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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA SenA  CO  a CscA  H  b CEPUNS CosA  H b CA c  CO a SecA  H  b Ciclo 2013-II H b CA c CA c TanA  CO  a CotA   TRIGONOMETRÍA CA c CO a “RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Semana Nº 3Razón Trigonométrica: Son aquellos números que Razones Trigonométricas Recíprocasresultan de dividir dos lados de un triángulo Siendo  un ángulo agudo se cumple:rectángulo. 1 csc    sen . csc   1 ; sen 1 sec    cos  . sec   1 ; cos  1 ctg   tg .ctg  1 tgTeorema de Pitágoras: “La suma de los cuadradosde los catetos es igual al cuadrado de la Razones Trigonométricas De Ánguloshipotenusa” Complementarios . a2 + b2 = c2 Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulorectángulo son complementarios” . A + B = 90ºDefinición De Las Razones Trigonométricas ParaUn Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en“C”, se establecen las siguientes definiciones: En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º) Cateto Opuesto a Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto bSen = = Hi potenusa c como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en Cateto Adyacente consecuencia:Cos = = b Hipotenusa c b a sen   cos  ; cos    sen c c Cateto Opuesto atg = = b a Cateto Adyacente b tg    ctg  ; ctg    tg  a b Cateto Adyacente b c cCtg = = sec    csc ; csc   sec  Cateto Opuesto a a b Hi potenusa c Debido a estas relaciones las co-razones son::Sec = =  seno y coseno. Cateto Adyacente b  tangente y cotangente. Hi potenusa c  secante y cosecante.csc = = Cateto Opuesto a Teorema del complemento RTα  co  RTcomplemento de   1Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.Se llaman co–razones trigonométricas una de la 67º 30 75º 71º 30otra. 4+ 2 2 10 1 4 6- 2 1NOTA: 22º 30 15º 18º 30 Sen   Csc  1 2+1 6+ 2 3  Si:  Cos   Sec   1        Ctg  1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Tg * CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento  Si: RT   co  RT       90º mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de unTRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES ángulo agudo que también se conoce. 60º Criterio: 45º 2 2 Lado desconocid o  R.T.( conocido) 1 1 Lado conocido 45º 30º 1 Casos: 3 1. 53º C 5 3 I) BC  Tan   BC  L 37º AC   AC  II) 4RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES  L A L B 30º 37º 45º 53º 60º 2. 1 3 2 4 3 C Sen 2 5 2 5 2 I) AB  Cot   AB  3 4 2 3 1 L Cos L 2 5 2 5 2 AC   AC  II) 3 3 4  L Tan 1 3 A B 3 4 3 Cot 3 4 1 3 3 3 3 4 3 C I) BC  Sen   BC  2 3 5 5 Sec 2 2 L 3 4 3 L 5 5 2 3 AB    II) Csc 2 3 2 4 3  L A BA partir de estos se determinarán otrosadicionales como: PROBLEMAS RESUELTOS B 63º 30 82º 74º 5 5 2 25 1. Halle “ctg” del gráfico, si: 1 120º 1 7 AB  BC M26º 30 8º 16º 2 7 24  A C 2Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. B A) 2 3 B) 3 3 C) 3 D) 3 / 6 E) 3 / 9 RESOLUCIÓN B 3a 2n 4n 60º 60º 4n n 30º D M a n 3 60º 2n  30º A C n   30º A) 3 B) 3 C) 3 D) 3 E) 3A C 2n 3 n 3 P n 3 5 6 7 8 9 RESOLUCIÓN 3n 3 B 3n 3 60º APM : ctg  n  ctg  3 3 3a = 6k RPTA.: B 8k 2. Si CD  3AD, halle: tg D (tomar: sen37º=0,6) 60º k 3 30ºa = 2k   60º A 7k k C k 3 3 tg   53º 7k 7 RPTA.: C A D C A) 1 B) 1 C) 3 D) 3 E) 1 4. Siendo “” y " β" las medidas de 2 16 8 8 16 4 ángulos agudos tales que: RESOLUCIÓN cos11. sec  1   cos . csc   1 9K Halle: W  tg  37º30 sen   52º30 .  12K A)1 C) 3 D) 3 E) 3 B) ½ 2 3 5K 15K 53º RESOLUCIÓN A 53º D C Datos: 4K i) cos11.sec  =111=  … (I) 3K ii) cos . csc   1 3k 3 Se pide: tg   16k 16 sen 90º . csc   90º        90º..(II ) RPTA.: D I en (II ) :   11  90º    15º  7 º30 3. Si el triángulo ABC es equilátero. 2 Determine tg. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.  15º  165º RESOLUCIÓN" " enI :   11   82º30  2  2Piden: W  tg   37 º30.sen   52º30  ?  W  tg 45º .sen 30º   1 2  RPTA.: B a 2 2a 5. En un triángulo rectángulo si la 45º hipotenusa es el doble de la media a 2 a 2 geométrica de los catetos. Calcule la suma a de las tangentes trigonométricas de los a ángulos agudos del triángulo. A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6 De la figura: Cot   3 RESOLUCIÓN RPTA.: D  7. Del gráfico, halle “x”, en términos de “”. c a   3 bSi: c  2 abSi pide: E  tg  tg 2 2 2 a b a b E   x b a ab A) 3cos   2Sen Pero: a² + b² = c² B) 2cos   3Sen E= 4ab C) 2sen  3cos  4 ab D) 3sen  2cos RPTA.: C E) 2sen  3cos RESOLUCIÓN 6. En la figura ABCD es un cuadrado, M y N 3Sen son puntos medios. Determine "cot " .  A B 3  M  2  x D N C 2Cos A) 2 B) 1 C) 3 D) ½ E) 1/3  x  3Sen  2Cos RPTA.: D 4Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 8. En la figura, halle “X” en términos de ””, A) 2r  sen  cos “  ” y “m”. B) r  csc  sen   C) r  sen  cos  X  D) 2r csc  sec  2 E) r sec csc  RESOLUCIÓN m r Csc  B C mctg  tg  A) B) m  tg  ctg  mctg  tg 1 C) r Sec  r Sec  mtg  ctg 1 D) r E) m.ctg  tg  RESOLUCIÓN  A  r Csc   Perímetro del rectángulo csc  sec X OABC= 2R RPTA.: D  PROBLEMA DE CLASE xctg xtg m 1) Si “” es la medida de un ángulo agudo que satisface la Del grafico: xCtg  xtg  m igualdad:     , entonces el valor Sec Tg   Csc Tg  3  4  x Ctg  tg   m de la expresión E  2Sen  Cos , es:  x  mctg  tg 1 Cos  Sen RPTA.: C A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9. En la figura, halle el perímetro del 2) Si la igualdad se verifica para un valor de x en rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio  0; 2 del cuadrante MON es “r”. B C  x.Senx  x.Cosx. x.Cosx. x.Cosx. ... N Indicar el valor de: E  6tg 6 x  8tg 81x 16.Ctg 61x  18.Ctg 18 x a) 9/19 b) 7/17 c)1 d) 1/2 e) -1 3) Si A, B y C son los ángulos de un triángulo rectángulo ABC recto en B. Calcular el valor de: r E  cos 2 A  Cos 2C  Csc 2C Tg 2A a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3 A M O 5Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.4) En la figura AOB es un cuadrante, tal que 2 OD = 4 DE, entonces el valor de tg es: a) 1/3 b) ½ c) 2 d) 2 e) 2 2 3º EXAMEN SUMATIVO 2009 III 8) Se sabe que:      Sen a. .Sec  b.   3.tg  3 2 3 6 y que a  Csc .Csc y b  Sec  .Sec  Entonces el valor de H       , es: 2.Sec   2  A) 41  1 B) 41  3 C) 41  5 D) 1 E) 1 A) 4 B) 2 C) 6 D) 8 E) 10 4 4 4 4 2 9) Sí 2  3  m ; entonces el valor de5) Si Sen   40 y 0     , hallar  Ctg     R = tg7º30` - Ctg 7º 30`, en términos de m es: 41 2 4 a) m/3 b) m/2 c) m d) 2m e) 3m a) 41  5 b) 41  5 c) 41  3 4 4 4 10) En un triángulo ABC, AC = 10m, <A = 2<B y la d) 41  3 e) 3 longitud desde el pie de la altura trazada 4 4 desde el vértice C hasta el punto B es igual a 3º EXAMEN SUMATIVO 2010 III 15m, luego el ángulo C mide: a) 3 b) 3 c)  d) 2 e) 36) En la figura mostrada AOD es un cuadrante, M 8 4 2 5 7 y P son puntos de tangencia. Determinar E=(1 – tg)2. 11) Dada las relaciones: A Sen(a+b)º=cos(a-b)º Tg (2a-b).ctg(a+2b) = 1 Calcular el valor de : Tg2 (a+b) + Csc (a-b) P a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12) En un triángulo AB, se tiene:  2m<BCA = m<BAC   Cos(2C) = 1/8 ; c = 4u 0 M B La medida de los lados a y b, respectivamente, A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 son: a) 6u y 7u b) 6u y 4u c) 6u y 5u d) 6u y 6u e) 6u y 3u7) En el gráfico mostrado, calcular "tg ". Si: O y O son centro y P, Q y T son puntos de 13) Siendo "" angulo agudo, además tangencia. Csc (40º -2) = Sec(50º+2).tg(20º+) Calcular el valor de: 5sen (    10 º )  k  cos(    50 º ). sec(  20 º ) a) 5 2 b) 5 2 c) 3 2 d) 5 3 e) 5 2 3 2 2 3 14) De la figura mostrada, determine la longitud del segmento BD en términos de m, y  siendo AC=m. 6Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. B D    A C A) m sen.ctgB) m cos.tg C) m sen.tg  D) m[tg – ctg E) m cos.ctg a)5 b) 1/5 c) 1 d) 7/2 e)7/315) Siendo ABCD un cuadrado, además 5) Del gráfico halle:   <26º30, 45º>. Hallar la variación de tgx. W  sen  cos  A x B 127º 9 10   C) 23 D)  7 E)  23 D C A)1 B) 7 A) <1/2; 3/4> B) <3/4; 1> 17 17 17 17 C) <1; 2> 6) Si csc2x cos4x=1, calcular el valor de: V=sen(x+15º)+ctg3x+csc(4x – 30º). D) <2; 3> E) <3; > A) 2,0 B) 2,5 C)3,0 D) 3,5 E)4,5 7) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado, PROBLEMA DE REPASO calcular csc, DO=OE. A B 1) Si: sen2x - cos15x = 0  Calcular el valor de: E = sen13x.sec4x + tg10x - ctg7x E a) -2 b)-1 c)0 d) 1 e) 2 O 37 °2) Calcular aproximadamente el valor de: D C  37 º   53º  2ctg   4   3ctg  4     4 41 41     A) 41 B) 41 C) 4 a) 10 b) 10  5 c) 5 d) 3 10  2 5 41 4 41 e) 2 10  3 5 D) 5 E) 53) Si: E  x 2  y 2sen 20 ºxy (cos 70 º1) . 8) Se tiene la región triangular ABC, si AC=a, 2 x  y cos 70 ºxy (sen 20 º1) 2 m ACB  m BAR   . Reducir: 1  E M AB 1E Halle: sen cos  a) x b) y c) y d) e) 3y B 2x R y x 2x y x 4) Del gráfico. Halle: W  sec2   tg2 C A 7Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
  • 8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. A) a sec2 B)a sen2 C)a cos2 A) 2tgC B) TgB + TgC C) 2tgB 2 2 D) tgC + ctgC E) 2(tgC + tgB) D) a tg E) a ctg 14) Del gráfico que se muestra encontrar el valor9) En la figura mostrada M es punto medio de de 6x+4y, si se sabe que BC=12m y BM es AC , m BCD  60º , AM=MD=2u. Hallar 4BN. mediana relativa a la hipotenusa. D B A M ° 37 B N C y x  6  2 6 2 A) 2 B) 6 2 C) 4 6  2 A M C D) 2 2  6 E) A) 20 B)21 C) 24 D)25 E) 2810) En la figura mostrada ABCD es un rectángulo, 15) Con los datos de la figura si tg 76º =4, AM=PC=a, MB=3a, BP=2a y m MPD  xº . entonces el valor de “x” es: Halle E=tgx – 1. A M B P D C A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 A) 6 B) 8 C) 12 D) 18 E) 2411) En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado y M es un punto medio del lado AB. Hallar ctg .  sen   cos    0 D C 16) Si: 2   tg    cot  0  3   2   Calcular:     sen    cos   tg36º .tg    22   2  A M B 2 3 A) 5 B)4 C) 3 D) 2 E) 1 a) 0 b ) ½ c) 1 d) 2 e) 312) Halle el valor aproximado de: 17) Si los catetos de un triángulo rectángulo son  53º   37º  como 3 es a 5, el coseno del ángulo agudo E  Ctg    Ctg    5  10  4   4  mayor Es: A) 2 B)3 C) 4 D)5 E) 6 1 3 34 a) 1 b) c) d) 3 e) 43 34 34 43 313) En un triángulo BAC, recto en A, la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo x; luego tgx es igual a: 8Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo

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