Calculo superior para ingenieros  ∞      π‘₯ π‘βˆ’1 ln π‘₯                 𝑑π‘₯ 0      1+ π‘₯𝑦= π‘₯𝑝ln 𝑦 = 𝑙𝑛π‘₯ 𝑝ln 𝑦 = 𝑝 𝑙𝑛π‘₯𝑒 𝑙𝑛𝑝 = 𝑒 𝑝...
Ξ“ 1βˆ’y Ξ“ p𝛽 π‘₯, 𝑦 =           Ξ“ 1βˆ’y+yComo y=p           Ξ“ 1βˆ’p Ξ“ p𝛽 π‘₯, 𝑦 =           Ξ“ 1βˆ’p+p           Ξ“ 1βˆ’p Ξ“ p𝛽 π‘₯, 𝑦 =     ...
∞                 𝑑π‘₯ βˆ’βˆž       π‘₯ 2 + 2π‘Žπ‘₯ + 𝑏 2π‘₯ 2 + 2π‘Žπ‘₯ + 𝑏 2 + π‘Ž2 βˆ’ π‘Ž2π‘₯ 2 + 2π‘Žπ‘₯ + π‘Ž2 + 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2          2 π‘₯+ π‘Ž         + ...
𝑒 π‘¦βˆ’1 𝑑𝑒𝛽 π‘₯, 𝑦 =         1 + 𝑒 π‘₯+𝑦Hacemos la analogΓ­a y:                   1π‘₯βˆ’1= βˆ’                          π‘₯+ 𝑦=1        ...
∞                  𝑒 𝑛π‘₯                 𝑛+1 π‘₯                                     𝑑π‘₯ βˆ’βˆž      π‘Žπ‘’               + 𝑏𝑒 = 𝑒 (𝑛+...
βˆ’1                             βˆ’1                       𝑗       𝑛+1       βˆ—        𝑏           𝑛+1       𝑏                ...
𝑛        1       π‘₯+ 𝑦=1           β†’ π‘₯ =1βˆ’ 𝑦 β†’ π‘₯ =1βˆ’                 β†’ π‘₯=                                                  ...
1            π‘š                 𝑛        π‘₯           ln π‘₯               𝑑π‘₯0βˆ’π‘’ = ln π‘₯𝑒 βˆ’π‘’ = π‘₯βˆ’π‘’ βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 = 𝑑π‘₯𝑒 βˆ’π‘šπ‘’ = π‘₯         ...
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Calculo superior para ingenieros Gamma Beta

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ejercicios de gamma y beta para ingenieros, con calculo superior

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Calculo superior para ingenieros Gamma Beta

  1. 1. Calculo superior para ingenieros ∞ π‘₯ π‘βˆ’1 ln π‘₯ 𝑑π‘₯ 0 1+ π‘₯𝑦= π‘₯𝑝ln 𝑦 = 𝑙𝑛π‘₯ 𝑝ln 𝑦 = 𝑝 𝑙𝑛π‘₯𝑒 𝑙𝑛𝑝 = 𝑒 𝑝 𝑙𝑛𝑝𝑦= 𝑒𝑝 𝑙𝑛𝑝𝑑𝑦 = 𝑒𝑝 𝑙𝑛𝑝 βˆ— 𝑙𝑛π‘₯𝑑𝑝𝑑π‘₯ 𝑝 = π‘₯ 𝑝 𝑙𝑛π‘₯𝑑𝑝Reemplazamos ∞ π‘₯ 𝑝 ln π‘₯ 𝑑π‘₯ 0 π‘₯ 1+ π‘₯ ∞ 1 𝑑 π‘₯𝑝 𝑑π‘₯ 0 π‘₯ 1+ π‘₯ 𝑑𝑝 ∞ 𝑑 π‘₯𝑝 𝑑π‘₯ 0 𝑑𝑝 π‘₯ 1+ π‘₯ ∞ 𝑑 π‘₯𝑝 𝑑π‘₯𝑑𝑝 0 π‘₯ 1+ π‘₯ ∞ 𝑑 π‘₯ π‘βˆ’1 𝑑π‘₯𝑑𝑝 0 (1 + π‘₯)Comparado con 𝑒 π‘¦βˆ’1 𝑑𝑒𝛽 π‘₯, 𝑦 = 1 + 𝑒 π‘₯+π‘¦π‘¦βˆ’1= π‘βˆ’1 β†’ 𝑦= 𝑝 π‘₯+ 𝑦 =1 β†’ π‘₯ =1βˆ’ 𝑦
  2. 2. Ξ“ 1βˆ’y Ξ“ p𝛽 π‘₯, 𝑦 = Ξ“ 1βˆ’y+yComo y=p Ξ“ 1βˆ’p Ξ“ p𝛽 π‘₯, 𝑦 = Ξ“ 1βˆ’p+p Ξ“ 1βˆ’p Ξ“ p𝛽 π‘₯, 𝑦 = Ξ“ 1𝛽 π‘₯, 𝑦 = Ξ“ 1 βˆ’ p Ξ“ pPor teorema de gamma tenemos que πœ‹Ξ“ x Ξ“ 1βˆ’x = π‘ π‘’π‘›πœ‹π‘₯Por lo tanto ∞ 𝑑 π‘₯ π‘βˆ’1 𝑑π‘₯𝑑𝑝 0 1+ π‘₯ 𝑑 πœ‹= 𝑑𝑝 𝑠𝑒𝑛 π‘πœ‹ 𝑑= πœ‹ csc π‘πœ‹ 𝑑𝑝= πœ‹ βˆ— πœ‹ (βˆ’ csc π‘πœ‹ βˆ— cot π‘πœ‹)= βˆ’ πœ‹ 2 csc π‘πœ‹ βˆ— cot π‘πœ‹
  3. 3. ∞ 𝑑π‘₯ βˆ’βˆž π‘₯ 2 + 2π‘Žπ‘₯ + 𝑏 2π‘₯ 2 + 2π‘Žπ‘₯ + 𝑏 2 + π‘Ž2 βˆ’ π‘Ž2π‘₯ 2 + 2π‘Žπ‘₯ + π‘Ž2 + 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 2 π‘₯+ π‘Ž + 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 ∞ 𝑑π‘₯ βˆ’βˆž π‘₯ + π‘Ž 2 + 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2Hacemos 1 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 2 𝑦= π‘₯+ π‘Ž 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 1/2 𝑑𝑦 = 𝑑π‘₯Reemplazamos ∞ 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 1/2 𝑑𝑦 βˆ’βˆž 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 𝑦 2 + 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 1 ∞ 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 2 𝑑𝑦 βˆ’βˆž 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 𝑦 2 + 1 ∞ 1 𝑑𝑦 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 1/2 βˆ’βˆž (𝑦 2 + 1)Hacemos un corrimiento hacia la derecha para hacer un traslado a lafunciΓ³n beta ∞ 2 𝑑𝑦 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 1/2 0 𝑦2 + 1 1Sustituimos 𝑀 = 𝑦 2 β†’ 𝑀 1/2 = 𝑦 𝑀 βˆ’1/2 𝑑𝑀 = 𝑑𝑦 2 ∞ 2 1 𝑀 βˆ’ 1/2 1 βˆ— 𝑑𝑀 2 𝑀+1 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 2 0Por definiciΓ³n tenemos que
  4. 4. 𝑒 π‘¦βˆ’1 𝑑𝑒𝛽 π‘₯, 𝑦 = 1 + 𝑒 π‘₯+𝑦Hacemos la analogΓ­a y: 1π‘₯βˆ’1= βˆ’ π‘₯+ 𝑦=1 2 1 1π‘₯= 𝑦= 2 2Luego entonces 1 1 1 1 𝛽 , 2 2 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 2 1 1 1 Ξ“ Ξ“ 2 2 1 1 1 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 2 Ξ“ + 2 2 1 1 1 1 Ξ“ Ξ“ 2 2 𝑏 2 βˆ’ π‘Ž2 2 1 1 πœ‹βˆ— πœ‹ 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 2 πœ‹= 1 𝑏2 βˆ’ π‘Ž2 2…Rta
  5. 5. ∞ 𝑒 𝑛π‘₯ 𝑛+1 π‘₯ 𝑑π‘₯ βˆ’βˆž π‘Žπ‘’ + 𝑏𝑒 = 𝑒 (𝑛+1)π‘₯ ln 𝑒 = ln 𝑒 (𝑛 +1)π‘₯ ln 𝑒 1 𝑑𝑒ln 𝑒 = 𝑛+1 π‘₯ β†’ = π‘₯ β†’ 𝑑π‘₯ = 𝑛+1 𝑛+1 𝑒Reemplazamos los nuevos valores en la integral y los limitescorrespondientes ln 𝑒 ∞ 𝑛 𝑒 𝑛 +1 1 𝑑𝑒 0 π‘Žπ‘’ + 𝑏 𝑛+1 𝑒 𝑛 ln 𝑒 1 ∞ 𝑒 𝑛 +1 βˆ— 𝑒 βˆ’1 0 𝑑𝑒𝑛 +1 π‘Žπ‘’ +𝑏Por propiedades de los logaritmos y euler 𝑛 1 βˆ’1 = βˆ’ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 ∞ 1 𝑒 𝑛+1 βˆ— π‘’βˆ’1 𝑑𝑒𝑛+1 0 π‘Žπ‘’ + 𝑏 βˆ’1 ∞ 1 𝑒 𝑛+1 𝑑𝑒𝑛+1 0 π‘Žπ‘’ + 𝑏Realizamos otra sustituciΓ³n de tal manera que 𝑗𝑏 𝑏𝑗𝑏 = π‘Žπ‘’ β†’ = 𝑒 β†’ 𝑑𝑗 = 𝑑𝑒 π‘Ž π‘Ž βˆ’1 𝑗𝑏 𝑛+1 ∞ 1 π‘Ž 𝑏 βˆ— 𝑑𝑗𝑛+1 0 𝑗𝑏 + 𝑏 π‘Ž βˆ’1 𝑗𝑏 𝑛+1 βˆ’1 ∞ 1 π‘Ž 𝑏𝑛+1 βˆ— 𝑑𝑗𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 π‘Ž
  6. 6. βˆ’1 βˆ’1 𝑗 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 𝑏 βˆ’1 βˆ— ∞ π‘Ž 1 π‘Ž 𝑛+1 𝑑𝑗𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 βˆ’1 βˆ’1 +1 𝑗 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ’1 ∞ +1 1 π‘Ž 𝑛+1 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 βˆ’1 𝑛 𝑗 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 𝑛 ∞ 1 π‘Ž 𝑛+1 𝑑𝑗 𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1Trasponemos tΓ©rminos βˆ’1 𝑛 ∞ 1 𝑗 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 𝑛 𝑑𝑗𝑛+1 0 𝑏 𝑗+1 βˆ— π‘Ž 𝑛+1 βˆ’1 𝑛 ∞ –1 1 𝑗 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 𝑛 𝑑𝑗 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑛+1 0 𝑗+1 βˆ’1 1 ∞ βˆ’ 1 𝑗 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛 +1 𝑛 𝑑𝑗 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑛+1 0 𝑗+1 βˆ’1 ∞ 1 𝑗 𝑛+1 𝑛 1 𝑑𝑗 0 𝑗+1 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— (𝑛 + 1)Si comparamos con 𝑒 π‘¦βˆ’1 𝑑𝑒𝛽 π‘₯, 𝑦 = 𝑒 + 1 π‘₯+𝑦 1 1 π‘›π‘¦βˆ’1=βˆ’ β†’ 𝑦=βˆ’ +1 β†’ 𝑦 = 𝑛+1 𝑛+1 𝑛+1
  7. 7. 𝑛 1 π‘₯+ 𝑦=1 β†’ π‘₯ =1βˆ’ 𝑦 β†’ π‘₯ =1βˆ’ β†’ π‘₯= 𝑛+1 𝑛+1 1 1 𝑛 𝑛 1 𝛽 , 𝑛+1 𝑛+1 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— (𝑛 + 1) 1 𝑛 1 Ξ“ Ξ“ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 1 1 𝑛 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— (𝑛 + 1) Ξ“ 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1 1 𝑛 1 Ξ“ Ξ“ 𝑛+1 𝑛+1 𝑛 1 𝑛+1 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— 𝑛+1 Ξ“ 𝑛+1 1 1 𝑛 𝑛 1 Ξ“ Ξ“ 𝑛+1 𝑛+1 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— 𝑛+1 1 1 1 𝑛 1 Ξ“ Ξ“ 1βˆ’ 𝑛+1 𝑛+1 π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— (𝑛 + 1)Aplicamos ahora el teorema de gamma de tal manera que πœ‹Ξ“ x Ξ“ 1βˆ’x = π‘ π‘’π‘›πœ‹π‘₯ 1 πœ‹ 𝑛 1 βˆ— πœ‹ π‘…π‘‘π‘Ž … π‘Ž 𝑛+1 βˆ— 𝑏 𝑛+1 βˆ— (𝑛 + 1) 𝑠𝑒𝑛 𝑛+1
  8. 8. 1 π‘š 𝑛 π‘₯ ln π‘₯ 𝑑π‘₯0βˆ’π‘’ = ln π‘₯𝑒 βˆ’π‘’ = π‘₯βˆ’π‘’ βˆ’π‘’ 𝑑𝑒 = 𝑑π‘₯𝑒 βˆ’π‘šπ‘’ = π‘₯ π‘šπ‘ π‘– π‘₯ = 0 β†’ 𝑒 = ∞ 𝑠𝑖 π‘₯ = 1 β†’ 𝑒=0 0 𝑒 βˆ’π‘šπ‘’ – 𝑒 𝑛 – 𝑒 βˆ’π‘’ π‘‘π‘’βˆž 0βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘’(π‘š +1) βˆ— 𝑒 𝑛 𝑑𝑒 ∞ 𝑑𝑑𝑑 = 𝑒 π‘š+1 β†’ 𝑑𝑑 = π‘š + 1 𝑑𝑒 β†’ = 𝑑𝑒 π‘š+1 𝑑 𝑛 𝑑𝑛 = 𝑒 β†’ 𝑒 =π‘š+1 (π‘š + 1) 𝑛 ∞ βˆ’π‘‘ 𝑑𝑛 π‘‘π‘‘βˆ’ 𝑒 βˆ— 𝑛 βˆ— 0 π‘š+1 π‘š+1 ∞ 1βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘‘ βˆ— 𝑑 𝑛 𝑑𝑑 (π‘š + 1)(π‘š + 1) 𝑛 0 ∞ 1βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘‘ βˆ— 𝑑 𝑛 𝑑𝑑 (π‘š + 1) 𝑛+1 0π‘₯βˆ’1= 𝑛 β†’ π‘₯ = 𝑛+1 1βˆ’ 𝑛+1 Ξ“ 𝑛+1 π‘š+1 βˆ’1 𝑛 𝑛!= π‘…π‘‘π‘Ž … God bless (π‘š +1) 𝑛 +1

Γ—