1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“Sector Circular”
SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitado por dos
radios y un arco de circunferencia
De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de
longitud de un arco de circunferencia, se calcula
mediante el producto del número de radianes
del ángulo central y el radio de la
circunferencia.
Deducción: Sea la circunferencia con
centro en “0” y radio “r” comparando la
longitud de arco y el ángulo central como
se muestra en la figura siguiente:
Teniendo en cuenta el significado
geométrico de 1rad. se tiene:
Longitud de Arco Ángulo Central
l rad.
r 1 rad.
De donde se obtiene l = . r .
Donde:
l : longitud de arco
: Número de radianes del ángulo
central
r: radio de la circunferencia
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular la longitud
de arco (l), siendo 0: centro.
Solución:
l =
6
. 18
l = 3 cm
PROPIEDAD:
2
1
2
1
L
L
A
A
(Radio constante)
Área Del Sector Circular: El área de un
Sector Circular se calcula mediante el producto
del número de radianes del ángulo con el radio
de la circunferencia elevado al cuadrado
dividido entre dos.
Deducción:
Comparando (por regla de tres simple)
Área de un Sector Circular Ángulo Central
r2
2 rad.
Semana Nº 2
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S rad.
Resolviendo se obtiene:
2
2
r
S
también:
2
rl
S
2
2
l
S
Ejemplo:
Del gráfico mostrado, calcular el área del
sector A0B. 0: centro.
Solución:
2
6
.
3
2
S
S = 6 cm2
Área del Trapecio Circular:
d
LL
S
2
21
AOBCOD SSS
Valor numérico del ángulo central
=
d
LL 21 ; (0 < < 2 )
NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de
vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante
el cociente de la longitud que describe el centro
de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la
rueda).
En esta figura el número de vueltas que da la
rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”
hasta “B” se calcula:
r
n c
v
2
l
;
r
L
g ;
2
g
n
(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).
(*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
una superficie curva.
r
rR
n
2
r
rR
n
2
(*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.
Se cumple:
1r1 = 2r2
n1r1 = n2r2
L1 = L2
(*) Ruedas unidades por sus centros.
Se cumple: 1 = 2 n1 = n2
2
2
1
1
r
L
r
L
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Propiedad
PROBLEMA RESUELTOS
1) Halle el área sombreada:
a)
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
RESOLUCIÓN
Sx = SAOB SCOD
x
x
x
x
x
S a² b²
2 2
S a² b²
2
1
S 6²
2 6
36
S
12
S 3
RPTA.: C
2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas
tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando
la rueda menor gira º la mayor gira g
.
¿En qué relación se encuentra los radios?
a) 3
7
b) 8
13
c) 9
10
d) 3
10
e) 9
4
RESOLUCIÓN
Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda
menor y mayor respectivamente.
En una bicicleta se cumple que:
1R1 = 2R2
ºR1 = (g
)R2
1 2
1
2
9
ºR º R
10
R 9
R 10
RPTA.: C
3) Se tienen dos ruedas conectadas por una
faja; si hacemos girar la faja, se observa
que las ruedas giran ángulos que suman
144º. Determine la diferencia de los
números de vueltas que dan estas ruedas
si sus radios miden 3 m y 5 m
a) 1
3
b) 1
8
c) 1
9
d) 1
4
e) 1
10
RESOLUCIÓN
1 + 2 = 144º
L1 = L2 1R1 = 2R2
1 2 1
2 1 2
R V 5
R V 3
1 2 144 1
2 2 180 2
0
R
S
R R R R
R
R
R
3S
5S
7S
5
3
g
º
R1
R2
30ºo
C
D
B
A
6
30ºo
C
D
B
A
6
a
b
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1 2 1 2
1 2
2 2
V V 8k V V 2k
5 5
1 1
k V V 2
20 20
1
10
RPTA.: E
4) Halle el número de vueltas que da la
rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A
hasta la posición B.
a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11
RESOLUCIÓN
RECORRIDA
#V
2 r
Sabemos: r = () (21) = 21
# vueltas =
21
2 1
#v = 10,5
RPTA.: D
5) De la figura mostrada, la rueda de radio
r, gira sin resbalar sobre la superficie de
radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida
por el centro de la rueda hasta que el punto
B este en contacto con la superficie de la
curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?
a)24 b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4
RESOLUCIÓN
AB
L = 240º 18u 24
180
De la figura:
L 24
241r 240r
L = 24,1
RPTA.: B
6) En la figura, el trapecio circular ABCD y
el sector circular COD tienen igual área.
Halle: m
n
a) 2
2
b) 1
2
c) 2
d) 2
e) 1
RESOLUCIÓN
m²
menor : S
2
n²
mayor : 2S
2
1 m²
2 n²
1 m m 2
n n 22
RPTA.: A
r o
rBoA
20
A
r
B
B
A240 r
A
r
B
B
240
r
L
nmo
D
A
B
C
n
mrad S S
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7) Se tiene un sector circular y un
cuadrado, con equivalente área e igual
perímetro; luego la medida, en radianes, de
su ángulo central correspondiente resulta
ser:
A)1 rad B) 2 rad C) 1
rad
2
D)4rad E) 1
4
rad
RESOLUCIÓN
Condiciones:
i) S = S L R
a²
2
R.L = 2a²
ii) Perímetro = Perímetro
2R + L = 4a
(2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²)
4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
4R² 4R.L +L² = 0
(2RL)² = 0 2R L = 0
2R = L 2R = R = 2
RPTA.: B
PROBLEMA DE CLASE
1) De la figura mostrada calcule:
1
32
.11
2
L
LL , si L1 ,
L 2 y L 3 son longitudes de arcos y
AB = BC = CD y “K” es el área del sector
circular JAH
A) 4 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
2) La medida del ángulo central de un sector
circular de radio R es 24º y se desea
disminuirlo en 18º de tal manera que el área
no varié si aumentamos el radio una longitud
“x” .determinar “x”
A) R B) 2R C) R/2 D) R/3 E) 3R
3) De la figura mostrada, Siendo O centro del
sector circular AOB y COD, xBDAC ,
1 xLCD
, 1 xLAB
, entonces el valor de
x. , es:
A) 1 B) 1,5 C)2 D) 2,5 E) 3
4) De la figura mostrada si AOB, COD y EOF
son sectores circulares, además;
CDLOBOA , ABLDFCE ;
EFLBDAC . Calcule:
1
1 3
M
A) ½ B) ¼ C)1 D) 2 E) 4
5) La figura adjunta es una semicircunferencia
donde O es el punto medio de AD. Si el área
de la región sombreada es y m<BOC =
90º, determine el área de la región
triangular BDC.
A)
2
B)
2
2
C)
2
D)
2
2
E)
2
2
6) En la figura mostrada, Se muestra dos
circunferencias de radios r1 y r2 (r1 < r2) y L1
, L2 son las longitudes de arco de los
S
a
a
a
a
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sectores circulares , AOB y COD
respectivamente. calcular L1/L2
A) 1
21.
rr B) 1
12 .
rr C) 21 rr
D) 21.rr E) 21 rr
7) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 =
3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se
encuentran inicialmente al mismo nivel y la
rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1
rad, entonces la diferencia de alturas (h),
después de este giro (en u), es:
A) 2.5 B)2 C) 3 D) 3,5 E) 1
8) De la figura mostrada, determinar el
número de vueltas que da una rueda de
radio r para recorrer el circuito MNP.
A)
r
rR
6
3 B)
r
rR
6
3 C)
r
rR
2
3 D)
r
rR
2
3 E)
r
rR
6
3
9) Calcule la altura en términos de R, a la que
se encontrará el punto A de la rueda,
cuando éste gire un ángulo de 1305º,
desplazándose sobre una pista horizontal.
a) b) c)
d) e)
10)Determine el área de un sector circular en
función de su perímetro P, si se sabe que
dicha área es máxima.
A)
2
2
P B)
4
2
P C)
8
2
P D)
16
2
P E)
32
2
P
11)Determine el número de vueltas que da la
rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9r/2 ,
R = 9r
a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9
12)De la figura mostrada sí 3r ; AM = 6,
MB =8. Calcule el número entero de vueltas
que da la rueda al ir desde A hasta B sin
deslizamiento.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
13)Dos ruedas de radio r y R (r < R), recorren
la misma distancia horizontal. Si la suma del
número de vueltas de ambas ruedas es igual
a 10 veces su diferencia. Entonces, el
cociente entre los ángulos barridos, de la
rueda menor a la rueda mayor es:
A)
11
9 B)
10
9 C)
9
10 D)
9
11 E)
10
11
14) En la figura. Si la rueda “A” gira un ángulo de
300g
¿Qué ángulo girara la rueda D?
R
A
2 1 R
1 2 2
R
2
1 2 2
R
2
2 2
R
2
2 2 1
R
2
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RA = 3, RB = 4, RC = 1, RD =2
A) 1620º B) 1680º C)1690º D) 1720º E) 1800º
15)En la figura mostrada, cmRR BA 2 ,
cmOO 22''' , Calcule el área de la
región sombreada.
A) 22 B) 32 C)
2
7
2
D) 42 E) 52
16)Si el perímetro de la región sombreada es
√ , calcule la longitud del lado del
cuadrado ABCD.
A) ½ B) 1 C) √ D) √ E) 2
PROBLEMA DE REPASO
1) En la circunferencia de la figura mostrada,
dos autos A y B parten del punto P en la
misma dirección, con velocidades VA y VB
respectivamente; después de un tiempo “t”
el ángulo central formados por sus
posiciones finales mide 90º. Calcule el valor
de a (en radianes), si se cumple que VA es a
VB como 2 es a 5.
A)
6
B)
5
C)
4
D)
3
E)
2
2) En la figura, las áreas de las superficies
ABCD y DOC cumplen la relación
S ABCD = 2.S DOC .calcule
3
2
n
m
A)0 B) ½ C) 1 D) 3/2 E) 2
3) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado
de lado 4u. calcule el área de la región
sombreada.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el
ángulo (en radianes) que se debe girar para
que los centros de las esferas A y B se
encuentren a la misma altura si inicialmente
dicha diferencia de alturas es de 14
unidades?
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5
A
B
2u
5u
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5) De la figura, calcular
2
1
S
S ; siendo S1: Área
del sector AOB y S2: Área del sector COD.
a)
ba
a
b)
ba
a
c)
ba
a
2
d)
ba
a
2
e)
ba
a
2
6) Hallar el área de la región sombreada si
AOB y COD son sectores circulares, donde
y .
a) b)c)d)e)
7) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además
O es el centro del sector circular AOB,
entonces el perímetro de la región sombreada
es:
a) 2 b)
3
11 c)
3
5 d)
3
7 e) 3
8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero
de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de
la curva que une los puntos D,E,F, y B,
sabiendo que BAF, FCE y EBD son sectores
circulares.
a) 12cm b)16 cm c)18cm d)24 cm e) 30 cm
9) De la figura mostrada determinar el número
de vueltas que da la rueda de radio “r” en su
recorrido de A hasta B (R=7r).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
10)En la figura mostrada, el extremo “A” del
péndulo recorre los arcos L1 y L2 hasta llegar
a C . Halle “x” (en m), si L1 + L2 = 8m
A) 7 B) 8 C) 8.5 D) 9 E) 9.2
11)En el sistema mostrado, las ruedas A y B
están unidas por una faja, y las ruedas B y C
están unidas por un eje común. Halle el
número de vueltas que da la rueda “C” si la
rueda “A” barre un ángulo de 2160º
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2
9
BC 3m
O
A
C
B D
135º
R
R
A
B r
r
