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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define: CEPUNS P(x ;y ) o o yo yo xo Sen Cot r yo r xo Ciclo 2012-III Cos r Sec r xo yo r TRIGONOMETRÍA xo x Tan xo Csc yo “F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04 Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo enDefiniciones posición normal, tomaremos un punto pertenecientePrevias: a su lado final. y Se defin P(x ;y ) o oI. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL yo SenLlamado también en posición canónica o estándar.Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide rcon el origen del sistema cartesiano y su lado inicial Coscoincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo,está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste xo x Tanpertenece a tal cuadrante.Del gráfico: y Se define: y P(xo ;yo ) yo xo y Sen Cot o r yo r xo Cos r SecLado Fina l r xo (+ ) yo xo x Tan r Csc xo yo Vértice x Lado Inicial r x2 y2 * o o* : es un ángulo en posición normal * α´: se denomina ángulo de referencia* IIC ; 0 y Signos de las R.T. en los Lado Inicial cuiadrantes Vértice Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un x ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser (-) positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjuntoLado Final* β : Es un ángulo en posición normal* IIIC ; 0Definición de lasRazonesTrigonométricas: 1Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.Propiedad: 0º 90º 180º 270º 360ºSi es un ángulo en posición normal positivo y SEN 0 1 0 -1 0menor que una vuelta entonces se cumple: Si I 0 < < 90º COS 1 0 -1 0 1 Si II 90º< <180º TAN 0 ND 0 ND 0 Si III 180º < < 270º COT ND 0 ND 0 ND Si IV 270º < < 360º SEC 1 ND -1 ND 1Ángulos CSC ND 1 ND -1 NDCuadrantales Nota: N.D. no definidoSon ángulos en posición normal, cuyo lado finalcoincide con cualquiera de los semiejes del Ángulossistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Coterminales:pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final.ángulos frontera. Ejemplo: i) ii) Lado inicial Lado final VérticeForma General P(x ;x o y< Cuadrantal = 90º.k ; ki) Z ii)También Lado inicial<Cuadrantal = k ;k Z Lado 2 finalObservación: para determinar si un ángulo es xcuadrantal, se divide entre 90º ó rad . según 2 Vérticecorresponda; si el resultado de la división es un P(x ;x )numero entero, significa que dicho < es cuadrantal. o o Se tiene que: * α y : son coterminalesRazones * Ф y β: son coterminales (están en P. N.)Trigonométricas Propiedades:de ÁngulosCuadrantales Si α y son coterminales se cumple que: I. II. - = 360º n ; n Z 2Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. II. 3) Del gráfico, calcular: E 3Tan 1 y R.T. ( ) = R.T.( ) 53ºObservacion: en forma practica para determinarsi dos angulos son coterminales:Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o2 rad. y si el resultado es un numero entero , xentonces los angulos son coterminales. a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2 R.T. de Ángulos 4) Si: Cos 0, 3 y IICNegativos: Calcular: E Tan 2 Sec a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Sen (- ) = - sen ; Cos (- ) = cosTg (- ) = - tg ; Ctg (- ) = - Ctg 5) Simplificar:Sec (- ) = Sec ; Csc (- )= - Csc (a b)2 Sen 3 (a b)2 Cos 5 L 2 aSen 3 bCos 2 2 2 a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b¡Muy importante! Y 6) Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa Q (–b;a ) por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n), 2 P (a ;b) Calcular: K Cot Tan 2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 X 7) Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 R(–a ; –b) es a 11. Calcular la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido M(b;–a ) entre 90° y 180°. a) 858° b) 825° c) 880° d) 902° e) 935°PROBLEMA DE CLASE 8) Determinar el signo en cada cuadrante de:1) Si (-3;-4) es un punto de lado terminal de y 1 cos E sen (5;-12) es un punto de lado terminal de , sen . cos Calcular: Sec Sec a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++ Csc Csc a) 1,56 b) 25,6 c) 3,56 d) 4,56 e) N.A. 9) El producto de cinco razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo2) Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y que una vuelta perteneciente al IIIC señale el coseno. Q Sen Cos 2 Tan 3 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 5 2 3 5 a) 3 1 e) signo de: 5 5 2 2 5 a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar. 10) “C” es el radio vector de un punto P(a;b), tal que: 3Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. asen b cos C d) 54 7 e) 27 7 Si “ ” es la medida de un ángulo en posición normal. Hallar en función de a, b y c. 16) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) . T Tan Cot Calcular ctg a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 511) Si: 3 Tg x 17 4 Calcular el valor de: 19 Ctg x 34 a) 3 b) 3 c) 4 d) 4 e) 1 4 4 3 3 212) El lado final de un ángulo en posición normal, a) - 4/3 b) - ¾ c) - 1/7 d) -7 e) 5 2 cuya medida es pasa por el punto (3,-7). Calcular: E 58 cos sen 17) De la figura mostrada calcular: 9tg E a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 tg13) Si es la medida de un ángulo en posición normal, además: 2 sen sen 0 ; tg tg 0 ; cos 0 3 Calcular: F 5 .ctg Sec a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 114) De la figura mostrada, obtener el valor de: E Tan Tan a) – 49 b) -9 c) 1 d) 9 e) 49 18) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2 - tg a) 12 b) 25 c) 7 d) 7 e) 25 25 12 12 12 12 a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 1515) Si: 1 19) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el 1 4 valor de: E = tg .tg sen ; 3 1 Cos 2 2 2 cos 2 2 Calcular: F 16 ctg cos a) 73 7 b) 67 7 c) 61 7 4Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3) De la figura mostrada; calcular: F = Sec .Csc 2 2 2a)-1 b) b c) a d) 1 e) b a b a a) – 5/2 b) – 3/2 c) -1 d) ½ e) 3/220) Si es la medida de un ángulo en posición normal, además; Cos = 0,25; 270º < < 360º, 4) Para dos ángulos coterminales se cumple que Calcular Sec Csc dos veces el menor es a la suma de ellos como F 1 Ctg 13 es a 23. Hallar la medida del menor si se a) 2 15 b) -4 c) 2 d) 4 e) 5 15 sabe que está comprendida entre 400° y 500°. A) 405° B)420° C)468° D)434° E) 476°PROBLEMA DE REPASO 5) La suma de dos ángulos coterminales es igual a1) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg .ctg 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el mayor está comprendido entre 500° y 800°. a) -80° b)-100° c) -90° d) 270° e)720 6) Sabiendo que (sen sen 2 ; indicar un valor 2 de Ctg si y solo si a) 3 b) 2 c) 3 d) 15 e) 15 15 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -6 7) Del siguiente gráfico, calcular:2) De la figura mostrada, simplifique: E 10 Sen 12 Cot M sen . cos( ).Ctg ( ) y 2 x (1;-3) a) 2.sen b) 2.Cos c) 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 .sen 2 d) 2 e) 2Tg . .Cos 2 5Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 16) Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg ".8) Por el punto P( 2; 5 ) pasa el lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es "α". Calcular: Cos α. a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2 Sen 29) Si: 3 y α e IIIC. Calcular: E 5 (Tan Sec ) a) -1 b) -2 c) -3 d) 2 e) 3 a) -7/3 b) -7/2 c)-3/7 d)-2/7 e) -4/710) Indicar el signo de cada expresión: 17) Si tg 2 4 8 I. Sen200ºTan240º 1 ...... ; II. Cos120ºTan100º 3 9 27 III. Sen150ºCos340º Además IIIC, calcular: 10 cos tg a) +, +, + b) -, -, - c) -, +, + a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e)N.A. d) +, -, - e) +, -, + 18) Si ABCD es un cuadrado, hallar tg11) ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: Tan 0 y Cos 0 . a) IC b) II c) IIIC d) IV e) IC y IIC 212) una raíz de la ecuación: x 2x 3 0 es un valor de "Tanα", si: IIIC . Calcular: E 10 (Sen Cos ) a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e)N.A.13) Si: α y β son medidas de ángulos coterminales y se cumple que: Tan α <0 y |Cos β |=-Cos β. ¿A tg qué cuadrante pertenece " β "? 19) Del la figura hallar: sen cos a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC y IIC sen cos tg14) Si: IV , determine el signo de: Tan (1 Cos ) E Sen Cos a) + b) - c) + ó - d) - y + e) Todas correctas15) Con ayuda del gráfico mostrado, calcular: 3 Cos ( ) Sen ( ) E 6 3 Sen ( ) a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e) 3 2 20) Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F. G. H. 3 a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 Sec 285 º Tan2 138 º Sen 210 º F Csc 3 215 º Ctg 338 º 6Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3 Sen 3 260 º Ctg 2 115 º Cos116 º G 2 Csc195 º Tan 336º 3 25) Calcular: Sen195 º Ctg 340 º Csc128 º H (a b)2 Sec 360 º (a b)2 Cos180 3 E Tg135 º Sec 298 º 2abCsc 270 a) - , +, - b) - , - , + c) - , - , - a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 d) +, - , - e) +, +, + | Cscx | 4 Sen 021) Del gráfico, calcule: " Tan " . 26) Si: x IVC y 6 y Calcular: E = Senx + 3 Cosx a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2 x (2;-3) 27) Calcular: E 25Sen Tan , a partir de la a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/3 e) 3/2 figura mostrada: y (24;7) f( )22) Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x. Calcular: 2 x a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 (-4;-8) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 4 Sen 1 1 1 123) Siendo: 5 4 28 70 130 Cos Cos Calcular: K 2Sen 3Cos a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) - 324) Por el punto P( 2 ; 7 ) pasa por el final de un ángulo en posición normal cuya medida es " ". Calcular: 7 Csc . a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 7Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo