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  • 1. 1Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo x y P ( )x ; y o o r x o y o α α ' S e d e fin e : o o o o x y T a n r x C o s r y S e n =α =α =α o o o o y r C s c x rS e c y x C o t =α =α =α UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2014-II TRIGONOMETRÍA “F.T. de Ángulos Especiales” Lic. Edgar Fernández C. Lic. Rodolfo Carrillo V. Objetivos:  Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.  Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase. Definiciones Previas: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o estándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante. Del gráfico: L a d o F in a l L a d o In ic ia l V é r t ic e θ ( + ) x y * θ : es un ángulo en posición normal * 0;IIC >θ∈θ L a d o F in a l L a d o In ic ia lV é r tic e ( - ) x y β * β : Es un ángulo en posición normal * 0;IIIC <β∈β Definición de las Razones Trigonométricas: Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto perteneciente a su lado final. x y P ( )x ; y o o r x o y o α α ' S e d e fin T a n C o s S e n =α =α =α Semana Nº 04
  • 2. 2Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo x y y o α S e d e fin e : o o o o x y T a n r x C o s r y S e n =α =α =α o o o o y r C s c x r S e c y x C o t =α =α =α * 2 o 2 o yxr += * α´: se denomina ángulo de referencia Signos de las R.T. en los cuiadrantes Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjunto Propiedad: Si θ es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: Si θ ∈ I ⇒ 0 < θ < 90º Si θ ∈ II ⇒ 90º< θ <180º Si θ ∈ III ⇒ 180º < θ < 270º Si θ ∈ IV ⇒ 270º < θ < 360º Ángulos Cuadrantales Son ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes del sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son ángulos frontera. Forma General < Cuadrantal = 90º.k ; Zk ∈ También <Cuadrantal = 2 πk ; Zk ∈ Observación: para determinar si un ángulo es cuadrantal, se divide entre 90º ó . 2 rad π según corresponda; si el resultado de la división es un numero entero, significa que dicho < es cuadrantal. Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales 0 º 9 0 º 1 8 0 º 2 7 0 º 3 6 0 º S E N 0 1 0 - 1 0 C O S 1 0 - 1 0 1 T A N 0 N D 0 N D 0 C O T N D 0 N D 0 N D S E C 1 N D - 1 N D 1 C S C N D 1 N D - 1 N D Nota: N.D. no definido Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Ejemplo:
  • 3. 3Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo α β θ V é r t ic e L a d o in ic ia l L a d o fin a l i) ii) P ( ; )x x o o x y a d o n ic ia l ii) P ( ; )x x o o x y Se tiene que: * α y θ : son coterminales * Ф y β: son coterminales (están en P. N.) Propiedades: Si α y θ son coterminales se cumple que: I. II . α θ- = 3 6 0 º n ; n Z R . T . ( α θ) = R . T . ( ) II. R . T . ( α θ) = R . T . ( ) Observacion: en forma practica para determinar si dos angulos son coterminales: Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o 2rad. y si el resultado es un numero entero , entonces los angulos son coterminales. R.T. de Ángulos Negativos: Sen (- α) = - sen α ; Cos (- α) = cos α Tg (- α) = - tg α ; Ctg (- α) = - Ctg α Sec (- α) = Sec α ; Csc (- α )= - Csc α ¡Muy importante! Y X Q ( – b ;a ) P ( a ; b ) R ( – a ; b )– M ( b ; – a ) PROBLEMA RESUELTOS 1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y 24 cosb 25 = , Halle: V 5senb 6 tgb 12secb= + + A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35 RESOLUCIÓN 24 cosb ; 25 = b ∈ 4to C. 7 senb 25 = − 7 tgb 24 = − Se pide: 7 7 25 V 5 6 12 25 24 24       = − + − + ÷  ÷  ÷       V 9,35= RPTA.: D 2) Si: 2 1 cos , IV C 16 θ = θ ∈ Calcule: sec csc M 1 ctg θ − θ = − θ A) 15 4 B) 1 4 C) 15 4 − D) 1 4 − E) 4 RESOLUCIÓN 1 cos 4 θ = IV Cθ ∈ { sec csc sec csc M M 1 ctg 1 ctg − θ − θ θ + θ = ⇒ = − θ + θ φ + -
  • 4. 4Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo 4 4 1 15M 1 1 15 + = + 1 4 1 5 M   + ÷   = 1 1 5   + ÷   M 4⇒ = RPTA.: E 3) Halle: ctgθ A) 5 4 B) 5 4 − C) 3 4 D) 7 4 − E) 1 4 RESOLUCIÓN x Ctg y   θ =  ÷   7 Ctg 4 θ = − RPTA.: D 4) Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos. A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º RESOLUCIÓN • Sean “α” y “ β ” (α > β ) las medidas de los 2 ángulos coterminales, luego: 360º nα − β = × ….......(i); "n"∈ ¢ • 5 2 α = ⇒ β … (ii) (ii) en (i): 5k - 2k = 360º x n → k = 120ºx n ”k” en (ii): ⇒ ...(iii) * 1000º < α < 1700º → 1000º<600º x n < 1700º → n= 2 ”n” en (iii) : ∴ α + β = 1680º RPTA.: C PROBLEMA DE CLASE 1) El producto de cinco razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y coseno. a) 5 53 b) 5 5 − c) 2 31− d) 2 13 − e) 5 53 − 2) Si α es la medida de un ángulo en posición normal, además: 5k 2k α = β = 600º n 240º n α = × β = × 1200º 480º α = β =
  • 5. 5Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo 0 3 2 cos;0;0 =−=−=+ ααααα tgtgsensen Calcular: αα SecctgF += .5 A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1 3) Si: [ ] ( ) πα πααα 2 2 3 ;cos 4 1 2 1 2 1 2 <<−=                 senCos Calcular: ( )αα cos16 −= ctgF A) 773− B) 767− C) 761− D) 754− E) 727− 19. Del gráfico adjunto calcular: W=Tanθ 10Cosθ− , si las abscisas de A y B son π Cot 8   −    y π Tan 8       respectivamente. ( 0 ; 4 ) ( - 2 ; 0 ) A B y Xθ A) -1 B) -2 C) 2 D) 4 E) 2 2 4) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) . Calcular ctgα A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E) 25− 5) Determine E = senθ + cosθ, PM = MN A) 1 41 − B) 11 41 C) 6 41 − D) 6 41 E) 5 41 − 6) De la figura mostrada calcular: φ β tg tg E 9 = A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49 7) De la figura mostrada, calcular: F= Ctgθ .ctgφ
  • 6. 6Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6 8) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices de un triángulo ABC y K un punto perteneciente al lado final de una ángulo en posición normal θ. Si K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula 11Tg θ A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6 9) Calcular dos ángulos coterminales en donde el mayor es el séxtuplo del menor y su suma está comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el ángulo mayor. A) 630º B) 680º C) 700º D) 800º E) 864º 10) De la figura mostrada, simplifique: )().cos(. 2 αθ αθ −−      − = CtgsenM A) αsen.2 B) αCos.2 C) αsen. 2 2 D) αCos. 2 2 E) αTg.2 11) La expresión : Es real, hallar el valor de: Cuando ‘‘ ’’ es ángulo cuadrantal a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3 12) Del grafico siguiente; hallar tg θ + tg α a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4 EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
  • 7. 7Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo 13) Si ‘‘n’’ es un numero entero positivo, calcule el valor de: a) b) c) d) e) 14) Q es un punto perteneciente a la circunferencia mostrada, cuya ordenada es máxima, halle . Siendo un ángulo en posición normal, cuyo lado final pasa por el punto Q. Además AB=3BC. a)16 b) 19 c) 14 d) e) -15 15) Del grafico mostrado, calcular el valor de:
  • 8. 8Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo a) b) c) d) e) 1 16) Si: y . Hallar el valor de: a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2 17) Si y , Determine el signo de P, Q y R a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+) c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+) e)(+),(-),(-) 18) Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
  • 9. 9Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo I. II. III. a) VVV b) VFF c) FVV d) FFF e) N.A 19) Si es un ángulo agudo , hallar todos lo valores de ‘‘ ’’ para que la expresión: Resulte un número real a) b) c) d) e) PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si: . ¿A que es igual? a) b) c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2
  • 10. 10Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo 2. Del gráfico , halle a) 1 b) c) 2 d) e) 3. En el grafico mostrado el área del triángulo AOB es igual al área del triángulo DCB. Hallar el valor de: a) ½ b) 1/3 c) d) e) 4. Si: b Sen a θ= , donde: a < b < 0 Calcular: tanθ , IICθ∈ A) a a b2 2− B) b a b2 2− C) a a b2 2 − − D) b a b2 2 − − E) -b/a 5. Del grafico mostrado, calcular el valor de:
  • 11. 11Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo Si: a)- b) c) d) e) 0 6. Del gráfico mostrado, calcular: “tanθ”, sí; OP = 2PQ. A) 3 /5− B) 3 /7− C) 3 /9− D) 3 /6− E) 3 / 4− 7. La figura adjunta, calcule el valor de: a cos b sen M a b α + α = + Si: a > 0, b > 0 y x P ( - a ; - b ) A) ½ B) -1 C) 2 D) 1 E) -2 8. En el gráfico halle tg .tgθ β en términos de "a" y "b"; siendo ABCD un cuadrado. D C y xA ( - a ; 0 ) B ( 0 ; b ) A) b a b a b 2a +    +  B) a a 2b b b 2a +    +  C) a 2b b a + − D) 2a b b 2 + + E) a b a 2b − + 9. Dos ángulos coterminales están en la relación de 2 a 5, si la suma de dichos ángulos están comprendidos entre 1400° y 1700°. Calcular la medida del menor ángulo. A) 340° B) 380° C) 420° D) 460° E) 480°
  • 12. 12Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo 10. Si el triángulo ABC es equilátero calcule cot .θ y x θ A B C A) 3 B) 2 C) 2 3 3 D) 3 2 E) 2 2 11. Si ABCD es un cuadrado, calcular las coordenadas del vértice "C". A) (-12 ; 13) B) (-17 ; 15) C) (-15 ; 5) D) (-13 ; 12) E) (-17 ; 12) 12. Del gráfico, ABCD es un rombo. Calcular: tan cotα + α . x y DA B 3 0 º α M A) 12 5 3 − B) 3 5 − C) 28 3 15 − D) 25 3 3 − E) 18 3 15 −

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