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    Semana 3 Semana 3 Document Transcript

    • UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA SenA  CO  a CscA  H  b CEPUNS CosA  H b CA c  CO a SecA  H  b Ciclo 2013-III H b CA c CA c TanA  CO  a CotA   TRIGONOMETRÍA CA c CO a “RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocasresultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo  un ángulo agudo se cumple:rectángulo. 1 csc    sen . csc   1 ; sen 1 sec    cos  . sec   1 ; cos  1 ctg   tg .ctg  1 tgTeorema de Pitágoras: “La suma de los cuadradosde los catetos es igual al cuadrado de la Razones Trigonométricas De Ánguloshipotenusa” Complementarios . a2 + b2 = c2 Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulorectángulo son complementarios” . A + B = 90ºDefinición De Las Razones Trigonométricas ParaUn Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en“C”, se establecen las siguientes definiciones: En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º) Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto bSen = = Hi potenusa c como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en Cateto Adyacente consecuencia:Cos = = b Hipotenusa c b a sen   cos  ; cos    sen c c Cateto Opuesto atg = = b a Cateto Adyacente b tg    ctg  ; ctg    tg  a b Cateto Adyacente b c cCtg = = sec    csc ; csc   sec  Cateto Opuesto a a b Hi potenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::Sec = =  seno y coseno. Cateto Adyacente b  tangente y cotangente. Hi potenusa c  secante y cosecante.csc = = Cateto Opuesto a Teorema del complemento RTα  co  RTcomplemento de   1Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.Se llaman co–razones trigonométricas una de la 67º 30 75º 71º 30otra. 4+ 2 2 10 1 4 6- 2 1NOTA: 22º 30 15º 18º 30 Sen   Csc  1 2+1 6+ 2 3  Si:  Cos   Sec   1        Ctg  1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Tg * CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento  Si: RT   co  RT       90º mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de unTRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES ángulo agudo que también se conoce. 60º Criterio: 45º 2 2 Lado desconocid o  R.T.( conocido) 1 1 Lado conocido 45º 30º 1 Casos: 3 1. 53º C 5 3 I) BC  Tan   BC  L 37º AC   AC  II) 4RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES  L A L B 30º 37º 45º 53º 60º 2. 1 3 2 4 3 C Sen 2 5 2 5 2 I) AB  Cot   AB  3 4 2 3 1 L Cos L 2 5 2 5 2 AC   AC  II) 3 3 4  L Tan 1 3 A B 3 4 3 Cot 3 4 1 3 3 3 3 4 3 C I) BC  Sen   BC  2 3 5 5 Sec 2 2 L 3 4 3 L 5 5 2 3 AB    II) Csc 2 3 2 4 3  L A BA partir de estos se determinarán otrosadicionales como: PROBLEMAS RESUELTOS B 63º 30 82º 74º 5 5 2 25 1. Halle “ctg” del gráfico, si: 1 120º 1 7 AB  BC M26º 30 8º 16º 2 7 24  A C 2Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. B A) 2 3 B) 3 3 C) 3 D) 3 / 6 E) 3 / 9 RESOLUCIÓN B 3a 2n 4n 60º 60º 4n n 30º D M a n 3 60º 2n  30º A C n   30º A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3A C 2n 3 n 3 P n 3 5 6 7 8 9 RESOLUCIÓN 3n 3 B 3n 3 60º APM : ctg  n  ctg  3 3 3a = 6k RPTA.: B 8k 2. Si CD  3AD, halle: tg D (tomar: sen37º=0,6) 60º k 3 30ºa = 2k   60º A 7k k C k 3 3 tg   53º 7k 7 RPTA.: C A D C A) 1 B) 1 C) 3 D) 3 E) 1 4. Siendo “” y " β" las medidas de 2 16 8 8 16 4 ángulos agudos tales que: RESOLUCIÓN cos11. sec  1   cos . csc   1 9K Halle: W  tg  37º30 sen   52º30 .  12K A)1 C) 3 D) 3 E) 3 B) ½ 2 3 5K 15K 53º RESOLUCIÓN A 53º D C Datos: 4K i) cos11.sec  =111=  … (I) 3K ii) cos . csc   1 3k 3 Se pide: tg   16k 16 sen 90º . csc   90º        90º..(II ) RPTA.: D I en (II ) :   11  90º    15º  7 º30 3. Si el triángulo ABC es equilátero. 2 Determine tg. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.  15º  165º RESOLUCIÓN" " enI :   11   82º30  2  2Piden: W  tg   37 º30.sen   52º30  ?  W  tg 45º .sen 30º   1 2  RPTA.: B a 2 2a 5. En un triángulo rectángulo si la 45º hipotenusa es el doble de la media a 2 a 2 geométrica de los catetos. Calcule la suma a de las tangentes trigonométricas de los a ángulos agudos del triángulo. A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 De la figura: Cot   3 RESOLUCIÓN RPTA.: D  7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”. c a   3 bSi: c  2 abSi pide: E  tg  tg 2 2 2 a b a b E   x b a ab A) 3cos   2Sen Pero: a² + b² = c² B) 2cos   3Sen E= 4ab C) 2sen  3cos  4 ab D) 3sen  2cos RPTA.: C E) 2sen  3cos RESOLUCIÓN 6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N 3Sen son puntos medios. Determine "cot " .  A B 3  M  2  x D N C 2Cos A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3  x  3Sen  2Cos RPTA.: D 4Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 8. En la figura, halle el perímetro del 2) Si Sen   40 y 0     , hallar  Ctg     rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio 41 2 4 del cuadrante MON es “r”. 41  5 a) b) 41  5 c) 41  3 B C  4 4 4 d) 41  3 e) 3 N 4 4 3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III 3) En la figura AOB es un cuadrante, tal que OD = 4 DE, entonces el valor de tg es: r A M O A) 2r  sen  cos B) r  csc  sen  C) r  sen  cos   D) 2r csc  sec  2 A) 41  1 B) 41  3 C) 41  5 D) 1 E) 1 E) r sec csc 4 4 4 4 2 RESOLUCIÓN r Csc  4) En el gráfico mostrado, calcular "tg ". B  C Si: O y O son centro y P, Q y T son puntos de tangencia. r Sec  r Sec  r   A r Csc  2  Perímetro del rectángulo a) 1/3 b) ½ c) 2 d) 2 e) 2 2 OABC= 2R csc  sec 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III RPTA.: D 5) Si: E  x 2  y 2sen 20 ºxy (cos 70 º1) .PROBLEMA DE CLASE 2 2 x  y cos 70 ºxy (sen 20 º1) Reducir: 1  E1) Si:  y   0º ;45º , además: 1E a) x b) y c) y d) 2x e) 3y Tg(  2  5).Tg(2    15º )  1; y x 2x y x Cos(   ).Csc(2    15º )  1 Calcule Tg(    15º )  Tg2    6) Del gráfico halle: A) 2 B) 2 3 C) 4 D) 4 3 E) 6 W  sen  cos  5Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. B 127º 9 10 37 °  y x A)1 B) 7 C) 23 D)  7 E)  23 17 17 17 17 A M C A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 287) Del gráfico. Halle: W  sec   tg  2 2 12) En la figura mostrada determine  4r 2  en   2   c    función de , Si AB = c a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/38) Halle el valor aproximado de:  53º   37º  A) 21  Sen 1  Cos  B) 21  Sen 1  Cos  E  Ctg    Ctg    5  10  4   4  C) 21  Sen 1  Cos  D) 21  Sen 1  Cos  A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6 E) 21  Sen  1  Cos   2 29) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg . 13) En la figura, Calcule (AD – DB) si AB = 3 D C y AC = 27/16.  A M B A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 110) En un triángulo rectángulo de lados mayores de A) 4 3 B) 3 3 C) 2 3 D) 3 E) 3 24 y 26u, se inscribe un rectángulo de modo 2 que dos de sus lados coincide con los catetos y 14) De la figura mostrada. si AD =2 , DE = 6 , uno de sus vértices está en la hipotenusa. EC = 4, determine BD.BE Determine el área máxima del rectángulo. A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 9011) Del gráfico que se muestra encontrar el valor de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es mediana relativa a la hipotenusa. 6Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. A) 8.Sec .Cos B) 8.Sec .Sec 4) En un triángulo rectángulo, recto en “A”, uno de C) 8.Sec .Sen D) 8.Cos .Sec sus catetos es el doble de la diferencia entre E) 8.Sen .Sec la hipotenusa y el otro cateto. Calcule la tangente del otro ángulo agudo15) En un triángulo rectángulo, la longitud de un A) ½ B) 2/3 C) ¾ D) 4/5 E) 5/3 cateto es media proporcional entre el otro cateto y la hipotenusa. Si es la medida del 5) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, O menor ángulo agudo, entonces el valor de sen  es centro de la circunferencia, E es punto de , es: tangencia , Calcule: tg + 2 A) 3  1 B) ½ C) 5  1 D) 3  1 E) 2 2 2 2 216) En la figura mostrada BC = 25u, Calcule AD A) 2 B) 2  1 C) 2  1 D) 2  1 E) 2 2 2 2 A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 6) Calcular aproximadamente el valor de:  37º   53º  2ctg    3ctg  PROBLEMA DE REPASO  4   4  A) 10 B) 10  5 C) 51) Si los catetos de un triángulo rectángulo son D) 3 10  2 5 E) 2 10  3 5 como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo mayor Es: 7) Si  y  además Tg2  5  215º tg   4  195º   1 , a) 1 b) 1 c) 3 d) 3 e) 34 Cos   Csc2    55º   1 43 34 34 43 3 Calcule Tg3    5º   tg     45º 2) En la figura mostrada AB = 2, m<DAC = 30º; A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 mADB = 15º, Calcule la longitud del segmento DC. 8) Calcular el valor de: 2Cos80º.Csc10º Csc 4 45º Tg 26º30  Senx  30º   Cos60º  x  A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 9) Si se cumple     15º , donde  y  son 3 2 2 ángulos agudos, calcule: A) 2 B) 1 C) D) 3 E) 1 3 3 Tg   3   Sec 2  2  Csc2  4   Ctg 3  3 3) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) -3 tiene que:   A  Cot  2   SecC tgA  6SecA  4 ,     10) Calcule la suma de los cuadrados de los senos calcule 20CosC  TgA de los ángulos que forman la diagonal de un A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29 7Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
    • Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. cubo con las aristas que parten del vértice de A) 2 B) 1 C) 15 D) 4 E) ¼ donde partió la diagonal. 3 A) ½ B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 15) Calcule :  15º  2  15º 11) Calcule el valor numérico de la expresión: E  tg 2    Ctg    2   2    g g  50   200  A) 30  16 3 B) 30  16 3 C) 30  12 3 2  3 Tg    8Cos   3   3  D) 30  12 3 E) 30  3   2Tg    2 3Csc60º 4 16) Reducir la siguiente expresión: A) 1/3 B) ½ C) 2/3 D) 5/6 E) 1 1  Csc27º .Cos63º Ctg (27º  x).Ctg (63º  x)  Sen 27º12) En un triángulo de la figura mostrada A) -1 B) -½ C) ½ D) 0 E) 1 m<BAE = 90º, BC = CD =DE; entonces, el valor de 8Tgw.tg es: 17) En la figura adjunta, AB = 8r; AD = DC. Calcule el valor de Csc A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 3 B) 5 C) 6 D) 10 E) 1313) Del gráfico adjunto calcule el valor de 18) En la figura ABCD es un cuadrado y BC = 3BP. Ctg  3Ctg .Dado que AB = 8 y BD = EC = 2. Determinar Tg + Ctg A) 7  3 B) 9  3 C) 7  3 D) 9  3 E) 7  3 A) 0,5 B) 1,5 C) 2,5 D) 3,5 E) 4,514) En un triángulo mostrado, calcule 2Cos , si 19) En la figura , Calcule : el área de la región triangular ADC es el     3  8 Tg  2 3  1 Tg , Si 4BD = DC cuádruple de la región ABD. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo