Trigonometría 4.1º (reparado)

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Trigonometría 4.1º (reparado)

  1. 1. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Síntesis histórica de la trigonometríaA diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollodesde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable,pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebrasistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.LA TRIGONOMETRÍALa palabra trigonometría significa etimológicamente medida de los triángulos, Actualmente latrigonometría es considerada una disciplina matemática que estudia los diferentes procedimientos paradeterminar distancias inaccesibles o difíciles de medir de modo directo. El campo de estudio de estadisciplina se ha ido enriqueciendo progresivamente. Así, abarca también el estudio de las funcionescirculares y su aplicación en la vida cotidiana, en las telecomunicaciones, la mecánica, la astronomía,etc. Como del modelamiento matemático, de gran utilidad en la explicación de fenómenos naturalescomo las ondas o vibraciones.ORIGENEn realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenirdel tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramientafundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleoinvalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudollegar tan lejos.UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGENLa época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir depende en realidad de la aceptaciónque a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en laslejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes denuestra era.Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones delángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año140 a.C.Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora,solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionaraadmirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.Históricamente fueron los geometrías y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C.encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometríay los aplicaron a los problemas astronómicos.Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quiense le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), puessobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla devalores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando elTeorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triánguloscualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).2 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  2. 2. Nociones Preliminares Cuarto AñoEs a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien,valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica,que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas dela trigonometría esférica.Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogadode asuntos de estado, pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayorparte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posicióneconómica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a suscontrarios científicos.Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funcionestrigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo,y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricosaplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculostrigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por lasanalogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tantaaplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 –1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspectoanalítico, hasta darle forma que conserva actualmente.Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 3
  3. 3. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 01 : ángulo trigonométricoCapacidades: Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y antihorario. Graficar el ángulo trigonométrico en cualquiera de los sentidos conocidos. Operar correctamente los ángulos trigonométricos. Diferencia el ángulo como figura geométrica generada por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo (vértice) en un mismo plano.Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en cuenta el significado deángulo geométrico y observar las características de ambos. Ángulo Geometría Plana Trigonometría Plana Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el partir de un mismo punto. movimiento de rotación de un rayo A alrededor de su origen, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final) A Definición  Lado Inicial 0 B 0  Lado Terminal B  Son estáticos  Son móviles  No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está tanto no hay ángulos negativos. definido:  Están limitados (  Los ángulos positivos tienenCaracterísticas 0º  águlo Trigonomét rico  360º ) sentido antihorario ().  Los ángulos negativos tienen sentido horario ().  Su magnitud no tiene límites.Ángulo Coterminales: Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES sitienen el mismo lado final y el mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).4 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  4. 4. Ángulo Trigonométrico Cuarto AñoEjemplos:    son coterminales    no son coterminales 410º y 50º son coterminales –240º  30º no son coterminalesPropiedad:La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado unnúmero positivo entero de vueltas.Si    son coterminales tal que  >  entonces se cumple:  –  = k (360º) ; K  Z+Ejemplos: 1) 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas) 2) 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas) 3) 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas) 4) 450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas Ejercicios Para La Clase1. Del gráfico Se cumple: A)  –  = 180º B)  =  C)  +  = 90º D)  –  = 180º E)  –  = 90º2. Si: “” es la octava parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 5
  5. 5. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi3. Del gráfico: Que relación se cumple: A)  –  = 180º B)  =  C)  +  = 180º D)  –  = 180º E)  –  = 90º4. Si: “” es la sexta parte del ángulo de una vuelta; calcular “k” del gráfico A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/5 E) N.A.5. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y   5186º6. Con respecto a los ángulos:   1370º ;   2450º y   3310º , indicar cuales son coterminales7. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y   5186º , indicar8. Sean   7 x 2  1º y   1  3x 2 º ángulos coterminales, tal que x  R  . Calcular el mínimo valor que puede tomar " "9. La suma de dos ángulos coterminales es igual a 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el mayor esta comprendido entre 500° y 800°. A) -90° B) 270° C) 720 D) -100° E) -80°10. De los siguientes ángulos, indicar cuales son coterminales:   3106º ;   854º y   5186º11. Con respecto a los ángulos:   1370º ;   2450º y   3310º , indicar cuales son coterminales12. A partir del grafico, calcular el suplemento de “x”6 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  6. 6. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año13. De la figura, calcular x14. De la figura, calcular x15. De la figura indicar que relación existe entre  , y16. De la figura, calcular x , de acuerdo al gráfico17. Dos ángulos coterminales son entre si como 1 es a 10. Calcular el mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido entre 190° y 230°. A) 1800° B) 1500° C) 2000° D) 1000° E) 800°18. De la figura, calcular x a b c19. A partir del grafico, calcular   m n p20. En la figura se cumple que: 3  2 x  18 , calcular E    xProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez 7
  7. 7. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tarea domiciliariaBloque I a. 100º P1. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido: a. Horario: P O b. -50º P O c. -160º O O P b. Antihorario 5. Del gráfico, señalar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. O C P2. En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo , dibuje un ángulo en sentido: x B a. Horario:  P O  O A b. Antihorario: a)  +  b)  -  c)  -  P O  d) - - e)F. D.3. En cada caso, tomando como inicio de giro 6. Del gráfico, hallar "x" en función de los al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use otros ángulos trigonométricos. transportador). A B a. 140º x P C   O  O D a)  + +  b)  - - c)  - -  b. -70º d) - +  e)  - - O P  7. Del gráfico, hallar "x" en función de los c. -120º otros ángulos trigonométricos mostrados. C P B  O x O A4. En cada caso, tomando como inicio de giro a) 90º -  b)  - 90º c) 180º +  al rayo, dibuje un ángulo que mida: (use d) 90º +  e) -90º -  transportador). 8 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  8. 8. Ángulo Trigonométrico Cuarto Año 8. En el gráfico, hallar "x" en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados. 10. Del gráfico, calcular "x". B B C (9 - 9x)º x  (5x + 1)º A O D O A a)  - 90º b) 90º -  c) 90º +  a) 3 b) 4 c) 5 d) -90º -  e) -180° +  d) 6 e) 7  9. Del gráfico, calcular "x". C (12 - 11x)º 5xº A O B a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10 11. Indicar si los ángulos dados son o no coterminales  50º y 410º  -80º y 640º  160º y 880º  -340º y -1420º  400º y 1480º  40º, 400º y 760º  700º y 2880º  2580º, 1140º y 420º  1950º y 3850º  -359º, 721º y 2521º  -150º y -510ºBloque II1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: 3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:   a)  +  = 180º b)  -  = 180º c)  = 180º d)  +  = -180º  e)  +  = 90º 2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: a)  +  = 90º b)  +  = -90º c)  -  = 90º d)  -  = 270º  e)  +  = 180º  4. Del gráfico, señale lo correcto: -120º a)  +  = 240º b)  +  = 120º x c) -  = 240º d)  -  = 120º y e)  -  = 240º a) x + y = 300º b) x - y = 300º c)x + y = 270º d)x - y = 270º Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 9
  9. 9. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi e) x - y = 180º  8. Si en el gráfico, OP es bisectriz de AOB , calcular "x/y".5. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: A P 3x - 2y x 2x - 3y y O B 1 a) x + y = 180º b) x + y = 360º a) 1 b) - 1 c) 2 c) x - y = 360º d) x - y = 180º 1 e) x - y = 270º d) - 2 e) - 26. Del gráfico, señale lo correcto: OQ 9. Del gráfico señale lo correcto, si: es  bisectriz del AOB. A Q B  x  y a) x - y = 180º b) x + y = 180º O C c)x - y = 300º d) x + y = 300º a) 2 -  = 90º b) 2 -  = 180º e) x - y = 450º c) 2 +  = 90º d) 2 +  = -90º e) 2 +  = 45º 7. Si en el gráfico OP es bisectriz del AOB ; x 10. Del gráfico señale lo correcto, si: OP es y  calcular: bisectriz del AOB. A B P 3x + 2y P  x-y  O B C O A 1 a) 2 -  = 360º b) 2 -  = 360º a) 4 b) - 4 c) 4 c) 2 +  = 180º d) 2 +  = 360º 1 1 e) 2 +  = 360º d) - 4 e) - 410 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  10. 10. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año Tema nº 02: Sistemas De Medidas AngularesCapacidades: Conoce y diferencia entre las principales unidades de medición angular. Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la maneraen que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:Sistema Sexagesimal(S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el gradosexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.Equivalencias: 1v 1º  (GradoSexagesimal ) 360 1º  60`( MinutoSexa gesimal ) 1` 60``(SegundoSex agesimal ) 1º  3600``(SegunoSexa gesimal )Sistema centesimal (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el gradocentesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.Equivalencias: 1v 1g  (GradoCentesimal ) 400 1g  100 m (min utoCentesi mal ) 1m  100 s ( SegundoCen tesimal ) 1g  10000 s ( segundoCentesimal )Sistema radial (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian.Equivalencias:  I cuadrante  2 II cuadrante   3 III cuadrante  2 IV cuadrante  2Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 11
  11. 11. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARESRealizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a lasiguiente conclusión: Sº Cg Rrad   a 360º 400 g 2rad Sº Cg Rrad   c 180º 200 g rad Sº C g 20 Rrad  g  k 9º 10 radTambién una equivalencia de esta última relación es: S  9k C  10k k R 20 OBSERVACIÓN RELACIÓN DE MINUTOS: . M  m . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES 27 50 m: # MINUTOS CENTESIMALES RELACIÓN DE SEGUNDOS: . a  b . a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES 81 250 b: # SEGUNDOS CENTESIMALESTambién: R R S C S  180 C  200  ;  ;  9 10 Ejemplos:1. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular:  = 12º Resolución Magnitud Equivalente Factor de Conversión rad rad = 180º 180º rad    12º  rad 180º 152. Convertir a radianes la siguiente magnitud angular:  = 15g Resolución Magnitud Equivalente Factor de Conversión rad rad = 200g 200 g rad 3   15g  rad 200 g 4012 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  12. 12. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año 1º 1 g 9º3. Hallar: E   m  g 1 1 5 Resolución Recordando: 1º = 60’ 1g = 100m 9º = 10g Reemplazando en: 60 100m 10 g E   m  g 1 1 5  .E. = 60 + 100 + 2 = .162. 4. Hallar: a + b, sabiendo que: rad  a º b 8 Resolución Equivalencia: rad = 180º π 180º 180 º 45º 44º  1º 1º rad .     22º   22º  30  22º 30 8 πrad   8 2 2 2 Factor de conversion Luego:  rad  22º30 8 Comparando: a = 22 b = 30 .a + b = 52. 5. Convertir rad a grados sexagesimales 5 Resolución S R S  /5     S = 36 180  180    . rad  36º . 56. Convertir 60g a radianes Resolución C R 60 R 3 3     R   . 60 g  rad . 200  200  10 107. Convertir 27º a grados sexagesimales Resolución S C 27 C     C = 30 9 10 9 10  .27º = 30g.8. Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus grados centesimales es 222 ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo? Resolución Si S, C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos. 6S + 2C = 222.......... (1) Sabemos: S  180K S C R     K C  200K 180 200  R  K  ?  Reemplazando en (1) 6(180K) + 2(200K) = 222Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 13
  13. 13. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi 1480K = 222 3 K  20 3  . R  K  . 209. Un ángulo positivo mide Sº ó Cg, calcular el valor simplificado de: C S 3 C S P 4  8 C S C S Resolución S C S  9K  K   9 10 C  10K Calculamos en forma particular C  S 10K  9K 19K    19 C  S 10K  9K K Reemplazando en “P” P  4 19  3 19  8    27 P  19  3 4 P  4 16 .P =2. Ejercicios Para La Clase1. Convertir:  108º a centesimales y radianes  1000g a radianes y sexagesimales  45º a centesimales y radianes  150g a sexagesimales y radianes 7rad  a sexagesimales y centesimales 5   rad a sexagesimales y centesimales 6 2. Si: 3 rad  (7x + 17)º. Hallar “x” 5 3. Si: rad = aºb’. 24 Calcular: E = b – a4. Si: 120º  A rad . Hallar P  A  B A  B  B A.B g5. Si: 9º 27’  a0 b 0 m. Calcular: a + b 100 60 m6. Reducir: P   100" 60 s 18g 10º7. Reducir: M m  200 1208. Simplificar:14 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  14. 14. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año 99º0,2rad H  26º5960"180 g9. La diferencia de las medidas de 2 ángulos complementarios es 60g. Hallar el número de radianes de cada uno de ellos10. Un alumno al querer copiar 30º se equivoca y copia 30g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?11. Hallar “” de la figura12. Si el número de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un ángulo están representados por dos números enteros y consecutivos, indicar su medida en el sistema radial. S 3C 6 R13. Las medidas sexagesimal, centesimal y radial de un ángulo verifica:    27 12 10  Calcular la medida radial de dicho ángulo C  S  60R14. Si, S, C Y R es lo convencional para un mismo ángulo, reducir: E  C  S15. Reducir la Expresión: E  C  S   C  S  2 2 C  S   C  S  2 2 16. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: rad.  X Y ´Z´´ ; calcular 32 Y  Z  5X A) 1 B) 1 C) 2 D) 3 E) N.A. 2 E  2R    10S  9C 17. Reducir la expresión: A) 1 B) 0 C) 10 D) 9 E)  rad18. Determinar la medida de un ángulo en radianes, talque verifique la siguiente condición: SC  9 C  S  S C 2 2 181      A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 3 2 4 5 6 SR CR19. Calcular la medida del ángulo expresado en radianes; si se cumple que:  2 45 50      A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 3 2 4 5 6Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 15
  15. 15. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi20. Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética de razón 12°. Calcular la medida del menor de dichos ángulos expresada en radianes. Tarea domiciliaria 360 g  270 º1. Calcular: N   216º rad 10 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1/3 72. Sumar P  rad  40 g 9 A) 166º B) 158º C) 176º D) 186º E) 196º 78 g 20º3. Hallar “P” P   300 m 120 A) 6 B) 2 C) 16 D) 36 E) 74. Convertir 8000m a sexagesimales. A) 45º B) 55º C) 68º D) 72º E) 75º 3C  2S  40R5. Simplificar: E  C  S A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50  25º50 g  rad6. Calcular E  3  64 º 40 g  rad 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 57. Hallar “x”      A) B) C) D) E)  3 9 4 108. La diferencia de la medida de 2 ángulos complementarios es 80g. Hallar la medida del mayor ángulo en radianes A) /20 B) 3/20 C) 9/20 D) 22/45 E) /3 9. Siendo rad  xºy. Hallar y x 16 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 510. Un alumno, al querer copiar 60º se equivoca y copia 60g ¿Cuál fue el error cometido en radianes?      A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 6 3 30 10 2116 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  16. 16. Sistema de Medidas Angulares Cuarto Año11. Si: x  2  x  2g ; calcular el valor de x: A) 43 B) 51 C) 36 D) 38 E) 3912. Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: S  7 x  1 ; C  8x 2 2   2 A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 3 3 3 5 513. Un ángulo es tal que los números que indican su medida en grados sexagesimales (S), grados centesimales (C) y radianes (R) respectivamente cumplen con la condición: S R C S R C    1 . Hallar la medida de dicho ángulo en radianes: 180   190   200    A) rad B) rad C) rad D) rad E) 2rad 20 2 4014. La diferencia de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales correspondientes a la medida de un ángulo, es igual al doble del número de radianes de su medida entre 81. Luego dicha medida en el sistema centesimal es: A) 27g B) 30g C) 54g D) 60g E) 90g g 3 515. Los ángulos internos de un triángulo miden: 27º; rad y   ; Hallar “x” 4 x  A) 0,25 B) 0,50 C) 1 D) 2 E) 4 x 16. Sean los ángulos complementarios de medidas:  = (10x)g y  =   rad  30  Luego uno de ellos es: A) 45º B) 63º C) 36º D) 60º E) 40º17. Calcular la medida del menor de dos ángulos suplementarios, sabiendo que su diferencia es 0,1 rad. A) 20g B) 110g C) 180g D) 220g E) 90g 18. Si: rad < > xºy’; calcular: x – y 25 A) 5 B) 7 C) –5 D) –12 E) 1919. Se ha medido un ángulo en grados centesimales y sexagesimales; la diferencia de los números que representan dichas medidas es 3,2. Indicar la medida de dicho ángulo en el sistema circular. 16 8  2 4 A) rad B) rad C) rad D) rad E) rad 5 5 125 25 2520. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10 C de la igualdad: SC = CS 10 9 C) 9 D) 10 E) 1 A) B) 9 10Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 17
  17. 17. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 03 : razones trigonométricas de ángulos agudosCapacidades: Reconocer los catetos opuestos, adyacentes e hipotenusa en un triángulo rectángulo Definir las razones trigonométricas de ángulos agudos. Aplicar las razones trigonométricas de ángulos agudos.Definición: Se denomina de esta manera al resultado de dividir dos lados de un triángulo rectángulotomados con respecto a uno de sus ángulos agudos. Dichos resultados se nombran de la siguientemanera:Se lee:Veamos como se observa esto en un triángulo, sea el triángulo ABC; recto en C.18 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  18. 18. Razones Trigonométricas Cuarto AñoOBSERVACIONES:1. El valor de una razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo.2. Conocido el valor de una razón trigonométrica se pueden encontrar los valores de las cincorestantes.3. Como en todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que los catetos, entonces:  SenA y CosA  1 ; SecA y CscA  1EJEMPLO 1 :En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, reducir: E = a . SenB + c . CtgCResolución:EJEMPLO 2 : 3 Tg = ; determine: E = 13 .Sen + 6. Ctgademás "" es un ángulo agudo 2EJEMPLO 3 :En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe que: 4 . TgA=TgB, determine "SecA".Resolución: Graficando el triángulo rectángulo.Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 19
  19. 19. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiEJEMPLO 4: " Tg . Ctg ", si : AP  3PBDel gráfico; calcular:EJEMPLO 5:En un triángulo rectángulo, un cateto es la mitad de la hipotenusa. Calcular la tangente delmayor ángulo agudo del triángulo.Razones Trigonométricas RecíprocasSiendo  un ángulo agudo se cumple: 1 csc    sen . csc   1 sen 1 sec    cos  . sec   1 cos  1 ctg    tg  .ctg   1 tg Ejemplo: 3 4 1Si: sen   csc   cos    sec   5 4 3 5 5 3 3 2 ctg    tg   csc    sen  3 5 2 320 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  20. 20. Razones Trigonométricas Cuarto AñoRazones Trigonométricas De Ángulos ComplementariosDos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al cateto a como  enconsecuencia: b a sen   cos  ; cos    sen c c b a tg    ctg  ; ctg    tg  a b c c sec    csc ; csc   sec  a bDebido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecanteTeorema del complemento RTα  co  RTcomplemento de  Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos:sen40º = cos50º sec20º = csc70ºtg80º = ctg10º ctg3º = tg87ºcos62º = sen28º csc24º = sec66ºEjercicio:si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º <  < 24º, halle ResoluciónPor lo anterior se tiene:(40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º  = 20º Ejercicios Para La Clase1. Según el gráfico, hallar: E = Tg  + 2Cos  E  3 . Csc 2   3 . Ctg a) 2 b) 3 c) 4 a) 5 b) 7 c) 9 d) 5 e) 6 d) 11 e) 132. Según los gráficos, hallar: 3. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°)Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 21
  21. 21. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Reducir: E = senA . secC + senC . secA a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 54. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), reducir: J = sen2A + sen2C + sec2A - ctg2C a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 55. Calcular: Sen  ,si"  "es agudo; además: 3 1 a) 1 b) 2 c) 2 Tg  2 2 d) 3 e) 3 3 3 3 a) 3 b) 4 c) 6 11. Del gráfico, hallar: 1 Ctg  Ctg  Ctg 6 E Ctg d) 2 e) 66. Si "  " es un ángulo agudo tal que: 1 Cos  3 Calcular: M = 8 Csc2  + Tg2  a) 15 b) 17 c) 21 d) 18 e) 16 1 13 1 5 Sen  5  Sen  5 (Considere " a) 7 b) 7 c) 57. Si:  " y "  " ángulos agudos); Calcular: 12 Csc 2   Csc 2  d) 7 e) 5 E 12. Siendo ABCD un cuadrado, hallar: 2 W = Tg  . Ctg  a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 168. En un triángulo ABC, recto en B, se cumple que: 2 . TgA = CscC Calcular: SenA. 3 1 1 a) 4 b) 2 c) 4 3 2 3 d) 2 e) 39. En un triángulo ABC, recto en A, se tiene que: SenB = 2 . SenC Calcular: E = CosB . CosC. 13. De la figura, calcular: Ctg  - Tg  a) 0,5 b) 0,4 c) 0,3 d) 0,2 e) 0,110. Del cuadrado ABCD, calcular: M = Tg  + Tg  a) 3 b) -1 c) -2 d) 1 e) 222 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  22. 22. Razones Trigonométricas Cuarto Año14. En el triángulo rectángulo ABC, recto en A; 18. De la figura, hallar (Tan   2)2 se cumple que: CosB . CosC = 3/7, Hallar: TgB + TgC. 5 8 5 a) 4 b) 3 c) 3 7 7 2 mn m d) 3 e) 2 15. Del gráfico, calcule "Tg  ". n a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 0 19. Del gráfico mostrado, calcular: " Tg  Tgw" , si: ABCD es un cuadrado. B C w 2a E 3a16. El perímetro de un triángulo rectángulo es  de 338 m. Si la tangente de uno de los A D ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 cateto menor? d) 0,4 e) 0,5 a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m 20. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe : SecA  217. Determinar la hipotenusa de un triángulo SecB 3 rectángulo, sabiendo que la suma de sus Calcular: catetos es 6 m y el producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22. E  13  CosA  3  CtgB a) 3 m b) 4 m c) 5 m a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 m e) 7 m d) 4 e) 5 TAREA DOMICILIARIA1. En un triángulo ABC, recto en B, reducir: E = TgA.SenC - CosC 5 Sec   5. Si: 32. En un triángulo rectángulo ABC (  B= 90º) Reducir: Calcular: E= 6 .Tg  + 10 .Sen  M = Cos2A + Cos2C + Csc2A - Tg2C 6. Si se sabe que: Sec  =3 y además "" es3. Si "" es agudo y Ctg  = 2/3; agudo, calcular: E = Sen  . Tg  Hallar: M = 13 . Cos  8. Tg4. De la figura mostrada, calcular: 7. Si "" es un ángulo agudo y Cos  = 3/4. M = 2 Sen  + Cos  Calcular: E = Csc2  + 4 Ctg  7 8. Siendo "  " un ángulo agudo tal que: 6 Cos  = . Calcular: 9Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 23
  23. 23. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi M = 5.Csc2  + 4.Tg2  Calcular: E = 13 .SenA + 6.TgB9. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe 18. Del gráfico, calcular: Ctg  - Ctg  . que: TgA = 2,4 ; Calcular: J = CscC + CtgC. C 210. Si: Sen  =  Tg  = 7 ; (Si "  " y 5 "  " son  s agudos) Calcular: A B 4 . Csc  7. Ctg2  D E Tg 11 M 19. Del gráfico mostrado, calcular: Tg11. En un triángulo rectángulo ABC (  B=90°) reducir:  SenA . CtgC  E   TgA  CosC 12. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se sabe que: b2. SenA. SenC = 8 ¿Cuál es el área del triángulo? 20. Si "  " es la medida de un ángulo agudo y13. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno Tg  2 de sus ángulos agudos es 0,96. se cumple que: 3 ; calcular: Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el T  13 Sen   12 Cot  perímetro de dicho triángulo. a) 112 m b) 224 m c) 96 m a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 d) 52 m e) 412 m 21. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C"14. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular: agudos es 2,6. Calcular la longitud del E  65 Sen 2 A  42 TgB mayor cateto. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 a) 20 u b) 30 u c) 40 u d) 50 u e) 60 u 22. Del gráfico mostrado, calcular: B15. En el gráfico, hallar "Sec  ".  F 4  A C 2 2a E a a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/2 3 23. En un triángulo rectángulo, los lados16. En un triángulo ABC, recto en B, se sabe: menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide "  ". SenA = 2.SenC Determine: T = Sec2A + Tg2A. Halle el valor de: W  17 Sen 2  117. En un triángulo ABC, recto en C, se a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 SecA 3 d) 4,5 e) 5,5  cumple que: SecB 224 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  24. 24. Razones Trigonométricas Cuarto Año Ejercicios de repaso1. Si: Sen(x+ y - 20º) . Csc (70º - z) = 1 Calcular: 10. Indicar verdadero (V) ó falso (F) según Tg x  y  Sec ( y  z ) corresponda: D  I. Sen15º = Cos75º ...... ( ) Ctgz Cscx II. Tg40º. Ctg50º = 1 ......... ( ) a) 1 b) 2 c) 3 III. Sec20º = Csc20º .......... ( ) d) 4 e) 5 IV. Cos(x+y) . Sec(x+y) = 1 .. ( ) V. Tg10º . Tg80º = 1 ............. ( )2. Si: a) VFVFV b) FFVFV c) VFFVF 3sec 20  csc 70 d) VFFVV e) VVVFF sec   3csc 70 11. Si: Tg = Ctg40º y Sec = Csc70º. Calcular: T = sen . tg Hallar " +" a) 40º b) 50º c) 60º3. Siendo: d) 70º e) 80º 1 1 Tg = Sen40º Csc40º - Cos10º . Sec10º 2 3 12. Hallar "x" ("" es agudo), calcular: C = 2 . Csc2 -17 Sabiendo que: Tg (8x - 9º) = Ctg3x. a) 32 b) 57 c) 52 a) 1º b) 3º c) 5º d) 53 e) 74 d) 7º e) 9º4. En el siguiente gráfico, hallar "x", si se 13. Calcule el valor de "x"; en: cumple que: Sen4 = Cos2 Sen2x. Csc40º = 1. a) 10º b) 20º c) 25º d) 28º e) 30º 14. Siendo: Sen4x - Cosx = 0 Hallar: L = 5 . Sen(2x + 1º) + 2 . Sen(2x - 6º) a) 1 b) 2 c) 3 d)4 e) 5 15. Si: Senx = Cos2x Calcular: R = Tg2x . Tgx a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 25. Sabiendo que:Tg(30º+x) + tg(7x-20º) = Ctg(60º-x) + Ctg4x 16. Sabiendo que: Sen4x . Csc(x+30º) = 1 Calcular el valor de "x" (agudo) Calcular: J = Tg3x . Tg6x a) 2º b) 4º c) 6º d) 8º e) 10º 17. Si: Tg7x = Ctg(2x+9°) Sen4x . Csc3y = 16. Hallar " + " tal que: Calcular: K = Cos5x . Ctg4y . Ctg(4x+6°) Tg(3-35°) = Ctg(90° -) ; 2-=15º 18. Sabemos que:7. Reducir: J=(3.Sen40º+4 . Cos50º)Csc40º Tg3x . Ctg (x+40º) = 2Sen30º. Hallar: K = Cos3x + 4Tg(x + 17º)8. Calcular el valor de "x" (agudo) en: 4Sen (22º+ x) .Cos(68º-x) = Tg(30º+x) . Tg(60º-x)19. Siendo "" un ángulo agudo donde se cumple:9. Si: Tg3 . Ctg(2 + 10º) = Sen50º. Sec40º Sen42º Tg32º Calcular: A = 1 + Tg3 . Tg4 . Tg5 . Tg6 n= + Cos48º Ctg58º 20. Calcular: Calcular: D = (3sec40° + csc50°)cos40° P  Sen   Tg  a) 1 b) 3 c) 4 3n 2n d) 8 e) 12Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 25
  25. 25. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi Tema nº 04 : razones trigonométricas de ángulos NotablesCapacidades: Aplicar las razones trigonométricas de ángulos notables.TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en loscuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que seencuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son : 60º 45º 2 2 1 1 45º 30º 1 3Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º. 53º 5 3 37º 4 A partir de estos se determinarán otros adicionales como: 67º 30 75º 71º 30 4+ 2 2 4 10 1 6- 2 1 22º 30 15º 18º 30 2+1 6+ 2 3 63º 30 82º 74º 5 5 2 25 1 1 7 26º 30 8º 16º 2 7 24Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53º: Las razonestrigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.RECTÁNGULOS NOTABLES: 3 sen30º  sen60º Triángulo Notable de 30º Y 60º 2 Tenemos: 3 cos30º  cos60º  2 tg30º  tg60º  ctg60º  ctg30º  sec60º  2 sec30º  2 3 Csc60º  Csc30º  326 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  26. 26. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año Triángulo Notable De 45º y 45º 2 sen45º  2 cos45º  tg45º  1 ctg45º  sec45º  Csc30º  2 Triángulo Notable De 37º y 53º sen37º  sen53º  cos37º  cos53º  tg37º  tg53º  4 ctg37º  ctg53º  3 5 5 sec37º  sec53º  4 3 5 5 Csc37º  Csc53º  3 4 De los triángulos anteriores se obtiene: Ángulo 30º 37º 45º 53º 60ºR.T. 1 3 2 4 3 sen 2 5 2 5 2 3 4 2 3 1 cos 2 5 2 5 2 3 3 4 tg 1 3 3 4 3 4 3 3 ctg 3 1 3 4 3 2 3 5 5 sec 2 2 3 4 3 5 5 2 3 csc 2 2 3 4 3 OBSERVACIÓN: LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO. Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 27
  27. 27. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiLo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura. BCDel Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: sen  AB BC Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: sen   AB Luego: BC BC  AB AB Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemospara calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.28 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  28. 28. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año Ejercicios Para La Casa1. Indicar lo incorrecto: 3 5 1 Sen30º  a) 2 b) Sec45º= 2 d) 7 e) 7 2 Sen53º  4 Tg37º  3 9. Si: Csc = Tg 60° c) 5 d) 5 e) Sec60º=2 Calcular: T = 2 . Cos+ Sen 5 42. Si: C = (Sen45º + Sec45º) Sec60º a) b) c) 1 3 3 S = 2Tg37º + Tg45º d) 2 e) 2,5 Calcular: C + S 10. Sabiendo que: Sen = Cos60º.Cos45º ("" a) 3 b) 4 c) 5 es agudo). Calcular: d) 7 e) 9 M= Cot 2   23. Siendo: T = 2sen30° + tg45° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 R = sec60° + sec245° I = 5(sen53° - sen37°) Calcular: T - R + I Sec 4 x  2Sen 2 x 11. Si: f(x) = a) 1 b) 2 c) 3 tg 3x d) 4 e) 5 Calcular: f(15°) a) 1 b) 2 c) 34. Calcular: d) 4 e) 5 Sen45.Cos30(Sec37  Tg37) T Sec45.Csc60(Csc53  Cot53) 12. Del gráfico mostrado, calcular: "Tg". a) 1 b) 1,5 c) 2,5 d) 1,75 e) 1,255. Calcular: 4Sen30º.Cos60º. Tg 45º.Sec 37º.Csc53º T= 5 5 5 a) b) c) 2 4 6 1 1 a) 1 b) c) 4 5 2 4 d) e) 5 8 d) 2 e) 46. Resolver: 5x . Cos53° - Sec60° = x . Tg45° 1 Si ABCD es un cuadrado, hallar: Tg a) 1 b) c) 2 2 1 d) e) 3 37. Resolver: 3x .Tg53º - Csc30º = 2x . Cos60º + 4 . Sec37º 1 5 7 a) b) c) 3 3 3 5 3 d) e) 2 28. Siendo: Tg= Sen 60º. Calcular "Sen" 14. Si en el gráfico: AB = BC. 2 3 2 Calcule: T an a) 3 b) 5 c) 7Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 29
  29. 29. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi B M  53º A C 2 4 2 a) b) c) 9 9 3 1 2 d) e) 3 5 18. Calcular: P = 10. Tg + 11Tg15. Calcular: 2 E  Cot 30 º. Sec 60 º. Cot 45 º 2 Tg2 30 º  Sec 2 45 º a) 2 b) 2,25 c) 2,5 d) 2,75 e) 316. Según el gráfico, hallar: Ctg 19. Del gráfico mostrado, calcular: " Cotw " . a 4a w 45 º a) 1 b) 1,5 c) 217. En el gráfico, hallar: T = Tg + Ctg d) 2,5 e) 3 E  4 Tg   6 Sen   3 Cos  20. Calcular: 4 6 3 a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5 d) 8,5 e) 9,5 tarea domiciliaria1. Determine "U + N + I", siendo: U = Sec53º + Tg53º. 4. Calcular: E= 3Tg53º - 2 Sec45º + 2Sen30º N = Tg60º . Cos30º. I = Ctg45º + Sen30º. Tg 2 60ºSec 2 45ºCsc 2 30º V2. Calcular: 5. Calcular: Tg45ºSen30º "T + R + I"; si: T = Tg45º + Ctg45º - 1 Tg4 60º Sec 4 45º R = 2Sen30º + 4Cos60º - 2 E 6. Calcular: (Sec30º Ctg60º )2 I = 5Sen37º - 4Ctg53º + 13. Calcular: E=Sen53º + 2Sen37º + Tg45º 7. Calcular "m" en: m Csc30º + 6Tg53º = m + 20 . Sen37º30 Prof.: Rodolfo CarrilloVelásquez
  30. 30. R.T. de Ángulos Notables Cuarto Año8. Hallar "x" de la ecuación: 3xTg53°+2Sec245°=12x Sen30°- 179. Sabiendo que "" es agudo, y además: 2 Tg=Sen30º. Calcule: M=4 Sec + Ctg 16. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x"10. Si: Tg - Sen45º . Tg60º = 0 ("" agudo) agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 b) 6 c) 7 Calcular: E = 10 . Sen2 + 6Csc2 d) 8 e) 911. Si: 17. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1   Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x Ctg  Tg  Sec ("  " es agudo) 4 3 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10 (Sen   Cos) Calcular el valor de: 18. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos.12. Si: Sen = Tg37º xy xy E  Tg( ).Cot ( ). Tgx.Tgy 1 Calcular: 2 3 P  7 Cos  Calcular: 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 613. Si: x x x 19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Sec    Tg    2Sen   3 4 6 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º) f(x)  a) 5 b) 6 c) 7 x 1  tg2   d) 8 e) 9 3 Calcular: f(). 20. Si:14. De la figura, calcular "Tg". f  Csc   Tan   2  Cos  (x) 3n 2n n 1 f(2) Calcular: a) 20 b) 21 c) 22 3 d) 2 e) 015. Del gráfico, calcular "Tg".Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez 31
  31. 31. Trigonometría  I.E.P. Corpus ChristiTEMA nº 05 : Razones Trigonométricas de Ángulos de Cualquier Magnitud (R.T.C.M.)Capacidades: Definir las razones trigonométricas en el Plano Cartesiano Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, conociendo un punto de su lado final. Reconocer los ángulos cuadrantales y sus razones trigonométricasÁngulo En Posición Normal: Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, sisu vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDOCUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.Ejemplos:   I 90º  a ningún cuadrante   II  no está en posición normal   IIIÁNGULO CUADRANTAL Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. Enconsecuencia no pertenece a ningún cuadrante. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” seescribirán en los extremos de los ejes.32 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez
  32. 32. Circunferencia Trigonométrica Cuarto AñoPropiedad Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: Si   I 0 <  < 90º Si   II 90º <  < 180º Si   III 180º <  < 270º Si   IV 270º <  < 360º Ejemplos: 1. Si   III ¿En qué cuadrante está 2/3? Resolución Si   III  180º <  < 270º  60º < 3 < 90º  2 120º < <3 270º  Como .2/3. está entre 120º y 180º, entonces pertenece al: .II Cuadrante.   70 º 2. Si   II ¿A qué cuadrante pertenece 2 ? Resolución Si   II  90º <  < 180º  45º < 2 < 90º   70 º 115º < 3 < 160º  Como /2 + 70º está entre 115º y 160º, entonces pertenece al: .II Cuadrante.ÁNGULO COTERMINALESDos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final yel mismo lado inicial (así sea en sentido contrario).Ejemplos:    SON COTERMINALES    NO SON COTERMINALESProf.: Rodolfo Carrillo Velásquez 33
  33. 33. Trigonometría  I.E.P. Corpus Christi 410º y 50º SON COTERMINALES –240º  30º NO SON COTERMINALES1. Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número positivo entero de vueltas. Si    son coterminales tal que  >  entonces se cumple: . –  = k(360º). K  Z+ Ejemplos: 1. 750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas) 2. 330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vueltas) 3. 7 y 3 coterminales porque 7 – 3 = 4 (2 vueltas) 4. 450º y –90º coterminales porque 450º –(–90º) = 540º (no tiene vueltas exactas)Razones Trigonométricas De Ángulos En Posición Normal: Si  es unángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue: r  x2 y2 x  Abcsi sa  Y  ordenada r  radi o  y ORDENADA r RADIO VECTORsen    csc   r RADIO VECTOR y ORDENADA70 x ABCSISA r RADIO VECTORcos     sec    r RADIO VECTOR x ABSCISA y ORDENADA x ABSCISAtg     ctg    x ABSCISA y ORDENADA OBSERVACIONES: 1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A “r” COMO VECTOR. 2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO: CATETO OPUESTO = ORDENADA CATETO ADYACENTE = ABSCISA RADIO VECTOR= HIPOTENUSA34 Prof.: Rodolfo Carrillo Velásquez

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