1. El documento explica los conceptos de ángulo geométrico y ángulo trigonométrico. 2. Se describen tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. 3. Se establecen las relaciones entre las unidades de medida de los diferentes sistemas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA P o r e je m p lo :
CEPUNS θ
-θ α - 10º
10º - α
Ciclo 2013-I
TRIGONOMETRÍA
Semana Nº 1
“Ángulo Trigonométrico”
al referirse a ángulo trigonométrico debemos tener en
Ángulo Trigonométrico:
cuenta el significado de ángulo geométrico y observar las características
de ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Abertura determinada por dos rayos a Abertura que se genera por el movimiento
partir de un mismo punto. de rotación de un rayo alrededor de su
A origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
Lado Inicial A
Definición
0 θ
0 θ
Lado Terminal
B
B
 Son estáticos  Son móviles
 No tienen sentido de giro, por lo  Su sentido de giro está definido:
tanto no hay ángulos negativos.
 Están limitados
 Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
Características ( 0º ≤ águlo Trigonométrico ≤ 360º )
 Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
 Su magnitud no tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
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2. P o r e je m p lo :
10º - α
-θ α - 10º
θ
Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia. Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1º <> (GradoSexagesimal )
360
1º <> 60`( MinutoSexagesimal )
1`<> 60``(SegundoSexagesimal )
1º <> 3600``( SegunoSexagesimal )
0
 b c 
Debemos tener en cuenta: a º b ´ ´´= a º +b ´+c ´´  a +
c = + 
 60 3600 
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Equivalencias:
1v
1g <> (GradoCentesimal )
400
1g <> 100 m (min utoCentesimal )
1m <> 100 s ( SegundoCentesimal )
1g <> 10000 s ( segundoCentesimal )
g
g m s g m s  b c 
Debemos tener en cuenta: a b c = a + b + c =  a + + 
 100 10000 
Ejemplo: 28 30 27 = 28 + 30 + 27
g m s g m s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidad de medida es el radian (1 rad.)
Equivalencias:
La medida de un ángulo en A
Aproximaciones de
r
radianes viene expresado por:
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3. Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
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RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparación entre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidad legamos a la
siguiente conclusión:
Sº Cg Rrad
= = =a
360º 400 g 2πrad
Sº Cg Rrad
= = =c
180º 200 g πrad
Sº Cg 20 Rrad
= = =k
9º 10 g πrad
También una equivalencia de esta última relación es:
πk
 S = 9k ; C = 10k ; R =
20
S C R R
 =
9 10
; S = 180 π ; C = 200
π
S C R R
 =
9 10
; S = 180 π ; C = 200 π
OBSERVACIÓN
Sexagesimales Centesimales
RELACIÓN MINUTOS:
DE # de grados S C
M m # de minutos 60 S 100 C
. = .
27 50
# de segundo 360 S 10000 C
M: # MINUTOS
SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS
CENTESIMALES
SEGUNDOS: 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a b
. = .
81 250
θ
a: # SEGUNDOS
SEXAGESIMALES α
b: # SEGUNDOS
-1 2 0 º
CENTESIMALES
a) α + θ = 240º b) α + θ = 120º
PROBLEMA DE CLASE
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c)α - θ = 240º d) α - θ = 120º a + 10b
E =
e) θ - α = 240º a
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
x
A) 1 B) 27 C) 30 D) 324 E) 325
y
6. Si se cumple :
2 2 2
a) x + y = 180º b) x + y = 360º π S2 +C 2 +R2  S   R   C 
+ = 1 +  + 1 +  + 1 + 
c) x - y = 360º d) x - y = 180º 12R (S + C + R ) 2  S + C + R   S + C + R   S + C + R 
e) x - y = 270º donde S, C y R son las medidas usuales del
mismo ángulo; entonces R es igual a:
3. De la figura halla el máximo valor que toma π π π π 5π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
120 60 40 30 120
"α " (1º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2012 III)
7. En la siguiente figura, la medida del ángulo
AOB, en radianes, es:
a) 180° b) 160° c) 150° d) 135° e) 120°
π π π π π
4. Del grafico, calcular la relación que cumplen los a) b) c) d) e)
ángulos: α , β , θ 6 36 18 12 22
(2º EXAMEN SUMATIVO – CEPUNS 2010 III)
8. Un ángulos positivo mide Sº ó Cg. Hallar 10
C
de la igualdad: S = C
C S
a) 10 b)9 c) 1 d) 10/9 e)9/12
9. Si: x º y '+y º x ' = (AB )º (CD )' ; x + y = 90 ,
calcular A + B + C + D
a) θ − α + β = 720° α − β + θ = 720°
b) a) 10 b) 18 c) 15 d) 12 e) 13
c) β − α − θ = −720° d) θ − α − β = 360°
e) θ + α + β = 360° 10. Halle “C” a partir de la ecuación:
S6 C7 20 8
+
9 10
−
π
R = 4 S5 + C6 − R 7 ( )
5. Simplificar la expresión:
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Siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un 2 1 3 2 7
a) b) c) d) e)
mismo ángulo. 13 15 20 25 12
a) 20 b) 25 c) 40 d) 50 e) 10
17. Siendo “S” el número de grados sexagesimales
11. Calcular “n”. Si: de un determinado ángulo que cumple:
R 18 4
C S + C + S C ... + C +  = 3800
+ +  + S +  S − S = 3 , Calcular la medida de dicho
π 4
"2n " Sumandos S
a)1 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50 ángulo en radianes.
9π 8π 7π 6π 5π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
12. De la siguiente expresión, calcular “n, si: 20 15 15 25 18
1º +8º +27 º +  + n 3 º ( )
= 420
1g + 2g + 3g +  + n g 18. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
A) 25 B) 27 C) 18 D) 23 E) 21 ángulo, donde :
x x
13. Calcular la medida de un ángulo en radianes, si S = x x + 2; C = x x + 4 . Calcular R.x
se cumple la siguiente condición: π π π π π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
( )
5 5 5
S C 5R 10 5 12 9 3
+ + = 2 S 4 + C 4 + R4
36 40 π
a)
4π
rad b)
2π
rad c)
3π
rad d)
5π
rad e)
2π
rad 19. Expresar “ α ” en radianes:
5 5 10 4 9 α = 1° + 2° + 3° + ... + 360°
a) 359π b) 360π c) 361π d) 362π e) 720π
14. Sabiendo que:
 1º 21′   2º15′ ′  4º 3′ ′′
º
g m s
20. Sabiendo que: C S = S C y además:
 3′   5′   3′  = a0 bc de
     
S =9x, Hallar: M = 10x
x
b+d+s+e
Calcule: M = a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a+c +e
1 1
a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3
PROBLEMA DE
15. Se ha creado un nuevo sistema: Sistema Rangel REPASO
3
En el cual 1R (grado Rangel) equivale a las
4 1. Calcular el mayor valor de un ángulo expresado
partes del ángulo de una vuelta. en grados sexagesimales tal que cumpla la
7π R π
Simplifique:
3R −
2
rad siguiente condición: 2 +3 =5
M =
18º π R
A) 10 B) 9 C) ½ D) 5 E) 1 a) 495° b) 450° c) 405° d) 360° e) 315°
2x − y 2. Siendo R, S y C lo convencional para un mismo
16. De la figura mostrada, calcule: M = C−S
y ángulo, calcular M = , si:
R
yg
C= ( 2c − 10) ( 2C − 10) ( 2C − 10) ( 2C − 10) 
5θ xº
3θ
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π 10 π 20 5 9. Siendo “S” el número de grados sexagesimales y
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
5 π 10 π π “c” el número de grados centesimales que mide
un ángulo menor que una circunferencia,
3. Calcular: J.C.C.H. calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que.
Si: 68g <> JCºCH’ C = x2-x-30 ; S = x2+x-56
a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 22 3π 3π 3π 3π 3π
a) b) c) d) e)
5 7 10 11 13
4. Dada la figura:
π
10. Siendo
16
rad ≡ xºy'. Hallar y −x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ag b’
Calcular:
b + 4a 11. Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo
K= convencional para un mismo ángulo. Determine
− 2a
el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e)
de la siguiente manera:
25
S = 6xx + 9 , C = 8xx − 6
3π 9π π 9π 10π
5. La medida de los ángulos iguales de un triángulo A) B) C) D) E)
20 20 20 10 9
isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo
desigual en radianes.
12. Se inventan 2 sistemas de medición angular
2π 3π 4π π π
a) rad b) c) rad d) rad e) rad “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < >
5 5 5 10 5
90º. Determinar la relación de conversión
entre estos 2 sistemas x/y.
6. Determinar la medida circular de un ángulo
3 5 7 9 11
para el cual sus medidas en los diferentes a) b) c) d) e)
8 8 8 8 8
sistemas se relacionan de la siguiente manera:
3 3 3
 18   20   π   3,5C − 3S  1
  +  +  =  13. Si se cumple que:
S  C   10R   C −S 9
361(C − S )3 = 400(C + S )2
2π 3π 4π 5π
a) 3πrad b) rad c) rad d) rad e) rad 2,4R + π
10 20 7 18 Hallar: E =
7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para 1,3R − π
1g2m 1º12' a) 9/5 b) 8/3 c)6/5 d) 5/2 e) 7/5
el cual se cumple: 5S + 3C = +
2m 3'
Hallar el número de grados sexagesimales. S C
a) 10 b) 81 c) 72 d) 9 e) 14. Si: m = C − y n =S + donde S: numero
9 10
18 de grados sexagesimales, C: numero de grados
8. Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales de un mismo ángulo. Además se
centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el cumple que: mn = nm .
factor que convierte minutos centesimales en Calcular: E = −9 m + −10 n
segundos sexagesimales. Calcular x/y.
a) 1,6 b) 1,8 c) 1,4 d) 1,2 e) 1
a) 2000 b) 4000 c) 6000
15. Calcular 100a + 9b
d) 8000 e) 9000
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1
C − S = x + ; ∀x ∈ R + .
x
¿Cuál es la medida del menor ángulo en radianes
que verifica la expresión anterior?
π π π π π
a) rad b) rad c) rad d) rad e) rad
2 4 5 10 20
a) 1 b) -1 c) 2 d) 0 e) 3
18. Del gráfico adjunto, halle “α − θ”. α
16. A partir del gráfico mostrado, determine la
medida del ángulo AOB, si “β” toma su mínimo o
valor. B A
θ
( 45 − 9β ) º 10 ( α² − 10α + 40 )
g
A) 180º B) 360º C) 270º D)450º E) 540º
o
19. El número de minutos sexagesimales de un
C D ángulo más el número de minutos centesimales
a) 52g b) 30º c) 45g d) 45º e) 135º del mismo ángulo es igual a 308. Calcular el
número de radianes de dicho ángulo.
π π π π 3π
17. Si los números de grados centesimales (C) y a) b) c) d) e)
20 50 100 25 10
sexagesimales ( S ) que contiene un ángulo, se
relacionan del siguiente modo:
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