8î j kPQ U       = ( 32 – 30 )î - ( - 8 – 0 )j + ( 6 – 0 )k2 8 62,8,6PQ U î j kPQ U     Por ultimo buscamos la distancia2 2 22 2|| |||| ||(2) (8) (6)(6) (8)PQ UDUD 
  5. 5. jairospino@ingenieros.com1041002 2610265DDDIdentifique la superficie, encuentre los intercepto, las trazas, lassecciones transversales y grafique la superficie dada por laecuación que se indica.5)2 2 2 22 2 24coscoscosx y zx y zzz      Luego reemplazamos valores
  6. 6. jairospino@ingenieros.com 2 2 22 2 22 2 222 2 22 2 24444zx y zzx y zx y zx y z zx y z z         2 2 22 2 22 2 2( 4 ) 0( 4 4) 4( 2) 4x y z zx y z zx y z          -2-1012-2-1012-2-1.5-1-0.500.511.52eje xx2+y2+(z-2)2=4eje yejezEsfera fuera del origen centro (0, 0,2) y radio 2Intercepto con los ejes
  7. 7. jairospino@ingenieros.comEje x ; y=z=0X2=4 entonces x=2Eje y; x=z=0Y 2=4 entonces y =2Eje z; x=y=0(z-2) 2=4Z 2 - 4z + 4 = 4Z 2- 4z + 4 -4 = 0Z 2 – 4z = 0Z 2 = 4zZ = 4--- Método de las trazas ---Plano xy ; z =02 22 22 22 24 44 40x yx yx yx yx y       no hay trazasPlano yz ; x=02 2y ( 2) 4z  Circunferencia de radio 2Plano xz ; y=0
  8. 8. jairospino@ingenieros.com2 2( 2) 4x z  Circunferencia de radio 2 centro (0 ,2)--- Secciones transversales ---Plano xy, z=k2 2 22 2 2( 2) 44 ( 2)x y kx y kcircunferencia      Plano xz; y=k2 2 22 2 2( 2) 4( 2) 4x k zx z kcircunferencia      Plano yz ; x=k
  9. 9. jairospino@ingenieros.com2 2 22 2 2( 2) 4( 2) 4k y zy z kcircunferencia      6)2 2 22 2 22 2 22 2 22 2 24 25 1004 25 100100 100 100 100125 4 1001(5) (2) (10)x y zx y zx y zx y z        
  10. 10. jairospino@ingenieros.com-50050-15-10-5051015-4-3-2-101234eje x4x2+25y2-z2=100eje yvaloresdezLa superficie es un hiperboloide de una hoja--- Interceptos ---Eje x ; y=z=0212525 5xx x  Eje y ; x=z=02144 2yy x  
  11. 11. jairospino@ingenieros.comEje z ; x=y=02221100100;( 1)100zzz    no hay intercepto--- Método de las Trazas ---Plano xy ; z=02 2125 4x yelipse Plano xz ; y=02 2125 100x zhiperbola Plano yz ; x=02 214 100y zhiperbola 
  12. 12. jairospino@ingenieros.com--- Secciones transversales ---Plano xy ; z=k2 2 22 2 22 2 22 2 22125 4 100125 4 1001(5) (2) (10 )0 100 10 10x y kx y kx y kk k k             Familias de elipsesPlano xz ; y=k2 2 22 2 22 2 22 2 22125 4 100125 100 41(5) (10) (2)0 4 2 2x k zx z kx z kk k k             familia de hipérbolas
  13. 13. jairospino@ingenieros.comPlano yz ; x=k2 2 22 2 22 2 22 2 22125 4 10014 100 251(2) (10) (5)0 25 5 5k y zy z ky z kk k k             Familia de hipérbolas7)22 22 22 22 244 (* )444 0( 4 4) 4( 2) 4r senr sen rr rsenx y yx y yx y yx y        Circulo de radio 2 centro (0, 2)
  14. 14. jairospino@ingenieros.com--- Interceptos ---Eje x ; y=0X 2 +4=4X 2=4-4X=0Eje y ; x=0( y - 2) 2 =4(y2 – 2y+4)=4y2—2y=0y2=2yy=2-8 -6 -4 -2 0 2 4-202468valores de xvaloresdeyx2+(y-2)2=4
  15. 15. jairospino@ingenieros.com8) hallar la derivada de primer orden y evalúela en el punto que seindica ( , ) arctan , ,X Yyf x y f fx en el punto (2, -2)2 222 2221( )1f yyx xxf yx x yxx      2 22 2( 2)(2, 2)(2) ( 2)2(2, 2)4 42(2, 2)81(2, 2)4f yx x yffff        
  16. 16. jairospino@ingenieros.com9) hallar la derivada de primer orden y evalúela en elpunto que se indica2 2 2( , , ) 3 2f x y z x y z   ,fx,fy,,fzen el punto(1,-2,1)Con respecto a X  1/ 22 2 21/ 22 2 22 2 22 2 213 2 (6 )23 3 233 23(1)(1, 2,1)3(1) ( 2) 2(1)fx y z xxfx x y zxf xx x y zf         3(1, 2,1)3 4 23(1, 2,1)53 5(1, 2,1)5 53 5(1, 2,1)5ffff      
  17. 17. jairospino@ingenieros.comCon respecto a Y  1/ 22 2 21/ 22 2 22 2 22 2 213 2 (2 )223 223 22(1, 2,1)3(1) ( 2) 2(1)2(1, 2,1)5fx y z yyf yx y zyf yy x y zff          2 55 52 55 Con respecto a Z  1/ 22 2 21/ 22 2 22 2 22 2 213 2 (4 )243 2223 22(1)(1, 2,1)3(1) ( 2) 2(1)2(1, 2,1)5fx y z zzf zx y zzf zz x y zff          
  18. 18. jairospino@ingenieros.com2 55 52 55 10) una media de la percepción del calor ambiental por unaspersonas promedio es el índice de temperatura aparente. Unmodelo para este índice es:A (h, t)= 0.885t - 22.4h + 1.20ht - 0.544Donde A es la temperatura aparente en grados Celsius, t es latemperatura del aire y h es la humedad relativa dada en formadecimal.a. hallar A Ayt h  si t=30º y h=0.80b. ¿Qué influye mas sobre A, la temperatura del aire o lahumedad? Explicara).Derivada de A con respecto a t0.885 1.200.885 1.20(0.80)1.845AhtAtAt  
  19. 19. jairospino@ingenieros.comDerivada de A con respecto a h22,4 1.2022.4 1.20(30º)13,6AthAhAh    b) la humedad influye más sobre A, pues su porcentaje es másrepresentativo que la temperatura.

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