Matem´ ticas         aTercer Semestre      Efra´n Soto A.          ı
Índice1 Sistemas de ejes coordenados                                                                                      ...
iv     3 La circunferencia                                                                                              11...
v6 La hipérbola                                                                                                 255  6.1 C...
vi     Efraín Soto A.   Matemáticas III
Uno                    Sistemas de ejes coordenados                                                Por aprender...1.1. Coo...
44                                                                Sistemas de ejes coordenados     Formulario             ...
Dos                                            La línea recta                                                  Por aprende...
116                                                                                   La línea recta      Formulario      ...
Tres                                       La circunferencia                                                    Por aprend...
172                                                                       La circunferencia      Formulario               ...
Cuatro           La parábola                                                 Por aprender...4.1. Caracterización geométric...
4.3 Ecuación General de la Parábola                                                      215Formulario                    ...
Cinco       La elipse                                                   Por aprender...5.1. Caracterización geométrica    ...
5.3 Ecuación general de la elipse                                                                  253Formulario          ...
Seis                                               La hipérbola                                                  Por apren...
298                                                                                     La hipérbola      Formulario      ...
Bibliografía [1] Briggs, George R. The Elements of Plane Analytic Geometry. New York, U.S.A.     Robert Drumond  Company. ...
Indice alfabéticoEcuación    Hipérbola      Forma ordinaria, 14Hipérbola    Definición, 13Efraín Soto A.                   ...
CRÉDITOS                                                                             CréditosAutor: Efraín Soto Apolinar.M...
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  1. 1. Matem´ ticas aTercer Semestre Efra´n Soto A. ı
  2. 2. Índice1 Sistemas de ejes coordenados 1 1.1 Coordenadas de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Ejes Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Rectas, segmentos y polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.1. Segmentos Rectilíneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.2. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.3. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Formulario de la Unidad Uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 La línea recta 45 2.1 Ecuaciones y propiedades de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.1. Forma punto-pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.2. Forma pendiente-ordenada al origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.3. Forma simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.4. Forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.5. Forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1.6. Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2 Ec. rectas notables en un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.2.1. Medianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.2.2. Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.2.3. Mediatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2.4. Bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Formulario de la Unidad Dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Matemáticas III
  3. 3. iv 3 La circunferencia 117 3.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1.0∗ . Elementos de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.2 Ecuación ordinaria de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.1. Circunferencia con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.2. Centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3 Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3.2. Conversión de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.4 Circunferencia que pasa por tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.4.1. Condiciones analíticas y geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.4.2. Obtención de la ecuación dados tres puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.5 Circunferencia y secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Formulario de la Unidad Tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4 La parábola 173 4.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.1.1. La parábola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.1.2. Elementos de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.1.3. Formas de trazo a partir de la definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.2 Ecuaciones ordinarias de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2.1. Parábolas con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2.2. Parábolas con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.3 Ecuación General de la Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.3.1. Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.3.2. Conversión de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Formulario de la Unidad Cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5 La elipse 217 5.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.1.1. La elipse como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5.1.2. Elementos asociados a la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.2 Ecuaciones ordinarias de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.2.1. Vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.2.2. Vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.3 Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.3.1. Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.3.2. Conversión de la forma general a la forma ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Formulario de la Unidad Cinco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Matemáticas III
  4. 4. v6 La hipérbola 255 6.1 Caracterización geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.1.1. La hipérbola como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.1.2. Elementos asociados a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.2 Ecuación ordinaria de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.2.1. Hipérbola con centro en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.2.2 Hipérbola con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 6.3 Ecuación general de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6.3.1. Conversión de f. ordinaria a f. general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6.3.2. Conversión de f. general a f. ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Formulario de la Unidad Seis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Matemáticas III Efraín Soto A.
  5. 5. vi Efraín Soto A. Matemáticas III
  6. 6. Uno Sistemas de ejes coordenados Por aprender...1.1. Coordenadas cartesianas de un punto 1.1.1. Ejes coordenados 1.1.2. Lugares geométricos1.2. Conceptos básicos sobre rectas, segmentos y polígonos 1.2.1. Segmentos rectilíneos 1.2.2. Rectas 1.2.3. Polígonos Por qué es importante...En el aprendizaje de cualquier ciencia, es importante concer la ter-minología con la que estamos hablando. En esta unidad vamos adescubrir las fórmulas que nos servirán para el resto del curso.
  7. 7. 44 Sistemas de ejes coordenados Formulario Unidad Uno ..................................................................................... Distancia entre dos puntos: La longitud D del segmento PQ siendo P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), es: D= (x q − x p )2 + (yq − y p )2 Punto de división: Las coordenadas del punto M (x m , y m ) que divide al segmento PQ con P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), en la razón r son: r xq + x p r yq + y p xm = ym = 1+r 1+r Punto medio: Las coordenadas del punto medio M (x , y ) del segmento PQ con ¯ ¯ P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), son: xq + x p yq + y p x= ¯ y= ¯ 2 2 Pendiente: La pendiente m de la recta pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ), es: y2 − y1 m= x2 − x1 Condición de paralelismo: Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas 1 y 2, en- tonces, m 1 = m 2 implica que 1 2 . Condición de perpendicularidad: Si m 1 y m 2 son las pendientes de dos rectas 1 y 2 perpendiculares ( 1 ⊥ 2 ), entonces, 1 m1 = − m2 Ángulo entre dos rectas: Si φ es el ángulo entre las rectas 1, 2, con pendientes m 1 y m 2 respectivamente, entonces: m2 − m1 tan φ = 1 + m1 · m2 Fórmula de Herón: El área del triángulo con lados de longitud a ,b, c , respectiva- mente y semiperímetro p es: A= p · (p − a )(p − b )(p − c ) Nota: El semiperímetro es igual a la mitad del perímetro: a +b +c p= 2 ................................................................................... Efraín Soto A. Matemáticas III
  8. 8. Dos La línea recta Por aprender...2.1. Ecuaciones y propiedades de la recta 2.1.1. Forma punto-pendiente 2.1.2. Forma pendiente-ordenada al origen 2.1.3. Forma simétrica 2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta 2.1.5. Forma normal de la ecuación de la recta 2.1.6. Distancia entre un punto y una recta2.2. Ecuaciones de rectas notables en un triángulo 2.2.1. Medianas 2.2.2. Alturas 2.2.3. Mediatrices 2.2.4. Bisectrices Por qué es importante...En la construcción de planos arquitectónicos, en el diseño de nuevasmáquinas, etc., siempre encontramos ecuaciones que deben pasar pordos puntos o que deben tener una cierta inclinación, además, lasecuaciones de rectas sirven para modelar algunas aplicaciones que yahemos estudiado previamente y muchas más que estudiaremos másadelante.
  9. 9. 116 La línea recta Formulario Unidad Dos ..................................................................................... Ec. Recta F. Punto-pendiente: La recta pasa por el punto P(x 1 , y 1 ) con pendiente m: y − y 1 = m (x − x 1 ) Ec. Recta F. Dos puntos: La recta pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ): y2 − y1 y − y1 = (x − x 1 ) x2 − x1 Ec. Recta F. Pendiente-ordenada al origen: La recta tiene pendiente m y corta al eje y en el punto B (0,b ): y = m x +b Ec. Recta F. Simétrica: Las intersecciones con los ejes son A(a , 0) y B (0,b ): x y + =1 a b Ec. Recta F. General: La ecuación de cualquier recta se puede escribir con: A x + B y +C = 0 donde A y B no son simultáneamente cero. Ec. Recta F. Normal: Útil para calcular la distancia de un punto a una recta: A B C x+ y+ =0 A2 + B 2 A2 + B 2 A2 + B 2 Distancia de un punto a una recta: La distancia del punto P(x 1 , y 1 ) a la recta : A x + B y + C = 0, es: A x 1 + B y1 + C DP = A2 + B 2 .................................................................................... Efraín Soto A. Matemáticas III
  10. 10. Tres La circunferencia Por aprender...3.1. Caracterización geométrica3.2. Ecuaciones ordinarias de la circunferencia 3.2.1. Circunferencia con centro en el origen 3.2.2. Circunferencia con centro fuera del origen3.3. Ecuación general de la circunferencia 3.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general 3.3.2. Conversión de forma general a forma ordinaria3.4. Circunferencia que pasa por tres puntos 3.4.1. Condiciones analíticas y geométricas 3.4.2. Obtención de la ecuación dados tres puntos3.5. Circunferencia y otras secciones cónicas Por qué es importante...En la naturaleza, cuando lanzas una piedra en el agua, las ondasviajan en formas de circunferencias, además, las circunferenciastienen amplias aplicaciones: discos, bocinas, llantas, rodamientos(baleros), etc., por eso la circunferencia representa el modelo demuchas situaciones que estudiremos en semestres posteriores.
  11. 11. 172 La circunferencia Formulario Unidad Tres ..................................................................................... Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el origen y radio r : x2 +y 2 = r2 Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el punto C (h, k ) y radio r : (x − h)2 + (y − k )2 = r 2 Ec. Circunferencia: Forma general: x2 +y 2 +D x + E y + F = 0 Si el centro de la circunferencia es el punto C (h, k ) y su radio es r se cumple: D = −2 h E = −2 k F = h2 + k 2 − r 2 .................................................................................... Efraín Soto A. Matemáticas III
  12. 12. Cuatro La parábola Por aprender...4.1. Caracterización geométrica 4.1.1. La parábola como lugar geométrico 4.1.2. Elementos asociados con una parábola 4.1.3. Formas de trazo a partir de la definición4.2. Ecuaciones ordinarias de la parábola 4.2.1. Parábolas horizontales y verticales con centro en el origen 4.2.2. Parábolas horizontales y verticales con centro fuera del origen4.3. Ecuación general de la parábola 4.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general 4.3.2. Conversión de forma general a forma ordinaria Por qué es importante...En la naturaleza encuentras parábolas cuando lanzas una piedra porel aire (su trayectoria es una parábola), también se aplican para laconstrucción de puentes, antenas de recepción de señales satelitales,generadores de energía solar por medio de la concentración de losrayos del sol, etc., por eso, muchos problemas prácticos se modelancon ecuaciones de parábolas.
  13. 13. 4.3 Ecuación General de la Parábola 215Formulario Unidad Cuatro..................................................................................... Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el origen: x 2 = 4 py Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo. Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h, k ): (x − h)2 = 4 p (y − k ) Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo. Ec. Parábola horizontal F. ordinaria: Vértice en el origen : y 2 = 4px Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda. Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h, k ): (y − k )2 = 4 p (x − h) Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda. Otras fórmulas: Parábola con vértice en el punto V (h, k ): Parábola Vertical Horizontal Lado Recto 4 |p | 4 |p | Foco F (h, k + p ) F (h + p, k ) Directriz y =k −p x =h −p Ec. General x2 +D x + E y + F = 0 y2 +Dx +E y +F =0 D −2 h −4p E −4 p −2 k F h2 + 4 p k k2 + 4ph....................................................................................Matemáticas III Efraín Soto A.
  14. 14. Cinco La elipse Por aprender...5.1. Caracterización geométrica 5.1.1. La elipse como lugar geométrico 5.1.2. Elementos asociados con una elipse5.2. Ecuaciones ordinarias de la Elipse 5.2.1. Elipses horizontales y verticales con centro en el origen 5.2.2. Elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen5.3. Ecuación general de la elipse 5.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general 5.3.2. Conversión de forma general a forma ordinaria Por qué es importante...En la naturaleza encuentras Elipses en las trayectorias que siguen losplanetas alrededor del Sol.
  15. 15. 5.3 Ecuación general de la elipse 253Formulario Unidad Cinco..................................................................................... Ec. Elipse F. ordinaria: Horizontal con centro en el origen: x2 y 2 + =1 a2 b2 Ec. Elipse F. ordinaria: Vertical con centro en el origen: x2 y 2 + =1 b2 a2 Ec. Elipse F. ordinaria: Horizontal con centro en el punto C (h, k ): (x − h)2 (y − k )2 + =1 a2 b2 Ec. Elipse F. ordinaria: Vertical con centro en el punto C (h, k ): (x − h)2 (y − k )2 + =1 b2 a2 Otras fórmulas: Elipse con centro en el punto C (h, k ): Longitud del eje mayor: 2 a . Longitud del eje menor: 2b . Distancia entre los focos: 2 c . Relación entre a ,b y c : a 2 = b 2 + c 2 . Excentricidad: e = c /a 1 Elipse Vertical Horizontal Lado Recto 2b 2 /a 2b 2 /a Focos F (h, k ± c ) F (h ± c , k ) Vértices V (h, k ± a ) F (h ± a , k ) Ec. General A x2 +y 2 +D x + E y + F = 0 A a2 b2 B b 2 a2 D −2 a 2h −2b 2 h E −2b 2k −2 a 2 k F a 2 h 2 + b 2 k 2 − a 2b 2 b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2b 2....................................................................................Matemáticas III Efraín Soto A.
  16. 16. Seis La hipérbola Por aprender...6.1. Caracterización geométrica 6.1.1. La hipérbola como lugar geométrico 6.1.2. Elementos asociados con una hipérbola6.2. Ecuaciones ordinarias de la hipérbola 6.2.1. Hipérbolas horizontales y verticales con centro en el origen 6.2.2. Hipérbolas horizontales y verticales con centro fuera del origen6.3. Ecuación general de la hipérbola 6.3.1. Conversión de forma ordinaria a forma general 6.3.2. Conversión de forma general a forma ordinaria Por qué es importante...En la naturaleza encuentras Hipérbolas en
  17. 17. 298 La hipérbola Formulario Unidad Seis ..................................................................................... Ec. Hipérbola F. ordinaria: Horizontal con centro en el origen: x2 y 2 − =1 a2 b2 Ec. Hipérbola F. ordinaria: Vertical con centro en el origen: x2 y 2 − + =1 a2 b2 Ec. Hipérbola F. ordinaria: Horizontal con centro en el punto C (h, k ): (x − h)2 (y − k )2 − =1 a2 b2 Ec. Hipérbola F. ordinaria: Vertical con centro en el punto C (h, k ): (x − h)2 (y − k )2 − + =1 a2 b2 Otras fórmulas: Hipérbola con centro en el punto C (h, k ): Longitud del eje transverso: 2 a . Longitud del eje conjugado: 2b . Distancia entre los focos: 2 c . Relación entre a ,b y c : a 2 = c 2 − b 2 . Excentricidad: e = c /a 1. Hipérbola Vertical Horizontal Lado Recto 2b 2 /a 2b 2 /a Focos F (h, k ± c ) F (h ± c , k ) Vértices V (h, k ± a ) F (h ± a , k ) Ec. General Ax 2 + By 2 + D x + E y + F = 0 A b2 −b 2 B −a 2 a2 D −2b 2 h 2b 2 h E 2 a 2k −2 a 2 k F b 2 h 2 − a 2 k 2 − a 2b 2 −b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2b 2 .................................................................................... Efraín Soto A. Matemáticas III
  18. 18. Bibliografía [1] Briggs, George R. The Elements of Plane Analytic Geometry. New York, U.S.A. Robert Drumond Company. 1909. [2] Freund, John E. College Mathematics with Business Applications. Ed. Prentice Hall, Inc. 1969. EE.UU. [3] Fuller, Gordon. Analytic Geometry Ed. Addison Wesley Publishing Co. 1954. EE.UU. [4] Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P Intermediate Algebra. Ed. D.I. Heath and . Company. 1992. EE.UU. [5] Longley W. R., Smith P F., Wallace A. W. Geometría Analítica y cálculo . infinitesimal. Ed. Reverté. México, 1959. [6] Smith, P F.; Sullivan Gale, M. The Elements of Analytic Geometry Ed. Ginn and . Company. 1904. EEE.UU. [7] Soto Apolinar, Efraín. Enseñanza Efectiva de las Matemáticas. http://www.scribd.com/Efrain_Soto_Apolinar (visitado el 26 de julio de 2009) 1ra Edición [Versión electrónica] 2008. México. [8] Yefimov, N. A brief course in analytic geometry. Peace publishers. Moscow, Rus- sia.Matemáticas III Efraín Soto A.
  19. 19. Indice alfabéticoEcuación Hipérbola Forma ordinaria, 14Hipérbola Definición, 13Efraín Soto A. Matemáticas III
  20. 20. CRÉDITOS CréditosAutor: Efraín Soto Apolinar.Modelo educativo: Efraín Soto Apolinar.Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar.Edición: Efraín Soto Apolinar.Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.Productor general: Efraín Soto Apolinar.Revisión técnica: PendienteAño de edición: 2008Año de publicación: PendienteÚltima revisión: 26 de julio de 2009Total de ejemplos: 153Software Utilizado: En la edición y composición tipográfica de este material se han utilizado los siguientes programas: x LTEX 2 A Tipografía del texto y ecuaciones. y TikZ Diseño de encabezados y diagramas. z TEXnicCenter Edición del código LTEX 2 . AApreciado lector, agradezco tus sugerencias y comentarios a la cuenta de correoelectrónico: efra.soto.a@gmail.com

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