Este documento presenta la solución a 4 ejercicios de trigonometría. El primero involucra ángulos coterminales. El segundo calcula un valor trigonométrico basado en una ecuación dada. El tercero evalúa una expresión basada en valores trigonométricos dados. El cuarto calcula un valor trigonométrico complejo basado en una relación entre seno y coseno.

1. Segundo Examen Sumativo Cepuns 2012 II – Trigonometría
69. Los ángulos α y β son coterminales y se encuentran en relación de 5 es a 4 respectivamente. CLAVE
Hallar el menor de ellos sabiendo que el mayor es menos que 3700º pero mayor que 2360º.
a) 1800º b) 2560º c) 2880º d) 3300º e) 3600º
SOLUCIÓN: ejercicio 69
c
α − β = 360º.k
5a − 4a = 360k ; K = 2
a = 360º.k
Por el dato del ángulo mayor
2360 º < 5a < 3700 º
472º < a < 740º
∴a = 720 º
4a = 4(720 º )
Calculando el menor ángulo
4a = 2880 º
tgb CLAVE
70. Sabiendo que: Csc 2a + 1 = 2(ctg 2b + Csc 2b ) , calcular Y =
tga
a) ± 2 b) ± 1 c) ± 3 d) -2 e) -1
SOLUCIÓN: ejercicio 69 a
Csc 2a + 1 = 2(2ctg 2b + 1)
Csc 2a − 1 = 4ctg 2b
Ctg 2a = 4Ctg 2b
tg 2b
∴ 2 =4
tg a
tgb
= ±2
tga
71. Si: tg(α - β ) = 2 y tg(α + β ) = 3, calcular: K = 7sen 2β − cos 2β CLAVE
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
SOLUCIÓN: ejercicio 71 b
Reemplazar:
A =α +β
B =α −β
Tenemos:
tgA −tgB
tg 2β =
1 + tgA.tgB
3 −2 1
tg 2β = =
1 + 2.3 7
Ósea queda el triangulo siguiente:
Calcular:
K = 7sen 2β − cos 2β
 1   7 
K = 7
 −
  =0

5 2  5 2 
Rpta. 0

2. 72. Si: sec2 x = ntgx , n ≠ 2 , entonces
(sen 3
x − cos 3 x )
es igual a:
CLAVE
( senx − cos x ) 3
n +3 n −1 n +1 n −3 n +2 c
a) b) c) d) e)
n −2 n −2 n −2 n −2 n −2
SOLUCIÓN: ejercicio 72 recordar: sen 2x +cos 2 x =1 ; sen 2x +cos2 x =1
Si:
sec 2 x = ntgx
1 n .senx
=
cos x
2
cos x
1
senx . cos x =
n
Resolver:
(sen x − cos 3 x ) ( senx − cos x ) ( sen 2 x + senx . cos x + cos 2 x )
3
=
( senx − cos x ) 3 ( senx − cos x ) 3
1
1+
1 + senx . cos x n
=
( senx − cos x ) 2
1 − 2senx . cos x
1 n +1
1+
n = n
2 n −2
1−
n n
n +1
∴ Rpta .
n −2
θ
E = ctgθ − ctg   ; es
CLAVE
73. Si: 0 < θ < π , entonces el máximo valor de:  
2
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 b
SOLUCIÓN: ejercicio 73
Si : 0<θ <π , calcular el máximo de :
θ
E = ctgθ − ctg  
 
2
θ 
Rec: Ctg   = csc θ + ctgθ
2
E = ctgθ − ( csc θ + ctgθ )
E = − csc θ
El máximo es -1 Rpta.

3. CLAVE
74. si: senx +cos x = a ; entonces P = cos 3x – sen 3x , es iguial a: CLAVE
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
d
SOLUCIÓN: ejercicio 74
( senx + cos x ) 2 = a 2
1 + 2senx . cos x = a 2
Si: senx +cos x = a ⇒
a2 −1
senx . cos x =
2
Calcular : cos 3x – sen 3x
Sabemos que:
sen 3x = 3senx − 4sen 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 )
Reemplazando:
4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x )
4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x )
4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x )
reemplazando :
 a 2 −1 2 − a 2 + 1
4a  1 −
  − 3a = 4a   − 3a
 2 

 2 

6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3
Rpta 3a − 2a 3

4. CLAVE
74. si: senx +cos x = a ; entonces P = cos 3x – sen 3x , es iguial a: CLAVE
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
d
SOLUCIÓN: ejercicio 74
( senx + cos x ) 2 = a 2
1 + 2senx . cos x = a 2
Si: senx +cos x = a ⇒
a2 −1
senx . cos x =
2
Calcular : cos 3x – sen 3x
Sabemos que:
sen 3x = 3senx − 4sen 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 )
Reemplazando:
4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x )
4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x )
4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x )
reemplazando :
 a 2 −1 2 − a 2 + 1
4a  1 −
  − 3a = 4a   − 3a
 2 

 2 

6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3
Rpta 3a − 2a 3

5. CLAVE
74. si: senx +cos x = a ; entonces P = cos 3x – sen 3x , es iguial a: CLAVE
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
d
SOLUCIÓN: ejercicio 74
( senx + cos x ) 2 = a 2
1 + 2senx . cos x = a 2
Si: senx +cos x = a ⇒
a2 −1
senx . cos x =
2
Calcular : cos 3x – sen 3x
Sabemos que:
sen 3x = 3senx − 4sen 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 )
Reemplazando:
4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x )
4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x )
4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x )
reemplazando :
 a 2 −1 2 − a 2 + 1
4a  1 −
  − 3a = 4a   − 3a
 2 

 2 

6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3
Rpta 3a − 2a 3

6. CLAVE
74. si: senx +cos x = a ; entonces P = cos 3x – sen 3x , es iguial a: CLAVE
a) 2a − 3a 2 b) a 2 − 3a c) 3a 5 + 2a d) 3a − 2a 3 e) a 2 + 2a
d
SOLUCIÓN: ejercicio 74
( senx + cos x ) 2 = a 2
1 + 2senx . cos x = a 2
Si: senx +cos x = a ⇒
a2 −1
senx . cos x =
2
Calcular : cos 3x – sen 3x
Sabemos que:
sen 3x = 3senx − 4sen 3 x
cos 3x = 4 cos 3 x − 3 cos x
x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x .y + y 2 )
Reemplazando:
4Cos 3 x − 3 cos x − (3senx − 4sen 3 x )
4( cos 3 x + sen 3 x ) − 3( senx + cos x )
4( senx + cos x ) (sen 2 x + cos 2 x − senx . cos x ) − 3( senx + cos x )
reemplazando :
 a 2 −1 2 − a 2 + 1
4a  1 −
  − 3a = 4a   − 3a
 2 

 2 

6a − 2a 3 − 3a = 3a − 2a 3
Rpta 3a − 2a 3