Índice                                           ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA                                         ...
Álgebra                                                                                                  I.E.P. CORPUS CH...
Ecuación                                                                                                   Segundo Año    ...
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Ecuación                                                                                            Segundo Año           ...
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Ecuación                                                                                                                  ...
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Ecuación                                                                                                   Segundo Año    ...
Álgebra                             I.E.P. CORPUS CHRISTI                    eπ          e =          z     4      (1 + i...
Análisis Combinatorio                                                                      Quinto Año                     ...
1 1                1    != ¡ factorial de               (no existe)    3 3               3   ( 2 ) !=       2 ¡ fac...
Análisis Combinatorio                                                               Quinto Año     Demostrar que: 1! = 1  ...
(4-2)! ≠ 4° - 2! 6  6! ! ≠ 3  3!                                                             720   2!   ≠       24 -...
Análisis Combinatorio                                                                                     Quinto Año      ...
Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,las permutaciones se diferencian e...
Análisis Combinatorio                                                                Quinto Año     Ejemplo : Se tienen 7 ...
Luego:n = 7                         n1 = 2                     n2 = 3                     n3 = 2          7!     7 x 6 x 7...
Análisis Combinatorio                                                                 Quinto Año        Elementos repetido...
3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores    consecutivos es igual al número co...
Análisis Combinatorio                                                       Quinto Año                                   e...
podrían formar a partir de un grupo        34)¿De cuántas maneras se pueden   de 12 aficionados?                          ...
Análisis Combinatorio                                                               Quinto Año     BINOMIO DE NEWTON     F...
n( n − 1) 4 n(n − 1)(−2)   Donde: C o = 1; C1 ; C 2 =                                ; C3 =                               ...
Análisis Combinatorio                                                                                                     ...
2835 4 3    − 2835 4 3                                 10. ¿Qué     lugar       ocupa         el      término        del  ...
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  1. 1. Índice ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA Pág.T E M A 1 Numeros Complejos........................................................................... 2Clasificación.................................................................................................................................. 2Representación de complejos......................................................................................................... 3T E M A 2 Análisis Combinatorio....................................................................... 10Factorial de un número.................................................................................................................. 10Números combinatorios................................................................................................................. 18Permutación, combinación y Variación............................................................................................ 18Binomio de Newton....................................................................................................................... 22T E M A 3 logaritmos......................................................................................... 27T E M A 4 Funciones Exponenciales y logarítmicas.......................................... 37Función Exponencial...................................................................................................................... 37Función Logarítmica...................................................................................................................... 41T E M A 5 Matrices y Determinantes................................................................. 43Definición .................................................................................................................................... 43Álgebra de Matrices....................................................................................................................... 47Determinantes.............................................................................................................................. 53T E M A 6 Calculo Diferencial............................................................................ 60Funciones..................................................................................................................................... 60Límites ...................................................................................................................................... 64Derivadas..................................................................................................................................... 80
  2. 2. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Tema nº 01: números complejosCapacidades: Identificar el conjunto de los números complejos. Clasifica correctamente a los números complejos. Representa de diversas maneras a los números complejos. Opera con números complejos. Resuelve problemas con números complejos.Desarrollo del Tema:Cantidades Imaginarias Ejemplo: i 47 = i 4(1 1 )+ 3 = i 3 = −iSe obtienen al extraer raíz de índice par a i −1 0 = i − 3(4)+ 2 = i 2 = −1un número negativo. −2 ; 4 −7 ; 6 −4Ejemplo : ; ... etc. Observación: Es conveniente recordar las siguientes propiedades aritméticas.Unidad Imaginaria ° (a + r)n = a+ rnDefinición: La unidad imaginaria se ° (a − r)n = a+ rn (n → p ar)obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, serepresenta de la siguiente manera : ° (a − r)n = a− rn (n → im p ar ) −1 = i Ejemplo :también se define como : 1112 1112 1112 91 0 (4 o +1 )1 0 4 o +1 1 0 o +1 i =i =i = i4 =i i2 = −1 Números ComplejosPotencias de la Unidad Imaginaria Son aquellos números que tienen la forma : i1 = i Z = a + b i = (a ; b ); a , b ε R i = −1 2 donde : i = −i 3 a = Re (Z ) s e lla m a , p a r te re a l d e Z i4 = 1 b = Im (Z ) s e lla m a p a r te i m a g i n a r i a d e ZPropiedades : CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS i4 n = 1 ; n ε Z1. Complejos Conjugados (Z) Ejemplo : i 480 =i 4(1 20 ) =1 Son aquellos que sólo difieren en el signo de la parte imaginaria. +k Ejemplo : i4 n = ik ; (n ; k ε Z )2. Z = 3 +4 i ; su conjugado es : Z = 3 − 4i
  3. 3. Ecuación Segundo Año Z = a + biComplejos Opuestos (Zop)Son aquellos que sólo difieren en los signos Gráfica del Complejode la parte real e imaginaria, Cada complejo es un punto en el plano,respectivamente. para ubicarlo se le representa en el llamado plano complejo, Gaussiano oEjemplo : de Argand, el cual está formado por unZ = 5 - 2i ; su opuesto es : Zop = −5 + 2 i eje vertical (eje imaginario) y un eje horizontal (eje real).Complejos Iguales: Ejemplo :Son aquellos que tienen partes reales e Z1imaginarias, respectivamente, iguales. Graficar : = 3 + 4iEjemplo : Z2 = 5 - 3iDe la igualdad : a + bi = 8 - 11i En el plano Gaussiano :tenemos : a = 8; b = -11 ImComplejo Nulo: E je i m a g i n a r i oSon aquellos que tienen su parte real eimaginaria, respectivamente, iguales a 4 Z 1 = (3 ; 4 )cero.Si : a + bi es nulo ⇒a + bi = 0Luego : a = 0; b = 0 5 ReComplejo Imaginario Puro O rig e n 3Es aquel cuya parte real es igual a cero y su E je re a lparte imaginaria distinta de cero. -3 Z 2 = (5 ; -3 )Si : a + bi es imaginario puro ⇒ a=0 Observación : Cada complejo seComplejo Real representa por un punto en el plano alSi un complejo es real, entonces su parte cual se le llama afijo del complejo.imaginaria igual a cero :Si : a + bi es real ⇒b =0 II. Representación Polar o Trigonométrica :Representación de los Complejos En este caso, el complejo adopta laI. Representación Cartesiana o forma : Geométrica En este caso, el complejo está Z = ρ (C o s θ + i S e n θ ) representado de la forma: ρ→ Donde : módulo; r > 0Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez3
  4. 4. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI θ → argumento; 0 ≤ θ < 2 π  * ρ = a2 + b 2 * a = ρ C os θ  Gráfica del Complejo * b = ρ S en θ En este caso, se utiliza el sistema de   b coordenadas polares el cual está * θ = ArcT g  a formado por un punto fijo llamado polo y una semirecta que parte del polo, a + bi = ρ C os θ + (ρ S en θ) i llamado eje polar. El módulo ( ρ ) es la a + b i = ρ (C o s θ + iS e n θ) distancia del polo al punto que representa el complejo y el argumento Para transformar de cartesiana a polar se calcula y . En el caso inverso, se (θ) el ángulo positivo medido en sentido calcula el valor de la función antihorario desde el eje polar hasta el trigonométrica. radio vector O Z . Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°) Aplicación : En el sistema de coordenadas polares : 1. Transformar : Z = 3 + 4i Z (5 ; 4 0 º ) ρ = 5 * ρ = 32 + 4 2 = 5 4 40º θ = ArcT g = 53° O * 3 p o lo e je p o la r ⇒ 3 + 4i = 5 (C os 53 ° + i S en 53°) Relación entre la Representación 2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i Cartesiana y Polar Sen37°) Sea el complejo : Z = a+b i (a, b >0) Z = 6(Cos37°+ i Sen37°) Im 4 3 Z = 6( + i ) Z 5 5 b 24 1 8 ρ Z= + i O ri g e n E je re a l p o s i ti v o 5 5 θ a Re III. Representación de Euler P o lo E je p o la r En este caso, se tiene : En la figura sombreada : e x p re s a d o e n ra d ia n e s ρ (C o s θ + i S e n θ) = ρ e iθ Se cumple :
  5. 5. Ecuación Segundo Año iθ C o s θ + iS e n θ = e d) Radicación : Siendo: e = 2,71828.... (base de los En general se asume que la raíz logaritmos Naturales). adopta la forma (a+bi) ; luego a y b Asimismo : se hallan por definición de iθ radicación. a + b i = ρ (C o s θ + iS e n θ) = ρ e Ejemplo : 5 +1 2iOPERACIONES CON COMPLEJOS 5 + 1 2 i = a + biI. Operaciones en forma cartesiana Elevando al cuadrado a) Adición y multiplicación 5 + 1 2 i = a2 − b 2 + 2 abi Se utilizan las mismas reglas Igualando : algebraicas. Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i) 5 = a2 − b 2 ; 1 2 = 2 ab Resolución : Resolviendo : 9 + 6i + 3i + 2 i 2 − 5 + 4i = 9 + 6i + 3i − 2 − 5 + 4i a = 3  ⇒ 5 + 1 2 i = 3 + 2i = 2 + 1 3i b = 2 a = −3 b) División  ⇒ 5 + 1 2 i = −3 − 2 i b = −2  Se multiplica el numerador y denominador por el complejo Observación : conjugado de este último. * (1 ± i) = 2i 2 + 3i Z= 1 +i Ejemplo : 3+i =i * 1 −i 2 + 3i 3 − i 6 − 2 i + 9i − 3i 2 Z= . = 1 −i 3+i 3−i 9 − i2 = −i * 1 +i 6 + 7i + 3 9 + 7i 9 7 Z= = = + i 9 − (−1 ) 10 10 10 Operaciones en forma polar a) Multiplicación : c) Potenciación : En este caso, los módulos se Se utiliza el teorema del binomio. multiplican y los argumentos se Ejemplo: suman. Z1 = ρ1 (C os θ1 + i S en θ1 ) (2 i + 3)2 = 4i 2 + 1 2 i + 9 = −4 + 1 2 i + 9 Z 2 = ρ2 (C os θ2 + i S en θ2 ) = 5 + 1 2i ⇒ Z1 Z 2 = ρ 1 ρ 2 [C o s (θ1 + θ 2 ) + i S e n (θ1 + θ 2 )]Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez5
  6. 6. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI n Nota : observa que z tiene "n" b) División : valores. En este caso, los módulos se dividen Ejemplo : y los argumentos se restan. Hallar las raíces cúbicas de la Z1 = ρ1 (C os θ1 + i S en θ1 ) unidad. Z 2 = ρ2 (C os θ2 + i S en θ2 ) 3 1 = 3 1 + 0i = 3 C os 0° + i S en 0° Z ρ1  0° + 2 k π   2 kπ  ⇒ 1 = [ C o s (θ1 − θ 2 ) + i S e n (θ1 − θ 2 )] 3 1 = C os   + i S en  0° +  Z 2 ρ2  3   3  k = 0, 1, 2 c) Potenciación : 3 k=0 → 1 =1 En este caso, el exponente eleva al módulo y multiplica al argumento. 1 3 3 − + i= w [ρ (C os θ + i S en θ)]n = ρn [C os n θ + i S en n θ] k=1 → 1 = 2 2 1 3 3 − − i = w2 d) Radicación : k=2 → 1 = 2 2 En este caso, se aplica la fórmula de Raíces cúbicas de la unidad : De Moivre. Sea : Z = r(Cosq + iSenq) 1; w; w2 . donde :  θ + 2kπ θ + 2kπ  n Z = n ρ C o s ( )+ iSen( )  n n  * w3 = 1 k = 0 , 1 , 2 , ..... , (n -1 ) * 1 + w + w2 = 0 ejercIcIos propUesTos1) Calcular : 3) Simplificar : −2 − 8 + −1 2 − 1 2 − − 3600 −1 i 28 + i 321 + i 49 + i 50 + i1 7 Z= a) 76 b) -76 c) 44 i1 921 + i1 932 − i1 960 + i1 973 − i 2003 d) -44 e) 50 a) i b) -i c) 1 d) -1 e) 1 - 12) Reducir : 4) 04. Reducir : i +i +i 4 9 16 V= −i J = i + i 2 + i 3 + i 4 + ... + i 2003 2−i +i 5 10 −i 15 a) 1 b) 2 c) -1 a) 1 b) 2 c) 3i d) i e) 2i d) 2i e) 4i
  7. 7. Ecuación Segundo Año5) Hallar la suma "A" de números es un complejo real. Calcular : "n". complejos : a) -3/8 b) 9/8 c) 9 A = (1 + i) + (2 + i 2 ) + (3 + i 3 ) + (4 + i 4 ) + ... + (4n + i 4 n ) d) 9/4 e) 3/4 a) n (2n+1) b) 2n (4n+1) 11)Hallar "n", si el número siguiente es c) 0 d) n(4n+1) e) 2n(4n-1) imaginario puro :6) Calcular : 3 − 2 ni 4 − 3i 1112 15 16 1 9 20 91 0 1 31 4 1 71 8 V=i +i +i a) -1 b) -2 c) -3 a) 0 b) 1 c) 3 d) -4 e) -5 d) 3i e) -3i 12) Sabiendo que : a + 2i z=7) 07. Si : b − 3i ; es un número real. (ni 1 2 + i1 3 ) ( 2 i + n ) = a2 + bi ; { a ; b ; n } ⊂ R w= b + (a + 8) i a + bi ; es un número b 2 (n − a2 ); (i = − 1 ) imaginario puro. Indique : a - b. Calcular : n a) -12 b) 10 c) 24 a) 2/3 b)3/2 c) 6 d) 8 e) -10 d) 1/3 e) 3 { z1 ; z 2 } ⊂ C 13) Si : , calcular :8) Si : a2 + bi = m + ni 5 z1 + z 2 2 z − 3z 2 Im ( ) − Im ( 1 ) {a; b; m; n} R; además : i = −1 3z1 + 4 z 2 3z1 + 4 z 2 2 m 2 b a) -3 b) -1 c) 1 + Calcular : a + n 2 2 mn d) 3 e) 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 14) Si "i" es la unidad imaginaria, al efectuar la siguiente operación :9) Calcular "n", si se cumple : 2 (1 + i)1 6 − (1 − i)1 6 3 (n + i) + 5 (n + 3i) = 3 7 (a + 2 ai ) a) 0 b) 1 c) -256 d) 512 i e) 256 n ε R ∧ aε R Si : a) -3/8 b) 9/8 c) 9 15) Calcular el valor de : 2i d) 9/4 e) 3/4 a) 1 + i b) 1 - i c) -1 - i d) -1 + i e) a ó c 3 (n + i) + 5 (n + 3i) n εR ∧z =10) Si : 1 + 2i 16)Determinar el módulo de :Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez7
  8. 8. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI (7 + 3i)( 5 − 3i) z = (1 + i)2 + (1 + 2 i)2 + (1 + 3i)2 + ... + (1 + ni )2 Z= (−5 + 2 i)( 6 − i) n ε Z+ ; a) 1 b) 2 c) 2 n (n + 1 ) n (2 n + 5 ) d) 2 7 e) 14 a) 2 b) n c) 3 n (n + 1 ) n (2 n + 5 )(1 − n ) Z1 = 2 + 5 i ∧ Z 2 = 1 − i d) 6 e) 617) Sea :  Z  58  2 2  zε C | Z |  23) Si : , resolver : Determinar :  1  |z| - z = 3 + i a) 3 + i b) 5 - i c) 4 d) 2 - 2i e) 4i Indique : z−1 2 (7 + 1 2 i)−1 6 (7 − 24 i)−1 a) b)18)Determinar el módulo de : 7 (6 − 4i)−1 −1 c) d) − 3(4 + 3i) Z = ((1 + i)4 + 4i)((1 − i)4 − 4i)( 3i + 1 ) 7 (6 − 28 i)−1 e) a) 2 b) 8 c) 32 d) 64 e) 128 24)Sean : |z|= 2; |w| = 3. K =| z + w | 2 + | z − w | 219)Hallar "n". Hallar : a) 36 b) 26 c) 34 8 + (1 − i)6 = n (1 + i); n ε R ; i = − 1 d) 18 e) 22 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e)10 25)Indique el módulo de :20)Hallar el módulo del complejo "Z", si al (2 + 2 i)(1 + 3i) W= dividirlo entre 5+i y al cociente sumarle (1 − i)( 7 + 3i) 2, se obtuvo 3-i. a) 1 b) 2 3 c) 2 a) 13 b) 2 13 c) 3 13 d) 2 2 e) 2 d) 4 13 e) 5 13 26)Sabiendo que : m, n, x, y R. Z1 ; Z 2 ε C m + ni = x + yi21) Sean : . Reducir : Además : | z1 + z 2 | 2 − | z1 − z 2 | 2 Hallar el equivalente de : R e (z1 . z 2 ) + R e (z1 . z 2 ) n2 a) 1 b) 1/2 c) 2 K= m y 2 + y4 d) 3 e) 1/3 a) 6 b) 4 c) 8 d) 12 e) 1022)Indique la parte real de :
  9. 9. Ecuación Segundo Año 3 a + bi = m + ni ; { a ; b ; m ; n } ⊂ R z3 = 4C os 5 ° + 4iS en 5 °27) Si : a) 4 i b) -1/2 c) 1/4 d) i/2 e) 1 además : . i = −1 (m 3 − a)(b + n 3 ) w 1 = − S en 20° − i C os 20° 34) Sea : Calcular : m 3n 3 Arg (w 1 ) hallar : a) 3 i b) 1 c) -3 a) 190° b) 250° c) 240° d) 340° e) 200° d) -3 i e) 3 35)Efectuar : C : z2 + 2 | z | = 0 −4i28) Resolver en :  1 +i    Indique : Re(3z) - Im(z).  2    a) -3 b) 9 c) 1 a) e −π b) e − π /2 c) e π /2 d) -2 e) 2 d) e 2π e) eπ 2 i− i+5 i29) Efectuar : 36) Un número real "x", que satisface la a) 1 + i b) 1 - i c) i ecuación: −1 + i (S enx + i C osx )4 = S enx − iC osx es : 2i 2 d) e) π π30)Hallar "Z", si cumple : a) 1 0 b) − π c) 2 1 1 + = 6 ∧ | Z| = 5 π Z Z 25 d) 5 e) π 5 a) 3 - 4i b) 4 - 3i c) 3 + 4i 1 3 5 5 z=− + i +i 37) Si : 2 2 d) 3 − 4i e) 3 Calcular : . z− 3 + z331)Llevar a su forma trigonométrica : 2 e πi 2 e 2 πi 2 e 2 πi a) b) c) z = -3 - 4i 2π i32)Llevar a su forma exponencial : −1 + 3 i e 3 d) e) −4+4 3i 4π 2π 38)Reducir : 4π i i i π π 16e 3 4e 3 4e 3 i − i a) b) c) e4 +e 4 4π 2π L = π π i i i − i d) 8e 3 e) 8e 3 e4 −e 433)Efectuar : a) 1 b) -1 c) i d) -i e) e z15 z3 K = 2 4 z3 39) Proporcionar un equivalente de : ii . sabiendo que : a) e − π /4 b) e − π /2 c) eπ z1 = 2 (C os 1 0° + i S en 1 0°) d) e 3 π /2 e) Hay 2 correctas z 2 = 8 C is20° 40)Hallar el módulo de "z" que verifica :Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez9
  10. 10. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI eπ e = z 4 (1 + i) 4
  11. 11. Análisis Combinatorio Quinto Año Tema nº 02 : análIsIs combInaTorIoCapacidades: Define correctamente el factorial de un número. Opera con factoriales. Opera con números combinatorias. Diferencia entre permutación, combinación y variación. Resuelve problemas con variación, permutación , combinación y binomio de Newton.Desarrollo del Tema:FACTORIAL DE UN NÚMEROSe denomina factorial de un número entero y positivo al producto indicado desde la unidad en formaconsecutiva, hasta el número dado. Al factorial de un número se puede representar por cualquiera de losdos símbolos: ! óSi el factorial es “n”m su factorial se representa por: n! Se lee: Factorial del número “n” o “b” factorial. nPor definición: n! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. X n n! = n = n x (n – 1) x (n – 2) – (n x 3) x … 2 x 1Ejemplos:2! = 2 = 1x2=23! = 3 = 1x2x3=64! = 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 245! = 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 1206! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 7207! = 7 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040OBSERVACIONES1. Los factoriales sólo están definidos para cantidades enteras y positivas, así: 5! = 5 ¡ factorial de 5  (si existe) (-3)! = -3 ¡ factorial de (-3)  (no existe) -4! = - 4 ¡ factorial de 4  (si existe) 6! 6 = ¡ un medio de factorial de 6  (si existe) 2 2Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez11
  12. 12. 1 1 1  != ¡ factorial de  (no existe)  3 3 3 ( 2 ) != 2 ¡ factorial de 2  (no existe)2. El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor. Ejemplo: Sea: 6! = 6 =1x2x3x4x5x6 6! = 6 = 5 x 6  6! = 6 = 6x 5 También: 6! = 6 =1x2x3x4x5x6 6! = 6 = 4  6! = 6 =5x6x 4 O también: 6! = 6 = 1x2x3x4x5x6 6! = 6 = 3  6! = 6 =4x5x6x 3 Noten que en los tres casos, todos ellos son iguales a 6! Y a su vez el número contenido en el factorial y los que están fuera de él son sus consecutivos posteriores a él. Ejemplo 1: Escribir 12! en función del Ejemplo 2: Escribir 20! en función del factorial de 9 factorial de 16 Solución: Solución: 12! = 9! X 10 x 11 x 12 20! = 16! X 17 x 18 x 19 x 20 Ejemplo 3: Escribir (x+5)! en función Ejemplo 4: Escribir (x-2)! en función del del factorial de (x+2) factorial de (x-4) Solución: Solución: (x+5)! = (x+2)! (x+3) (x+4) (x+5) (x-2)! = (x-4)! (x-3) (x-2)3. Por Convención: 0 = 0! = 1 ; y por definición: 1 = 1! = 1 Lo que no implica que no podrá hacerse: 0 = 1  0 = 1 porque los dos conceptos tienen diferente punto de partida en cuanto a su definición. Demostrar que: 0! = 1 Demostración: Se sabe que: n! = (n – 1)! n y que esta igualdad cumple para todo número entero positivo a partir de la unidad. n! Acomodando la expresión, obtenemos: = ( n − 1)! n Reemplazando será: 1! N=1  = (1 − 1)!  ∴ 1 = 0! l . q . q . d. 1
  13. 13. Análisis Combinatorio Quinto Año Demostrar que: 1! = 1 Demostración: Se sabe que: n! = (n – 1)! n n! Es decir: = ( n−)!¡ damos a “n” valor de 2, obteniendo: n 2! 2 = (2 − 1)! ⇒ = 1! ⇒ 1 = 1! l.q.q.d. 2 24. De lo anterior, si:  a=0 a! = 1 ó  a=1 Ejemplo: Dar la suma de los posibles valores de “x” en: (x – 3)! = 1 Solución: x–3=0  x=3 (x – 3)! = 1 ó x–3=1  x=4 ∴ La suma de los posibles valores de “x” será: 3 + 4 = 75. Si: a = b  a=b ∀ a, b ∈ N (∀ = para todo) Ejemplo: Determina el valor de “x” si: x – 1 = 24 Solución: Tal como se presenta la igualdad, no es posible el despeje directo de “x” para ello es recomendable desdoblar el 24 en factores de forma consecutiva veamos: x–1=1x2x3x4 x–1=4RECOMENDACIONESEn factoriales las siguientes operaciones no se cumplen:I) (n + m)! ≠ n! + m! III) (n x m)! ≠ n! x m! Ejemplo: Ejemplo: (3+2)! ≠ 3° + 2! (3 x 2)! ≠ 3! X 2! 5! ≠6+2 6! ≠ 6 x 2 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 120 ≠ 8 720 ≠ 12 u n!II) (n – m)! ≠ n! – m! IV)   !≠ m m! Ejemplo: Ejemplo:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez13
  14. 14. (4-2)! ≠ 4° - 2! 6  6! ! ≠ 3  3! 720 2! ≠ 24 -2 2! ≠ 6 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 2 ≠ 22 2 ≠ 120 prácTIca De clase1) Determina el valor de M, sabiendo que: 11) Resuelve la ecuación: 13! ( x − 3)!+( x − 2)! M = = 120 9! x 4! ( x − 1)2) Halla: 12. Simplifica: 6! x 4! ( n!!+1)!−nn!!! S= R= 8! (n!!−1)!3) Halla el valor de: 13. Halla el valor de. 10! x5! 12! 15! 11! x6! E= a) b) c) 12! x3! 10! 13! x 2! 9!4) Simplifica: 14. Calcula el valor de: n! R= + n( 2 − n)  5! x 4! 10  (n − 2)! R= − !  (4!) − (3!) 2 2 35) Calcula el valor de: 15. Resuelve:  8! x 7! 25  P= (2 x + 1)!  (7!) 2 − (6!) 2 − 6 !  = 72   (2 x − 1)6) Halla el valor de: 16. a) ¿Qué valor tiene “k”? n! 1 (n + 1)! Si: k! x 7 x 8 x 9 x 10 = 10! E= − + (n + 1)! (n + 1) n! b) ¿Qué valor tiene “n”?7) Reduce: Si: (n-3)! X 9 x 19 x 11 x 12 = 12! n[ n!−1)!] P= 11! ( n − 1)! 17. Determinar el valor de: M =8) Halla el valor de: ( 7!)( 4!) Q = (n+2)! – (n+1)! R= ( 6!)( 4!) 18. CALCULAR: 9!9) Resuelve la ecuación: ( x − 2)!( x + 1)! ( x + 2)! = 6 19. Calcular “X”: ( x − 1)! x! x!10) Resuelve la ecuación:
  15. 15. Análisis Combinatorio Quinto Año (3x + 1!)! = 42 R= ( n + 1)! − n! 20. Calcular: (3x − 1)! ( n − 1)! prácTIca DomIcIlIarIa1. Reduce: E = (n+2)! – 2(n+1)! ( n + 1) − n! a) (n-2)! b) (n+3)! c) n(n+1) 8. Reduce: R = (n − 1)! d) n(n+1) e) n! (n+1) 1 a) n b) n2 c) 2n d) e) n3 7!−2 + 5! n22. Reduce: M = 6!−10 x 4! a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 (n + 2)! 9. Calcula el valor de “n”: =6 n! 1 a) 1 b) 2 c) 3 d4 e) 53. El valor de: ; es: 4!+3! 1 4 1 1 1 (n + 3)! 10. Calcula el valor de “x” . = 10 a) b) c) d) e) 3 (n + 1) 7! 5! 4.3! 5! N.A. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Indica la solución entera de la ecuación 1 14. Efectúa: − (x-1)! + (x! + (x+1)! = 5880 n! ( n + 1)! a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 n n +1 n −1 a) b) c) n! n! (n + 1)! 12. Efectúa: n 1 (13!) 2 13! d) e) − (n + 1)! n)(n + 1)! (12!) + 2(12!11!) + (11!) 2 2 10!+11! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1 ( x − 1)!( x + 2) 55. Resuelve: = 13. Calcula el valor de “x”: x 3 (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!!)24 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6 m!(n + 1)! 14. El valor de:6. Simplifica: E = (m + 1)!n! 5 ; es: n −1 n +1 m +1 5!+4!+3! a) b) c) m +1 m +1 n +1 5 6 3 a) b) c) m +1 m 12! 5! 4! d) e) n −1 n 4 d) e) N.A. 5! 11!+10!+9!7. Simplifica: R = 121.8! ( x − 1)!( x + 2) = 5 15. Calcular: a) 8 b) 9 c) 12 d) 24 e) 36 x! 3 PERMUTACIONESProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez15
  16. 16. Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus elementos y lorepresentamos de la siguiente manera: n(n+1) (n+2) (n+3) … 3.2.1 Pn = n!Ejemplo:1. ¿Cuántas maneras diferentes pueden formar una fila de 5 soldados?Pn = n!P5 = 5!P5 = 120Ejemplo : Halla todas las permutaciones posibles de las cifras del número 437.Solución.-Las permutaciones se obtienen cambiando de lugar las cifras.Así: 437; 473; 347; 374; 743; 734.En total tenemos 6 permutaciones diferentes.Si llamamos P3 al número total de permutaciones de 3 elementos, se comprende que:P3 = 1 x 2 x 3 = 3! = 6Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Angel, Beto, Carlos y Daniel enuna fila de 4 asientos?Solución.-Sea P4 el número de maneras distintas en que pueden sentarse A, B C ∧ D. Como intervienentodos los elementos se trata de una permutación. Luego: P4=4! = 1x2x3x4 = 24En general: El total de permutaciones diferentes que se pueden obtener con “n” elementosse designa por Pn y el igual a n! Pn = n!Ejemplo : 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántasmaneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?Las 6 personas pueden ordenarse empezando por una mujer (M) o empezando por unhombre (H)Así: M H M H M H ó HMHMHMPermutaciones de los H : P3 = 3! Permutaciones de los H : P3 = 3!Permutaciones de las M : P3 = 3! Permutaciones de las M : P3 = 3!Como cada trío de mujeres se combinan con un trío de hombres para armar una fila de 6,aplicamos el principio de multiplicación. 3! X 3!Por lo tanto el total de formas de sentarse será: 3! X 3! + 3! X 3! = 72 maneras diferentes.
  17. 17. Análisis Combinatorio Quinto Año Ejemplo : Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si queremos que los de matemática siempre deben ir juntos? Designamos por M1, M2 y M3 a los libros de matemática y por F1, F2 y F3 a los libros de física. Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma: i) M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4  # de formas = 3! X 4! ii) F1 M1 M2 M3 F2 F3 F4  # de formas = 3! X 4! Total: iii) F1 F2 M1 M2 M3 F3 F4  # de formas = 3! X 4! = 4 (3! X 4!) iv) F1 F2 M3 M1 M2 M3 F4  # de formas = 3! X 4! = 576 formas diferentes v) F1 F2 F3 F4 M1 M2 M3  # de formas = 3! X 4! PERMUTACIÓN CIRCULAR.- En este caso no hay primero ni último elemento por encontrarse en línea cerrada para hallar el número de permutaciones de n elementos. A F B n-1 Pcn = (n − 1)! E C D Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrían sentarse Blancanieves y los 7 enanos alrededor de una mesa circular? PcN = (n − 1)! Pc8 = (8 − 1)°!= 7° = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040 Ejemplo: ¿de cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda 7 personas? Solución: n = 7  Pc(7) = (7-1)!  Pc(7) = 6! = 720 PERMUTACIÓN POR REPITENCIA.- Consiste en efectuar permutaciones con elementos repetidos, si el conjunto tiene “n” elementos, n, es de una clase, n2 son de 2° clase y nk son de k clases. La permutación por repitencia se obtiene por la forma siguiente: n! Pkn = n1!n 2 !...n k ! Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra casacas? Solución.- Vemos que se tiene una permutación por repetición donde se repite las letras C(2 veces), A(3 veces), S(2 veces).Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez17
  18. 18. Luego:n = 7 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2 7! 7 x 6 x 7 x 4 x3Pkn = = Pkb = 210 palabras 2!3!2! 2 x3! x 2Ejemplo : Calcula el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden formarpermutando las letras de cada una de las siguientes palabras: i) manzana; ii) Alfalfa,iii)catarataSolución: i) MANZANA MNAZANA MZANAAN } Palabras diferentes . . etc.Total elementos: n=7Elementos repetidos: A  3 veces N  2 veces 7! 3! x 4 x5 x 6 x7Total permutaciones: P3; 2 = = = 420 7 3! x 2! 3! x1.2ii) ALFALFA ALFAFAL AFLAFLA } Palabras diferentes . . Etc.Total elementos: n = 7Elementos repetidos: A3 L2 F2Total permutaciones: 7! 5040P372, 2 = , = = 210 3! x 2! x 2! 6 x 2 x 2Ejemplo : Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si sedispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opcionesdiferentes hay para escoger el modelo de la bandera?Solución.- Diseño de la bandera Total permutaciones: 5! 3! x 4 x5 2 franjas rojas P352 = , = = 10 3! x 2! 3! x1 3 franjas blancas Total elementos: n = 5
  19. 19. Análisis Combinatorio Quinto Año Elementos repetidos: B  3 R2 Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden obtener en una fila 7 bolas de billar (de igual forma y tamaño), si 2 son rojas, 4 amarillas y una blanca? 7! 4! x5 x6 x7 Solución: P2 , 4 = = = 105 7 2! x 4! 2 x4 n VARIACIONES.- Vm , son los diferentes arreglos que se pueden formar con parte de los elementos de un conjunto formado de 2 en 2, 3 en 3, las variaciones se diferencian entre sí por el orden se sus elementos o por uno o más de sus elementos. El número de variaciones que pueden obtenerse de n elementos tomados de m y n se representa por: Vm = n(n − 1)(n − 2)...n − m + 1 n n! Vm = n (n − m)! Ejemplo: Halla el número de variaciones en: 9! 9! 9 x8 x7 x6 x5 x 4! a) V5 = = = = 15120 9 (9 − 5) 4! 4! 7! 7! 7 x6 x5 x 4! b) V3 = = = = 210 7 (7 − 3)! 4! 4! m! m! c) Vm = = = m! n )(m − n)! 1 COMBINACIONES Son las diferentes variaciones que se puede hacer en todos o parte de los elementos de un conjunto. Las combinaciones se calculan por la siguiente forma: n! Cm = n n!(n − m)! NÚMERO COMBINATORIO PROPIEDADES 1. Todo número combinatorio cuyo índice es 1, 2s igual al índice superior. n! n(n − 1)! C1n = = =n 1!(m − 1)! n(n − 1)! 2. Todo número combinatorio cuyos índices son iguales, es igual a 1. n! n! n! Cn = n = = =1 n!(n − n)! n!0! n!Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez19
  20. 20. 3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores consecutivos es igual al número combinatorio, cuyo índice superior es igual al índice superior común aumentado en 1 unidad y de índice inferior igual al mayor de estos. n! n! C m + C m +1 = n n + m!(n − m)! (m + 1)![n − (m + 1)]! n! n! = + m!(m − n − 1)!(n − m) (m + 1)m!(n − (m − 1)! n!  1 1  =  n − m + n + 1 m!(n − m − 1)   n! m+2+n−m = m!(n − m − 1)  (n − m)(m + 1)    n! (n + 1) = m!(n − m − 1) (n − m)(m + 1 n!(n + 1) = m!(m + 1)(n − m − 1)!(n − m) (n + 1)! = (m + 1)!(n − m)! = C m + C m +1 n n = C m+1 n +1NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOSSon 2 números combinatorios de igual índice superior y la suma de sus índices inferiores esigual al índice superior común.C kn ∧ C sn , donde k + 5 = n n!C kn = k! ( n − k ) n! n!C sn = C sn =  Ck = Cs n n s!(n − s) (n − k )!k!
  21. 21. Análisis Combinatorio Quinto Año ejercIcIos propUesTos 15! 13)Tres niños, ¿de cuántas formas 1) C 4 = 15 4!(15 − 4)! distintas pueden sentarse en 5 sillas? 20! 2) C17 = 20 14)5 viajeros llegan a una ciudad en la 17!(20 − 27)! que hay 7 hoteles. ¿De cuántas 90! 3) C 90 86 = maneras podrían alojarse en hoteles 86!(90 − 86)! diferentes? 4) ¿De cuántas maneras se pueden 15)¿De cuántas maneras podemos elegir y disponer de un escaparate 3 formar en columna de a uno a 5 partes de calzado de un conjunto? alumnos? 5) ¿Cuántas maneras diferentes de 4 16)¿Cuántos números de 4 cifras se cifras se pueden formar con los pueden formar con los dígitos del 1 nueves dígitos 1, 2, 3, ….. 9? al 4? 6) ¿Cuántas ordenaciones diferentes 17)¿Cuántas permutaciones de 7 pueden formarse tomando 5 letras elementos se pueden formar con las de la palabra gástrico? letras de la palabra NÁUTICO? 7) En una fiesta hay 5 chicas y 10 18)¿Cuántas palabras diferentes se chicos. ¿De cuántas maneras pueden formar con todas las letras podrían bailar? de la palabra POPA? 8) ¿De cuántas formas distintas se 19)¿De cuántas maneras pueden pueden sacar 3 banderines de una cambiar de posición los jugaror5es caja que contiene 6 banderines? de básquet, si uno de ellos no 9) En una empresa se necesitan un cambia? supervisor, un tornero, un carpintero 20)¿Cuántas palabras diferentes se y con conserje, y previo concurso pueden obtener con las letras de la han quedado 9 personas. ¿De palabra COCCIÓN? cuántas maneras pueden escogerse 21)¿De cuántas maneras pueden las personas requeridas. sentarse 5 personas en una mesa 10)Vamos a colocar un “trébol de la redonda contando de un solo suerte” (4 hojas) con un color sentido? distinto para cada hoja. Si tenemos 22)Un entrenador tiene a su cargo 7 una caja con 6 colores distintos. ¿De deportistas. ¿de cuántas maneras cuántas formas podemos colorear al pueden distribuir a los citados trébol? deportistas en dos competencias: 11)¿Cuántos equipos diferentes de cinco en natación y dos en atletismo. básquet podemos formar si 23)En un campeonato de bulbito han contamos con 8 jugadores que participado 7 equipos. ¿De cuántas pueden jugar en cualquier lugar? maneras pueden quedar ubicados? 12)Con 6 banderas de diferente color, 24)¿Cuántos conjuntos imitadores del ¿cuántas señales distintas de 2 famoso trío “Los panchos” se banderas se pueden hacer?Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez21
  22. 22. podrían formar a partir de un grupo 34)¿De cuántas maneras se pueden de 12 aficionados? distribuir 5 hombres y 3 mujeres en25)¿Cuántos equipos de básquet una fila de 8 asientos, si las mujeres podríamos formar a partir de un no deben sentarse juntos? conjunto de 12 jugadores’ 35) De una ciudad A a otra B hay 626)Cerebrito debe contestar de 10 caminos diferentes y de la ciudad B a C hay 4 caminos diferentes. ¿de preguntas en un examen. ¿De cuantas maneras se puede hacer un cuántas maneras puede cerebrito viaje redondo de A a C pasando por B? escoger las 7 preguntas? 36) Maria tiene 5 pantalones y 3 blusas.27)En el problema anterior: ¿de cuantas maneras distintas Si las 2 primeras fueron obligatorias, puede ponerse un pantalón y una blusa? ¿de cuántas maneras podrían escoger 37) Determinar el valor de m en la expresión: V2 = 20 m las preguntas?28)En la figura cada línea representa un 38) ¿De cuantas maneras pueden sentarse en una banca de 6 camino. ¿De cuántas maneras asientos, 4 personas? distintas se puede ir de la ciudad A a 39) Una persona posee 3 anillos la ciudad C? distintos. ¿De cuantas maneras puede colocarse en sus dedos de la mano derecha, colocando solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? 40)Una señora tiene 10 amigas de29) ¿Cuántos números pares de 3 dígitos confianza. ¿De cuantas maneras se pueden formar con los dígitos: puede invitar a 6 de ellas a cenar? 41) Resolver : C 2 + C 6 = 28 x x 1;2;5;6;7;8∧9; si: a) Los dígitos del número pueden 42)¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 5 alumnos en 5 repetirse. asientos unipersonales? b) Los dígitos del número no se 43)¿De cuantas maneras distintas se repiten. pueden sentar 5 alumnos en 5 asientos unipersonales ubicados30)En una carreta participan 7 atletas. alrededor de una mesa? ¿De cuántas maneras distintas 44) ¿Cuantos números mayores de 6000 se podrán formar con las siguientes pueden llegar a la meta, si llegan cifras: 2;5;6;3? uno a continuación del otro? 45)¿Cuantas banderas tricolores31)En una fila de sillas se sientan 5 diferentes de franjas horizontales se pueden confeccionar si se disponen mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas 7 colores distintos? maneras se pueden ordenar si las 46)¿Cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra LIBRO? mujeres deben estar juntos y los 47) La primera división de la liga de hombres también? fútbol de huacho consta de 2532)¿De cuántas maneras diferentes se equipos.¿cuanto partidos se deben jugar para completar la primera pueden ubicar 9 damas en una fila rueda? de 9 asientos, si Mirian y Andrea 48)¿De cuantas maneras se pueden siempre deben estar juntas? ubicar 6 personas en un auto si solo una de ellas sabe manejar?33)¿Cuántas permutaciones diferentes 49) De un total de x personas se pueden se pueden realizar con las letras de formar 21 grupos de 5. Determinar la palabra BANANA? el valor de “x”
  23. 23. Análisis Combinatorio Quinto Año BINOMIO DE NEWTON FORMA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON Deducción del Binomio de Newton BINOMIO DESARROLLO SUMA DE COEIFC. (x+1) = x + a 21 (x+1)2 = x2 + 2ax + a2 22 (x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 23 (x+2)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 24 (x+a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a + 10x2a3 + 5xa4 + a5 25 …………………………. .. …………………………. .. 2n Generalizamos y podemos llegar a: n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3 (x+a)n = xn + nxn-1 a + n a + x a 1 .2 1 .2 .3 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n − 4 4 + x a + ... + a n (I) 1.2.3.4 Observamos lo siguiente: Bases del binomio: x ∧ a Exponentes del binomio: n El desarrollo del binomio: El segundo miembro Luego: a) El desarrollo es un polinomio homogéneo con respecto a x, a, donde el grado de homogeneidad corresponde al exponente n. b) Siempre el desarrollo contiene un término más que el exponente n. c) El primer término del desarrollo contiene a x elevado al exponente n; disminuyendo los exponentes de x de uno en uno hasta cero. d) El segundo término contiene a la base a elevado a la unidad, aumentado el valor de su exponente en cada exponente n. e) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales. f) El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término anterior multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de la primera base y dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno. g) La suma de los coeficientes de un binomio (x+a) se da por 2n. EL BINOMIO DE NEWTON USANDO NÚMEROS COMBINATORIOS En la forma general (I) vemos que los coeficientes de cada término se dan como: n n −1 n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) 4−3 3 (x+a)n = 1.xn + .x a + .x a + x .a 1 1.2 1.2.3 …. 1.anProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez23
  24. 24. n( n − 1) 4 n(n − 1)(−2) Donde: C o = 1; C1 ; C 2 = ; C3 = … Cn = 1 n n n n 1.2 1.2.3 Sustituyendo estos valores en la forma general, tendremos el desarrollo del binomio de Newton con números combinatorios. ( x + 1) n = C on x n * C1n x n −2 a 2 + C 3n x n −3 a 3 + ...C n = a n n Ejemplo: 1) (m+n)7 = C 0 = m + C1 m n + C 2 m n + C 3 m n + C 4 m n + C 5 m n + C 6 mn + C 7 n 7 7 7 6 7 5 2 7 5 3 7 5 4 7 2 5 7 6 7 7 Así (m+n)7 = m7 +7m6n + 21m5n2 + 35m4n3 + 21m3n5 + 7mn6 + n7 FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR GENERAL K n − k +1 n TK = C k −1 . X .a k −1 Ejemplo 1: Halla el término quinto de (2a + b2)11 Solución.- n = 11; k = 5; x = 2a ; a = b2 11− 5+1 Luego: 11 T5 = C 5−1 .( 2a ) .(b 2 ) 5−1 T5 = 330 . 128ª7b2  T5 = 42240ª7b8 Ejemplo 2: Encuentra el 6° término de (x-3y)10 10 − 6 +1 10 T6 = C 6 −1 .( x) .(3 y ) 6− 2 T6 = 252x5 – 243y5  T6 = -61236x5y5 Ejemplo 3: Halla el término que contiene x6 en el desarrollo de (x-3)14. Solución.- Por fórmula del término general. 14 − k +1 14 Tk = C x −1 .x .( −3) k −1 = C k −1 .(−3) k −1 14 Como el exponente de x debe ser 6. 15 – k = 6  k = 9 (el término buscado es el de lugar 9). 15− 9 Luego: T9 = C 9 −1 .x 14 .(−3) 9−1 14! 6 14 x13 x12 x11x9 x8 6 8 T9 = .x .( −3) 8 ⇒ T9 = .x .3 8!6! 8 x! x 2 x3 x 4 x5 x6 T9 = 39 . 7 . 11 . 13 . x6 prácTIca De clase1. Halla el desarrollo de: (2x + 3y)5 2) resuelve: ( x + 3) 63. Calcula el tercer término del desarrollo 4) Calcula el sétimo término del desarrollo de: de: (2x + 3)5 (x + 1/x)95. Calcula el término central del desarrollo 6) Calcula el término central del desarrollo de: de: (a + 2b)8 (x + 1/x2)10
  25. 25. Análisis Combinatorio Quinto Año7. Halla el término que contiene a “x8” en 8) Halla el valor de “x” de tal manera que la el desarrollo de: (x+y)13 suma del 3° y 5° términos en el desarrollo de (x+1)4 sea igual a 25.9. Obtén los siguientes desarrollos: a) (x-2y)5 b) (1+3a)7 c) (1-b)11 10) Determina el término indicado en el desarrollo Correspondiente:11) Determina el coeficiente numérico del a) 7° término en: (x-y)11 Término indicado: b) 5° término en: (a+b)21 10 1 1 a) 2° término en (2x-y) 4 c) 10° término en:  −  a b b) 3° término en (3a+4b)6 10 5  x2 y2   2 1 c) 9° término en:  −  y  12) En el desarrollo de  3x −  , determine:  x   x a) El coeficiente numérico del cuarto término. b) El término que contiene x4. c) El término independiente de x.13) Encuentra los 3 primeros términos en eldesarrollo de: ( 2x + 3 ) 10 17) Hallar el valor de x de tal manera que la suma del 3ro y 5to término en el desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 2514) Calcula el producto de los coeficientes numéricos del primero y del último término A) ±1 B) ±2 del desarrollo de: (1+3x2)6. C) ±3 D) ±4 E) 515) Calcular el término central del desarrollo de: 18) El último término en el desarrollo de:  1  10 ( x − 3y ) 5 x+ 2  A) − 15 y 5 B) − 15 y 5  x  C) − 15 y D) − 15 y E) − 15 y 5 5 5 252 A) 252 x 5 B) x5 252 19) Cual es el coeficiente de x14 en el C) D) 252 x 8 desarrollo de: x3 ( x2+x3 ) 6 E) 252 x A) 12 B) 18 C) 15 D) 21 E) 2416) Hallar el término que contiene a x8 en el desarrollo de: 20) El 5to término del desarrollo de: (x + y) 13 7  1 1  A) 1287 x y 8 3 B) 1287 x y 8 8  2 + 2 x 8 5 8 6 8 10  y  C) 1287 x y D) 1287 x y E) 1287 x y prácTIca DomIcIlIarIa1. El último término en el desarrollo de: 3. El coeficiente numérico del 2° término (x-3y)5 es: en el desarrollo de (2a+b)5 es: a) -15y5 b) 15y5 c) 243y5 a) 16 b) 32 c) 80 d) -243y5 e) -243xy5 d) 10 e) 50 4. El término central en el desarrollo de:2. El coeficiente numérico del 8° término 7  y  3x −  , es: 11 del desarrollo de (2-x) es: a) 330 b) -330 c) 5280  2 d) -5280 e) Otro valorProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez25
  26. 26. 2835 4 3 − 2835 4 3 10. ¿Qué lugar ocupa el término del a) x y b) x y 120 8 8  1 desarrollo binomial de:  x +  que es 945 3 4 − 945 3 4  x c) x y d) x y 16 16 de grado 100. e) no hay término central. a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 115. El término independiente de “x” en el 4 11)Hallar el 4to término de:  1  desarrollo de  x − 2  es el: ( 2 x 2 + 3y 4 ) 5  x  4 4 a) 2° término b) 3° término A) 1080 x y 1080x 4 y10 B) 4 12 4 12 c) 4° término d) último término C) 1080x y D) x y E) 1080 x y e) No hay término independiente de “x” 12) Hallar el 6to término de: (3x 2 + 2 y 3 ) 76. Halla el valor de “x” de tal manera que Ver cual es el grado absoluto. el coeficiente del 3° y 5° términos en el A) 20 B) 21 desarrollo de: (2x-1)5 sea igual a 72. C) 23 D) 22 E) 10 a) x=±2 b) x=±4 c) x=±3 13) Hallar el tercer término del desarrollo d) x=±5 e) x=±6 de: ( x 4 + 3 y 5 )10 A) 405x 2 y 32 B) 405x 16 y 327. ¿Qué valor debe tener “n” para que el 32 2 16 16 cuarto término del desarrollo de: C) 405x y D) 405x y n 4 4 2 x  E) 405x y  +  , sea el término x 2 14) Hallar el término central de: independiente. Cita el coeficiente del término que sigue al término de grado (x 2 − y 3 )8 cero. A) 70 x 4 y 8 B) 70 x 8 y 8 25 15 15 8 12 C) 70 x y 12 8 D) 70 x y a) b) c) 4 2 4 3 4 E) 70 x y 24 25 d) e) 5 2 15) Hallar el término central de: (a 3 − b 3 ) 48. El término central en el desarrollo de: A) 6a 6 b 6 B) 6a 4 b 4 (2x-y)6 es: C) 6a 3 b 3 D) 6a 4 b 5 E) 6a 5 b 4 a) -60x2y4 b) 60x2y4 3 3 c) 160x y d) -160x3y3 16) Hallar el término central de: (3a − b ) 6 e) No hay término central A) − 540a 3 b 3 B) − 540a 4 b 49. Halla el término anterior al C) − 540b 2 D) − 540a 2 E) − 540b 6 independiente de “x” en el desarrollo del siguiente binomio de Newton: 17) Hallar el término de lugar 5 en: 13  x 3 2 1  (x 2 + y 3 ) 6  +2   2 x A) 15x y 2 3 B) 15x y 4 12   12 3 12 12 715 15 13 453 1513 C) 15x y D) x y E) 15x y a) x b) x 16 15 18)Hallar el término de lugar 10 en: c) 720x1/2 d) 360x1/4 e) 485x3 ( x 2 − y 3 )10 10 4 10 6 A) x y B) 85x y 10 16 12 C) 48x y D) 56 x y E) N.A.

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