1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
1xCscxCot
1xCotxscC
Zn;nRx;1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSec
Zn;
2
1)(2nRx;1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSen
Rx;1xCosxSen
22
22
22
22
22
22
22
22
22
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“Identidades Trigonométricas”
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Son aquellas igualdades que relacionan funciones
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se
verifican para todo admisible, clasificándose de la
siguiente manera:
1.-IDENTIDADES RECIPROCAS
Sen . Cosec = 1 R - n
Cos . Sec = 1 R–(2n+1)
Tan . Cotan = 1 R – n /2
2. IDENTIDADES POR DIVISION
Tan = Sen / Cos R–(2n+1)/2
Cotan = Cos / Sen R – n
3. IDENTIDADES PITAGORICAS
Sen2
+ Cos2
= 1 R
1 + Tan2
= Sec2
R–(2n+1)/2
1 + Ctg2
= Csc2
R – n
4. IDENTIDADES AUXILIARES
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
(1 senx cosx)2
=2 (1 senx)(1 cosx)
Si: asenx +bcosx = C
22
bac
Entonces:
c
b
x
c
a
senx cos
Si:
n
tgxxntgxx
1
secsec
Si:
m
ctgxxmctgxx
1
csccsc
x
senx
senx
x
senx
x
x
senx
cos
1
1
cos
;
cos1
cos1
(senx cosx)2
= 1 2senx.cosx
RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
Converso de “x” : cov = 1 – senx
Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
Sen 2
2x + cos 2
2x = 1
1+ tg 2
x/2 = sec 2
x/2
Sen 5x . csc 5x = 1
x
xsen
xtg
10cos
10
10
PROBLEMAS DE CLASE
1. Al simplificar la expresión :
1 +
1
−1 +
1
1 −
1
1 +
𝑆𝑒𝑛2 𝑎
1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑎
Se obtiene:
A)𝑆𝑒𝑛2
𝑎 B) 𝐶𝑜𝑠2
𝑎 C) 𝑇𝑔2
𝑎
D) 𝑆𝑒𝑐2
𝑎 E) 𝐶𝑠𝑐2
𝑎
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2. Se sabe que: 𝛼𝜖 〈2𝜋;
5𝜋
2
〉, se reduce:
𝑊 =
√1+𝑆𝑒𝑛𝛼−√1−𝑆𝑒𝑛𝛼
√1−𝑆𝑒𝑛𝛼+√1+𝑆𝑒𝑛𝛼
A) 𝑇𝑔
𝛼
2
B) 𝐶𝑡𝑔
𝛼
2
C) 𝑇𝑔𝛼 D) 𝐶𝑡𝑔𝛼 E) -1
3. Hallar el valor de:
𝑡𝑔2𝐴 + 𝑇𝑔2𝐵 − 𝑇𝑔 (
5𝜋
4
)
Sabiendo que:
Semana Nº 7
2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
{
𝑇𝑔𝐴 − 𝑇𝑔𝐵 = 1
𝑆𝑒𝑛2𝐴 = −2 + 4𝑆𝑒𝑛2
𝐴
A) -2 B) 0 C) 1 D) -1 E) 2
4. Dadas las condiciones:
{
𝑆𝑒𝑛𝛼 + 𝑇𝑔𝛼 + 𝑆𝑒𝑐𝛼 = √3 − 1
𝐶𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑡𝑔𝛼 + 𝐶𝑠𝑐𝛼 = √6 − 1
A) 1 B) √2 C) √3 D) 2 E) √5
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
5. Si: 𝑇𝑔8
𝜃 + 𝐶𝑡𝑔8
𝜃 = 47 ,
Hallar P = 𝑇𝑔 𝜃 − 𝐶𝑡𝑔 𝜃
A) 1 B) 0 C) 3 D) -2 E) 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
6. Al eliminar 𝛼 partiendo de:
{
𝑇𝑔𝛼 + 𝐶𝑡𝑔𝛼 = 𝑥
𝑆𝑒𝑐𝛼 + 𝐶𝑠𝑐𝛼 = 𝑦
, se obtiene
A) 𝑦2
= 𝑥2
+ 2 B) 𝑦2
= 𝑥2
− 2𝑥
C) 𝑦2
= 𝑥2
+ 2𝑥 D) 𝑦2
+ 2𝑥 = 𝑥2
+ 2
E) 𝑦2
= 2𝑥 − 𝑥2
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
7. Simplificar : 𝐸 =
𝑆𝑒𝑛𝑥
1−𝐶𝑜𝑠𝑥
− 𝐶𝑡𝑔𝑥
A) Senx B) Cosx C) Secx D) 1 E) Cscx
8. Al transformar
𝐸 = √ 𝑆𝑒𝑐𝑥 + 1 + √𝑆𝑒𝑐𝑥 − 1 , donde
𝑥𝜖 〈0;
𝜋
2
〉 , se obtiene una expresión
equivalente de la forma √
𝑎𝐶𝑜𝑠𝑥
𝑏+𝑐.𝑆𝑒𝑛𝑥
.
Hallar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)7
1º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I
9. ¿Qué expresión debe colocarse en lugar de
M para que la igualdad sea una identidad?
2
𝑀
=
𝐶𝑜𝑠𝑥
1+𝑆𝑒𝑛𝑥
+
𝐶𝑜𝑠𝑥
1−𝑠𝑒𝑛𝑥
A) Cosx B) Senx C) Senx.Cosx
D) Cscx E) Secx
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
10. Si
n
m 2 y 2 CtgTg , entonces
el valor de
mm
CtgTgM es igual a:
a) (-2) n
b) 2 c) 2n
d) 4 e) 16
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II
11. Reducir:
xCtgxCosxSenxTgM 2222
1111
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - II
12. Al simplificar : Y = Ctg 4
.Csc 2
– Ctg 2
.Csc 2
+ Csc 2
– 1, se obtiene:
A) 2
Csc B) 8
Ctg C) 6
Csc
D) 8
Csc E) 6
Ctg
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
13. Para que se cumpla la desigualdad
(𝑇𝑔 𝑥 + 𝐶𝑡𝑔𝑥) > 𝑎 , 𝑎 𝜖𝑅 𝑦 𝑥 𝜖 𝐼 𝐶 ,
El mayor valor de “a” es:
A) 4 B) 1 C)
2
2 D) 2 E) infinito
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I
14. Si Secx + Tgx = n ,
Calcular M = Cscx + Ctgx
A)
1
1
n
n
M B)
1
12
n
n
M
C)
1
1
2
n
n
M D)
5
2
n
M E)
1
32
n
n
M
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2012 - II
15. Al simplificar
M = (Cscx-Ctgx).
Senx
Cosx
Cosx
Senx 31
1
,
se obtiene:
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 - III
16. Al reducir:
CosSen
CosSen
Sen
33
22
, se obtiene:
a) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) 4
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 I
17. Al eliminar , de :
SecySenCsc
CscxCosSec
.
. , se obtiene:
A) B)
C)
D) E)
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 I
18. Sabiendo que 𝐂𝐨𝐬𝐧𝐱 = 𝐧𝐂𝐨𝐬𝐱 , halle:
𝐌 = 𝐂𝐨𝐭 𝟐
𝐧𝐱 +
𝐒𝐞𝐧 𝟐
𝐧𝐱 − 𝐂𝐨𝐬 𝟐
𝐧𝐱
𝟏 − 𝐧 𝟐 𝐂𝐨𝐬 𝟐 𝐱
a)3 b)2 c) 1 d) Sen2
nx e) Cos2
nx
19. Calcular el valor de:
∫ =
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟏𝟎°
+
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟐𝟎°
+
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟑𝟎°
+
⋯
𝟏
𝟏+𝐓𝐚𝐧 𝟐 𝟖𝟎°
a) 2 b) 4 c) -1 d) 1 e) 3
20. Eliminar "x" de:
A) B)
C)
D) E)
21. Dada la ecuación: 𝐦𝐱 𝟐
− 𝐱 + 𝐦 𝟓
− 𝐦 = 𝟎
Calcular el valor de ‘‘m’’ para que las raices
sean secante y tangente de un mismo arco.
a) ±2 b) ±4 c) ±1 d) ±1/2 e) ±1/4
22. Sabiendo que:
,
Calcular
a) b) c) d) -2 e) -1
3º EXAMEN SUMATIVO 2011 III
23. Al simplificar la expresión:
;
se obtiene
a) 1 b)2 c) 3 d) 2tg e) 3ctg
2º EXAMEN SUMATIVO 2010-III
24. Si:
ba
bSenCosa
11
1
. 44
,
445 ,talque 00 bya ,
Calcular Sec
a)
a
ba
b)
b
ba
c)
b
a
d)
b
ba e)
a
ba
25. Si:
tgx
t
x
q
senx
p
cos
, determinar la relación
queelimina el arco “x”
a) 22222
qptpq b) 22222
tpqpt
c) 22222
tqqpp d) 22222
pqtpq
e) 22222
tqqpp
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si: tgxq
x
p
m .
cos
;
x
q
tgxpn
cos
.
Determinar la relación que elimina el arco
de “x”
a) m–n = p–q b) m+n = p+ q
c) m2
+n2
= p2
+ q2
d) m2
– n2
= p2
–q2
e) m3
– n2
= p2
– q3
14 24 2
yxxy 14 34 3
xyyx
xyyxxy 4 24 2
xyyxxy 4 24 2
14 34 3
yxxy
Senx Cosx Tgx
a b c
2 2 2 2 2a (a b ) b c 2 2 2 2 2b (a c ) a c
2 2 2 2 2c (a b ) a b
2 2 2 2 2a (b c ) b c
2 2 2 2 2b (b c ) a c
)(21 222
bCscbctgaCsc
tga
tgb
Y
2 1 3
1
1
2
2 2222
Ctgtg
Ctgtg
Ctgtg
Ctgtg
E
4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo
2. Si la siguiente expresión es una identidad:
k
k
x
senx
xsenx
x
cos1
cos.
cos1
Calcular el valor de “k”
a) senx b) cosx c) tgx
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx
3. Si: aTgxSecx ; bCtgxx csc
Determinar la relación que elimina el arco “x”
de “x”
A) 11.4 22
baba b) 11.2 22
baba
C) 22. 22
baba d) 11.2 22
baba
E) 11.4 22
baba
4. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
xxkxtgxtgF 2424
secsec3
A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) -2
5. Si se cumple:
Calcular:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
6. Si:
Calcular el valor de:
A) ½ B) 1 C) 3/2 D) 2/3 E) 5/4
7. Determinar a-1
en la siguiente identidad
a
xxctgxsen
222
cos
111
A) xctg 2
B) xtg2
C) xSen 2
D) xCos 2
E) xSec 2
8. Dada la expresion:
(𝐦 − 𝟓)𝐱 𝟐
− 𝟒𝐦𝐱 + 𝐦 − 𝟐 = 𝟎
Calcular el valor de ‘‘m’’ para que las raices
sean seno y coseno de un mismo arco.
A) 7/15 B)13/15 C) 15/13
D) 15/7 E) 39/5
9. Si: 𝐓𝐚𝐧𝐱 + 𝐓𝐚𝐧 𝟐
𝐱 + 𝐓𝐚𝐧 𝟑
𝐱 = 𝟏
Calcular: 𝐄 = 𝐂𝐨𝐭𝐱 + 𝐓𝐚𝐧 𝟑
𝐱
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
10. Calcular el mínimo valor:
𝐖 = 𝐒𝐞𝐜 𝟐
𝐱 + 𝐂𝐬𝐜 𝟐
𝐱 + 𝟐𝐒𝐞𝐜𝐱𝐂𝐬𝐜𝒙
A) 3 B) 4 C) 5 D) 9 E) 8
11. el equivalente de:
𝐌 = (𝟏 + 𝟐𝐓𝐚𝐧 𝟐
𝐱)(𝟏 + 𝟐𝐒𝐞𝐜 𝟐
𝐱𝐓𝐚𝐧 𝟐
𝐱) es:
a) Sec6
x − Tan6
x b) Sec6
x + Tan6
x
c) Sec8
x − Tan8
x d) Sec8
x + Tan8
x
e) Sec10
x − Tan10
x
12. Siendo 𝐂𝐬𝐜𝐱 − 𝐂𝐨𝐭𝐱 =
−𝟏𝟎
𝟑
,
Calcule: Cotx
A) 91/30 B) 91/90 C) 91/60 D) 91/40 E) 91/50
13. Simplificar la expresión:
𝐄 = 𝐂𝐨𝐭 𝟐
𝐱(𝐂𝐨𝐭 𝟒
𝐱 + 𝟑𝐂𝐨𝐭 𝟐
𝐱 + 𝟑) + 𝟏
a) Sec6
x b) Cos6
x c) Tan6
x
d) Cot6
x e) Csc6
x
14. Calcular “k”, para que la siguiente igualdad
sea una identidad.
xxsen
senx
xsen
senx
xsen kk
42
cos26
1
1
1
1
A) 2 B) 4 C) 6 D)8 E) 10
15. Al eliminar x en el sistema de ecuaciones:
obtienese
tgxnxtg
mxx
,
.1
cscsec
2
a) nmn 222
b) nmn 322
c) nmn 222
d) nmn 233
e) nmn 222
3º EXAMEN SUMATIVO 2009-III
23Senx Cos x 2
2 2K Csc x Sen x
2 3Tg x Ctg x 1
6 4 2E Tg x(Tg x 2Tg x 1)