שקר המתמטיקה האם המספרים הממשיים " ממשיים "?

שקר המתמטיקה

האם המספרים הממשיים " ממשיים "?

מה הם המספרים הממשיים ? התשובה דורשת סקירה היסטורית קצרה

מה הם המספרים הממשיים ?

התשובה דורשת סקירה היסטורית קצרה

בהתחלה , היה המספר 1

בהתחלה , היה המספר 1

1 יצר את 2 (1+1), 2 יצר את 3 (1+1+1) וכך הלאה עד אינסוף כך קיבלנו את " המספרים הטבעיים " ( N )

1 יצר את 2 (1+1), 2 יצר את 3 (1+1+1) וכך הלאה עד אינסוף

כך קיבלנו את " המספרים הטבעיים " ( N )

יש סיבה טובה לקרוא להם " טבעיים " הם מאוד אינטואיטיביים , והם איתנו מהיום שהמין האנושי קיים

יש סיבה טובה לקרוא להם " טבעיים "

הם מאוד אינטואיטיביים , והם איתנו מהיום שהמין האנושי קיים

God gave us the integers, all else is the work of man L. Kronecker “ ”

God gave us the integers, all else is the work of man

L. Kronecker

אבל , הם לא מושלמים אפשר לנסח שאלות עם מספרים טבעיים , שאין להן תשובה ב מספרים טבעיים

אבל , הם לא מושלמים

אפשר לנסח שאלות עם מספרים טבעיים , שאין להן תשובה ב מספרים טבעיים

1+? = 1

1+? = 1

וכך נולד המספר 0 ואנחנו קיבלנו את N + N+ = 0,1,2…

וכך נולד המספר 0

ואנחנו קיבלנו את N +

N+ = 0,1,2…

אבל עדיין יש שאלות בלי תשובה 1+? = 0

אבל עדיין יש שאלות בלי תשובה

1+? = 0

שוב , הוספנו מספרים חדשים - השליליים המספר -X הוגדר כתשובה לשאלה X+? = 0

שוב , הוספנו מספרים חדשים - השליליים

המספר -X הוגדר כתשובה לשאלה

X+? = 0

כך קיבלנו את Z - המספרים השלמים אבל , שאלות בלי תשובה המשיכו לצוץ

כך קיבלנו את Z - המספרים השלמים

אבל , שאלות בלי תשובה המשיכו לצוץ

למרות שהפעם היינו צריכים להתאמץ כדי למצוא אותן , וללכת מעבר לחיבור 3*? = 1

למרות שהפעם היינו צריכים להתאמץ כדי למצוא אותן , וללכת מעבר לחיבור

3*? = 1

וכך נולדו המספרים הרציונאליים , המסומנים Q רציונאלי = מייצג יחס בין שני מספרים שלמים

וכך נולדו המספרים הרציונאליים , המסומנים Q

רציונאלי = מייצג יחס בין שני מספרים שלמים

המספרים הרציונאליים היו חייבים להתיישב עם תפיסת העולם המוכרת ואכן , 3 ( שלם ) = ( רציונאלי )

המספרים הרציונאליים היו חייבים להתיישב עם תפיסת העולם המוכרת

ואכן , 3 ( שלם ) = ( רציונאלי )

נראה שמספרים רציונאליים יכולים לפתור כל שאלה שניתנת לביטוי בעזרתם דרושה עבודה שחורה , אבל אין כאן בעיה קונספטואלית

נראה שמספרים רציונאליים יכולים לפתור כל שאלה שניתנת לביטוי בעזרתם

דרושה עבודה שחורה , אבל אין כאן בעיה קונספטואלית

אבל , כמובן שהחיים לא יכולים להיות כל - כך טובים בסביבות 400 לפני הספירה , היוונים גילו שהמספר הוא לא רציונאלי

אבל , כמובן שהחיים לא יכולים להיות כל - כך טובים

בסביבות 400 לפני הספירה , היוונים גילו שהמספר הוא לא רציונאלי

כלומר שלשאלה הבאה אין תשובה בתוך המספרים הרציונאליים ?*? = 2

כלומר שלשאלה הבאה אין תשובה בתוך המספרים הרציונאליים

?*? = 2

כך ששוב , נאלצנו להציג קבוצה חדשה של מספרים - המספרים האי - רציונאליים מספר אי - רציונאלי הוא פשוט מספר שלא ניתן לביטוי כיחס בין שני מספרים , אבל עוד נראה שבשם יש משמעות עמוקה יותר

כך ששוב , נאלצנו להציג קבוצה חדשה של מספרים - המספרים האי - רציונאליים

מספר אי - רציונאלי הוא פשוט מספר שלא ניתן לביטוי כיחס בין שני מספרים , אבל עוד נראה שבשם יש משמעות עמוקה יותר

למעשה , הסיפור לא נגמר כאן , כי עדיין אין תשובה לשאלה ?*? = -1 אבל , בואו נתמקד באי - רציונאליים

למעשה , הסיפור לא נגמר כאן , כי עדיין אין תשובה לשאלה

?*? = -1

אבל , בואו נתמקד באי - רציונאליים

מספרים רציונאליים + אי רציונאליים = מספרים " ממשיים "

מספרים רציונאליים + אי רציונאליים

=

מספרים " ממשיים "

הם מוצגים באגביות לכל תלמיד חטיבה , כהמשך הטבעי של מספרים רציונאליים כמובן שאף שאלה לא נשאלת

הם מוצגים באגביות לכל תלמיד חטיבה , כהמשך הטבעי של מספרים רציונאליים

כמובן שאף שאלה לא נשאלת

למעשה , מסתבר שהמספרים האי - רציונאליים הם המספרים החשובים באמת e, π, cos, sin, … ויש יותר מספרים אי - רציונאליים מרציונאליים בסדרי גודל

למעשה , מסתבר שהמספרים האי - רציונאליים הם המספרים החשובים באמת

e, π, cos, sin, …

ויש יותר מספרים אי - רציונאליים מרציונאליים בסדרי גודל

כך שמספרים ממשיים הם הבסיס למתמטיקה המודרנית ואנחנו משתמשים בהם באופן די יומיומי

כך שמספרים ממשיים הם הבסיס למתמטיקה המודרנית

ואנחנו משתמשים בהם באופן די יומיומי

מזל שהם עובדים

מזל שהם עובדים

הם עובדים ? לא רצוי לעצור לרבע ולברר ?

הם עובדים ?

לא רצוי לעצור לרבע ולברר ?

זה די מרשים כל שאלה ספציפית במספרים רציונאליים יכולה להצטמצם למספר פשוט מהצורה זה בטח כלום לעומת מה שאפשר עם מספרים ממשיים ...

זה די מרשים

כל שאלה ספציפית במספרים רציונאליים יכולה להצטמצם למספר פשוט מהצורה

זה בטח כלום לעומת מה שאפשר עם מספרים ממשיים ...

משהו פה מסריח ... נראה שאנחנו די חסרי ישע בפני מספרים אי - רציונאליים

משהו פה מסריח ...

נראה שאנחנו די חסרי ישע בפני מספרים אי - רציונאליים

טוב , זאת כבר סתם רמאות

טוב , זאת כבר סתם רמאות

נכון שלפעמים זה עובד ... אבל לרוב אין מה לעשות איתם

נכון שלפעמים זה עובד ...

אבל לרוב אין מה לעשות איתם

רגע , זה באמת לפעמים עובד ? האם באמת ?

רגע , זה באמת לפעמים עובד ?

האם באמת ?

ואם כבר מדברים , מה זה בכלל ? האם זה 1.141? לא , זאת רק ההתחלה ...

ואם כבר מדברים , מה זה בכלל ?

האם זה 1.141?

לא , זאת רק ההתחלה ...

הוא חיה אינסופית אף אחד לא החזיק אף פעם , ואף אחד לעולם לא יחזיק

הוא חיה אינסופית

אף אחד לא החזיק אף פעם , ואף אחד לעולם לא יחזיק

אז למה אנחנו מתכוונים כשאנחנו כותבים אם אי פעם נחזיק חיה אינסופית כזו , ונכפיל אותה בעוד חיה אינסופית ( תהליך שלעולם לא יסתיים ), נקבל בדיוק את המספר 2

אז למה אנחנו מתכוונים כשאנחנו כותבים

אם אי פעם נחזיק חיה אינסופית כזו , ונכפיל אותה בעוד חיה אינסופית ( תהליך שלעולם לא יסתיים ), נקבל בדיוק את המספר 2

שכנעתי מישהו ?

שכנעתי מישהו ?

אבל , אולי הבעיה היא בכלל אנחנו אחרי הכל , אנחנו אידיוטים אבל בטוח שלפרופסורים החכמים יש תשובה אמיתית ...

אבל , אולי הבעיה היא בכלל אנחנו

אחרי הכל , אנחנו אידיוטים

אבל בטוח שלפרופסורים החכמים יש תשובה אמיתית ...

טוב , האמת היא ש ...

טוב , האמת היא ש ...

מדובר בסיפור די צעיר במתמטיקה הסכמה רחבה בנוגע לטבעם של המספרים הממשיים הגיע רק בסביבות 1920+, כאשר תיאוריית הקבוצות של קאנטור הפכה לפופולארית בקרב האקדמיה

מדובר בסיפור די צעיר במתמטיקה

הסכמה רחבה בנוגע לטבעם של המספרים הממשיים הגיע רק בסביבות 1920+, כאשר תיאוריית הקבוצות של קאנטור הפכה לפופולארית בקרב האקדמיה

המשמעות היא שקרוב ל -2300~ שנה , לאף אחד לא היה מושג על מה הוא בעצם מדבר גם לא לפרופסורים החכמים

המשמעות היא שקרוב ל -2300~ שנה , לאף אחד לא היה מושג על מה הוא בעצם מדבר

גם לא לפרופסורים החכמים

( אני לא רומז ש עכשיו הם יודעים על מה הם מדברים . פשוט עכשיו הם פחות או יותר מסכימים על השטויות שהם אומרים )

( אני לא רומז ש עכשיו הם יודעים על מה הם מדברים . פשוט עכשיו הם פחות או יותר מסכימים על השטויות שהם אומרים )

מספרים ממשיים הם לא אינטואיטיביים באופן קיצוני צריך ללמוד כחודשיים של חדו " א ברמה אוניברסיטאית לפני שמשתכנעים ( בערך ) שאכן

מספרים ממשיים הם לא אינטואיטיביים באופן קיצוני

צריך ללמוד כחודשיים של חדו " א ברמה אוניברסיטאית לפני שמשתכנעים ( בערך ) שאכן

ועדיין , אם נצייר ריבוע של 1 על 1, האלכסון יהיה בדיוק . ואם נרצה לחשב שטח של עיגול , שימוש ב - π הוא הדרך היחידה לעשות זאת

ועדיין , אם נצייר ריבוע של 1 על 1, האלכסון יהיה בדיוק .

ואם נרצה לחשב שטח של עיגול , שימוש ב - π הוא הדרך היחידה לעשות זאת

מספרים ממשיים הם לא ישויות מתמטיות מופשטות שמישהו המציא הם ממש " שם בחוץ ", בטבע

מספרים ממשיים הם לא ישויות מתמטיות מופשטות שמישהו המציא

הם ממש " שם בחוץ ", בטבע

כך שאנחנו חייבים להשתמש בהם וזה בסדר גמור

כך שאנחנו חייבים להשתמש בהם

וזה בסדר גמור

אבל בואו לא נעבוד על עצמנו מספרים ממשיים הם לא " ממשיים " ואסור להציג אותם כבדרך אגב

אבל בואו לא נעבוד על עצמנו

מספרים ממשיים הם לא " ממשיים "

ואסור להציג אותם כבדרך אגב

הם אי - רציונאליים , במובן המלא של המילה

הם אי - רציונאליים , במובן המלא של המילה

אנחנו צריכים לשאול שאלות נוקבות לגביהם

אנחנו צריכים לשאול שאלות נוקבות לגביהם

אז תתחילו להשלים את החסר

אז תתחילו להשלים את החסר

________?

________?