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Trigonometría  4.1º (reparado)
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Trigonometría 4.1º (reparado)

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  • 1. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Síntesis histórica de la trigonometríaA diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollodesde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable,pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebrasistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.LA TRIGONOMETRÍALa palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos, Actualmente latrigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos paradeterminar distancias inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de estadisciplina se ha ido enriqueciendo progresivamente. Así, abarca también el estudio de las funcionescirculares y su aplicación en la vida cotidiana, en las telecomunicaciones, la mecánica, la astronomía,etc. Como del modelamiento matemático, de gran utilidad en la explicación de fenómenos naturalescomo las ondas o vibraciones.ORIGENEn realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenirdel tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramientafundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleoinvalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudollegar tan lejos.UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGENLa época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la aceptaciónque a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en laslejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes denuestra era.Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones delángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año140 a.C.Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora,solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionaraadmirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.Históricamente fueron los geometrías y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C.encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometríay los aplicaron a los problemas astronómicos.Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quiense le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), puessobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla devalores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando elTeorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triánguloscualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).2 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 2. Nociones Preliminares Cuarto AñoEs a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien,valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica,que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas dela trigonometría esférica.Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogadode asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayorparte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posicióneconómica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a suscontrarios científicos.Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funcionestrigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo,y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricosaplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculostrigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por lasanalogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tantaaplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 –1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspectoanalítico, hasta darle forma que conserva actualmente.Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 3
  • 3. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 01 : ángulo trigonométricoCapacidades: Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y antihorario. Graficar el ángulo trigonométrico en cualquiera de los sentidos conocidos. Operar correctamente los ángulos trigonométricos. Diferencia el ángulo como figura geométrica generada por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vértice) en un mismo plano.Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado deángulo geométrico y observar las características de ambos. Ángulo Geometría Plana Trigonometría Plana Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el partir de un mismo punto. movimiento de rotación de un rayo A alrededor de su origen, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final) A Definición  Lado Inicial 0 B 0  Lado Terminal B  Son estáticos  Son móviles  No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está tanto no hay ángulos negativos. definido:  Están limitados (  Los ángulos positivos tienenCaracterísticas 0º  águlo Trigonomét rico  360º ) sentido antihorario ().  Los ángulos negativos tienen sentido horario ().  Su magnitud no tiene límites.Ángulo Coterminales: Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES sitienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).4 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 4. Ángulo Trigonométrico Cuarto AñoEjemplos:    son coterminales    no son coterminales 410º y 50º son coterminales –240º  30º no son coterminalesPropiedad:La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado unnúmero positivo entero de vueltas.Si    son coterminales tal que  >  entonces se cumple:  –  = k (360º) ; K  Z+Ejemplos: 1) 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas) 2) 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas) 3) 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas) 4) 450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas Ejercicios Para La Clase1. Del gráfico Se cumple: A)  –  = 180º B)  =  C)  +  = 90º D)  –  = 180º E)  –  = 90º2. Si: “” es la octava parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 5
  • 5. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi3. Del gráfico: Que relación se cumple: A)  –  = 180º B)  =  C)  +  = 180º D)  –  = 180º E)  –  = 90º4. Si: “” es la sexta parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/5 E) N.A.5. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y   5186º6. Con respecto a los ángulos:   1370º ;   2450º y   3310º , indicar cuales son coterminales7. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y   5186º , indicar8. Sean   7 x 2  1º y   1  3x 2 º ángulos coterminales, tal que x  R  . Calcular el mínimo valor que puede tomar " "9. La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el mayor esta comprendido entre 500° y 800°. A) -90° B) 270° C) 720 D) -100° E) -80°10. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y   5186º11. Con respecto a los ángulos:   1370º ;   2450º y   3310º , indicar cuales son coterminales12. A partir del grafico, calcular el suplemento de “x”6 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 6. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año13. De la figura, calcular x14. De la figura, calcular x15. De la figura indicar que relación existe entre  , y16. De la figura, calcular x , de acuerdo al gráfico17. Dos ángulos coterminales son entre si como 1 es a 10. Calcular el mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 190° y 230°. A) 1800° B) 1500° C) 2000° D) 1000° E) 800°18. De la figura, calcular x a b c19. A partir del grafico, calcular   m n p20. En la figura se cumple que: 3  2 x  18 , calcular E    xProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez 7
  • 7. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tarea domiciliariaBloque I a. 100º P1. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido: a. Horario: P O b. -50º P O c. -160º O O P b. Antihorario 5. Del gráfico, señalar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. O C P2. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido: x B a. Horario:  P O  O A b. Antihorario: a)  +  b)  -  c)  -  P O  d) - - e)F. D.3. En cada caso, tomando como inicio de giro 6. Del gráfico, hallar "x" en función de los al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use otros ángulos trigonométricos. transportador). A B a. 140º x P C   O  O D a)  + +  b)  - - c)  - -  b. -70º d) - +  e)  - - O P  7. Del gráfico, hallar "x" en función de los c. -120º otros ángulos trigonométricos mostrados. C P B  O x O A4. En cada caso, tomando como inicio de giro a) 90º -  b)  - 90º c) 180º +  al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use d) 90º +  e) -90º -  transportador). 8 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 8. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año 8. En el gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. 10. Del gráfico, calcular "x". B B C (9 - 9x)º x  (5x + 1)º A O D O A a)  - 90º b) 90º -  c) 90º +  a) 3 b) 4 c) 5 d) -90º -  e) -180° +  d) 6 e) 7  9. Del gráfico, calcular "x". C (12 - 11x)º 5xº A O B a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10 11. Indicar si los ángulos dados son o no coterminales  50º y 410º  -80º y 640º  160º y 880º  -340º y -1420º  400º y 1480º  40º, 400º y 760º  700º y 2880º  2580º, 1140º y 420º  1950º y 3850º  -359º, 721º y 2521º  -150º y -510ºBloque II1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: 3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:   a)  +  = 180º b)  -  = 180º c)  = 180º d)  +  = -180º  e)  +  = 90º 2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: a)  +  = 90º b)  +  = -90º c)  -  = 90º d)  -  = 270º  e)  +  = 180º  4. Del gráfico, señale lo correcto: -120º a)  +  = 240º b)  +  = 120º x c) -  = 240º d)  -  = 120º y e)  -  = 240º a) x + y = 300º b) x - y = 300º c)x + y = 270º d)x - y = 270º Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 9
  • 9. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi e) x - y = 180º  8. Si en el gráfico, OP es bisectriz de AOB , calcular "x/y".5. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: A P 3x - 2y x 2x - 3y y O B 1 a) x + y = 180º b) x + y = 360º a) 1 b) - 1 c) 2 c) x - y = 360º d) x - y = 180º 1 e) x - y = 270º d) - 2 e) - 26. Del gráfico, señale lo correcto: OQ 9. Del gráfico señale lo correcto, si: es  bisectriz del AOB. A Q B  x  y a) x - y = 180º b) x + y = 180º O C c)x - y = 300º d) x + y = 300º a) 2 -  = 90º b) 2 -  = 180º e) x - y = 450º c) 2 +  = 90º d) 2 +  = -90º e) 2 +  = 45º 7. Si en el gráfico OP es bisectriz del AOB ; x 10. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es y  calcular: bisectriz del AOB. A B P 3x + 2y P  x-y  O B C O A 1 a) 2 -  = 360º b) 2 -  = 360º a) 4 b) - 4 c) 4 c) 2 +  = 180º d) 2 +  = 360º 1 1 e) 2 +  = 360º d) - 4 e) - 410 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 10. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año Tema nº 02: Sistemas De Medidas AngularesCapacidades: Conoce y diferencia entre las principales unidades de medición angular. Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la maneraen que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:Sistema Sexagesimal(S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el gradosexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.Equivalencias: 1v 1º  (GradoSexagesimal ) 360 1º  60`( MinutoSexa gesimal ) 1` 60``(SegundoSex agesimal ) 1º  3600``(SegunoSexa gesimal )Sistema centesimal (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el gradocentesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.Equivalencias: 1v 1g  (GradoCentesimal ) 400 1g  100 m (min utoCentesi mal ) 1m  100 s ( SegundoCen tesimal ) 1g  10000 s ( segundoCentesimal )Sistema radial (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian.Equivalencias:  I cuadrante  2 II cuadrante   3 III cuadrante  2 IV cuadrante  2Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 11
  • 11. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARESRealizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a lasiguiente conclusión: Sº Cg Rrad   a 360º 400 g 2rad Sº Cg Rrad   c 180º 200 g rad Sº C g 20 Rrad  g  k 9º 10 radTambién una equivalencia de esta última relación es: S  9k C  10k k R 20 OBSERVACIÓN RELACIÓN DE MINUTOS: . M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES 27 50 m: # MINUTOS CENTESIMALES RELACIÓN DE SEGUNDOS: . a  b . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES 81 250 b: # SEGUNDOS CENTESIMALESTambién: R R S C S  180 C  200  ;  ;  9 10 Ejemplos:1. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular:  = 12º Resolución Magnitud Equivalente Factor de Conversión rad rad = 180º 180º rad    12º  rad 180º 152. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular:  = 15g Resolución Magnitud Equivalente Factor de Conversión rad rad = 200g 200 g rad 3   15g  rad 200 g 4012 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 12. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año 1º 1 g 9º3. Hallar: E   m  g 1 1 5 Resolución Recordando: 1º = 60’ 1g = 100m 9º = 10g Reemplazando en: 60 100m 10 g E   m  g 1 1 5  .E. = 60 + 100 + 2 = .162. 4. Hallar: a + b, sabiendo que: rad  a º b 8 Resolución Equivalencia: rad = 180º π 180º 180 º 45º 44º  1º 1º rad .     22º   22º  30  22º 30 8 πrad   8 2 2 2 Factor de conversion Luego:  rad  22º30 8 Comparando: a = 22 b = 30 .a + b = 52. 5. Convertir rad a grados sexagesimales 5 Resolución S R S  /5     S = 36 180  180    . rad  36º . 56. Convertir 60g a radianes Resolución C R 60 R 3 3     R   . 60 g  rad . 200  200  10 107. Convertir 27º a grados sexagesimales Resolución S C 27 C     C = 30 9 10 9 10  .27º = 30g.8. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus grados centesimales es 222 ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo? Resolución Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos. 6S + 2C = 222.......... (1) Sabemos: S  180K S C R     K C  200K 180 200  R  K  ?  Reemplazando en (1) 6(180K) + 2(200K) = 222Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 13
  • 13. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi 1480K = 222 3 K  20 3  . R  K  . 209. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el valor simplificado de: C S 3 C S P 4  8 C S C S Resolución S C S  9K  K   9 10 C  10K Calculamos en forma particular C  S 10K  9K 19K    19 C  S 10K  9K K Reemplazando en “P” P  4 19  3 19  8    27 P  19  3 4 P  4 16 .P =2. Ejercicios Para La Clase1. Convertir:  108º a centesimales y radianes  1000g a radianes y sexagesimales  45º a centesimales y radianes  150g a sexagesimales y radianes 7rad  a sexagesimales y centesimales 5   rad a sexagesimales y centesimales 6 2. Si: 3 rad  (7x + 17)º. Hallar “x” 5 3. Si: rad = aºb’. 24 Calcular: E = b – a4. Si: 120º  A rad . Hallar P  A  B A  B  B A.B g5. Si: 9º 27’  a0 b 0 m. Calcular: a + b 100 60 m6. Reducir: P   100" 60 s 18g 10º7. Reducir: M m  200 1208. Simplificar:14 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 14. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año 99º0,2rad H  26º5960"180 g9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de cada uno de ellos10. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?11. Hallar “” de la figura12. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial. S 3C 6 R13. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica:    27 12 10  Calcular la medida radial de dicho ángulo C  S  60R14. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir: E  C  S15. Reducir la Expresión: E  C  S   C  S  2 2 C  S   C  S  2 2 16. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: rad.  X Y ´Z´´ ; calcular 32 Y  Z  5X A) 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A. 2 E  2R    10S  9C 17. Reducir la expresión: A) 1 B) 0 C) 10 D) 9 E)  rad18. Determinar la medida de un ángulo en radianes, talque verifique la siguiente condición: SC  9 C  S  S C 2 2 181      A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 3 2 4 5 6 SR CR19. Calcular la medida del ángulo expresado en radianes; si se cumple que:  2 45 50      A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 3 2 4 5 6Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 15
  • 15. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi20. Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°. Calcular la medida del menor de dichos ángulos expresada en radianes. Tarea domiciliaria 360 g  270 º1. Calcular: N   216º rad 10 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/3 72. Sumar P  rad  40 g 9 A) 166º B) 158º C) 176º D) 186º E) 196º 78 g 20º3. Hallar “P” P   300 m 120 A) 6 B) 2 C) 16 D) 36 E) 74. Convertir 8000m a sexagesimales. A) 45º B) 55º C) 68º D) 72º E) 75º 3C  2S  40R5. Simplificar: E  C  S A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50  25º50 g  rad6. Calcular E  3  64 º 40 g  rad 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 57. Hallar “x”      A) B) C) D) E)  3 9 4 108. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en radianes A) /20 B) 3/20 C) 9/20 D) 22/45 E) /3 9. Siendo rad  xºy. Hallar y x 16 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 510. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?      A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 6 3 30 10 2116 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 16. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año11. Si: x  2  x  2g ; calcular el valor de x: A) 43 B) 51 C) 36 D) 38 E) 3912. Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: S  7 x  1 ; C  8x 2 2   2 A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 3 3 3 5 513. Un ángulo es tal que los números que indican su medida en grados sexagesimales (S), grados centesimales (C) y radianes (R) respectivamente cumplen con la condición: S R C S R C    1 . Hallar la medida de dicho ángulo en radianes: 180   190   200    A) rad B) rad C) rad D) rad E) 2rad 20 2 4014. La diferencia de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales correspondientes a la medida de un ángulo, es igual al doble del número de radianes de su medida entre 81. Luego dicha medida en el sistema centesimal es: A) 27g B) 30g C) 54g D) 60g E) 90g g 3 515. Los ángulos internos de un triángulo miden: 27º; rad y   ; Hallar “x” 4 x  A) 0,25 B) 0,50 C) 1 D) 2 E) 4 x 16. Sean los ángulos complementarios de medidas:  = (10x)g y  =   rad  30  Luego uno de ellos es: A) 45º B) 63º C) 36º D) 60º E) 40º17. Calcular la medida del menor de dos ángulos suplementarios, sabiendo que su diferencia es 0,1 rad. A) 20g B) 110g C) 180g D) 220g E) 90g 18. Si: rad < > xºy’; calcular: x – y 25 A) 5 B) 7 C) –5 D) –12 E) 1919. Se ha medido un ángulo en grados centesimales y sexagesimales; la diferencia de los números que representan dichas medidas es 3,2. Indicar la medida de dicho ángulo en el sistema circular. 16 8  2 4 A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 5 5 125 25 2520. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10 C de la igualdad: SC = CS 10 9 C) 9 D) 10 E) 1 A) B) 9 10Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 17
  • 17. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 03 : razones trigonométricas de ángulos agudosCapacidades: Reconocer los catetos opuestos, adyacentes e hipotenusa en un triángulo rectángulo Definir las razones trigonométricas de ángulos agudos. Aplicar las razones trigonométricas de ángulos agudos.Definición: Se denomina de esta manera al resultado de dividir dos lados de un triángulo rectángulotomados con respecto a uno de sus ángulos agudos. Dichos resultados se nombran de la siguientemanera:Se lee:Veamos como se observa esto en un triángulo, sea el triángulo ABC; recto en C.18 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 18. Razones Trigonométricas Cuarto AñoOBSERVACIONES:1. El valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo.2. Conocido el valor de una razón trigonométrica se pueden encontrar los valores de las cincorestantes.3. Como en todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, entonces:  SenA y CosA  1 ; SecA y CscA  1EJEMPLO 1 :En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, reducir: E = a . SenB + c . CtgCResolución:EJEMPLO 2 : 3 Tg = ; determine: E = 13 .Sen + 6. Ctgademás "" es un ángulo agudo 2EJEMPLO 3 :En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que: 4 . TgA=TgB, determine "SecA".Resolución: Graficando el triángulo rectángulo.Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 19
  • 19. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiEJEMPLO 4: " Tg . Ctg ", si : AP  3PBDel gráfico; calcular:EJEMPLO 5:En un triángulo rectángulo, un cateto es la mitad de la hipotenusa. Calcular la tangente delmayor ángulo agudo del triángulo.Razones Trigonométricas RecíprocasSiendo  un ángulo agudo se cumple: 1 csc    sen . csc   1 sen 1 sec    cos  . sec   1 cos  1 ctg    tg  .ctg   1 tg Ejemplo: 3 4 1Si: sen   csc   cos    sec   5 4 3 5 5 3 3 2 ctg    tg   csc    sen  3 5 2 320 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 20. Razones Trigonométricas Cuarto AñoRazones Trigonométricas De Ángulos ComplementariosDos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al cateto a como  enconsecuencia: b a sen   cos  ; cos    sen c c b a tg    ctg  ; ctg    tg  a b c c sec    csc ; csc   sec  a bDebido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecanteTeorema del complemento RTα  co  RTcomplemento de  Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos:sen40º = cos50º sec20º = csc70ºtg80º = ctg10º ctg3º = tg87ºcos62º = sen28º csc24º = sec66ºEjercicio:si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle ResoluciónPor lo anterior se tiene:(40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º  = 20º Ejercicios Para La Clase1. Según el gráfico, hallar: E = Tg  + 2Cos  E  3 . Csc 2   3 . Ctg a) 2 b) 3 c) 4 a) 5 b) 7 c) 9 d) 5 e) 6 d) 11 e) 132. Según los gráficos, hallar: 3. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°)Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 21
  • 21. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Reducir: E = senA . secC + senC . secA a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 54. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), reducir: J = sen2A + sen2C + sec2A - ctg2C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 55. Calcular: Sen  ,si"  "es agudo; además: 3 1 a) 1 b) 2 c) 2 Tg  2 2 d) 3 e) 3 3 3 3 a) 3 b) 4 c) 6 11. Del gráfico, hallar: 1 Ctg  Ctg  Ctg 6 E Ctg d) 2 e) 66. Si "  " es un ángulo agudo tal que: 1 Cos  3 Calcular: M = 8 Csc2  + Tg2  a) 15 b) 17 c) 21 d) 18 e) 16 1 13 1 5 Sen  5  Sen  5 (Considere " a) 7 b) 7 c) 57. Si:  " y "  " ángulos agudos); Calcular: 12 Csc 2   Csc 2  d) 7 e) 5 E 12. Siendo ABCD un cuadrado, hallar: 2 W = Tg  . Ctg  a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 168. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple que: 2 . TgA = CscC Calcular: SenA. 3 1 1 a) 4 b) 2 c) 4 3 2 3 d) 2 e) 39. En un triángulo ABC, recto en A, se tiene que: SenB = 2 . SenC Calcular: E = CosB . CosC. 13. De la figura, calcular: Ctg  - Tg  a) 0,5 b) 0,4 c) 0,3 d) 0,2 e) 0,110. Del cuadrado ABCD, calcular: M = Tg  + Tg  a) 3 b) -1 c) -2 d) 1 e) 222 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 22. Razones Trigonométricas Cuarto Año14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en A; 18. De la figura, hallar (Tan   2)2 se cumple que: CosB . CosC = 3/7, Hallar: TgB + TgC. 5 8 5 a) 4 b) 3 c) 3 7 7 2 mn m d) 3 e) 2 15. Del gráfico, calcule "Tg  ". n a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 0 19. Del gráfico mostrado, calcular: " Tg  Tgw" , si: ABCD es un cuadrado. B C w 2a E 3a16. El perímetro de un triángulo rectángulo es  de 338 m. Si la tangente de uno de los A D ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 cateto menor? d) 0,4 e) 0,5 a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m 20. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe : SecA  217. Determinar la hipotenusa de un triángulo SecB 3 rectángulo, sabiendo que la suma de sus Calcular: catetos es 6 m y el producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22. E  13  CosA  3  CtgB a) 3 m b) 4 m c) 5 m a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 m e) 7 m d) 4 e) 5 TAREA DOMICILIARIA1. En un triángulo ABC, recto en B, reducir: E = TgA.SenC - CosC 5 Sec   5. Si: 32. En un triángulo rectángulo ABC (  B= 90º) Reducir: Calcular: E= 6 .Tg  + 10 .Sen  M = Cos2A + Cos2C + Csc2A - Tg2C 6. Si se sabe que: Sec  =3 y además "" es3. Si "" es agudo y Ctg  = 2/3; agudo, calcular: E = Sen  . Tg  Hallar: M = 13 . Cos  8. Tg4. De la figura mostrada, calcular: 7. Si "" es un ángulo agudo y Cos  = 3/4. M = 2 Sen  + Cos  Calcular: E = Csc2  + 4 Ctg  7 8. Siendo "  " un ángulo agudo tal que: 6 Cos  = . Calcular: 9Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 23
  • 23. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi M = 5.Csc2  + 4.Tg2  Calcular: E = 13 .SenA + 6.TgB9. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe 18. Del gráfico, calcular: Ctg  - Ctg  . que: TgA = 2,4 ; Calcular: J = CscC + CtgC. C 210. Si: Sen  =  Tg  = 7 ; (Si "  " y 5 "  " son  s agudos) Calcular: A B 4 . Csc  7. Ctg2  D E Tg 11 M 19. Del gráfico mostrado, calcular: Tg11. En un triángulo rectángulo ABC (  B=90°) reducir:  SenA . CtgC  E   TgA  CosC 12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se sabe que: b2. SenA. SenC = 8 ¿Cuál es el área del triángulo? 20. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y13. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno Tg  2 de sus ángulos agudos es 0,96. se cumple que: 3 ; calcular: Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el T  13 Sen   12 Cot  perímetro de dicho triángulo. a) 112 m b) 224 m c) 96 m a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 d) 52 m e) 412 m 21. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C"14. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular: agudos es 2,6. Calcular la longitud del E  65 Sen 2 A  42 TgB mayor cateto. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 a) 20 u b) 30 u c) 40 u d) 50 u e) 60 u 22. Del gráfico mostrado, calcular: B15. En el gráfico, hallar "Sec  ".  F 4  A C 2 2a E a a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/2 3 23. En un triángulo rectángulo, los lados16. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe: menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide "  ". SenA = 2.SenC Determine: T = Sec2A + Tg2A. Halle el valor de: W  17 Sen 2  117. En un triángulo ABC, recto en C, se a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 SecA 3 d) 4,5 e) 5,5  cumple que: SecB 224 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 24. Razones Trigonométricas Cuarto Año Ejercicios de repaso1. Si: Sen(x+ y - 20º) . Csc (70º - z) = 1 Calcular: 10. Indicar verdadero (V) ó falso (F) según Tg x  y  Sec ( y  z ) corresponda: D  I. Sen15º = Cos75º ...... ( ) Ctgz Cscx II. Tg40º. Ctg50º = 1 ......... ( ) a) 1 b) 2 c) 3 III. Sec20º = Csc20º .......... ( ) d) 4 e) 5 IV. Cos(x+y) . Sec(x+y) = 1 .. ( ) V. Tg10º . Tg80º = 1 ............. ( )2. Si: a) VFVFV b) FFVFV c) VFFVF 3sec 20  csc 70 d) VFFVV e) VVVFF sec   3csc 70 11. Si: Tg = Ctg40º y Sec = Csc70º. Calcular: T = sen . tg Hallar " +" a) 40º b) 50º c) 60º3. Siendo: d) 70º e) 80º 1 1 Tg = Sen40º Csc40º - Cos10º . Sec10º 2 3 12. Hallar "x" ("" es agudo), calcular: C = 2 . Csc2 -17 Sabiendo que: Tg (8x - 9º) = Ctg3x. a) 32 b) 57 c) 52 a) 1º b) 3º c) 5º d) 53 e) 74 d) 7º e) 9º4. En el siguiente gráfico, hallar "x", si se 13. Calcule el valor de "x"; en: cumple que: Sen4 = Cos2 Sen2x. Csc40º = 1. a) 10º b) 20º c) 25º d) 28º e) 30º 14. Siendo: Sen4x - Cosx = 0 Hallar: L = 5 . Sen(2x + 1º) + 2 . Sen(2x - 6º) a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5 15. Si: Senx = Cos2x Calcular: R = Tg2x . Tgx a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 25. Sabiendo que:Tg(30º+x) + tg(7x-20º) = Ctg(60º-x) + Ctg4x 16. Sabiendo que: Sen4x . Csc(x+30º) = 1 Calcular el valor de "x" (agudo) Calcular: J = Tg3x . Tg6x a) 2º b) 4º c) 6º d) 8º e) 10º 17. Si: Tg7x = Ctg(2x+9°) Sen4x . Csc3y = 16. Hallar " + " tal que: Calcular: K = Cos5x . Ctg4y . Ctg(4x+6°) Tg(3-35°) = Ctg(90° -) ; 2-=15º 18. Sabemos que:7. Reducir: J=(3.Sen40º+4 . Cos50º)Csc40º Tg3x . Ctg (x+40º) = 2Sen30º. Hallar: K = Cos3x + 4Tg(x + 17º)8. Calcular el valor de "x" (agudo) en: 4Sen (22º+ x) .Cos(68º-x) = Tg(30º+x) . Tg(60º-x)19. Siendo "" un ángulo agudo donde se cumple:9. Si: Tg3 . Ctg(2 + 10º) = Sen50º. Sec40º Sen42º Tg32º Calcular: A = 1 + Tg3 . Tg4 . Tg5 . Tg6 n= + Cos48º Ctg58º 20. Calcular: Calcular: D = (3sec40° + csc50°)cos40° P  Sen   Tg  a) 1 b) 3 c) 4 3n 2n d) 8 e) 12Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 25
  • 25. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 04 : razones trigonométricas de ángulos NotablesCapacidades: Aplicar las razones trigonométricas de ángulos notables.TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en loscuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que seencuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son : 60º 45º 2 2 1 1 45º 30º 1 3Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º. 53º 5 3 37º 4 A partir de estos se determinarán otros adicionales como: 67º 30 75º 71º 30 4+ 2 2 4 10 1 6- 2 1 22º 30 15º 18º 30 2+1 6+ 2 3 63º 30 82º 74º 5 5 2 25 1 1 7 26º 30 8º 16º 2 7 24Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º: Las razonestrigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.RECTÁNGULOS NOTABLES: 3 sen30º  sen60º Triángulo Notable de 30º Y 60º 2 Tenemos: 3 cos30º  cos60º  2 tg30º  tg60º  ctg60º  ctg30º  sec60º  2 sec30º  2 3 Csc60º  Csc30º  326 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 26. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año Triángulo Notable De 45º y 45º 2 sen45º  2 cos45º  tg45º  1 ctg45º  sec45º  Csc30º  2 Triángulo Notable De 37º y 53º sen37º  sen53º  cos37º  cos53º  tg37º  tg53º  4 ctg37º  ctg53º  3 5 5 sec37º  sec53º  4 3 5 5 Csc37º  Csc53º  3 4 De los triángulos anteriores se obtiene: Ángulo 30º 37º 45º 53º 60ºR.T. 1 3 2 4 3 sen 2 5 2 5 2 3 4 2 3 1 cos 2 5 2 5 2 3 3 4 tg 1 3 3 4 3 4 3 3 ctg 3 1 3 4 3 2 3 5 5 sec 2 2 3 4 3 5 5 2 3 csc 2 2 3 4 3 OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO. Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 27
  • 27. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiLo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura. BCDel Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: sen  AB BC Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: sen   AB Luego: BC BC  AB AB Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemospara calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.28 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 28. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año Ejercicios Para La Casa1. Indicar lo incorrecto: 3 5 1 Sen30º  a) 2 b) Sec45º= 2 d) 7 e) 7 2 Sen53º  4 Tg37º  3 9. Si: Csc = Tg 60° c) 5 d) 5 e) Sec60º=2 Calcular: T = 2 . Cos+ Sen 5 42. Si: C = (Sen45º + Sec45º) Sec60º a) b) c) 1 3 3 S = 2Tg37º + Tg45º d) 2 e) 2,5 Calcular: C + S 10. Sabiendo que: Sen = Cos60º.Cos45º ("" a) 3 b) 4 c) 5 es agudo). Calcular: d) 7 e) 9 M= Cot 2   23. Siendo: T = 2sen30° + tg45° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 R = sec60° + sec245° I = 5(sen53° - sen37°) Calcular: T - R + I Sec 4 x  2Sen 2 x 11. Si: f(x) = a) 1 b) 2 c) 3 tg 3x d) 4 e) 5 Calcular: f(15°) a) 1 b) 2 c) 34. Calcular: d) 4 e) 5 Sen45.Cos30(Sec37  Tg37) T Sec45.Csc60(Csc53  Cot53) 12. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg". a) 1 b) 1,5 c) 2,5 d) 1,75 e) 1,255. Calcular: 4Sen30º.Cos60º. Tg 45º.Sec 37º.Csc53º T= 5 5 5 a) b) c) 2 4 6 1 1 a) 1 b) c) 4 5 2 4 d) e) 5 8 d) 2 e) 46. Resolver: 5x . Cos53° - Sec60° = x . Tg45° 1 Si ABCD es un cuadrado, hallar: Tg a) 1 b) c) 2 2 1 d) e) 3 37. Resolver: 3x .Tg53º - Csc30º = 2x . Cos60º + 4 . Sec37º 1 5 7 a) b) c) 3 3 3 5 3 d) e) 2 28. Siendo: Tg= Sen 60º. Calcular "Sen" 14. Si en el gráfico: AB = BC. 2 3 2 Calcule: T an a) 3 b) 5 c) 7Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 29
  • 29. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi B M  53º A C 2 4 2 a) b) c) 9 9 3 1 2 d) e) 3 5 18. Calcular: P = 10. Tg + 11Tg15. Calcular: 2 E  Cot 30 º. Sec 60 º. Cot 45 º 2 Tg2 30 º  Sec 2 45 º a) 2 b) 2,25 c) 2,5 d) 2,75 e) 316. Según el gráfico, hallar: Ctg 19. Del gráfico mostrado, calcular: " Cotw " . a 4a w 45 º a) 1 b) 1,5 c) 217. En el gráfico, hallar: T = Tg + Ctg d) 2,5 e) 3 E  4 Tg   6 Sen   3 Cos  20. Calcular: 4 6 3 a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5 d) 8,5 e) 9,5 tarea domiciliaria1. Determine "U + N + I", siendo: U = Sec53º + Tg53º. 4. Calcular: E= 3Tg53º - 2 Sec45º + 2Sen30º N = Tg60º . Cos30º. I = Ctg45º + Sen30º. Tg 2 60ºSec 2 45ºCsc 2 30º V2. Calcular: 5. Calcular: Tg45ºSen30º "T + R + I"; si: T = Tg45º + Ctg45º - 1 Tg4 60º Sec 4 45º R = 2Sen30º + 4Cos60º - 2 E 6. Calcular: (Sec30º Ctg60º )2 I = 5Sen37º - 4Ctg53º + 13. Calcular: E=Sen53º + 2Sen37º + Tg45º 7. Calcular "m" en: m Csc30º + 6Tg53º = m + 20 . Sen37º30 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 30. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año8. Hallar "x" de la ecuación: 3xTg53°+2Sec245°=12x Sen30°- 179. Sabiendo que "" es agudo, y además: 2 Tg=Sen30º. Calcule: M=4 Sec + Ctg 16. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x"10. Si: Tg - Sen45º . Tg60º = 0 ("" agudo) agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 b) 6 c) 7 Calcular: E = 10 . Sen2 + 6Csc2 d) 8 e) 911. Si: 17. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1   Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x Ctg  Tg  Sec ("  " es agudo) 4 3 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10 (Sen   Cos) Calcular el valor de: 18. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.12. Si: Sen = Tg37º xy xy E  Tg( ).Cot ( ). Tgx.Tgy 1 Calcular: 2 3 P  7 Cos  Calcular: 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 613. Si: x x x 19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Sec    Tg    2Sen   3 4 6 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º) f(x)  a) 5 b) 6 c) 7 x 1  tg2   d) 8 e) 9 3 Calcular: f(). 20. Si:14. De la figura, calcular "Tg". f  Csc   Tan   2  Cos  (x) 3n 2n n 1 f(2) Calcular: a) 20 b) 21 c) 22 3 d) 2 e) 015. Del gráfico, calcular "Tg".Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 31
  • 31. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiTEMA nº 05 : Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud (R.T.C.M.)Capacidades: Definir las razones trigonométricas en el Plano Cartesiano Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, conociendo un punto de su lado final. Reconocer los ángulos cuadrantales y sus razones trigonométricasÁngulo En Posición Normal: Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, sisu vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDOCUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.Ejemplos:   I 90º  a ningún cuadrante   II  no está en posición normal   IIIÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. Enconsecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” seescribirán en los extremos de los ejes.32 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 32. Circunferencia Trigonométrica Cuarto AñoPropiedad Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: Si   I 0 <  < 90º Si   II 90º <  < 180º Si   III 180º <  < 270º Si   IV 270º <  < 360º Ejemplos: 1. Si   III ¿En qué cuadrante está 2/3? Resolución Si   III  180º <  < 270º  60º < 3 < 90º  2 120º < <3 270º  Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al: .II Cuadrante.   70 º 2. Si   II ¿A qué cuadrante pertenece 2 ? Resolución Si   II  90º <  < 180º  45º < 2 < 90º   70 º 115º < 3 < 160º  Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces pertenece al: .II Cuadrante.ÁNGULO COTERMINALESDos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final yel mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).Ejemplos:    SON COTERMINALES    NO SON COTERMINALESProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez 33
  • 33. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi 410º y 50º SON COTERMINALES –240º  30º NO SON COTERMINALES1. Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número positivo entero de vueltas. Si    son coterminales tal que  >  entonces se cumple: . –  = k(360º). K  Z+ Ejemplos: 1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas) 2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas) 3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas) 4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas)Razones Trigonométricas De Ángulos En Posición Normal: Si  es unángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue: r  x2 y2 x  Abcsi sa  Y  ordenada r  radi o  y ORDENADA r RADIO VECTORsen    csc   r RADIO VECTOR y ORDENADA70 x ABCSISA r RADIO VECTORcos     sec    r RADIO VECTOR x ABSCISA y ORDENADA x ABSCISAtg     ctg    x ABSCISA y ORDENADA OBSERVACIONES: 1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A “r” COMO VECTOR. 2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO: CATETO OPUESTO = ORDENADA CATETO ADYACENTE = ABSCISA RADIO VECTOR= HIPOTENUSA34 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 34. Circunferencia Trigonométrica Cuarto AñoSignos De Las Razones Trigonométricas En Cada Cuadrante1) Primer CuadranteEn el primer cuadrante TODAS las razones trigonométricas son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) laordenada (y) y el radio vector (r) son positivas.2) Segundo CuadranteEn el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) y el RADIOvector (r) son positivas. Las demás razones trigonométricas son negativas.3) Tercer CuadranteEn el tercer cuadrante la TANGENTE y la COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y laordenada (y) son negativas. Las demás razones trigonométricas son negativas.4) Cuarto CuadranteEn el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x) y el radio vector(r) son positivos. Las demás razones trigonométricas son negativas.5) Cuadro – Resumen Son PositivosRazones Trigonométricas De Ángulos Cuadrantales: Como ejemplo modelovamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razonestrigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º. Del gráfico observamos que x = 0  r = y =1 , por tanto: y y r y Sen 90º = = = 1 x 0 Cos 90º = r = r = 0 y y Tg 90º = x = 0 = No definido (N.D.) . x 0 y y Ctg 90º = = = 0Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 35
  • 35. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi r y Sec 90º = x = 0 = No definido (N.D.) . x y y y Csc 90º = = = 1Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos: ∢ 0º 90º 180º 270º 360º R.T. Sen 0 1 0 –1 0 Cos 1 0 –1 0 1 Tg 0 ND 0 ND 0 Ctg ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND –1 ND 1 Csc ND 1 ND –1 ND ¡Muy importante! 1) En general podemos establecer lo siguiente: Y Q (–b;a ) P (a ;b) X R(–a ; –b) M(b;–a ) 2) Recuerda que: La circunferencia trigonométrica hace coincidir su centro con el origen de coordenadas del plano cartesiano, además de tener siempre un radio igual a la unidad.36 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 36. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año Ejercicios Para La Clase1. Del gráfico, hallar "Tg". y 7 x -5 a) 1,4 b) -1,4 c) 0,7 d)-0,7 e)-3,52. Hallar "Sen - Cos", según los datos de la figura adjunta. 7 7 1 1 3 a) b) - c)- d) e) 5 5 5 5 53. Sea P(-2; -3) un punto del lado final de un ángulo "" en posición normal. Hallar "Csc". 2 3 13 13 13 a) - b) c)- d) e)- 3 2 2 2 34. Si "" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-2; - 5 ). Calcular: E= 5 Ctg + Sec 1 1 3 a) 1 b) -1 c) d)- e)- 2 2 25. Si los puntos (1; -2) y (b; -4) pertenecen al lado final del ángulo en posición normal "", hallar "b". a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 66. Determine el signo de cada letra: T = Sen100° + Tg250° R = Cos200° + Sec150° C = (Sen140° + Cos350°)(Tg110° + Csc210°) a) (+)(+)(+) b) (+)(-)(+) c) (+)(-)(-) d) (-)(-)(-) e) (+)(+)(-)7. A qué cuadrante pertenece "", si: Sec < 0 y Sen > 0 a) I b) II c) III d) IV e) No se puede precisar8. A qué cuadrante pertenece "", si: Tg > 0 y Sec < 0 a) I b) II c) III d) IV e) Ninguno9. Si: [210°; 300°], hallar el signo de:   I. Tg   .csc  2Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 37
  • 37. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi a) + b) - c) + ó - d) +y- e) F.D. 210. Si:   II C y Cos = 2 9 Hallar "Cos" 3 2 3 a) b) - c) 2 d) 3 e) 3 3 211. Si: Ctg = 3 (  IIIC), calcular: Q = 2Sen - Cos 1 1 1 1 5 a) b) - c) d) - e)- 4 4 10 10 10 212. Sabiendo que: Tg = - (  IIC), calcular: 3 Q = Sen + Cos 1 13 5 5 13 3 a) b) - c) d) e) 13 13 13 13 13 sec 45º13. Si: (SenSen = y Tg > 0 sec 60º Hallar el valor de: E = Sec - Tg 3 3 2 2 a) b) c) d) e) 1 2 3 2 314. Del gráfico mostrado, calcular "a". y (-4; a+1) (1-a; 2) x a) -3 b) -1 c) 1 d)3 e) 015. Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg". 7. 7. 3 2 4 a) - b) - c) - d) - e) - (1; 2) 3 2 7 7 716. Calcular "Tg". 1 1 a) 2 b) -2 c) - d) e) 3 2 238 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 38. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año17. Diga usted qué ángulo no es cuadrantal. a) 630º b) -450º c) 1170º d) 1100º e) 900º18. Calcular: Q = (3Cos180º - Cos90º)2 + (2Sen180º - Sen90º)2 a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 3  C os -Sen  4C sc E 2 2  C os 0  Tg19. Calcular: 4 a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 320. Calcular el valor de:   3  C sc Ctg   S ec( )   3   2  2  - C sc  3   Sen      2    2  C os()    a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -221. Reducir: 2 7 2 4 n Cos 180  m Sen 90 C mSen90  nCos0 m-n m2  n 2 m2  n 2 a) n + m b) m - n c) m  n d) m  n e) m - n22. Calcular: aSen 90  ( a  bCos 270)Sen180  aCsc 90 ab a) 1 b) a c) b d) a - b e) 023. Calcular: 2 2 2 (a  b) Sen90-(a-b) Cos 180 Q 4 3 aSen 90  bCos 270 a) 4ab b) 4 c) 4a d) 4b e) b24. Si: 3Sen2x-Cos4x  2Sec8x f(x)  Tgx-Csc6x Calcular: f     4   a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -325. Si: f(x) = cos4x - sen2x + sec8x Calcular: f     4   a) 0 b) 1 c) -1 d) 3 e) -3Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 39
  • 39. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi26. Dos ángulos coterminales suman 960º, siendo positivos, determine el valor que puede tomar uno de ellos. a) 120º b) 60º c) 100º d) 300º e) 320º27. Dos ángulos coterminales están en la relación de 10 a 1. Si su diferencia está comprendida entre 1000º y 1200º, ¿cuánto suman los ángulos? a) 1300° b) 1310° c) 1320° d) 1580° e) 1620°28. Halle el mayor de dos ángulos coterminales, si su suma es 1520º y el menor está comprendido entre 200º y 250º. a) 1100° b) 1200° c) 1300° d) 1750° e) 1800°29. Del gráfico, calcular: Sec - Sec y x a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) - 230. Del gráfico, calcular: 2Sen  Sen E= 2Cos  Cos y x (-12; 5) 3 5 5 12 a) b) c) - d) e) 1 4 8 12 531. Determine: E = A - aB  Si: A = aSen - bcos  2 a2Cos0º -ab.Sen  b2Sec2 2 B= 2  3 2a) 0 b) a c) b d) 2a e) 2b a Tg  ab.Csc -b Cos 4 2   12121...    32. Sabiendo que: A  cos12121...  ; B  sec 1 0 0cifras            9 9cifras    Calcular: A + B A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) 100 sen3215  cos 932433. Calcular el valor de: R 2 sec 3642 A) 2 B) -2 C) 1/2 D) 0 E) N.A.40 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 40. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año Tarea domiciliaria1. Si "" es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (3; -4). Calcular: E = Sec - Tg2. El punto Q(-1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal ""; calcular: K = 10 Sec - Tg3. Siendo "" un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por (-3; 2), determine: E = 13 Sen + 12Ctg4. De acuerdo al gráfico, calcular: K = Sec - Tg y (-12; 5) x5. Del gráfico, calcular: L = 2Cos + Sen y (-4; 3) x6. Indicar lo correcto: I. Si: Sec > 0; Tg < 0    IVC II. Si: Cos < 0; Sen > 0    IIIC7. Indicar el signo de: A = Tg100º . Cos200º B = Tg300º + Sec190º 28. Si: Sen = - (  IVC), calcular: R= 5 Ctg - Csc 39. Si: Secx = 5 , además: Secx > 0. Calcular: E = Tgx + 5 Cosx 810. Si "" es un ángulo canónico del tercer cuadrante el cual cumple: (Tg)2Ctg = 27 Calcule: R = 3Cos + 2Sen11. De la figura, calcular "Tg"Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 41
  • 41. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi y (4; 7) x De la figura, calcular: R = Sen2 + Ctg y 45º x Sen C sc 13. Del gráfico, calcular: E= - C os  S ec  y x14. Del gráfico, calcular "Tg", si G es el baricentro del triángulo AOB. y B(0; 4) G A(-6; 0) O x15. Del gráfico, hallar "Tg". y 37º x16. Indicar el orden creciente dados los siguientes valores. 3  a = Tg2 b = Csc c = Sen 2 2  317. Calcular: E = 3Sen + 2Cos - Csc + Tg2 2 218. Calcular: E = Tg(Sen) + Cos(Tg2)42 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 42. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año  Sen  2Cos-Tg2 P 2 3 Csc -Sec019. Calcular: 2  S ec 2-C os   Sen E 2  3 Tg -Sen20. Calcular: 4 2 3Cos0º -4Sen270º Sec360º21. Calcular: Cos180º Csc270º 9Sec0º -Sen270º 2Cos180º22. Calcular: Csc90º -Cos180º  Sen  S ec 2-Cos P 2  3 Cos  Tg-Sen23. Calcular: 2 2    3 24. Calcular: Q = Sen  cos  + Cos(Sen0°) + Tg  ctg   2  2 25. Señale la medida del mayor de dos ángulos coterminales, sabiendo que este es a la suma de los dos ángulos como 8 es a 11. Se sabe además que el mayor está comprendido entre 900º y 1100º.26. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales, que están en la relación de 2 a 7 y la diferencia de ambas está comprendida entre 1200º y 1500º.27. Hallar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ambos es 1320º y el mayor de ellos está comprendido entre 900º y 1200º. 2 Si: Tg = , calcular: E= 29 Sen + Tg 5 y x 29. Si: Sen < Cos y Tg > Sen 2  Ctg  Cos   Ctg  M   Halle el signo de:  Sen  Tg   Csc 30. Siendo: f(x) = a2 . Senx + b2 . Cos2x Calcular:     3  f   f      2  2  f ( )Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 43
  • 43. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi31. Calcular el valor de: R  sen41236  cos12537 A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) N.A.  32. Calcular el valor de: sec1111...1         1 0 0cifras  A) 2 B) -2 C) 1 D) 0 E) 100 TEMA nº 06 : CIRCUNFERENCIA trigonométricaCapacidades: Representar, graficar y analizar las líneas trigonométricas seno, coseno y tangente en la circunferencia trigonométrica Interpretar el paso de una razón trigonométrica a un número real Definir la circunferencia trigonométrica relacionada con los números reales.DefiniciónSe llama circunferencia trigonométrica a aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen delsistema cartesiano y su radio es igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto tenemos: y B M (+) A  A  x R=1 (-) B NA : Origen de arcosMyN: Extremos de arcoB : Origen de complementos de arcosA : Origen de suplementos de arcosB : Sin nombre especialTodo arco dibujado a partir de "A" se denomina arco en posición normal; y numéricamente (en rad) esigual al ángulo central que le corresponde; siendo el extremo del arco, el punto más importante para elanálisis que sigue a partir de ahora.Los arcos a ubicar en ella pueden estar expresados en grados sexagesimales, en radianes o comonúmeros reales, para ello se recomienda tener en cuenta:44 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 44. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año y y  y 90º 2 1,57 0º 0 0180º  3,14 x x x 360º 2 6,28 270º 3 4,71 2Líneas trigonométricasSon segmentos de medida positiva, negativa o nula; que van a representar los valores numéricos de lasrazones trigonométricas de un arco, ángulo o número real, siempre que esté definido. Vamos a estudiartres razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.1. L.T. seno El seno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado, hacia el eje de abscisas. (, ,  y  son arcos en posición normal) y  M N sen 1 sen  (+) (+) A x sen sen (-) -1 (-)  P  Q Con lo mostrado en el gráfico anterior, trazar las L.T. seno de los arcos mostrados en: 90º y 70º 150º 180º 0º x -28º 270º 260ºI. Variación del seno de un arco: Significa determinar entre qué valores se encuentra el seno de un arco cuando éste varia en un cierto intervalo. Si consideramos un arco "" que se desplaza sobre toda la circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremos que el "sen" toma como máximo valor 1, mientras que su mínimo valor es -1, es decir:Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 45
  • 45. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi /2 1  O 2 -1 3/2 senmáx .  1   1  sen  1 senmín .   1  mientras que la variación por cuadrantes será: IC IIC IIIC IVC    3 3  0  2 2 2 2 2 sen 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0<sen<1 0<sen<1 -1<sen<0-1<sen<02. L.T. coseno El coseno de un arco se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco considerado, hacia el eje de ordenadas. (, ,  y  son arcos en posición normal) y  cos N cos M (-)  (+) -1 A x 1 cos cos Q  (-) (+) P  Con lo mostrado en el gráfico anterior, trazar las L.T. coseno de los arcos mostrados: 90º y 50º 140º 180º 0º x 230º 270º -80ºII. Variación del coseno de un arco: Trabajando de la misma manera que en el caso anterior consideramos un arco "" que se desplaza sobre toda la circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremos que el "cos" toma como máximo valor 1, mientras que su mínimo valor es -1, es decir:46 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 46. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año /2  1 O -1 2 3/2 cos máx .  1   1  cos   1 cos mín .   1  mientras que la variación por cuadrantes sería: IC IIC IIIC IVC    3 3  0  2 2 2 2 2 cos 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0<cos<1 -1<cos<0 -1<cos<0 0<cos<1III. Análisis de las variaciones en intervalos de IR: Cuando te pidan la variación, extensión o rango de expresiones que dependan del seno o coseno de un arco; y este arco varíe en un intervalo restringido, se procede de la siguiente manera: 1. Reconocer de qué R.T. depende la expresión. 2. Reconocer de qué variable depende la R.T. 3. Ubicar en la C.T. el intervalo al que pertenece la variable, respetando si es abierto, cerrado o semicerrado. 4. Trazar las líneas trigonométricas correspondientes a la R.T. de la que depende la expresión (las más importantes). 5. Reconocer la mayor y menor de las líneas trigonométricas trazadas. 6. Ubicar la R.T. de la variable, entre los extremos encontrados en el punto anterior, respetando si puede o no tomar dichos extremos. 7. Terminar de formar la expresión pedida, a partir de la variación encontrada en el punto anterior.3. L.T. tangente Para representar la tangente de un arco, previamente se traza una recta tangente a la circunferencia trigonométrica en el origen de arcos "A", para luego prolongar el radio que pasa por el extremo del arco considerado hasta que se corte con la recta anterior. La tangente de un arco se representa por el segmento que une el punto "A" con el punto de intersección anterior. Por ejemplo, para representar "tan" prolongamos hasta "T", luego AT representa "tan"; mientras que para representar "tan" prolongamos NO hasta T1 luegorepresenta "tan"; y así también para "" y "". y T  M N tan  tan O A x tan  tan Q P  T1Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 47
  • 47. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Con la ayuda del gráfico adjunto trazar la L.T. tangente de cada arco indicado. y 32º 160º x O 310º 242º Ejercicios Para La Clase1) Dibuje un arco positivo "" del IIC y ¿cuál es la extensión de "n" para que la represente gráficamente: sen; cos y tan. igualdad anterior sea imposible de verificarse?2) Ubique un arco que mide -110º y represente a) IR - b) IR - gráficamente: sen(-110º), cos(-110º) y c) IR - d) IR - tan(-110º). e) IR -3) Señale verdadero (V) o falso (F), según 9) Sabiendo que:   IC; señale la extensión corresponda en: de: L = 4sen - 1 I. sen70º > sen20º a) <1; 4> b) <-1; 3> c) [-1; 3] II. sen216º > sen254º d) [-1; 4] e) [-5; 3] III. sen300º > sen320º a) VVV b) VFV c) VVF 10) Sabiendo que:   IIC; señale la extensión d) FVV e) VFF de: L = 4cos + 1 a) <-3; 5> b) [1; 5] c) <-1; 5>4) Señale la variación de: L = 7sen - 5;   IR d) <-3; 1> e) [-3; 1] a) [-7; 12] b) [-12; 2] c) [2; 12] d) [-2; 12] e) [-6; 8] 11) Sabiendo que: 40º <  < 180º; señale la extensión de: L = 3sen + 15) Señale la variación de: C = 6cos - 3;   IR a) [0; 3> b) [1; 4> c) [1; 3> a) [-6; 6] b) [-6; 3] c) [-3; 6] d) [1; 4] e) <1; 4] d) [-9; 3] e) [-3; 9] 12) Sabiendo que:  <70º; 270º>; señale la6) Señale la variación de: L = 3 - 2cos;   IR variación de: L = 4sen - 1 a) [1; 5] b) [1; 3] c) [-1; 3] a) <-3; 5] b) <-3; 5> c) <-5; 3] d) [-3; 3] e) [-5; 5] d) <-5; 3> e) [-5; 3>7) Sabiendo que   IR, además: 13) 10. Sabiendo que:  <25º; 75º]; señale el 2n - 1 rango de: L = 4sen2(3- 45º) + 1 sen  7 a) [1; 2> b) [1; 2] c) [1; 5> ¿cuál es la suma de los valores enteros que d) <1; 5] e) [1; 5] toma "n"? a) 0 b) 1 c) 2 14) Señale la variación de: d) 3 e) 4 L = sen(sen + 1);  IR  1   1 8) Sabiendo que   IR, además: 4cos = 3n + 1 - ; 2 - 2 ; 1 a) [-1; 2] b)  4  c)  48 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 48. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año  1  y  B - ; 2 d)  2  e) [-1; 3] M15) Señale el valor de: A’ A sen - 1  cos  - 1  csc  x L  sen  cos   cos  Siendo: "L" real a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) -2 B’ a) sen b) 2sen c) 2cos d) -cos e) -2cos16) Señale verdadero (V) o falso (F), según  corresponda en: 21) En la C.T. mostrada, hallar el área de la I. cos70º > cos20º región sombreada. II. cos100º > cos160º y B III. cos200º > cos230º a) VVV b) FFF c) VVF d) FVV e) FVF A’ A17) Señale verdadero (V) o falso (F), según x corresponda en: I. tan50º > tan70º M II. tan130º > tan150º III. tan310º > tan340º  B’ a) FFF b) FVV c) VVV a) -sen b) -cos c) -sen d) VFV e) VFF d) -cos e) -2sen18) Señale verdadero (V) o falso (F), según 22) En la C.T. mostrada, hallar el área de la corresponda en: región sombreada. I. sen1 > sen2 y B II. cos2 > cos3 III. tan5 > tan6 T a) FFV b) FVV c) VVF d) FVF e) FFF A’ A x 19) En la C.T. mostrada, hallar la longitud de . y B M  M B’ (1  tan ) cos  (1  tan ) cos  A’ A a) 2 b) 2 P x (1  cos ) tan  c) 2 d) (1 - cos ) tan  2 B’ (1  sen) tan  a) 1 - cos b) 1 + cos c) 1 + sen 2 e) d) 1 - sen e) -2cos 23) Señale verdadero (V) o falso (F), según20) En la C.T. mostrada, hallar el área de la corresponda en cada caso: región sombreada.         cos   cos  I. Si: 2 3     sen  sen II. Si: 2 3      2  tan   tan  III. 2Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 49
  • 49. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi a) FVV b) FVF c) FFV  cos   cos  d) VFF e) VFV d) 1  sen e) 2(1  sen)24) En la C.T. mostrada, hallar la longitud de OP 25) Señale verdadero (V) o falso (F) según . corresponda en: y B I. sen(sen2) > sen(sen3)  II. cos(cos2) > cos(cos3) M III. tan(sen5) > tan(sen6) P a) VVV b) VVF c) FVV A’ A d) VFV e) FVF O x  26) Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: B’ I. sen(sen70º) > sen(sen40º) sen sen  cos  II. cos(cos70º) > cos(cos40º) a) 1  cos  b) 1  cos  c) 1  sen III. cos(cos100º) > cos(cos160º) Tarea domiciliaria1) En una C.T. ubique aproximadamente un y B arco que mida 130° y trazar: sen130°; cos130° y tan130°.2) En una C.T. ubique aproximadamente un A A arco que mida 220° y trazar: sen220°, x  cos220° y tan220°. M3) Señale los signos de desigualdad que deben colocarse en cada circulo, según corresponda en: B sen70° sen50° 7) En la C.T. mostrada, hallar el área de la sen140° sen160° región sombreada: sen200° sen260° y B T4) Señale los signos de desigualdad que deben colocarse en cada circulo según corresponda en: tan70° tan40° A A tan130° tan160° x tan220° tan260° 5) Sabiendo que: 90° <  <  < 180°; señale verdadero (V) o falso (F), según B corresponda en: I. sen > sen 8) En la C.T. mostrada, determinar la superficie II. cos > cos de la región sombreada: III. tan > tan y B6) En la C.T. mostrada, hallar el área de la región sombreada: A A x  M B50 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 50. Circunferencia Trigonométrica Cuarto Año9) En la C.T. mostrada, determinar la longitud y B del segmento MP. y  B M A A P x  A A x M B 14) En la C.T. mostrada, determinar la superficie B de la región sombreada. y  B10) En la C.T. mostrada, hallar la longitud del M segmento MP Y NQ. y  B M A A x A Q A P x  B N 15) En la C.T. mostrada, determinar la superficie B de la región sombreada. y B M11) En la C.T. mostrada hallar la longitud del segmento .  y N  B A A M x A A x B   N P  Sabiendo que   IR; señale la extensión de:  B = 5 + 2sen B T  17) Sabiendo que   IR; señale la variación de: D = 5 - 3sen12) En la C.T. mostrada, hallar la longitud del 18) Señale el menor valor entero que puede segmento (sug: sen2a + cos2a = 1). tomar:  yB F = 7 + 4sen; si   IIIC M 19) Señale el mínimo valor entero que puede tomar: A A H = 3 - 5sen;   IC x 20) Señale la suma del máximo y mínimo valor que toma: J = 5cos - 1;   IR B   Sabiendo que   IIIC; señale la extensión13) En la C.T. mostrada, determinar la superficie de:  de la región sombreada. L = 6 - 4cos Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 51
  • 51. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi22) Sabiendo que   IVC; sume los valores 26) Sabiendo que:  < 80º; 296º >; señale la enteros, máximo y mínimo, que puede variación de: tomar: S = 6sen + 5 N = 3cos+ 5 27) Si: 20º <  < 95º; señale la extensión de:23) Señale la suma de los valores enteros que E = 4sen(2 - 10º) + 1 puede tomar "n" para que la relación: 3sen = 2n + 1; sea posible de verificarse. 28) Señale el valor máximo de: B = 2sen - cos + 1;  y  son24) Señale la variación de "n" para que la independientes igualdad: 4cos = 7 - 2n; sea imposible de verificarse. 29) Halle el valor máximo de: 2sen  1 D sen  225) Sabiendo que: 30º <  180º; señale la variación de: 30) Halle el valor máximo de: Q = 4sen - 1       x2  2  F = sen  52 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 52. Identidades Trigonométricas Cuarto Año TEMA nº 07 : Identidades trigonométricasCapacidades: Aplicar correctamente las identidades trigonométricas en las demostraciones Aplicar adecuadamente las identidades fundamentales en la simplificación de ejercicios. Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares.IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son aquellas igualdades que relacionan funcionestrigonométricas de una cierta variable, las cuales se verifican para todo admisible, clasificándose de lasiguiente manera:1.- IDENTIDADES RECIPROCAS  Sen  . Cosec  = 1   R - n  Cos  . Sec  = 1 R–(2n+1)  Tan  . Cotan = 1   R – n /22. IDENTIDADES POR DIVISION  Tan  = Sen  / Cos  R–(2n+1)/2  Cotan  = Cos  / Sen  R – n3. IDENTIDADES PITAGORICAS  Sen2  + Cos2  = 1 R 2 2  1 + Tan  = Sec  R–(2n+1)/2  1 + Cotan2  = Cosec2  R – n4. IDENTIDADES AUXILIARES  sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x  sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x  tg x + cotg x = sec x . cosec x  sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x5. DEMOSTRACIONES A continuación te proponemos algunas guías o sugerencias que te servirán para desarrollar ejercicios de demostración, estas son:  Escoger el miembro más complicado de la identidad  Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos  Hacer uso de identidades algebraicas, según sea el caso  Cuando haya potencias puede ser útiles hacer factorizaciones  De las identidades fundamentales se podrán deducir otras. Los ejercicios sobre IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos: Demostraciones, Simplificaciones, Condicionales, Eliminación del ánguloProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez 53
  • 53. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Problemas para la clase Demostrar las siguientes identidades: Simplificar las siguientes expresiones: 1. (Csc  1  cos  cos³x 8. P  1  cos  senx  sen³x 2. cos²x sen²x   cos x  senx 9. R  cos³x  sen cos  1  senx 1  cos x 1  sen 3. 1  tag  sec  10.  sec   tag  sec   tag T  1  sen  1  sen²  4. cos x.tgx  senx Eliminar el ángulo en las siguientes expresiones: 11. x = 3sen ....(1) 5. (1  ctg 2 B)sen 2 B  1 y = 2cos.......(2) 12. x = cos................... (1) 6. sen4 x  cos 4 x  sen2 x  cos 2 x y = cos² - sen²...... (2) 7. (senx  cos x) 2  (senx  cos x) 2  2 13. senx = m …........ (2) 14. Si: Secx - Tgx = 0,75; Entonces el valor de: Secx + Tgx , es: 21. Reducir la expresión 15. Si cos + sec = 3 sec x  tg 2 x  sen 2 x Calcular el valor de: sec² - sen² a) Sen x b) Cos x c) Tg x d) Sec x e) Csc x 16. Si Sen - Cos Calcular el valor de: Sen  + Cos  4 4 2  senx 22. Si: 2 1  cos x 17. Si : + Tgx = asecx y Tgx = bsecx Calcular: tg x + 2ctg x calcular a² + b² a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 18. Si csecα – cos α= 1 ; 23. Si: csc x – sen x = a .........(1) sen  3 Sec x – cos x = 2a .......(2) Calcular T = Hallar tg x 1  cos  a) 4 2 b) 3 2 c) 2 d) 1 e) 2 a) 1 b) -1 c) senα d) –senα e) cosα 24. Si: sec x – tg x = 0.75; entonces el valor de sec x + tg x,es: sen 1  cos  a)2/3 b)4/3 c)3/2 d) 3 e) 4 19. Reducir Q =  1  cos  sen a) Senα b) cosecα c) 2cos 25. Si: tg  ctg  2 α d) 2cosec α e) 2 tagα Hallar: tg 3  ctg 3 a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 20. Simplificar la expresión sen 4 x  sen 2 x. cos 2 x  cos 4 x 26. Si: f ( x)  1  x 2 E= sen 6 x  2sen 2 x. cos 2 x  cos 6 x f ( senx) f (cos x) a) -1 b) 0 c) 1 Simplificar: P   f (csc x) f (sec x) d) tagx e) ctagx. a) 1 b) -1 c) -2 d) 1/2 e) 254 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 54. Identidades Trigonométricas Cuarto Año d) cos e) 1 27. Si: senx. cos x  2tg 30. Eliminar "  " de: Hallar: E  (1  sen 2 x)(1  cos 2 x) sec   csc   m ..............(1) b) 2sen 2 b) 2 c) 2 sec 2  tg  ctg  n ................. (2) d) cos 2  e) tg 2 31. Eliminar " " en: 28. HallarM, si se cumple:   ctg   a ...............(1) (1  2sen ) 2  (2  sen ) 2  M (2sen 2  cos 2  ) a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 sen  cos  b ................(2) 29. Simplificar: 32. Eliminar " " en: sen  cos  p ................(1) 1  sen tg  donde: 0    90º 1  sen sen  cos  q ........(2) c) sen b) tg c) sec Tarea domiciliaria 1. Reducir la expresión cos   sec  6. Hallar el valor de M, si : k= 3 sen  c sec M  cos 3 x  1  sen 2 x  sen 4 x  sen 6 x a) Senα b) cosα c) tagα a) 2secx b) 4tagx c) 2cosx d) ctagα e) 1 d) 3tagx e) senx Senx.tagx  cos x.ctsgx 1 7. Calcular M - N, si sec x  c sec x  tagx  ctagx  M = sec x.csex   tag 2 x  ctag 2 x 2  2. Calcular N  2  2 sec  .tag   tag   sec4  2 2 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 a) Senx b) cosx c) tagx d) ctagx e) 1 8. Calcular el valor de P. P senx  cos x 2  senx  cos x 2 3. Al simplificar la expresión se halla: tagx  ctagx 2  tagx  ctagx 2 2c sec x  3ctag 2 x  2  c sec x a) 0 b) ½ c) 1 3c sec x  1 d) 2 e) ¼ a) -1 b) 0 c) 1 d) ctagx e) csecx 9. Si cosx - senx = a . Hallar: K = 4(cosx – senx) +3(senx – cosx) 4. Hallar M para que sea identidad a) 4a b) a c) 3a tag 3 x ctag 2 x d) 3a e) 2a   2M  sec x .c sec x1  tag 2 x 1  ctag 2 x 10. Si senα + cos α= 1/3; a) senx. b) cosx c) senx. Cosx Halar tagα + Ctagα d) tagx. Secx e) ninguna a) -4/9 b) -2/9 c) -9 d) -9/2 e) -9/4 m 5. Hallar  mn ,si se cumple la identidad; n 11. Calcular tgα + Ctgα. ctsg 2 x  cos 2 x  ctsg m x. cos n x Sabiendo que tgα – Ctg.α = 3 a) 1 b) 15 c) 1,5 a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e)2,5 d) 7 e) 9 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 55
  • 55. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi12. Simplificar: E  tgx.cos x.senx senx 1  cos x 21. Simplificar P  A) senx B) cosx 2 C) sen x 1  cos x senx 2 cos 3 x Si: sec x  tgx  m Hallar: sec x  tgx D) cos x E) 22. Reducir: (tgx  ctgx ) 2  (tgx  ctgx ) 213. Reducir: A  senx  ctgx  sec x A) 1 B) cos x C) sec x 1 a2 D) tgx E) senx 23. Si a  ctg ; b  csc  Hallar: b2 V   tgx  ctgx  senx 24. Si: senx  cos x  214. Calcule: Hallar: senx. cos x A) cos x B) tgx C) sec x D) senx E) csc x 25. Reducir: cos 3 x. sec 2 x  tgx.senx I  ctgx  1  cos 2 x M15. Simplifique: ctgx.senx 2 A) sen x B) senx C) cosx 3 2 26. Si: senx  cos x  1 / 5 D) cos x E) sen x Hallar: E  sen 3 x  cos 3 x16. Demostrar las siguientes identidades: 27. Si: 16 cos 2 a  3sen 2 a  7 Hallar: tga  (1  cos x) sec x  tg x 2 2 2 28. Hallar (a+b+c), para que la siguiente  senx. cos x.tgx  sen x 2 igualdad sea una identidad.  senx  ctgx. cos x  csc x 4sen 2 x  3 cos 2 x  5 sec 2 x  7tg 2 x  asen 2 x  btg 2 x  c  sec x  tgx.senx  cos x 1 117. Simplificar 29. Simplificar: A   1 1 sec x  tgx ctgx   1  senx 1  senx 30. Si: a  sen .sen 1 1   b = cos  .sen 1  cos x 1  cos x c = cos sen 3 x  Hallar: a 2  b 2  c 2 cos x  cos 3 x a) 2 b) -1 c) 3 d) 1 e) 4 sec x  cos x  csc x  senx 31. Sabiendo que: a  sen .sen .cos18. Simplificar b  cos .cos .sen 1 1 E  c  sen .sen sec x  tgx sec x  tgx d  cos  Hallar: a  b  c  d 2 2 2 219. Simplificar cos x 1  senx a) 2 b) -1 c) 3 d) 4 e) 1 M  1  senx cos x 32. Eliminar  en:20. Reducir x  sen y  3 cos M  (ctgx.senx)  (tgx. cos x) 2 256 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 56. Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año TEMA nº 08: reducción al primer cuadranteCapacidades: Definir el valor equivalente de una razón de ángulos menores de 360º Definir el valor equivalente de una razón de ángulos mayores de 360º Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360° y negativos.La conversión de una razón trigonométrica (r.t) de un ángulo cualquiera en otra razón equivalente de unángulo del primer cuadrante se llama: ”reducción al primer cuadrante”También reducir al primer cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquierángulo en forma directa mediante reglas prácticas las cuales mencionaremos a continuación recordandoantes que:- Para el Seno: Su Co-Razón es el Coseno.- Para la Tangente: Su Co-Razón es la Cotangente.- Para la secante: Su Co-Razón es la Cosecante.I Regla: “Para ángulos positivos menores a una vuelta.  90    R. T    co  RT    270     180    R. T    RT    306   ¡Importante!- El signo + ó – del segundo miembro depende del cuadrante al cual pertenece el “ángulo a reducir”.-  se considera un ángulo agudo.Ejemplos de Aplicación:1. Reducir al primer cuadrante: a) Cos 150º b) Tg 200º c) Sen 320º d) Sec 115º e) Csc 240º f) Ctg 345ºII Regla: “Para ángulos positivos mayores de una vuelta. R. T 360 n     R. T  n  Nota: Se eliminan los múltiplos de 360º.Ejemplos de Aplicación2. Reducir al primer cuadrante: a) Sen (548º) b) Cos (987º) c) Tg (1240º)Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 57
  • 57. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiResolución2a) Sen548° = sen(1 × 360° + 188°) = sen188° Luego: Sen548° = sen188 = sen(180° + 8°) = -sen8° ó sen548° = sen188° = sen(270 - 72°) = -cos72°2b) Cos987° = cos(2 × 360° + 267º) = cos267°2c) Tg1240º =Tg(3 × 360° + 160°) = Tg160°III Regla: para ángulos negativos: Para todo ángulo , se cumple: Sen      Sen Tg      Tg Ctg      Ctg Csc      Csc Cos(   )   Cos Sec(   )   SecNota:Observamos que para el coseno y secante el signo “desaparece” es decir, solo trabajamos con el valorpositivo. Veamos ejemplos:Ejemplo de Aplicación3. Reducir al primer cuadrante:A) cos(-130°) B) sec(-274°) C) Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)Nota Importante: Todo el capítulo “Reducción al 1er Cuadrante” se desarrolló trabajando netamente enel sistema sexagesimal la cual también se pudo haber trabajando en el Sistema Radian incluyendo todoslos casos reglas y aplicaciones propuestas.58 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 58. Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año Ejercicios de aplicación: 1) sen180º   = 7 16) tg 15    8) sec = 2) cos180º   = 4 17) ctg 10    =   9) 5 = 18) cos630º   = 3) sen    = c sec 2  3  5  10) sen 130º  = 19) sen   =  3   2  4) c sec   = 11) cos 4520º  =  2   33  12) tg  300º  = 20) ctg    = 5) sen100º =  2  6) cos 200º = 13) ctg  240º  =  27  7) c sec 2100º = 14) sen540º   = 21) sec   =  2  15) sec720º   = Ejercicios para la clase 1. Simplificar: A) senx B)-senx C)-secx tg 540º  A.ctg 360º  A D)cosx E) tgx E cos180º  A  2sen90º  A 7. Calcular el valor de: A)secA B)-secA C)1/2  3  D)-1 E) N.A. M  2sen 2   x   2sen 2   x  2  2. Calcular el valor numérico de: A)2 B)3 C)4 3sen150º 2tg  135º   csc 90º  D)1 E) 0.5 A)5/2 B) -1/2 C)1/2 D)-1 E) N.A. 8. Si: x + y = 2  . Calcular E=Tg(x +10º) + Sen(y + 40º) + Tg(y - 10º) + Sen(x-40º) 3. Calcular el valor numérico de:Q  a  btg 225º 2asen 270º   a  bcos 180º A)b-a B)2b - a C)2( b –a) 9. Si: tgx   5 .calcular: D)2a – b E) N.A.   sen  x .tg   x . sec  x  4. Determinar el valor de: F 2   3   3  sen135º. cos 240º.tg 330º. sec 300º cos  x .ctg 2  x . csc  x E  2   2  cos 120º.ctg 210º. csc 210º. sec 315º A)-1/6 B)-1/3 C)-1/2 A) 5 B)-2 C)5 D)1/6 E) 1/2 D)- 5 E) 2 5. Reducir: sen90º  x . cos180º  x .tg 360º  x  10. Calcular el valor de: Sabiendo que  = 6 K    3  tg 180º  x . cos360º  x . cos180º  x  Sen   .Cos    E  2  2  A) senx B)-1 C)1 Sec    .Csc  2  D)cosx E) tgx 11. Simplificar: 6. Reducir: 2 a Sen810º 4abSen390.Cos540º b Csc630º 2  R  sen x    cos x    2 2 btg 1140º 9aSec 900º.Tg 1470º K  2 12. Si y son complementarios reducir:  3  tg  x    ctg 2  x  Sen  2..Tg2  3  2  Cos2  .Tg4  3 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 59
  • 59. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi 13. Reducir la expresión 18. Simplificar:  69  Sec   92.Sen       3  N  2  Tg    .Tg     Ctg   Ctg 2   2    35      Ctg2053   .Cos   E       3  Ctg   .Ctg    Tg    .Tg  2 y calcular: N.Cos  2   2       a) -2 b) 0 c) 1 14. Simplificar: d) -1 e) 2  37  Tg 99  x .Cos  x .Sec 90  x   2   91   9  19. Si a y b son ángulos complementarios, Ctg   x .Sen 40  x .Tg    2   4  simplificar la expresión: Sen 6a  7b.Tg 13b  14a 15. Si: Tg25º = a Calcular M Cos 4b  5a.Tg 10a  11b Tg155º  Tg115º K a) -2 b) -1 c) 2 Tg155º  Tg115º d) 0 e) 1 16. Si Sen40º = m. Calcular: P Sen140º.Cos130º.Tg230º 20. ¿Qué relación existe entre a y b? Ctg220º.Sec 410º.Csc320º sabiendo que:  2a  3b   6  3a  2b  17. Calcular el valor de: Tg   Ctg 0  8   4  L = Sen(-350º) + Sen(-340º) + Sen(-330º)+ … + Sen (-20º) + Sen(-10º) a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 tarea Domiciliaria1. Reducir: e) –Sen220.Cos20º Sen4360º   Sen860ºSen320R Sen850º   Sen1930º   Sen 310º  5. Si Tg(-230)º = a, entonces2. Siendo   IIC y además 1 3 a .Sen490º  1 ; Cos( 590º ) 2 2 a 1 a 1 Sen180  Tg450º  4 Es igual a: Cos  270 º.Tg1800 º  a) -2 b) 2 c) 3 Calcular: Sen  Cos  d) 1 23 2 e) 03. Si: x + y = 2  . Calcular E = Tg(x +10º) + Sen(y + 40º) + Tg(y - 6. Simplificar: 10º) + Sen(x-40º)    3  Tg    .Tg     Ctg   Ctg 2   2    E     4. La expresión:    3 Ctg   .Ctg    Tg    .Tg         2   2  Sen650 º Cos(520)º.Tg( 470)ºE Ctg 340 º.Sec 290 º.Csc 160 º a) -2 b) 0 c) 1 Es equivalente a: d) -1 e) 2 2 2 2 a) Sen 20º.Cos20 º b) –Sen 20º c) Cos220º d) –Sen20ºCos220º60 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 60. Reducción al Primer Cuadrante Cuarto Año7. Si a y b son ángulos complementarios, 11. ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo simplificar la expresión: que:  2a  3b   6  3a  2b  Tg   Ctg 0 Sen 6a  7b.Tg 13b  14a  8   4  M Cos 4b  5a.Tg 10a  11b a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1 d) 1/5 e) 1/68. Calcular el valor de : 12. Simplificar :C  3Sec 45º Csc330ºCos240ºSen150º  Tg180  x .Sec 360  x Cos270  x  Q Sen360  x .Csc90  x Ctg270  x  a) -2 6  b) 3 3 2  1  c)  6 2 d) 2 6 e) 6 2 a) 1 b) -1 c) Tg2x d) Sen2x e) Senx9. Reducir la expresión: Sen180º a.Cosa  90º.Tg180º a 13. Calcular el valor de:  Cos540º a.Sen270º a.Tg360º a  2  7 5 Sen     Cos  Sec Ctg450º a.Senc  90º   3  6 3 Cos180º CTg1170º a  3   5   7  Tg     Sec     Csc    a) 0 b) –Tg2a c) 2Tg2a  4   4   4  d)-2Tg2a e) Tg2a a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 010. Simplificar:a2Csc 990 º 4abSen750º.Cos 540º   b2 Sen 1170º  14. Reducir la expresión:  9aSec 540º Ctg 420 . bTg 300 º . Ctg750 º 2 a 2Cos0  6abTg360  b 2Sec  360  P ab ba 2abCos540  a 2Sen90  b 2Sec 270 a) b) ab 3 3 a) b) a - b c) a + b ab 2 ab ab ab c) (a  b ) d) e) d) e) a2 – b2 3 3 2 abProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez61
  • 61. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiTEMA nº 09 : razones trigonométricas de ángulos CompuestosCapacidades: Aplicar correctamente las identidades trigonométricas de los arcos compuestos. Aplicar correctamente las identidades trigonométricas auxiliares para dos arcos.I. Para la Suma: Sen (x  y)  Senx  Cosy  Seny  Cosx Cos(x  y)  Cosx  Cosy  Senx  Seny Tanx  Tany Tan (x  y)  1  Tanx  TanyII. Para la Diferencia: Sen(x  y)  Senx  Cosy  Seny  Cosx Cos(x  y)  Cosx  Cosy  Senx  Seny Tanx  Tany Tan (x  y)  1  Tanx  Tany PROPIEDADES: I. Sen (x  y)  Sen (x  y)  Sen 2 x  Sen 2 y Cos(x  y)  Cos (x  y)  Cos 2 x  Sen 2 y II. Sen(x  y) Tanx  Tany  Cosx  Cosy III. Si : K  aSenx  bCosx  a , b  R a 2 + b2 b  K  a 2  b 2  Sen (x  ) ; donde :  a IV. Si : L  aSenx  bCosx ;  a , b , x  R Donde : L m áx  a 2  b 2 a b : constantes x : variables L m ín   a 2  b 2 V. Tanx  Tany  Tanx  Tany Tan (x  y) Tan ( x  y) ó Tanx Tany  Tanx  Tany  Tan (x  y)  Tan (x  y)62 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 62. R.T: de Ángulos Compuestos Cuarto Año PROBLEMAS PARA LA ClASe1. Reducir: J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x) 11. Sabiendo que: a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y) 4 d) Senx e) 3 Senx Cos(2x+y) = 5 Calcular: Ctg3x2. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x) a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 a) Cosx b) Senx c) 2 Cosx d) 5/4 e) 3/5 2 d) 3 Cosx e) 2 12. Obtener: Sen23º 3 3 3 4 3 3 43. Halle un valor agudo de "x" que verifique: a) 10 b) 10 c) 10 4 3 3 4 3 3 Cos 4 x.Cosx  Sen 4 x.Senx  1 2 d) 10 e) 10 a) 6º b) 12º c) 18º x d) 21º e) 24º 13. Del gráfico mostrado, Calcular: "x".4. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla: Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13 1 37 º 0,5 d) 13/51 e) 3 a) 5º b) 10º c) 15º 4 d) 20º e) 30º 2  3 14. Si: Senx Cosx5. Si: Tgx = 2 Tgy = 3 Calcular: Tg(45º-x) Calcular: Tg(x+y) a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3 a) 1 b) -1 c) 2 d) 5 e) 3/7 d) -1/2 e) -2 15. Reducir: Tan   1 ; Tan   2 C  Sen 50 º 2 Sen 10 º Cos 40 º6. Si: 3 5 a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º Calcular: Tan (  ) d) Cot45º e) Sen30º a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17 d) -1/17 e) -1/19 16. Si: 5 Sen (x  37 º )  2 Cos (x  45 º ) Hallar : Cotx7. Hallar el valor de: Sen7º a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º 3 3 4 3 3 4 4 3 3 d) Csc37º e) 1 a) 10 b) 10 c) 10 3 3 4 3 3 4 17. Simplificar: d) 5 e) 2 Sen (  )  Sen Cos 8. Calcular: Tg8º C Cos (  )  Sen Sen  a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7 d) 1/9 e) 1/11 a) Tan b) Tan  c) Cot d) Cot  e) 1 Senx  3 y Senz  249. Si: 5 25 J  Sen 40 º Sen 10 º Cos 30 º Calcular: E =Sen(x+z); x z son agudos. 18. Simplificar: Cos 40 º  Sen 30 º Sen 10 º 127 125 117 3 a) 225 b) 117 c) 222 a) 3 b) 1 c) 3 117 39 2 3 d) 125 e) 25 e) 2 e) 3 Cos (30 º x)  Cos (30 º  x) M 19. Siendo:10. Simplificar: Sen (30 º x)  Sen (30 º  x) x + y = 30º ; x - y = 37º a) 1 b) 2 c) 3 Calcular: 3 J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy) d) 3 e) 3 3Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 63
  • 63. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 C  (Cos   Cos )2  (Sen   Sen )2 d) 1,4 e) 1,5 Calcular:20. Siendo:     60 º Tarea domiciliaria M  2 Sen (45 º x) d) 1,4 e) 1,51. Hallar: a) Cosx-Senx b) Senx-Cosx c) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx) 8. Siendo:     60 º 2 2 Calcular: C  (Cos   Cos )  (Sen   Sen ) 2 e) 2 a) 2 3 b) 2(2  3 ) c) 3(2  3 )2. Simplificar: d) 2 3 e) 3 L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x 3 Tany  a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x 4 9. Siendo: x + y = 60º ; d) Cos4x e) Cos5x Calcular: M  (1  TanxTany )Tan(x  y) 3 5 3 3 33. Reducir: C  Sen 50 º 2 Sen 10 º Cos 40 º a) 28 b) 28 c) 28 a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º 3 3 5 3 d) Cot45º e) Sen30º d) 14 e) 14 10. Señale el valor máximo que toma la4. Si: 5 Sen (x  37 º )  2 Cos (x  45 º ) expresión: Hallar : Cotx C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x - Cos2x) + Senx a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º a) 1 b) 2 1 c) - 1 d) Csc37º e) 1 1 2 1   d) 4 e) 3 Sen (  )  Sen Cos  C Cos (  )  Sen Sen 5. Simplificar: 11. Sabiendo que: Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny a) Tan b) Tan  c) Cot + 3Cosy = 0 Donde: x  IIIC ; y  IIC d) Cot  e) 1 Calcular: L = Sen(x + y) + Cos(x - y) 3 2 6 2  6 2 J  Sen 40 º Sen 10 º Cos 30 º a) b) c) 13 13 136. Simplificar: Cos 40 º  Sen 30 º Sen 10 º  3 2  5 2 3 d) 13 e) 13 a) 3 b) 1 c) 3 Tan (a  b  c)  3 2 3 e) 2 e) 3 12. Si: 5 y Tanb = 3 Calcular: Tan (a - b + c)7. Siendo: x + y = 30º ; x - y = 37º 6 21 27 a) 7 b) 7 c) 11 Calcular: J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy)  29  11 a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 17 e) 2764 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 64. R.T. de Ángulos Compuestos Cuarto Año 18. Los ángulos  ,  y  satisfacen la relación: Tan   Tan   Tan   Tan Tan Tan 13. A partir de la figura, hallar "x". Hallar la suma de:      a) 3 b) 3 c) 4 (K : Número entero) d) 6 e) 7   k 7 a) 0 b) 2k c) 2   k d) 4 e) k x 30º 19. En la siguiente figura, la medida del lado x 2 3 es:14. Si: A + B + C = 180º El valor de: 4 E = TanA+ TanB+TanC - TanA TanB TanC a) 1 b) - 1 c) 2 6 d) 0 e) - 2   2 15. Calcular el valor de: x Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º a) 4 6 b) 4 23 c) 4 13 a) 2 2 b) 1 2 d) 3 17 e) 3 6 1 2 2 c) 2 d) 2 20. Nos situamos a una distancia de 500 metros e) 1 de un edificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos.16. Simplificar la siguiente expresión: Hallar el valor de la Tangente del ángulo 1  1 mostrado. Tan 5 a  Tan 2a Ctg 5 a  Ctg 2a Cos 7 a Cos 3 a 10mo. piso a) Sen 3 a b) Sen 7 a c) Ctg7a Sen 3 a d) Ctg3a e) Sen 7 a 9no. piso Tan (x  y)  a  b 17. Si: ab ; Tan(y - z) = 1 Entonces: Tan(x - z) es igual a: 500 a b a b a) b b) a c) ab 5 3143 1 a) 3143 b) 500 c) 274 ab ab d) a b e) a 25 36 d) 3143 e) 3143Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez65
  • 65. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema 10: razones trigonométricas de ángulo DobleCapacidades: Reconocer las identidades de arco doble Aplicar correctamente las identidades del arco doble en la resolución de problemas.1. Fórmulas básicas I. Para el seno del doble: (sen2) sen2= sen2 = 2sen cos sen40º = sen8 = II. Para el coseno del doble: (cos2) cos2= 2 2 cos2 = cos  - sen  cos40º = cos4 = III. Para la tangente del doble: (tan2) 2tan tan2 = __________________ tan2 = 2 1 - tan  tan2 = __________________ También: Cos 2x  1  2Sen 2x Cos 2x  2Cos 2x  12. Fórmulas de Degradación: 2 Sen 2 x  1  Cos 2 x 8 Sen 4 x  3  4 Cos 2 x  Cos 4 x 2 Cos 2 x  1  Cos 2 x 8 Cos 4 x  3  4 Cos 2 x  Cos 4 xEjemplos:  Sen80° = 2Sen40°Cos40°  2Sen3xCos3x = Sen6x 2 2  Cos72° = Cos 36° – Sen 36° 2  Cos10x = 2Cos 5x – 1 2 5x  Cos5x = 1 – 2Sen 2 2    2Cos – 1 = Cos 8 4 2  1 – 2Sen 25° = Cos50° 2Tg15   Tg30 1  Tg2153. Propiedades: I. Cotx  Tanx  2Csc 2x Cotx  Tanx  2Cot 2 x Sec 2 x  Csc 2 x  4 Csc 2 2 x II.66 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 66. R.T. de Ángulo Doble Cuarto Año (Senx  Cosx )2  1  Sen 2 x (Senx  Cosx )2  1  Sen 2 x III. 1  Sen 2 x  Senx  Cosx 1  Sen 2 x  Senx  Cosx IV. Tan 2 x Tan 2 xTanx  Sec 2 x  1  Sec 2 x  1 Tanx V. 3 1 Sen4  Cos4    Cos4 4 4 5 3 Sen6   Cos6    Cos4 8 8Ejemplos: 4  2Sen 3x = 1 – Cos 6x    2Cos2 = 1 + Cos 18 9 2  1 – Cos60° = 2Sen 30°  1 + Cos74° = 2Cos37°  Cot15° + Tg15° = 2Csc30°  Cot3x – Tg3x = 2Cot6x 3 1  Sen 15° + Cos 15° =  Cos60° 4 4 4 4 6  6  5 3   Sen + Cos =  Cos 8 8 8 8 24. Triángulo del Ángulo Doble: 2 Tan  Sen 2   1  Tan 2  1  Tan 2  2 Tan  2 Cos 2   1  Tan  2 1  Tan 2  1  Tan 2 Ejemplos: 2Tg9  Sen18° = 1  Tg2 9 1  Tg2 4 x  Cos8x = 1  Tg2 4 x PROBLEMAS PARA LA ClASe 1) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: cot 8 15 = 4, calcular "sen2". d) 17 e) 17 4 4 8 a) 15 b) 17 c) 15Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez67
  • 67. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi2) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: tan 5 ; = 2/5, calcular "sen2". 8) Siendo: sen = 6  IIC; calcular 21 20 10 "tan2" a) 29 b) 29 c) 29 17 19 a) - 2 5 b) - 5 c) 5 d) 29 e) 29 5 5 - d) 2 e) 23) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: sen 9) Demostrar que: = 1 6 , calcular "cos2". (sen2.sec)2 + (sen2.csc)2 = 4 2 1 5 a) 3 b) 3 c) 6  Demostrar que: (sen2.sec + sen2.csc)cot = 3cos 2 3 d) 3 e) 6  Demostrar que: 1 + cos2 = 2cos24) Siendo "" un ángulo agudo, tal que: tan 12) Simplificar: = 1 6 , calcular "cos2". C = (sen2 + 2sen) (1 - cos) 2 5 5 a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3 d) cos3 e) 2sen 2 a) 3 b) 6 c) 7 3 1  13) Simplificar: d) 4 e) 3 L = (2cos - sen2) (1 + sen) a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3 1 d) cos3 e) cos25) Siendo: cos = 3 ;  IVC, calcular  "tan2".  Señale el equivalente de:  a) 2 b) 2 2 c) - 2 C = sen.cos.cos2.cos4 1 d) - 2 2 e) - 4 2 a) sen4 b) 4sen4 c) 4 sen4 16) Del gráfico, calcular "cos", si: CP = 3 y DQ = 5 d) 8sen8 e) 8 sen8 A  Señale el equivalente de:  D L = sen.cos.cos2 1 C a) sen4 b) 2sen4 c) 2 sen 1   d) 4sen4 e) 4 sen4 o Q P B  2 3 5  Reducir: C = cos4 - sen4 a) 3 b) 5 c) 6 a) cos22 b) cos4 c) cos2 5 1 1 d) 12 e) 6 d) 2 cos2 e) 2cos2 7) Del gráfico, calcular "cos".  Reducir: L = sen.cos5 - sen5.cos Q 1 a) sen4 b) 2 sen4 c) 2sen4 b 1 a d) 4 sen4 e) 4sen4 2  1 - cos2x P R senx cos x  ; calcular : C  a b 2a 18) Siendo: 2 3 1  cos 2x a) b b) a c) b 2 1 9 a b a) 3 b) 9 c) 4 d) 2b e) 2a 4 d) 9 e) 968 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 68. R.T. de Ángulo Doble Cuarto Año 3 1 senx 1 - cos2x  sen2x d) 4 e) 3  cos x; calcular : L 19) Siendo 4 1  cos 2x  sen2x 1 2 ; a) 2 b) 4 c) 4 21) Siendo: senx - cosx = 3 calcular "sen2x". 1 2 1 1 d) 16 e) 16 a) 3 b) 3 c) 6 5 3 3 ; d) 6 e) 420) Siendo: senx + cosx = 2 calcular "sen2x". 1 1 2 a) 2 b) 4 c) 3 Tarea domiciliaria1) Reducir: L = 8cos4 - 8cos2 + 1 tan = 2/5; calcular: sen2 a) cos4 b) 4cos22 c) 2cos4  d) cos 24 e) 2cos24 14) Siendo "" un ángulo agudo tal que: sen = 1/3; calcular: sen22) Siendo: 15) Siendo "" un ángulo agudo tal que: tanx.tan2x + tany.tan2y + tanz.tan2z = 6 cot = 7 ; calcular: cos2 Calcular:  C = cotx.tan2x + coty.tan2y + cotz.tan2z 18. Siendo "" un ángulo agudo, tal que: a) 3 b) 6 c) 9 tan = 2 ; calcular: tan4 d) 12 e) 15 16) Simplificar:3) Siendo: cos2x + cos22x + cos32x = 1 A = (sen2 - 2sen) (1 + cos) Calcular: L = tanx + tan2x + tan3x 17) Simplificar: B = (sen2 + 2cos) (1 - sen) a) 1 b) 2 c) 3 1 - cos2   sen2 d) 4 e) 5 C 18) Simplificar: 1  cos2   sen2 Demostrar que: sen2 sec = 2sen (1 - cos4   2sen2) sec  D Demostrar que: sen2 csc = 2cos (sen   cos )2 19) Simplificar:6) Demostrar que: 20) Simplificar: (sen40º + cos40º)2 = 1 + sen80º E = [(sen + cos)2 - 1 + cos2]2 - 1 Demostrar que:  21) Simplificar: F = cos20º cos40º cos80º (sen - cos)2= 1 - sen2  68) Demostrar que: tan + cot = 2csc2 5  Siendo: sen + cos = ; calcular: Demostrar que: 1 - cos2 = 2sen2 sen2  110) Demostrar que: cos410º - sen410º = cos20º  Siendo: sen - cos = 2 ; calcular: cos 4  Demostrar que: (1 - tan2) tan2 = 2tan 24) Señale el valor máximo de: C = sen cos5 - sen5 cos12) Demostrar que: (1 - tan2)(1 - tan22)(1 - tan24) tan8 = 8tan 25) Si: 2sen2x + 3senx cosx + 4cos2x = a + bsen2x + c cos2x13) Siendo "" un ángulo agudo tal que: Señale el valor de: L = a + 4b - 2cProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez69
  • 69. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi J = 3sen2 + 4sen cos + 5 cos226) Se puede verificar que el máximo valor de: 2 2 asenx + bcosx es a  b según esto, determine el valor máximo de:70 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 70. Identidades Trigonométricas Cuarto Año Tema 11: razones trigonométricas de ángulo mitadCapacidades: Reconocer las identidades del arco mitad. Aplicar correctamente las identidades del arco mitad.1. Fórmulas básicas x 1  cos x sen   2 2 x 1  cos x cos   2 2 x 1  cos x tg   2 1  cos x x 1  cos x ctg   2 1  cos x x Nota: El signo + ó – dependerá del cuadrante a que pertenece 2 .2. Propiedades: Tangente de x Cotangente de x 2 2 x x Tan  Cscx  Cotx Cot  Cscx  Cotx 2 2 PROBLEMAS PARA LA CLASE1. Si: cosx = 3/8; x  Q1 , Calcular sen x/2 8. Si: cosA = 60/61; A  Q4 , calcular ctg A/22. Si: tgx = 3 7 ; x  Q1 , Calcular cos x/2 9. Calcular: sen 296º30`   10. Calcular el valor de: P = ctg  tg3. Calcular tg22º30` 8 8 4. Calcular ctg18º30´ 11. Calcular: ctg 245. Si: secx = 6; x  Q4 ; Calcular cos x/2 12. ¿A qué es igual: Ctg8º? a) 3 b) 5 c) 7 1  cos x d) 9 e) 116. Reducir: R = senx 13. Reducir: E = Sec40º-Tg40º7. Si: tg x = 2 ; x  Q3 , calcular el valor de: a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25º x d) -Ctg25º e) 1 K  2tg  1 2Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez71
  • 71. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi       Cos    3 2 1 2 114. Si: 2 4 c) 2 d) 2 Calcule: 4 2 E  7 .Sen   Cos  2 2 e) 2 a) 0 b) 1 c) d) 2 e) 2 18. Reducir:15. Indique la expresión simplificada de: 1  1  Cos 24 º H 2 M  1  Cos 2 ;   K ; K  Z 2 1  Cos 4  2 a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3º 1 Cos 2  4 Cos  2 d) Cos3º e) Sen12º a) b) 2 1 Sen 2  1 Csc 2  c) 2 d) 4 Cos    4 y 180º    270º e) 4 Sen 2 19. Si : 5 , hallar Tan  Cos    5     3 : 216. Si : 13 ; 2 4 a) 3 b) 5 c) - 3 Cos  2 5 Halle: d) 4 e) 1 2  3  2 a) 13 b) 13 c) 13 Tan x  n 3  5 20. Si : 2 , donde x    ,entonces cuál d) 13 e) 26 de las siguientes alternativas es la correcta. 2 2 Senx  1  n ; Cosx  2n Senx  1  x ; Cosx  2x Cos  a) 1  n2 1  n2 b) 1  x2 1  x217. Señale el valor de 8 2 2x ; Cosx  1  x 2 Senx  2n ; Cosx  1  n Senx  c) 1n 2 1  n2 d) 1  x2 1  x2 2 2 2 2 2 a) 2 b) 2 Senx  1  n ; Cosx  2 n e) 1  n2 1  n2 tarea domiciliaria Cos  Cosx  2  90 º  x  180 º 2 3 Calcule el valor de:1. Si: x 2 2 2 Calcule el valor de: Sen 2 6 6 6 a) 2 b) 3 c) 4 2 2 a) 6 b) - 6 c) 12   6 2 6 d) 3 e) 4  d) 12 e) 3 Cos   1 4. Si: 2 3 , calcule: Cos Sen    7  180 º    270 º a) 1/3 b) 2/3 c) 3/42. Si: 25 d) -1/3 e) -2/3 Sen  Calcule el valor de: 2 2 3 2 5 2 Cosx   1  90 º  x  180 º 5. Si: 3 a) 10 b) 10 c) 10 x 7 2 5 2 Calcular el valor de: Tg 2  d) 10 e) 10 a) 3 2 b) 2 c) -3 2 d) - 2 e) 5 2 Cos    3  90 º    180 º3. Si: 472 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 72. Identidades Trigonométricas Cuarto Año 15. Simplificar: Tg  20  180 º    270 º6. Si: 21   K  tg  2 sen 2 · ctg  Tg  2 2 Calcule: 2 16. Reducir: a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4    d) -3/4 e) 1 P  sen  tg · ctg – 1   2 7. Si: cosx= -5/13; x  Q3 , Calcular sen x/2 17. Sabiendo que:8. Si: a b c cos   ; cos   ; cos   5  b–c a–c a–b sen  ;   ; Calcular: 13 2    Calcular: P  tg 2  tg 2  tg 2 2 2 2   E  5 sen  cos 2 2 18. Reducir: E = tg10º + ctg20º + tg70º9. Si: 3  cos   ;   3 ;2 19. Si: cscx – ctgx = 2 5 2 Calcular: Calcular: x x  P  tg – ctg sec 2 2 2 20. Simplificar:10. Calcular el valor de: x a) sen 22º30 ctg– csc x b) cos 22º30 K 2 x tg  ctgx 211. Calcular el valor de: P = sen18º30 cos26º30 21. Calcular el valor de: E = tg7º30 – ctg7º3012. Simplificar:   22. Simplificar: R  tg  45º –  – sec   2   K  ctg – 2 cos 2 · ctg  2 213. Simplificar:  x 23. A qué es igual: ctg  45º –  – tgx E  2 E  Csc x  Ctg x  x 4 4 sec x – tg  45º –   2 Tg x Ctg x Tg x a) 2 b) 2 c) 814. Reducir: Ctg x  Ctg x M  csc 20º  csc 40º  csc 80º tg10º d) 8 e) 8Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 73
  • 73. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema 12: razones trigonométricas de ángulo tripleCapacidades: Reconocer las identidades de arco triple. Aplicar correctamente las identidades del arco triple.1. Formulas Básicas: Sen3 x  3Senx  4Sen3 Cos3 x  4Cos3 x  3Cosx 3Tgx  Tg3 x Tg3 x  1  3Tg2 x2. Formulas Especiales: Sen3 x  Senx(2Cos2x  1) Cos3 x  Cosx (2Cos2x  1)  2Cos2x  1  Tg3 x  Tgx   2Cos2x  1 3. Formulas de Degradación: 4Sen3 x  3Senx  Sen3x 4Cos3 x  3Cosx  Cosx4. Propiedades: 4SenxSen 60  x )Sen(60  x )  Sen3x ( 4CosxCos(60  x )Cos(60  x )  Cos3x TgxTg 60  x )Tg(60  x )  Tg3x (5. Observación: 72º 4 4 5–1 10 – 2 5 18º 36º 10+ 2 5 5+ 1 5 1 5 1 Sen18  Cos36  4 4 Ejercicios para la clase1. Calcule cos111º 1 sen x  22. Calcule: Hallar: sen3x sen 3 x  sen x M cos 2 x 4. Si:3. Si: 1 tg x  274 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 74. R.T. de Ángulo Triple Cuarto Año Hallar: tg3x 14. Si se cumple que:5. Del grafico, calcular la longitud de AB cos  60º    1 4 B Dar el valor de cos3q. 15. Calcular: tg3x 6 3 2 Si: 2tg x = 3tg x + 6tgx – 1 M 16. Calcular: H = 2 sen70º sen10º + sen10º 2 2  17. Si:A C 2 sen x – cos x 6. Reducir: 3 4sen 3 x  sen3 x Calcule el valor de: sen6x E senx 18. Si:7. Calcular: cos 3  2  M  4sen10º · sen50º · sen70º cos  3 Calcule: cos2q8. Calcular: M  tg20º · tg40º · tg80º 19. Calcular: 19. Reducir: E 2 ctg18º  tg18º 1  ctg18º –1  sen3 x cos 3 x 20. Si: M – 1 sen x cos x tg  60º  x   210. Simplificar: Calcule el valor de: tg3x 2 3 – tg x tg3 x 21. Reducir: M – 1 – 3 tg 2 x tgx K  3Sen3 20  Cos3 20  1 411. Simplifique la expresión: 22. Simplificar: cos 3  – cos 3  Sena(2Cosa  1) K M sen 3   sen3  a Cos3  2 23. Simplificar:12. De la expresión: Cos3  Cos3 Sen3  Sen3  3 P Cos Sen 4 cos18º –  cos18º ctg18º 24. Si: Tg3 = x + 1; Tg = 2 Calcule el valor de P. Calcular: el valor de x.13. Reduzca la expresión:   M  4 cos 2 11º –1 sen11ºProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez 75
  • 75. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi tarea domiciliaria1. Si: A) ctg3 · tg B) tg3 · ctg sen3  4  C) ctg3 D) ctg3 · tg2 sen  3 Calcule: cos2q E) tg3 ctg22. Simplificar: 8. Simplificar: sen9 x Sen  Sen3 K – 2 cos 3 x tg3 x Sen2  Cos2 2 cos x  9. Calcular el valor de:3. Si: 3 Tg50  Tg40 K Calcular: cos3x Tg10 2 2 –13 –5 A) 27 B) 9 10. Reducir: P = (4Cos211° – 1)Sen11°Cos33° 2 2 –21 –19 C) 27 D) 27 11. Reducir: 2 Sen3x  SenxSen2 2x –4 K Senx  Sen2xCosx E) 9 12. Reducir: 1 M = Cos10° – 2Sen10°Cos70° tg  4. Si: 3 Calcular tg3q   13. Siendo: Tg x  2 13 10  12  A) 4 B) 3 Calcular: Cot3x 11 11 C) 4 D) 9 14. Simplificar: 13 Cos66 E) 9 P Cos4Cos56Cos645. Simplifique: 15. Simplificar: 3senx – sen3 x Sen80Sen40Csc 2 30 E M 2senx · sen2 x Sen20 A) senx B) cosx C) tgx 16. Simplificar: D) ctgx E) secx R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x a) 27Senx b) 40Senx6. Simplificando: c) 30Senx d) 21Senx e) N.A. cos 3 x E  4 cos 2 x – cos x 17. Calcular el valor de: Se obtiene: M = Cos5°Cos55°Sen25° A) –3 B) 3 C) –1 6 6 2 a) b) 4 16 D) –2 E) 1 2 6 2 c) d) 4 47. Si: A = 3 – 4sen2q 6 2 e) B = 4 cos2q – 3 4 A Calcular: B76 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  • 76. R.T. de Ángulo Triple Cuarto Año18. Reducir: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1 21. Si: Sen3x = nSenx a) 5 b) 2 Hallar: Cos2x n 1 c) 3 d) 7 a) n – 1 b) 3 e) 11 n 1 1 c) d) (n  1) 2 2 219. Si: Senx  , e) n + 1 3 Calcular: Sen3x 22. Calcular: B = Cos20° + Cos40°Cos80° 22 27 a) b) a) 1 b) 1 3 20 2 8 22 23 c) d) c) 1 d) 1 27 5 7 3 e) N.A. 1 e) 420. Si: Cosx + Cosy + Cosz = 10° Calcular: 23. Simplificar: Cos3x  Cos3y  Cosz  0 P Y = Sen3Csc – Cos3Sec CosxCosyCo sz a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 a) 6 b) 12 e) 4 c) -12 d) -6 e) 9Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 77
  • 77. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 13: ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALESCapacidades: Aplicar reglas prácticas en la solución de problemas.ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea demira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos resultados se clasificanen: ángulos de elevación y ángulos de depresión.(ver gráficos). al Línea Horizonta l isu aV e  Lín  Lín ea H Vis Línea Horizonta l u al h  : Ángulo de Elevación  : Ángulo de DepresiónCons iderac ió n: En el gráfico adjunto, "" esel á ngulo bajo el cual se divisa la torre. Noteque deben trazarse las dos visua les; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte ba ja.Luego "" es el ángulo formado por la s dosvisuales. PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El Ángulo de elevación con el cual se ambas partes es 28m. ¿cual es la altura observa la parte superior de un edificio es del poste? 15º, acercándose 15 m. el nuevo ángulo de elevación es el doble del inicial. Calcular 5. Un farolero situado a 12m. sobre el nivel del la altura del edificio mar observa un barco que se aleja con un ángulo de depresión “x”; 0.4s. más tarde se 2. A 9.6m. de un poste, una persona de 1.8m observa al barco en la misma dirección, de estatura divisa lo más alto del poste ahora con un ángulo de depresión “y”. con un ángulo de elevación de 37º. calcular la velocidad del braco en Km/h, Calcular la altura del poste siendo: ctgx = 2 y ctgy = 3 3. Desde lo alto de un edificio de 60m. de 6. Una persona observa la parte más alta de altura se observa una señal en el suelo con un edificio con un ángulo de elevación de un ángulo de depresión de 53º. ¿a que 45º, y el techo del sexto piso con un distancia del edificio se halla la señal ángulo de elevación de 37º. Calcular el observada? número de pisos que tiene el edificio. 4. Dos personas están colocadas en ambos 7. Desde un avión que esta por aterrizar se lados de un poste. Una de ellas observa la observa en su misma trayectoria la pista parte más alta del poste con un ángulo de de aterrizaje, al extremo más cercano con elevación de 45º y la otra con un ángulo un ángulo de depresión de 60º, al extremo de elevación de 37º. Si la distancia entre más alejado con un ángulo de depresión de 30º. calcular la longitud de la pista de78 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 78. Ángulo de Elevación y Depresión Cuarto Año aterrizaje, si el avión se encuentra a 600 3 m. de altura. 12. Una persona observa la parte superior de una torre con un ángulo de elevación de 50º, después de caminar 1km. En 8. Una persona observa la parte más alta de dirección hacia la torre la elevación un edificio con un ángulo de elevación de angular es ahora de 70º ¿a que distancia 45º, acercándose 48m. el nuevo ángulo de en km. Se encuentra de la torre? elevación es de 53º. Calcular la altura del 13. Desde la parte superior de un edifico se edificio. observa a una persona que se acerca hacia ésta con un ángulo de depresión “x” y 9. Un niño de 1.3m. de estatura esta situado cuando la persona ha recorrido una a 5.4m. de la base de un poste y observa distancia igual a la altura del edificio es la parte más alta de un poste con un observada con un ángulo de depresión ángulo de elevación de 53º. Calcular la que es el complemento de x. calcular la altura del poste. tgx. 10. Una persona situada en la parte superior 14. Una persona observa la parte superior de de una torre de 15 3 m. de altura un edificio con un ángulo de elevación de observa 2 personas con ángulos de 37º. se dirige hacia el edificio y cuando ha depresión de 30º y 60º respectivamente. caminado 8m el nuevo ángulo de elevación Calcular las distancias que separan a las es de 45º ¿Cuántos metros más debe personas. caminar para que el ángulo de elevación sea de 53º? 11. Dos personas están colocadas a ambos lados de un poste, de tal forma que una 15. Una persona observa la parte más alta de de ellas observa la parte mas alta con un un edificio con un ángulo de elevación de ángulo de elevación de 45º y la otra 53º y el techo del noveno piso con un observa el punto medio del poste con un ángulo de elevación de 37º.- calcular el ángulo de elevación de 37º. Calcular la número de pisos que tiene el edificio. distancia del poste si las personas están separadas una distancia de 25m. Tarea domiciliaria01. Desde un punto de tierra se observa lo alto a) 10 b) 20 c) 30 de un edificio con ángulo de elevación 37º, d) 40 e) 50 si la visual mide 30 m, determinar la altura de edificio. 05. Desde dos puntos separados 42 m se a) 3 m b) 12 c) 15 observa la parte alta de un farol que se d) 18 e) 24 encuentra entre ellos con ángulos de elevación 37º y 45º. Determinar la altura02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo del farol. alto de un poste con un ángulo de elevación a) 9 b) 10 c) 11 de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A d) 12 e) 13 qué distancia de el se halla la persona? a) 18 b) 20 c) 22 06. Desde un muro de 6 m de altura se observa d) 24 e) 32 la parte alta y baja un poste con ángulos de elevación y depresión 60º y 30º03. Desde un punto ubicado a 24 m de una respectivamente. Determine la altura del torre, se divisa su parte más alta con un poste. ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la a) 15 m b) 24 c) 30 altura de la torre? d) 36 e) 48 a) 24 b) 36 c) 32 d) 42 e) 48 07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "  " un poste con un ángulo de elevación de (Tg  =1/4). ¿A qué distancia de la torre se 37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A halla el punto de observación, si la altura de qué distancia del poste se encuentra el la torre es 7 m? punto de observación? a) 14 b) 28 c) 56 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 79
  • 79. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi d) 21 e) N.A. punto y el poste, el ángulo de elevación es "  ". Calcular: "Tg  ".08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de a) 2 b) 4 c) 6 un poste con un ángulo de elevación de d) 8 e) 16 37º. Si nos acercamos una distancia igual a 15. Desde un punto ubicado a 30 m de una la altura del poste, el ángulo de elevación torre se divisa su parte más alta con un es "  ". Calcular: "Tg  ". ángulo de elevación "  " (Tg  =1/3). Si a) 1 b) 2 c) 3 nos alejamos una distancia igual a la altura d) 4 e) 6 de la torre, el ángulo de elevación es "  ". Calcular: "Ctg  ".09. Desde un punto ubicado a 15 m de un a) 1 b) 2 c) 3 poste se ve su parte más alta con un ángulo d) 4 e) 6 de elevación de 53º. Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de elevación 16. Desde las partes superiores del primero, para su parte más alta es "  ". Calcular: segundo y tercer piso de un edificio se "Ctg  ". observa lo alto de otro edificio con ángulos a) 1 b) 2 c) 3 de elevación  ,  ,  , respectiva-mente. d) 4 e) 6 Si: Tg  -Tg  = 0,1 y Tg  =2,7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio?10. Una hormiga observa la copa de un árbol a) 10 b) 15 c) 20 con un ángulo de elevación de 37º, luego d) 30 e) 40 se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular 17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se la altura del árbol. ve un punto en tierra con un ángulo de a) 10 b) 12 c) 14 depresión de 45º. Cuánto mide cada piso d) 16 e) 20 del edificio, si el punto observado se halla a 24 m del mismo?11. Desde dos puntos separados 52 m se a) 2 b) 2,5 c) 3 observa lo alto de un poste con ángulos de d) 3,5 e) 4  2  Tg   elevación 53º y  5 . Si el poste se 18. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de encuentra entre los dos puntos. Determine un poste con un ángulo de elevación "  " su altura. (Tan   1 ) a) 12 m b) 16 c) 18 6 ;y si nos acercamos 30 m el d) 9 e) 11 ángulo de elevación es de 45º. ¿Cuál es la altura del poste?12. Se observa un poste con ángulo de a) 5 m b) 6 m c) 4 m elevación "  " nos acercamos "L" y el d) 8 m e) 12 m ángulo de elevación es 45º. Si la altura de poste es "2 L". Determinar: Tg  . 19. Desde el puesto del vigía de un barco que a) 1/3 b) 2/3 c) 1 tiene 48 m de altura se observa que el d) 1/2 e) 3/2 ángulo de depresión de un bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el barco.13. Desde un edificio de 12 m de altura se a) 48 b) 48 3 c) 12 observa un automóvil con ángulo con  1 d) 24 e) 6 3  Tg   ángulo de depresión "  " 3 .Luego se 20. Desde el pie de un poste se observa la observa una señal más cerca del edificio parte más alta de una torre con un ángulo con ángulo de depresión 45º. Determine la de elevación de 45º, el mismo punto es distancia entre la señal y el automóvil. observado desde la parte más alta del poste a) 12 m b) 18 c) 24 con un ángulo de elevación de 37º. Calcular d) 36 e) 10 la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m.14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de a) 10 b) 15 c) 20 un poste con un ángulo de elevación de d) 30 e) 40 45º, y desde otro punto ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el primer80 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 80. Ángulo de Elevación y Depresión Cuarto Año misceláneaCapacidades: Resolver problemas de trigonometría, aplicando sus propiedades.01) La medida de un ángulo es el sistema si la secante de su mayor ángulo agudo sexagesimal es (20 + x)° y en el es 2,6. sistema centesimal es (20 – x)g. 09) En la figura, MNPQ es cuadrado. B es Calculare la medida de dicho ángulo en punto medio y AB = MN. Calcular: Sen radianes. N P02) Sabiendo que “S”, “C” y “R” son al  medidas de los 3 sistemas para un 2R A B ángulo, se cumple: CS  5.  Calcular la medida del ángulo en Q M radianes. 10) Se tiene un triangulo ABC, tal que AB =03) Dos ángulos  y  son coterminales y 6,5 y AC = 12. Calcular el área de dicho además complementarios. Hallar la 5 medida del ángulo , triangulo si TgA  12 Si: 200° <  < 300° 11) ¿A qué cuadrante pertenece ?04) El número de grados sexagesimales que 39 mide un ángulo más el número de  20     2 grados centesimales que mide otro ángulo e 196. calcular la medida del 12) ¿A que cuadrante pertenece ? menor ángulo en radianes, sabiendo 403 que son complementarios. 201     205) El perímetro de un triangulo es 330m. Si la tangente de uno de los ángulos 13) Si  es un ángulo en posición normal, tal agudos vale 2,4. ¿Cuánto mide el cateto que en un punto de su lado final es menor? (-5 ; -12). Hallar la Csc06) Si: Sec = Csc2. 2 14) Si: Tg   ;   IVC.   3 Hallar: R  Tg     Sec(330  3  6) 2  Calcular: Sen – Cos07) De la figura, expresar h en términos de 12 ,  y x 15) Si Cos  , además:   IIIC. 13 Hallar: N = Csc + Cot x x 3x 16) Sabiendo que: F( x )  Sen  Cot  Secx h 2 4  Calcular: F() + F(2) 17) Si  y  son ángulo positivos menores08) El perímetro de un triangulo rectángulo de una vuelta, tal que;   IVC y   ABC (B = 90°) es 180. Calcular su área IIC.Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez81
  • 81. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi 2  3 ¿A que cuadrante pertenece: ? 5 29) Hallar el valor de: P = A + B, si además: A = Sen210° + Sen250° + Sen280°18) Calcular el valor de “ + ”, sabiendo B = Cos220° + Cos240° + Cos280° que se cumple: Sen – Cos = 0 …….. (1)   Cot Cos  2Cos2 Tg  SenCsc4 = 1 …….. (2) 30) Simplificar: M  2 2  Además,  y  son ángulos agudos. SecCot 219) Si Tgx  Cotx  8 . 31) Hallar el mínimo valor de la expresión: Calcular: Tg2x + Cot2x R = Sen2x + 9Cos2x + 6SenxCosx20) Si: Sen2 + Sen = 1 32) Se tiene tres triángulos, tales que si los Calcular: M  Sec   Cot  4 2 sumamos de dos en dos, se obtiene respectivamente: 50°, 80g y /6rad. Hallar21) Del grafico mostrado calcular: “aTg” el menor de los ángulos en grados y sexagesimales. (-2 ; -a) 33) Si X e Y son dos nuevos sistemas de a  ángulos, tales que 120 grados X  ; 3 equivale a un ángulo llano y 50 grados Y 2  equivale a un ángulo recto. ¿Cuántos x graos x equivalen 80 grados Y? 34) Los números S y C que expresan las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal están22) En un triangulo ABC, se cumple: expresados como sigue: TgC = 2TgB = 3TgA S = n2 + 7 Calcular: Cos2A C = 3n2 + 2 Donde “n” es un número cualquiera.23) Calcular: Sen2, si: Sen  Vers  3 Luego el ángulo en radianes mide:24) Calcular el valor de: 35) Dado el sistema de ecuaciones: M = Cos40°Cos20° + Cos120°.Sen70° Sen(x – 18°)Sec(y + 18°) = 1 Cos(x – 18°)Sec(y + 18°) = 1 Hallar x/y25) Hallar el valor de “k”, a partir de: KSen40° = Sec40° + Sec100° 36) El perímetro de un triángulo rectángulo es 338m. Si la tangente de uno de los26) Reducir: ángulos agudos es: 2,4; ¿Cuánto mide 897 577 el cateto menor? Q Csc 14 7 37) Una semicircunferencia de radio ( 3  1)27) Si:  = 72° y  = 63°. Calcular: cm. Se divide en 30 arcos iguales. Hallar Sen(7  9)  Sen(9  5) la medida de la proyección sobre el R Cos(5  7)  Cos(17  3) diámetro del arco comprendido entre la quinta y la décima división.28) Sabiendo que se cumple la identidad: Sen3x 38) En la figura adjunta, hallar (x + y),  mCos  n si: Sen2x  Senx Indicar un valor de: m – n82 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 82. Misceláneas Cuarto Año 27 46) Calcular el valor de la expresión: AB  3 y AC  16 K = Sen16° + Cos16° C A 47) Calcular el valor de la expresión: K = Sen75° + Cos75° y 1 1 48) Si: Tg( x  y )  y Tg( x  y )  2 3 Hallar el valor de “x”: x B 49) Calcular:39) Si (-3 ; -4) es un punto del lado terminal K = (1 + Tgx)(1 + Tgy), de “” y (5 ; 12) es un punto del lado Si: x + y = 15° terminal de , Calcular: Sec  Sec 50) Simplificar: K Ves(  )  Vers(  ) Csc   Csc  K Cov(  )  Cov(  )40) En un circunferencia trigonométrica se  51) Simplificar: tiene que:  x1  x 2   2 Sen 2 x Luego, señale las proposiciones E Cos 2 y  2Cos( x  y)CosxCosy  Cos 2 ( x  y ) verdaderas: I) Senx1 > Senx2 II) |Cosx2| > |Cosx1| 52) Si: III) Cosx2 < Cosx1 x y aCotx  bCoty  (a  b)Cot   2 41) Si “” es un arco del IIC, positivo y Entonces la expresión equivalente a: menor que una vuelta. Hallar la K = aSeny – bSenx es: extensión de Cos( + ), si:   53) Calcular el valor de la expresión:      6 4 Sen   Tg(  )Csc     M  2  2  3   3  Cos   Cot(   )Sec   42) Si: Sen  Cos  7 , calcular el valor de  2   2  7 la expresión: 54) Hallar el valor de “x” en la figura Tg  Cot K adjunta: Sec2  Csc 2 643) La expresión:  Tg  Cot  Sen  Cos  4 E  Tg  Cot  Sen  Cos       2 En términos de “Tg” es:  x Sen4  Cos4 55) Calcular el valor de la expresión:44) Si:  m , hallar K en Sen6  Cos6 E = 5Sen2x + 7Cos2x termino de “m”: K = Sec2 + Csc2 5 Si Tgx  745) Sabiendo que: Secx  Cscx  2 6, 56) Simplificar la expresión:  1  Senx  Cosx calcular (Tgx + Cotx); 0  x  K 2 1  Senx  CosxProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez83
  • 83. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi  Sen2x  Cosx  x x57) Simplificar: K     Calcular: Sen   Cos   1  Cos2x  1  Cosx  2 258) Si sen2x = 4/5, calcular el valor de la 69) Si se cumple: Sen(60  x )  1 expresión: 3 Sen3 xCos3  (Senx  Cosx )6 Calcular el valor de Sen3x P 4 4 8 Sen xCos  (Senx  Cosx ) 70) Si: Tg3 = x + 1 ; Tg = 2 Calcular el valor de x Sen3x Cos3x59) Simplificar: K   Senx Cosx 71) Calcular: 8Cos340° – 6Cos40° + 1 Cos3 20  Cos3 40 72) Hallar el rango de la siguiente función:60) Calcular: M  Cos20  Cos40 f(x) = Cos2x – 2Cosx61) Simplificar: 73) Hallar el máximo valor de: 1  Cos  Cos 2 1  Sen 2  Cos 2 f(x) = Senx(Senx – 6) + 4Q  Sen  Sen 2 1  Sen 2  Cos 2 74) De la figura adjunta, calcular la longitud62) Si: Tgx = 1/3, el valor de la expresión: de AB , si: CM  6 , BM  2 C Vers2x  Cov 4x K Ver4x  Cov2x M x x63) Si la expresión: aTg2  bTg  c  0 2 2 2 Es idéntica a: mCosx + Senx + p = 0,  Hallar (m + n + p) A B 3 75) Hallar el rango de f: f( x )  1 2  Cosx64) Si: 2Cos  a  , entonces “2Cos3x” es a igual a: 76) Hallar el dominio de la función f: Cosx f( x )  Tgx 65) Simplificar: Senx Cos3x  3Cosx Cos3x  Cos 3 x K  77) Del problema anterior, hallar su rango. 3Senx  Sen3x Sen 3 x  Sen3x 78) Hallar el periodo de la siguiente función:66) De la figura adjunta, calcular Tgx. f(x) = 2Sen3x + 1 Si AB  6 ; CD  2 A 79) Hallar el periodo de la siguiente función: x D g( x )  1  Tg  3 3x 80) Hallar el periodo de la siguiente función: x h(x) = 2Cos4x – 3 B C Cos(3x  y)  Cos(3y  x) 81) Hallar P: P 67) Reducir: A = Csc40° + Csc80° + Tg10° Sen2x  Sen2y  5 Para: x  y 68) Si: Tgx  ; x  IIIC 6 1284 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  • 84. Índice TRIGONOMETRÍA - 4 TO AÑO DE SECUNDARIA Pág.Índice ......................................................................................................................................Historia del Álgebra ...................................................................................................................... 2T e m a 1 Ángulo Trigonométrico ................................................................................... 4T e m a 2 Sistema de medidas angulares ....................................................................... 11T e m a 3 Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos ................................................ 18T e m a 4 Razones Trigonométricas de Ángulos Notables ............................................... 26T e m a 5 Razones Trigonométricas de Ángulos en Cualquier Magnitud............................ 31T e m a 6 Circunferencia Trigonométrica ........................................................................ 43T e m a 7 Identidades Trigonométricas .......................................................................... 51T e m a 8 Reducción al Primer Cuadrante ...................................................................... 45T e m a 9 Razones Trigonométricas de ángulos Compuestos ........................................... 60T e m a 1 0 Razones Trigonométricas de Ángulo Doble ..................................................... 64T e m a 1 1 Razones Trigonométricas de Ángulo Mitad .................................................... 68T e m a 1 2 Razones Trigonométricas de Ángulo Triple .................................................... 71T e m a 1 3 Ángulos Verticales ........................................................................................ 75Misceláneas ................................................................................................................................. 78