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metodo matricial metodo matricial Document Transcript

  • Capítulo 5Método matricial5.1. Contenido El concepto de rigidez. Matriz de rigidez de una viga. Método directo de larigidez. Vector de cargas. Sistemas de coordenadas. Transformación de sistemas decoordenadas, matrices de rotación. Matriz de rigidez elemental. Matriz de rigidezglobal de la estructura, montaje. Ensamblaje del vector de cargas. Ensamblaje delvector de desplazamientos. Imposición de las condiciones de contorno. Sistema deecuaciones a resolver. Cálculo de esfuerzos y reacciones. Cargas de origen térmico.Errores de montaje. Apoyos inclinados.5.2. Objetivos Presentar el método matricial como sistematización de los conceptos presenta-dos anteriormente. Aplicar el método directo de la rigidez en estructuras sencillas.Calcular desplazamientos. Calcular esfuerzos en cualquier tipo de estructura.5.3. Qué se debe saber al terminar este tema 1. Qué es la matriz de rígidez en coordenadas locales y en coordenadas globales. Cómo pasar de una a otra (matriz de rotación). Matriz de rotación para vigas y barras. 2. Ensamblar la matriz de rigidez global de una estructura 3. Ensamblar el vector de cargas 4. Imponer condiciones de contorno en el sistema. Porqué son necesarias. Elegir grados de libertad en el caso del método directo. 5. Cálcular esfuerzos a partir de los desplazamientos. Dibujar diagramas de cortantes, axiles y momentos flectores 33
  • CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 34 6. Identificar las grados de libertad existentes en una estructura. Saber qué matriz de rigidez debemos emplear 7. Resolver estructuras con articulaciones internas 8. Introducir asientos en los apoyos, errores de montaje y efectos térmicos5.4. Ejercicios resueltos 1. Sobre la estructura de la figura obtener los diagramas de esfuerzos of 1 todas Page 1 de las barras En las páginas siguientes se encuentran las matrices de rigidez locales y glo- bales de todas las barras, así como los vectores de fuerzas de empotramiento coordenadas en locales y globales y los vectores de esfuerzos, además de los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores. file://D:WebEstructuras_4EjerciciosMatricialmatricial_4B_archivoschart001.htm 04/11/2010
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSAB A I E L alfa 5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0 2 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03 3 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03 4 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.0 5 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+03 6 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04 Matriz de rotación 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 2 2 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03 3 3 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03 4 4 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 5 5 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+03 6 6 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+01 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 1 0.0 0.000E+00 150.000 150.000 2 0.0 0.000E+00 150.000 150.000 3 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 4 0.0 0.000E+00 150.000 150.000 5 0.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 6 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 1.14E-02 0.01136509 9.502E+02 1 0.00E+00 0 1.289E+02 2 -2.82E-02 -0.028208195 2.154E+01 3 6.32E-03 0.006319047 -9.502E+02 4 -8.09E-02 -0.080853151 1.711E+02 5 -5.96E-03 -0.005962288 -1.483E+02 6
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSFG A I E L alfa 2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 83650.0 0.0 0.0 -83650.0 0.0 0.0 2 0.0 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+02 3 0.0 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+02 4 -83650.0 0.0 0.0 83650.0 0.0 0.0 5 0.0 -1.540E+02 -4.620E+02 0.0 1.540E+02 -4.620E+02 6 0.0 4.620E+02 9.240E+02 0.0 -4.620E+02 1.848E+03 Matriz de rotación 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 1 10 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 2 11 0.000E+00 1.540E+02 4.620E+02 0.000E+00 -1.540E+02 4.620E+02 3 12 0.000E+00 4.620E+02 1.848E+03 0.000E+00 -4.620E+02 9.240E+02 4 13 -8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 8.365E+04 0.000E+00 0.000E+00 5 14 0.000E+00 -1.540E+02 -4.620E+02 0.000E+00 1.540E+02 -4.620E+02 6 15 0.000E+00 4.620E+02 9.240E+02 0.000E+00 -4.620E+02 1.848E+03 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales -1.19E-02 -0.011906099 -9.959E+02 10 -7.82E-02 -0.078184172 1.120E+00 11 -5.58E-03 -0.005581865 7.827E-01 12 0.00E+00 0 9.959E+02 13 -1.02E-01 -0.102205696 -1.120E+00 14 0.00E+00 0 5.940E+00 15
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSCG A I E L alfa 1.20E-03 6.60E-06 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 83650.0 0.0 0.0 -83650.0 0.0 0.0 2 0.0 6.160E+02 9.240E+02 0.000E+00 -6.160E+02 9.240E+02 3 0.0 9.240E+02 1.848E+03 0.000E+00 -9.240E+02 9.240E+02 4 -83650.0 0.0 0.0 83650.0 0.0 0.0 5 0.0 -6.160E+02 -9.240E+02 0.0 6.160E+02 -9.240E+02 6 0.0 9.240E+02 9.240E+02 0.0 -9.240E+02 1.848E+03 Matriz de rotación 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 14 15 1 7 6.160E+02 -5.086E-12 9.240E+02 -6.160E+02 5.086E-12 9.240E+02 2 8 -5.086E-12 8.365E+04 5.660E-14 5.086E-12 -8.365E+04 5.660E-14 3 9 9.240E+02 5.660E-14 1.848E+03 -9.240E+02 -5.660E-14 9.240E+02 4 13 -6.160E+02 5.086E-12 -9.240E+02 6.160E+02 -5.086E-12 -9.240E+02 5 14 5.086E-12 -8.365E+04 -5.660E-14 -5.086E-12 8.365E+04 -5.660E-14 6 15 9.240E+02 5.660E-14 9.240E+02 -9.240E+02 -5.660E-14 1.848E+03 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 0.00E+00 0.103660774 1.217E+02 7 -1.04E-01 0 0.000E+00 8 0.00E+00 0 0.000E+00 9 0.00E+00 0.102205696 -1.217E+02 13 -1.02E-01 0 0.000E+00 14 0.00E+00 0 0.000E+00 15
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSCF A I E L alfa 2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 2.07E+02 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.0 2 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 3 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 4 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.0 5 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00 6 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00 Matriz de rotación -0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 1 7 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 2 8 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 3 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 4 10 -5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 5 11 -2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 6 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 0.00E+00 0.046415054 5.245E+01 7 -1.04E-01 0.092688721 0.000E+00 8 0.00E+00 0 0.000E+00 -1.19E-02 0.045653562 -5.245E+01 10 -7.82E-02 0.064577644 0.000E+00 11 0.00E+00 0 0.000E+00
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSBG A I E L alfa 2.20E-03 0.00E+00 2.10E+08 6.71E+00 3.33E+02 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 68873.0 0.0 0.0 -68873.0 0.0 0.0 2 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 3 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 4 -68873.0 0.0 0.0 68873.0 0.0 0.0 5 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00 6 0.0 0.000E+00 0.000E+00 0.0 0.000E+00 0.000E+00 Matriz de rotación 0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 4 5 13 14 1 4 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 2 5 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 3 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 4 13 -5.506E+04 2.757E+04 0.000E+00 5.506E+04 -2.757E+04 0.000E+00 5 14 2.757E+04 -1.381E+04 0.000E+00 -2.757E+04 1.381E+04 0.000E+00 6 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 6.32E-03 0.041852936 9.177E+03 4 -8.09E-02 -0.069465777 0.000E+00 5 0.00E+00 0 0.000E+00 -1.02E-01 -0.091387656 -9.177E+03 13 0.00E+00 -0.045763529 0.000E+00 14 0.00E+00 0 0.000E+00
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSBF A I E L alfa 2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 3.00E+00 -9.00E+01 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 167300.0 0.0 0.0 -167300.0 0.0 0.0 2 0.0 1.232E+03 1.848E+03 0.000E+00 -1.232E+03 1.848E+03 3 0.0 1.848E+03 3.696E+03 0.000E+00 -1.848E+03 1.848E+03 4 -167300.0 0.0 0.0 167300.0 0.0 0.0 5 0.0 -1.232E+03 -1.848E+03 0.0 1.232E+03 -1.848E+03 6 0.0 1.848E+03 1.848E+03 0.0 -1.848E+03 3.696E+03 Matriz de rotación 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 4 5 6 10 11 12 1 4 1.232E+03 -1.017E-11 1.848E+03 -1.232E+03 1.017E-11 1.848E+03 2 5 -1.017E-11 1.673E+05 1.132E-13 1.017E-11 -1.673E+05 1.132E-13 3 6 1.848E+03 1.132E-13 3.696E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 1.848E+03 4 10 -1.232E+03 1.017E-11 -1.848E+03 1.232E+03 -1.017E-11 -1.848E+03 5 11 1.017E-11 -1.673E+05 -1.132E-13 -1.017E-11 1.673E+05 -1.132E-13 6 12 1.848E+03 1.132E-13 1.848E+03 -1.848E+03 -1.132E-13 3.696E+03 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 6.32E-03 0.080853151 4.465E+02 4 -8.09E-02 0.006319047 1.120E+00 5 -5.96E-03 -0.005962288 1.328E+00 6 -1.19E-02 0.078184172 -4.465E+02 10 -7.82E-02 -0.011906099 -1.120E+00 11 -5.58E-03 -0.005581865 2.031E+00 12
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSAF A I E L alfa 2.39E-03 1.32E-05 2.10E+08 6.70E+00 -2.66E+01 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 74910.4 0.0 0.0 -74910.4 0.0 0.0 2 0.0 1.106E+02 3.705E+02 0.000E+00 -1.106E+02 3.705E+02 3 0.0 3.705E+02 1.655E+03 0.000E+00 -3.705E+02 8.275E+02 4 -74910.4 0.0 0.0 74910.4 0.0 0.0 5 0.0 -1.106E+02 -3.705E+02 0.0 1.106E+02 -3.705E+02 6 0.0 3.705E+02 8.275E+02 0.0 -3.705E+02 1.655E+03 Matriz de rotación 0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 1 2 3 10 11 12 1 1 5.995E+04 -2.992E+04 1.657E+02 -5.995E+04 2.992E+04 1.657E+02 2 2 -2.992E+04 1.508E+04 3.314E+02 2.992E+04 -1.508E+04 3.314E+02 3 3 1.657E+02 3.314E+02 1.655E+03 -1.657E+02 -3.314E+02 8.275E+02 4 10 -5.995E+04 2.992E+04 -1.657E+02 5.995E+04 -2.992E+04 -1.657E+02 5 11 2.992E+04 -1.508E+04 -3.314E+02 -2.992E+04 1.508E+04 -3.314E+02 6 12 1.657E+02 3.314E+02 8.275E+02 -1.657E+02 -3.314E+02 1.655E+03 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 1.14E-02 0.010164807 -1.061E+03 1 0.00E+00 0.005083501 -3.634E+00 2 -2.82E-02 -0.028208195 -2.154E+01 3 -1.19E-02 0.024322386 1.061E+03 10 -7.82E-02 -0.075252518 3.634E+00 11 -5.58E-03 -0.005581865 -2.814E+00 12
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSBC A I E L alfa 5.38E-03 8.36E-05 2.10E+08 6.00E+00 0.00E+00 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 188300.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0 2 0.0 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03 3 0.0 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03 4 -188300.0 0.0 0.0 188300.0 0.0 0.0 5 0.0 -9.753E+02 -2.926E+03 0.0 9.753E+02 -2.926E+03 6 0.0 2.926E+03 5.852E+03 0.0 -2.926E+03 1.170E+04 Matriz de rotación 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 1 4 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 2 5 0.000E+00 9.753E+02 2.926E+03 0.000E+00 -9.753E+02 2.926E+03 3 6 0.000E+00 2.926E+03 1.170E+04 0.000E+00 -2.926E+03 5.852E+03 4 7 -1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 1.883E+05 0.000E+00 0.000E+00 5 8 0.000E+00 -9.753E+02 -2.926E+03 0.000E+00 9.753E+02 -2.926E+03 6 9 0.000E+00 2.926E+03 5.852E+03 0.000E+00 -2.926E+03 1.170E+04 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0.00E+00 Uniforme 5.00E+01 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 4 0.0 0.000E+00 150.000 150.000 5 0.0 0.000E+00 150.000 150.000 6 0.0 0.000E+00 0.000 0.000 7 0.0 0.000E+00 150.000 150.000 8 0.0 0.000E+00 -150.000 -150.000 9 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 6.32E-03 0.006319047 1.190E+03 4 -8.09E-02 -0.080853151 1.548E+02 5 -5.96E-03 -0.005962288 1.470E+02 6 0.00E+00 0 -1.190E+03 7 -1.04E-01 -0.103660774 1.452E+02 8 0.00E+00 0 -1.182E+02 9
  • Fn Femp 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 U 1.0 0.0 0.0 248245.3 -29923.8 165.7 -188300.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 165.7 U1 2.0 R2 150.0 -29923.8 16051.1 3257.4 0.0 -975.3 2926.0 29923.8 -15075.7 331.4 0.0 3.0 0.0 150.0 165.7 3257.4 13358.9 0.0 -2926.0 5852.0 -165.7 -331.4 827.5 U3 4.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 0.0 432896.8 -27574.4 1848.0 -188300.0 0.0 0.0 -1232.0 0.0 1848.0 -55064.8 27574.4 U4 5.0 0.0 300.0 0.0 -975.3 -2926.0 -27574.4 183058.9 0.0 0.0 -975.3 2926.0 0.0 -167300.0 0.0 27574.4 -13808.2 U5 6.0 0.0 - 0.0 0.0 2926.0 5852.0 1848.0 0.0 27104.0 0.0 -2926.0 5852.0 -1848.0 0.0 1848.0 U6 7.0 R7 0.0 -188300.0 0.0 0.0 243980.8 27574.4 924.0 -55064.8 -27574.4 0.0 -616.0 0.0 924.0 0.0 8.0 0.0 150.0 0.0 -975.3 -2926.0 27574.4 98433.6 -2926.0 -27574.4 -13808.2 0.0 0.0 -83650.0 0.0 U8 9.0 R9 -150.0 0.0 2926.0 5852.0 924.0 -2926.0 13552.0 0.0 0.0 0.0 -924.0 0.0 924.0 0.010.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 -165.7 -1232.0 0.0 -1848.0 -55064.8 -27574.4 0.0 199892.1 -2349.4 -2013.7 -83650.0 0.0 0.0 U1011.0 0.0 0.0 29923.8 -15075.7 -331.4 0.0 -167300.0 0.0 -27574.4 -13808.2 0.0 -2349.4 196338.0 130.6 0.0 -154.0 462.0 U1112.0 0.0 0.0 165.7 331.4 827.5 1848.0 0.0 1848.0 0.0 0.0 0.0 -2013.7 130.6 7198.9 0.0 -462.0 924.0 U1213.0 R13 0.0 -55064.8 27574.4 -616.0 0.0 -924.0 -83650.0 0.0 0.0 139330.8 -27574.4 -924.0 0.014.0 0.0 0.0 27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 0.0 0.0 -154.0 -462.0 -27574.4 97612.2 -462.0 U1415.0 R15 0.0 924.0 0.0 924.0 0.0 462.0 924.0 -924.0 -462.0 3696.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0
  • Femp 1.0 3.0 4.0 5.0 6.0 8.0 10.0 11.0 12.0 14.0 U 1.0 0.0 0.0 248245.3 165.7 -188300.0 0.0 0.0 0.0 -59945.3 29923.8 165.7 0.0 U1 3.0 0.0 150.0 165.7 13358.9 0.0 -2926.0 5852.0 0.0 -165.7 -331.4 827.5 0.0 U3 4.0 0.0 0.0 -188300.0 0.0 432896.8 -27574.4 1848.0 0.0 -1232.0 0.0 1848.0 27574.4 U4 5.0 0.0 300.0 0.0 -2926.0 -27574.4 183058.9 0.0 -975.3 0.0 -167300.0 0.0 -13808.2 U5 6.0 0.0- 0.0 0.0 5852.0 1848.0 0.0 27104.0 -2926.0 -1848.0 0.0 1848.0 0.0 U6 8.0 0.0 150.0 0.0 0.0 0.0 -975.3 -2926.0 98433.6 -27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 U810.0 0.0 0.0 -59945.3 -165.7 -1232.0 0.0 -1848.0 -27574.4 199892.1 -2349.4 -2013.7 0.0 U1011.0 0.0 0.0 29923.8 -331.4 0.0 -167300.0 0.0 -13808.2 -2349.4 196338.0 130.6 -154.0 U1112.0 0.0 0.0 165.7 827.5 1848.0 0.0 1848.0 0.0 -2013.7 130.6 7198.9 -462.0 U1214.0 0.0 0.0 0.0 0.0 27574.4 -13808.2 0.0 -83650.0 0.0 -154.0 -462.0 97612.2 U14 1.0097E-05 -4.3413E-06 4.8102E-06 -2.1882E-05 -2.3076E-06 -2.7663E-05 -1.0650E-06 -2.2170E-05 -2.0816E-06 -2.8205E-05 -4.3413E-06 8.9394E-05 -2.0169E-06 3.1783E-05 -1.4907E-05 3.5095E-05 3.7900E-06 3.0438E-05 -3.0655E-06 3.5174E-05 4.8102E-06 -2.0169E-06 4.8138E-06 -1.1465E-05 -1.6905E-06 -1.7179E-05 -1.0721E-06 -1.1740E-05 -1.9055E-06 -1.7731E-05 -2.1882E-05 3.1783E-05 -1.1465E-05 1.5878E-04 1.5100E-05 1.8968E-04 2.1605E-05 1.5242E-04 1.1295E-05 1.8855E-04 -2.3076E-06 -1.4907E-05 -1.6905E-06 1.5100E-05 4.3552E-05 2.4457E-05 3.1685E-06 1.4974E-05 -6.8527E-06 2.3563E-05 -2.7663E-05 3.5095E-05 -1.7179E-05 1.8968E-04 2.4457E-05 2.7661E-04 3.2374E-05 1.8595E-04 1.7687E-05 2.6911E-04 -1.0650E-06 3.7900E-06 -1.0721E-06 2.1605E-05 3.1685E-06 3.2374E-05 9.4552E-06 2.0990E-05 3.3139E-06 3.1152E-05 -2.2170E-05 3.0438E-05 -1.1740E-05 1.5242E-04 1.4974E-05 1.8595E-04 2.0990E-05 1.5187E-04 1.1139E-05 1.8452E-04 -2.0816E-06 -3.0655E-06 -1.9055E-06 1.1295E-05 -6.8527E-06 1.7687E-05 3.3139E-06 1.1139E-05 1.4344E-04 1.7990E-05 -2.8205E-05 3.5174E-05 -1.7731E-05 1.8855E-04 2.3563E-05 2.6911E-04 3.1152E-05 1.8452E-04 1.7990E-05 2.7292E-04 U1= 1.1365E-02 U3= -2.8208E-02 U4= 6.3190E-03 U5= -8.0853E-02 U6= -5.9623E-03 U8= -1.0366E-01 U10= -1.1906E-02 U11= -7.8184E-02 U12= -5.5819E-03 U14= -1.0221E-01
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSAB A I E L alfa 2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 3.00E+00 9.00E+01 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 2 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.7 3 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.7 4 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.0 5 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.7 6 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4 Matriz de rotación 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1.8 0.0 -2.7 -1.8 0.0 -2.7 2 2 0.0 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 3 3 -2.7 0.0 5.4 2.7 0.0 2.7 4 4 -1.8 0.0 2.7 1.8 0.0 2.7 5 5 0.0 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 6 6 -2.7 0.0 2.7 2.7 0.0 5.4 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 4.00E-02 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.000 -0.020 0.000 0.000 1 0.020 0.000 0.000 0.000 2 0.015 0.015 0.000 0.000 3 0.000 -0.020 0.000 0.000 4 0.020 0.000 0.000 0.000 5 -0.015 -0.015 0.000 0.000 6 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 0.00E+00 -0.01 2.625E-04 -1.00E-02 -6.12574E-19 2.861E-02 0.00E+00 0 2.421E-02 0.0006655 -0.010001316 -2.625E-04 -0.01000132 -0.0006655 1.139E-02 0.00272618 0.002726179 1.616E-03 Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes 3.00E-02 3.50E-02 2.50E-02 3.00E-02 2.00E-02 2.50E-02 1.50E-02 2.00E-02 1.00E-02 1.50E-02 5.00E-03 1.00E-02 0.00E+00 -5.00E-03 0.0 5.00E-03 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -1.00E-02 0.00E+00 -1.50E-02 -5.00E-03 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -2.00E-02 -1.00E-02 -2.50E-02 -1.50E-02 Longitud Longitud
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSBC A I E L alfa 2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 3.00E+00 0.00E+00 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 2 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.7 3 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.7 4 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.0 5 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.7 6 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4 Matriz de rotación 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 1 4 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 2 5 0.0 1.8 2.7 0.0 -1.8 2.7 3 6 0.0 2.7 5.4 0.0 -2.7 2.7 4 7 -199.5 0.0 0.0 199.5 0.0 0.0 5 8 0.0 -1.8 -2.7 0.0 1.8 -2.7 6 9 0.0 2.7 2.7 0.0 -2.7 5.4 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.0 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 0.0 0.0 0.000 0.000 Calculo de esfuerzos en los extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 6.65E-04 0.0006655 1.139E-02 -1.00E-02 -0.010001316 2.625E-04 2.73E-03 0.002726179 -1.616E-03 0.0006084 0.000608404 -1.139E-02 0.00025227 0.000252272 -2.625E-04 0.0042062 0.004206199 2.404E-03 Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes 0.00E+00 3.00E-04 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -5.00E-04 2.50E-04 -1.00E-03 2.00E-04 -1.50E-03 1.50E-04 -2.00E-03 1.00E-04 -2.50E-03 5.00E-05 -3.00E-03 0.00E+00 Longitud 0.0 5.0 10.0Longitud15.0 20.0 25.0
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSDE A I E L alfa 2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 8.00E+00 9.00E+01 -25 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 74.8 0.0 0.0 -74.8 0.0 0.0 2 0.0 0.1 0.4 0.0 -0.1 0.4 3 0.0 0.4 2.0 0.0 -0.4 1.0 4 -74.8 0.0 0.0 74.8 0.0 0.0 5 0.0 -0.1 -0.4 0.0 0.1 -0.4 6 0.0 0.4 1.0 0.0 -0.4 2.0 Matriz de rotación 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.9 -0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 1 10 0.1 0.0 -0.4 0.0 0.1 -0.4 2 11 0.0 74.8 0.0 -67.8 31.6 0.0 3 12 -0.4 0.0 2.0 -0.2 -0.3 1.0 4 13 0.0 -67.8 -0.2 61.5 -28.6 -0.2 5 14 0.1 31.6 -0.3 -28.6 13.4 -0.3 6 15 -0.4 0.0 1.0 -0.2 -0.3 2.0 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.0 0.215 0.000 10 0.0 0.0 0.000 0.215 11 0.0 0.0 0.000 0.000 12 0.0 0.0 -0.215 -0.195 13 0.0 0.0 0.000 0.091 14 0.0 0.0 0.000 0.000 15 Calculo Calc lo de esf er os en los e tremos esfuerzos extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 0.00E+00 0 1.807E-02 0.00E+00 0 -2.937E-05 0.00E+00 0 -2.350E-04 0.00291127 0.002638508 -1.807E-02 0 0.001230356 2.937E-05 0.00023069 0.000230692 0.000E+00 Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes 0.00E+00 0.00E+00 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -5.00E-06 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -5.00E-05 -1.00E-05 -1.00E-04 -1.50E-05 -1.50E-04 -2.00E-05 -2.50E-05 -2.00E-04 -3.00E-05 -2.50E-04 2 50E 04 -3.50E-05 3 50E 05 Longitud Longitud
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSCD A I E L alfa 2.85E-03 1.94E-05 2.10E+05 5.00E+00 -3.69E+01 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 119.7 0.0 0.0 -119.7 0.0 0.0 2 0.0 0.4 1.0 0.0 -0.4 1.0 3 0.0 1.0 3.3 0.0 -1.0 1.6 4 -119.7 0.0 0.0 119.7 0.0 0.0 5 0.0 -0.4 -1.0 0.0 0.4 -1.0 6 0.0 1.0 1.6 0.0 -1.0 3.3 Matriz de rotación 0.8 -0.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.8 -0.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 7 76.8 -57.3 0.6 -76.8 57.3 0.6 2 8 -57.3 43.3 0.8 57.3 -43.3 0.8 3 9 0.6 0.8 3.3 -0.6 -0.8 1.6 4 10 -76.8 57.3 -0.6 76.8 -57.3 -0.6 5 11 57.3 -43.3 -0.8 -57.3 43.3 -0.8 6 12 0.6 0.8 1.6 -0.6 -0.8 3.3 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0 Uniforme 1.60E-02 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.0 -0.0300 0.0000 7 0.0 0.0 0.0400 0.0500 8 0.0 0.0 0.0333 0.0333 9 0.0 0.0 -0.0300 0.0000 10 0.0 0.0 0.0400 0.0500 11 0.0 0.0 -0.0333 -0.0333 12 Calculo Calc lo de esf er os en los e tremos esfuerzos extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 6.08E-04 0.000335457 1.015E-02 2.52E-04 0.000566802 4.433E-02 4.21E-03 0.004206199 4.760E-02 0 0 -7.015E-02 0 0 3.567E-02 0 0 -2.592E-02 Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes 6.00E-02 5.00E-02 5.00E-02 4.00E-02 4.00E-02 3.00E-02 2.00E-02 3.00E-02 1.00E-02 2.00E-02 0.00E+00 1.00E-02 -1.00E-02 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 0.00E+00 -2.00E-02 -1.00E-02 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 -3.00E-02 -2.00E-02 2 00E 02 -4.00E-02 4 00E 02 Longitud Longitud
  • CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA CON 6 GDL DIAGRAMAS DE ESFUERZOSCE A I E L alfa 1.25E-03 0.00E+00 2.10E+05 6.40E+00 5.13E+01 -63.87 Matriz de rigidez locales 1 2 3 4 5 6 1 41.0 0.0 0.0 -41.0 0.0 0.0 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 4 -41.0 0.0 0.0 41.0 0.0 0.0 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Matriz de rotación 0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.8 0.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.4 -0.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.9 0.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 Matriz de rigidez globales 1 2 3 4 5 6 7 8 13 14 1 7 16.0 20.0 0.0 -11.3 23.0 0.0 2 8 20.0 25.0 0.0 -14.1 28.7 0.0 3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 4 13 -11.3 -14.1 0.0 8.0 -16.2 0.0 5 14 23.0 28.7 0.0 -16.2 33.1 0.0 6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Esfuerzos de empotramiento por cargas exteriores sobre la barraAplicación a Puntual 0 Uniforme 0.00E+00 0.5 Locales Globales Locales Globales L 0.0 0.0 -0.0084 -0.0053 7 0.0 0.0 0.0000 -0.0066 8 0.0 0.0 0.0000 0.0000 0.0 0.0 0.0082 0.0036 13 0.0 0.0 0.0000 -0.0074 14 0.0 0.0 0.0000 0.0000 Calculo Calc lo de esf er os en los e tremos esfuerzos extremos Desplazamientos (de la solución) Esfuerzos en extremos (locales) Esfuerzos positivo según los gdl del primer nudo Globales Locales 6.08E-04 0.000577281 -3.731E-02 2.52E-04 -0.000317085 0.000E+00 0.00E+00 0 0.000E+00 0.00291127 0.001282151 3.715E-02 0 0.002613731 0.000E+00 0 0 0.000E+00 Momentos Flectores Esfuerzos Cortantes 1.2 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0.0 0.2 0.4 0.6 Longitud 0.8 1.0 1.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Longitud 0.8 1.0 1.2
  • 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 U Fn Femp 1.0 1.8 0.0 -2.7 -1.8 0.0 -2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 R1 -0.020 2.0 0.0 199.5 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.01 R2 0.000 3.0 -2.7 0.0 5.4 2.7 0.0 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 R3 0.015 4.0 -1.8 0.0 2.7 201.3 0.0 2.7 -199.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.0 -0.020 0.000 5.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 201.3 2.7 0.0 -1.8 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U5 0.0 0.000 1.995 6.0 -2.7 0.0 2.7 2.7 2.7 10.9 0.0 -2.7 2.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U6 0.0 -0.015 0.000 7.0 0.0 0.0 0.0 -199.5 0.0 0.0 292.3 -37.2 0.6 -76.8 57.3 0.6 -11.3 23.0 0.0 U7 0.0 -0.005 0.000 8.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.8 -2.7 -37.2 70.1 -1.9 57.3 -43.3 0.8 -14.1 28.7 0.0 U8 0.0 0.043 0.000 9.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2.7 2.7 0.6 -1.9 8.7 -0.6 -0.8 1.6 0.0 0.0 0.0 U9 0.050 0.033 0.00010.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -76.8 57.3 -0.6 76.9 -57.3 -1.0 0.0 0.1 -0.4 0.0 R10 0.00011.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 57.3 -43.3 -0.8 -57.3 118.1 -0.8 -67.8 31.6 0.0 0.0 R11 0.26512.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6 0.8 1.6 -1.0 -0.8 5.3 -0.2 -0.3 1.0 0.0 R12 -0.03313.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -11.3 -14.1 0.0 0.0 -67.8 -0.2 69.4 -44.8 -0.2 U13 0.0 -0.192 0.00014.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 23.0 28.7 0.0 0.1 31.6 -0.3 -44.8 46.5 -0.3 0.0 R14 0.08415.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.4 0.0 1.0 -0.2 -0.3 2.0 U15 0.0 0.000 0.000 Femp ### 0.0 2.7 ### 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.020 0.0 201.3 2.7 0.0 -1.8 2.7 0.0 0.0 U5 -1.995 2.7 2.7 10.9 0.0 -2.7 2.7 0.0 0.0 U6 0.015 ### 0.0 0.0 ### -37.2 0.6 ### 0.0 U7 0.005 0.0 -1.8 -2.7 ### 70.1 -1.9 ### 0.0 U8 -0.043 0.0 2.7 2.7 0.6 -1.9 8.7 0.0 0.0 U9 0.017 0.0 0.0 0.0 ### -14.1 0.0 ### -0.2 U13 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -0.2 2.0 U15 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U4 0.00067 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U5 -0.01000 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U6 0.00273 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U7 0.00061 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U8 0.00025 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.0 0.0 U9 0.00421 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 U13 0.00291 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.5 U15 0.00023
  • CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 525.5. Ejercicios propuestos 1. En la celosía de la figura determinar los esfuerzos en las barras DF y DC , y los desplazamientos de los nudos debidos a: Las cargas exteriores, un incremento de temperatura de 30 grados en la barras DF y ED y un asiento horizontal en el apoyo C de 0.5 cm α = 1,2∆10−5 C −1 6m A B 6m F 10kN E C E=2.1·106 kg/cm2 D A=17.4 cm2 10kN A B -16442 -38802 F E C 33212 -49412 33212 Dx=5.2 mm Dy=-0.78 mm Fx=0.459 mm Esfuerzos en N Fy=0.567 mm D 2. En la estructura de la figura , todas las barras están constituidas por perfiles HEB 500 de acero. Se pide: Dibujar y numerar los grados de libertad de la estructura, de forma
  • CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 53 E q = 20kN/ m (distancia medida en proyección horizontal) q 50 kN 3m q A D B C 50 kNm 2m 50 kN F G 2m 2m 2m 2m 4m 2m 2m que se obtenga directamente los desplazamientos del nudo G. (solu- ción:GDL= 25) Matriz de rigidez de la barra BE en coordenadas locales y globales, con dibujo de los ejes considerados.´ Ecuación de equilibrio de la estructura con introducción de las condi- ciones de contorno. Supuesta resuelta la estructura y obtenidoslos siguientes desplazamien- tos (en globales ) para los nudos E y B, diagrama de solicitaciones en la barra EB Nudo E giro = -0.000284 rad ; nudo B dx = -0.0129 cm dy = -0.0336 cm giro= 0.000064 radianes Soluciónes: Esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos cargas ex- teriores,empezando por nudo E: -24kN, 32kN, 26.67kN.m, -24kN, 32kN, - 26.67kN.m; esfuerzos sobre extremos barra en locales debidos a desplazamien- tos,empezando por nudo E: -98.77kN, -4.4kN, -26.67kN.m, 98.77kN, 4,4kN, -4.67m.kN; esfuerzos totales sobre extremos barra en locales,empezando por nudo E: -122.77 kN, 27,6kN, 0, 74.77kN, 36,4kN, - 22,00m.kN). 3. Sobre la estructura de la figura
  • CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 54 C D Mext qAB A B Plantear simbólicamente el sistema final de ecuaciones Ax=B, siendo x el vector de desplazamientos desconocidos y B el término independiente, que permite resolver al estructura de la figura. Identificar claramente los grados de libertad empleados y seguir el orden alfabético de los nudos para la nu- meración de los grados de libertad. Las propiedades de cada barra deben especificase nombrando los extremos de estas. Cuantificar como se modifican los términos A, B y x del sistema de ecuaciones anterior si la barra CD tiene un incremento de temperatura de ∆t. Soluciones: ( 6EI L ) ⎧⎛ qL2 ⎞ ⎫ ( ) ( ) M ⎪⎜ − ext ⎪ ⎡ 4 EI + 4 EI ⎤ 12 ⎟ AB 4 ⎢ ⎥ ⎧U 6 ⎫ ⎪⎝ ⎠ 2 L AB L ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ BC BC ⎥⎪ ⎪  ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎩ 3M ext 2 LBC ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎣ ⎭ ( 6 EI 2 L BC ) (12EI L ) ( ) 3 BC + EA ⎥ ⎪U 7 ⎪ L CD ⎥ ⎦ ⎩ ⎭ ( 6EI L ) ⎧ ⎛ qL2 ⎞ ⎫ ⎡ ( ) ( ) M ⎤ ⎜ − ext ⎪ ⎢ 4 EI L + 4 EI L ⎪ ⎝ 12 ⎟ AB ⎠ 4 2 ⎥ ⎧U 6 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ AB BC BC ⎥⎪ ⎪  ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎪ 3M ⎪− ⎪ ⎩ ext 2 LBC ( ⎪ ⎢ − EAαΔT )CD ⎪ ⎢ ⎪ ⎣ ⎭ ( 6 EI 2 L BC ) (12EI L ) ( ) 3 BC + EA ⎥ ⎪U 7 ⎪ L CD ⎥ ⎦ ⎩ ⎭
  • CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL 55
  • 5.6. Matrices de Rigidez ⎛ AE 2 AE AE 2 AE ⎞ ⎜ Cos θ Cos θ Sen θ − Cos θ − Cos θ Sen θ ⎟ ⎛ AE AE ⎞ ⎜ L L L L ⎟ ⎜ 0 − 0⎟ ⎜ L L ⎟ ⎛ Cos θ Sen θ 0 0 ⎞ ⎜ AE AE 2 AE AE ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ Cos θ Sen θ Sen θ − Cos θ Sen θ − Sen θ ⎟ ⎜ 0 0 0 0⎟ 0 0 ⎟ L L L L[K ] L =⎜ ⎟ [R] = ⎜ − Sen θ Cos θ [K ] G = [R ] T [K ] L [R] = ⎜ ⎟ AE AE ⎜ 0 0 Cos θ Sen θ ⎟ ⎜ AE 2 AE AE 2 AE ⎟ ⎜− 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − Cos θ − Cos θ Sen θ Cos θ Cos θ Sen θ ⎟ ⎜ L L ⎟ ⎜ 0 0 − Sen θ Cos θ ⎟ L L L L ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 0⎠ ⎜ AE AE 2 AE AE 2 ⎟ ⎜− Cos θ Sen θ − Sen θ Cos θ Sen θ Sen θ ⎟ ⎝ L L L L ⎠ ⎛ AE AE ⎞ ⎜ 0 0 − 0 0 ⎟ ⎜ L L ⎟ 6 EI 12 EI 6 EI Matrices de rigidez ⎛ 12 EI ⎞ ⎜ − ⎟ ⎜ 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI ⎟ 3 2 3 2 ⎜ 0 0 − ⎜ L L L L ⎟ 3 2 3 2 ⎟ ⎛ Cos θ Sen θ 0 0 0 0⎞ ⎜ 6 EI ⎟ ⎜ L L L L ⎟ ⎜ ⎟ 4 EI 6 EI 2 EI CAPÍTULO 5. MÉTODO MATRICIAL ⎜ − ⎟ ⎜ 6 EI 4 EI 6 EI 2 EI ⎟ ⎜ − Sen θ Cos θ 0 0 0 0⎟ L 2 ⎜ 0 0 − ⎟ ⎜ ⎜ L2 L L ⎟ L 2 L L 2 0 0 1 0 0 0⎟[K ] L = ⎜ 12 EI [K ] L =⎜ L ⎟ [R] =⎜ ⎟ 6 EI 12 EI 6 EI ⎟ ⎜ AE AE ⎟ ⎜ 0 0 0 Cos θ Sen θ 0⎟ ⎜− − − ⎟ ⎜− 0 0 0 0 ⎟ 3 2 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ L L L L ⎟ ⎜ L L ⎟ 0 0 0 − Sen θ Cos θ ⎜ 0⎟ ⎜ 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI ⎟ ⎜ 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1⎟ ⎜ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎜ 0 − − 0 − ⎝ ⎠ L 2 3 2 3 2 ⎟ ⎝ L2 L L ⎠ ⎜ L L L L ⎟ ⎜ 6 EI 2 EI 6 EI 4 EI ⎟ ⎜ 0 0 − ⎟ 2 L 2 ⎝ L L L ⎠ ⎛ 12 EI AE ⎛ 12 EI AE ⎞ 6 EI 12 EI AE ⎛ 12 EI AE ⎞ 6 EI ⎞ ⎜ Sen 2θ + Cos 2θ ⎜− + ⎟ Cos θ Sen θ − Sen θ − Sen2θ − Cos 2θ ⎜ − ⎟ Cos θ Sen θ − Sen θ ⎟ ⎜ L3 L ⎜ L ⎟ L ⎜ L ⎟ 2 ⎟ ⎝ L3 ⎠ L2 L3 ⎝ L3 ⎠ L ⎜ ⎟ ⎜ ⎛ 12 EI AE ⎞ 12 EI AE 6 EI ⎛ 12 EI AE ⎞ 12 EI AE 6 EI ⎟ ⎜⎜ − + ⎟ Cos θ Sen θ Cos 2θ + Sen2θ Cos θ ⎜ ⎟ − Cos 2θ − Sen 2θ Cos θ ⎟ ⎜ ⎟ L ⎜ 3 − L ⎟ Cos θ Sen θ L 2 ⎜ ⎝ L3 L ⎠ L3 L2 ⎝ L ⎠ L3 L ⎟ ⎜ 6 EI 6 EI 4 EI 6 EI 6 EI 2 EI ⎟ ⎜ − Sen θ Cos θ Sen θ − Cos θ ⎟ T ⎜ L2 L2 L L2 L2 L ⎟[K ] G = [R ] [K ] L [R ] = ⎜ ⎟ ⎜ 12 EI 2 AE 2 ⎛ 12 EI AE ⎞ 6 EI 12 EI AE ⎛ 12 EI AE ⎞ 6 EI ⎟ ⎜ ⎟ Sen θ Sen2θ + Cos 2θ ⎜− + ⎟ Cos θ Sen θ Sen θ ⎟ ⎜ − 3 Sen θ − L Cos θ ⎜ 3 − L ⎟ Cos θ Sen θ L ⎜ L ⎟ ⎜ L ⎝ L ⎠ L2 L3 ⎝ L3 ⎠ L2 ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ 12 EI AE 6 EI ⎛ 12 EI AE ⎞ 12 EI AE 6 EI 56 ⎜ ⎜ 12 EI − AE ⎟ Cos θ Sen θ ⎟ − Cos 2θ − Sen2θ − Cos θ ⎜− ⎜ + ⎟ Cos θ Sen θ Cos 2θ + Sen2θ − Cos θ ⎟ ⎜ ⎜ L3 L ⎠ L3 L L2 ⎝ L3 L ⎟⎠ L3 L L 2 ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎜ 6 EI 6 EI 2 EI 6 EI 6 EI 4 EI ⎟ ⎜ − Sen θ Cos θ Sen θ − Cos θ ⎟ ⎝ L2 L2 L L2 L2 L ⎠