Cálculo Diferencial
Derivada de funciones
Logarítmicas G.III
En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funcio...
Resolver 𝑓 𝑥 = ln

𝑓 𝑥 = ln

1+𝑥

1+ 𝑥
1− 𝑥

1−𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedades de ...
Resolver 𝑓 𝑥 = ln

1+𝑥 2

𝑓 𝑥 = ln

1−𝑥 2

1 + 𝑥2
1 − 𝑥2

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propied...
Resolver

𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar la derivada de un producto junto
con l...
Resolver 𝑓 𝑥 = ln

𝑒 𝑥 +1
𝑒 𝑥 −1

𝑒𝑥 +1
𝑓 𝑥 = ln 𝑥
𝑒 −1

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propieda...
Resolver 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 1 + 𝑥 2 )

𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 2

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedade...
Resolver

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
tener en cuenta que también podemos
reescribir es...
Resolver

1+𝑥

𝑓 𝑥 = ln

𝑓 𝑥 = ln

1−𝑥

1+ 𝑥
1− 𝑥

Para apreciarlo mejor lo podemos
reescribir.

𝑓 𝑥 = ln

1+ 𝑥
1− 𝑥

Para...
𝑓′ 𝑥 =

1 1
1
+
2 1+ 𝑥 1− 𝑥

𝑓′ 𝑥 =

1 1− 𝑥+1+ 𝑥
2 1+ 𝑥 1− 𝑥

𝑓′ 𝑥 =

1
1+1
2 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2

𝑓′ 𝑥 =

1
2
2 (1 − 𝑥 2 )

𝑓′...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Derivadas de funciones logaritmicas

693

Published on

En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones Logarítmicas.

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
693
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
17
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Derivadas de funciones logaritmicas

  1. 1. Cálculo Diferencial Derivada de funciones Logarítmicas G.III En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones Logarítmicas. Innovación y Futuro Jair Ospino Ardila
  2. 2. Resolver 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥 1+ 𝑥 1− 𝑥 1−𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢′ 𝑢 𝑓′ 𝑥 = 1 (−1) − 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1 + 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 1− 𝑥+1+ 𝑥 (1 + 𝑥)(1 − 𝑥) Simplificamos y efectuamos multiplicación en el denominador 1+1 𝑓′ 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = Solución𝑓 ′ 𝑥 2 1 − 𝑥2 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  3. 3. Resolver 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥 2 𝑓 𝑥 = ln 1−𝑥 2 1 + 𝑥2 1 − 𝑥2 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2 Derivamos 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2 𝑢′ Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 (−2𝑥) − 2 1+ 𝑥 1 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 2𝑥 + 1 + 𝑥2 1 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥(1 + 𝑥 2 ) (1 + 𝑥 2 )(1 − 𝑥 2 ) efectuamos multiplicaciones 𝑓 ′ 2𝑥 − 2𝑥 3 + 2𝑥 + 2𝑥 3 𝑥 = (1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 4 ) Solución 𝑓 ′ 𝑥 simplificamos 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 1 − 𝑥4 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  4. 4. Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar la derivada de un producto junto con la derivada de un logaritmo. Ver ( JM4 ) y ( JM6 ) de la Guía I. 𝑓 𝑥 = 𝑚∗ 𝑢 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′ Derivando tendríamos 1 𝑓′(𝑥) = 1 ln 𝑥 + 𝑥 𝑥 Solución 𝑓 ′ 𝑥 𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 1 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  5. 5. Resolver 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 +1 𝑒 𝑥 −1 𝑒𝑥 +1 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑒 −1 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Dónde: ln 𝑗 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1 Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢′ 𝑢 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝑒 +1 𝑒 −1 ′ 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 + 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑒 + 1)(𝑒 𝑥 − 1) ′ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 1 𝑓′ 𝑥 = −𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑒2𝑥 − 1 −2𝑒 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑒 −1 ′ Solución 𝑓 ′ 𝑥 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  6. 6. Resolver 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 1 + 𝑥 2 ) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 2 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 1 𝑓′ 𝑥 = 1 + 2 1 + 𝑥2 𝑢′ 𝑢 1 1−2 ∗ (2𝑥) 𝑥 + 1 + 𝑥2 Solución 𝑓′ 𝑥 = 1+ 𝑥 1+ 1 2 −2 𝑥 𝑥 + 1 + 𝑥2 1+ 𝑓′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑥 1+𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2 1+𝑥2 +𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1+𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2 Transponemos términos 𝑓′ 𝑥 = 1 + 𝑥2 + 𝑥 1 + 𝑥2 Todas unidas 𝑥 + 1 + 𝑥2 Reducimos términos semejantes 𝑓′ 𝑥 = 1 1 + 𝑥2 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  7. 7. Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta que también podemos reescribir esta función. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 3 Derivando tendríamos 𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 3−1 𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 2 ∗ ∗ 1 𝑥 1 𝑥 Si volvemos a reescribirla de tal forma que nos quede como la estructura principal. 𝑓 ′ Todas unidas 3𝑙𝑛2 𝑥 𝑥 = 𝑥 Solución 𝑓 ′ 𝑥 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  8. 8. Resolver 1+𝑥 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑥 = ln 1−𝑥 1+ 𝑥 1− 𝑥 Para apreciarlo mejor lo podemos reescribir. 𝑓 𝑥 = ln 1+ 𝑥 1− 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln = ln 𝑗 – ln 𝑚 𝑚 Si reemplazamos seria: Solución 𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos 𝑢′ Como derivada de ln 𝑢 = 1 2 𝑓′(𝑥) = 1+ 𝑥 1 −1 2 1+ 𝑥 1 𝑓′ 𝑥 = 2 1+ 𝑥 1 ∗ 1 −2 1 2 1 − 1+ 𝑥 + 1− 𝑥 2 1 −1 2 ∗ −1 1− 𝑥 1− 𝑥 1 2 − 1− 𝑥 Todas Unidas 1 1 𝑓′ 𝑥 = 𝑢 2 1+𝑥 1+ 𝑥 2 + 1−𝑥 1− 𝑥 Transponemos términos 𝑓′ 𝑥 = 1 2 𝑓′ 𝑥 = 1+ 𝑥 1+ 𝑥 + 1 2 1− 𝑥 1− 𝑥 1 1 + 2(1 + 𝑥) 2(1 − 𝑥) http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  9. 9. 𝑓′ 𝑥 = 1 1 1 + 2 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1− 𝑥+1+ 𝑥 2 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1+1 2 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 1 2 2 (1 − 𝑥 2 ) 𝑓′ 𝑥 = 1 1 − 𝑥2 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com

×