Algevre de bool

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Algevre de bool

  1. 1. LINIVERSITE IBN TOFAIL Facult6 des Sciences Ddpartement de Math6matique Et d'Informatique Filidre : SMI - Semestre 3 Ff + #"d,-.r;i;;i Module : Architecture des ordinateurs et Langage Assembleur Compldment du Cours Algdbre de Boole Auteur: Hatim KHAfuRAZ AROUSSI Annde (Iniversitaire : 201 2 / 201 3
  2. 2. Architecture des ordinateurs Annde (Jniversitaire 2012/2013 TABLE DES MATIERES ALGEBRE BOOLEE 1. Introduction 2. Principes de loalgibre de boole ------- 2 3. L'algibre de boole appliqu6es aux circuits 6lectriques 3.1. Circuits d'intemrpteurs en s6ries : Fonction ET --------- ------- 4 3.2. Circuits d'intemrpteurs en paralldles : Fonction OU--------- --------------- 4 3.3. Utilisation.du relais thermique : Fonction NoN (N6gation ou Barre)----------------- 5 3.4. Commutativit6 ------- -----r------- --------- 5 3.5. Associativit6---------- ----------- 6 3.6. Distributivit6----- 3.7. El6ments neutres---- ---------- l 3.8. Compl6mentarit6 --------- l
  3. 3. Architecture des ordinateurs Annde (Jniversitqire 2012/201 3 Algibre booldenne 1. Introduction Les outils de traitement automatique de I'information tels que les ordinateurs utilisent des composants 6lectroniques (transistors) qui traitent des informations qui sont sous forme binaire. Dans un transistor, le courant passe ou ne passe pas, Ces composants sont appelds eircuits logiques. Les systdmes qui utilisent ces composants sont appel6s systimes logiques. La nature binaire de ces informations n6cessite de disposer d'un outil math6matique appropri6. C'est I'algibre de bool6enne ou appel6 algibre de boole. 2. Principes de I'algibre de boole Soit I'ensemble E constitu6 de deux 6l6ments : ,/ L'un est appeld 6l6ment nul et est not6 : 0 ,/ L'autre est appeld 6l6ment unit6 et est notd : I On a donc : E: {0,1}. Un 6l6ment quelconque de E est d6sign6 par un symbole, par exemple une lettre A, B, C ... qui peut prendre la valeur 0 ou 1. Ces symboles sont appelds des variables logiques. On d6frnit sur cet ensemble E les lois suivantes : A Ndgation (Compldmentation) C'est une loi unaire (elle ne concerne qu'une seule variable) not6e : barre telle que : VAeE,A-1<+ A=0 B Somme logique @a) C'est une loi de composition inteme (elle ne fait intervenir que des 6l6ments de Q qui se note '*' et qui se lit Otl telle que : v(A,B) e E2,(A+ B:1) <+ (A =I)OU(B = 1)
  4. 4. Architecture des ordinateurs Ann6e (Jniversitaire 2012/2013 C Produitlogique (ET) C'est une loi de composition interne (elle ne fait intervenir que des 6l6ments de,fl qui se note o.' et qui se lit ET telle que : V(A,B). E2,(A.B :I) e (A:I)ET(B :I) D. Rdgles de I'algDbre de boole I'ensemble E muni des lois (+, .) satisfait aux propri6t6s suivantes, quels que soient A et B appartenant d E : On dit alors que {E,+,.} est une algibreo appelde algibre binaire, boolrEenne ou de boole. 3. L'algibre de boole appliqu6es aux circuits 6lectriques On convient que quand le courant passe, on dit qu'il est repr6sent6 par le chiffre 1, et quand il ne passe pas c'est le chiffre 0. En 6lectricit6, imaginons deux intemrpteurs a et b : ./ dans un premier cas ils sont en s6rie, ,/ dans un deuxidme cas en paralldle, '/ puis'un autre cas ou il y a un relais thermique qui ouvre ou ferme un autre intemrpteur selon l'6tat d'un intemrpteur a. Dans les trois cas, une lampe t6moin Z sera plac6e en sdrie avec le circuit d'intemrpteurs pour montrer que le courant dlectrique passe ou ne passe pas. S:tmboles d'interrupteurs utilisds dans cette partie : I -----{ : intemrpteur ouvert, le courant ne passe pas (dtat 0) Somme (+) : OU Produit (.) : ET Commutativitd A+B:B+A A.B:B.A El6ments neutres A+O:A A.l:A Compl6mentarit6 A+A=7 A.A=0 Distributivit6 A+(B.Q:(A+B).@+q A.@+q4.8+U.A Associativit6 A+(fi+91:U+B+C A.G.A:U.B,C # : intemrpteur ferm6, le courant passe (6tat 1)
  5. 5. Architecture des ordinateurs Annde Universitaire 2012/2013 3.1. Circuits d'interrupteurs en s6ries : Fonction ET Il faut que les deux intemrpteurs soient ferm6s tout les deux en mOme temps pour que le courant passe et que la lampe s'allume, si I'un des deux intemrptews au moins (ou m6me les deux d la fois) est ouvert, le courant ne passe pas, la lampe reste 6teinte. Circuits en sdries ---l ---J Lampe dteinte ---l --J- : Lampe dteinte Lampe 6teinte : Lampe allumee Cela signifie que f intemrpteur a ET f intemrpteur b soient 6gaux i 1 pour que la lampe Z soit 6gale i 1. Le courant 6lectrique doit obligatoirement passer par les deux intemrpteurs pour allumer cette lampe I. Ainsi, selon la notation de l'algdbre de boole : L:a.b 3.2. Circuits d'interrupteurs en paralliles : Fonction OU Il faut que l'un des deux intemrpteurs a ou b au moins, soit fermd pour que le courant passe, et que la lampe tdmoin I s'allume. Circuits en paralldles b Lampe 6teinte Lampe allum6e
  6. 6. Architecture des ordinatetqs Annde (Jniversitaire 2012/2013 Lampe allumde Lampe allumde Cela signifie que si I'un des deux intemrpteurs au moins (a OU b) est 6gal d 1, alors la lampe Z sera 6gale d l. C'est-dL-dire que le courant doit passer pa.r au moins un des deux intemrpteurs pour allumer la lampe L. Ainsi, on 6crit : L:a*b 3.3. Utilisation du relais thermique : Fonction NON (N6gation ou Barre) Si f intemrpteur a est d l'6tat ouvert (c'est-d-dire que le courant ne passe pas), grdce au relais thermique, la connexion sera ferm6 (lampe allum6e). Ou vice versa, si le courant passe dans a, le relais thermique ouvrira la connexion et la lampe s'etteind. : Lampe allumde Relais thermique : Lampe 6teinte Math6matiquement on note L =7 3.4. Commutativit6 La loi de composition interne '*' est commutative, ainsi, les deux circuits paralldles suivants des deux intemrpteurs sont 6quivalents : ____|' a # aLl Relais thermique b Circuit l a Circuit 2
  7. 7. Architecture des ordinateurs Annde Universitaire 2012/2013 La loi de composition interne '*' est commutative, ainsi, les deux circuits en s6ries suivants des deux intemrpteurs sont dquivalents : - - a Circuit l 3.5. Associativit6 La loi de composition interne '*' des intemrpteurs sont 6quivalents : Circuit 2 est associative, ainsi, les deux circuits paralldles suivants I t Circuit l c Circuit 2 La loi de composition interne '. intemrpteurs sont dquivalents :. ' est associative, ainsi, les deux circuits en sdries suivants des b Circuit l Circuit 2 3.6. Distributivit6 La loi de composition interne '+' est distributive par rapport d la loi '.', ainsi, les deux circuits paralldles suivants des intemrpteurs sont 6quivalents : -- c {17c Circuit 2Circuit l
  8. 8. Architecture des ordinateurs Annde [Jniversitaire 20]2/2013 La loi de composition interne '.' est distributive par rapport d la loi '+', ainsi, les deux circuits paralldles suivants des intemrpteurs sont 6quivalents : Circuit 2 L'6l6ment 0 (l'intemrpteur ouvert) est l'6l6ment neutre pour la loi de composition interne '+'. 0 Circuit I Circuit 2 L'6l6ment 1 (l'intemrpteur ferm6) est 1'6ldment neutre pour la loi de composition interne ,.'. ol o Circuit 2Circuit I 3.8. Compl6mentarit6 Les lois de composition interne '* et .' sont compl6mentaire, et le compl6ment de chaque bc Circuit l 3.7. El6ments neutres 616ment a de F est a de E. En terme de circuit dlectrique ie compidment d'un intemrpteur ouvert est un intemrpteur ouvert.
  9. 9. Architecture des ordinaleurs Annde (Jniversitaire 2012/2013 1 Circuit 2 Circuit I 0 Circuit 2 iq

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