1. 1 LIC. RODOLFO CARRILLO VELÁSQUEZ / TRIGONOMETRÍA
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
PROBLEMA DE CLASE
1. Si se cumple :
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo ángulo; entonces R es igual a:
A) rad
120

B) rad
60

C) rad
40

D) rad
30

E) rad
120
5
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
SOLUCIÓN
Recordar:
  222
2 bababa 
Agrupando, tenemos:
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

   2
222
2
222
23
12 RCS
RCS
RCS
RCS
RCS
RCS
R 














5
12

R

60

R RESPUESTA B
2. Si los ángulos congruentes de un triángulo isósceles miden (6x)g
y ( 5x + 4)° ,entonces el
complemento de la medida del tercer ángulo en el sistema radial es igual a:
A) rad
10

B) rad
5

C) rad
12

D) rad
20

E) rad
8

SOLUCIÓN
Recordar: A + B+ C =180° ; A = B
Sea: A = (6x)g
y B = (5x + 4)°
Resolviendo: trabajando en un solo sistema
Reemplazando: A = B=54° ⇒ C = 72°
⇒ RESPUESTA A

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3. Si la diferencia de dos ángulos es 100g
y su suma es 3  rad., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos, respectivamente , son:
A) 315° y 225° B) 325° y 215° C) 300° y 240° D) 290° y 250° E) 315° y 235°
(Examen ordinario– UNS 2014 II)
SOLUCIÓN
Según los datos: –
⇒ RESPUESTA A
4. Si las raíces de una ecuación cuadrática: 02
 cbxax , son los números de grados
sexagesimales y centesimales de un ángulo . Entonces el número de radianes de dicho ángulo
solamente en términos de b y c es:
A)
1
19
1800 






b
c

B) bc19 C)
1
19800
19 






b
c
D)
1
1800
19








c
b
E) 





b
c
19
SOLUCIÓN
Recordar:
 La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de
suma y producto de raíces
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
⇒ …(1)
⇒ ……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
⇒
Calculando ( ) ( ) RESPUESTA D
5. La suma de dos ángulos está dada por la siguiente igualdad:      111 baba g
Hallar dichos ángulos en el sistema sexagesimal si su diferencia es ba
A) 25° y 40° B) 45° y 27° C)40° y 38° D) 20° y 45° E) 10° y 25°
(1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2009 II)
SOLUCIÓN
Según la expresión      111 baba g
, por ser una equivalencia de un centesimal y
sexagesimal, entonces el número en centesimal debe ser múltiplo de diez y el número
sexagesimal múltiplo de 9.
b = 1 y a = 8
 7280 g
⇒
La diferencia entre los ángulos tiene que ser 18° RESPUESTA B
6. Sabiendo que: x + y + z = 61 ; Calcular: E = xºy’ + yºz’ + zºx’
A) 61º2’ B) 61º51’ C) 62º2’ D) 62º1’ E) 60º2’

3. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
3 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
SOLUCIÓN
Recordar:
Según los datos:
xºy’ +
yºz’
zºx’
62° 1´ RESPUESTA D
7. Si a y b son dos números reales positivos hallar el máximo número de radianes de un ángulo que
satisface la siguiente igualdad: 22
22
)()(
)()(
baba
baba
SC



Si: S y C son lo conocido.
A)

380
B)

190
C)

19
D)
190

E)
380

SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y


 ⇒
Reduciendo la expresión:
 22
2
19
ba
ab
k

 , ⇒
Reemplazando:
( ) RESPUESTA E
8. Siendo X, Y, y Z números enteros, cumplen la igualdad: ´´´. ZYXrad 
32

; Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6
SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060







cb
acbacba ´´´º´´´º
Convirtiendo en un solo sistema





 


 180
32
´´´ ZYX
 6255
8
45
,´´´ ZYX ⇒
Reemplazando:
x XZY 5 √
√ RESPUESTA A
9. Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo, calcule “R” siendo S y C las raíces de la
ecuación:
3x2 - 19x + 30 = 0

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A)   B)  C)   D)  E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
 La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y
producto de raíces
Resolviendo
⇒ …(1)
⇒ ……….. (2)
Dividiendo (2): (1)
⇒
Calculando ( ) RESPUESTA E
10. Si S y C son la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
... 32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A)  B)  C)  D)  E) 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
( .. 32
111
1
CCC
)
( ) ⇒
Calculando RESPUESTA D

11. De la figura mostrada:
Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800
SOLUCIÓN
Según el gráfico, convirtiendo en un solo sistema:
 ( ) ⇒ RESPUESTA D

5. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
5 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
12. Determine la medida circular de un ángulo que verifica:
S
C
ostérn
RRR




















 min""...........
2
1
1
1
1
1
1
1
A) rad
n
10
1)( 
B)
10
n
C)
9
n
D)
9
1n
E) 9n
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K
Resolviendo
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ ( )
RESPUESTA E
13. En el CEPUNS se ha creado un nuevo sistema de medición angular cuya unidad es “un grado
C” (1c). Si el ángulo recto mide 40c. Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono.
A) 80c B) 160c C) 200c D) 240c
E) 320c
SOLUCIÓN
Recordar:
 Suma de ángulos internos de un polígono: ⇒
Según los datos
… (*6)
RESPUESTA D
14. Determinar la medida en el sistema centesimal para un ángulo cuyas medidas en los
sistemas convencionales cumplen la relación:
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo:
⇒
Calculando ( ) RESPUESTA B
15. Si:

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S





 ; Hallar el número de radianes de dicho ángulo.
(S y C son lo conocido)
A) 
3600
441
B) 
3600
551
C) 
3600
361
D) 
3600
641
E) 
3600
241
SOLUCIÓN
Recordar:
 ⇒
⇒
⇒
(Proporcionalidad)
 
4 3 2S C 20R 12 3 2S C R
9 10 5
    


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 S = 9k ; C = 10K y
Igualamos la expresión a un término “m” y resolvemos:
m
C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S 







⇒
Aplicando proporcionalidad
m = 19
Calculando el número en grados sexagesimales y convirtiendo a radian:
⇒ ⇒ RESPUESTA C
16. Siendo  el número de radianes de un ángulo positivo, verifica la igualdad:
11.8.3 




Hallar: . Si:   
A)
9
32
B)
64
9
C)
32
9
D)
16
9
E)
9
64
SOLUCIÓN
Sea √
Haciendo cambio de variable y resolviendo:
√ √ ⇒ RESPUESTA B
17. Si el ángulo AOC es obtuso, hallar los valores que puede tomar “”.
A)  18151215 ;;  B)  15121518 ;;  C)  15651518 ;;  D)  15;12 E)  18;12
SOLUCIÓN
Recordar:
 (obtuso)
Reemplazando:

7. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
7 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
 15121518 ;;  RESPUESTA B
18. Resolver el siguiente sistema:
)2(...SC
)1...(
S4C8,3
S6C2,4
1x
1x
47x 





Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo en
sentido antihorario.
Dar como respuesta la medida del ángulo en el sistema radial.
A) rad
200
1048 
B) rad
200
9048 ,
C) rad
100
1048 
D) rad
2
9,048 
E) rad
300
1048 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo ambas ecuaciones
Aplicamos proporcionalidad en (1)
⇒
Reemplazando (1) en (2)
√ ⇒ √ √
⇒ √
(
√
)
√
RESPUESTA B
19. Si C y R son los números que representan las medidas de un ángulo trigonométrico en los
sistemas centesimales y radial respectivamente, tal que:
Calcular la medida del ángulo en el sistema radial.
A)
rad
2
10

,
B)
rad






2
101

,
C) 




  rad
2
1,0;rad
2
1,0
D) 










 




  rad
2
1,01;rad
2
1,01
E)





  rad
2
;rad
2
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y

Según los datos:
Resolviendo:

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[ ]
⇒
√
√ RESPUESTA D
20. Siendo S, C, y R los convencionales para un ángulo trigonométrico donde S y C son las
soluciones de la ecuación: ;  ℝ+
Calcule:
m
n
1,36
A)
3
1
B)
6
1
C)
9
1
D)
3
2
E)
2
1
SOLUCIÓN
La ecuación cuadrática tiene la siguiente forma: y las propiedades de suma y
producto de raíces
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
⇒ …(1)
⇒ ……….. (2)
Igualando el valor de K en (1) y (2):
√
√
….. (3)
Calculando:
√
√
√
En (3)…
√
√
RESPUESTA A
21. Calcular la medida de un ángulo en radianes desde “S” y “C” son los números de grados
sexagesimales y centesimales respectivamente y cumplen:
S = (x + 3) (x - 2)............ (i)
C = (x + 2) (x -1)............ (ii)
A)   B)  C)   D)  E) 
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
⇒
Calculando
S= 54°⇒ ( ) RESPUESTA E

9. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
9 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
22. Si:
Calcular “x” donde S y C son lo convencional para un ángulo
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
√
⇒
√ → RESPUESTA E
PROBLEMA DE REPASO
1. Si: ; Calcular: K = b - a + 1
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
SOLUCIÓN
Convertimos en un solo sistema la expresión:
( ) °
Tenemos 11° y 0,25° que serán convertidos a minutos
0,25*60’=15’
→
RESPUESTA C
2. De la condición: ; Calcule:
A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E)10
SOLUCIÓN
Según los datos tenemos: ⇒
RESPUESTA B
3. Para un cierto ángulo se cumple que la suma del número de grados sexagesimales con el doble
del número de grados centesimales y con el triple del número de radianes es igual a 1740 + 9.
Calcule el número de radianes de dicho ángulo.
A)    B) 2 C) 3  D) 4 E)5
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
2x 10
S ; C
27 x
 
rad aºb'
16

 
5º rad
x


xº
g10

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( ) ⇒
RESPUESTA C
4. Calcular:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
SOLUCIÓN
Recordar: 1° = 60´ y 1g
= 100m
Reemplazando √ ⇒ √
M = 12 RESPUESTA C
5. Siendo S y C el número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que
cumple:
S = x - 1 .............. (i)
C = x + 2 ............ (ii)
Calcular la medida del ángulo en radianes
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos:
10x-10 = 9x+18
X = 28
Calculando
S= 27°⇒ ( ) RESPUESTA D
6. La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo es 95. Calcule
la medida de dicho ángulo en el sistema internacional.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Por dato: ⇒
RESPUESTA E
g m2º2' 2 2
M 18
m2' 2
  
10
 3
10
 5
18
 3
20
 2
25

rad
12

rad
10
 rad
8

rad
6

rad
4


11. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
11 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
7. Determine la medida radial de un ángulo que cumple que la diferencia de los números de
minutos centesimales y sexagesimales de dicho ángulo es igual a 460.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Por dato: –
RESPUESTA D
8. Sea f la función definida por la regla








 

1
1
2
1
x
x
C
S
R
xf )( , donde S, C y R
Son los números de las medidas de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial
respectivamente.
Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. 










137

coscos ff
F
II. 










119

senfsenf
F
III. 










105

cscsec ff
v
A) VVV B) VFV C) VFF D) VVF E) FFV
SOLUCIÓN
Reduciendo la función: ( )
⇒
La expresión es una exponencial afín decreciente lo cual indica que a mayor valor de la variable
la función será menor, por lo tanto
I. La variable de función depende de una función coseno, que es decreciente en el primer
cuadrante, por lo tanto si el ángulo es mayor la variable será menor lo cual indica que la
expresión es falsa.
II. La variable de función depende de una función seno, que es creciente en el primer
cuadrante, por lo tanto si el ángulo es mayor la variable será mayor, lo cual indica que la
expresión es falsa.
III. La variable de función depende de una función secante y cosecante, la cosecante es mayor
que la secante entre 0° y 45° , lo cual indica que la expresión es Verdadera.
RESPUESTA E
rad
5

rad
10

rad
15

rad
20

rad
40


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9. La suma de las medidas de dos ángulos es 18° y la diferencia de los mismos 18
g
. Determinar la
medida circular del menor de los ángulos.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Según los datos:
⇒ RESPUESTA D
10. La medida de un ángulo en un sistema “M” es igual a la cuarta parte de la suma de su número
de grados centesimales y 3 veces su número de grados sexagesimales. ¿Cuántas unidades en el
sistema “M” le corresponden a un ángulo llano?
A) 75 B) 165 C) 180 D) 185 E) 215
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según los datos: ⇒
Calculando k y resolviendo la ecuación: …….dividimos entre 180 ambos términos
RESPUESTA D
11. Si se cumple que:
Siendo “θ” el número de radianes. Halle la medida de dicho ángulo.
A) 40
g
B) 90° C) 30° D) E) 200
g
SOLUCIÓN
Sea √
Haciendo cambio de variable y resolviendo:
√ √ ⇒ RESPUESTA B
12. Siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo que cumple
con:
rad
2

rad
3

rad rad
200

rad
300

2
4 5
2
 
 
 
rad
S 13 C 2
x .
2 3
2x 
 

13. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
13 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
Hallar el valor de:
A) 2 B) 3 C) 4 D)-1 E) 1
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Calculando k y resolviendo la ecuación: ⇒
⇒
Reemplazando
√ √ ⇒ RESPUESTA B
13. Señale la medida circular de un ángulo que verifique:
  
osmintér"n"
......
2S
1
1
1S
1
1
S
1
1
C
n2




















 Siendo S y C lo convencional para un mismo ángulo.
A)
180
n
B)
200
n
C)
225
n
D)
135
n
E)
315
n
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo
( ) ( ) ( ) ( )
⇒
( ) RESPUESTA C
14. Señale la medida circular del ángulo cuyos números de grados sexagesimales y centesimales
se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + … ; C = 2 + 4 + 6 + 8 +…
Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:
A) rad
20
3
B) rad
20
7
C) rad
10
9
D) rad
20
9
E) rad
23
5
SOLUCIÓN
Recordar:
Además tener en cuenta que la suma de números impares tiene que ser múltiplo de 9 y la
suma de números pares múltiplo de 10.
⇒
( ) RESPUESTA D
15. Determine un ángulo en radianes si se cumple: 1
b
a
C1
b
a
S 
4x 1x 

14. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com
LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ | TRIGONOMETRÍA 14
A) rad
5

B) rad
10

C) rad
20

D) rad
25

E) rad
50

SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según los datos tenemos: … por proporcionalidad
⇒
Calculando
S= 18°⇒ ( ) RESPUESTA B
16. El doble del número de grados sexagesimales de un ángulo disminuido en su número de
grados centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida radial del ángulo que cumple dicha
condición.
A) rad
20
3
B)
40
3
C)
50
3
D)
80
3
E)
100
3
SOLUCIÓN
Recordar:
 S = 9k ; C = 10K y
Según el enunciado:
Resolviendo: ⇒
( ) RESPUESTA D
17. Se crea un nuevo sistema de medición angular “R” tal que su unidad (1R
) es la 240ava
parte
del ángulo de una vuelta.
Exprese en el sistema “R” un ángulo que mide rad
4

.
A) 27R
B) 30R C) 32R
D) 36R
E) 40R
SOLUCIÓN
Según los datos:

RESPUESTA B
18. Calcular la medida radial de un ángulo para el cual se cumple:
27S + 13 = 81C
siendo S y C lo convencional para el mismo ángulo.
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
5
 3
20
 5
12
 2
9
 3
10


15. [ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO]
15 TRIGONOMETRÍA | LIC. RODOLFO CARRILLO VELASQUEZ
 S = 9k ; C = 10K y
Resolviendo: ⇒
⇒
RESPUESTA B
19. Sí
mg
CBA 9013 ´´´ , calcular:
B
CA 
A) 1.2 B) 1.4 C) 1.6 D) 1.8 E) 1.9
SOLUCIÓN
Recordar:
0
360060







cb
acbacba ´´´º´´´º
Convirtiendo a un solo sistema: ( ) 12,51°
Tenemos 12° quedando 0,51° los que se convertirán en minutos:
0,51 * 60 = 30,6’
Ahora tenemos 30° quedando 0,6’ los que se convertirán en segundos:
0,6 * 60 = 36’’
⇒
RESPUESTA C
20. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo trigonométrico que cumplen:
Calcular: “R”
A) B) C) D) E)
SOLUCIÓN
Recordar:
 ⇒
⇒
⇒
 S = 9k ; C = 10K y
Aplicando proporcionalidad y reemplazando:
⇒ RESPUESTA A
21. Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24
SOLUCIÓN
Un número centesimal es múltiplo de 10 ⇒
⇒
RESPUESTA C
2S C 3R 2
2S C 3R 2
  

  
6
5
 3
4
 3
5
 5
6
 4
3

2S C 3R 2
2S C 3R 2
  

  
  
g o
x 2 x 1 x abc  