1. Trigonometría
SEMANA 12 RESOLUCIÒN
ÁNGULO MITAD (ARCO) 4
cos    ;  180º,270º
5
1  180º < <270º
1. Si: cos x   ; x  180º;270º
8 
x 90º   135º
Halle: H  sen   2
2 II c.

E  cos  
1 3 5 2
A) B) C)
2 4 7
 4
1 1 1   
D) E) 1  cos   5
8 5 E E 
2 2
RESOLUCIÒN 1
1
cos x  
1
; 180º  x  270º E 5 
8 2 10
x 10
90   135º E
2 10
RPTA.: B
II c
x 3
H  sen   = ? 3. Si: csc   2,6;    
2 2
 1 
1    Halle: E  tg  
1  cos x  8 2
H 
2 2
A) -1 B) - 2 C) -5
9 D) 6 E) 8
H
16
3 RESOLUCIÒN
H
4 26 13
csc    csc   
RPTA.: B 10 5
4 13 III c
2. Si: cos    ;  180º;270º 5
5 
 12
Halle: cos
2 
E  tg    E  csc   ctg 
2
10 10 1  13   12 
A) B)  C) E  
10 10 2    
 5   5 
5 5 13 12
D) E) E 
5 6 5 5
Página 1

2. Trigonometría
25 6. Si: tg   3;   III c
E  5
5
RPTA.: C  
Halle: H  ctg  45º 
 2

4. Calcule:
1  cos100º sen80º 1
H  A) B) 3  10
2 2 cos 40º 3
C) 3  10 D) 3  10
A) 1 B) -1 C) 0
E) 1
1 1
D) E) 
2 2 RESOLUCIÒN
Si: tg   3; IIIc
RESOLUCIÒN
1  cos100º sen80º
H 
2 2 cos 40º 10 3
2 sen 40º cos 40º 
H  cos50º 
2 cos 40º 1
H  cos50º  sen40º  
E  ctg  45º  
 2
H  sen 40º  sen40º
E  csc 90º   ctg 90º 
H0 E  sec   tg 
RPTA.: C 10
E 3
1
5. Reduce:
 x   E  3  10
A  sen x tg x ctg    1 RPTA.: D
 2 
x
A) tg x B) ctg x C) 1 csc    2 csc x
1 7. Simplifique: A  2
D) 0 E) x x
2 sec   ctg  
2 4
RESOLUCIÒN
A  sen x tg x  csc x  ctg x   1 1 1
  A) 1 B) C)
2 3
A  sen x tgx csc x  1  1
  D) 0 E) -1
A  senx csc x tgx
1
RESOLUCIÒN

A = tg x csc
 2 csc 
2 
RPTA.: A E sea: x
  2
sec ctg
2 4
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3. Trigonometría
csc x  2 csc 2x csc x  tg x  ctg x A) sen  B) cos 
E 
x sec x csc x  ctg x 
   
sec x ctg   C) tg   D) ctg  
2 2 2
x x E) 1
ctg  tgx ctg    tgx
E 2  2
sec x csc x  sec x ctgx tgx  ctgx  csc x RESOLUCIÒN
x sen   csc   ctg    1
ctg    tg x E
2 sen   csc   ctg    cos 
E
x 1  sen  ctg   1
tg x  ctg   E
2 1  sen  ctg   cos 
E 1 cos 
RPTA.: A sen 
sen  cos 
E 
cos  1  cos   cos 
x 1  sen   cos 
tg    ctg x sen 
8. Reduce: M  2 E  cos 
x RPTA.: B
ctg x  ctg  
2
10. Reduce:
A) 1 B) -1 C) 0 x x
1 1 E  ctg    2 cos2   ctg x
D) E) 2 2
2 3
A) 1 B) cos x C) sen x
RESOLUCIÒN D) tg x E) ctg x
x
ctg x  tg  
2 RESOLUCIÒN
M
x x x
ctg x  ctg   E  ctg    2 cos2   ctg x
2 2 2
ctg x   csc x  ctg x  E  csc x  ctgx  1  cos x ctgx
 
M
ctg x   csc x  ctg x  E  csc x  ctgx  ctgx  cos x ctgx
1 cos x 1  cos2
E  cos x 
ctg x  csc x  ctg x  csc x sen x sen x sen x
M 
ctg x  csc x  ctg x  csc x sen2 x
M=1 E
sen x
RPTA.: A
 E  senx
9. Simplifique: RPTA.: C

sen  ctg    1
E 2

sen  tg    cos 
2
Página 3

4. Trigonometría
11. Calcule: E  sen112º30' RPTA.: B
2 2 2 2 x x
13. Si: tg    tg  4   2 csc x
A) B) 2  
2 2
x
C) 2 2 D) 1 Halle: H  cos  
1 2
E)
4
1 4 2
A) B) C)
RESOLUCIÒN 2 5 2
x 2 1
E  sen112º30' ;  112º 30 ' D) E)
2 3 6
x = 224º 60
x = 225º RESOLUCIÒN
x x
tg    tg    2 csc x
x 1  cos x 2  4
E  sen    
2 2
x x
csc x  ctg x  csc    ctg    2 csc x
1  cos 225º 2 2
E
2 x x
csc    ctg    csc x  ctg x
2 2 2
1    cos 225º  1
E  2  2 2
2 2 4 x x
tg    ctg
2 2 2 2
E
2
RPTA.: B x x
  90º  x  90º
2 2
x
12. Simplifique: E  cos    E  cos 45º
2
E   sec x  1 csc x  csc2x  csc 4x  ctg4x
 
2
E
A) 1 B) tg x C) ctg x 2
D) sen x E) cos x RPTA.: C
RESOLUCIÒN tg5º  ctg10º
14. Si: E  
sec x  1 csc x  csc 2x  csc 4x  ctg 4x  1  cos 20º
 sec x  1 csc x  csc 2 x  ctg2 x  B  sen20º cos10º
Halle: A= B.E
 sec x  1  csc x  ctg x 
x 1
 sec x  1 ctg A) 0 B) 1 C)
2
2
x x 1 1
E  tg(x) tg   ctg   D) E)
2 2 3 4
E  tg x
Página 4

5. Trigonometría
RESOLUCIÒN
tg5º ctg10º csc10º ctg10º ctg10º 16. Reduce:
E   
1  cos20º 1  cos20º E  tg    2 tg    4 ctg 
csc10º 1 4 2
E 2

2 cos 10º 2 cos10º sen10º cos10º
1 
A) tg  B) tg  
E 2
sen20º cos10º
Luego:  
C) ctg   D) ctg  
“B” 2 4
1 E) 1
A cos10º sen20º
sen20º cos10º
A=1 RESOLUCIÒN
RPTA.: B  
E  tg  2tg    2 2 ctg 
 
4 2
15. Si:  x  y  sen   x  y ;
  
  E  csc  ctg  2 tg   
Halle: M  tg    2 2 2
4 2     
2 ctg    tg   
 2  2 
y x y
A) B) C)   
x y x E  csc    ctg    2 tg   
2 2 2
x
D) E) 1  
y 2ctg    2tg  
2 2
RESOLUCIÒN
 
  E  csc    ctg  
   2   2 2
tg     tg  
4 2  2  
E  ctg  
  4
  RPTA.: D
1  cos    
 2   1  sen 
, 17. Simplifique:
  1  sen 
1  cos    
2  2 1  cos    2 1  cos  
xy R
Pero; sen   1  sen 
xy
x  y A) 1 B) 2 C) 3
1 
   x  y   2y  y 1 1
 tg     D) E)
4 2 x  y 2x x 2 4
1 
x  y
RPTA.: C
Página 5

6. Trigonometría
RESOLUCIÒN y y
tg  1  1  tg
22 22  2 2
1  cos   2 1  cos   y  y 
R 2 1  tg 2    tg 2  1 
1  sen     
y
1  cos  1  cos  2 tg
2 2 2 2  tg x tg y  1
2 2  
R   x 2 2 2
2 tg
1  sen  2
     RPTA.: A
2 cos    sen   
 2  2 
19. Si:  y  z cos A  x,  z  x  cosB  y;
1  sen 
 x  y  cos C  z
2  1  sen  
R    
1  sen  A B C
Halle: M  tg2  tg2  tg2
R=2 2 2 2
RPTA.: B
A) 1 B) 2 C) 3
18. Si: sec x  sec y  tgx  tgy D) x y z E) x + y + z
x y
Calcule: M  tg tg RESOLUCIÓN
2 2
x
1
A) 1 B) -1 C) 2 A 1  cos A yz yzx
tg2   
1 2 1  cos A x xyz
D) -2 E) 1
2 yz
B zxy
Análogamente: tg2  ,
RESOLUCIÓN 2 xyz
sec x  tanx  sec y  tgy  0 C xyz
tg2 
      2 xyz
csc   x   ctg   x   csc   y  
2  2  2  yzx zxy
Luego: M   
  xyz xyz
ctg   y   0
2  xyz xyz
 
  x   y xyz xyz
tg     tg     0 
4 2 4 2  M=1
RPTA.: A
  x y 
tg     tg   
4 2 2 4 20. Si:
csc A  cscB  csc C  ctgA  ctgB  ctgC
x y x x A B C
1  tg tg  1 1  tg  1  tg tg3  tg3  tg3
 2  2  2 2  2 2 2
x y Calcule: M 
 x  x A B C
1  tg 1  tg 1  tg 2   1  tg 2  tg tg tg
2 2     2 2 2
Página 6

7. Trigonometría
A) 1 B) 2 C) 3 1
D) 4 E) 6 22. Si:   3   cos  
3
Halle: cos 
RESOLUCIÒN
19 20 22
csc A  ctgA  cscB  ctgB  cscC  ctgC  0 A)  B)  C) 
27 27 27
A B C 23 25
 tg  tg  tg  0 D)  E) 
2 2 2 27 27
Si:
RESOLUCIÒN
a + b + c = 0  a3  b3  c3  3abc cos   cos3 
A B C A B C cos   4 cos3   3cos 
 tg  tg3  tg3  3 tg tg tg
3
3
2 2 2 2 2 2 1 1
cos   4    3  
3 3
Luego:
23
A B C cos   
3 tg
tg tg 27
M 2 2 2 3 RPTA.: D
A B C
tg tg tg
2 2 2
23. Si: tg   2; halle tg3
RPTA.: C
ÁNGULO TRIPLE 2 2 2
A)  B)  C) 
1 3 4 5
21. Si: sen x  ; “x” es agudo .
4 2 2
D)  E) 
Halle: sen 3 x 6 7
1 1 11 RESOLUCIÓN
A) B) C)
8 16 16 3 tg   tg3 
3 9 tg3  
D) E) 1  3 tg2 
16 16
 
3
3 2 2
RESOLUCIÓN tg3  
1  3 2
2
3
sen3x=3sen x-4 sen x
1 1
3
2
sen3x=3    4   tg3   
4 4 5
RPTA.: C
3 1 11
sen3x=  sen3x=
4 16 16 sen3x
RPTA.: C 24. Reducir: M  4 sen2 x 
sen x
A) 1 B) 2 C) 3
D) - 1 E) 0
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8. Trigonometría
RESOLUCIÒN 5 2
cos 3a 
sen3x

E  2 2 sen2 x  
sen x
8
RPTA.: B
E  2 1  cos2x   2 cos2 x  1

E  2  2 cos2x  2 cos2x  1 27. Si: x 
E= 3
72
Halle:
RPTA.: C
M  2 sen12x 2 cos 8x cos 4x  cos 4x 
 
sen2 3x cos2 3x
25. Simplificar: A   3 3 3
sen2 x cos2 x A) B) C)
2 3 6
A) 8 cos 2x B) 4 cos 2x 3 3
D) E)
C) 2 cos 2x D) 16 cos 2x 4 12
E) 1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÒN M  2 sen12 x cos 4x 2 cos 8x  1
2 2  
 sen3x   cos 3x  cos12 x
A    M  2 sen12 x cos 4x
 sen x   cos x  cos 4x
A  2 cos2x  1  2 cos2x  1
2 2
M  2 sen12 x cos11x
M  sen24 x
A  4 2 cos2x  1
2
A  8 cos2x  3
M  sen 
RPTA.: A 3 2
RPTA.: A
2
26. Si: sen 30º a 
4 28. Halle: E  ctg18º ctg36º
Halle: cos 3a
A) 2  5 B) 3  5
3 2 5 2 7 2
A) B) C) C) 4  5 D) 5  5
8 8 8
9 2 11 2 E) 6  5
D) E)
8 8
RESOLUCIÒN
RESOLUCIÒN cos18º cos 36º
E
sen18º sen36º
Se pide: 5 1
cos3a  sen 90º 3a cos 36º
E  4
cos3a  3sen 30º a  4sen3 30º a 1  cos 36º 5 1
1
2  2
3
4
cos 3a  3   4
4  4 
 E  5 2
  RPTA.: A
Página 8

9. Trigonometría
31. Si: tg3x  mtgx, calcule:
29. Calcule el valor de: M  sen3x csc x  cos3x sec x
M  sec 80º 3
1  6 sen10º
m 1 2 m  1
A) B)
A) 43
B)  4 3
C) 2 m1 m 1
D) - 2 E) 1 2 m  1 m 1
C) D)
m1 2 m  1
RESOLUCIÒN
E) 1
1 
1  6 sen10º  2   3 sen10º  
2  RESOLUCIÒN
2  sen30º 3sen10º sen3x cos3x
M   2 cos2x  1 
sen x cos x
1  6 sen10º  8 sen3 10º  2 cos 2x  1  4 cos 2x
Luego:
M  sec 80º 3 8 sen 3 10º  Pero:
 2 sen10º csc10º tg3x 2 cos 2x  1 m
m 
Luego: tg x 2 cos 2x  1 1
M  sec 80º 3
8sen3 10º  2sen10º csc10º 4 cos2x m  1 m1
   2 cos2x 
2 m1 m 1
 M = -2  m  1
 M  2 
RPTA.: D m  1
RPTA.: B
30. Halle:
E  ctg18º  4 cos18º 3sec18º 32. Reduce:
V  tg20º tg30º tg10º tg2 50º
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4 A) tg 40º B) tg 50º C) tg 60º
D) tg 10º E) tg 20º
RESOLUCIÒN
cos18º  3  RESOLUCIÒN
E  4 cos18º  
sen18º  cos18º  V  tg20º tg30º tg10º tg50º
tg50º tg70º ctg70º
E

 cos18º 4 cos2 18º 3 


 sen18º cos18º  V  tg20º tg30º tg30º tg50º tg20º
 
2 cos54º V  tg50º
E RPTA.: B
sen36º
33. Simplifique:
E2
RPTA.: C tg3x
R  tg2x  tg x
cos 2x
Página 9

10. Trigonometría
RESOLUCIÒN
A) 2 tg3x B) 4 tg 2x C) ctg x
E
3 sen x  4 sen x   sen x 4sen x cos
3 2 2
x
1
D) 1 E) sen x  2 sen x cos x  cos x
2
4 cos4 x  1
E
RESOLUCIÓN 2 cos2 x  1
tg3x sen3x E  2 cos2 x  1
Q 
cos 2x cos 2x cos x E  cos2x
sen3x  1 1  RPTA.: C
Q   
cos 2x  cos 3x cos x 
36. Reducir:
sen3x 2 cos 2x cos x H  1  cos 40º1  cos80º1  cos160º
Q
cos 2x cos 3x cos x
Q  2 tg3x 1 3
RPTA.: A A) B) 2 C)
8 8
D) 4 E) 6
m ctg20º
34. Halle: “m” si: 
tg10º tg 40º RESOLUCIÒN
1  cos 40º1  cos80º1  cos160º
3
A) B) 3 C) 1 2 sen 20º2 sen
2 2

40º 2 sen2 80º 
3
1
1 1 H 16 sen2 20º sen2 40º sen2 80
D) E) 2 
3 2 2
1 1  3
H   sen60º  
2
RESOLUCIÒN 
2 2 2 
 
ctg20º
m tg10º 1  3  3
tg 40º H  
m  ctg20º ctg40º ctg80º 2 4  8
m  c tg60º RPTA.: C
3 37. Reducir:
m
3 G  tg3x  2 senx sec 3x
RPTA.: A
A) 1 B) tg x C) ctg x
35. Reduce: D) 0 E) tg2 x
sen3x  sen x sen2 2x
E 
sen x  sen2x cos x RESOLUCIÒN
sen3x 2 sen x
A) sen 2x B) sen 4x Q 
C) cos 2x D) cos 4x
cos 3x cos 3x
E) sen 8x 3 sen x  4 sen3 x  2 sen x
Q
cos 3x
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11. Trigonometría
Q

senx 1  4 sen2x 
senx
1  2 1  cos2x 
RESOLUCIÒN
cos3x cos3x   E   sec 20º 1 sec 40º 1 ctg210º tg20º
senx senx cos3x tg40º
Q 2 cos2x  1  E  tg20º tg10º ctg10º tg20º tg80º
cos3x   cos3x cos x tg20º
Q  tgx E  tg20º tg40º tg80º
RPTA.: B E  tg60º  3
RPTA.: C
38. Si: tg 15º x   2
Halle: ctg 3x 
40. Si: x 
18
11 13 14  2 tg8x  tg2x 
A) B) C) Reducir: G  
9 9 9 
 sec 8x  1 
16 17
D) E)
9 9 A) 3 B) 1 C) 2
RESOLUCIÓN D) 2 3 E) 3
Si:
tg 30º x   tg 45º  15º x  RESOLUCIÒN
  2 tg80º tg20º
tg 45º tg 15  x  G
tg 30º x   sec 80º 1
1  tg 45º tg 15º x  tg80º tg80º tg20º
1 G
tg 30º x     tg80º 
3  
 tg 40º 
tg10º tg 80º tg 80º tg 20º
G=
Se pide: tg 80º
ctg3x  tg 90º 3x  G  tg20º tg40º tg80º
3 tg 30º x   tg3 30º x  G  tg60º  3
ctg3x   RPTA.: A
1  3 tg2 30º x 
13
ctg3x 
9
RPTA.: B
39. Reducir:
E   sec20º 1sec 40º 1 tg20º ctg2 10º
A) 1 B) 2 C) 3
3 1
D) E)
3 3
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