1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-III
TRIGONOMETRÍA
‘‘ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS’’
Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la
variable (x) o arcos de la forma (ax + b)
se encuentran afectados de algún
operador trigonométrico como el seno,
coseno, etc. Es de la forma:
F. T. (ax + b) = N … … (∗)
Donde el valor principal (Vp) es el valor
del ángulo o arco (ax + b) definido en el
"rango" de la función trigonométrica
inversa.
De (*): Vp = arc F. T. (N)
F.T. V.P.
sen [−
π
2
;
π
2
]
cos [0: π]
tan 〈−
π
2
;
π
2
〉
N debe pertenecer al dominio de la
función trigonométrica; a y b cte. a ≠ b .
Ejemplo:
sen3x =
√3
2
⇒ Vp = arcsen (
√3
2
) =
π
3
cos (2x +
π
4
) = −
1
2
⇒ Vp = arccos (−
1
2
) =
2π
3
tan (
3x
5
−
π
8
) = −1 ⇒ Vp = arctan(−1) = −
π
4
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS
LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
ECUACION SOLUCION
Si: senx = N ⇒ x = kπ + (−1)k
Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc sen(N)
ECUACION SOLUCION
Si: cosx = N ⇒ x = 2kπ ± Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc cos(N)
ECUACION SOLUCION
Si: tanx = N ⇒ x = kπ + Vp;
∀k ∈ 𝑍
Vp = arc tan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Es una desigualdad condicional que
involucra funciones trigonométricas por
lo menos una.
Ejemplos:
 sen2x > 𝑐𝑜𝑠𝑥
 tan2x + cot2x > 𝑐𝑠𝑐𝑥
 sen2x <
1
3
INECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
ELEMENTAL:
Una inecuación trigonométrica se llamará
elemental, cuando es de la forma:
F. T. (kx + θ) ≶ a ; x: incognita
Ejemplos:
 senx >
1
2
 tan3x ≤ 1
Resolución de una Inecuación
Trigonométrica Elemental:
Se estila seguir dos métodos:
Resuelve: 𝐒𝐞𝐧𝐱 >
𝟏
𝟐
Semana Nº 12

2. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
2
Método I:
En la circunferencia trigonométrica,
ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos
sean mayores que
1
2
, así:
Método II:
Graficamos en un mismo sistema
coordenado las funciones:
f(x) = Senx y g(x) =
1
2
Los puntos de intersección en un periodo
del Senx: osea en [0; 2𝜋], se obtienen con:
f(x) = g(x) ⟶ Senx =
1
2
∴ x =
π
6
∨
5π
6
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sume las dos primeras soluciones
positivas de: Sen2x =
1
2
a)180° b) 360° c) 90°
d)270° e) 135°
2. Sume las dos primeras soluciones
positivas de: Tan(2x − 30°) = √3
a)170° b) 180° c) 200°
d)210° e) 150°
3. Si: 𝑥1 𝑦 𝑥2 son los dos primeros
valores positivos de “x” que verifica:
2Sen2
x + Cosx = 1
Calcule: Sen(x2 − x1) si: x1 < x2
a)
√3
2
b)
1
2
c) 1 d) −
1
2
e) −
√3
2
4. Resolver:
(Sen4x + Cos4x)(Senx + Cosx) = 1 + Sen5x
Indique la suma de los tres primeros
valores positivos de “x”.
a) 2π b) 3π c) π d)
7𝜋
3
e) 4π
5. Dada la ecuación:
Cosx + Cos2x + Cos3x = 0,
Hallar la suma de todas las soluciones
de dicha ecuación, si estas soluciones
están comprendidas entre 0 y 2π.
a) π b) 2π c) 4π d) 3π e) 6π
EXAMEN SUMATIVO
6. Calcule la mayor solución negativa de
la ecuación:
𝑆𝑒𝑛5
𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝑆𝑒𝑛𝑥𝐶𝑜𝑠5
𝑥 =
1
4
A)−
𝜋
2
B)−
𝜋
4
C)−
3𝜋
8
D)−
𝜋
8
E)−
3𝜋
4
EXAMEN SUMATIVO
7. Resuelva la ecuación:
2. 𝑆𝑒𝑛2𝑥. 𝑆𝑒𝑛6𝑥 = 1; 𝑥 ∈ ]0;
𝜋
8
]
A) {
𝜋
16
,
𝜋
8
} B) {
𝜋
8
,
𝜋
12
} C) {
𝜋
12
}
D) {
𝜋
16
} E) {
𝜋
8
}
EXAMEN SUMATIVO
8. Calcula la suma de la mayor solución
negativa y la menor solución positiva de
la ecuación: 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1 + 𝑆𝑒𝑛2𝑥
A) −
𝜋
2
B)
𝜋
4
C) −
𝜋
4
D)
𝜋
2
E) −
𝜋
8
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1)x(g 
f(x)=Senx
2
1
y
5
6

6
2 2x + y =1

3. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
3
EXAMEN SUMATIVO
9. Calcula la suma de soluciones de la
ecuación:
𝑆𝑒𝑛𝜃 − √3. 𝐶𝑜𝑠𝜃 = −2; 𝜃𝜖〈0; 6𝜋〉
A)
17𝜋
2
B)
25𝜋
2
C)
15𝜋
2
D)
23𝜋
2
E)
𝜋
8
EXAMEN SUMATIVO
10. Calcula la suma de soluciones de la
ecuación:
5𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 − 𝐶𝑜𝑠3𝑥 + 𝑆𝑒𝑛3𝑥 = 0; 𝑥𝜖〈0; 4𝜋〉
A) 8𝜋 B)
5𝜋
2
C) 7𝜋 D)
7𝜋
2
E) 6𝜋
EXAMEN SUMATIVO
11. La solución general de la ecuación:
𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 = 1, es:
a) 𝑘𝜋 + (−1) 𝑘 𝜋
4
−
𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍
b) 𝑘
𝜋
2
+ (−1) 𝑘 𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 𝑘𝜋 + (−1) 𝑘 𝜋
4
+
𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍
d) 𝑘
𝜋
6
+ (−1) 𝑘 𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍
e) 𝑘
𝜋
2
+ (−1) 𝑘 𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍
EXAMEN SUMATIVO
12. Resolver para x:
)4(2123 Senxsenx 
a) Zkk k
 ,
4
)1(

 b) Zkk k
 ,
3
)1(


c) Zkk k
 ,
6
)1(

 d) Zkk k
 ,
4
)1(2


e) No tiene solucion en R
EXAMEN SUMATIVO
13. Una solución de la ecuación
𝑇𝑔𝑥 + 3𝐶𝑡𝑔𝑥 = 4 es:
a) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3 b) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
1
3
c) 37°
d) 53° e) 60°
EXAMEN SUMATIVO
14. Si 𝑆𝑒𝑛𝜃 = 𝐶𝑜𝑠1340° 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
0° < 𝜃 < 360°, entonces el valor de 𝜃
en el cuarto cuadrante, es:
a) 330° b) 350° c) 320°
d) 310° e) 280°
EXAMEN SUMATIVO
15. Los valores de x, comprendidos entre
0 y
2
3 , que resuelve la ecuación
trigonométrica:
2Sen2x – sen x – 1 = 0 , son:
a)
3
2
2

y
b)
6
7
2

y
c)
6
5
3
2 
y
d)
4
3
3

y
e)
2
3
 y
EXAMEN SUMATIVO
16. Si: 0cos14
 xsenx , entonces la
suma de las soluciones, x , tal que
 2;0x , es:
a)
2
 b)
2
3 c) 2 d)  e) 0
EXAMEN SUMATIVO
17. Si   2
1 SenxCosxCosx  ,
entonces un valor de x, es:
a) 10° b) 20° c) 30° d) 45° e) 60°
EXAMEN SUMATIVO
18. Resolver la ecuación:
Tg 2a + Ctg a = 8.Cos2a
a)
24
5
24

y
b)
224

y
c)


y
12
d)
212

y
e)
12
5
12

y
EXAMEN SUMATIVO
19. Al resolver la ecuación
𝐶𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 =
1
8
𝐶𝑠𝑐𝑥 se obtiene:
a)
𝜋
6
b)
𝜋
3
c)
𝜋
12
d)
𝜋
24
e)
𝜋
18
EXAMEN SUMATIVO
20. Resolver, si : 𝐶𝑜𝑠 (2𝑥 +
𝜋
3
) = −
√2
2
a) 𝑘𝜋 ±
3𝜋
7
−
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍 b) 𝑘
𝜋
2
±
3𝜋
8
−
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍

4. Docentes: Lic. Rodolfo Carrillo- Edgar Fernández – Johnny Martínez Trigonometría.
4
c) 𝑘𝜋 ±
3𝜋
8
+
𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍 d) 𝑘𝜋 ±
3𝜋
8
−
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍
EXAMEN SUMATIVO
21. Calcular x , si : 6𝐶𝑜𝑡2
𝑥 − 4𝐶𝑜𝑠2
𝑥 = 1
a) 𝑘𝜋 ±
𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍 b) ) 𝑘𝜋 ±
𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 𝑘𝜋 ±
𝜋
4
, 𝑘 ∈ 𝑍 d) 𝑘𝜋 ±
𝜋
5
, 𝑘 ∈ 𝑍
e) 𝑘𝜋 ±
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍
EXAMEN SUMATIVO
22. Resolver: 2(1 − 𝐶𝑜𝑠𝑥) = 𝑆𝑒𝑛𝑥𝑇𝑔𝑥
a)
2𝑘𝜋
3
, 𝑘 ∈ 𝑍 b) ) 2𝑘𝜋 ±
𝜋
6
, 𝑘 ∈ 𝑍
c) 2𝑘𝜋 ±
𝜋
2
, 𝑘 ∈ 𝑍 d) 2𝑘𝜋 ±
𝜋
7
, 𝑘 ∈ 𝑍
23. Resolver la siguiente ecuación
trigonométrica:
1 − Tanx
1 + Cotx
= Sec3π ; ∀k ∈ Z
a) 𝑘𝜋 +
𝜋
4
b)
𝑘𝜋
2
+
5𝜋
8
c)
𝑘𝜋
2
+
𝜋
8
d)
𝑘𝜋
2
+
3𝜋
4
e)
𝑘𝜋
2
−
𝜋
4
24. Determine el número de raíces que se
obtiene al resolver la ecuación
trigonométrica.
Cos2x = 2Sen2
(
π
4
− x); si 𝑥 ∈ [0; 𝜋]
a) 1 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5
25. Resolver el sistema de ecuaciones :
x + y =
π
2
… … … (1)
Senx = Seny … … (2)
a)
π
2
− kπ b)
π
2
+ kπ c)
π
4
− kπ
d)
π
5
− kπ e)
π
6
− kπ
26. Resolver la inecuación, Para x en [0; 2𝜋]
Cosx < Sen
π
6
a) [−
𝜋
3
;
𝜋
3
] b) 〈
𝜋
3
;
5𝜋
3
〉 c) ∅
d) [
𝜋
2
;
3𝜋
2
] e) FD
27. Resolver el intervalo de 〈0; 2𝜋〉 la
inecuación: −
1
2
< Cosx <
1
2
a) x ∈ 〈
π
3
;
π
4
〉 ∪ 〈
3π
4
; π〉
b) x ∈ [
π
3
;
2π
3
〉 ∪ 〈
4π
3
;
5π
3
]
c) x ∈ 〈
π
3
;
π
4
〉 d) x ∈ [0;
π
4
〉 e) x ∈ 〈
π
4
;
3π
4
〉
28. Hallar el valor de: ‘‘a’’ para los cuales
la ecuación : Sen4
x − 2Cos2
x + a2
= 0
Tiene soluciones reales.
a) |a| > 2 b)|a| ≤ √2
c) |a| > 1/2 d) |a| < 0
e) |a| = 2
29. Sea la ecuacion f(x) = g(x) Hallar la
suma de soluciones si 0 < 𝑥 < 2π
f
g(x)=|4senx|
x
y
a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π
EXAMEN SUMATIVO
30. Si 𝑥 ∈ 〈0,2𝜋〉 entonces la suma de las
soluciones de la ecuación
trigonométrica: Csc4x =2Csc2x es:
A) 𝜋 B)
𝜋
2
C) 4𝜋 D)
5𝜋
2
E) 2𝜋
EXAMEN SUMATIVO
31. La menor solución positiva de la
ecuación:
2(𝑆𝑒𝑛𝑥+𝐶𝑜𝑠𝑥)
𝑆𝑒𝑛2𝑥
+ 𝐶𝑡𝑔𝑥 = 𝑇𝑔𝑥 ,
es igual a:
A)
𝜋
4
B)
5𝜋
4
C)
7𝜋
4
D)
𝜋
6
E)
3𝜋
4