1. Вокруг «Базельской задачи»
Бернулли, Эйлер, Риман
Менголи, Валлис, Лейбниц, Апери, Зудилин, Матиясевич. . .
Андрей Соболевский
ИППИ РАН и ФКН НИУ ВШЭ
Малый ШАД, 22 ноября 2014

2. Леонард Эйлер
Базель, 1707–Санкт-Петербург, 1783

3. Lisez Euler ! lisez Euler !
C’est nˆotre maˆıtre `a tous !
(Приписывается Пьеру-Симону Лапласу)

4. Базельская задача
Чему равна сумма следующего ряда:
1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ · · · =
= 1 +
1
22 +
1
32 + · · · +
1
n2 + · · · =
= Σ︁n>1
1
n2 ?

5. Базельская задача
1. А есть ли вообще сумма у ряда Σ︀n>1
1
n2 ?
2. Почему эта сумма должна быть равна
чему-то интересному?

6. Пьетро Менголи
Болонья, 1626–1686

7. Болонья, 1650
https://archive.org/details/ita-bnc-mag-00000846-001

8. Геометрическая прогрессия
1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ . . .

9. Геометрическая прогрессия
1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · · + x n
1 + . . . )
−
= 1 + x · Σ

10. Геометрическая прогрессия
1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · · + x n
1 + . . . )
−
= 1 + x · Σ
x =
1
3
Σ =
3
2
Σ =
1
1 − x
x = 1 Σ не определена
x = 2 Σ = −1 ?

11. Геометрическая прогрессия
1 +
1
3
+
1
9
+
1
27
+ . . .
Σ = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n + . . .
= 1 + x · (1 + x + x 2 + · · · + x n
1 + . . . )
−
= 1 + x · Σ
x =
1
3
Σ =
3
2
Σ =
1
1 − x
x = 1 Σ не определена
x = 2 Σ = −1
. . . в p-адическом смысле

12. Гармонический ряд
Σ = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ . . .

13. Гармонический ряд
Σ = 1 +
1
2
+
1
1
+
+
3
4
⏟ >⏞ 12 1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
⏟ ⏞ >12
+ . . .

14. Гармонический ряд
Σ = 1 +
1
2
+
1
1
+
+
3
4
⏟ >⏞ 12 1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
⏟ ⏞ >12
+ . . .
> 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+ · · · = ∞

15. Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . . n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +
1
3
+
1
6
+ · · · +
2
n(n + 1)
+ . . .

16. Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . . n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +
1
3
+
1
6
+ · · · +
2
n(n + 1)
2⏟ ⏞
n −
2
n + 1
+ . . .

17. Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . . n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +
1
3
+
1
6
+ · · · +
2
n(n + 1)
2⏟ ⏞
n −
2
n + 1
+ . . .
2
= ⏞ ⏟ 1 −
2
+⏞ 2
2
2 −
⏟ 2
+⏞ 2
3
3 −
⏟ 2
4
+· · · + ⏞ 2
⏟ n −
2
n + 1
+. . .

18. Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . . n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +
1
3
+
1
6
+ · · · +
2
n(n + 1)
2⏟ ⏞
n −
2
n + 1
+ . . .
2
= ⏞ ⏟ 1 −
2
+⏞ 2
2
2 −
⏟ 2
+⏞ 2
3
3 −
⏟ 2
4
+· · · + ⏞ 2
⏟ n −
2
n + 1
+. . .

19. Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . . n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +
1
3
+
1
6
+ · · · +
2
n(n + 1)
2⏟ ⏞
n −
2
n + 1
+ . . .
2
= ⏞ ⏟ 1 −
2
+⏞ 2
2
2 −
⏟ 2
+⏞ 2
3
3 −
⏟ 2
4
+· · · + ⏞ 2
⏟ n −
2
n + 1
+. . .

20. Обратные треугольные числа
. . . n . . .
1 3 6 10 . . . n(n+1)
2 . . .
Σ = 1 +
1
3
+
1
6
+ · · · +
2
n(n + 1)
2⏟ ⏞
n −
2
n + 1
+ . . .
2
= ⏞ ⏟ 1 −
2
+⏞ 2
2
2 −
⏟ 2
+⏞ 2
3
3 −
⏟ 2
4
+· · · + ⏞ 2
⏟ n −
2
n + 1
+. . . = 2

21. Обратные квадраты
. . . n . . .
1 4 9 16 . . . n2 . . .
Σ = 1 +
1
2 · 2
+
1
3 · 3
+
1
4 · 4
+ · · · +
1
n · n
+ . . . = ?

22. Обратные квадраты
. . . n . . .
1 4 9 16 . . . n2 . . .
Σ = 1 +
1
2 · 2
+
1
3 · 3
+
1
4 · 4
+ · · · +
1
n · n
+ . . .
6 1 +
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · +
1
n(n + 1)
+ . . .

23. Обратные квадраты
. . . n . . .
1 4 9 16 . . . n2 . . .
Σ = 1 +
1
2 · 2
+
1
3 · 3
+
1
4 · 4
+ · · · +
1
n · n
+ . . .
6 1 +
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+ · · · +
1
n(n + 1)
+ . . .
6 1 + 1 = 2

24. Джон Валлис, 1665
1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ · · · ≈ 1,645

25. Яков Бернулли, 1689
«Базельская задача»

26. Леонард Эйлер, E20 (1730)

27. 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n
1 =
−
1 − x n
1 − x

28. 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n
1 =
−
1 − x n
1 − x
y +
y2
2
+
y3
3
+
y4
4
+ · · · +
yn
n
= ∫︁ y
0
1 − x n
1 − x
dx

29. 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n
1 =
−
1 − x n
1 − x
y +
y2
2
+
y3
3
+
y4
4
+ · · · +
yn
n
= ∫︁ y
0
1 − x n
1 − x
dx
1 +
y
2
+
y2
3
+
y3
4
+ · · · +
1
n
yn
−
=
1
y ∫︁ y
0
1 − x n
1 − x
dx

30. 1 + x + x 2 + x 3 + · · · + x n
1 =
−
1 − x n
1 − x
y +
y2
2
+
y3
3
+
y4
4
+ · · · +
yn
n
= ∫︁ y
0
1 − x n
1 − x
dx
1 +
y
2
+
y2
3
+
y3
4
+ · · · +
1
n
yn
−
=
1
y ∫︁ y
0
1 − x n
1 − x
dx
1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ · · · +
1
n2 = ∫︁ 1
0
dy
y ∫︁ y
0
1 − x n
1 − x
dx

31. 1,644934 ≈
2
6 !
휋

32. sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ . . .

33. sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ . . .
e√
1x = cos x + √
−
−1 sin x

34. sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ . . .
e√
1x = cos x + √
−
−1 sin x
e√
1nx = cos nx + √
−
−1 sin nx = (cos x + √
−1 sin x )n =
Σ︁ (︃n
)︃√
1k
= k−06k6n (sin x )k (cos x )n
k
−

35. sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ . . .
e√
1x = cos x + √
−
−1 sin x
e√
1nx = cos nx + √
−
−1 sin nx = (cos x + √
−1 sin x )n =
Σ︁ (︃n
)︃√
1k
= k−06k6n (sin x )k (cos x )n
k
−
sin
nx = Σ︁ 06ℓ6n1
−2
(−1)ℓ n(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ + 1)!
(sin
x )2ℓ+1(cos
x )n
2ℓ
−
−
1

36. sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ . . .
e√
1x = cos x + √
−
−1 sin x
e√
1nx = cos nx + √
−
−1 sin nx = (cos x + √
−1 sin x )n =
Σ︁ (︃n
)︃√
1k
= k−06k6n (sin x )k (cos x )n
k
−
sin x
= Σ︁ 06ℓ6n1
−2
(−1)ℓ n(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ + 1)!
(sin xn
2ℓ+1(cos xn
)n
−
)2ℓ
−
1

37. sin x = x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ . . .
e√
1x = cos x + √
−
−1 sin x
e√
1nx = cos nx + √
−
−1 sin nx = (cos x + √
−1 sin x )n =
Σ︁ (︃n
)︃√
1k
= k−06k6n (sin x )k (cos x )n
k
−
sin x
= Σ︁ 06ℓ6n1
−2
(−1)ℓ n(n − 1) . . . (n − 2ℓ)
(2ℓ + 1)!
(sin xn
2ℓ+1(cos xn
)n
−
)2ℓ
−
1
sin x =Σ︁06ℓ
(−1)ℓ
(2ℓ + 1)!
x 2ℓ+1

38. x −
x 3
3!
+
x 5
5! −
x 7
7!
+ · · · −
x 19
19!

39. P(x ) = 6 − 5x + x 2 = (2 − x )(3 − x ) = 6(︁1 −
x
2 )︁(︁1 −
x
3 )︁

40. P(x ) = 6 − 5x + x 2 = (2 − x )(3 − x ) = 6(︁1 −
x
2 )︁(︁1 −
x
3 )︁
Q(x ) = A(︁1 −
x
a1 )︁(︁1 −
x
a2 )︁. . . (1 −
x
an )︁ [ai̸= 0]

41. P(x ) = 6 − 5x + x 2 = (2 − x )(3 − x ) = 6(︁1 −
x
2 )︁(︁1 −
x
3 )︁
Q(x ) = A(︁1 −
x
a1 )︁(︁1 −
x
a2 )︁. . . (1 −
x
an )︁ [ai̸= 0]
sin x = x(︁1 −
x
휋 )︁(︁1 +
x
휋 )︁(︁1 −
x
2휋 )︁(︁1 +
x
2휋 )︁· · · =
= x(︁1 −
x 2
휋2 )︁(︁1 −
x 2
4휋2 )︁(︁1 −
x 2
9휋2 )︁. . .

42. P(x ) = 6 − 5x + x 2 = (2 − x )(3 − x ) = 6(︁1 −
x
2 )︁(︁1 −
x
3 )︁
Q(x ) = A(︁1 −
x
a1 )︁(︁1 −
x
a2 )︁. . . (1 −
x
an )︁ [ai̸= 0]
sin x = x(︁1 −
x
휋 )︁(︁1 +
x
휋 )︁(︁1 −
x
2휋 )︁(︁1 +
x
2휋 )︁· · · =
= x(︁1 −
x 2
휋2 )︁(︁1 −
x 2
4휋2 )︁(︁1 −
x 2
9휋2 )︁. . .
sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁(︁1 −
x 2
16 )︁. . .

43. sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁(︁1 −
x 2
16 )︁. . .
= 1 − (︁1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ . . . )︁x 2 + . . .

44. sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁(︁1 −
x 2
16 )︁. . .
= 1 − (︁1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ . . . )︁x 2 + . . .
=
1
휋x (︁휋x −
(휋x )3
3!
+
(휋x )5
5! − . . . )︁ =
= 1 −
휋2
6
x 2 +
휋4
120
x 4 + . . .

45. sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁(︁1 −
x 2
16 )︁. . .
= 1 − (︁1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ . . . )︁x 2 + . . .
=
1
휋x (︁휋x −
(휋x )3
3!
+
(휋x )5
5! − . . . )︁ =
= 1 −
휋2
6
x 2 +
휋4
120
x 4 + . . .
1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ · · · =
휋2
6

46. 1 +
1
4
+
1
9
+
1
16
+ · · · =
2
6 !!!
휋

48. sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁· · · = Π︁n>1(︁1 −
x 2
n2 )︁
ln sin 휋x − ln 휋x = Σ︁n>1
ln(︁1 −
x 2
n2 )︁

49. sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁· · · = Π︁n>1(︁1 −
x 2
n2 )︁
ln sin 휋x − ln 휋x = Σ︁n>1
ln(︁1 −
x 2
n2 )︁
d
dx
(ln sin 휋x − ln 휋x ) = 휋 ctg 휋x −
1
x
= Σ︁n>1
1
1 − x 2
n2 (︁−
2x
n2 )︁ =
= −
2
x Σ︁n>1Σ︁k>1
x 2k
n2k

50. sin 휋x
휋x
= (︁1 −
x 2
1 )︁(︁1 −
x 2
4 )︁(︁1 −
x 2
9 )︁· · · = Π︁n>1(︁1 −
x 2
n2 )︁
ln sin 휋x − ln 휋x = Σ︁n>1
ln(︁1 −
x 2
n2 )︁
d
dx
(ln sin 휋x − ln 휋x ) = 휋 ctg 휋x −
1
x
= Σ︁n>1
1
1 − x 2
n2 (︁−
2x
n2 )︁ =
= −
2
x Σ︁n>1Σ︁k>1
x 2k
n2k
Σ︁n>1Σ︁k>1
x 2k
n2k =
1 − 휋x ctg 휋x
2 ⇒ получаем Σ︁n>1
1
n2k при k > 1

51. Дзета-функция
휁(t) = Σ︁n>1
1
nt
휁(1) не определена; 휁(2) =
휋2
6
, 휁(4) =
휋4
90
, . . .

52. Дзета-функция
휁(t) = Σ︁n>1
1
nt
휁(1) не определена; 휁(2) =
휋2
6
, 휁(4) =
휋4
90
, . . .
Рационально ли число 휁(3)?

53. Дзета-функция
휁(t) = Σ︁n>1
1
nt
휁(1) не определена; 휁(2) =
휋2
6
, 휁(4) =
휋4
90
, . . .
Рационально ли число 휁(3)?
Нет (Роже Апери, 1978)

54. Дзета-функция
휁(t) = Σ︁n>1
1
nt
휁(1) не определена; 휁(2) =
휋2
6
, 휁(4) =
휋4
90
, . . .
Рационально ли число 휁(3)?
Нет (Роже Апери, 1978)
Рациональны ли 휁(2k + 1) при k > 1?
Известны частичные результаты:
http://wain.mi.ras.ru/zw/

55. Формула Эйлера
휁(t) =
2t · 3t · 5t · 7t . . .
(2t − 1)(3t − 1)(5t − 1)(7t − 1) . . .
=
=
1
1 − 1
2t
1
1 − 1
3t
1
1 − 1
5t
1
1 − 1
7t · · · = Π︁ p — простое(︁1 −
1
pt )︁−
1

57. Формула Эйлера
휁(t) =
2t · 3t · 5t · 7t . . .
(2t − 1)(3t − 1)(5t − 1)(7t − 1) . . .
=
=
1
1 − 1
2t
1
1 − 1
3t
1
1 − 1
5t
1
1 − 1
7t · · · = Π︁ p — простое(︁1 −
1
pt )︁−
1

58. Lisez Euler ! lisez Euler !
C’est nˆotre maˆıtre `a tous !
(Приписывается Пьеру-Симону Лапласу)

59. http://eulerarchive.maa.org/index.html

60. Бернгард Риман
Ганновер, 1826—Селаска, 1866

61. Гипотеза Римана

62. Пояснение, добавленное после лекции. На предыдущем слайде
красными и синими линиями показаны геометрические места, где
обращаются в нуль соответственно вещественная Re 휁(t) и мнимая
Im 휁(t) части дзета-функции 휁(t), а черными точками — те места,
где обращается в нуль сама 휁(t). Конечно, чтобы 휁(t) = 0,
необходимо, чтобы одновременно Re 휁(t) = 0 и Im 휁(t) = 0,
поэтому черные точки стоят на пересечениях красных и синих
линий. У внимательного слушателя может возникнуть вопрос,
почему не отмечено пересечение красной и синей линий с
координатами (1, 0), отвечающее t = 1. Дело в том, что 휁(1) = ∞,
а в окрестности этой точки дзета-функция устроена так: при
подходе к (1, 0) по красной линии Re 휁(t) = 0, но Im 휁(t)
стремится к бесконечности, а при подходе по синей линии Re 휁(t)
и Im 휁(t) меняются ролями. Следовательно, хотя нулевые линии
уровня действительно пересекаются при t = 0, сама функция в
этой точке обращается не в нуль, а в бесконечность.

63. Юрий Матиясевич
Санкт-Петербург
http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat/personaljournal/

64. Спасибо
за внимание!