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  • 1. Índice ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA Pág.T E M A 1 Teoria de exponentes................................................................................. 2T E M A 2 Expresione algebraicas............................................................................... 10T E M A 3 Polinomios................................................................................................. 18T E M A 4 Operaciones con expresiones algebraicas.................................................... 30T E M A 5 Productos Notables.................................................................................... 38T E M A 6 Division Algebraica..................................................................................... 48T E M A 7 Cocientes Notables..................................................................................... 63T E M A 8 Factorización............................................................................................. 72T E M A 9 Fracciones Algebraicas............................................................................... 85T E M A 1 0 Relaciones Binarias.................................................................................... 100T E M A 1 1 Teoria de Ecuaciones.................................................................................. 115T E M A 1 2 Inecuaciones............................................................................................. 139T E M A 1 3 Funciones.................................................................................................. 150T E M A 1 4 Miscelaneas............................................................................................... 171
  • 2. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI TEMA N º 01: TEORÍA DE EXPONENTESCapacidades: Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones. Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial.Desarrollo del Tema: POTENCIACIÓN Exponente (Base) = POTENCIAEjemplos:1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 veces2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5 veces3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 6 vecesEn general: an = a . a . a . a . … a “n” veces LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma base y como exponente la suma de los exponentes. Así: am . an = am+n Ejemplos: 1) x5 . x7 = x12 2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 = 3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
  • 3. Ecuación Segundo Año2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma base, y como exponente la diferencia de los exponentes. am Así: n = a m−n a Ejemplos: x8 2 m +3 1) = x5 3) = 2 m−3 3 x x 12 5 x + 2 .5 x + 3 2) = 4) = x −3 5 2 x +13. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la unidad. Así: a0 = 1 ; donde: a ≠ 0 Ejemplos: 0 0 0 3 4 + 5 7 + 89 = = 0 1) 5 7 = 51 = 5 3) 90 2) 42 =4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la misma expresión, pero con exponente positivo. 1 Así: a −n = , donde: a ≠ 0 an Ejemplos: −3 1 1 1) x = 3) = x3 x2 a2 2) 2-1 = 4) = b4 a −3 5) = b −55. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Así: (a.b)n = an . bnProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez3
  • 4. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: 1) (a . b)5 = a5 . b5 3) x4 y4 = 2) ( 3 x = ) 2 4) 3 x .2 x 6x =6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. n a a Así:  = m ; b≠0 b b Ejemplos: 4 x x4 x7 1)   = 4  y 3) =   y y7 3  3 8n 2)   4) = 5 2n7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. −n n a b bn Así:   =  = n b a a Ejemplos: −2 2 −2 −3 −4 5 2 4 1 1 1 1)   =  = 3)   +  +  = 2 5 25 2  3 5 −3 1 2)   = 58. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de exponentes. Así: (a ) m n = am n Ejemplos: ( ) 1) x 2 4 = x8 3) [( x ) ] 3 4 5 = 2) (x-3)-4 = 4) (x-2)5 = { } s OBSERVACIÓN:  ( a m ) n r  = a m.n .r . s    
  • 5. Ecuación Segundo Año9. RAÍZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raíz de una potencia, se escribe la misma base y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el índice del radical. m Así: n am = a n Ejemplos: 10 1) 5 x 10 = x 5 = x2 3) X6 4 = 2) 3 4 X 48 = OBSERVACIÓN: m n s r a = mnrs a10. EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario. m Así: a n = n am Ejemplos: 1 1) 8 3 =3 8=2 3) a3/5 2) 642/3 4) 1251/3 =11. RAÍZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raíz de cada factor. Así: n ab = n a .n b Ejemplos: 1) 5 x 10 y 25 = 5 x 10 .5 y 25 = x 2 . y 5 3) 3 125.212 = 2) 7 xy = 4) 5 32.243 =12. RAÍZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raíz del numerador y del denominador. a na Así: n = b nbProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez5
  • 6. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: x 20 5 x 20 x4 16 1) 5 = = 2) 4 = y 35 5 y 35 y7 62513. INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical. Así: a p n b = n a pn b Ejemplos: 1) x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y 4) 23 5 = 2) x 5 3 y 2 = 5) x y = 3) 2 2 = 6) 54 2 = PRÁCTICA DE CLASEResuelve:1. E=2n+2 + 2n+3. 6. Resuelve: a) 4 b) 4n+5 c) 42n+5 d) 24n e) 12.2n 2 n −1 A= 2 n −32. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) 1/2 e) 1/4 3 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3 Q= 3 n +1 7. Reduce: a) 39 b) 6 c) 27 d) 13 e) N.A. 3 n −1 + 3 n − 2 M = 3 n−43. Calcula: a) 36 b) 3 c) 12 d) 27 e) N.A. 2 n −2 E= 2 n −3 8. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) ½ e) ¼ (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 ) E= (ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 )4. Reduce: a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa) 9. Reduce: (bxbx….xb) (n-15) veces 5.2 n + 2 − 2 n + 4 − 6.2 n −1 (m-18) veces E= a) 60 b) 60ab c) 60anbm 2n d) 60ambn e) N.A. a) 0 b) 1 c) 2 d) ½ e) N.A.5. Reduce: Q= (x xx +x x x + x x + 2 x + x x +3 x x − x ) x 10. Simplificar: −1 −2 −1 L = ( 2 3 ) 9  + 16 − 4− 2 −1  −1 / 2 x x + x 2 x + x 3x −4         a) x b) x-1 c) 0 d) 1 e) N.A.
  • 7. Ecuación Segundo Año a) 4 b) -4 c) 2/5 d) 5/2 e) -2/5 2 n+ 2 n n+2 2 2 2n+n11. Reduce: 1 −1 1 −1 1 −1 1 a) n 2 n −1 b) n 2 c) d) n 4 e) N.A.   −      n  1  2    1 2  1  2    −      1 2 .  1 2 . 1 2 4   −    2  2 2 a) ½ b) 1 c) -1/16 d) 1/16 e) -1/2 19. Calcula el valor de: 216 .35 3.80 3 E= 4 9 2 ⇒ E=12. Simplifica: 15 .14 .30 3 n .3 3 n.3+ 2 E=n 6 20. Efectúa: 81 a) 1/3 b) 3 c) 81 d) 9 e) N.A. 15 6 .12 4 .5 9 .6 3 E= 1011.313.5 413. Reduce: a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 1/ n  n+ 1  9 4 3.3 n 21. Simplifica: E=   3 3−n      a a a a .16 a a) 3 b) 9 c) 27 d) 1 e) N.A. a) a b) 16 a 15 c) a2 d) 8 a7 e) 1 22. Reduce:14. Simplifica: 81+ n 2n− 1 x y x2 81− n 3 5 Q= 729 .8 3 y x y2 a) 27 b) 17 c) 29 d) 8 e) N.A. x y x a) b) c) 5 y x y15. Calcula el valor de: 2 x + 4 + 32(2 x − 2 ) y x2 d) 5 e) 5 2 x+5 − 2(2 x + 3 ) − 4( 2 x +1 ) − 6(2 x −1 ) x y216. A qué es igual : 2 n+2 1 23. n n+ 2 Q= 2 7 a3 3 a a 2 2n+ 4 a) a b) a2 c) 21 a d) 21 a2 e) N.A. a) 4 b) 2 c) 1 d) n 2 e) n 2 n +117. Halla el valor de la expresión: 2x 3 2x 3 2x 3 ( ) 24. 3 20 n +1 x3 x E= n ⇒ E= 4 n+2 + 2 2n+2 a) 8 64x 7 b) 8 128x 5 c) 4 64x 718. Simplifica: d) 4 128x 7 e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez7
  • 8. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI25. Realiza: 2 m +3.4 m + 2 n m −1 29.  24 m − 12 m + 15 m  9 m − 2 .16 n + 2  4m m   2 − 2 + 10  3m a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1 1 a) 3 b) 2 c) 2/3 d) 1,5 e) ½ − 1 30. 2 226. Resuelve: a) 3 b) 4 c) 2 d) ½ e) -1/2 6(6) a + 4(4) a 5 n −1 + 2 n −1 a +1 31. n −1 3(3) a + 2(2) a 51− n + 21− n a) -2 b) 2 c) 1 d) ½ e) N.A. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) N.A. a nbn + a ncn + bncn27. n a −n + b −n + c −n 32. a x a x 2a x 8a a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. a) x2 b) x3 c) x4 d) x5 e) N.A. −4 −0.528. − 27 − 9 33. Calcula: 8 2 7 3 2 7 a) 2 b) -2 c) ½ d) -1/2 e) N.A. 3 1+ + 1− 3 3 3 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1 PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Resuelve: 5 −7 7 5 a) − b) c) d) e) -7 2 x +2 + 2 x +3 7 5 5 7 E= 2 x+2 5. Reduce: a) 3 b) 4 c) 2x+3 d) 12 e) N.A. [ ] n M = (x ) n m 1 / mm  1 ( n +1) −  x1 +  + n x 2n2. Simplifica:  n 5.2 n + 2 − 2 n − 4 − 6.2 n −1 a) x b) x2 c) 0 d) 1 e) -1 E= 2 n −1 6. Resuelve: a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) N.A. −2 −1  8  −1  10  − 2  2  −3  E =   +    10  +  3  3. Simplifica:  21         3.2 −1 + 2.3 −1 Q= a) 4 b) ½ c) 2 d) ¼ e) N.A. 3.2 −1 − 2 x3 −1 13 13 5 7. Simplifica: a) 13 b) 15 c) d) e) 6 5 13 a −b −1 x ( a −c ) . b − a x ( b −c ) −14. Reduce: E= −1 c −a n −1 n −2 x ( b −c ) 2.3 + 3 E= a) xab b) 1 c) xac d) xa e) xb 3 n − 2 − 6.3 n −3
  • 9. Ecuación Segundo Año8. Reduce: ( 13 ) −1− 2 [ ]  1  1 1 2/3 (a ) m /( m + n ) a−a Q =  n am an  n E =  +  −m aa .3       ( xy ) −1 / 2   x y a) a b) an c) am d) 1 e) 0   Sabiendo que: x+y=-19. Reduce: a) 1 b) -1 c) 8 d) 0 e) N.A. − 2 16. Calcula: A =  2 .2 − 2 2  2     2 m + 3.4 m + 2 n E= a) 2 b) ¼ c) 0 d) 1 e) N.A. 8 m − 2 .16 n + 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2.21/210. Resuelve: 17. Simplifica: n xn. xn −1 13 6 −n 3 n .( x ) x −1 + y −1 x . x x −1 . y −1 a) x-n b) xn c) x d) 1 e) N.A. a) x-y b) x+y c) y-x d) –x –y e) N.A.11. Simplifica: 18. Calcula: 3 n −a + 2 n −1 n −1 2 n − a + 1 E= n −1 + 2 n + 4 − 2(2 n ) 31−n + 21− n 21− n + 1 Q= 2(2 n + 3 ) a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) N.A. a) 8/7 b) 7/16 c) 7/8 d) -7/8 e) N.A12. Simplifica: [ Q = ( 64 ) −1 / 3 + (−32) −3 / 5 ] −1 / 3 19. Simplifica: 6 n + 10 n + 15 n a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.A. M =n 2 −n + 3 −n + 5 −n a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 3013. Reduce: n n  20. Calcula: n n   n n   38 n .36 E= (n n ) n −n n E=n 27 2 n +1 + 9 3n +1 a) n b) n2 c) 2n d) n3 e) 1 a) 3 b) 9 c) 38 d) 1 e) 21/n 21. Simplifica: 514. Halla “x” en: 5 5 L = ab 3 a − 2 b −1 ab −1 5 x = 5 25 5 a) 125 b) 5 c) 5 125 d) 1 e) N.A. a) 3 b) 6 c) ab d) 1 e) N.A.15. Calcula el valor de la séte. Expresión: 22. Calcula el valor de M, si: 4 n + 3 − 4(4 n ) M= 4(4 n −1 ) a) 32 b) 48 c) 60 d) 64 e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez9
  • 10. TEMA Nº 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades: Reconoce y clasifica una expresión algebraica. Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:I. “Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo. Ejemplos: 1) 2 + 4 = 6 3) 3 + 4 = 2) -3 – 7 = -10 4) -13 – 9 =II. “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”. Ejemplos: 1) 3 – 2 = +1 3) 7 – 5 = 2) -4 + 2= -2 4) -13 + 8=Desarrollo del Tema:1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3 Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…) Ejemplo: x2, xyz, x5y7 La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: Parte variable Exponentes − 2x 5 y 4 Bases Parte constante
  • 11. Expresiones Algebraicas Primer AñoACTIVIDAD Término Parte Parte Bases Exponentes Algebraico Constante Variable-3xy4xyz-3abc7m2n3-4abc3-x5-44xyzt4-3x2z32. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable. Ejemplo: 3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable. * 4x3y4 ; -x3y4  ……………… son semejantes 5 3 5 3 * x y ; 7x y  ……………… son semejantes * -a3b4 ; -3b4a3  ……………… son semejantes OBSERVACIÓN: Un término algebraico NO puede tener como exponente a: a) Números irracionales: Ejemplos: 3 1) 4 x y 4z 5 …………… no es término algebraico 2) 2 xy3 z 2 2 …………… no es término algebraico b) Letras: Ejemplos: 1) -xxyyzz …………… no es término algebraico 2 3 a 2) -2x y z …………… no es término algebraico PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Relacionar los términos semejantes: I) abc ( ) 7x II) 4x3y5z6 ( ) 2nma III) -3x ( ) cba 3. Colocar verdadero (V) o (F) según IV) amn ( ) -x3z6y5 corresponda: I) En un término algebraico los ( ) exponentes no pueden ser números irracionales. ( )2. Son términos semejantes: II) Es un término algebraico 3xxy3z. I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos ( ) III) 7,x IV) abc; -3cba semejantes. a) I b) II c) III d) IV e) N.A. 4. Completar:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez11
  • 12. Los coeficientes: Término Parte Parte Término a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4Algebraico Constante Variable Semejante d) -9 y 4 e) N.A. 1 5− x y 13. Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1 2 Son semejantes:− 7 xz Calcular: A = a + b + cAbc a) 10 b) 9 c) 87 d) 7 e) 6-x4z5 14. Si los términos semejantes presentan iguales 5. Si: t1 =13x 7 t2 = 2x a coeficientes (b + 3)xbyc+3 ; 10xby5 Calcular: 4a − 3 Calcular la suma de los exponentes: a) 1 b) 2 c) 3 a) 13 b) 12 c) 11 d) 4 e) 5 d) 10 e) 9 6. Dado los términos semejantes: 3a2m+4 ; − 3a12 15. Dados los términos semejantes: Calcular: m + 1 3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8 a) 1 b) 2 c) 3 a+b+c Calcular: A = d) 4 e) 5 3 a) 7 b) 6 c) 5 7. Si los siguientes términos son semejantes: d) 4 e) 3 5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular: B = a + b + 4 16. Verificar si las siguientes expresiones son a) 1 b) 2 c) 3 términos semejantes: d) 4 e) 5 a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . ( ) 8. Dados los términos semejantes: b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( ) 3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b c) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( ) Calcular: R = a.b d) x y ; 3x y 2 3 4 2 .........( ) a) 10 b) 9 c) 8 e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( ) d) 7 e) 6 f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ( ) g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( ) 9. Dados los términos semejantes: 17. Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5 semejantes. Halla el valor de “m+n”: Calcular: La suma de coeficientes a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4 son 10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes. Entonces (a+b) es: semejantes siguientes: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 -2axa+by5 ; 12bx8yb+4 a) -14 y 12 b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A. 19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos 11. Dados los términos algebraicos semejantes: semejantes. Calcular: t1 + t2 (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 Calcular: a + b a) 1 b) 2 c) 3 20. Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n; d) 4 e) 5 t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de “m - n”: 12. Calcular de los términos semejantes: a) 5 b) 3 c) 2 d) 8 (b+4)x7 ; (2 – b)xb+2 RECORDANDO:
  • 13. Expresiones Algebraicas Primer AñoComo ya sabemos un término algebraico consta de:Parte constante  NúmerosParte variable  LetrasNota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.Así: 2x + 4x – 3x + 5x Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5cSe reduce: 8x Queda: …………………………………MAYOR O IGUAL A 2Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes sedenomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA.Por ejemplo:Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda:5b – a + 5c Expresión algebraica de 3 términos-x + y + z Expresión………………………………………… 3 4-x – y Expresión…………………………………………Si:3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados)5x 3 + x 3 + 14 x 3 + 3 (No es porque los exponentes de las variables no pueden serx4 + 2 + 4y números irracionales o letras)Entonces ahora completa el siguiente cuadro: Expresión Si es expresión algebraica No es expresión algebraica2x3y4 + 5xy−x 3 + x3 − 4x + x6 + x7 + … 5 x +3 x +43 + 2x…… + x3 – x2 + 4x3x + 4x + 5xx 5y 4 + 2x + y5x2 + 5y3 + 5z4 PRÁCTICA DE CLASEI. Reducir: 7. –{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-1. 4x + 2x – 3x + 4x (5a+b)]]]}2. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x 8. –{(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)-3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2 (3xy2+6xy2)]}4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz 9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 +6. –{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]} 6z2x3y4Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez13
  • 14. 10. Indicar cuántos términos tiene la 13. Reducir si los términos son semejantes: expresión luego de reducir: (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b – 4)xa+3 – bxc+4 -{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7 +2a – (a-b)]]]]]} d) 7x7 e) 6x7 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) N.A. 14. Dados los términos semejantes (reducir)11. Reducir los términos semejantes axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x (c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 7x b) 2x c) 3x 3 3 4 a) 8x b) 3x c) 8x d) 4x e) 5x 4 4 d) 4x e) 16x 15. Si los siguientes son términos12. Reducir los términos semejantes semejantes: a+b c+d e+f 3 (a+b)x + (c+d)x + (e+f)x +x (a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5 a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 Reducirlos: 10 d) 3x e) 10x a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5 d) 7x5 e) x5 PRÁCTICA DOMICILIARIAI. Reducir: a) 3 términos d) 01. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 b) 2 términos e) N.A.2. 2xy + 4xy + 5xy – 10xy c) 1 término3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3 11. Reducir los términos semejantes:4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + (2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4 2a3b4c5 10c3a4b5 a) 7x4 b) 8x4 c) 9x45. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 + d) 10x4 e) N.A. 7x2y4a3 – x3y2a46. –{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}} 12. Reducir los términos semejantes:7. –{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}} (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x48. –{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y- a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4 xy2)]} d) 20x4 e) N.A.9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x 2 3 4 Z 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 13. Al reducer los términos semejantes: + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + mxm + nxn + pxq + qxq + x7 z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4 queda: a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7 d) 26x7 e) N.A.10. Luego de reducir: -{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a – 14. Luego de reducir los términos {a – b}+{+b}c} – a} semejantes: La expresión tiene: (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
  • 15. Expresiones Algebraicas Primer Año a) 5x3y4 b) 3x3y4 c) 7x3y4 a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a – 3 4 d) 6x y e) N.A. b)}}} a) a b) 2b – c c) a + b15. Reducir: d) a + b + c e) N.A. VALOR NUMÉRICOEl valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variableo variables toman un determinado “VALOR”.Ejemplo:I CASO:P(x)= 2x+3 Q(x)=5x – 3 R(x)= 2x + 5P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) – 3 R(1)=P(2)= 7 Q(1)=2 R(2)=P(3)=2(3) + 3 Q(2)=5(2) – 3 R(0)= = 09 Q(2)=7II CASO: Si P(x)=2x+3 P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3 P(x)=2x – 5 P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3 P(a)= P(x+3)=2x + 9 P(x+3)=III CASO: Si P(x) = 2x+3Calcular: A=P (P (P (3)))¿CÓMO?Se empieza por adentro, es decir: A = P (P (P (3) ) ) 2(3) + 3 A = P (P (9) ) 2(9) + 3 21 A = 2(21) + 3 A = 45IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5Calcular: P(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x+5) P(Q(x)) = 2(3x+5)+3 P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA : P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ? PRÁCTICA DE CLASE 1) Hallar el valor numérico de:  P(x,y)=3x + 2y – xy x=1; y=2; z=3de los siguientes  P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z polinomios:  P(x)=3(x+2)(x-3)  P(x)=2x + 5  P(x,y)= 2x(x+1)(y-2)Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez15
  • 16. A) 0 B) 3 C) 52) Si: P(x)=2x-4 Calcular: A=P(1) + P(2) D) 2 E) 43) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y 15) Dado: F ( m 3 − 1) = m + 5 Calcular: A=P(2,3) + P(0,1) Calcular z en: F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1)4) Si: P(x)=3x + 5 A) 3 B) -1 C) 0 Calcular: M=P(a+2) – P(a-2) D) 2 E) -25) Si:P(x)=2x – 1 16)Calcular: “A” Calcular: A=P (P(P(O))) Si: M(x) = 4x6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3 M(1) + M(2) A= Calcular: A=P(R(2)) M (4)7) Si: P(x)=3x+5 17) Dada la expresión: Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2 1 Calcular: A=P(Q(R(O))) P( x ) = ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ; calcular x( x − 1)8) Si: L(x + 3) = x2 + x − 1 P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5) Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4) 4 3 2 A) B) C)9) Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 5 5 5 1 1 7 Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0) D) E) 5 510) Sea: M(3x − 2) = 5x − 9 Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13) 18) Si : P( x ) = n; n ∈ R ; Calcular: R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 )11) Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1 A) n B) 2n C) 10n Calcular el valor de: D) 15n E) 55n a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)] 19) De la expresión :  x +1 =x − 2 x1998 + 4 1999 P12) Sea: P( x −1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6)  x −1  Calcular el valor de: P ( 3) P ( −1) A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x - 8 D) 4x + 10 E) NA. A) 256 B) 16 C) 128 D)4 E) 2313) Indicar el valor de a; b en ese orden, si: P( x ) = 3x a −1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b−1 se reduce a  x 20) Sea: P  = x − 125 x + 3 x + 2 ; 20 17 un solo término. 5  y +1  x +1 calcular P(1)14) Sea: P( x; y ) = x  + y  y +1 ;  A) 17 B) 20 C) 30  x +1    D) 50 E) 80  33 41  Calcular P ;   41 33  PRÁCTICA DOMICILIARIA
  • 17. Expresiones Algebraicas Primer Año1. Calcular el valor numérico de polinomios Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10 para x=2; y=3; z=1 12. Si: P(x) = 2x + 4  P(x)=3x – 4 Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )  P(x,y)=2x+3y-2  P(x,y,a)=x + y + z – 6 13. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3  P(x)= (4 – x)(x -2) Calcular: P(Q(x))  P(x,y)=(x+2)(y-3)  P(x,y,z)=(x – 1)(y-2)(z-3) 14. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 22. Si: P(x)=2x + 8 Calcular: P(Q(x)) Calcular: A=P(a) + P(a-1) 15. Dado: p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x − 13 ;3. Si: P(x,y)=5xy+x-y calcular el valor de p ( p ( 4 ) ) Calcular: P(1,2) + P(2,0) A) -24 B) -21 C) -12 D) 11 E) 344. Si: P(x)=x + 2 Calcular: A=P(P(P(3))) P x  = x 20 − 8 x17 + 3x + 2 ; 16. Sea:   25. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1 Calcular P( 1) Calcular: A=P(R(2)) A) 17 B) 20 C) 306. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2 D) 50 E) 8 Calcular: A=P(R(x)) 17. Si: P(x) = x + 3x + 4 2 Calcular: P(2) + P(3)7. Del problema anterior 18. P(x) = 2x + 4 Calcular: B=R(P(x)) A = P ( P ( P ( P (2))))8. Si: P(x)=3x+4 19. Si: Q(x) = x + 5 P(x)=x+3 Calcular: M=P(P(x)) Calcular: P( Q (x) ) 20. A(x) = 2x + 49. Calcular: P(P(P(2))) Calcular: A ( R ( x ) ) Si: P(x)=2x – 110. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4 21. Si: P( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3x − 2 ; calcular M(0) + M (2) Si: A = M(1) P ( 1) P ( 2 ) P( 0) A) 2 B) -2 C) 411. Calcular: P(7) D) 5 E) 0Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez17
  • 18. Polinomios Segundo Año TEMA Nº 03: P O L I N O M I O SCapacidades: Reconoce un polinomio. Diferencia entre monomio y polinomio, Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa. Resuelve problemas con polinomios.Desarrollo del Tema:Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables sonnúmeros naturales. P( x , y) ≡ 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4 Término Variables Independiente1. MONOMIO Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo: M ( x , y, z ) ≡ 4 x 3 y 4 z 5 Parte Variable Parte constante (Coeficiente) a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión Ejemplo: Sea: M(x,y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) : 4 (exponente de x) GR(y) : 3 (exponente de y) b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x,y) = 135x4y3 GA = 4 + 3 Exponente de variable x Exponente de variable y GA = 7
  • 19. ACTIVIDAD: COMPLETA EL CUADRO ParteMonomio Parte Constante GA GR(x) GR(y) GR(z)M(x,y,z) Variable (Coeficiente) 39x3y -4 − 3x 4 z 5x2yz3 18z -4x5y4 82. POLINOMIO Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. Ejemplo: P( x; y) ≡ 2 xy 3 + 4 y 4 − 3x + 2 Término Independiente Polinomio de 4 términos 4 3 2 P(x) = 4x + x – x + 2x + 3 Polinomio de ___________________ 2 P(y) = ax + bx + c Polinomio de ___________________ P(x; y) = x + y Polinomio de ___________________ a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio. P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GR(x)=3 GR(x)=5 GR(X)=1 GR(y)=4 GR(y)=3 GR(y)=2 Entonces: GR(x) = 5 GR(y) = 4 AHORA TÚ: P(x,y)≡ 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y GR(x) : GR(y) = b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma el mayor: P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GA=7 GA=8 GA=3 ⇒ GA=8 ¡AHORA TU!
  • 20. Polinomios Segundo Año P(x,y) ≡ 3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y GA =ACTIVIDAD: COMPLETARPolinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)x6 + xy + x3y4zx+y+zzxy + x2y3 + 4a + abx + bx23x3 + 4y4-x3y4 + x5 + y84z3 + 4z – 3 c) Cálculo de Grados en Operaciones 1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor. Ejemplo: Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: b tal que: a > b ⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a 2. En la multiplicación los grados se suman Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2) Resolución: ⇒ Grado: 6 + 9 = 15 3. En la división los grados se restan xy 8 − x 3 y 3 + x 7 Ejemplo: x 4z − y 3 + x 3y 3 Resolución: ⇒ Grado: 9 – 6 = 3 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10 Resolución: ⇒ Grado: 9 . 10 = 90 5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo: 3 xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12 Resolución. 12 ⇒ Grado =4 3 Propiedad:
  • 21. En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 PRÁCTICA DE CLASE1. Dado el monomio: a+b+c Calcular: A = M(x,y) = -3abxa+3yb 7 De GR(x) = 7 y GA = 10 a) 5 b) 4 c)3 Calcular: El coeficiente d) 2 e) 1 a) -36 b) 36 c) 12 d) -12 e) N.A. 6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+22. Si el siguiente monomio: Calcular: A = a + b a+1 b+2 4 M(x,y,z) = -4x y z a) 1 b) 2 c) 3 Es de GA=14 y GR(y) = GR(z) d) 4 e) N.A. Calcular: “a . b” a) 15 b) 10 c) 5 7. Dado el polinomio: d) 3 e) 6 P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab Si: GR(x) = 7 GR(y) = 63. Si el monomio: Calcular el término independiente: x+2 y+5 M(a; b) = -4xya b a) 5 b) 6 c) 7 Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 d) 12 e) N.A. Calcular: “El coeficiente” a) 24 b) -24 c) 25 8. Si: d) 26 e) 12 P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc Es de GR(x) = 14 GR(y)=64. Si en el monomio: Calcular la suma de coeficientes: 2 3 a+3 b+2 6 M(w, t, ψ) = -2a b w t ψ a) 3 b) 4 c) 5 El GA = 17 y GR(w) = 5 d) 7 e) N.A. Calcular: “El Coeficiente” a) 512 b) 251 c) -512 9. Si: d) 251 e) 521 P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z)=3 GR (z) GR ( y) Calcular el grado absoluto.5. Si GA = 15 GR(x) = = =2 2 3 De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3 10. Dado el polinomio:
  • 22. Polinomios Segundo Año P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a P( x; y ) = x m + 2 n y 7 − n + x m + n y 10− n + x m+ 3n y 9− n Calcular el término independiente si , además: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el GA=8 grado absoluto.11. Determine el grado del polinomio A) 25 B) 26 C) 27 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x10 + 10 ) D) 28 E) 29 A) 45 B) 36 C) 55 15. Sea: P( x; y ) = x 2 n −3 y 2 n +5 , donde el D) 21 E) 28 grado relativo con respecto a “x” es 7. Calcular el grado absoluto de la expresión:12. En el siguiente polinomio ordenado y A) 22 B) 30 C) 35 completo de grado 2 : D) 25 E) 28 P( x ) = x a + 2 x a −b + 3 16. Determine el grado del polinomio Calcular: a2 − b2 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x 8 + 8) A) 3 B) -1 C) 0 A) 45 B) 36 C) 15 D) 1 E) 2 D) 21 E) 2813. Sea: 17. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ? P ( x ) = 3ax a +5 + 5ax a + 6 + 2ax a +8 . P( x ) = x 2 n + x 2 n −1 + x 2 n −2 + ... + x 2 + x + 1 Un polinomio de grado 17. señale la suma de A)2n B)2n + 1 C) 3n sus coeficientes. D) 2n - 1 E) n A) 20 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 18. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ? P( x ) = x 2 n −1 + x 2 n − 2 + x 2 n −3 + ... + x 2 + x + 114. Dado el polinomio: A)2n B)2n+1 C) 3n D) 2n - 1 E) n PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Dado en el monomio. GA=12 GR(x) = GR(y) a b M(x,y) = 4abx y Calcular: m . P Si. GR(x) = 2 GA=7 a) 12 b) 13 c) 14 Calcular: “El coeficiente” d) 15 e) 16 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 3. Si en el monomio: M(ψ, θ) = 2xyψx+4θy+22. En el siguiente monomio: Donde: GR(ψ)= 7 GR(θ)=5 m+1 p+2 2 M(x,y,z) = 3x y z Calcular el coeficiente:
  • 23. a) 18 b) 19 c) 20 P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3 d) 21 e) 24 Si el GA=7 Además: a – b=2 b Calcular: A = a4. Si en el monomio: a) 1 b) 2 c) 3 2 3 4 a+5 b+4 c+3 M(x,y,z) = 2a b c x y z d) 4 e) 5 Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4 Calcular el coeficiente: 11. En el polinomio : a) 2 b) 4 c) 5 P( x , y ) = ax 2 y 3 − bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y) d) 16 e) 14 Indicar la suma de los coeficientes. A) 13 B) 11 C) GR ( x ) 125. Si: GA=24 GR(y) = 5 D) 9 E) 8 a+b a-b M(x,y)= 2x y 12. Determine el grado del polinomio Calcular: a . b a) 96 b) 108 c) 64 ( )( P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7 ) ( ) d) 25 e) 15 A) 45 B) 36 C) 15 D) 21 E) 286. Si: P(x) = x a+4 +x a+3 +x a-4 ;GA=7 Calcular: 3a 13. Si al polinomio: a) 3 b) 4 c) 5 P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8 d) 6 e) 7 le restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 disminuye ¿Cuánto vale el menor de los GR(x) =5 GR(y) = 3 grados relativos? Calcular el GA A) 3 B) -1 C) 0 a) 1 b) 2 c) 3 D) 4 E) 2 d) 4 e) 6 14. Si:8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4 n m P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m −1 Es de GA=5 Calcular la suma de coeficientes: se reduce a un monomio: a) 14 b) 15 c) 16 Calcular GA de: d) 17 e) 18 2 M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 GR(x) = 4 GR(y)=5 GR(z)= 3 Calcular el grado absoluto 15. Si el polinomio completo es de (4 + a) a) 1 b) 14 c) 12 términos. d) 10 e) 11 P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a − 1) x 2 a −1 + ( 2a − 2) x 2 x − 2 + .... Calcular el valor de “a”10. Dado el polinomio: A) 1 B)4 C)2
  • 24. Polinomios Segundo Año D)3 E) 5 P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a Calcular “a”, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su termino independiente incrementado en 76.16. En el polinomio: A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 5 POLINOMIOS ESPECIALESPOLINOMIO HOMOGÉNEOEs aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.Ejemplo:P(x,y) = 4x3y4 - 3x7 + 2xy6 - x5y2 GA=7 GA=7 GA=7 GA=7P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7 3+5 = a + 2 = b + 7 a = 6 b = 1POLINOMIOS IDÉNTICOSSon aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.Ejemplo:P(x)= (x + 1)2 Q(x)=x2 + 2x + 1P(O)= Q(O)=1P(1) Q(1) = 4  P(x) y Q(x) son idénticos.Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.Ejemplo:P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x)=Ax2 +5x – B A=4 B=3NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo.Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).P(x) = Ox2 + Ox + OP(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0Así, sí tenemos:Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.Entonces: A = 2; B = 3; C = 2¡¡AHORA TÚ!!Si son idénticos: P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x)= 2x2 + 5x + 3
  • 25. Entonces: A= B= C=AHORA:Si: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14Es idénticamente nulo:a= c= b= d=POLINOMIO COMPLETOEs aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta elmenor.Ejemplo:P(x) ≡ 5x3 + 2x – 4x2 + 7OJO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7) P(x) = 2x + 3 ……………………… Es polinomio completo. P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………… Es polinomio completo. P(x) = x – 2x + 5x – 4 4 3 ……………………… Es polinomio completo.POLINOMIO ORDENADOEs aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.Ejemplo: P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente) P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente) P(x) = x – x + x 17 25 50 (Polinomio ………………. en forma ……………………………) P(x) = 14x – 2 (Polinomio ………………. en forma ……………………………)Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una. P(x,y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”) P(x,y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADOEs aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.Ejemplo: P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo porque presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente). P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
  • 26. Polinomios Segundo Año AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA) Polinomio Ordenado Completo Completo y Ordenado Ascendente Descendente Ascendente DescendenteP(x)=4x2+5-3xP(x)=x7 + x + 6P(x)=5x2-3x+2P(x)=x1000-x10+1P(x)=1+2x+x2-x3P(x)=4x5-x+5P(x)=x102-x101-2 PRÁCTICA DE CLASE1. Dado el polinomio homogéneo 8. Dados los polinomios idénticos: P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 – xby8 P(x) = 4x2 + bx + 7 Calcular: (a + b) Q(x) = cx2 + 3x + 7 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a Calcular: a + b + c+ d2. Dado el polinomio homogéneo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A P(x,y,z)=5xyz – x2ya + zb + xc Calcular: a + b + c 9. Dado: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 P(x)=(4 – a)x + 5c + d Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x3. Si el polinomio es homogéneo. Son idénticos: P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5 Calcule: a + c + d Calcular: a + b + d a) 4 b)5 c) 6 d) 7 e) N.A a) 1 b) 13 c) 6 d) 5 e) 8 10. Si los siguientes polinomios son4. Dado el polinomio homogéneo: idénticos: P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10 P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c Calcule la suma de coeficientes: m+n+p a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) NA Calcular: A = a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 55. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y 11. Dado el polinomio idénticamente nulo: Calcular la suma de coeficientes: P(x)=(a – 2)x2 + bx + c + 3 a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)NA Calcular: a . b . c a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A.6. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde: P(x)=ax5+3x2 – 4 12. Dado el polinomio idénticamente nulo: Q(x)=(2a – 3)x5 + (c+2)x2 + b Q(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx – c Calcular: a + b + c Calcular: a + b + c a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A. a) -10 b) -11 c) -12 d) -13 e) N.A.7. Si: R(x)=2x2 + 5x – 3 Es idéntica con: 13. Si el polinomio es nulo: S(x) = (a2 – 2)x2 + (b2 + 1)x + c R(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4 Calcular: a+b+c Calcular: a . c . d a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A. a) 1 b) 2 c) 16 d) 15 e)N.A. 14. Dado el polinomio nulo:
  • 27. P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular: a + b + c Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e)N.A a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.15. Si el siguiente polinomio es nulo: P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c 24. Si: m +n +p 2 2 2 Calcular: M ( x ) = x m −10 + 5 x m − n + 5 + 2 x p − n + 6 a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. es completo y ordenado descendentemente, calcular: m + n + p.16. Calcular el valor de “a” en los siguientes A) 38 B) 28 C) 26 polinomios completos: D) 25 E) 36  P(x)=4xa+4x2 +3-2x  Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 2  R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 25. Calcular el valor de: a 33 + , si el a 9917. En el polinomio completo: polinomio: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 P( x ) = ( a + b − c − 10) x a + ( c − b + 9) x a 6 9 Es Calcula la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 idénticamente nulo. d) 11 e) N.A. A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 018. Dado el polinomio completo: P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp 26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente Calcular: m + n + p polinomio completo: a) 1 b) 6 d) 4 e) N.A. c) 5 ( a b ) ( P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c + b ) ( ) A) 15 B) 6 C) 1819. Ordenar en forma ascendente y D)12 E) 9 descendente los siguientes polinomios:  P(x)= 25x5+3x7-2x+4 27. Si el polinomio:  R(x)= 1- x+x3-x7+2x2  Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc ( ) ( M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y) es idénticamente nulo, calcula S. d 2 9b 6a20. Ordene en forma ascendente y S= + 2 + descendente los siguientes polinomios b e c primero relativo a “x” t luego a “y” A) 15 B) 16 C) 18  P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab D)13 E) 9  P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1- abc 28. Si el trinomio:21. Dado el polinomio completo y a x a +b + b x b + c + c x a + c es ordenado: homogéneo, de grado 10. de que grado es el P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes: monomio : a x b .b x c .c x a a) 1 b) 2 c)4 A) 7 B) 13 C) 27 d) 5 e) N.A. D) 33 E) 3022. Dado el polinomio completo y 29. Calcular la suma de coeficientes del ordenado: polinomio homogéneo: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Q( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3 Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c)9 A) 10 B) 11 C) 12 d) 12 e) N.A. D) 13 E) 1423. Si el polinomio es completo y ordenado 30. Si la expresión: en forma ascendente. (a + b ) 2 6 x a −b − ab 4 x a +b + ( b − a ) x ,
  • 28. Polinomios Segundo Año puede reducirse a un monomio, este siendo términos semejantes en variables “x” e monomio es: “y”. A) 2x B) x C) 3x 32. Se la familia de polinomios: D) 4x E) 5x Pn ( x ) = nx + b; n ∈ N ∧ b ∈ Z ; resolver:31. Efectuar: P2 ( x ) + P3 ( x ) + P4 ( x ) +  + P12 ( x ) + x = 11b 6 bx y a +1 + ( a + b) x b+2 y + ax y 7 a b +3 A) b B) b C) b 78 2 D) -78 E) 0 PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Si el polinomio: a) 40 b) -40 c) 10 d) -10 e)N.A. 3 a 2 7 9 P(x,y)=3x y +2x y -x es homogéneo. 9. Dados los polinomios idénticos: Calcular: a +3 P(x)= (a2-1)x2 + (b+1)x + c + 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)N.A. Q(x)= 8x2 + 7 + 5x Calcular a + b c2. Dado el polinomio homogéneo: a)14 b) 15 c) 16 P(x,y)=2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7 d) 17 e) N.A. Calcular: a . b a) 48 b) 24 c) 12 d) 10 e)N.A 10. Dados los polinomios idénticos: R(x) = (a+b)x3 + (c+d)x + 43. Dado el polinomio homogéneo. Q(X) = 3x3 + e +x P(x,y)=3xay2 – xby4 + 5x5y6 Calcular: a + b +c+d+e Calcular: a + b a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e)N.A. a) 15 b) 16 c) 17 d)18 e) N.A 11. Dados los polinomios idénticamente4. Dado el polinomio homogéneo: nulos. Calcular A, B y C P(x) = axa + bxb – cxc + 2x2 Calcular la suma de coeficientes:  (A-3)x + (C+2)x + B – 5 = P(x) 2 a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e)N.A.  R(x) = (A2–4)x2 + (B3-8)x + C – 25. El polinomio homogéneo:  Q(x) = (A+3)x2 – 5x + -x2 + Bx – C P(x,y)=axayb + bxcyd + (c + d)x5 12. Si P(x) = mx2 : nx + p, es idéntico con: Tiene como suma de coeficientes a: a) 10 b) 11 c) 20 d) 15 e)N.A. Q(x)= cx2 + dx + e c+d+e Calcular6. Si: R(x) y Q(x) son idénticos. m+n+p R(x) = bx2 + 3x + c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. Q(x) = (2b – 2>)x2 + ax + 2 Calcular : a + b + c 13. Si: P(x)= (a-b)x2 + (c+d)x + e – f a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) N.A. Es idénticamente nulo:7. Si: R(x)=12x – 5x + 7 es idéntico con: 4 a c e Calcular A = + * b d f Q(x)=abx4 – 5x + a + b (Nota:a > b) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. Calcular: a- b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 14. Calcular el valor de “b” en los siguientes8. Dados los polinomios idénticos: polinomios completos: P(x,y)= 5x2 - 2x + 4  P(x)=x2b-4+x3+2x-4+3x2 R(x,y)= ax3 + c + bx5 Calcular: a.b.c  P(x)=3xb+1+x3-8+5x+7xb+3
  • 29.  Q(x)=4+53+2xb2+12x- x b 2 −215. En el polinomio completo: 23. Calcular el valor de “a” en los siguientes P(x)=2x+4a – x3a+1 + 5x2 – x3 polinomios completos: Calcular el término independiente a) 1 b) 2 c) 3 d) 4  P(x)=4x3+4x2 +3-2x e)5  Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4  R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+116. Dado el polinomio completo: 24. En el polinomio completo: P(x)=5x+2x2-3a +4x2a –x3 P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 Calcular la suma de coeficientes: Calcula la suma de coeficientes: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 a) 8 b) 9 c) 10 e)5 d) 11 e) N.A.17. Ordenar en forma ascendente y 25. Dado el polinomio completo: descendente los siguientes polinomios P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp Calcular: m + n + p respecto a “x” y luego con respecto a “y” a) 1 b) 6 c) 5  P(x,y)=5x4y2+3xy3 – 2x5y7 d) 4 e) N.A.  P(x,y)=2xy – 5x2y3 + 4x7y4 26. Ordenar en forma ascendente y  P(x,y)=3 + 47 -5x2 + 7x descendente los siguientes polinomios:  P(x,y)=3x y – x y + 2x y 3 4 8 2 2 3  P(x)= 25x5+3x7-2x+4  P(x,y)=-7 + 2x3y4 + xy – 2x8y14  R(x)= 1- x+x3-x7+2x2  Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc18. Dado el polinomio completo y 3a-2 3 2 ordenado: P(x)=x +3x -2x +x+4 27. Ordene en forma ascendente y Calcular: “a” descendente los siguientes polinomios a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 primero relativo a “x” t luego a “y”19. Dado el polinomio completo y ordenado:  P(x,y)=x3y4 – 5xy2 + 2x7y3 – 2ab (Px)=x4 – 3xa+2 + 2xb – xc + 5  P(x,y)=axm+1yn-2+bxmyn+cxm-2yn+1-abc Calcular: a + b + c a)1 b) 2 c) 4 d) 5 e)NA 28. Dado el polinomio completo y ordenado:20. Dado el polinomio completo y P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 3 a b Calcula la suma de coeficientes: ordenado: P(x)=3x – ax – bx + ab a) 1 b) 2 c)4 Calcular el término independiente. d) 5 e) N.A. a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 29. Dado el polinomio completo y21. Dado el polinomio completo y ordenado: ordenado: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab P(x)=abxa+bcxb + caxc + abc Calcule el término independiente. Calcular: a + b + c a) 4 b) 6 c)9 a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 d) 12 e) N.A.22. Del problema anterior calcula el término 30. Si el polinomio es completo y ordenado independiente. en forma ascendente. a)2 b) 4 c) 6 d) 8 e)NA P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular la suma de coeficientes.
  • 30. Polinomios Segundo Año a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.
  • 31. TEMA Nº 04: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades: identifica una expresión algebraica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en forma directa operar con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) 3x + 2x = 5x 3) 3m + 4m – 5 m = 2) 6a + 4a = 4) 8y – 3y + y =B. Efectúa 1) 6x + 4y – 6x = 3) (x + y + 2z) + (2x + 3y – 6z) = 2) (a + 4) – (a – 5) 4) (m – 3n + 2p) – (3m + 4m – 6p)Desarrollo del Tema: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS2.1. Adición de Polinomios Para armar varios polinomios que contiene términos de diversos clases, se indica cada clase con marcas, xx y se reduce separadamente cada una de ellas. Solución: 6x – 4y + 4 + 3y – 5x + 6 = x – y + 10 rpta. • En la práctica se escribe los polinomios sumandos completos y ordenados unos debajo de otros, de modo que correspondan los términos semejantes, procediendo a reducir los términos semejantes. Ejemplo: A(x) = 6x3 – 8x + 3 con B(x) = 3x2 + 12x – 10 Solución: A(x) = 6x3 – 8x + 3  A(x) = 6x3 + 0x2 – 8 x + 3 B(x) = 3x2 + 12x - 10  B(x) = 3x2 +12x – 12 - 10 __________________________ A(x) + B(x)= 6x3 + 3x2 + 4x – 7 ∴ S(x) = 6x3 + 3x2+ 4x – 7 rpta.2.2. Sustracción de Polinomios: Se llama diferencia de dos polinomios al polinomios que se obtiene al sumar el minuendo el punto del sustraendo. Ejemplo: Efectúa la diferencia indicada : (6x2 – 3xy + 4y2) - (3xy +5x2-7y2)
  • 32. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año Solución: Método práctico El polinomio minuendo es : 6x2 – 3xy + 4y2 Recuerda que: El opuesto del sustraendo es : -5x2 – 8xy + 7y2 Después de la palabra De, La diferencia es: x2 – 11xy + 11y2 encontramos al minuendo y después de la palabra restar encontramos el sustraendo PRÁCTICA DE CLASESuma los siguientes polinomios:1) 7x – 3y ; 4x + 6y ; 5x – 8 ; 4x – 3y – 5 ; 6x – y + 22) 14x – 5 ; -3x + 6x2 ; -5x2 – 10x + 6 ; 23x – 4 + 3x23) 2x3 + 7x2 – 3x + 1 ; 3x3 – 5x2 + 6x – 4 ; x2 – 5x + 74) 3x2y – 8x3y2 – x4y3 ; 9x3y2 + 4x4y3 – 4x2y ; 3x3y2 – x2y5) 2x2y3 + 4xy2 + 10x2y – 3x2y ; -xy2 + 6x2y3 – 8x2y + 2x2y26) -3x2 + 5x4 – x6 ; 4x5 – 2x4 + 3x6 ; 12x2 + x6 – 3x5Efectúa la resta de los siguientes polinomios:1) De: 3x2 – 8xy + 6y2 resta: 2x2 + 3xy + 5y22) De: 6x3+ 3x2 –x resta: -4x2 – 3x + 5x33) De: -8x2y – y2 + 3 resta: 3y2 – 12 + 5x2y4) De: ½ xy + 1/3 x2 + x2 resta: 5/8xy – 2/5x2 + 5/7x25) De: 0,13x2 – 0,5x3 + x4 resta: 0,9x2 + 1,2x3 + 0,4x46) De: -1,5xy + 0,8x2y + 0,1y2 resta: 0,2y2 -0,5x2y -1,4xy7) De: -x2y – 3/8xy – 1/5y2 resta: 4/9 x2y – ½ xy – 8/15 y2Suma los siguientes polinomios:1) 0,3x2 – 0,8y2 + 0,2z2; 0,9x2 + 0,2y2 – 0,8z2 ; x2- 2z2 + 3y22) 0,2x3yz – 0,7xy2 + 1,5z2 + 1,2xy3 ; 0,7x3yz + 2,3xy2 – 2,6z2 + 0,6xy33) 2/3xy2 – ¼ xy3 – 5/7xz; - ¾xy3 + 2/5xz – xy2; xz – ¾ xy3 + 1/2 xy24) 1/3x2 + 1/2xy + 1/4 y2; 2/5x2 – 3/4xy – 1/5y2; 8/9x2 – 1/3xy – 3/7y25) 0,5x4 – 0,4x3y + x5 -3x2; 3x5 + 0,6x2 – 2/5x3y + 1/3x4Efectúa la resta de los siguientes polinomios:6) Resta: 5x2 + 3xy – 2y2 de : 8x2 – 5xy + 3y27) Resta: -x2y –y2 + 2y3 de: 5x2y – 4xy2 – y38) Resta: 12xy2 – 9x2y + x2 de: -9xy2 – 2xz + 10x2y9) Resta: 3/7x3 + 2/9 x2 + ½ x de : 5/14x3 – 1/18x2 – 2/3x10) Resta: -1/6xy – 3/8x2 + 5/7y2 de: xy -5/12x2 – 2/9y211) Resta: 0,1xy – 0,5x2y2 + 0,9x3y3 de: -0,7xy -0,8x2y2 + 0,12x3y312) Resta: -1,8x2 + 1,3y2 + 2,5z2 de: 0,6x2 + 0,9y2 – 1,2z213) Resta: 3xn – 5x2n + 8x3n de: 2xn – 6x2n + 5x 3n
  • 33. 14) Resta: 12 x n-1 + 9x n+1 – 5x n+2 de: 15x n-1 + 11x n+1 + 8x n+215) Resta: 0,1xyn+3 – 0,5x2y + 0,9x n+1 de: -0,9xy n+3 + 0,75x 2y + xn+1Suma los siguientes polinomios16) 3yn – 8yx + y2; -yx + 2y2 + 4yn; -5y2 – 6yn + yx17) 8xn – 3xn+1 + 5xn+2; 4xn+1 – 3xn – 3xn+2 ; -8xn+2 + 6xn – xn+118) xn+3 – 6xn+2 + 2xn+1; -3xn+1 + 8xn+2 – 2xn+3; xn+2 – xn+3 + 5xn+119) 3xn – 2xn-1 + xn-2; 4xn-1 – 2xn-2 + 4xn; 6xn-2 + xn – 8xn-120) 5x4 -2/5 x3 – 3x2 -6 ; 4x3 + 2/5x2 -7x + ¼ PRÁCTICA DOMICILIARIAA. Si : A(x,y) = 7x2 y – 3/2 xy2 + y3; B(x,y) = 4/7 y3- x2 Y – 3/5 x y2 C(x,y) = 3xy2 – 5x2 y + 2y3 ; Halla: 1) A(x,y)+B(x,y) 2) B(x,y)+C(x,y) 3) A(x,y)+C(x,y) 4) A(x,y)+B(x,y)+C(x,y)B. Si: P(x,y) = -12x2 y4 –1/3 x2 y2 +3/5 xy3; Q(x,y) = -x2 y2 + 32 y4 + 2/5xy3 R(x,y) = 5x2 y4 + 17/3 x2 y2 + 6xy3. Halla: 1) P(x,y) + Q(x,y) 2) Q(x,y) + R(x,y) 3) P(x,y) + R(x,y) 4) P(x,y) + Q(x,y) + R(x,y)C. Si: A = 3x2 – 2xy + y2 – 5; B = -8x2 + xy – 5y2 + 6; C = 0,9X2 – 0,5XY + 0,2Y2 – 1,2; Halla: 1) (A+B)-C 2) A-(B+C) 3) (A+C)-B 4) (B+C) -4D. Efectúa las siguientes operaciones 1) De: 3ax2 resta la suma: (2a + 5bx – a2x) con: (a – 2bx – 3a2x) 2) De: 5/9 resta la diferencia que hay entre (1/2 a + 3x) y (5/8ª - 2x) 3). De: -6x3 resta la suma: (3x- 5x2 – 8x3) con (2x + 4x2 – 7x3) 4). De: 0,3zx resta la diferencia que hay entre: (0,8x2 – 0,5ax) y 0,3x2 + 0,1axSuprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes en las expresionessiguientes:1) 5X – {4Y – (3X – 2Y)}2) -6X –[-2X –(3Y + X)]3) 4X –{-2Y –[6Z –(3X – 7Y)]}4) -9X –{-X-y –[3y –X –(3y –X)]}5) –{-11X + [-7y –(8x – 10y) – (4x – 2x – 3y)]}6) 2x –{3y – (2y – z) -4z + [2x – (3y – z – 2y)]}7) –{-[13x – (6x – 8y – 7x) – 6y – (8x – 11x – 7y) -9x] – 4y}8) (x-1) – {x-2 –[x – 3 – (x – 4)] + 2 + [x – 2x – y + (3y – x)]}
  • 34. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año9) –(-2x – y) – {-(x + 2z) – {-x- [(x-y) + 2z – (y-x) – (x-3y)]}}10) Si: A = x + y; B = -x –y; C = x – y ; D = -x + y Calcula: I –{(A-B) + (C-D)} II) –{(B+C) -2 (C+D)}Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) (+2) (+4) = + 8 3) (+5) (-6) = -30 2) (-6) (-7) = + 42 4) (-7) (+9) = - 63B. 1) (+5m2) (+3m3) = 3) (9ab3) (-3ª b5) 2) (-7a2) (-9a3) = 4) (-10x2) (2x3) =Desarrollo del Tema: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOSLa multiplicación es una operación que consiste en hallar una expresión llamada producto apartir de otras dos llamadas factores: Recuerda Multiplicando Multiplicador I. Ley de los signos (+)(+) =+ (+) (-) = - 5.4 = 20 (-) (-) =+ (-) (+) = - Factores Producto II. Ley de los exponentes am. an = am+nEfectúa :1) -7.8 = 5) 72.73 =2) 8.-6 = 6) a8.a4 =3) -7.-6 = 7) 210.220 =4) -9.12 = 8) a5.a7 .a2 = (a.b)n = a n.bn (am)n = am.nEjemplos:1) (2.9)3 = 23.93 1) (32) 3 = 32.3 = 26 7) (2.32) 5 =2) (m.n)5 = m5.n5 2) (25) 4 = 25.4 = 220 8) (x3.y) 3 =3) (3.11)2 = 3) (x3) 7 = x21 9) (a2.b3)2 =
  • 35. 4) (2.8)5 = 4) (b2.a) 3 = 10) (a4.b)3 =5) (5.8.9)7= 5) (55) 2 =6) (a.b.c.d)3 = 6) (a2) 7 =III. Propiedad Distributiva a(b+c) = ab + ac) Ejemplos: 1) 3(5+2) = 3.5. + 3.2 3) 8(5.3) = = 15 + 6 = 21 1) 4(x+3) = 4.x. + 4.3 3) 3(2+4+3) = = 4x + 123.1. Multiplicación de Monomio por Monomio Para multiplicar 2 monomios, primero se multiplican las partes constantes (coeficientes) de acuerdo a la ley de signos luego se multiplican las partes variables de acuerdo a las Leyes de exponentes Ejemplos: 1) ( (2x3) (3x5) = (2.3) (X3.X5) = 6X8 4) (-8y7) (9y9) = 2) (-5X2) (-2X3) = 5) (2xy2) (3x3 y2) = 3) (7Y4) (-4Y3) = 6) (3x5) (5x3) =3.2. Multiplicación de Monomio por Polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se emplea la propiedad distributiva. Recuerda: Un polimonio es una suma limitada de monomios no semejantes Ejemplos: 1) 2x2 (x+5) = 2x2. x + 2x2.5 = 2x3 + 10x2 Multiplicación multiplicación de monomios de monomios2) 3x3 (x2 + 2x) = 3x5 + 6x4 5) -2x2Y3 (x3y5+x2y3) =3) 12x5 (x3 – 3x2) = 6) 3x (x+2) = 2y4) 5x (x + xy) = 7) -5x(x2 + 3) = 8) 4x2(x3-4)2.3. Multiplicación de un polinomio por polinomio En este caso también se emplea la propiedad distributiva. Ejemplos: 1) (x+5) (x+2) = x.x + 2. x + 5.x + 5.2 2) x + 5
  • 36. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año = x2 + 2x + 5x + 10 x+2 2 = x + 7x + 10 x2 + 5x 2x + 10 2 x + 7x + 10 3) (x-3) (x + 4) = 4) (x + 3) (x2 + 2x + 1) = 5) (x-2) (x-5) = 6) (x+2) (x – 7) = 7) (x + 1) (x2 + x + 2) = 8) (x – 2) (x4 – x2 + 3) = 9) (x3 + x) (x3 + x + x5) = 10) (xy + 1) (x2y + xy2) = PRÁCTICA DE CLASEEfectúa las siguientes multiplicaciones:1) 5x3.4x2 2) 3x2y. 6x 3) -3ax . 6ax 4) -6xz . 3z25) (-8x2y) (-5x2) 6) 3/4x2y.(-5/8xy) 7) (-4/7x3y2)(-8/9y3) 8) 4(-1/5x) (x y)9) (5/3X5y3)(-3X3Y) 10) (0,5X2y2)(-0,3xz) 11) (0,8xy5)(-2,4ay2) 12) (-15xy2)(0,8xy)13) 0,6ax2.(-3x3) 14) (-5xa+2)(-2x3-a) 15) (3xn+11) (-xn+2) 16) 3a.5a2x .(-a2bx2)17) (-13axy2) (-2xy2)(3x2) 18) (-a2b) (-9ax) (-5ax2y)19) 18a5b3xy.5a4b4 (-2/9a3by3) 20) -12x3y4z5.3/4xy2.5x5y5z21) 3x2 (2x-3x2y+x3y2) 22) -5xy (-3x3 + 5x2y – xy2)23) -6ax2 (x+2y – 5) 24) 3a2x (2x – 5b + 2a)25) (9x3 – 5x2 + 6x -4) (4x2) 26) (3x2-5y + 6) (-2x2y)27) (-5x3 y + 8x5y2 – xy) (3xy2) 28) –x2y2 (x4y3 – 5x3 – y2+10x2y) PRÁCTICA DE CLASEEfectúa las siguientes multiplicaciones:1) 2/3 x2 (3/4x3 – 5/9 x2 -1/2x) 2) -3/4xy2 (-5/8 x3 + 1/3 xy2 + 2/5xy3)
  • 37. 3) - ½ a2xy (1/6ax – 1/4a2x2 -1/5a3x3) 4) (5/8x – 1/5x2 – ¾ x3) (3/5x3)5) (-3/4y3 + 5/6y4- ½ y5) (-½ x2y) 6) (3/5xy -4/9x2 – 1/3y2) (-1/4x2y)7) (0,3x3 – 0,8x4 + 0,1x5) (0,95x2) 8) (0,5ab2 + 0,92b – 0,8a2b2) (-0,7ab2)9) 5a2 (3ax – 5ax+1 + 8ax+2) 10) -24a+1(8xa+1 – 6xa+2 + 3xa+3)11) 3xa-2 (12xa-4 – xa-3 + 9xa-2) 12) -4bx-1 (-b2x+2 + 3b2x+2 + 5b2x)13) (3x + y) (4x – 5y) 14) (2x3 + 4y2) (4x3 – 2y2)15) (-3x2 -5y) (2x2 + 3y) 16) (2+2x2y) (2 + 3x2 y)17) (2/3 x + 3/5) (x – 1/4y) 18) (1/2 x2 -3/8y2) (5/6 x2 – 2/5y2)19) (x2 -4x + 2) (x – 1) 20) (x4 – 3x3 + 2x2 + 5) (x – 5)21) (x4 – 8x3 + 4x2 + 5x-6) (4x -3) 22) (3x2 – 4) (x – 1) (2x2 + 3)23) (x + 6) (2x – 1) (x2 – 5) 24) (3x + 2) (4 x – 3) (5x + 4)25) 2x -3[x+ (2x – 3y) -5(x – 2y)] 26) x-2{x –[a – x + 5(a – x) -4 (a +x)]}27) x – y – 3{x + y – 2 [-x + y – 4 (-x – y) + 2 (-x + y)-x] –y}28) 6a2 + 4 {x2 –[a2 + 2a2 - 3x2 – a(3a - 8) + x (-2x + 2)]} PRÁCTICA DOMICILIARIAResuelve: 3. Si de: P(x) = 4x2 y Q(x) = 2x-31. Dado: P(x) = 2x3 ∧ Q(x) = 3x2 Se obtiene : P(x). Q(x) = mxn + axb; n > b Donde: P(X) . Q(x) = mxn Calcula : m -a Indica la o las proposiciones verdaderas: n+b I) m = n a) 4 b) 20 II) n – m = 1 c) 5 d) 2 e) -4 III) n + 1 = m a) solo I b) sólo II c) sólo III 4. Si: P(x) = 2x3 – 3x + 5x5 + 3; y Q(x) = 7x5 d) sólo I y II e) sólo II y III Calcular: P(x). Q(x)2. Asocia correctamente: Da como respuesta la suma de a) (4x3y2) (9xy3) ( ) 36 x4 y6 Coeficientes: 4 b) (18xy ) (2x y ) (3 2 ) 36 x y6 5 a) 47 b) 14 3 4 x) (12x y ) (3x y) ( 3 ) 36 x y4 5 c) 0 d) -21 e) 49
  • 38. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año5. Dado: P(x) = x + 4 y Q(x) = x – 3 10. En la siguiente multiplicación de monomios: 2 Además : x + x = 12 axay2 . mx3yb = 10x5 y6 Halla: P(x) . Q(x) Determina: a + m + b a) 24 b) 0 a) 5 b) 2 c) 12 d) -12 e) -24 c) 4 d) 11 e) 106. Si: P(x; y) = - 3ax2 yb Q(x;y) = 2bxay4 11. Si: P(x) es idéntico a M(x) Son semejantes Donde: P(x) = -9x (3x + 2 – 4x2) Halla el coeficiente de: P(x;y) . Q(x;y) M(x) = mx2 + nx + q x3 a) -48 b) -6 Halla: m + n + q c) 2 d) -4 e) -8 a) -9 b) - 8 c) 7 d) 9 e) 07. Si : P . Q es homogéneo Desde : 12. Si al multiplicador: 2 3 m+3 3 n+1 P (x;y) = 3x y ; Q(x,y) = x y-2x y nxn – mxm + (p+a)xp – qxq Halla : m – n Por 2x2 se obtiene un polinomio complete y a) 2 b) -3 ordenando ascendentemente. Calcular la c) 0 d) -2 e) 3 suma de coeficientes del polinomio resultante.8. Si luego de multiplicar: a) -2 b) - 4 P(x) = x + 1 y c) 0 d) -1 e) 2 Q(x) = x + 2a Se obtiene un polinomio cuya suma 13. Al multiplicar: de coeficientes es 10. P(x) = x2 + x + 1 y Q(x) = x2 – x + 1 Calcula: Q (1) ¿Cuántos términos tiene el resultado? a) 2 b) 5 a) 1 b) 2 c) 4 d) -2 e) -5 c) 3 d) 4 e) 99. El producto de: (x + y) (xn – xy + ym) es un 14. Calcular el número de términos que se origina polinomio homogéneo. Halla el N° de al multiplicar: términos que posee dicho polinomio. P(x ; y) = (x – y) a) 6 b) 4 Q(x ; y) = x3 + x2 + xy2 + y3 c) 3 d) 5 e) 12 a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 3
  • 39. TEMA Nº 05: PRODUCTOS NOTAbLESCapacidades: Reconoce y Aplica productos notables. Resuelve problemas con productos notables.Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) (3x2) 2 = 3) (1/2x3) 4 = 2) (-6a2b3) 3 = 4) (-0,3 m2n4)3 =B. Efectúa 1) (x + 5) 2 = 3) (x + 7) /x – 3) = 2) (a + b)3 = 4) (x + 5) (x2 – 5 x + 25) =Desarrollo del Tema: PRODUCTOS NOTABLESHallando de productos, se trata de cierta multiplicación que por su convivencia y empleoadquieren muchísima importancia de aquí viene la denominación de “PRODUCTOS NOTABLES”para las IDENTIDADES DE LENGENDRE.Dichos productos son aplicables a toda clase de términos; pero para mayor facilidad y claridadde comprensión se usarán los términos más comunes y sencillos. Los Productos Notablesmás comunes son:1. Cuadrado de la suma de dos monomios (a + b) Sea: (a + b), la suma de los monomios “a “ y “b”. (a + b) elevar al cuadrado (a + b) equivale a multiplicar el 2 a + ab binomio (a + b) por si mismo. Esto es: + ab + b2 (a + b) 2 = (a + b) (a + b) ; efectuando el producto a2 + 2ab + b2 se obtiene. ∴ (a + b) 2 = a2 + 2ab + b2 Lo que nos dice: El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplos: ¡Ahora tú! 2 2 2 1) (x + 3) = x + 2(x) (3) + 3 3) (a + 5) 2 = = x2 + 6x + 9 Rpta.
  • 40. Productos Notables Segundo Año 2) (x2 + 2y) 2 = (x2) 2 + 2(x2)(2y) + (2y) 2 4) (3x3 + 8y)2 = = x4 + 4x2y + 4y2 Rpta.2. Cuadrado de la Diferencia de dos Monomios (a - b) (a - b) elevar al cuadrado (a - b) equivale a multiplicar el por si a2 - ab mismo. Esto es 2 - ab + b (a - b) 2 = (a - b) (a - b) ; efectuando el producto se obtiene a2 - 2ab + b2 ∴ (a - b) 2 = a2 - 2ab + b2 Lo que nos dice: El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplos: ¡Ahora tú! 2 2 2 1) (5x - 3) = (5x) - 2(5x) (3) + (3) 3) (3x2-2y) 2 = = 25x2 - 10 x + 9 Rpta. 2) (2xy3 – 5z4) 2 = (2xy3) 2 - 2(2xy3)(5z4) + (5z4) 2 4) (2/3x2 – 5/4x)2 = = 4x2y6 - 20xy3z4 + 25z8 Rpta. PRÁCTICA DE CLASEDesarrolla los siguientes productos notables:1) (x + 3y)2 2) (5x + 6y)2 3) (4x2 + y)2 4) (5x + 8y)25) (10z + 9x)2 6) (15x3 + 8y)2 7) (x3 + 15y2)2 8) (20z2 +12y)29) (15x2 + 13y2)2 10) (2x2 + 14y3)2 11) (20x2 + 12y) 2 12) (13x6 + 9y3)213) (xy + zw)2 14 (2ax + 5bz) 2 15) (6x2y+ 3z3)2 16) (5a2x + 8by)217) (12x3y2 + 6a2)2 18) (2b2z + 15x3y2)2 19) (x2yz + zy)2 20) (3xy + 2abc)2 PRÁCTICA DOMICILIARIADesarrolla los siguientes productos notables:1) (b – x)2 2) (6x – 4y)2 3) (8y – 3x)2 4) (4z – 2)25) (5x2 – 3y2)2 6) (12x2 – 8y3)2 7) (x5 – 3y3)2 8) (18x2 – 9y2)29) (5/8x -3/4y) 2 10) (2/3x2 – 8) 2 11) (1/9 – 3x) 2 12) (0,1x – 0,8y) 213) (0,7xy – 0,6x2y) 2 14) (0,2x2 – 0,8) 2 15) (3xax-1-2bx+1) 2 16) (8xn+1 – xn) 2Halla el binomio que da origen a cada trinomio cuadrado perfecto:1) ( )2 = X2 + 12X + 36 2) ( )2 = X2 + 22X + 1213) ( )2 = X2 + 14X + 49 4) ( )2 = X2 - 26X + 169
  • 41. 5) ( )2 = X2 + 16X + 64 6) ( )2 = X2 + 18X + 817) ( )2 = X2 + 8 X + 16 8) ( )2 = X2 - 36X + 3249) ( )2 = X2 + 40X + 400 10) ( )2 = X2 + 28X + 19611) ( )2 = X2 + 30X + 225 12) ( )2 = X2 + 42X + 441Halla el binomio que da origen a cada binomio cuadrado perfecto:13) x2 + 20x + 100 = ( )2 14) z2 + 62 + 9 = ( )215) x2 + 40x + 400 = ( )2 16) x2 – 30x + 225= ( )217) x2 + 8 x + 16 = ( )2 18) x2 – 42x + 441= ( )219) x2 + 22x + 121 = ( )2 20) x2 - 26 + 169= ( )23. Producto de la suma por la diferencia de dos monomios Si: “a” y “b” representan dos monomios cualquiera, efectuamos el producto: (a + b) (a – b) como sigue: (a + b) (a - b) a2 + ab - ab - b2 a2 - b2 ∴ (a + b) = (a – b)=a2 - b2 Lo que nos dice: El producto de la suma por la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.Ejemplos:1) (a+2b) (a-2b) ) = a2 – (2b) 2 = a2 – 4b2 2) (xn + 3) (xn – 3) =3) (x+√3) (x-√3) ) = x2 – √3 2 = x2 – 3 4) (2x2 - 1) (2x2 + 1) =5) (9 – 3x) (9 + 3x) = 81 –9x 2 6) (√5 - √2x) (√5 + √2x) =7) (√3 – 1) (√3 + 1) = √32 - 12 =3–1=2 8) (√7 + √5) (√7 - √5) = 3 3 69) (2/5x - 2) (2/5x + 2) = 4/25 x - 4 10) (3/4xm – 5/2 yn) (3/4xm + 5/2yn) =
  • 42. Productos Notables Segundo Año ACTIVIDAD N° 1Aplica la regla del producto notable: (a + b) (a – b); halla el resultado de:1) (a + 2x) (a – 2x) 2) (3a + 8y) (3a - 8y) 3) (5xy + 6) (5xy - 6) 5 54) (x + 1) (x – 1) 5) (2 + x) (x – 2) 6) (6 - x2) (x2 + 6)7) (3x2 – 4) (3x2 + 4) 8) (ax + bx) (ax – bx) 9) (10xy2 + 6) (10xy2 – 6)10) (1-2axy) (1 + 2axy) 11) (3xn + 5yn) (3xn - 5yn) 12) (2x + 1/3) (2x – 1/3) 3 4 3 4 2 213) (X y – 5/8z) (x y + 5/8z) 14) (1/2 x + b ) (1/2 x – b ) 15) (0,2x3y + 0,8z3) (0,2x3y –0,822)16) (√5x+√2yn) (√5x-√2 yn) 17) (√3xn-4√9yn (√3xn+4√9yn 18) (x6+3xnyn) (x6-3xnyn) ACTIVIDAD N° 2Escribe en forma directa, el resultado de cada una de las siguientes expresiones (no esnecesario efectuar la multiplicación)1) (√3 – 1) (√3 + 1) 2) (√6 + √2) (√6 - √2) 3) (√11 + 3) (√11 – 3)4) (5 + √2) (5 - √2) 5) (6 + √13) (6 - √13) 7) (2 +√15) (√15 – 2)7) ¾ (√5 + 1) (√5 – 1)) 8) (4√9 + 2) (2 - 4√9) 3) [(√7 + 2) (√7 – 2)]2 ACTIVIDAD N° 3En cada ejercicio siguiente, escribe los dos factores cuyo producto es el que se le da:1) ( )( ) = x2 – 100 2) ( )( ) = 25 –x23) ( )( ) = x2 – 16 4) ( )( ) = x6 –y45) ( )( ) = 225 – y4 6) ( )( ) = 121 –x87) 1/16 -z4 = ( ) ( ) 8) x6 - 49 = ( ) ( )4. Producto de dos Binomios que tienen un término común Forma: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab Donde: x  término común a, b  términos no comunes Lo que nos dice: El producto de dos binomios con término común es igual al término común al cuadrado más la suma de los términos no comunes por el común y más el producto de los términos no comunes.1) (x+7)(x+3) = x2 + (7+3)x + 7.3 = x2 + 10x + 21 2) (x + 5) (x + 2) = 2 23) (2x+1)(2x+3) = 4x + 4(2x) + 3 = 4x + 8 x + 3 4) (x + 1/3) (x + ½ ) = 25) (x - 3)(x - 4) = x + (-3 - 4)x + 3.4 6) (2x - 3) (2x - 5) = = x2 – 7x + 12
  • 43. 7) (x + 5)(x - 2) = x2 + 3x – 10 8) (x - 7) (x + 3) =5. Cuadrado de un Trinomio Forma: (a + b + c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: 1) (x2 + x + 2) 2 = x4 + x2 + 4 + 2x3 + 4x2 + 4x = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4 2) (x2 - 5x + 1) 2 = x4 + 25x2 + 1 - 10x3 + 2x2 - 10x = x4 - 10x3 + 27x2 - 10x + 1 ¡AHORA TÚ! 3) (a2 + 2a + 3) 2 = 4) (5x2 - 3x - 1) 2 = PRÁCTICA DE CLASEHalla el producto de:1) (x + 3) (x + 8) 2) (x2 + 1) (x2 + 2) 3) (x3 + 5) (x3 + 4)4) (x + 10) (x + 5) 5) (x + 9) (x + 8) 6) (x2 + 12) (x2 + 15)7) (x4 + 6) (x4 + 9) 8) (x3 + 3) (x3 +11) 9) (x2 + ½ ) (x2 + 1/3)10) (x2 + 0,5) (x2 + 0,3) 11) (2x + 1) (2x +3) 12) (3x + 2) (3x + 4)13) (x - 8) (x - 10) 14) (x - 1) (x -9) 15) (x - 10) (x - 20) 2 2 3 316) (x - 3) (x - 8) 17) (x - 7) (x - 6) 18) (x4 - 1 ) (x4 - 3)19) (x – 0,7) (x – 0,2) 20 (x3 – 0,2) (x3 – 06) 21) (2x - 3) (2x - 5) PRÁCTICA DOMICILIARIAHalla el producto de:1) (x + 15) ( x – 3) 2) (x – 12) (x + 7) 3) (x – 5) (x + 4) 2 2 3 34) (x + 9) (x – 2) 5) (x – 13) (x + 8) 6) (x + 4/3) (x – 3/2)7) (x – ½ ) (x + 2/5) 8) (x + 2/3) (x – 5/4) 9) (x – 0,7) (x + 0,2)10) (x + 0,9) (x – 0,7) 11) (2x + 1) (2X – 3) 12) (5x + 2) (5x – 6) 2 2 3 313) (3x + 6) (3x – 1) 14) (5x – 2) (5x + 3) 15) (2x6 – 1) (2x6 + 5)16) (x + y – z) 2 17) (2x + y + 3) 2 18) (2c + 1 – 2y) 219) (x2 – 3x – 5) 2 20) (x2 – 10x – 1) 2 21) (2a2 – 5a - 3) 26. Cubo de la suma de dos monomios 1ª Forma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2ª Forma: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
  • 44. Productos Notables Segundo Año Lo que nos dice: El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo.Ejemplo:1) (x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3 (x)(2)2 + (2)2 2) (3x+4)3 = ( )3+3( )2 ( )+3 ( )( )2+( )3 = x3 + 6 x2 + 12x + 43) (x + 5)3 = x3 + 3 (x)2 (5) + 3 (x) (5)2 + (5)3 4) (2x + 1)3 = = x3 15x2 + 75x + 125 = 3 3 2 2 3 35) (x – 4) = (x) – 3(x) (4) + 3(x) (4) – (4) 6) (2x – 3) 3 2 = x – 12x + 48x – 647) (x2 – y3)3 = (x2)3 -3(x2)2 (y3) + 3 (x2) (y3)2 – (y3)3 8) (x – y2)3 = ACTIVIDADHalla aplicando las reglas de los productos notables, el resultado de:1) (x + y)3 2) (2x + 3)3 3) (3x + y) 3 4)(ax + y) 3 5) (3x + 2y) 36) (x2 + 4)3 7) (2x + 5)3 8) (2x2 + 1) 9)(x2 + y2)3 10) (2ax3+ 3b3)311) (½ + x)3 12) (x - 5)3 13) (3 - x) 3 14)(2x - 3y)3 15) (3b –2ay) 316) (x2 – y3)3 17) (x4 – 2y2)3 18) (-x - 3y) 3 19)(x3 – 1/3)3 20) (2/3 - x) 37. Suma de cubos de dos monomios Forma: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 De donde: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Lo que nos dice: La suma de cubos de dos monomios es igual a la suma de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio menos el producto de los dos monomios más el cuadrado del segundo monomio. Ejemplos: ¡AHORA TÚ! 2 3 3 3 1) (x + 2) (x – 2x + 4) = x + 2 = x + 8 2) (2x + 3) ( - + )= 2 2) (x + 1) ( )= 4) (3x + 2) ( )=8. Diferencia de cubos de dos monomios Forma: (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 De donde: a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) Lo que nos dice:
  • 45. La diferencia de cubos de dos monomios, es igual a la diferencia de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio más el producto de los dos monomios mas el cuadrado del segundo monomio. ACTIVIDADHalla, aplicando las siglas de los productos contables, el resultado de:1) (x + 8) (x2 – 8x + 64) 2) (x + 6) (x2 – 6x + 36) 3) (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)4) (3x + 1) (9x2 – 3x + 1) 5) (5x2 + 2) (25x4 – 10x2 +4) 6) (2x3 + y2) (4x6 – 2x3y2+ y4)7) (5x2n + 2) (25x4n – 10x2n + 4) 8) (x-4) (x2 + 4x + 16) 9) (x-9 )(x2 + 9x + 81)10) (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) 11) (2x2 – 5) (4x4 + 10x2 + 25) 12) (6x – ½) (36x2 + 3x +¼)13) (8x2 – ¾ ) (64x4 + 6x2 + 9/16) 14) (2xn - 5) (4x2n + 10xn + 25) 15) (3xny -1/6) (9x2n y2 +xny/2 + 1/36) PRÁCTICA DE CLASE1. Relaciona correctamente Da como respuesta la suma de 2 2 a) (x + 5) ( ) x + 4x + 4 coeficientes: b) (x + 3) 2 ( ) x2 + 10x + 25 a) 0 b) 2 2 2 c) (x + 2) ( ) x + 6x + 9 c) 4 d) 5 e) -42. Indica la relación correcta: 7) Reduce: (x + 3) (x - 3) + (x + 2) (x – 2) a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100 Da por respuesta el mayor b) (x - 6) 2 ( ) x2 - 14x + 49 coeficiente. c) (x - 7) 2 ( ) x2 - 12x + 36 a) 2 b) -13 c) 13 d) -2 e) 83. Da la respuesta en cada caso: a) (2x + 1) 2 = _________________ 8) La expresión: (x + 3)2 – (x + 2) (x – 2) 2 2 b) (4x – x) = _________________ Se reduce a : mx + n Halla: m + n4. Desarrolla en cada caso: a) 13 b) 17 a) (x + 2) (x – 2) = c) 6 d) 18 e) 19 b) (2a + 3) (2a – 3) = c) (x2 + 3x) (x2 – 3x) = 9) Luego de simplificar: (x + 2) 2 + (x – 2) 2 + (x + 3) 2 – (x – 3)25. Si: (2x + 3) 2 = m x2 + nx + p Indica el menor coeficiente. Halla: m + n + p a) 2 b) 8 a) 94 b) 96 c) 4 d) 12 e) 1 c) 100 d) 98 10) Si: m2 + n2 = 5 > m n = 2 e) 102 Halla: m + n6) Simplifica: (x + 1)2 + (x – 2)2
  • 46. Productos Notables Segundo Año a) 2 b) 3 18) Simplificar: c) 5 d) 1 e) 4 7b 2 + 2ab + (a 2 + b2 ) − (2ab ) 2 211) Simplifica: (3ax + 2by) (3ax – 2by), 19) Efectuar: sabiendo además que: a2 x2 = 1 ∧ b2 y2 = 2 A = 1 + ( x + 1)( x − 1) (x 2 + 1) x 4 + 1 ( ) a) 0 b) 1 20) Efectuar: c) 2 d) 3 e) 4 N =  a + b . a − b  a2 −b +b     [ ]12) Si : (x + 1)2 = 3 a (a + b )2 (a − b ) 21) Simplificar: P = Calcula: x2 + 2x – 2 a2 −b2 a) 3 b) 0 a b 22) Dado: + =1; a . b ≠ 0 b a c) 2 d) 1 e) -2 a 4 +b4 Determinar: 2 2 a .b13) Cuál es el grado del siguiente 23) Si: x3 + y3 = 280; x + y = 10 polinomio: P(x) = (2x + 3) – 8 x2 + 2 Calcular x. y (2x – 3) 2 + x a) 2 b) 0 24) Reducir: c) 3 d) 1 e) 4 ( P = 6 ( a + b )( a − b ) a 4 + a 2b 2 + b 4 + b 6 ) a>014) Reduce la expresión: (x + 1) 2 + (x + 3) 2 (x – 1) 2 – (x – 3) 2 25) Si: (x+5)(x+b)(x–3) = x3–19x+a. a) 2x b) 3x Calcular a – b c) 10x d) 12x e) 16x15)Reducir: 26) Simplificar:R = ( x 2 − 7 x + 11) − ( x − 2)( x − 3)( x − 4 )( x − 5) 2 A = 16 ( 2 +1 )( ) 2 − 1 + 3 . 5 .17 . 25716) Efectuar: E ( 2+ 3 − 2− 3 ) 6 27) Simplificar: 2 2+ 3 2 2− 317) ¿Qué expresión hay que agregar a B = + (3x+2)2 para que sea igual a: (3x+5) 2 2− 3 2 2+ 3 (3x+7)? 28) Reducir: (x + 9)2 − (x + 13)(x + 5) R= (x + 10)(x + 9) − (x + 18)(x + 3) PRÁCTICA DOMICILIARIA1) Si. (x + 1)3 = ax3 + bx2 + cx + d 2) Si: (x – 2)3 = mx3 + nx2 + px + q Halla: b+c Halla: m+p +q a +d m +n a) 1 b) 3 a) 2 b) -2 c) 4 d) 1/3 e) 2/3 c) 1 d) -1 e) 0
  • 47. 3) Si: (x + 2) (x2 – 2x + 4) ≡ ax3 + b 11) Si: (x – 2)2 = 5 Calcula: a+b Calcula: x2 – 4x a) 3 b) 4 a) 2 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 c) 0 d) -1 e) 14) Se cumple que: 12) Cuál es el grado del siguiente 2 3 (x – 3) (x + 3x + 9) ≡ mx + n polinomio: Halla: m + n Q((x) = (x – 5) 2 + 4 – 20x – (x – 5)2 a) -26 b) 25 a) 1 b) 0 c) -22 d) 26 e) -28 c) 2 d) 3 e) 45) En la siguiente identidad: (x + 1) (x + 2) ≡ a x2 + bx + c: 13) Reduce: Calcula: c a+b N = (x + 3) (x + 2) + (x – 3) (x – 2) – 2x2 a) 0 b) x2 a) 3 b) 1 c) 2x2 d) 6 e) 12 c) 2 d) 5 e) 46) Simplifica: m = (a + b) 3 – 3ab (a + b) 14) Simplifica: a) a3 b) b3 M = (x + 2) (x – 1) – (x + 3) (x – 2) c) a3 – b3 d) 0 e)a3+b3 a) 4 b) 27) Reduce: c) 6 d) -2 e) 0 G = (a – b) 3 + b3 + 3ab (a – b) a3 a) a3 –b3 b) a3 c) b3 d) 0 e) 1 15) Si: a + b = 3 ∧ ab = 1 3 3 Halla: a + b en la siguiente 3 38) Simplifica: expresión: a + b + 3ab (a + b) M = (m + n) (m2 – mn + n2) + a) 27 b) 18 (m –n) (m2 + mn + n2) c) 9 d) 3 e) 0 3 3 a) n b) m c) 2m 3 d) 2n3 e) 0 16) En la expresión: (a + b) (a2 – ab + b2) Se cumple que: a + b = 2 y 2 29) Si: m2 + n2 = 20 ∧ mm = 2 a – ab + b = 5 Halla: m – n Halla: M = a3 + b3 a) 2 b) 3 a) 2 b) 5 c) -2 d) 4 e) 0 c) 10 d) 9 e) 2510) (a + 3b) (a – 3b) = 0 17) Determina el valor de: a3 – b3 Calcula: 27 b2 Si: a – b = 6 y a2 + ab + b2 = 8 a3 a) 6 b) 4 a) 3 b) 7 c) 8 d) 3 e) 48 c) 9 d) 27 e) 1 18) Determina el valor numérico de:
  • 48. Productos Notables Segundo Año M = ( x + 3) (x + 2) Sabiendo que: x2 + 5x = 2 26) Simplifica: a) 2 b) 5 M = (a + b)3 –b3 – 3ab (a + b) c) 6 d) 7 e) 8 a) 0 b) b3 c) a3 + b3 d) ab e) a319) Calcula: (x + 4) (x + 8) 2 Si: x + 12x = 4 27) Reduce: a) 4 b) 32 N= a3 – b3 – 3ab (a – b) + 9 c) 6 d) 36 e) 1 (a – b) 3 + 9 a) 0 b) 1 2 220) Si: (x + n) = x + 16 x + 64 c) 3 d) -1 e) 9 Calcula: 3n a) 6 b) 2 28) Simplifica: c) 3 d) 4 e) -2 G = (m+n) (m2 – mn + n2) – (m – n) (m2 + mn +n2)21) Si: (x + 2)3 ≡ ax3 + bx2 + cx + d a) n3 b) m3 Halla : 3 a+b+c+d c) 0 d) 2n3 e) 2m3 a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) -2 29) Reduce: M = (x – 3) (x + 2) + (x + 5) (x –22) 3 Si: (x – 3) ≡ m x + n x3 2 + px + q 4) + 26 Halla: (m + n) (p + q) a) 26 b) 24 2 a) 1 b) 0 c) 2x d) x e) x2 c) -27 d) 9 e) -9 30) Simplifica M = (x – 3) (x – 2) – (x – 6) (x + 1)23) Si: (x + 3) (x2 – 3x + 9) ≡ a x3 + b a) 6 b) -6 Calcula: a + b c) 12 d) -12 e) 0 a) 28 b) 27 c) 26 d) 1 e) 0 31) Si: a + b = 4 ∧ ab = 2 Halla: a3 + b3 en la siguiente24) En la siguiente identidad: expresión: (3x – 2) (9x2 + 6x + 4) ≡ m x3 – n a3 + b3 + 3ab (a + b) Determina: m-n+1 a) 24 b) 0 5 c) 40 d) 36 e) 12 a) 3 b) 5 c) 1 d) 4 e) 2 32) En: (a + b) (a2 – ab + b2) Si: a + b = 3 ∧ a2 – ab + b2 = 525) Se cumple que: Determina: a3 + b3 (x + 3) (x – 5) ≡ ax2 + bx + c a) 15 b) 5 Calcula: a + b + c c) 2 d) -2 e) 6 a) -16 b) 16 c) -17 d) 17 e) 0 33) Halla: a3 – b3
  • 49. Si: a – b = 3 ∧ a2 + ab + b2 = -2 34) Halla el valor numérico de:a) 6 b) 5 M = (x – 1) (x + 2)c) -6 d) 1 e) -1 Si: x2 + x = 2 a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 7
  • 50. División Algebraica Segundo Año TEMA Nº 06: DIVISIóN ALgEbRAICACapacidades: Determina el cociente y residuo, utilizando el método clasico, de Horner , la regla práctica de Ruffini o el teorema del resto. Resuelve problemas aplicando la división algebraica.Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) (3x2 ) (2x3) = 3) (x + 5) (x – 6) = 2) 5x (x + 8) = 4) (x – 2) (x2 + 2x + 4) =B. Efectúa: 1 (-8 x6) : (4 x3) = 3) (x2 – y2) : (x + y) = 2) (5x3 – 3x2) : x = 4) (x2 + 7x + 10) : (x + 2) =Desarrollo del Tema: DIVISIÓN DE MONOMIOS El corriente de los monomios es otro monomio (como de división exacta); cuyo coeficiente es el cociente de sus coeficientes y la parte literal es el cociente de sus partes literales, y si los monomios tienen la misma parte literal es la letra común con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Ejemplo 1: Halla el cociente al divisor Ejemplo 2: Halla el cociente de: 6 2 12 x entre 3x - 20 x8 y4 entre 5x5 y2 SOLUCIÓN: 12 x6 = 12 x6 SOLUCIÓN: -20 x8 y4 = -20 x8 y4 3x2 3 x2 5x2 y2 5 x5 y2 = 4 x6 - 2 = 4x4 = -4 x8-5 y4-2 = -4 x3 y2 TÉRMINOS DE UNA DIVISIÓN EXACTA: En la división exacta entran los siguientes términos: a) DIVIDENDO; que es la cantidad que se ha de dividir (18 x) b) DIVISOR; es el término por el cual se efectúa la división (6) c) COCIENTE; que es el resultado de la división (3x) Ósea: DIVIDENDO : DIVISOR = COCIENTE 18 x : 6 3x
  • 51. LEYES DE LOS SIGNOS: En la división de dos términos hay que tener presente la (+) : (+) = + (El cociente de los siguiente regla de los signos: dividiendo dos términos (- ) : (-) = + términos de signos entre si, que tienen signos iguales, los dos positivos o los iguales es POSITIVO). dos negativos, resulta su cociente positivo y dividendo dos términos que tienen signos diferentes, uno positivos (+) : (-) = - (El cociente de los y otros negativos, resulta su cociente negativo; lo cual (- ) : (+) = - términos de signos se resume de la siguiente forma: diferentes es NEGATIVO). Ejemplos: 1) 16 x2 = 8x2-1 = 8x 2) -30 x4 = 10x4-1 = 10x3 2x - 3x 3) + 10 x8 = - 2x8-5 = -2 x3 4) 12 x7 = -3 x7-4 = 3x3 -5x5 - 4x4 ACTIVIDADHalla el resultado de las siguientes operaciones:1) 12 x6 y3 2) 36 x8 y 4 3) 144 x6 y4 4) -42 x3 y4 z2 4x4 y2 -9 x3 y3 72 xy2 7x2 y2 Z5) 30 x8 y2 Z3 6) -48 x6 y7 z2n 7) -56 x6 y6 Z4 8) 117 x7 y4 z3 - 5x3 y z2 -6 x2y3 z -7 xy2 Z 9x3y2 Z9) 108 x6 y9 10) 84 x4 y7 11) 55a6 b9 x4 y9 12) -72 xm+3 yn+2 9x4 y7 -6 x y6 -5a4 b2 xy6 -6 xm y213) 128 xm+5 yn+2 14) -126 xn+1 yn+4 15) 112 x3 y5 64 x4 yn 6xn yn+3 7x3 y2 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de estos resultados. Ejemplo 1 Dividir: 42x6 y5 – 21 x3 y7 + 35 x5 y2 7 xy2 SOLUCION: Procedemos a dividir cada término entre el divisor: 42 x6 y5 – 21 x3 y7 + 35 x5 y2 = 42 x6 y5 - 21 x3 y7 + 35 x5 y2 7 x y2 7 x y2 7 x y2 7 x y2 = 6 x5 y3 - 3 x2 y5 + 5x4 Rpta. Ejemplo 2: Divide: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4y – 0,6 x6
  • 52. División Algebraica Segundo Año - 2x2 SOLUCION: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y – 0,6 x6 = 0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y - 0,6 x6 - 2x2 - 2x2 - 2x2 - 2x2 = 0,4 y2 - 0,6 x2 y + 0, 3 x4 Rpta. ACTIVIDADDESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES:1. 8 X2 - 24 xy 2. 5x2 - 10 x 3. 3xy3 - 5x2 y2 + 4x2 y3z 8x 5x - x y24. –6 x3 y2 + 9 x4 y4 z – 12 x2 y z3 5. 15 x6 y2 – 10 x4 y3 z5 - 20 x2 y5 z6 - 3 xy 5 x2 y26. 5/7 x4 y3 z – 2/9 x3 y4 z – ¾ x2 y5 7. 3/8 x4 y + x3 y3 – ½ x2 y5 z - 2/3 x2 y2 ¾ x2 y n8. –z wn + 2zn+1 w n +1 9. 0,9 x2 y2 + 0,65 x3 y3 – 0,15 x4 y4 - 2n wn -0,05 x y10. 45xn-3 - 15xn-2 - 25xn-1 11. 1,5 x y5 z – 2,4 x2 y4 – 3,6 x3 y3 - 5xn-3 -0,1 x y3DIVISIÓN DE POLINOMIOSEs la operación que nos permite encontrar unas expresiones llamadas Polinomios Cociente y Residuo deotras llamadas Polinomios Dividendo y Divisor.• Dados los polinomios: D(x) : Polinomio dividendo d(x) : Polinomio devisor→ Vamos a calcular: q(x) : Polinomio cociente R(x) : Polinomio residuo D (x ) d (x ) A l d iv id ir D (x ) d (x ) q (x ) R (x )ALGORITMO DE LA DIVISIÓNEs el criterio que se enuncia de la siguiente forma:Dados los dos polinomios D(x) y d(x) con d(x)0, entonces existe polinomios únicos q(x) y R(x) tales que: D (x ) ≡ d (x ) . q(x ) + R(x )Esta identidad es conocida como el Algoritmo de Euclides. MÉTODO PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOSPara dividir polinomios existen diversos métodos cuyos procedimientos presentan reglas particulares quehacen fácil el cálculo del Cociente y Residuo.I) Método Clásico o División Normal.
  • 53. II) Método de los Coeficientes Separados.III) Método de Horner.IV) Método de Ruffini.V9 Teorema del Resto ObSERVACIóN: Antes de efectuar la división entre dos polinomios, estos se deben encontrar en forma completa y ordenada. De no ser así se completa con “ceros” y se ordena descendentemente.Ejemplo:Sea el polinomio: P(x ) = 5 x 4 + 1 − x 3 + 3 x 2Luego: Completando (con ceros) tendremos: → P(x ) = 5 x 4 − x 3 + 3 x 2 + 0 x + 1 (Es un polinomio completo y ordenado descendentemente)A continuación vamos a emplear los diversos métodos para dividir polinomios, para lo cual se tiene queseguir ciertos procedimientos.I) MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL Para dividir dos polinomios, previamente completo y ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una misma variable, debemos seguir los siguientes pasos:1º Se escriben en línea horizontal uno a continuación del otro utilizando el signo de la división aritmética.2º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.3º Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan los resultados con signos cambiados debajo de los correspondientes términos del dividendo.4º Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.5º Luego se procede como en el tercer paso, es decir, se efectúan las mismas operaciones anteriores. Así hasta que el resto sea de grado menor que el del divisor:Ejemplo 1:Efectuar la siguiente división: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1 2 x 2 + 3x − 1Solución:* Se observa que: [ D (x )]  = 4 [ d (x )]  = 2* Entonces: [ q(x )]  = [ D (x )]  − [ d (x )]  [ q (x )]  = 4 − 2 ⇒ [ q (x )] = 2 * También:
  • 54. División Algebraica Segundo Año Máx [ R(x )]  = 2 − 1 máx [ R(x )]  = 1* Antes de efectuar la división tener presente que los polinomios deben estar completos y ordenados.* Aplicando el Método Clásico o Normal. 6x 4 + 1 3x3+ 5x2+ 6x + 1 2x 2 + 3x + 1 - 6x 4 - 9x 3 + 3x 2 3x 2 + 2x + 1 + 4x 3 + 8 x 2 + 2x - 4 x 3 - 6x 2 + 2x + 2x 2 + 8x + 1 - 2x 2 - 8 x + 1 5 x + 2Luego:El cociente es : q(x ) = 3 x 2 + 2 x + 1El resto es : R(x ) = 5 x + 2 NOTA: Si observas en los resultados obtenidos * El grado del cociente es 2. * El máximo grado del residuo es 1. Lo que verifica los cálculos realizados al inicio de la solución.Ejemplo 2:Dividir 4 x 5 + 3x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 − 5 x + 2 4x 2 − x + 2 Solución:* Se observa que: [ D (x )]  = 5 [ d (x )]  = 2* Entonces: [ q(x )]  = 5 − 2 = 3   R (x )  = 2 − 1 = 1   Máx* Aplicando el método clásico:
  • 55. 4 x 5 + 3x 4 - 7x 3 + 8 x 2 - 5 x + 2 4 x 2 - x + 2 - 4 x 5 + x 4 - 2 x 3 x 3 + x 2 - 2x + 1 + 4x 4 - 9 x 3 + 8 x 2 - 4x 4 + x 3 - 2 x 2 - 8x 3 + 6x 2 - 5 x + 8x 3 - 2x 2 + 4 x + 4 x 2 - x + 2 - 4 x 2 + x - 2 0Luego:El cociente exacto es : q(x ) = x + x − 2 x + 1 3 2El residuo exacto es : R(x ) ≡ 0 NOTA: Cuando el resto es igual a cero se dice que un polinomio es divisible por otro que la división es exacta.II) MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS Este método es recomendable para polinomios de una sola variable. Como su nombre lo indica, se debe trabajar únicamente con los coeficientes en forma separada, la distribución de sus términos es la misma que en el Método Normal, colocando ceros en los términos que faltan. Para determinar el grado del cociente y el resto se debe aplicar a las propiedades del grado. NOTA: Para ver que los métodos mencionados se cumplan vamos a realizar las mismas divisiones de los ejemplos 1 y 2.Ejemplo 1: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1Dividir: 2 x 2 + 3x − 1Solución:* Los grados del cociente y residuo serán: [ q(x )]  = 4 − 2 = 2 Máx [ R(x )]  = 2 − 1 = 1 Tomando la distribución de los coeficientes en la división:
  • 56. División Algebraica Segundo Año 6 + 1 3 + 5 + 6 + 1 2 + 3 –1 – 6 – 9 3 3 2 1 4 8 6 – 4 – 6 2 2 8 1 – 2 – 3 1 5 2 Luego, colocando la parte literal se tiene: q(x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 R(x ) = 5 x + 2Ejemplo 2: 4 x 5 + 3x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 − 5 x + 2Dividir: 4x 2 − x + 2Máx [ R(x )]  = 2 −1 = 1Tomando la distribución: 4 3 – 7 8 – 5 2 4 –1 2 – 4 1 – 2 1 1 –2 1 4 – 9 8 – 4 1 – 2 – 8 6 –5 8 –2 4 4 –1 2 – 4 1 –2 0 0 0Luego, colocando la parte literal:• q(x ) = x 3 + x 2 − 2 x + 1y R(x ) = 0II) MÉTODO DE HORNER Este método es un caso particular del Método de Coeficientes Separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado. El procedimiento es el siguiente:1º Se colocan los coeficientes del dividendo (horizontal) y divisor (vertical).2º Se escriben los coeficientes del divisor en una columna, el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados.3º Las líneas punteadas (discontinuas) son importantes ya que separan al cociente del Residuo y para su trazo sólo observaremos el grado del divisor.4º La división comienza dividiendo el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor.5º El primer coeficiente del cociente obtenido multiplica a los demás coeficientes del divisor (coeficientes que cambian de signos) uno a uno.6º Los resultados se ubicarán en las siguientes columnas, corriendo un lugar hacia la derecha.
  • 57. 7º Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado obtenido se divide con el primer coeficiente del divisor para obtener así el segundo término del cociente. El procedimiento se repetirá hasta llegar a las líneas punteadas.8º Para obtener los coeficientes del Residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen al residuo.• En forma gráfica se tiene: Si nos piden dividir: + + + + + + ∗−∗+∗ Entonces, por el procedimiento descrito se tiene: * + * – * q REjemplo 1:Dividir: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1 2 x 2 + 3x − 1Solución:Los grados del cociente y residuo serán:[ q(x )]  = 4 − 2 = 2Máx [ R(x )]  = 2 − 1 = 1• Aplicando el Método de Horner: 2 6 1 3 5 6 1 – 3 – 9 3 + 1 – 6 2 – 3 1 3 2 1 5 2 C o e fi c i e n te s C o e fi c i e n te s Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculadoe seq tiene: d “ ” d e “R ” q(x ) = 3x 2 + 2 x + 1 R(x ) = 5 x + 2Ejemplo 2:Dividir: 4 x 5 + 3x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 − 5 x + 2 4x 2 − x + 2Solución:Los grados del cociente y residuo serán:
  • 58. División Algebraica Segundo Año[ q(x )]  = 5 −2 = 2Máx [ R(x )]  = 2 −1 = 1• Aplicando el Método de Horner: 4 4 3 –7 8 –5 2 + 1 1 –2 – 2 1 –2 –2 4 1 –2 1 1 –2 1 0 0• Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculado se tiene: q(x ) = x 3 + x 2 − 2 x + 1 R(x ) = 0IV) MÉTODO DE RUFFINI Este es un caso particular del Método de Horner. El Método de Ruffini permite encontrar el Cociente y Residuo cuando el Divisor es un binomio de la forma o transformable a ella. Se debe observar y tener presente que el polinomio Dividendo sea completo y ordenado, si faltase algún término lo reemplazamos con ceros hasta completarlos. Es decir, si: D (x ) ax ± b C ocient obt e enid o Q (x ) = Entonces: a De igual forma el Método de Horner, utilizaremos sólo coeficientes empleando para la división el siguiente esquema: D IV ID E N D O d iv is o r C O C IE N T E RE STO ( o b te n i d o )Procedimiento:1º Se coloca en posición horizontal el dividendo (coeficiente).2º Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable.3º Dicho valor despejado se ubicará en el esquema donde se indica el divisor.4º Se baja el primer coeficiente de D (x ) que se multiplicará con el valor despejado, resultado que se indicará debajo del segundo coeficiente del D (x ) .5º Se suman los valores de la segunda columna cuyo resultado se volverá a multiplicar con el valor encontrado. Procedimiento que se repetirá hasta concluir la división (cuando se haya llegado a la última columna).6º En la última columna se reducen los términos, el resultado obtenido será el residuo a calcular.7º Para obtener el cociente Q(x) a los coeficientes del cociente (obtenido) se les divide con el primer coeficiente de divisor.
  • 59. Ejemplo 1:Dividir: 1 0x 3 + 3x 2 − 6 x + 4 5x −1Solución: Aplicando el procedimiento mencionado, por Método de Ruffini. 5x 1 = 0 1 0 3 6 4 x = 1 2 1 1 5 1 0 5 5 3 C o c i e n te o b te n i d o Como: d (x ) = ax − b Luego: d (x ) = 5 x − 1 ⇒ a=5 • Cálculo de Q (x ) : 1 0x 2 + 5 x − 5 Q (x ) = 5 1 0x 2 5 x 5 Q (x ) = + − 5 5 5 ∴ Q (x ) = 2x 2 + x − 1 R(x )= 3Ejemplo 2:Dividir: 3x 4 − 5 x 3 + x 2 − x + 1 x −2Solución:Aplicando el Método de Ruffini: x 2 = 0 3 5 1 1 1 x = 2 6 2 6 10 3 1 3 5 11Como: d (x ) = ax − b y d (x ) = x − 2 d (x ) = 1 x − 2 ⇒ a =1• Cálculo de Q (x ) : (4 x + 6 x + 5) ÷ (2 x + 1 ) 2 ∴ Q (x ) = 3 x 3 + x 2 + 3 x + 5 R(x ) = 1 1
  • 60. División Algebraica Segundo Año Ejemplo 3: Dividir: 5 x 4 − 9 x 3 + 3x 2 + 6 x + 1 5x +1 Solución: Aplicando el Método de Ruffini: 5x + 1 = 0 5 9 3 6 1 x = 1 1 2 1 1 5 5 1 0 5 5 0 Como: ⇒ d (x ) = 5 x + 1 ⇒ a=5 • Calculo de Q(x): 5 x 3 − 1 0x 2 + 5 x + 5 Q (x ) = 5 ∴ Q (x ) = x 3 − 2 x 2 + 5 x + 5 R(x ) = 0V) TEOREMA DEL RESTO Para encontrar el resto de dividir su polinomio P(x) entre un divisor de forma (a x + b) se halla reemplazando en P(x) el valor de “x” que anula al divisor, vale decir, habrá que calcular: P (-b/a) Ejemplo 1: Calcula el residuo de dividir: x3 + 2x2 – x + 2 entre 2x – 1 SOLUCION: Calculamos el valor de “x” que anula al divisor: 2x–1= 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = ½ Este valor de “x” se replaza en el dividendo: DIVIDENDO: x3 + zx2 – x + 2 Residuo “R” = (½)3 + 2(½)2 – (½) + 2 ⇒ ∴ R = 1 + 4 – 4 + 2 x 8 = 17 8 8 Ejemplo 2: Calcula el residuo de dividir: 3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3 Solución: Calculamos el valor de “x” que anula el divisor:
  • 61. x–3 = 0 ⇒ x =3 Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo Dividendo: 3 x3 – 5x2 + 7 Residuo: “R” = 3(3)3 – 5 (3) 2 + 7 ⇒ ∴ R = 81 – 45 + 7 = 43 Ejemplo 3: Calcula el residuo de dividir: x5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x–2 Solución: Calculemos el valor de “x” que anula al divisor. x–2=0 ⇒ x =2 El valor de “x” se reemplaza en el dividendo: Dividendo: x5 – 8 x3 + 4 x2 – 5 Residuo: “R” = (2)5 – 8(2)3 + 4 (2)2 –5 ⇒ R = 32 – 64 + 16 – 5 = -21 ACTIVIDADHALLA EL POLINOMIO COCIENTE EN CADA DIVISIÓN1. (3y3 – 10 y2 + 20y – 16) : (3y – 4) 2- (6 x2 – x – 2) : (2x + 1)2. (2x4 – x3 + 7 x – 3) : (2 x + 3) 4. (z2 – 15z + 56) : (z – 8)5. (6 y2 – 9y – 27) : (3y – 9) 6. (-10 z3 – 13z2 + 13z – 2 ) : (-5z + 1)7. (8 y3 – 27) : (2y – 3) 8. (9 x3 + 3x2 + x – 1) : (3 x –1)9. (x6 – 7 x3 + 12) : (x3 – 3) 10. (38 x4 – 65 x3 + 27) : (2x2 – 5x + 3)11. (12x4–7x3–74 x2–7x+12): (3x2-7x-4) 12. (3/2 z7 – 6 z6 – ¼ z5 -5z4 + z2): (323 – ½ z) ACTIVIDADHalla el residuo de los siguientes divisores, empleando el tema del resto.1. 2x4 – 5x3 + 3x – 6 entre x – 2 2. 8x5 – 3x4 + x3 – 5x2 + 3 entre x – 13. 5x3 – 2x2 + 7x – 2 entre x + 2 4. x2 – 5x + 9 entre 3x – 15. x6 – y6 entre x – y 6. x3 + 2x + 3 entre 2x + 17. x6 – 5x3 + 6x2 – 8 entre x + 2 8. x2 – 2ax + a2 entre x – a9. x32 + 1 entre x + 1 10. x3 + 2 ax2 – 5 a3 entre x + 2 a
  • 62. División Algebraica Segundo Año ACTIVIDADEscribe en cada espacio libre el monomio que falta:1. : 3x4 = 4 x2 2. : 5xy2 = 2 x3y3. : -6x2 y3= 4xy2 4. : 7x y2 z3 = -5x3yz5. : -8x3 y4 z2 = -3xy3z 6. : - 6xy4 = 2xy27. : 3xy3 = 4y2 8. : 8x5 y2= -3xy9. : –5x2 y3 = -6 y4 10. 20 x7 y4: = 5x4 y311. 12x6 y4 z6: = -x3 y2 z5 12. –36x5y3: = 9x3y13. 128 x6 z5: = -16x4z3 14. 112a3b2x5: = 7abx3DESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES:1. (z2x + zx + x) : - z 2. (3xy2 – 2x2y2 + 5x3y – 7x4): 2xy3. (-4x2y + 6xy2 – 10y3):-2x 4. (12x3y3 – 15x2y2+18x):-3xy5. (-8x3 + 16x2y2 – 32xy3):4xy 6. (4x2y – 63y2+ 10xy4): -2xy 3 2 4 2 3 2 2 3 2 27. (-6x y z + 9x y z – 3xy z ): -3xy z 8. (18x4y3z2 – 24x2y2z3 + 36x3y3z2): 6x2y2z29. (-15x6y3z + 20x4y4z3 – 10x5y2z2): -5x4y2z 10. (20xn+1 yn – 16x n+2 yn+1) : 4xnyn ACTIVIDADEfectúa las siguientes divisiones:1. (x5 + 3x4y + 3x3y2 + 5x2y3 – 10yx4 – 7y5) : (x+3y)2. (6x4y + 21x3y2 – 60x2y3 + 24xy4) : (2x-y)3. (3x4y – 4x3y2 – 4x2y3 + 8xy4 – 3y3(: (x2 – 2xy + y2)4. (-4xy4 + 6x2 y3 – 3x3 y2 + 5x4y) : (-y3 + 2xy2 + x2y)5. (-6x6 + 11x5y – 40 x4y2 – 6x3 y3 + 12x2y4) : (-12x2 + 6xy)6. (1/3 x3 - 17/36 x2y + 13/24 xy2 + ¼y3 ) : (1/2 x – 1/3 y)7. (2/3 x4 – x3 + x2/2 – 5x + 3) ( x + 1)8. (12 x2a+2 - 23 x 2a+3 - 10x 2a+4 + 25 x 2a+5 : (4xa+1 – 5xa+2)9. (xa+2 + 2x a+1 + 2 xa – 5xa-1) : (x2 – x)10. (38 xa+3 – 65xa+2 + 27x a-1) : (2xa+1 – 5xa + 3xa-1)11. (-5ya-1 + 2ya + 2ya+1 + ya+2) : (5ya-2 + 3ya-1 + ya)12. (9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa-1) : (3xa – xa –1)13. (6xa+3 + 5/2 xa+2 – 16/3 za – 4xa-1) : (3xa+1 + 2xa)14. (x5 – 27x – x4 + 7x2 + 10) : (x2 – x + 5)
  • 63. 15. (31 x2 + x6 – 8x – 5x5 + 21 ) : (x3 – 7 – 2x)16. (x3 – 10x2 + 14x – 9) : (x2 – 4x + 3)17. (2x3 – x2 + 3) : (x + 1)18. (x4 – 8x2 – 9) : (x – 2)19. (x3 – 7x – 6): (x – 3)20. (x3 – 7x – 6) : (x + 1)21. Calcula el valor de “m” para que : x5– 3x4 + 2x2 + 4m, sea divisible entre x – 2.22. Calcula el valor de “m”, para que : 2x3 – 6x2 + 5x – m/4, sea divisible entre 2x – 1.23. Calcula el valor de “m” para que : 2x4 – 5x3 + 8x2 – 5m, sea divisible entre x + 1.24. Calcula el valor de “m” para que: x6 + 3x5 – 4x3 – x2 + n, sea divisible entre x + 2 TAREA DOMICILIARIA x 4 + 2x 3 − 7x 2 + ax + b x 3 + 3x 2 − 7x − 51. La división: . Es ; Señale el residuo. x 2 − 3x + 5 x 2 −1 exacta, calcular “a + b” 8. Calcular “m–n” para que la división x 4 − 5x 2 + nx + m ; Sea exacta2. Calcular el residuo de: x2 + 1 x 6 + 6x 3 − 2x 5 − 7x 2 − 4x + 6 x 4 − 3x 2 + 2 9. Calcular el valor de “γ” en: x 5 + 2x 4 − 3x 3 + 2x − γ3. Calcular el cociente de: x+2 30x 5 + 18x 2 − 7 x 3 + 2 + x 10x3 + 6 + x 10.Calcular el resto de: 3x 3 − 4x 2 − 5x + 64. Calcular el cociente de: 3x 2 + 2x − 1 3 − x + 2x 4 − 2x 3 x +2 11.Calcular el valor de (m+n) en la siguiente división exacta5. Calcular el resto de la división: x 5 + x 4 + mx 3 − 1 x 5 + x 4 −x 2 + x +1 x 3 + x −n x 2 +1 12.Hallar el término independiente del6. Calcular la suma de los coeficientes del cociente, luego de dividir: residuo al dividir: 10x 4 + 6x 3 − 37 x 2 + 33x − 9 4x 4 − 5x 3 − 2x 2 + 3x − 1 5x 2 − 7 x + 3 x 2 − 2x − 1 13.Si la división7. Al dividir: 2x 4 + 3x 2 − ax + b x 2 +x +3
  • 64. División Algebraica Segundo Año Es exacta, hallar 4 a +b 20.Hallar la suma de coeficientes del cociente: 9x 4 + 2x 2 + 5x − 6 3x 2 + x − 214.Hallar el resto de la división U) 1 V) 2 W) 3 x 18 − 3x 9 + 5x 6 + 7 x − 1 X) 4 Y) 5 x 2 −1 21.Luego de dividir:15.Si el resto de: 10x 5 − x 4 + 3x 3 + 17x 2 + ax + 3 5x + 2 ( x + 7 ) 2n + 2n x 2 + 14x + 47 Se sabe que el residuo es 5, hallar “a” Es 256, hallar el valor de “n” A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) –116.Hallar el T.I. del resto de: 22.Hallar el resto de dividir: 8x − 6x + 4x + 7 4 2 ( x + 2) 12 − x 51 ( x + 4 ) 51 + 2001 − 3x + 1 + 2x 2 x 2 + 4x + 1 A) 1 B) 2 C) 3 F) 2641 G) 2728 H) 2729 D) 4 E) 5 I) 2700 J) 200117.Hallar el resto de: 23.Hallar el residuo de la división: x 5 +x 4 +x 3 + x 2 +x +1 6x5 + 5x 4 y − 8x3 y 2 − 6x2 y3 + 2xy 4 + 2y 5 x +1 2x3 + 3x2 y − y 3 F) 0 G) 1 H) 2 K) 0 L) 1 M) xy I) 3 J) 4 N) y O) y518.Si la división: 24. Si l coeficiente del término lineal del 4 3 2 4x + 2x − mx + 3x + n cociente es –45, hallar 4 −n x 2 − 2x + 1 Es exacta. Halla (m+n) 2x 5 − nx 2 − 6x 3 − 7 x −3 K) 16 L) 18 M) 20 N) –20 O) –16 P) –81 Q) –3 R) 3 S) 81 T) 7219.Hallar el resto de: 25.Calcular el resto de la siguiente división: 3x 8 − 28x 4 − 5x 2 + 4 x 2 +3 ( x + 6) 321 − 1 x 2 + 12x + 37 P) 5 Q) 10 R) 15 S) 20 T) 25 U) x+1 V) x+2 W) x+3 X) x+4 Y) x+5
  • 65. TEMA Nº 07: C O C I E N T E S N O T A b L E SCapacidades: Aplica cocientes notables Calcula el termino k- ésimo de un cociente notable Resuelve problemas que involucren cocientes notablesExploración y Desequilibrio:A. Efectúa 1. (x + y) (x – y) = x3 – y3 2) (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15 (x2 – y2 ) : (x + y) = ⇒ (x3 + 8 x + 15): (x + 5 ) = 3. (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8 4) (x + 2) (2x + 1) = 2x2+ 5x+ 2 ⇒ (x3 + 8) : (x + 2) = ⇒ (2x2 + 5 x + 2) : (x + 2) =Desarrollo del Tema:1) COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables, son ciertos cocientes que se escriben por simple inspección, sujetándose areglas fijas y sin realizar la división. I. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADROS DE DOS MONOMIOS entre la suma o la diferencia de los mismos. Se trata de los COCIENTES que se obtienen de las divisiones que pertenecen a estas formas: X2 – y2 o x 2 - y2 ; si efectuamos las divisiones se tiene: x+y x-y x2 -y2 x + y ; x2 - y2 x - y -x2 – xy x–y -x2 + xy x + y -xy - y2 -xy - y2 + xy + y2 + xy + y2 0 0 Por lo tanto: x2 - y2 = x – y x 2 - y2 = x + y x+y x-y La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la suma de los mismo es igual a la diferencia de ellos. La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la diferencia de los mismos es igual a l asuma de ellos. Ejemplos: 1. x2 - 1 = x2 - 12 = x – 1 2. x2 – 4 = x - 22 = x - 2
  • 66. Cocientes Notables Segundo Año x+1 x+1 x+2 x+2 2 3. 100 - z = 10 - z = 10 + z 2 2 4. x – 36 = x2 – 62 = x + 6 2 10 – Z 10 - z x–6 x–6 ACTIVIDADAplicar la regla de los cocientes notables, halla el cociente de:1) x2 - 81 2) z2 – 1 3) x2 - 121 4) 36 x2 – 4 x–9 z+ 1 x – 11 6x + 25) w2 - 144 6) 4x2 – 100 7) 1 - 9z2 8) 169 - 16x2 w + 12 2x + 10 1 + 3Z 13 + 4x9 (x-1)2 - 1 10) 9 –(2x – 1)2 11) 49 x4 - 9z2 12) 16 x6y4 -1 x+1+1 3 - 2x + 1 7x2 + 32 4x3 y2 + 113. 25 x2 - 1 14) 49 y4 - 16 15) 64 x6 – 81z2 16) 81 - x4 – 16y6 5x + 1 7 y2 - 4 8x3 + 9z 9x2 - 4Y317. 49X4 – 225 y4 18) x2n – y2n 19) x2n+2 – 121 y2n 12)(x+y)2n–(2z+3)2n 7x2 + 15 y2 xn- yn xn+1 + 11yn (x+y) – (2z + 3) II. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS MONOMIOS entre la SUMA O DIFERENCIA DE LOS MISMOS. Se trata de escribir por simple inspección los cocientes: X3 – y3 o x3 - y3 ; si efectuamos las divisiones se obtiene: x+y x-y x3 -y3 x+y ; x3 - y3 x - y -x – x y 3 2 x –xy+y 2 2 X2+XY+Y2 -xy - y2 -xy - y2 + xy + y2 + xy + y2 0 Por lo tanto: x3 - y3 = x2 – xy + y2 x3 - y3 = x2 + xy + y2 x +y x-y La suma de los cubos de los monomios entre la SUMA de los mismos es igual al cuadrado del primero MENOS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. La diferencia de los CUBOS de dos monomios entre la DIFERENCIA de los mismos es igual al cuadrado del primero MAS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. Ejemplos: 1) x3 + 8 = x3 + 23 = x2 - 2x + 4 2) y3 + 27 = y3 + 33 = y2 – 3y + 9 x+2 x+2 y+2 y+3 3) x + 64 = x + 4 = x - 4x + 16 3 3 3 2 4) 64x – 125 y = (4x2)3–(5y)3 = (4x2)2 + (4x2)(5y)+(5y)2 6 3 x-4 x-4 4x2 – 5y 4x2 + 5y
  • 67. = 16x4 + 20x2 }y + 25y2 ACTIVIDADAplica la regla de los cocientes notables y halla el cociente de:1) x3 + 1 2) 64 + x3 3) 125 + y2 4) x9 + 1 5) 8 – x9 X+1 4+x 5+y x3 + 1 2 – x36) x12+ 27 7) x12 - y15 8) x6 - y6 9) x6 + 8y3 10) 8z6 + y9 x4 + 3 x4 - y5 x2 - y2 x2 + 2y 2z2 + x311) x3 – y6 12) 216 - y3 13) 27x6 + 64y3 14) 729x9 + 27y3 15) 64x3n – 125y3n x – y2 6-x 3x2 + 4y 9x3 + 3y 4xn – 5yn16) 216x6 – 8y3n 17) 729x9n - 512y6n 18) x6 y9 + 27 w3 z6 19)0,027x3–0,001y6 6x2n + y2 9x3n – 8 y2n x2 y3 + 3w z2 0,3x – 0,1 y220) 0,064x9 + 0,125 y9 21) 0,008x3 – 0,001y3 0m4 x3 + 9m5 y3 0,2x – 0,1y III. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES POR LA SUMA O DIFERENCIA DE SUS BASES. A. La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de sus bases así: 1. a4 – b4 = a3 + a2b + ab + b3 a–b 2. a5 – b5 = a4 + a3b + a2 b2 + a b3 + b4 a–b B. La diferencia de potencies iguales pares, es siempre divisible por la suma de sus bases así: 3. a4 – b4 = a3 - a2b + ab2 - b3 a+b C. La suma de potencies iguales impares, es siempre divisible por la suma de sus bases así: 4. a5 + b5 = a4 - a3b + a2 b2 - a b3 + b4 a+b D. La suma de potencias iguales pares, nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de sus bases así: 5. a4 + b4 = No es exacta la división a+b 6. a4 + b4 = No es exacta la división a-b
  • 68. Cocientes Notables Segundo Año LEYES QUE CUMPLEN ESTOS COCIENTES: Observando los ejemplos anteriores, se tiene:1. El cociente tiene tantos términos como unidades tiene el exponente de las variables en el dividendo.2. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el exponente de “a” disminuye en 1 en cada término.3. El exponente de “b” en el segundo término del cociente es 1; y este exponente aumenta 1 en cada término posterior a este.4. Cuando el divisor es “a – b” todos los signos del cociente son “+” y cuando el divisor es “a + b” los signos del cociente son alternadamente “+” y “-“.5. Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar usando la siguiente formula: FORMA DE LOS COCIENTES NOTABLES FÓRMULA x n ± yn TK = ± xn-k yk-1 x± y Donde: ”K” es el lugar del término que se pide “x” representa el primer término del denominador del cociente notable “y” representa el segundo término del denominador del cociente Notable y “n” es el exponente igual al cual están elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que aparecen en el numerador. SIGNO: 1 Cuando el divisor es: “x-y” ⇒ Todos son “+” 2 Cuando el divisor es: “x+y” ⇒ Si : k = # impar es “+” Si : k = # par es “-” Ejemplo 1 : Calcula el 5to término del desarrollo de: x10 – y10 x–y Solución: Aplicando la fórmula: TK = ± xn-k yk-1 Donde : k = 5 ∧ n = 10 Luego : T5 = x10 –5 y5-1 = x5 y4 Ejemplo 2: Calcula el 3er término del desarrollo de ; 64 - z6 4 – z2 Solución: La expresión dada, se puede escribir así: 43 - (z2)3 4 – z2 Por formula: TK = ± xn-k yk-1 Donde : k = 3 ; x = 4 n = 3 ; y = z2 T3 = 43-3 (Z2)3-1 = 40 z4 = z4
  • 69. Ejemplo 3: Calcula el 4to término del desarrollo de : 64 x6 – y6 2x – y Solución: La expresión dada, se puede escribir así: (2x)6 – y6 2x – y Por fórmula: TK = ± x n-k y k-1 Donde : k = 4 ∧n=6 T4 = (2x)6-4 y 4-1 = (2x)2 y3 = 4x2 y3 ACTIVIDAD1. Calcula el 3er término del desarrollo de : x7 – y7 x-y2. Calcula el 4to término del desarrollo de : 81x4 – 1 3x – 13. Calcula el 2do término del desarrollo de : 125x3 – 27 5x – 34. Calcula el 4to término del desarrollo de : 64x6 – 1 2x + 15. Calcula el 3er término del desarrollo de : x14 + 128 y7 x2 + 2y6. T12 de: x142 –y213 7) T15 de: x350 - y280 8) T42 de: x51a + y102b x –y 2 3 x5 + y4 xs + y2bEFECTÚA:1) x5 – 32 2) x6 – 64y6 3.) 64x6 – y6 4) y8 – x8 x-2 x-2y 2x + y y+85) x – y 10 10 6) x – y 15 15 7.) x + y 9 9 8) x21 – y21 x+y x3 + y3 x+y x3 + y39) x15 – y10 10) 32x10 + 243 11.) 16a4 – 81b4 12) x3 – y12 x3 – y2 2x2 + 3 2a - 3b √x + y2 PRÁCTICA DE CLASE1. Halla el cociente: 2x7 – 3x5 – x4 – 2x2 + 4 c) 2x4 + 2x3 + x2 +1 d) 2x4 + 3x3 x3 – 2x + 3 e) 2x4-3√2x3 + 11x2 - 8√2 x+16a) 2x + x – 7x + 2 4 2 b) 2x + 4 4c) 2x4 + x3 + 2 d) 2x4 + 7x 3. Halla el cociente: 4x12 –9x9-4x3 – 5e) N.A. x3 – 2 a) 4x9 – x6 –2x3 –8 b) x6 + x22. Halla en cociente: 2x5-√2 x4+5x3+3√2 x2–5√2 c) x9 + x6 d) 4x9 – x6 x + √2 e) N.A.a) 2x + √2 x 4 b) x4 + x3
  • 70. Cocientes Notables Segundo Año4. Halla el cociente: nxn – x + n x-1a) nxn-1 b) nx n-1 + xn 11. Calcula el cuarto término del desarrolloc) x n-1 + nx d) nxn De:e) nx n-1 + x n-2 + ... + nx + (n-1) (x+y)18 - (x-y)12 ; para: x = 2√3 (x+y)3 – (x-y)2 y = √105. Halla el cociente: 8x20 + 5x8 – 4x4 + 3 a) 32 b) 64 c) 16 4 2x + 1 d) 128 e) 81 16a) 4x + 2 16 b) 4x + 2x 12c) 2x 16 +x d) 4x16 – 2x12 + x8 + 2x4 –3 12. Al dividir : x4 –2x2 – 6 por x+3 ; el resto es:e) N.A. a) 69 b) 62 c) 59 d) 57 e) 546. Dividir: x4 + ax3 + bx2 + a x + b el x2 + 4x + 3 13. Cuál es el polinomio que dividido por x2+1 residuo es: 6x – 7 halla :”a b” da como cociente: x+2, resto: x-3 a) 6 b) 15 c)12 a) x3 – 2x2 + 2x-1 b) x3 + 2x2 + 2x-1 d)10 e) 18 c) x3 + 2x2 - 2x-1 d) x3 + 2x2 + 2x+1 e) x3 - 2x2 + 2x +17. 12 x4 + 2x3 – 3x2 + 12x-9 señala el 4x2 + 2x -3 14. Al dividir: x4 – 2x3 + 4x2 – x +1 por x –2 es resto es: coeficiente del término cuadrático del a) 3 b) 9 c) 15 cociente. d) 51 e) 61 a) 3 b) –1 c)2 d) -2 e) 1 15. Encuentra el resto que se obtiene en: (x+5)80 – (x+3)81 +38. Halla la suma de coeficientes del cociente (x + 4) 2 x4 + 3x3 + x2 + 2x + 16 a) 1 b) 2 c) 3 2x + 1 d) 4 e) 5 a) 6 b) 4 c)3 d) 1 e) N. A. 16. Para que valor de “m” el polinomio:9. Indica el resto de dividir: P(x) = (x2 –x +m)3 + (mx-1) 3 (x+3) (x+5)(x+4) (x+6) +3 Es divisible entre (x + 2) 2(x+9) + 18 a) 5 b) -5 c) 3 a) 1 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1 d) 6 e) 5 17. ¿Qué valor debe tener “m”, para que el10. Determina el coeficiente del término inicial Polinomio: del cociente al dividir: 4x3 + 4x2y – xy2 + m, sea divisible 6 x4 + 7x3 + 11x2 - 5 por x + y? 3x + 2 a) y3 b) –y3 c) y4 a) -3 b) -6 c) 3 d) –y 4 e) N.A. d) 9 e) –1
  • 71. x3 + px2 – x + 8 por x – 4, sea 100?18. Qué valor debe tener “m”, en el a) -2 b) 3 c) 2 Polinomio: 2x4 + 25 x + m, para d) –3 e) N.A. que sea divisible por x + 3? a) 87 b) -87 c) 86 20. Dado: 4x3 – 8x2 – mx + 18, calcula d) –86 e) N.A. el valor de “m” para que sea divisible por: 2x – 3.19. Qué valor debe tener “p” para que el a) 9 b) -9 c) 8 Residuo de la división: d) –8 e)N. A. x 28 + 128y 721. Hallar el término de lugar 6, de: x 4 + 2y A) 32x4y5 B) –32x4y5 C) 32x5y4 D) –32x5y4 E) x5y422. Hallar el G.A. del término de lugar 8 x 6 n − y 40 de: x n −4 − y 4 F) 30 G) 20 H) 40 I) 50 J) 25 ( x + 3) 36 − x 3623. Hallar el V.N. del término de lugar 29 de: ; para x = –1 2x + 3 K) 32 L) 69 M) 128 N) 256 O) 512 1 x 18 − x 1224. Hallar el T4 del desarrollo del siguiente C.N: 1 x 3 −x2 P) X6 Q) X5 R) x4 S) 1 T) x a 6n +1 − a 5n25. Hallar el número de términos de: a 2n −3 − a n U) 4 V) 3 W) 2 X) 1 Y) 5 x 3 x − 8126. Hallar el T3 en: 3 x −3 A) 9 x B) 9 x C) 33 x D) 7 3 x E) 3 3 x27. Halar el término lineal de: ( x + 4) 3 − 64 x F) 12x G) 13x Z) x H) –12x I) 10x x 35 − y 4928. Hallar el término central de: x 5 − y 7A) x17y27 B) x27y17 C) x21y15 D) x15y21 E) x12y13 a 75 − b 3029. Hallar el grado absoluto del quinto término de: a 15 − b 6 A) a24 B) a12b12 C) ab12 D) b24 E) b18
  • 72. Cocientes Notables Segundo Año x 64 − y 4830. hallar el G.A. del sexto término del desarrollo de: x4 −y3 F) 45 G) 55 H) 65 I) 75 J) 85 TAREA DOMICILIARIA1. Sabiendo que el resto de la siguientes 7. Halla el resto de dividir: (x-1)6 (x-2)5 +1 división: x-3 5 3 8x + 4x + mx + p 2 2 es R(x) = 5x – 3x+7 a) 64 b) 65 c) 63 3 2x + x + 3 2 d) 68 e) 102 Calcula los valores de: m, n , p a) 20; -9; 16 b) 20; 10; 9 8. Calcula “a+b” si se sabe que el cuarto término c) 9; 10; 11 d) 8; 20; 5 del cociente notable al que da lugar la división e)11; 12; 20 x10 – y15; es igual a ; xa yb+5 x 2 – y3 a) 8 b) 9 c) 62. Halla el cociente : 3x5 + 2x4 – 10x3 + 4x+1 3 – 1/3 d) 11 e) 13 a) 3x + 9x + 1 4 3 b) 3x + 3x – 9x – 4 3 2 9. La división: a125 + b175, da lugar a 3x+3 a5 + bm c) 3x4 + 3 d) 3x4 + x2 + x un CN Halla el grado del término e) N.A. da lugar 22. a) 160 b) 162 c) 1263. Halla el cociente: 3x8 – 28 x4 – 5x2 + 4 d) 164 e) 166 x2 + 3 10. Calcula el 11° término del CN a) 3x6 + 9x4 b) 9x6 + 3 x2 Correspondiente a la siguiente c) 3x6 – 9x4 – x2 – 2 d) 3x6 – 9x4 + x2 División: (x60 - y660) : (x5 – y55) e) 3x6 – x2 a) –x5 y550 b) x y5 c) x5 y550 d) x10 y500 e) x5 y54. Halla el cociente: 15x4 – 8x3 – 9x2 + 7x + 1 5x – 1 11. Da el grado del 8° término del a) 3x + 5x3 b) 3x3 – x2 – 2x + 1 C.N. correspondiente a la siguiente c) 3x2 + 6x +2 d) 3x3 + 5x2 + 1 División: x100 + m120 e) 3x3 + x2 +1 x10 + m125. Calcula el resto en: (x + a) 7 – x7 – a7 a) 104 b) 76 c) 82 x + 2a d) 48 e) 102 a) –126 b) 126a7 c) 126a 6 d) 127a 3 e) 127a 6 12. Halla el grado respecto a “y” del6. ¿Cuanto se le debe restar al dividendo Séptimo término del CN correspondiente Para que la división sea exacta? a la siguiente división: 3x – 7x + x + 5x + 3 4 3 2 a180 - y150 3x2+ 2x + 1 a18 - y15a) 4x + 1 b) 4x – 1 c) 3x +1 a) 60 b) 75 c) 84d) 3x –1 e) 2x –3 d) 90 e) 78
  • 73. 21. Hallar el lugar que ocupa el término de13. Hallar el termino del lugar 14 del grado 101, en el desarrollo de: x 31 + y 31 x 180 − y 80 desarrollo: x+ y x9 −y4 22. Si A es el penúltimo término del C.N.14. Hallar el termino del lugar 3 del x 40 + y 10 Hallar A x 28 + x −49 x4 +y desarrollo 4 x + x −7 23. Hallar el grado absoluto del décimo15. Hallar el termino del lugar 4 del primer término en el cociente notable x 21 + y 21 x 3n +2 − y 5n −1 desarrollo que se obtiene al dividir: x 2 − y n −5 x3 + y3 x n +1 − y 3n − 416. Calcular “n” ( 5x − 1) 99 + ( 5x + 1) 99 x − y2 24. Si la división: x Origina un cociente en el cual un17. Calcular el número de términos del término tiene la forma A(25x2 – 1)B, Calcular A–B x 3n +8 − y 2 n −1 siguiente cociente: x2 − y 25. El grado absoluto del término de lugar 618. Calcular el número de términos del x 3n + 9 + y 3n del siguiente C.N. ; es: x3 + y2 x 20 − y n siguiente cociente: xn + y5 26. Encontrar el cociente que dio origen al siguiente desarrollo: x35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 –19. Hallar el valor numérico del término 1 1 número 37 para x = − de: 5 x 82 − 1 ( 5x + 9 ) − ( 5x ) 43 43 27. Calcular el tercer término de: x 2 −1 10x + 920. Hallar el desarrollo del siguiente C.N. 28. Hallar T5/T10 del siguiente desarrollo: ( x − 4) 3 − 8 x −6 a 51b 119 − m 85 . n 34 a 3b 7 − m 5 . n 2
  • 74. Cocientes Notables Segundo Año29. ¿Cuál es el tercer término en el x 10 + 32y 5 cociente? x 2 + 2y
  • 75. TEMA Nº 08: F A C T O R I Z A C I ó NCapacidades: Transforma una suma algebraica en un producto de factores. Factoriza expresiones indicando sus factores primos. Aplica diversos métodos de factorización en la solución de ejercicios. Conoce equivalencias Notables, de tal manera que nos ayude a la factorización de manera directa.Desarrollo del Tema: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSFACTORIZACIÓN.- Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de dos o másfactores primos. PRODUCTO La factorización o descomposición en factores de una expresión seAsí: x2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) realiza sólo para polinomios. FACTORIZACIÓNCASOS DE FACTORIZACIÓN1. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO CON FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común numérico es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, está formado por el M.C.D. de los coeficientes y las letras comunes elevadas a su menor exponente. Ejemplos: Factoriza o descompone en factores: 1) 8x2y + 6x3yz – 10xy2w = 2xy(4x + 3x2z – 5yw) ¡¡AHORA TÚ!! 2) 2,4ab3 – 1,8a2b – 0,9ab = 3ab ( - - ) 3 2 3) x – 2xy + x = x ( - + ) 4) 12x y z – 15x yz – 6x y z + 9xy z = 3x2yz3 3 2 3 2 3 2 3 4 5 3ACTIVIDAD N° 1Factoriza los siguientes polinomios:1) 6a + 18b 2) 12x + 8bx 3) ab2 + ab4) x3 – x2 5) b4 – b3x 6) 36xy – 18xz 2 3 27) 6x – 24xy 8) 8x – 16x y 9) 20ax2 + 36abx
  • 76. Factorización Segundo AñoACTIVIDAD N° 2Factorizar los siguientes polinomios:1) a3bx + 3a2b2y – a4b3z 2) 2x3y2 – 7x2y + 0,6x4y2z3) -ab2 + 8a2by – 5abx2 4) 25a2x – 30a4y + 35a3z5) -12x2y + 18xy2 – 24xyz 6) 21a3bx – 15a2xy – 9a4bx27) 15a2b3c – 9a3b – 6abx 8) -24x3y + 16x2y2 – 8x2yz29) 50a3b3 – 40a2b4 + 30ab5x 10) -22abc + 44a2c – 66b2c2. FACTORIZACIÓN DE UN PONINOMIO CON FACTOR COMÚN POLINOMIO En caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, o sea aplicando la propiedad distributiva. ab + ac = a (b + c) Ejemplos: Factoriza: 1) 3a (x – 2y) + 6b2 (x – 2y) = 3 (x – 2y) (a + 2b2) ¡¡AHORA TÚ!! 2) 8a2 (x-2)4 + 16a3 (x-2)2 – 24a5 (x-2)3 = 8a2 (x-2)2 3) -2x – 3y + ab3 (2x + 3y) = Recuerda que: 4) 5x (2a – 7b) – 2a + 7b) = -a – b = -(a+b)ACTIVIDAD N° 1Factoriza los siguientes polinomios: 1) 3x (5a – 2b) + 2y (5a – 2b) 2) 12a (x2 – y2) + 5 (x2 – y2) 3) 4x2 (y – 1) – 9 (y – 1) 4) 7x (8m + 3) + 8m + 3 5) x + 2y – 3z (x + 2y 6) xy2 (2-a) + x2y (2-a) 7) (x-3)2 (x+2) + (x-3) (x-1) 8) 8abc3 (x+3y) – 7a2bc (x+3y) 9) (3x-2)3 (x-2) – (3x-2)2 (x+1) 10) (x+2)3 (x+5) + (x+5) (x-2)2ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores: 1) 16x2 (z+2y) + 4x (z+2y) 2) 20xy3 (a-3b) + 152y (a-3b) 3) 12 (a+2b) (x-y)2 – 18 (a+b2b)2 (x-y) 4) 81 (x-3y)2 (m+n) + 27 (x-3y) (m+n) 5) -3a – 5b – (3a + 5b) 5x2 6) -6x2 + 9y2 + 4w (2x2 – 3y2) 7) 4a2 – 9b2 – 6xy (4a2 – 9b2) 8) 6a (5x – 2y – 3z) -5x + 2y + 3z 3 3 2 2 9) (x – y ) + (x-y) z – x + y 10) -7x + 2y – 2ab (7x – 2y)3. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS El proceso para factorizar por “agrupación de términos” consiste en agrupar convenientemente los términos de un polinomio a fin de obtener, en cada grupo formado, un factor que sea común a todos los términos, luego se procede como en el caso anterior. Ejemplos:
  • 77. Descompone en factores: 1) ax + ad + bc + bd ¡¡AHORA TÚ!! Solución: 2) mx – m – x + 1 (ac + ad) + (bc + bd) a (c + d) + b (c + d) (c + d) (a + b) 3) 2x2 + 2xc – 3bx – 3bc 4) 3y2 – 2ax + 3x – 2ay2 + 4a – 2ACTIVIDAD N° 1Factoriza por agrupación los siguientes polinomios: 1) x3 + xz + x2y2 + y2z 2) x2 – 3xz + 2xy – 6yz 3) 3x3 – 2x2y + 3xy + 2y2 4) ax – 2ay + 3bx – 6by 3 2 2 5) 3x – 2x y + 3xy – 2y 6) 21x2y + 3x – 14xy – 2 7) 12a2 – 10ab2 + 5b3 – 6ab 8) 2ax + 3a + x + 3/2 2 2 9) x – y – y – x 10) 9a – 25b2 – 3a – 5b 2ACTIVIDAD N° 2Factoriza por agrupación los siguientes polinomios: 1) x3 + 3x2 – x – 3 2) x3 + 2x2y – xy2 – 2y3 3) ax2 16ay2 + bx2 – 16by2 4) xn + 1 + 3x + 2xn + 6 5) x3n + 2x2n – 2 - xn 6) x3 + xy + 2x + x2y + 2y + y2 7) 3by + az + cy + 3abz + ay + cz 8) 4ay – 10cy + 6az – 2by – 15cz – 3bz4. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Hemos visto en los productos notables ya estudiados que una diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos. O sea: (a + b) (a – b) = a2 – b2 Diferencia de cuadrados En una diferencia de cuadrados siempre será igual al producto de la suma de dos términos, por la diferencia de los mismos. En general: a2m – b2n = (am+bn)(am – bn) Luego: Da una diferencia de cuadrados para hallar sus factores. 1) Se extrae la raíz cuadrada de cada término. 2) Se formando dos factores uno con la suma de las raíces halladas y el otro con la diferencia de dichas raíces. Ejemplo: Factoriza:
  • 78. Factorización Segundo Año 1. x2 – 49 = (x+7)(x-7) x 7 ¡AHORA TÚ! 2. 252 – y2 = ( + )( - ) 3. 36a2 – 25/4= 4. 3x2 – 300 =ACTIVIDAD N°1Factoriza los siguientes polinomios:1) x2 - 121 2) 64 – x2 3) 36x2 – 14) 49 – 16x2 5) 25x2 – 4y2 6) 2x2 – 2007) 6a2 – 6b2 8) x4y2 – 1 9) 16/9x2 – 3610) 81 – 1/9z2 11) 144 – a2n+ 12) 49x2n – y2nACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) 3x2 – 9 2) 5x2 – 3 3) 7 – 2x24) 1/4x2m – 1 5) 1/3x4 – 16/3y4 6) x4 – 817) 1/25x4 – 1/9y6 8) 15 – 60x2n 9) 49a4b2 – 25x210) 16ax4n 11) (x+3y)2 – 4 12) (2x – 1)2 – 645. FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS La suma de cubos es un producto igual a la suma de sus ases, multiplicado por el trinomio que se forma del cuadrado de la primera base menos el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base. O SEA: a3 + b3 =(a + b)(a2 – ab + b2) Ejemplos: Factoriza: 1) 27a3 + 64b3 = (3a + 4b)(9a2 – 12ab + 16b2) 3a 4b 2) 125x3 + 1 = (5x + 1)( - + ) 4) 0.27x3 + 0,001y3= 5x 1 3) x + 1/8y3= 6 5) (x+2y)3 + 64z3=ACTIVIDAD N° 1
  • 79. Factoriza los siguientes binomios:1) 8x3 + 1 2) x3 + 64 3) 125x3 + 27y34) 8 + 1000x3 5) 1 + 27x6 6) 343x9 + 17) x3 + x-3 8) 729x3 + y6 9) 64 + 27x3n10) x3n + 1 11) x6 + 1 12) 8x15 + y12ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) 7x4 + 7x 2) 6x5 + 6x2y3 3) 6bx6 + 48by94) (a + b)3 + 125x3 5) 64(x – 3)3 + 27y6 6) (x – y)3 + (a – 2)37) (x2 + a)3 + (a + 2)3 8) 729(3a – y)3 + (2x + y)3 9) 0,008 (x+5y)3 + (3 – y)36. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS La diferencia de dos cubos es un producto igual a la diferencia de las bases, multiplicada por el trinomio que consta del cuadrado de la primera base más el producto de las bases y más el cuadrado de la segunda base. OSEA: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplos: Factoriza 1) 8x3 - 27 = (2x - 3)(4x2 + 6x + 9) 2x 3 2) 125x – y3 = (5x2 – y) ( 6 + + ) 3) a3 – a-6 = 5x2 y 3) 64x3 – (3x – 1)3=ACTIVIDAD N° 1Factoriza los binomios siguientes:1) x3 - 1 5) x9 + y6 9) x6 - 12) x6 – 27y9 6) x3n - 27 10) x3 – 125y33) 1331x9 - y3 7) 64x3 – y3 11) 216x3 – 125y64) 8 - x3 8) 64x12 - 1 12) 8x12 - y15ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) 64x6 – y9 5) 64x3y6 – z9 9) 12ax6 – 96ay92) 1000x6 – y15 6) 8x7 – 8x4y3 10) 1/216x3 – y63) 4x5 – 4x2 7) 1/27x3 – 1 11) 0,125x6 – 0,008y34) x3 – a6b9 8) 8x6y9 – a12 12) (2x+y)3 – 8x6
  • 80. Factorización Segundo Año FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE SEGUNDO GRADO7. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Cuando un trinomio después de haberlo ordenado el primero y el tercer término son cuadrados y el segundo término es el doble producto de las bases de dichos términos esta clase de términos se llaman “TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS”. Todo trinomio cuadrado perfecto se descompone en dos factores binomios iguales, que se obtienen extrayendo la raíz cuadrado de los términos primero y tercero, empleando el signo del segundo término. Ejemplo: Factorizo 1) 4x2 + 28x + 49 = (2x+7)(2x+7)= (2x+7)2 2x 7 2(2x)(7) = 28x ¡AHORA FACTORIZA TÚ! 2) 25a2 – 30ab + 9b2 = 3) 36x2 – 12x + 1 2( )( )= 4) 25x2n + 64 + 80xnOBSERVACIÓN: Todo trinomio cuadrado perfecto tiene su origen en el cuadrado de una sumao de una diferencia de dos términos, o sea:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Trinomio Cuadrado Trinomio Cuadrado Perfecto PerfectoACTIVIDAD N°1Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:1) x2 + 18x + 81 6) x2 + 24x + 1442) x2 – 20x + 100 7) x2 + 16x + 643) x2 + 30x + 225 8) 4x2 + 12x + 94) 9x2 + 30x + 25 9) 25x2 + 10x + 15) 49x2 + 9 + 42x 10) 121x2 + 132x + 36ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) x2 – 8x + 16 6) x2 – 14x + 49
  • 81. 2) x2 – 26x + 169 7) x2 – 12x + 363) x4n – 2x2n + 1 8) x6 – 4x3 + 4 x 2 2xy4) + + y2 9) 0,04x2 + 0,12xy + 0,09y2 9 35) 9x6 + 1,2x3 + 0,04 10) 25x2 + 10 3 x+38. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c p+q=b 2 Así: x + bx + c = (x + p)(x + q) siendo: p.q=c “Par de números que multiplicados de el tercer término “c” y sumados de el coeficiente del segundo término “b”. Ejemplos: 1) Factorizo x2 + 9x + 14 = (x + 2) (x + 7) Porque: 2 . 7 = 14 2+7=9 ¡AHORA FACTORIZA! 2) x2 + 10x + 24 = 3) x2 – 6x – 16 = (x - )(x + ) 4) a4 – 16a2 + 64=ACTIVIDAD N°1Factoriza cada uno de los trinomios siguientes:1) x2 + 11x + 24 8) x2 + 6x – 72 15) x2 – 13x + 402) x2 + 14x + 13 9) x2 + 13x + 22 16) x2 + 9x + 203) x2 + 2x – 8 10) x2 + 15x + 54 17) x2 + 16x + 284) x2 + 5x – 16 11) x2 + 5x – 24 18) x2 + 8x - 485) x2 + 13x – 48 12) x2 + 6x – 72 19) x2 + 5x - 366) x2 – 7x – 44 13) x2 + 6x – 40 20) x2 – 14x - 367) x2 – 15x + 56 14) x2 – x – 132 21) x2 – 12x – 64 22) x2 + 5x – 36ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) x2 – 5x – 104 6) x2 – 20 + 8x 11) x2 – 27 + 6x2) x2 + 121 + 22x 7) x2 – 56 – x 12) x2 – 72 + 14x3) x2 + 126 – 23x 8) x2 – 96 + 10x 13) x8 – 3x4 – 184) x6 – 5x3 – 14 9) (ax)2 – 3ax – 18 14) a4n + 5a2n – 65) x6 – 3x4 – 40 10) x16 – 15x8 + 26 15) (x+2)2 + 12(x+2) + 27
  • 82. Factorización Segundo Año9. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c “MÉTODO DE ASPA” Ejemplos: Factorizar: 1) 2x2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2) 2) 3x2 – 10x – 8 2x +3 +3x 3x +2 2x x +2 +4x x -4 -12x 7x -10x 2 2 3) 5x – 17x – 12 = 4) 3x + 23x – 36 = 5x 3 x -4ACTIVIDADFactoriza cada uno de los trinomios siguientes:1) 2x2 + x – 10 8)2x2 + 13x – 24 15) 3x2 + 14x + 82) 3x2 + 35x – 12 9) 4x2 – 5x – 21 16) 2x2 + 5x – 33) 5x2 – 28x – 12 10) 4x2 + 25x + 6 17) 5x2 + 31x + 64) 4x2 + 5x – 21 11) 6x2 + 7x – 3 18) 10x2 + 17x + 65) 3x2 – 2 – 5x 12) 2x2 – 18 – 9x 19) 4x2 – 3 – 19x6) 5x2 – 4 – 8x 13) 2x2 – 7 – 5x 20) 6x2 + 3 + 19x7) 3x2 – 32 – 4x 14) 5x2 – 16 – 38x 21) 6x2 – 2 – x10. ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + FEjemplos:1. Factorizar: La expresión factorizada es: (5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)2. Factorizar:
  • 83. La expresión factorizada es: (3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)11. ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.Regla:1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del producto en aspa.2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomioEjemplo:1. Factorizar P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3)12. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS: Con éste método se busca uno o más factores binomios primosAdemás:1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x). P (x )2. Los demás factores se encuentran al efectuar: x − x03. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar: Posibles Divisores T. indep. de P ( x ) = x0 ceros Divisores Coef. Principal de P ( x ) Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6 Divisores 6 Posibles ceros = ± Divisor de 1
  • 84. Factorización Segundo Año Posibles ceros = ± (1, 2, 3, 6) Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x – 1) Luego:P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6) x –3 x –2 ∴ P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)ACTIVIDAD 1. Factorizar: 3. Factorizar e indicar el factor que se 4x2 – 15y2 + 17xy + 12x – 9y repite. e indicar la suma de sus factores P(x) = x4 – 16x3 + 72x2 – 128x + 512 primos 4. Los polinomios 2. Factorizar: P(x) = x4 + 2x3 – x – 2 x4 – 3x3 – 7x2 + 27x - 18 Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 Indicando la suma de sus factores primos. Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor común13. MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS: Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida, la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.Ejemplo:Factorizar: x4 + 64y4⇒ x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2 x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2∴ (x2 + 8y2)2 – (4xy)2Donde:(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)ACTIVIDADFactoriza los polinomios siguientes:1) 4x4 + y4 4) 4a4 + 81 7) a4 + a2b2 + b42) 4m4 + 3m2 + 9 5) 16x4 + 4x2 + 1 8) 4x4 + 3x2 + 1
  • 85. 3) 36m4 + 15m2n2 +4n4 6) 9x4 +2x2 + 1 9) 9x4 + 8x2y2 + 4y4 PRÁCTICA DE CLASE1. Después de factorizar: c) x – 1 + 2 d) x2 + x + 1 a2 (b+c) – c2(b+c) – b – c; indica el e) No es factorizable. factor trinomio: a) a2 – c2 b) b + c c) a2 – c2 +1 9. Señala el factor primero repetido de: d) a2 – c2 – 1 e) a + c x6 + x4 – x2 – 1 a) x +1 b) x – 1 c) x2 + 12. Señala un factor común de: d) x2 + 2 e) x m+2p n m+p n+9 m n+29 3x y + 6x y + 3x y a) xp b) yp c) xm + yn 10. Señala un factor de: 4x4 – 17x2 + 4 p 9 p 9 d) x + y e) x y a) 2x – 3 b) 3x – 1 c) 2x + 1 d) 4x + 4 e) 4x – 13. Señala un factor de: x3 – x2y + xy2 – y3 11. Al factorizar: x4 + 4x2 – 117 un factor 2 2 3 a) x + y b) x + y c) (x-y) de primer grado es: d) x e) y a) x + 3 b) x – 3 c) x2 – 9 d) x2 + 15 e) x + 14. Señala un factor de: xn+2 + x3 – xn – x + x2 – 1 12. Uno de los factores de: a) x2 + 1 b) xn + 1 c) xn + x + x4 – 3x2 + 1; es: 1 a) x2 – x + 1 b) x2 + x + 1 d) xn–x–1 e) xn – 1 c) x2 + x – 1 d) x2 + 3x + 1 e) x2 – 3x + 15. Un factor de : x – 7x – x + 7 es : 3 2 13. Indique el número de factores primos. a) x + 7 b) x-1 c) x2 + 1 Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 + 1)11 2 2 d) x +7 e) x +7x+1 14. Hallar la suma de factores primos.6. Señala un factor de: A(x) = (x + 2)(x – 1) + (x + 3)(x + 2) + x + 2 x2m + 2xmyn + y2n a) xm b) yn c) xm + y2n 15. Factorizar e indicar uno de los factores d) xmyn e) xm+yn primos.7. Un factor de: x3n + 1 es: (x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2 a) x2n + xn + 1 b) x2n+2xn +1 c) x2n – xn +1 d) x2n – 2xn +1 16. Indicar un factor primo de: e) xn – 1 (x + y2) (x + y) + z (x + y2)8. Uno de los factores de: x4 + 4; es: 17. Indicar un factor primo: a) x2 – 2x + 2 b) x2 + 2x + 1 (x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)
  • 86. Factorización Segundo Año 25. Indicar un factor primo al factorizar: (a2 + b2) – (c2 + b2)18. Indicar un factor primo de: 26. Indicar el número de factores primos (x–3y)(x2+y2)+(x2–y2)(x-3y)+x–3y de: x8 – 44 27. Dar la suma de los factores primos:19. Factorizar: x2 – y2 – xz – yz (x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)20. Dar un factor primo de: 28. Factorizar: a2 + b2 – c2 + 2ab; Indique (x2+y2)(xy +2)+(x2+y2)(x2–1)– (x2+y2) un factor primo21. Factorizar: 29. Factorizar: x2 – 49 (x+3y)(xy+2)+(xy+2)z +(x+3y+z)22. Factorizar: (x+y)(x–y+z) – (x2 – y2) – x – y 30. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de:23. Factorizar: a4 – b4 ; Señalar un factor x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 22y + 20 primo.24. Dar la suma de los términos 31. Indicar un factor primo de: independientes de los factores primos x2 + xy - 6y2 + 3x + 19y – 10 de: 2x2 – 7xy + 6y2 – 2x + y – 1232. Factorizar: Q(x) = 18x2 – 39x + 20; Indique cual es un factor primo. A) 6x + 1 B) 3x – 5 C) 3x + 4 D) 6x + 5 E) 3x – 433. Dar la suma de factores primos de: (x+7) (x2–6x) = (x+7) (5x–12) F) 3x + 9 G) 3x + 14 H) 3x+6 I) 3x + 8 J) 3x + 1034. Dar la suma de factores primos: (x - 5) (x2 – 6x) + (40 – 7x) (x – 5) K) 3x + 8 L) 3x – 18 M) 2x – 13 N) 2x + 8 O) 3x – 835. Indicar un factor primo de: 3x(x+2)(2x–3)+(14x+12)(2x–3) A) 6x + 4 B) 2x + 3 C) x + 2 D) 3x + 2 E) 3x + 536. Dar un factor primo de: 2x(x+2)(x+3) – 3(x+5)(x+3)A) x – 3 B) (x + 3)2 C) 2x – 5 D) 2x + 3 E) 2x – 337. Indicar la suma de factores primos de: 6x(2x–1)(2x+3) – (5x-2)(2x+3)F) 8x G) 9x H) 8x + 6 I) 9x + 6 J) 7x – 3 PRÁCTICA DOMICILIARIA
  • 87. 1. La suma de los factores de la expresión 9. Al factorizar x7-x3 + 8x4 indica el algebraica: x2 – xy – y – 1: número de factores primos. a) 2x – y b) x+y+1 c) 2x-y+2 a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2 d) x-y e) x+y2. Al factorizar: x+y+xy2+x2y-x3-y3 10. (x+y)3 – (x-y)3 en tres factores uno de dichos factores es: 11. 27x3 – (x – y)3 a) 1 + x + y b) 1+x-y c)1-x-y 12. x3 + x2 – 4x – 4 d) x-y-1 e) –x-y-1 13. a4 + a3 – 8a – 8 14. x6 – 2x3 + 13. Señala el factor primo de mayor grado 15. x5 – a2x3 – c3x2 + a2c3 contenido en: x2 + x4y2 – y4 – x2y6 16. 4a4 + b4 a) x+y3 b) x-y3 c) 1+x2y2 d) x+y2 e) x-y2 17. a4 + 5a2 + 9 18. 4a2 – b2 – 2ac + bc4. Halla el producto de coeficientes de un 19. x2+y2-z2 – 2xy factor primo de: 9x4+8x2y2 + 4y4 20. 16a2+b2 – c2 + 8ab a) 1 b) 6 c) 12 d) 18 e)21 21. 4m2+9y2 + 12my – 64 22. x3 + x2 – y2 – y35. Factoriza e indica un factor: 23. a4 – 625 x3 – 2x2y – xy2 + 2y3 24. x2y2 – 4x3 + 4xy2 – y4 a) x + 2y b) y – 2x c) x – y d) 2x+y e) x2 + y2 25. 8x3 – 12x2 – 2x + 3 26. 12xy2 + 8y3 + x3 + 6x2y6. Indica el factor primo cuadrático de 27. x4+x3 + x + 1 mayor suma de coeficientes, después de 28. a3 – a2 – a + 1 factorizar: x4+4x2 +16 29. a3 + a2 – 8a – 12 2 2 2 a) x + x + 2 b)x -x +2 c) x +9 30. x2 – 8xy3 + 15y6 2 2 d) x +2x+4 e) x + 7 31. 4x2 – 29x - 24 32. 9x2 + 109xy2 + 12y47. Hallar un factor de: x5 – 2x4 – x+2, señalando el factor de menor término 33. a2 – 2ab + b2 – 9 independiente: 34. 4m2 – 4mn + n2 – 49 a) x-1 b) x+1 c) x+3 35. x2 – y2 + 8y – 16 d) x-3 e) x+2 36. a4 – a2 + 2a – 1 37. 30ab – 25ª2 + 4c2 – 9b28. Factoriza y da como respuesta la suma 38. n4 + 2m2n2 + 9n4 de los factores de: 2 2 2 2 39. x4 – 7x2y2 + y4 9(x-y) + 12(x -y )+4(x+y) 40. 9a4 + 26a2 +25 a) y-5x b) 5x+y c) 5x-y d) 8x-3y e) 8x+3y 41. Uno de los factores de: 3m3 – 20 + 12m2 – 5m es:
  • 88. Factorización Segundo Año a) m + 3 b) m2+2 c) m – 4 43. ¿Cuántos factores lineales se obtienen d) m + 1 e) m + 4 al factorizar P(x)? Si: P(x)=18x4 + 25x2 – 342. ¿Cuántos factores primos tiene: a) 1 b) 2 c) 4 5 3 2 x – 4x + x – 4? d) 4 e) ninguno a) 1 b) 2 c) 4 44. ¿Cuántos factores lineales tiene P(c) si: d) 5 e) 3 P(x)=3x6 – 2x3 – 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TEMA Nº 09: FRACCIONES ALgEbRAICASCapacidades: Reconoce y clasifica una expresión algebraica racional. Opera con expresiones algebraica racionales. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:A) EFECTÚA 2) 5 1 5b + a + =1) − 2 1 − 4 + 1 − 3 −1 2 b ab + = = = 3 6 6 6 2 8 3 8x − 3 − = − 4 1 − 8 −1 − 9 4) x x2 x23) − = = 7 14 14 14 x +3 x −3 . = 1 2 6) x2 − 9 x − 2 x −1 x −15)Desarrollo del Tema: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALESUNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES RACIONAL, SI TIENE LA FORMA DE UNA FRACCIÓN. LLÁMESE FRACCIÓN ALGEBRAICA AL COCIENTE INDICADODE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, DONDE EL DENOMINADOR DEBE TENER AL MENOS UNA LETRA O VARIABLE.EJEMPLOS: a + 2b 6 x − 5 a 3 + b 3 − z 3 6m x 3 − 1 ; 4 ; ; ; a2 x a +b− z n x −1* EL DIVIDENDO ES EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN Y EL DIVISOR ES EL DENOMINADOR.1) CLASIFICACIÓN
  • 89. 1.1 FRACCIONES PROPIAS CUANDO EL NUMERADOR ES DE MENOR GRADO QUE EL DENOMINADOR. EJEMPLOS: x + 1 xy − 3 x + 6 x 2 + 5 x − 2 ; ; ; x 2 + 1 xy 2 + 1 x 3 − 2 x 3 − 3 x + 1 1.2 FRACCIONES IMPROPIAS CUANDO EL NUMERADOR ES MAYOR QUE EL DENOMINADOR. EJEMPLOS: x 2 + 2 x 2 −1 x5 + x 2 − 3 x 6 + x 4 + x 2 − 8 ; ; ; x x −1 x3 + x − 2 x 2 + 3x − 6 1.3 FRACCIONES HOMOGÉNEAS SON AQUELLAS QUE TIENEN IGUAL DENOMINADOR. EJEMPLOS: x 5x 2 − 5x 4 3x 5 ; 2 ; 2 ; 2 y2 + 2 y + 2 y + 2 y + 2 1.4 FRACCIONES EQUIVALENTES DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS SON EQUIVALENTES CUANDO TIENEN EL MISMO VALOR NUMÉRICO PARA LOS MISMOS VALORES OTORGADOS A SUS VARIABLES, A EXCEPCIÓN DE AQUELLOS QUE HAGAN CERO SU DENOMINADOR COMO POR EJEMPLO: 2 2 Son fracciones equivalentes para <> ( x + 3)( x + 2) x + 5x + 6 2 todo valor que tome “x” diferente de –3y -2 SIGNO DE EQUIVALENCIA 1.5 FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS CUANDO TIENEN COMO NUMERADOR Y/O DENOMINADOR OTRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS. EJEMPLOS: x 2 −1 +2 i= x +1 ii ) x +1 1 3 1− 3+ 1 3 1− 3+ x +1 x +1 1.6 FRACCIONES IRREDUCTIBLES SON AQUELLAS EN QUE SUS NUMERADORES Y DENOMINADORES SON EXPRESIONES PRIMAS ENTRE SÍ; ES DECIR, NO TIENEN FACTOR COMÚN. EJEMPLOS: x − 2 x 7 − 7 x 3 −1 ; ETC, SON FRACCIONES IRREDUCTIBLES. ; ; x + 3 x + 3 x +12) SIGNOS DE UNA FRACCIÓN
  • 90. Factorización Segundo Año LOS SIGNOS DE TODA FRACCIÓN SON TRES: EL SIGNO DE LA FRACCIÓN; EL SIGNO DEL NUMERADOR Y EL SIGNO DEL DENOMINADOR. EJEMPLO: Signo de la fracción (+) Signo del numerador (-) - 6x . Signo del denominador (+) +7x3) CAMBIOS DE UNA FRACCIÓN PODEMOS ANOTAR QUE: x −x x −x e indicar que el resultado es el =− =− = mismo si se cambian dos de los y y −y −y tres signos de la fracción. EJEMPLOS: 1) DADA LA FRACCIÓN: B –A Y –X CAMBIAMOS DE SIGNO Y ES TÉRMINO DEL NUMERADOR Y AL DENOMINADOR; OBTENIENDO: b −a −b+ a a −b = = y−x − y+x x− y 2) DADA LA FRACCIÓN: 5 . 1-X2 CAMBIAMOS DE SIGNO A LA FRACCIÓN A LOS TÉRMINOS DEL DENOMINADOR, OBTENIENDO: 6 6 6 =− =− 2 1− x 2 −1+ x 2 x −14) CAMBIOS DE SIGNOS A LOS FACTORES DEL NUMERADOR Y/O DENOMINADOR 1) CASO: CUANDO SE CAMBIA DE SIGNO A UN NÚMERO PAR DE FACTORES, LA FRACCIÓN NO CAMBIA DE SIGNO EJEMPLO: x. y x.(− y ) EJEMPLO 2: x. y (− x)(− y ) = = z.w z.(− w) z.w (− z )(− w) 2) CASO: CUANDO SE CAMBIA DE SIGNO A UN NÚMERO IMPAR DE FACTORES, LA FRACCIÓN SI CAMBIA DE SIGNOS. 1 1 x x EJEMPLO 1: = EJEMPLO 2: =− x −x y 2 (− y ) 2 x x EJEMPLO 3: =− yzw (− y )(− z )(− w)5) PRINCIPIOS ACERCA DE LAS FRACCIONES 1) AL MULTIPLICAR EL NUMERADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN TÉRMINO CUALQUIERA LA FRACCIÓN QUEDA MULTIPLICADA POR DICHO TÉRMINO. EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 3X . 5Y
  • 91. 2 z.3x 6 xz MULTIPLICA EL NUMERADOR POR “2Z”, OBTENIENDO: = 5y 5y 2) AL DIVIDIR EL NUMERADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN TÉRMINO CUALQUIERA, LA FRACCIÓN QUEDA DIVIDIDA ENTRE DICHO TÉRMINO. 16 x 3 EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 3x 16 x 3 : 4 x 4 x 2 DIVIDO AL NUMERADOR ENTRE “4X”, OBTENIENDO: = 3x 3x 3) AL MULTIPLICAR EL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN TÉRMINO CUALQUIERA, LA FRACCIÓN QUEDA DIVIDIDA ENTRE DICHO TÉRMINO. 3x EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 4y2 3x 3x MULTIPLICA AL DENOMINADOR POR “2Z”, OBTENIENDO: 2 = 2 4 y .2 z 8 y z 4) AL DIVIDIR EL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN ENTRE UN TÉRMINO CUALQUIERA, LA FRACCIÓN QUEDA MULTIPLICADA POR DICHO TÉRMINO. 6x EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 9x 3 6x 6x DIVIDO AL DENOMINADOR ENTRE “3X”, OBTENIENDO: 3 = 2 9 x : 3 x 3x 5) AL MULTIPLICAR LOS DOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN POR UN MISMO NÚMERO, TENDREMOS COMO RESULTADO OTRA FRACCIÓN EQUIVALENTE. EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 3x 5y MULTIPLICO LOS DOS TÉRMINOS DE LA FRACCIÓN POR “3X”; OBTENIENDO: 3x.3x 9 x 2 = 5 y.3 x 15 xy 6) AL DIVIDIR LOS DOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN ENTRE UN MISMO TÉRMINO, TENDREMOS COMO RESULTADO OTRA FRACCIÓN EQUIVALENTE. 8 xy EJEMPLO: SEA LA FRACCIÓN: 6 xz DIVIDO LOS DOS TÉRMINOS DE LA FRACCIÓN ENTRE “2X”; OBTENIENDO: 8 xy : 2 x 4 x = 6 xz : 2 z 3 z6) SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN ALGEBRAICA ES TRANSFORMARLA EN OTRA EQUIVALENTE E IRREDUCTIBLE. PARA SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN SE SUGIERE LO SIGUIENTE: 1) FACTORIZAR EL NUMERADOR Y DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN. 2) SE ELIMINA LOS FACTORES COMUNES (SE CANCELAN) EJEMPLO 1: SIMPLIFICAR: 6X3- 9X2 Recuerda que : 3AX2 A - Bx A − B ≠ Cx C
  • 92. Factorización Segundo Año SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS EL NUMERADOR: ENTONCES: 6 x 3 − 9 x 2 3x 2 (2 x − 3) 2 x − 3 = = 3ax 2 3ax 2 a EJEMPLO 2: SIMPLIFICAR: x 2 + 5x + 6 x2 + x − 2 SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS NUMERADOR Y DENOMINADOR: x 2 + 5 x + 6 ( x + 2)( x + 3) x + 3 ENTONCES: = = x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) x − 1 EJEMPLO 3: SIMPLIFICAR: x2 − 9 x2 − x − 6 x3 − 8 EJEMPLO 4: SIMPLIFICA: = x2 − 4 : ACTIVIDADSIMPLIFICA: ab a2x1) 22) 3ax 5a 3bx 2 2) 2a 2 23) 6bx 2 − 6b 3 y 34) 12b 2 y 12ax 2 − 18b 3 y 2 x 3) − 9a 2b 2 8x3 y 37) 5) 3ab 2 − 27 a 3b 3 32 x 5by 4 3a + 6ab 6) − 5x y 2 8) 9 xy 2 − 2 x 3 y 510) 15 x y 2 − 10 x 3 y 2 xy 2 9) x2 y2 25a 3b 4 + 30a 4b 313) x + 5x + 6 2 10a 3b 2 x 11) 3x 3 y 3 − 2 x 4 y 4 x+2 12) x + 6x + 9 2 y 2 + 7 y + 1216) x − 6x + 8 2 14) y +4 x +3 x−4 15) x − 7x + 6 2 x 2 − 8 x + 1519) x2 − 9 17) x −6 x −3 ( x − 3) 2 18) ( x + 5) 2 x 2 −1 2+a 20) x 2 − 25 x 3 −1 4 − a2 9a 2 − 25 x 2 125 x 3 − 64 y 3 3a + 5 x 25 x 2 −16 y 2
  • 93. 24)21)7) REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR PARA TRANSFORMAR VARIAS FRACCIONES EN OTRAS DEL MISMO DENOMINADOR SE HALLA EL M.C.M. DE TODOS LOS DENOMINADORES Y SE MULTIPLICAN LOS DOS TÉRMINOS DE CADA FRACCIÓN POR EL COCIENTE QUE RESULTA DE DIVIDIR EL M.C.M. POR EL DENOMINADOR RESPECTIVO. EJEMPLO 1: REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS FRACCIONES: 2 ; 5 ; 7 . 2 2 5X 3XY 9X Y SOLUCIÓN: PRIMERO SE BUSCA EL M.C.M. DE: 5X; 3XY; 9X2Y2  M.C.M. ES: 45X2Y2 LUEGO SE PROCEDE: 18XY2 ; 75XY ; 35 . 2 2 2 2 45X Y 45X Y 45X2Y2 EJEMPLO 2: REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS FRACCIONES: 2 ; 5 ; X +4 2 X X+1 X –1 SOLUCIÓN: M.C.M. ES: X(X+1)(X-1) 2(X+1)(X-1) ; 5X(X-1) ; X(X+4) . X(X+1)(X-1) X(X+1)(X-1) X(X+1)(X-1) ACTIVIDADREDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS SIGUIENTES FRACCIONES: a 3x 51) 3 2 5 xy 2) ; ; ; ; 3x 4 x 2 2 x 3 x y z 4 x 5 x 3a 3a 4b 6 4) ; ;3) ; ; 3xy xy 6 2 x 3x 9 x ab 3ab 1 x xy 3 x 2 − 2 xy 6) ; ;5) ; ; 3 + x 3 − x 9 − x2 x + y x − y x2 − y2 2 5 12 8) ; ; 27) 3x 5 x 6c − 10 2 2 x + 2 3x − 3 6 x − 6 ; ; x + 2 x − 2 x2 − 4 3a 8 3 10) ; ;9) 2a 3b 5x x − 16 3x + 12 4 x − 16 2 ; 2 ; ( x + 1) x − 1 2 x + 2 28) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
  • 94. Factorización Segundo Año 8.1 SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS SUMA DE DOS O MÁS FRACCIONES ES HALLAR UNA NUEVA FRACCIÓN; VEAMOS LOS SIGUIENTES CASOS:1 CASO: SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON IGUALES DENOMINADORES ERPARA SUMAR DOS O MÁS FRACCIONES QUE TIENEN IGUALES DENOMINADORES, SE SUMAN SOLAMENTE SUS NUMERADORES, DEJANDO ELMISMO DENOMINADOR.EJEMPLO 1: SUMA : 3a b 2a + + 5x 5x 5x 3a b 2a 3a + b + 2a 5a + bSOLUCIÓN: + + = = 5x 5x 5x 5x 5x 2 6m 4mEJEMPLO 2: SUMA: + + x+5 x+5 x+5 2 6m 4m 2 + 6m + 4mSOLUCIÓN: + + = x+5 x+5 x+5 x+5 2 CASO: SUMA DE FRACCIONES CON DISTINTOS DENOMINADORES DOPARA SUMAR DOS O MÁS FRACCIONES CON DISTINTOS DENOMINADORES, SE PROCEDE DE L SIGUIENTE MANERA:1) SE SIMPLIFICA CADA FRACCIÓN DADA, SI FUERA POSIBLE.2) SE HALLA EL M.C.M. DE LOS DENOMINADORES.3) SE DIVIDE EL M.C.M. HALLADO ENTRE CADA UNO DE LOS DENOMINADORES Y EL RESULTADO SE MULTIPLICA POR EL RESPECTIVO NUMERADOR.4) SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES EN EL NUMERADOR QUE EL DENOMINADOR.5) SE SIMPLIFICA LA FRACCIÓN RESULTANTE, SI FUERA POSIBLE.EJEMPLO 1: SUMA : 2x 5 y + 3y 2 y2 2 x 5 y 2 x(2 y ) + 5 y (3) 4 xy + 15 y y (4 x + 15) 4 x + 15SOLUCIÓN: + = = = = 3y 2 y 2 6y2 6y2 6y2 6y x+3 x−2EJEMPLO 2: SUMA: = x +1 x2 −1SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS LOS DENOMINADORES: x+3 x−2 ( x + 3)( x + 1) + ( x − 2)(1) x 2 + 2 x − 3 + x − 2 x 2 + 3 x − 5 + = = =( x + 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x2 −1EJEMPLO 3: SUMA: . 1 2 1 M = + 2 + 2 x − 5 x − 8 x + 15 x − 5 x + 6SOLUCIÓN: 1 2 1 M = + + ( x − 5) ( x − ) ( x - ) ( x − ) ( x - ) M = ( x − 5)( )( )
  • 95. 8.2 RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 1 CASO: RESTA DE FRACCIONES QUE TIENEN CON IGUALES DENOMINADORES ERPARA RESTAR UNA FRACCIÓN DE OTRA Y TENIENDO AMBAS IGUALES DENOMINADORES, SE BUSCA LA DIFERENCIA ENTRE SUS NUMERADORES,DEJANDO EL MISMO DENOMINADOR.EJEMPLO 1: DE : 3A RESTA 3B EJEMPLO 2: DE 3X RESTA: 5Z 5X2 5X2 8 Y3 8Y3SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:3a 3b 3a − 3b − 2 = 3x 5 z 3x − 5z5x 2 5x 5x2 2 − 2 = 8y 8y 8y 2 EL SIGNO NEGATIVO DELANTE DE UNA FRACCIÓN: CUANDO DELANTE DE UNA EXPRESIÓN HAY EL SIGNO (-); ESTE SIGNO AFECTA A TODOS LOS TÉRMINOS DEL NUMERADOR O SEA AL EFECTUAR LA RESTA SE CAMBIAN LOS SIGNOS EN EL NUMERADOR. 3x − 2 x − 5 (3 x − 2) − ( x − 5) 3x − 2 − x + 5 2 x + 3EJEMPLO : − = = = y+3 y+2 y+3 y+3 y+3 2 CASO: DO RESTA DE FRACCIONES QUE TIENEN DISTINTOS DENOMINADORESPARA RESTAR UNA FRACCIÓN DE OTRA QUE TIENEN DISTINTOS DENOMINADORES, SE PROCEDE DE LA SIGUIENTE MANERA:1) SE SIMPLIFICA CADA FRACCIÓN DADA, SI FUERA POSIBLE.2) SE HALLA EL M.C.M. DE LOS DENOMINADORES.3) SE DIVIDE EL M.C.M. HALLADO ENTRE CADA UNO DE LOS DENOMINADORES Y EL RESULTADO SE MULTIPLICA POR EL RESPECTIVO NUMERADOR.4) SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES EN EL NUMERADOR Y EN EL DENOMINADOR.5) SE SIMPLIFICA LA FRACCIÓN RESULTANTE, SI FUERA POSIBLE. 5x − 3 2 x 2 − 4 x + 2EJEMPLO 1: EFECTÚA : − x +1 x2 −1SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS LOS DENOMINADORES:5 x − 3 2 x 2 − 4 x + 2 (5 x − 3)( x − 1) − (2 x 2 − 4 x + 2)(1) 5 x 2 − 8 x + 1 − 2 x 2 + 4 x − 2 − = =( x + 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) 3x 2 − 4 x − 1 (3x − 1)( x − 1) 3 x − 1= = = ( x + 1)( x − 1) ( x + 1)( x − 1) x +1EJEMPLO 2: EFECTÚA: 3x 4x + 4 − 2 x + 4x + 3 x − 2x − 3 2SOLUCIÓN : FACTORIZAMOS LOS DENOMINADORES: 3x 4x + 4 − =( x + 3)( x + 1) ( x − 3)( x + 1)
  • 96. Factorización Segundo Año 8.3 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON FRECUENCIA SE PRESENTAN CASOS EN LOS CUALES HAY LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA EN UN MISMO EJERCICIO, EN ESTE CASO SE TRATA TAN SÓLO DE LA REDUCCIÓN DE SUS TÉRMINOS. SI DICHAS FRACCIONES TIENEN DISTINTOS DENOMINADORES SE LES REDUCE AL COMÚN DENOMINADOR Y LUEGO SE EFECTÚAN LAS OPERACIONES INDICADAS. 2a 2 − x 2 4x 5EJEMPLO 1: EFECTÚA: 3 − 2 + 3x 6x 8xSOLUCIÓN: 2a 2 − x 2 4 x 5 8( 2a 2 − x 2 ) − 4 x (4 x) + 3 x 2 (5) − 2+ = 3x 3 6x 8x 24 x 3 16a 2 − 8 x 2 − 16 x 2 + 15 x 2 16a 2 − 9 x 2 = = 24 x 3 24 x 3EJEMPLO 2: REDUCE: x +3 x −2 4 E= − + 4−x 2 4 − 2x 4 + 2xSOLUCIÓN: x+3 x−2 4 E= − + ( 2 + x)(2 − x) 2(2 − x) 2(2 + x)DAMOS COMÚN DENOMINADOR, SIENDO ESTE: 2(2+X)(2-X) 2( x + 3) − ( x − 2)(2 + x) + 4( 2 − x)E= 2(2 + x)(2 − x) 2x + 6 − (x 2 − 2 2 ) + 8 − 4xE= 2(2 + x)(2 − x) 2x + 6 − x 2 + 4 + 8 − 4xE= 2(2 + x)(2 − x) − x 2 − 2 x + 18E= 2(2 + x)(2 − x) − x 2 − 2 x + 18E= 2(4 − x 2 )
  • 97. PRÁCTICA DE CLASEEFECTÚA LAS SIGUIENTES SUMAS Y RESTAS: 3x 2 8 3ab ab 5ab1) + + + + x + 4 x + 4 ´x + 4 2) 2+ x 2+x 2+x 3c c 6c x + 1 x − 1 3x + 83) + + + + 5x + 2 y 5x + 2 y 5x + 2 y 4) x −1 x −1 x −1 3a 8a a 2 xy 6 xy xy5) + + + + 5 3 2 6) 3 4 6 5a 3a a x +5 x +3 x −57) + + 8) + + 8x 4 x 2 x 8 4 6 2 xy 3y 3 4 xy 3 6 4 − 20 x9) + 2 + + + x−y x −y 2 x+ y (1 − 2 x) (1 + 2 x ) 1 − 4 x 2 10) 2a 3x 5 x 2 + 2a 2 2ax + x 2 3x 5 x 2 + 2a 2 + + 2 + + 211) (a + x) (a − x) a − x2 (a − x) 2 (a − x) a − x2 12) 5 2 10(5 x 2 − 2 x) 2( x + 2) 3( x + 1)13) + + − 3(1 + 5 x) 2 − 10 x 1 − 25 x 2 2x −1 2x −1 21) 5( 2 + x ) 2(3x − 1) 2x 115) − 14) − x +1 x +1 x −y 2 2 x+ y 2x 5 − x2 16) x +1 x −1 − −17) x +1 x2 −1 x −1 x +1 x − 2y xy + 3 y 2 5x + 2 15 x − 2 18) − 219) x+ y x + 2 xy + y 2 x − 3 x − 3x 2x +1 3x − 2 x+2 x −3 − 2 − 2 x − 4x + 3 x − 5x + 4 2 x + 8 x + 15 x − 2 x − 15 2
  • 98. Factorización Segundo Año20) 22)
  • 99. PRÁCTICA DOMICILIARIAHALLA EL RESULTADO DE CADA UNA DE LAS OPERACIONES SIGUIENTES: 3a 5a a 15a 2 x +1 x −1 8 x 12 x1) + − − 2) − + − 2 7 14 6 4 5 10 20 x 2 + 2 x x 2 − 3x x 2 x x y x+y3) − − − 4) + − 4 6 3 12 y x y5) 3 5 2x 6)  x −1 x − 2   x + 3 x − 6  − −  +  − −  1+ x 1− x 1− x2  10a 15a   4a 6a 7) x 2 − 2x + 1 x − 3 5 x 2 + 2x − 3 8) 4 −x 3( x −1) 5( x 2 − 2 x) − + − + − 3 42 14 4 2x −3 2x +3 4x 2 −99) x 2 − 2x +1 x 2 + 2x + 1 2x 4 − 3 x −3 x +4 x +1 − 2 + 10) − + 4 x 2 − 8x + 4 4 x + 8x + 4 2 3x − 3 2 x + 2 x −1 2x 5x − 1 x +1 3x + 2 x − 3 x + 211) − 2 + 2 12) − + 3 x − 12 6 x − 12 4 x + 8 x 2 x −1 x + 2 x −3 x3 x2 x 1 x x− 3 x 113) − + + 14) + − + x −1 x + 1 x −1 x +1 x + 2 x − 3 (1 − x)( x + 2) (1 − x)( x + 2)( x + 3) x + 2 2 1 b − 2a a 2a 3 1 1 115) + 2 − 2 + 4 16) + − a + b a − b2 a + b2 a − b4 x −y 2 2 x+ y x−y 2 x − y 12 x 2 − 4 xy − 2 y 2 7x 2 1 117) − + 18) − + 2 x−y 3x − 3 y 2 2 3x + 3 y ( x + 2)( x − 2) x x − 4 8.4 PRODUCTOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS SE PROCEDE COMO SIGUE: 1) SE FACTORIZAN LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE LAS FRACCIONES QUE SE VAN A MULTIPLICAR. 2) SE SUPRIMEN (CANCELAN) LOS FACTORES COMUNES EN EL NUMERADOR Y DENOMINADOR. 3) SE MULTIPLICAN TODOS LOS FACTORES QUE QUEDAN EN LOS NUMERADORES, EL RESULTADO ES EL NUMERADOR DEL PRODUCTO Y DE IGUAL FORMA SE MULTIPLICAN TODOS LOS FACTORES QUE QUEDAN EN LOS DENOMINADORES, EL RESULTADO ES EL DENOMINADOR DEL PRODUCTO. x 2 − 9 x 2 + 3x + 2EJEMPLO 1: EFECTÚA: . x2 − x − 6 x2 −1
  • 100. Factorización Segundo AñoSOLUCIÓN:FACTORIZAMOS LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE CADA FRACCIÓN SE OBTIENE: x 2 − 9 x 2 + 3x + 2 ( x + 3)( x − 3) ( x + 2)( x + 1) x + 3 . = . =x2 − x − 6 x2 −1 ( x − 3)( x + 2) ( x + 1)( x − 1) x − 1EJEMPLO 2: EFECTÚA: x 2 − 81 x + 11 x 3 + 5 x 2 2 x − 12 . . . 2 x 2 + 10 x x 2 − 36 2 x + 22 2 x + 18SOLUCIÓN:FACTORIZANDO LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE CADA FRACCIÓN SE TIENE:( x + 9)( x − 9) ( x + 11) x 2 ( x + 5) 2 ( x − 6) ( x − 9).x x 2 − 9 x . . . = = 2 x( x + 5) ( x + 6)( x − 6) 2( x + 11) 2 ( x + 9) 4( x + 6) 4 x + 24 8.5 COCIENTES DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS EL COCIENTE DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS SE OBTIENE MULTIPLICANDO LA FRACCIÓN DIVIDENDO POR EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE LA FRACCIÓN DIVISOR. A C A D : = . B D B C DIVIDENDO DIVISOR DIVISOR INVERSO MULTIPLICATIVO DEL DIVISOR x 2 + 7 x + 12 x 2 + 4 x + 3EJEMPLO 1: EFECTÚA: : 2 x2 + x − 2 x −x−6SOLUCIÓN:FACTORIZAMOS E INVERTIMOS LA FRACCIÓN DIVISOR:( x + 3)( x + 4) ( x − 3)( x + 2) ( x + 4)( x − 3) x 2 + x − 12 . = =( x + 2)( x − 1) ( x + 3)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x2 −1  x + 2 x + 1 2x + 5EJEMPLO 2: EFECTÚA: R =  − :  2 6  3SOLUCIÓN:DAMOS COMÚN DENOMINADOR A LAS FRACCIONES QUE ESTÁN ENTRE PARÉNTESIS:  3( x + 2) − 1( x + 1)  2 x + 5 2 x + 5 3 1 1R= : = . = ⇒R=  6  3 6 2x + 5 2 2 PRÁCTICA DE CLASE
  • 101. MULTIPLICA Y DIVIDE LAS SIGUIENTES FRACCIONES ALGEBRAICAS: 3( x + y ) x 2 − y 21) . 2a x 2 − y 2 2( x − y ) 6x . 2) x−y 8ax 15 x − 30 3x3) . (a − 1) 2 4 y (a + 1) 2x 5 x − 10 . 4) 2y2 a 2 −1 5a + 5 2a − 2 25) . 4a 2 + 4a x2 − y2 2a + 4a + 2 10(a 2 − 1) 2 . 6) x 2 − 2 xy + y 2 8(a + 1)7) x 2 + 11x + 30 x 2 − 25 . 2 2a 2 + 5a + 3 3a 2 − a − 2 x 2 + 7 x + 10 x + 10 x + 25 . 3a 2 + 8a + 4 2a 2 + a − 3 8) 2 x y xy2 x −y 2 29) . . a 2 − b 2 64 − x 3 a 2 + ab + b 2 y a( x + y ) axy . . 10) 16 − x 2 a 3 − b 3 16 + 4 x + x 2 x 2 + 10 x + 16 x 2 + 9 x + 811) : x 2 + 9 x + 20 x 2 + 6 x + 5 12) 2a 2 + 7 a + 5 2a 2 + 3a − 5 36 − a 36 + 12a + a 2 2 :13) : 2 a 2 + 3a + 2 4a 2 − 4 a − 7a + 12 a − 5a + 6 2  2a 2b 2ab 2   2ab   1 1   2x  14)   a + b + a − b  :  a 2 + 2ab + b 2  15)  − : 2      1 − x 1 + x  1 − 2x + x   2a + 2 a   a + 3 a − 2   x +1 x   x +1 x  16)  + : − 17)  − : +   4 5  3 2   2 6  3 6 18)  6 − 6x   6 4   a 2 + 2a + 1   a + 1 a 2 + 3a + 2   : +   x −1   5 x − 2 3x −1   a 2 − 1  :  a − 1 : (a − 1) 2 19)         20)  3 x 2 + 8 x + 4 5 x 2 + 11x + 2   3 x + 2    2 x + 1 : (2 x ) 2 − 1  :  2 x − 1      
  • 102. Factorización Segundo Año PRÁCTICA DOMICILIARIAEFECTÚA LAS SIGUIENTES OPERACIONES INDICADAS:  3 + x3  (1 − x )1 + x +  2    1  11)  1− x  1 − 1 +   a + 1  a 2)  2x  2 ( ) 2 a − x +  a − x2  2 xy  2 xy   a+ x x +   y − 3)    x − y   x+y  4) a+b  2 x  2   − a − b    4 1  2 1 5)   a − 2  a +   4x  a + b   a  a 6)  b − a  ab − a 2   2 2x 2 + x   2 x −1  a − 1 −  x − x +  :  2 x −1 + 7)  1 + ab   1 + ab     4    5  8)  2 + a 2 + 2a   a + 1   9 − x2 3−x  2 +x  1 − :     2a + 3   6a + 9    9 + 6 x + x 2 : 3 + x  :  3 x −1 9)     x 10) x+ a −b 1− x −1 a +b11) x a +b x− −1 x −1 a −b 12) 1 x 1− 1−13) 1 1+ 2x 2 1+ x + x 14) 1− x 1 x a 1 +15) 1− x −a x +a 1 x a 1+ 16) − x x −a x +a a −1 b −1 c −1 a −1 b −1 c −1 + + + +17) a b c a b c 1 1 1 1 1 1 + + − + a b c 18) a b c x+ y x2 − y2 ax + a a +1 1+ 1+ 2 − +1 x− y x + y2 ax + 1 ax + 1 : a + 1 ax + a19) x+ y x2 − y2 20) − +1 1− 1− 2 x− y x + y2 ax + 1 ax + 1 PRÁCTICA DOMICILIARIA
  • 103. 1. Después de simplificar: (a 3 + b 3 ) 2 − (a 2 + b 2 ) 3 x −y 2 xy − y 2 2 8. Reduce: R = − ; resulta: ( a + b ) 2 − 4( a 2 + b 2 ) xy xy − x 2 a) x b) y c) 0 a) ab( a + b ) 2 2 y x d) 1 e) x2 y a2 + b2 b) ab2. Señala el resultado de: 8 2 1 ab(a + b) R= + 2 + c) ( x + 3)( x − 1) x + 3 x + 1 2 2 a2 + b2 a) 1 b) x-1 c) 0 d) 1 e) x+2 d) a2b2 x-1 a3 + b33. Suma: e) xy ( x − a )( y − a ) ( x − b)( y − b) a2 + b2 Q= + + ab a ( a − b) b(b − a) 9) Señala el numerador resultante al efectuar y a) 1 b) x-a c) y-a reducir a su mínima expresión: d) x-b e) y-b x 2 + 5x + 6 x2 + x − 6 + 3 2x 3 + 6x 2 + 4x 2x − 6x 2 + 4x x −1 x− a) x(x+1) b) x(x+2) c) x +1 x(x+3)4. Reduce: M = x( x − 1) d) x(x+4) e) x(x+5) 1+ x +1 10) Efectuar: a) 0 b) 1 c) x a 2 ( a + x ) 2 (a + y ) 2 d) –x e) x+1 M = + 2 + 2 xy x − xy y − xy ( x + y ) 2 − ( xy + 1) 25. Simplifica: T = x2 −1 11) Calcular el valor de: a) x2-1 b) 1-x2 c) y2-1 an bn + d) 1-y2 e) x2 2na n − 2nx 2nb n − 2nx an + bn Para: x =6. Al reducir: 2 1 1 2 + − 2 ; 12) Reducir:x − 3 + 2 x 1 − 3x + 2 x 3 x + 10 x + 3 2 2Se obtiene: (a 2 ) ( 2 + ax + x 2 − a 2 − ax + x 2 ) 2 a) 1 b) x c) 0 (a + x ) 3 − (a − x ) 3 d) x-1 e) x+1 13) Reducir: ( x + y) − ( x − y) 4 4 a 3 + 2a 2b + 2ab 2 + b 3 17. Simplifica: K = − a + a b + ab + b 3 2 2 3 a b 8 x 3 y + 8 xy 3 + b a a) 0 b) 1 c) x d) y e) xy TEMA Nº 10: RELACIONES bINARIAS
  • 104. Factorización Segundo AñoCapacidades: Conoce el concepto de correspondencia y relación. Calcula el producto cartesiano de dos conjuntos. Conocer la dependencia e independencia que existe entre variables.Desarrollo del Tema: RELACIONES BINARIASPar Ordenado.- Un par ordenado de elementos es un conjunto de dos elementos a ^ b, el parordenado se escribe: (a , b).Donde:“a” es el primer elemento llamado también primer componente, y“b” segundo elemento o segundo componente del par, por lo tanto ahora, es: (a ; b) ≠ (b ; a)Dicho de otro modo: si dos pares ordenados son iguales, sus componentes deben serrespectivamente iguales, así: (a ; b) = (c ; d) ; quiere decir a = c ∧ b = dObservaciones:- Es distinto el par ordenado (2 ; 3) y el conjunto {2 ; 3}; pues en el último el orden no es esencial, mientras que en el primero sí, o sea: (2 ; 3) ≠ (3 ; 2)  El orden si interesa. {2 ; 3} = {3 ; 2}  El orden no interesa, porque los dos son conjuntos.- Es de notar que los componentes de un par ordenado no necesitan ser diferentes esto es: (3;3) ; (4;4) ; (5;5); (1;1) son pares ordenados válidos.PRODUCTO CARTESIANODefinición.- Dados los conjuntos A ∧ B el producto cartesiano de A por B, es el conjunto detodos los pares ordenados (a ; b) tal que a Є A ∧ b Є B.Se denota por “A x B”, se lee: “A por B” o “A aspa B”.Ejemplo: Dados los conjuntos: simbólicamente: A = {2 ; 3 ; 4} ∧ B = {3 ; 5} A x B = {(a ; b)/ a Є A ∧ b Є B} A x B = {(2,3) , (2,5) , (3,3) , (3,5) , (4,3) , (4,5)}Representación gráfica del producto cartesiano de los conjuntos.- Puede hacerse de lassiguientes formas: a) Diagrama de Caminos c) Diagrama de árbol b) Diagrama Sagital d) Diagrama Cartesiano Ejemplo: Sean: A = {1 ; 2} ∧ B = {a , b , c} Luego: A x B = {(1,a) , (1,b) , (1,c) , (2,b) , (2,b) , (2,c)}
  • 105. a) Diagrama de Caminos de A x B b) Diagrama Sagital A x Bc) Diagrama del Árbol de A x B d) Diagrama Cartesiano de A x B B c b a 1 2 AObservación.- Recuerda que A x B ≠ B x A; siempre y cuando A ∧ B sean conjuntos. Si Atiene 2 elementos, B tiene 3 elementos, entonces A x B; tendrá: 2 x 3 = 6 elementos.TABLA DE DOBLE ENTRADA A B a b c 1 (1,a) (1,b) (1,c)  A x B {(1,a) (1,b) (1,c), (2,a) (2,b) (2,c)} 2 (2,a) (2,b) (2,c)Ejercicios:1. Si: A = {1 ; 6} ∧ B = {2 , 4}; halla: A x B, luego B x A, representa gráficamente cada producto en diagramas cartesianos.2. Dado: A = {2; 4; 6}, halla: A x A.3. Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {a ; b ; c}, halla A x B y representa en el diagrama del Árbol.4. Dados: A = {3;4} ; B = {2 ; 4) ∧ C = {5; 6} Halla: a) A x {B∪C} b) (A x B) ∪ (A x C).5. De las afirmaciones siguientes coloca en cada paréntesis una “V” si es verdadero y una “F” si es falsa. a) (32;4) = (9;22) … ( ) f) (52;7) = (25;7) … ( ) b) (1:8) = (12;23) … ( ) g) (6;0) = (25;7) … ( ) c) (3-1;6) = (1/3;6)… ( ) h) (2 ;9) = (43;32) … ( ) 4 d) (50;√9) = (1;3) … ( ) i) (2-3;8) = (1/8;8) … ( ) e) (9;3) = (3;√81) … ( ) j) (13;4) = (4 ; 1) … ( )
  • 106. Factorización Segundo Año6. En cada ejercicio halla el valor de “x” y el valor de “y”; para que exista igualdad de pares ordenados. a) (x + 2; 5) = (6; y-3) b) (2x ; 1) = (8; y-5) c) 8-5 ; 2y) = (x + 1; -10) d) x + 1 ; 1 = 2; y–2 3 2 4 e) 6; -3 = (3 ; -3) x y f) 2-x ; -5 = -2 ; 3-y 3 6 37. Halla el conjunto de A x B sabiendo que: A = {xЄN / 3 ≤ x < 6} ∧ B = { xЄZ / -2 < x ≤ 2} y elabora un diagrama cartesiano para representar dicho producto.8. Hallar el conjunto de E x F, sabiendo que: E = { xЄZ / -3 ≤ x < 2} ∧ F = { xЄZ / -2 < x ≤ 3}. Elabora una diagrama cartesiano para representar dicha propiedad.9. Halla el conjunto de A x B, sabiendo que: A = {2x – 1 / -2 ≤ x ≤ 1 ; x Є Z} ∧ B = {3x + 1 / -2 < x ≤ 0 ; x Є Z}. Elabora un diagrama sagital, para representar dicho conjunto.10. Halla el conjunto de A x A sabiendo que: A = {x2 + 2 / -1 ≤ x < 3 : x Є Z} => x : -1, 0 , 1, 2. Elabora un diagrama cartesiano para representar dicho conjunto. ACTIVIDADEjercicio 1: De las afirmaciones siguientes: cuales son verdaderas? Coloca una dentro delparéntesis ¿Cuáles son falsas? Coloca una F dentro de los ( ).a) (x ; y) = (y ; x) ( ) f) (11°, 32) = (1 ; 9) ( ) 3 2b) (x ; y) = (x ; y) ( ) g) (2 ; 7) = (3 ; 7) ( ) 2c) (25 ; 4) = (5 = 4) ( ) h) (x ; y) = (y ; x) ( ) 4 3 3 0 5d) (81 ; 64) = (3 = 4 ) ( ) i) (5 : 4 ) = (3 ; 1) ( ) 4 2e) (2 ; 5) = (4 ; 5) ( ) j) (√81; 2) = (9 ; √4) ( )Ejercicio 2: Si: (4 ; 7) = (a ; b) y (a ; b) = (x ; y); ¿Cuánto vale “y”?Solución:Ejercicio 3: Si: (a + 1 ; 4) = (3 ; t); }¿Cuánto vale t y cuánto vale “a”?Solución:
  • 107. Ejercicio 4: Si: (3a ; 5) = (6 ; y) ¿cuanto vale “a”?Solución:Ejercicio 5: Si: x + 3 ; 7 (x ; 7) ¿Cuánto vale “x”? 2Solución:Ejercicio 6: Si: (82 ; 2) = (x6 ; 22) ¿Cuánto vale “x”?Solución:Ejercicio 7: Si x+1;6 = 2 ; y – 1 ; ¿Cuánto vale x+y 4 2 2Solución:Ejercicio 8: Si: (n ; 3) = (x ; y) y (x ; y) = (6 ; 3); escribe dentro de cada paréntesisuna F o una V, según sea Falsa o Verdadera en cada una de las siguientes afirmaciones:a) (6 ; 3) = (y ; x) ( ) d) (3, n) = (x ; y) ( )b) (x ; y) = (n ; 3) ( ) e) (6;y) = (n ; 3) ( )c) (x ; y) = (6 ; 3) ( ) f) (6 ; y) = (3 ; n) ( )Ejercicio 9: Escribe los pares ordenados de cada producto cartesiano y observa si se cumplela propiedad conmutativa gráfica en un diagrama cartesiano:a) A = {5 ; 2} ∧ B = (3 ; 7) Solución: A x B= { B x A = {b) P = {3 ; 5 ; 9} ∧ Q = {6 ; 0 ; 8} => P x Q ∧ Q x Pc) M = {a ; b ; c ; d} ∧ N = {3 ; 6} => M x N ∧ N x MEjercicio 10: Si A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ∧ B = {a ; b ; c}Hallar A x B y grafica el producto-a) En un diagrama de caminos. d) En diagrama cartesiano.b) En un diagrama de árbol. e) Construir una tablac) En un diagrama de Sagital de doble entrada.Ejercicio 11: Si A = {xЄN / 3 < x < 7} ∧ Q = {xЄN / 4 ≤ x ≤ 6}Halla: A x BEjercicio 12: Si: P = {xЄN / 2 ≤ x < 5} ∧ Q = {xЄN / 7 < x < 10}Halla: P x QEjercicio 13: Si: M = {xЄN / 0 ≤ x ≤ 2} ∧ N = {xЄN / 2 < x < 6}
  • 108. Factorización Segundo AñoHalla: M x NEjercicio 14: Si: R = {xЄN / 1 < x < 4} ∧ S = {xЄN / 3 ≤ x < 5}Halla: R x SEjercicio 15: Si: P = {1; 2; 3} ∧ Q = {2 ; 6} Halla: (P∪Q) x QEjercicio 16: Si: M = {3 ; 4 ; 6} ∧ N = {3 ; 6 ; 7}Halla: (M∩) x MEjercicio 17: Si: E = {3; 4; 5} ∧ F = {4; 5; 6}.Halla: (E – F) x F.Ejercicio 18: Si: A = {2; 3; 4} ∧ B = {5; 1; 8} ∧ C = {3; 1; 6}Halla: a) (A∪B) x C b) A x (B∪C) c) A x (B – C)Ejercicio 19: Halla los pares ordenados correspondientes a los puntos: P1; P2; P3; P4; P5; P6^P7 que aparecen en los diagramas (1) ∧ (2).Ejercicio 20: Dado el conjunto : A = {1; 2; 3; 4}. Calcula la diagonal del productocartesiano:A x A. Trazar su gráfico.
  • 109. NOCIÓN DE CORRESPONDENCIAEste diagrama es el diagrama de flechas del producto A x B. Observa que se ha unido con flechas cada elemento de “A” con todos los elementos de “B”. Estos son los pares de elementos que forman el producto A y B.A x B = {(a; ), (a, ), (a, ), (e, ), (e, ), (e, ), (i, ), (i, ), (i, )}Ahora unimos los elementos de A con algunos de B. Al conjunto “A” se le llama conjunto de Partida y al conjunto B se le llama conjunto de llegada. Los pares de elementos correspondientes que se ha formado en éstos dos últimos conjuntos, son:S = {(a ; ), (e ; ), (i ; ), (i ; )}Observa que: SC A x B (El grupo “S” es un subconjunto del producto A x B) S es una correspondencia de A hacia BUna correspondencia de A hacia B es un subconjunto del producto cartesiano A x B.CORRESPONDENCIA UNÍVOCA.- Una correspondencia es unívoca cuando de cada elementodel conjunto de partida sale una sola flecha al conjunto de llegada.Ejemplo:CÓMO CONSTRUIR UNA CORRESPONDENCIA ENTRE DOS CONJUNTOS:Para construir una correspondencia, basta dar el conjunto de Partida A, el conjunto de llegadaB, y el grafo o subconjunto del conjunto producto A x B. Estos son los tres elementosesenciales de una correspondencia.Ejemplos: Sean: A = {a; e; i; o; u} ∧ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}La correspondencia de A hacia B, es: S = {(e;2), (e;3), (0;1), (0;3), (u;6)} grafo
  • 110. Relaciones Binarias Segundo AñoLa correspondencia así definida puede también expresarse por cualquiera de los tresdiagramas siguientes: DIAGRAMA TABULAR (TABLA DE DOBLE ENTRADA) B 1 2 3 4 5 6 A a e (e,2) (e,3) i o (0,1) (o,3) u (u,6) DIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANO B 6 5 4 3 2 1 a e i o u AOBSERVACIÓN: No confundas Grafo con gráfico de una correspondencia, el grafo es elconjunto de pares que define una correspondencia, gráfico es cualquiera de los diagramas quela representan.- Del diagrama satelital, podemos decir que: 2 es la IMAGEN de e en 3 3 es la IMAGEN de e ∧ de o 1 es la IMAGEN de 0 y 6 es la IMAGEN de u, mediante la correspondencia de “F”. A su vez: “e” es el origen ó pre-imagen de 2 y de 3; “o” es el origen ó pre-imagen de 1 y de 3; “u” es el origen ó pre-imagen de 6. Esto se expresa de cualquiera de estas dos maneras siguientes: e  2 ; f(e) = 2 e  3 ; f(e) = 3 e  1 ; f(o) = 1 e  3 ; f(0) = 3 u  6 ; f(u) = 6- Observamos que en esta correspondencia solamente los elementos “e”, “o” y “u” del conjunto “A” tienen imágenes en B. Su conjunto se llama DOMINIO de la correspondencia f. Se escribe así:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez111
  • 111. dom.f = {e; o; u} DOMINIO de una correspondencia f entre A y B es el conjunto de los orígenes o pre- imágenes de los pares de f. También observamos que solamente los elementos 1, 2, 3 y 6 del conjunto B son imágenes de otros elementos del conjunto A. Su conjunto se llama RANGO de la correspondencia f. Se escribe así: Ran.f = {1; 2; 3; 6} RANGO de una correspondencia f entre A, B es el conjunto de imágenes de los pares de f. CORRESPONDENCIA INVERSA Sean los conjuntos : P ∧ Q P={ ; ; ; ; ; } ∧ Q = {círculo, cuadrado, triángulo} Se ha establecido la correspondencia: P . f . Q En este diagrama, P es el conjunto de Partida y Q es el conjunto de llegada. Consideramos ahora al conjunto Q como conjunto de partida y P como conjunto de llegada, siendo el diagrama el siguiente: f-1 * f – 1 Es la inversa de la correspondencia f. * El conjunto de partida de una correspondencia es el conjunto de llegada de la correspondencia inversa.• El conjunto de llegada de una correspondencia es el conjunto de partida de la corresponsal inversa.CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCAEntre los conjuntos M ∧ N se ha establecido la siguiente correspondencia.Como se observará la correspondencia es unívoca porque de cada elemento del conjunto departida sale una sola flecha.Ahora, hallamos la correspondencia inversa veamos: -1
  • 112. Relaciones Binarias Segundo AñoTambién la correspondencia es unívoca porque de cada elemento del conjunto de partida saleuna sola flecha. Luego: f ∧ f-1 son unívocasCuando una correspondencia es unívoca y su inversa también lo es, esa correspondencia sellama BIUNÍVOCA.APLICACIÓN.- Consideremos los conjuntos:A = {María, Manuel, Carmen, Fidel} ∧B = {Blusa, camisa, corbata} - como se observará la correspondencia es unívoca. - del conjunto de partida A, salen flechas de todos sus elementos.Para que una correspondencia sea APLICACIÓN es necesario que sea UNÍVOCA, que salganflechas de todos los elementos del conjunto de partida.Ejemplo 1: Esta correspondencia si es aplicación porque de todos los elementos del conjunto de partida salen flechas.Ejemplo 2: Esta correspondencia no es aplicación, porque del elemento “o” no sale ninguna flecha.Ejemplo 3: Esta correspondencia no es aplicación porque de los elementos a ∧ i salen de cada una 2 flechas.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez113
  • 113. Ejemplo 4: Esta correspondencia si es aplicación porque de todos los elementos del conjunto de partida salen flechas.CÓMO DISTINGUIR LAS APLICACIONES: Para saber si una correspondencia es unaaplicación, basta observar el conjunto de partida. Lo más sencillo es trazar el diagrama sagital,y ver si de cada elemento de A (conjunto de partida) sale una, solo una flecha. No es aplicación No es aplicación Si es aplicaciónRELACIONES BINARIASEjemplo: Si: A = {3; 4} ∧ B = {1; 2; 5; 6}Halla R (relación binaria) de A en B para la condición o relación “es menor que”.Solución:1° Hallamos A x B A x B = {(3;1), (3;2), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;5), (4;6)}2° R = {(3,5), (3,6), (4,5), (4,6)} observamos que R es un subconjunto de A x B.Definición: Dados dos conjuntos A ∧ B llamamos Relación Binaria entre los elementos deambos conjuntos, a un subconjunto R del producto cartesiano A x B.Simbólicamente: R = {)a,b) ∉ A x B / a ∈ A ∧ b ∈ B; según a R b}Dominio y Rango de una Relación Binaria.Dominio de una relación R. Es el conjunto formado por todos los primeros elementos ocomponentes de los pares ordenados que pertenecen a R se denota por D(R)Rango de una relación R. Es el conjunto formado por todos los segundos elementos ocomponentes de los pares ordenados que pertenecen a R se denota por R(R) .Así en el ejemplo anterior en la relación buscaría R. R = {(3;5), (3;6), (4;5), (4;6)} El dominio de R, es D(R) = {3,4} El rango de R, es R(R) = {5,6}
  • 114. Relaciones Binarias Segundo AñoImagen de una relación R.- Cada uno de los elementos del rango de R, que satisfacen acada elemento del dominio, se llama imagen así en el ejemplo podemos afirmar que 5 esimagen de 3 ∧ 4 ; y 6 es imagen de 3 ∧ de 4.También se puede decir:3 es pre-imagen de 5 y de 64 es pre-imagen de 5 y de 6Representación Gráfica de una relación binaria.Puede hacerse de las siguientes formas:a) El diagrama sagital b) El diagrama cartesianoEjemplo: sean : A = {3; 5; 7} ∧ B = {2; 4; 6; 8}; halla, grafica la relación R, definida por lacondición: “a>b”Solución: 1) A x B = {(3,2), (3,4), (3,5), (3,8), (5,2), (5,4), (5,6), (5,8), (7,2), (7,6), (7.8)} 2) R = {(3,2), (5,2), (5,4), (7,2), (7,4), (7,6)} A) DIAGRAMA SAGITAL B) DIAGRAMA CARTESIANO D(R) = {3, 5, 7} D(R) = {3, 5, 7} R(R) = {2, 4, 6} R(R) = {2, 4, 6} Relación de A en A.- Entre los elementos de un mismo conjunto se puede establecer también una relación binaria R, llamada relación R de A en A, o simplemente R en A. Ejemplo: Sea: A = {1; 3; 5}; halla R de A en A; para “a = b” Solución: 1° A x A = {(1,1) (1,3) (1,5) (3,1) (3,3) (3,5) (5,1) (5,3) (5,5)} 2° R = {(1,1), (3,3), (5,5)}; aquí también: RC A x A A) DIAGRAMA SAGITAL B) DIAGRAMA CARTESIANOProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez115
  • 115. D(R) = {1, 3, 5} D(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5}Relación Simétrica.Una relación R de A en A, se llama simétrica:Si: (a; b) ∈ R  (b; a) ∈ REjemplo: Del conjunto A = {1; 2; 3; 5}Se ha establecido una relación cuyos pares son: R = {(1;5) ; (2;3) ; (5;1) ; (3;2)}Esta relación es simétrica porque:(1 ; 5) ∈ R ∧ (5 ; 1) ∈ R(2 ; 3) ∈ R ∧ (3 ; 2) ∈ RDIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANOUna relación definida en un conjunto tiene la propiedad simétrica cuando en su diagramade flechas (sagital) no hay ningún par de elementos que esté unido por una sola flecha.Relación Reflexiva:Una relación R de A en A es reflexiva cuando:∀a∈A  (a ; a) ∈A (∀ se lee: para todo)Ejem.: Sea: A = {1 ; 5; 6} y la relación en A:R = {(1 ;1), (5;1), (5;5), (5;6), (6,6)}Es reflexiva pues: 1∈A ∧ (1 ; 1) ∈ R 5∈A ∧ (5 ; 5) ∈ R 6∈A ∧ (6 ; 6) ∈ RDIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANO
  • 116. Relaciones Binarias Segundo Año Una relación en un conjunto tiene la propiedad reflexiva cuando en su diagrama de flechas todos los elementos tienen un lazo. ( ) RELACIÓN TRANSITIVA Una relación R de A en A es transitiva: Si (a ; b) ∈R ∧ (b ; c) ∈R => (a, c) ∈R Ejemplo: Dado la relación: R = {(1 ; 2), (3 ; 1), (3 ; 2), (4 ; 1), (4 ; 2)} Es transitiva, pues: i) (3 ; 1) ∈R ∧ (1 ; 2) ∈R  (3 , 2) ∈R ii) (4 ; 1) ∈R ∧ (1 ; 2) ∈R  (4 , 2) ∈R DIAGRAMA SAGITAL Una relación tiene la propiedad transitiva cuando se cumple que si un elemento está relacionado con un segundo, éste está relacionado con un tercero, el primero está relacionado con el tercero. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación de R de A en A es de equivalencias, si cumple las tres condiciones siguientes: 1) ∀ a∈A  (a , a) ∈A (Relación reflexiva) 2) Si: (a ; b) ∈A  (b ; a) ∈R (Relación simétrica) 3) Si: (a ; b) ∈A  (b ; c) ∈R  (a ,c ) ∈R (Relación transitiva). Ejemplo: Dado: A = {1; 2; 3} y la Relación: R: A  A: R = {(1;1), (2;2), (1;2), (2;1), (3;3)} ¿es relación de equivalencia? Solución: 1) 1∈A ∧ (1;1) ∈R 2∈A ∧ (2;2) ∈R “R” es reflexiva 3∈A ∧ (3;3) ∈R 2) (1;2) ∈R ∧ (2;1) ∈R (1;1) ∈R ∧ (1;1) ∈R 3) (1;1) ∈R ∧ (1;2) ∈R (1;2) ∈R (2;2) ∈R ∧ (2;1) ∈R (2;1) ∈R “R” es transitivaProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez117
  • 117. (1;2) ∈R ∧ (2;1) ∈R (1;1) ∈R Luego “R” es una relación de equivalencia. Ejemplo: Dados: A = {1; 3; 5; 7; 9} ∧ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Halla la relación de A en B, definida por la condición: a) Primera componente es igual a la segunda componente. b) Primera componente es menor que la segunda componente. c) Segunda componente es el doble de la primera componente. Solución: A x B = {… Luego: a) R1 = {(1,1), (3,3), (5,5)} Representación Sagital D(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5} b) R2 = {(x,y) ∈A x B / x < y} R2 = {(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (3,4) (3,5) (3,6) (5,6)} Representación Sagital c) R3 = {(x,y) ∈A x B / x = 2y} R3 = {(1; 2), (3;6)} PRÁCTICA DE CLASE1. Dado los conjuntos: E = {3; 5; 8} ∧ Representa R3 como un conjunto de F = {2; 3; 4}; definimos la relación R1 pares ordenados. Halla su dominio, de la siguiente manera: rango. R1 = {(x;y) ∈E x F / x > y} 4. Dado el conjunto:2. Representa la relación siguiente como A = {x2-1/-2≤x<3; x∈Z} un conjunto de pares ordenados. definimos R4: R4={(x,y)∈AxN/y=x2+3} Si: P = {2x/4 ≤ x < 9 ; x∈N} ∧ Representa R4 como un conjunto de Q = {2x – 1 / 1 ≤ x ≤ 4 ; x∈N} pares ordenados. Halla su dominio y Entonces: R2 = {(x;y) ∈ P x Q/y = x/2} rango. Halla el dominio y su rango. 5. Siendo: E = {2-x2/-3<x≤3;x∈Z} ;3. Dados: A = {2-x/-1 ≤ x < 2 ; x∈Z} ∧ Definimos R5 como: B = {2x + 1 /-3 < x ≤ 1 ; x∈Z} R5 = {(x,y) ∈ ExZ/y = 2x – 3} Representa R5 como un conjunto de Define la relación R3; como: pares ordenados. Halla su dominio y R3 = {(x;y) ∈ AxB / y = 2x – 5} rango.
  • 118. Relaciones Binarias Segundo Año 10. Dado: A = {1;3;4;5} ∧ B = {2;6;8}; 6. Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ y la relación: B = {2; 4; 6; 8} R = {(x, y) ∈ A x B/x + y ≥ 6} Halla la relación de A en B definida por ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la condición: primera componente es la relación R? menor que la segunda componente. 11. Dado: P = {2; 4; 6; 8} ∧ Q = {4; 6; 7. Dados: P = {2; 3; 5; 7} ∧ 8; 10} y la relación: Q = {4; 5; 6} R = {(x ; y) ∈ P x Q / x + y = 3 Halla la relación de P en Q definida por la condición: primera componente es 12. Dados: M = {1; 3; 6; 7} ∧ N = {4; 5; 6}; mayor que la segunda componente. definimos la relación R3 de la siguiente manera: 8. Dados: A = {2;4;6} ∧ B = {3;5;8}; R3 = {(x ; y) ∈ M x N / x > y} definimos la relación R1 de la siguiente a) Halla su dominio y su rango. manera: R1 = {(x;y) ∈AxB/x<y} b) Representa gráficamente. 9. Dados: A = {3;5;7;9} ∧ 13. Representa la relación siguiente como B = {1;2;4;6}; definimos la relación un conjunto de pares ordenados, si: R2 de la siguiente manera: S = {2x / 3 ≤ x < 7 ; x ∈ N} ∧ R2 = {(x, y) ∈ A x B/x + y > 4} T = {3x -1 / 4 < x ≤ 6; x ∈ N} Entonces: R = {(x ; y) ∈ S x T/y = x + 2} a) Halla su dominio y su rango. b) Representa gráficamente. PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Dados: A = {3; 7; 9; 11} ∧ B = {1; 5; 6; 10} Halla la relación de A en B definida por la condición: 4. Dados: P = {1; 4; 6; 8} ∧ Q = {2; 3; a) Primera componente es menor que la segunda componente. 6}, definimos la relación R3 de la b) Primera componente es mayor que siguiente manera: la segunda componente. c) Segunda componente es la tercera R3 = {(x ; y) ∈ P x Q / x = 2y} parte que la primera componente. * Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente.2. Dados: P = {1; 3; 5} ∧ B = {2; 3; 6}, definimos la relación R1 de la siguiente 5. Dados: C = {1; 2; 3; 4} } ∧ D = {2; 4; manera: 5; 8}, definimos la relación R4 de la R1 = {(x ; y) ∈ P x Q / x < y} siguiente manera: • Halla su dominio y su rango. R4 = {(x ; y) ∈ C x D / x = y/2} • Representa gráficamente. * Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente.3. Dado: A = {2; 4; 5} ∧ B = {1; 3; 4}, definimos la relación R2 de la siguiente manera: 6. Representa la relación siguiente, como R2 = {(x ; y) ∈ A x B / x > y} un conjunto de pares ordenados, sí: * Halla su dominio y su rango. S = {3x / 2 ≤ x < 6; x ∈ N} y * Representa gráficamente. T = {3x - 2 /2 < x ≤ 5; x ∈ N}Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez119
  • 119. Entonces: Definiciones R5: R5 = {(x ; y) ∈ E x Z/y = 3x - 1} R2 = {(x , y) ∈ S x T/y = x + 1} Representa R5 como un conjunto de * Halla su dominio y su rango. pares ordenados. Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente. * Halla su dominio y su rango.7. Dados: A = {3 – x / -1 ≤ x < 3 ; x ∈ Z} * Representa gráficamente. y B = {2x + 3 / -2 < x ≤ 3 ; x ∈ Z} Definimos la relación R3 como: 10. Dado: A = {3; 4; 5; 6} ∧ R3 = {(x ; y) ∈ A x B/y = 3x + 2} ; B = {4; 6; 8} y la relación: representa R3 como un conjunto de R = {(x ; y) ∈ A x B / x + y ≥ 11} pares. ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la * Halla su dominio y su rango. relación R? * Representa gráficamente. 11. Dado los conjuntos:8. Dados: G = {x2 – 3/-3 ≤ x < 2 ; x ∈ Z} E = {1; 2; 3; 4} ∧ F = {1; 4; 6; 9} y la Definiciones R4: relación R = {(x ; y) ∈ E x F / y = x2} R4 = {(x ; y) ∈ G x N/y = x2 + 2} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la Representa R4 como un conjunto de relación R? pares ordenados. Halla su dominio y su rango. 12. La relación: R = {(2; 4), (4; 2), (2; 6)}; definida en9. Siendo: el conjunto: A = {2; 4; 6}. ¿Será E = {3 – x2 / -2 < x ≤ 4 ; x ∈ Z} simétrica?
  • 120. Teoría de Ecuaciones Segundo Año T EMA Nº 11: TEORÍA DE ECUACIONESCapacidades: Despeja el valor de la incógnita, aplicando propiedades de transformación para la resolución de una ecuación algebraica. Reconoce y diferencia a las raíces y las diversas propiedades inherentes de las ecuaciones polinomiales de primer y segundo grado. Resuelve ecuaciones de primer y segundo grado. Resuelve sistemas de ecuaciones de primer grado con dos variablesDesarrollo del Tema: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLEResuelve: 3 x−2 x1) + = 5 2 10Solución : 4 3M.C.M (5; 2, 10) = 10 2) + = x 56 + 5 + ( x − 2) = x 6 + 5x - 10 = x - 4 = 4x -1 = xC.S.= -11. DEFINICIONES PREVIAS Para dar conceptos claros referente a ecuaciones, consideremos las siguientes definiciones:IGUALDAD: (= ; signo de la igualdad) son de expresiones aritméticas o algebraicas, quegozan del mismo valor; por ejemplo: 1) una docena = 10 unidades 2) 8 + 3 = 15-4 3) 5x = 20IDENTIDAD: (≡; signo de identidad); es una igualdad por si misma evidente; por ejemplo: 1) 7 ≡ 7 2) 3x ≡ 3x 3) y + 6 ≡ y + 6INCÓGNITA O VARIABLE: Se llama así a la letra que representa el número buscado en laecuación; generalmente se le representa por “x”2. ECUACIÓN Es una igualdad de expresiones de las cuales una encierra cantidades desconocidas (incógnitas) a las cuales corresponden unos valores condicionales pero determinados. Por ejemplo: 2x = 10
  • 121. Las cantidades desconocidas están expresadas por medio de letras, generalmente las últimas del alfabeto como son la x, y, z, etc. En la ecuación: 2x = 10; el valor de “x” es 5; porque 2 veces 5 da 10. 10 O sea: 2x = 10 ⇒ x = ⇒ x=5 2 Verificación: 2x = 10 ⇒ 2. 5 = 10 ⇒ 10 = 102.1. MIEMBRO DE UNA ECUACIÓN En toda ecuación se distinguen dos partes llamadas miembros de la ecuación que se encuentran de uno, otro lado del signo de la igualdad “=”. Llámese primer miembro, la parte de la ecuación que está a la izquierda del signo de la igualdad (2x) Llámese segundo miembro, la parte de la ecuación que está a la derecho del signo de la igualdad (10); o sea en: 2x = 10 Toda ecuación consta tan sólo de dos miembros el primero y el segundo; pero cada miembro puede tener uno o más términos. 1º Miembro 2º Miembro2.2. RAÍZ Y CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN• Si en la ecuación: 3x + 6 = 21 si a la variable “x” le damos el valor de 5, obtenemos la proposición verdadera veamos. 3 . 5 + 6 = 21⇒ 21 = 21En este caso se dice que 5 es la raíz o solución de la ecuación: 3x + 6 = 21, y el conjunto 5 es el conjunto solución de la ecuación.• Si en la ecuación: x2 + 4x = 12, si a la variable “x” le damos los valores 2 y -6: (2)2 + 4(2) = 12 ; (-6)2 + 4(-6) = 12 En este caso se dice que 2 y -6 son las raíces o soluciones de la ecuación: x 2 + 4x = 12 el conjunto 2; -6 es el conjunto solución de la ecuación.2.3. SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN Es el número que al reemplazar a la variable de la ecuación la transforma en una proposición verdadera.2.4. CONJUNTO SOLUCIÓN El conjunto solución de una ecuación de primer grado con una variable, es el conjunto que tiene como único elemento a la raíz de la ecuación.2.5. RESOLVER UNA ECUACIÓN Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución de la ecuación. Ejemplo: Dada la ecuación: 7x = 28 La variable o incógnita es “x”, la raíz o valor de “x” que satisface la ecuación es: 4. Luego el conjunto solución “5” de la ecuación es: S= 42.6. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
  • 122. Teoría de Ecuaciones Segundo Año Considerando en la ecuación sus distintos elementos, éstos pueden ser: I. Con Respecto a los coeficientes de las incógnitas: a) Ecuación Numéricas: Si los coeficientes de las incógnitas son números. Ejemplo: 2x2 – 3x + 7 = 0 (Los coeficientes son: 2; -3 y 7) b) Ecuaciones Literales: Si los coeficientes de las incógnitas son letras. Ejemplo: ax2 + bx + c = 0 (Los coeficientes son: a; b ∧ c). II. Con respecto a su forma a) Ecuaciones Racionales: cuando sus incógnitas no están afectadas de radical. Estos a su vez pueden ser: Ecuaciones racionales enteras o ecuaciones racionales fraccionarias. Ejemplos: 4x2 – 5x = 21 ⇒ (Ecuación racional entera) x + 1 x − 1 23  + = ⇒ (Ecuación racional fraccionaria) x+2 x+3 6 Una ecuación es racional fraccionaria cuando presenta letras en su denominador. b) Ecuaciones Irracionales: cuando la incógnita se encuentra dentro de un radical Ejemplos: x+3 = 2 x +1 + x = 1 III. Con respecto al número de incógnitas: pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas. Ejemplos: 2x + 1 = 3x – 4 ; es una ecuación con una incógnita: x 5x – 3y = 3 ; es una ecuación con dos incógnitas: x e y x + 2y – 3z = 8 ; es una ecuación con tres incógnitas: x, y, z IV. Con respecto al grado de la incógnita a) Ecuaciones de primer grado: cuando el exponente de la incógnita es uno (1) Ejemplo: 6x – 5= 7 b) Ecuaciones de segundo grado: cuando el mayor exponente de la incógnita es dos (2) c) Ecuaciones de tercer grado: cuando el mayor exponente de la incógnita es tres(3) d) En general de “n” grados: según el grado de la incógnita a toda ecuación le corresponde tantas raíces o soluciones. Veamos: Si la ecuación es de 1º grado le corresponde una raíz. Si la ecuación es de 2º grado le corresponde dos raíces. Si la ecuación es de 3º grado le corresponde tres raíces. V. Con respecto a sus raíces o soluciones Pueden ser: a) Compatibles: cuando tienen por lo menos una solución. A su vez estas ecuaciones se dividen en: • Determinadas: Si tienen un número limitado de soluciones.
  • 123. Ejemplos: 4x – 7 = x + 8 ⇒ ; tiene una raíz o solución. x2 – 3 = 6 ⇒ ; tiene dos raíces o soluciones. • Indeterminadas: Si tienen un número ilimitado de soluciones. Ejemplo: 3x – (x-1) = 2x + 1; es indeterminada, esto significa que la igualdad se verifica para cualquier valor de x, es decir tiene infinitas soluciones. b) Incompatibles o Absurdas: Son aquellas que no admiten solución. Esta ecuación resulta ser absurda, pues el signo que precede a la raíz, es positivo, luego en el segundo miembro debería aparecer una cantidad positiva y no negativa como la que aparece. Ejemplo 1: x = −1 Positivo Negativo Ejemplo 2: 3x + 1 = 3x + 4; también es una ecuación incompatible.2.7. ECUACIONES EQUIVALENTES Dos ecuaciones con las mismas incógnitas se llaman equivalentes si todas las soluciones de la primera ecuación son soluciones de la segunda y viceversa. x 1 7 Ejemplo: la ecuación: + = ; y la ecuación: 3x – 5 = 3 – x; son equivalentes ya 3 2 6 que ambas se satisfacen para: x = 22.8. PROPIEDAD DE LA TRANPOSICIÓN DE TÉRMINOS 1º Miembro: 2º Miembro lo que está sumando pasa Sumando Restando Restando Sumando Multiplicando Dividiendo Dividiendo Multiplicando Así: 1) x + 8 = 13 ⇒ x = 13 – 8 2) y – 9 = 6 ⇒ y = 6 + 9 18 w 3) 6z = 18 ⇒ z = 4) = 4 ⇒ w = 4.3 6 32.9. REGLA PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE Para resolver una ecuación de primer grado con una variable se puede seguir este orden: 1) Se suprimen los signos de colección, si los hay. 2) Se reduce la ecuación al común denominador, si es fraccionaria. 3) Se reúnen las variables en el primer miembro y los demás en el segundo (transposición de términos). 4) Se reducen los términos semejantes, si los hay. 5) Se despeja la variable. 6) Se comprueba la ecuación resuelta, reemplazando la variable por el valor hallado, reduciéndola a una identidad.
  • 124. Teoría de Ecuaciones Segundo Año3. VOCABLO MATEMÁTICO Para que una ecuación esté bien planteada; es recomendable que tengan en cuenta las “palabras” que a continuación mencionamos, que traducidas al vocablo matemático, significan los siguiente: A) Palabras Significado Matemático DE DEL PRODUCTOS DE LOS Ejemplo 1: El triple de un número 3 x N Ejemplo 2: El doble de la tercera parte de un número. 2 x 1/3 x N Ejemplo 3: El 20% de los 3/4 de 30% de un número 20/100 x ¾ x 30/100 x N B) Palabras Significado Matemático ES; EN; SERÁ; SEA; TENDRÁ; OBTIENE; IGUALDAD TIENE; RESULTA. Ejemplo 1: La mitad de un número es la cuarta parte de 20 ½ x N = ¼ x 20 Ejemplo 2: La quinta parte de un número será el doble de 3. 1/5 x N = 2 x 3 Ejemplo 3: Qué número hay que sumarle a 8 para que sea 12. N + 8 = 12 ACTIVIDADTraduce los siguientes enunciados de la forma simbólica. FORMA VERBAL FORMA SIMBÓLICAa) Un número aumentado en 15b) El cuádruple de un número aumentado en 3c) El cuádruplo de un número aumentado en 3d) Cinco veces un número disminuido en 7e) El cubo de un número, aumentado en 2f) El triple de un número es igual al doble de éste aumentado en 13g) La suma de tres números consecutivos es 24h) El quíntuplo de un número disminuido en 8 esigual al doble del mismo número.
  • 125. PRÁCTICA DE CLASEResuelve los siguientes problemas: 2x + 3 4 2 61) =1 6) = + x+4 x − 25 x + 5 x − 5 2 x +1 x − 3 x+5 x−42) = 7) − 2 =0 x−2 x+5 x − 4 x + 4x + 4 2 4x − 3 4x − 7 8 x −3 5− x3) = 8) − = 2x −1 2x − 5 x − 1 x + 11 x − 1 2 1 2 3 3 2 54) + − =0 9) − = x+ 2 x −3 x −4 x − 3 3 + x 9 − x2 2x +1 8 2x −15) + = xa + xb + a + b 1 2x −1 1 − 4x 2 2x + 1 10) = a −b 2 2 a −b11) Qué número debe restarse al numerador y denominador de la fracción 3/8 para que la fracción resultante sea igual a 1/6?12) Halla un número cuyo inverso sea igual a 6 dividido por el número aumentado en 45.13) El cociente de 612 entre los 2/3 de un número es 17. Halla el número.14) El valor de una fracción es igual a 2/5. Si el denominador de la fracción excede a su numerador en 24. ¿cuál es la fracción?15) Un número consta de dos cifras. La cifra de las decenas excede a la cifra de las unidades en 7. Si el número aumentado en 7 se divide por la suma de sus cifras, el cociente es 9. Halla el número16) Actualmente un padre tiene 26 años más que su hijo. Dentro de 6 años, el cociente de ambas edades será 2 y el residuo 6. Halla las edades actuales. Dar el denominador de dicha fracción.17) Si la edad de Nataly es 3 veces la edad de Vanesa, y sus edades suman 48años. ¿Dentro de cuántos años, será la edad de Vanesa la mitad de la edad de Nataly?18) La suma de dos números es 200. Dividiendo el primero por 16 y el segundo por 10, la diferencia de los cocientes es 6. ¿Cuáles son los números?19) Antonio tiene 18 años más que Fidel. Hace 18 años, la edad de Antonio equivalía a los 5/2 de la edad de Fidel. Halla la edad que tiene Antonio.20) En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49 aves. ¿cuántas gallinas hay? PRÁCTICA DOMICILIARIA
  • 126. Teoría de Ecuaciones Segundo AñoResuelve las siguientes ecuaciones: x 2x − 11) 2x + 5 = 9 6) 2 x − 4 = − 6 9 42) 7(x + 3) = 35 7) =1 x 13) 3 + x – (5 – 2x) – 1 = 3 8) =2 x 3(5 x + 2) 14) =x 9) =1 17 2y x+2 7 25) − 4 = −1 10) + 1 = 10 − 3 x x11) Halla dos números cuya suma es 60 y su 17) Si al cuadrado de un número natural se cociente 4. le resta su menor se obtiene el cuadrado12) Halla dos números cuya suma es 14, y el de su antecesor. Halla dicho número. cociente del mayor por el menor es 4/3. 18) La suma de tres números pares13) La suma de dos números es 22. Si el consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son mayor se divide por el menor, el cociente dichos números? es 3 y el residuo 2. Halla los números. 19) Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/.20 más14) La diferencia de dos números es 6 y el quedándome con la quinta parte de lo cociente del mayor por el menor es 4/3. que tenía y S/. 16 más ¿Cuánto tenía? Halla los números. 20) El numerador de una fracción excede en15) La diferencia de dos números es 32 si al 5 unidades al triple del denominador. mayor se divide por el menor, el cociente Cuando simplificamos la fracción nos es 5 y el residuo 4. Halla los números. queda 17/4.16) La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 1 a la cifra de las unidades. Si el número se divide entre la cifra de las decenas, el cociente es 10 y el residuo 5. Halla el número.
  • 127. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOExploración y Desequilibrio:Resuelve:1) x2 = 16 2) x2 + 7x + 12 = 0ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO1. DEFINICIÓN.- Una ecuación se llama de segundo grado o cuadrática cuando después de quitar denominadores, reducir términos semejantes y pasar todos sus términos al primer miembro, adopta la forma típica: ax2 + bx + c = 0 Donde: ax2  término cuadrático. Además: a ≠ 0 bx  término lineal. b ∈ R c  término independiente. c ∈ R Los coeficientes “b” y “c” pueden ser nulos. Entonces la ecuación de segundo grado toma las formas siguientes: i) Si: c = 0 ⇒ ax2 + bx = 0 ECUACIONES ii) Si: b = 0 ⇒ ax2 + c =0 INCOMPLETAS iii) Si: c= b = 0 ⇒ ax2 = 0 Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores de la incógnita “x” que hacen cierta la igualdad: ax2 + bx + c = 0; convirtiéndola en una Identidad. Estos valores que toma “x” son las raíces o soluciones de dicha ecuación.2. RESOLUCIÓN ALGEBRAICA.- Para hallar las raíces distinguiremos tres casos, según que el trinomio sea incompleto o completo. CASO I: Si: b = 0 ⇒ la ecuación es de la forma: ax2 + c = 0 Ejemplo: Resuelve 3x2 – 12 = 0 Solución: Comprobación: 2 3x – 12 = 0 Para: x = 2 ⇒ 3x2 – 12 = 0 3x2 = 0 3(2)2 – 12 = 0 x2 = 4 12 – 12 = 0 (cumple) x2 = 4 Para: x = -2 ⇒ 3(2)2 – 12 = 0 x =±2 12 – 12 = 0 (cumple) x1 = 2 ⇒ x1 = Primera raíz x2 = -2 ⇒ x2 = Segunda raíz C.S. = -2;2
  • 128. Teoría de Ecuaciones Segundo Año ACTIVIDADResuelve las siguientes ecuaciones: 6) 2x2 – 8 = 01) x2 – 36 = 0 7) 5x2 – 2 = 232) 3x2 = 48 8) 4y2 – 16 = 3y2 + 203) x2 + 7 = 3 9) (x+2)(x-2) = -54) 75x – 5 = 0 2 2 x 2 − 6 x 2 − 4 5 x 2 − 10 10) − − =0 y+2 y−2 2 4 75) + =5 y−2 y+2CASO 2: Si: C=0 La ecuación es de la forma : ax2 + bx = 0Ejemplo:Resuelve: 2x2 – 6x = 0Solución: ComprobaciónSacando el factor común “x”, tenemos: Para: x1 = 0 x(3x-6) = 0 2(0)2 – 6(0) = 0Igualando cada factor a cero: 0 = 0 se cumple i) x1 = 0 Para: x2 = 2 ii) 3x – 6 = 0 2(2)2 – 6(2) = 0 3x = 6 8–8 = 0 se cumple x2 = 2 C.S.= 0;2 ACTIVIDADResuelve las ecuaciones siguientes:1) x2 – 3x = 0 7) 5x2 = 30x2) 3x2 – 9x = 0 8) 7x = -14x23) 6x2 – 2x = 0 9) (x+2)2 – (x-1)2 = x2 +34) (2x – 5)2 – 25 = 0 y+2 y+6 10) = x2 x−6 3 2 y −1 y − 35) − = 2 10 56) x2 + 5x = 0CASO 3: Ecuación Completa: ax2 + bx + c = 0Las ecuaciones completas de segundo grado se resuelven por factorización y aplicando lafórmula general.A) Resolución de una ecuación de segundo grado por factorización Dada una ecuación de segundo grado, es posible que podamos factorizar su primer miembro. Si fuera así, aplicando entonces la propiedad de que, si el producto de dos factores es cero, cada factor es cero, podemos hallar muy fácilmente sus raíces. Ejemplo 1: Resuelve:
  • 129. x2 – 5x + 6 = 0 Solución: Comprobación: Factorizando el primer miembro: Para: x1 = 2 (x-2)(x-3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0 Igualando cada factor con cero: (2)2 – 5(2) + 6 = 0 x -2 = 0  x1 = 2 4 - 10 + 6 = 0 x – 3 = 0  x2 = 3 0=0 C.S. = 2;3 Para: x2 = 3 (3)2 – 5(3) + 6 = 0 9 - 15 + 6 = 0 0=0 ACTIVIDADResuelve por factorización las siguientes ecuaciones:1) x2 – 3x + 2 = 0 6) x2 – 6x – 16 = 02) 2x2 – 3x – 2 = 0 7) 3x2 – 21x + 36 = 03) 9x2 = 12x – 4 8) x2 + x – 6 = 04) x2 + 5x – 14 =0 9) 5x2 – 3x – 2 = 05) 4x2 + 4x = -1 10) 6x2 – 11x + 3 = 0• Deducción de la fórmula general, consideremos la educación general de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 1. Transpongamos el término independiente “c” al segundo miembro: ax2 + bx = -c 2. Multipliquemos por 4a los dos miembros de esta ecuación: 4a2x2 + 4abx = -4ac 3. Sumamos b2 a los dos miembros de esta ecuación, y se tendrá: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac 4. Se ha formado así en el primer miembro el cuadrado del binomio 2ax + b, luego la ecuación anterior se puede escribir así: (2ax + b)2 = b2 – 4ac 5. Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros, se tiene: 2ax + b = ± b 2 − 4ac 6. Transponiendo “b”: 2ax = - b ± b 2 − 4ac 7. Despejando “x” resulta finalmente: − b ± b 2 − 4ac x= 2a
  • 130. Teoría de Ecuaciones Segundo Año Que es la fórmula general de las ecuaciones de 2º grado, obteniéndose las dos raíces al considerar el doble signo ± de la raíz cuadrada, es decir: − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac x1 = ; x2 = 2a 2a Teniendo en cuenta: a  coeficiente del término cuadrático. b  coeficiente del término lineal c  término independiente.B) Resolución de una ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general. Ejemplo: Resuelve: 3x2 – 5x + 2 = 0 Solución: Valores: Fórmula General a=3 − b ± b 2 − 4ac b = -5 x= 2a c=2 Reemplazando: − (−5) ± (−5) 2 − 4(3)(2) 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 x= = = = 2(3) 6 6 6 Las raíces son: Comprobación: 5 +1 6 2 x1 = = =1 Para x1 = 1 Para x2 = 6 6 3 2 2 2 3(1)2-5(1)+2 = 0 3  − 5  + 2 = 0 5 −1 4 2 3 3 x2 = = = 6 6 3 4 10 3 - 5 +2=0 − +2 =0 3 3 5–5 =0 -2+2=0 ACTIVIDADResuelve las siguientes ecuaciones, aplicando la fórmula general:1) x2 + 4x + 3 = 0 2) x2 + 3x – 10 = 02) x2 – x – 20 = 0 3) x2 – 7x + 11 = 03) 3x2 + 5x + 1 = 0 4) 11x2 + 7x + 1 = 04) 5x2 – 7x – 1 = 0 5) 3x2 + 50 = 25x 2x +1 1 6) 2 − = 3 2x −1
  • 131. x −3 x −2 15) − = 2 3x x3. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. SUMA DE LAS RAÍCES Las dos raíces de la ecuación general: ax2 + bx + c = 0, son: − b ± b 2 − 4ac 1) x1 = 2a − b − b 2 − 4ac 2) x 2 = 2a Sumando miembro a miembro estas dos igualdades resulta: 2b x1 + x 2 = − 2a b x1 + x 2 = − a Lo que nos dice que: La suma de las raíces de una ecuación completa de segundo grado es igual al coeficiente del término de primer grado, con el signo cambiado, dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplos: a. Halla la suma de las raíces de la ecuación: 2x2 – 6x – 3 = 0 Solución: b 6 Tenemos: x1 + x2 = − = =3 a 2 b. Halla la suma de las raíces de la ecuación: 3x2 + 5x – 1 = 0 Solución: b −5 Tenemos: x1 + x2 = − = a 3 PRODUCTO DE LAS RAÍCES Multiplicando miembro a miembro en igualdades (1) y (2), se tiene: x1 ⋅ x 2 = (− b + )( b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac ) 4a 2 El numerador del segundo miembro es el producto notable: suma por diferencia, luego es igual a la diferencia de cuadrados, y por lo tanto:
  • 132. Teoría de Ecuaciones Segundo Año ( − b) 2 − ( ) 2 b 2 − 4ac b 2 − b 2 + 4ac 4ac c x1 ⋅ x 2 = = = 2 = 4a 2 4a 2 4a a c x1 ⋅ x 2 = a Lo que nos dice que: El producto de las raíces de una ecuación completa de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplos: 1. Halla el producto de las raíces de la ecuación: 5x2 – 3x + 10 = 0 Solución. c 10 Tenemos: x1 ⋅ x 2 = = =2 a 5 2. Halla el producto de las raíces de la ecuación: 3x2 – 4x – 7 = 0 Solución: c −7 Tenemos: x1 ⋅ x 2 = = a 3 En particular si el coeficiente del primer término es igual a la unidad (a = 1), entonces, la ecuación general toma la forma: x2 + bx + c = 0 Y se tiene: x1 + x2 = -b ∧ x1 . x2 = c Es decir: 1º La suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado. 2º El producto de las raíces es igual al término independiente. Ejemplos: 1. Halla la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación: x2 + 8x + 15 = 0 Solución: Tenemos: a) x1 + x2 = -8 b) x1 . x2 = 15 ACTIVIDADHalla la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:1. 5x2 – 3x + 7 = 0 4. 6y2 + 4y + 3 = 02. 2x2 – 3x + 5 = 0 2 2 1 5. x − x +1 = 03. y2 + 3y – 10 = 0 3 36. x2 + 7x + 12 = 0 9. x2 – x – 20 = 07. x2 – 5x + 1 = 0 10. -2x2 + 3x + 2 = 0
  • 133. 8. my2 – my – 7 = 04. APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Formación de una ecuación de segundo grado conocidas las raíces: acabamos de ver que si a=1, la ecuación general se expresa: x2 + bx + c = 0 y que si: x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación, se tiene: x1 + x2 = - b x1 . x2 = c Estas relaciones que dan la suma y el producto de las raíces, permiten forman una ecuación que tengan raíces conocidas. En efecto, basta tomar una ecuación cuyo término sea “x2”, y en la que el coeficiente de “x” sea la suma de las raíces dadas, con signo cambiado, y el término independiente sea el producto de las mismas. Ejemplos: 1. Forma la ecuación cuyos términos sean: x1 = 2 ∧ x2 = 4 Solución: Tenemos: a) x1 + x2 = 2 + 4 = 6 b) x1 . x2 = 2 . 4 = 8 2 Ecuación: x – 6x + 8 = 0 1 1 2. Forma la ecuación cuyas raíces sean: x1 = ∧ x2 = - 2 3 Solución: 1 1 3− 2 1 Tenemos: a) x1 + x2 = − = = 2 3 6 6 1 −1 −1 b) x1 . x2 = . = 2 3 6 1 1 Ecuación: x2 - x- = 0 ⇒ 6x2 – x – 1 = 0 6 6 ACTIVIDADForma las ecuaciones cuyas raíces: x1 ∧ x2 sean, respectivamente:1) 7 y 4 2) -3 y -5 3) 5 y -2 4) -8 y 1 1 2 2 2 25) y6 6) -1 y 7) 4 y − 8) y 2 3 5 5 3 5 −3 2 39) y 10) − y − 11) 2m y -7m 12) 2+ 3 y 2− 3 6 4 3 5 PRÁCTICA DE CLASEResuelve las siguientes ecuaciones: 3 2 15. Los de un número es igual al cociente1. x – 25 = 0 42. 3(x2 – 25) = 0 de 48 por el número. Halla el número.
  • 134. Teoría de Ecuaciones Segundo Año3. 4x2 – 12x = 04. 2x(x-5) = x2 -4x 16. El cuadrado de un número, diferente de5. x2 – 10x + 24 = 0 cero, es igual a 4 veces el mismo6. 5x2 – 21x + 4 = 0 número. Halla el número.7. 3x2 + 22x – 16 = 0 16. El producto de dos números naturales8. 2x2 – 15 = 3 consecutivos es 156. Halla los números.9. 4x(x+1) = 4x +110. 5x2 – 20x = 0 17. La suma de los cuadrados de dos núme-11. 4(x2 + x) = 6x(x-1) ros naturales consecutivos es 85. Halla los números.12. El cuadrado de un número disminuido en 18. Si un número se disminuye en 1, su cua- 8, da 17, ¿cuál es el número? 9 drado es igual a los del mismo núme-13. La suma de un número con 6 multiplicado 4 por su diferencia, da 13. Halla el número. ro. Halla el número. 19. La suma de dos números es 3. Si la razón14. La edad de un padre es el triple que la de 1 su hijo, y la suma de los cuadrados de de sus cuadrados es , ¿cuáles son los 4 ambas edades equivale a 1440 años. números? ¿cuántos años tiene cada uno? 20. El área de un triángulo es 52cm ¿Cuáles son sus dimensiones si su altura mide 5m más que su base? PRÁCTICA DOMICILIARIAResuelve los siguientes problemas:1. x2 + 6x – 55 = 0 8. x2 – 2x – 35 = 02. 6x2 + 11x + 3 = 0 9. 2x2 – 26 = 10 – 7x23. (x+1)(x-1) = 2 10. 2x2 + x = 5x2 – 3x x x 2 2x4. + = 11. 3x2 + 11x + 10 = 0 6 2 35. x2 + 21x + 108 = 0 12. x2 – 2x – 360 = 06. ¿Cuál es el número que multiplicado por su 13. El área de un rectángulo es 256 cm2 si su mitad da 288? base es el cuádruplo que su altura. ¿cuáles son sus dimensiones?7. Hace 7 años el cuadrado de la edad de Elena, era igual a 49. Hallar su edad 14. El cuadrado de la cuarta parte de un actual. número, diferente de cero, es igual a su mitad. Halla el número.
  • 135. 15. Si al cuadrado de un número se agrega su duplo, se obtiene 80. Halla el número.16. La suma de dos números es 25 y su producto 126. Halla los números.17. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 9 es igual a 160. 2 218. Halla un número natural cuyos multiplicado por sus da 540. 5 319. El área de un círculo es igual a 78,50m2. Calcula su radio.20. El área de un rectángulo es igual a 128cm2. Calcule sus dimensiones sabiendo que la base es el duplo de su altura. SISTEMA DE ECUACIONESI. Sistema de ecuaciones.- Vamos a estudiar sistema de ecuaciones con dos incógnitas, normalmente "x" e "y" de primer grado es decir que el mayor exponente de las incógnitas sea uno. a x + by = e  (I) Forma canónica :  c x + dy = f  (II) donde "x" e "y"; son las incógnitas 2 x + 5 y = 7  (I) 4 x - 7y = 1  ; Ejm: 4 x + 3y = 15  (II) 3x + 4y = 10II. Solución de un sistema.- La solución de un sistema es el conjunto de valores de la variable que transforman las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar su solución: S is t e m a S o lu c ió n I g u a ld a d e s 3x - 5y = 1 3 (2 ) - 5 (1 ) = 1 x = 2; y = 1 4x + 3y = 11 4 (2 ) + 3 (1 ) = 1 1 2x - 3y = 12 x = 3; y = 2 4x - y = 7III. Principios de equivalencia.-• Primer principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente.• Segundo principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número o expresión algebraica se obtiene otra ecuación equivalente.Nota: De estos dos principios se deducen las reglas de transposición que se usan paratransformar en sistema en su forma "canónica"Ejm: Expresar en su forma canónica el siguiente sistema:
  • 136. Teoría de Ecuaciones Segundo Año x + 4 - y = 2 3 x + 4 - 3y = 6 x - 3y = 2 x - 1 x - 1 + 6y = 10 x + 6y = 11 + 3y = 5 2 " F o r m a c a n ó n ic a "IV. Métodos de resolución1. Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, para luego igualar sus equivalencias. Ejm: Resolver: x + 2 y = 7... (I)  x − y = 4... (II) Resolución: Despejando la incógnita "x" de las dos ecuaciones de (I): x + 2y = 7 x = 7 - 2y de (II): x - y = 4 x=4+y Igualando las equivalencias de "x" de las ecuaciones (I) y (II). • 7 - 2y = 4 + y 7 - 4 = y + 2y • 3 = 3y • 1=y El valor de "y" se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones. El valor de "y" reemplazamos en la ecuación (II). • x =4 + y x = 4 + (1) Ahora el conjunto solución del sistema será los valores de "x" e "y". ∴ CS = { x; y} = CS = {5; 1} PRACTICA DE CLASE1. Resolver: 2 x + y = 8 x + y = 7   3x - y = 7 x - y = 13 5. Resolver: 2x + y = 192. Resolver:  3x - y = -4  x + 3y = 8  x - y = 4 6. Resolver: 7x + y = 173. Resolver:  5x - y = 19 x + 6 y = 27  x - y = - 1 7. Resolver:4. Resolver:
  • 137.  x + 6y = 27  14. Resolver por igualación:  x - 3y = 9 3 - x + 2 y = 4 x - 3 8. Resolver: 2 x + y = 8  x - 2y = -2  15. Resolver:  x + 8y = -62 9 x + 16 y = 7 9. Resolver: 4 y - 3 x = 0 3x + y = 7  16. Resolver: 2x - y = -2 14 x - 11y = - 29 10. Resolver: 13y - 8 x = 30  x - 4y = − 11  17. Resolver:  x + 8y = 13 15 x - 11y = - 87  - 12 x - 5 y = - 2711. Resolver por igualación: 18. Resolver: 3m - 7n = 5  7 x + 9 y = 42 2m - n = 3  12 x + 10 y = - 4 19. Resolver:12. Resolver por igualación: 6 x - 18 y = - 85 2a - b = 3   24 x - 5 y = - 5 a + 3b = - 4 20. Resolver:13. Resolver por igualación: 3x + 7 y = 15 2a + 3b = 8   3a + b = 5 2x - 5 y = - 19 TAREA DOMICILIARIA1. Resolver: 3x + y = 11 x + y = 17   5x - y = 13 x - y = 5 5. Resolver:2. Resolver: 2x + 8 = y + 2 x + 2 y = 8   y + 4 = x + 2 x - y = 5 6. Resolver:3. Resolver: 2 x - 3y = - 11  x - 3y = 2   3x + y = 11 x + y = 6 7. Resolver:4. Resolver por igualación: 5x + 2y = 24  3x - y = 10
  • 138. Teoría de Ecuaciones Segundo Año8. Resolver: 15. Resolver: x - 2 y = 5 5 x + 6 y = 20   2 x + 4 y = 18 4 x - 3y = - 239. Resolver: 16. Resolver: x + y = 6 4 x + 5 y = - 32   5x - 4 y = 12 3x - 5 y = 1110. Resolver: 17. Resolver: x - 2 y = 10 5x + 7 y = - 1   2x + 3y = - 8 - 3x + 4 y = - 2411. Resolver: 18. Resolver: x + 3 y = 6 4 y + 3x = 8   5 x - 2 y = 13 8 x - 9 y = - 7712. Resolver por igualación: 19. Resolver por igualación: 2 x + y = 5   2y - 6 x - 3y = 6  = x  5 y - x = 913. Resolver por igualación:  3x - y = 7  20. Resolver por igualación: 2x + 3y = 12 x + y - 2 114. Resolver:  x - y =- x - 5y = 8  3   - 7 x + 8 y = 25  3x + y - 3 = - 1  2y - x  112. Resolución por el método de sustitución.Consiste en despejar una incógnita de las dos ecuaciones para luego reemplazarla en la ecuaciónque no se despejo dicha incógnita.Ejm. Resolver el sistema: x + 2 y = 7... (I)  x - y = 4... (II)Despejamos la incógnita "x" de la ecuación (I)de (I): x = 7 - 2yAhora la incógnita "x" despejado de la ecuación (I) lo reemplazamos en la ecuación (II)es decir: x - y = 4 7 - 2y - y = 4Desarrollando:7 - 3y = 4 7 - 4 = 3y 3 = 3y 1=yFinalmente sustituimos el valor de "y" en la ecuación (I):x = 7 - 2y x = 7 - 2(1)
  • 139. • x=5Luego la solución del sistema es: x = 5; y = 1 PRACTICA DE CLASEResuelva usando el método de sustitución los  x + 2y = 10siguientes sistemas:  x 2 - y = 3  x + y = 14 1. x - y = 6 11.Resolver: 2x + y = 4 7 x - 2y = - 34   3x - y = 11 5x + 3y = - 112.  2x + y = 4 12.Resolver:  10 x + 18 y = - 113. x + y = - 2  16x - 9 y = - 54. Exprese en forma canónica el siguiente 13.Resolver: sistema y resuelve: 4 x + 5 y = 5  3x + 2( y - 3) = 2 y - 10y - 4 x = - 7  2 x - ( y + 2x) = 4 14.Resolver: 32 x - 25 y = 13 5. Exprese en forma canónica el siguiente 16x + 15 y = 1 sistema y halle el valor de las incógnitas. 5 (a + b) + b = 22 + a  5 (a + 4) + b = 15 15.Resolver: - 13y + 11x = - 1636. Resolver por sustitución:  3m = 2n - 8x + 7 y = 94  2m = n + 2 16.Resolver por sustitución:7. Resolver por sustitución: 3 (a - 2b) = 15  a = b - 5 2 (2a - 5b) = 14  2a + b = 8 17.Resolver por sustitución:8. Resolver: 5 x + 2 y = 6 30 - (8 - m) = 2n + 30   7 x + 2 y = 10 5m - 29 = m - (5 - 4n)9. Resolver: 18.Resolver: 6 x + 4 y = 14  3x - (4y + 6) = 2y - (x + 18) 6 x - 3y = - 21  2 x - 3 = x - y + 410.Resolver: 19.Resolver por sustitución:
  • 140. Teoría de Ecuaciones Segundo Año x - 2 2y + 1 8x - 5 = 7y - 8  3 +  4 =5   6x = 3y + 9  2x - 1 = y + 5  4  320.Resolver: TAREA DOMICILIARIA1. Resolver: 2x + y = 1 3 (m + 2) = 2n   3x - y = 14 2 (n + 5) = 7m2. Resolver: 11.Resolver por sustitución: 4x + 5 y = 7  x - 1 = 2 (y + 6)  x + 3y = 7  x + 6 = 3 (1 - 2y)3. Resolver el sistema: 12.Llevar a su forma canónica y resolver: 5x + y = 14  3x - 4y = 36 2x + (x - 3y) = 5(x + y) + 2 − 3x  3x - (2y - x) = 35 + 3y4. Resolver el sistema: 7x + y = 1  5x - 2y = 17 13.Resolver:5. Resolver: 4( x + 3) + 2y = 11 7x - 3y -15 = 0   3( x + 2) - 3y = 13 4x + 9y + 24 = 0 14.Resolver por sustitución:6. Resolver: 2x - 3y = - 14 3a - (9a + b) = 5b - (2a + 9b)   3x + 3y = 39 4a - (3b + 7) = 5b - 477. Resolver: 15.Resolver por sustitución: 3x + 8y - 18 = 7   x + 5y + 7 = 13 (x - y) - (6x + 8y) = - (10x + 5y + 3) + y - 1  (x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x8. Resolver: 3x + 5 = -y 16.Resolver:   y - 13 = 6x  2x 5y  3 + 2 =3 9. Resolver por sustitución:   x + 2y = 4 2  3 x - 1 = y + 1   x - 3 = 3y - 7 17.Resolver:10.Resolver por sustitución:
  • 141.  2(x + y ) - 4 = 10 - x  x - 1 2y - 3 x y 3x 2y 17  - = + + =  3 4 2 6 10 5 5 2 x - y = 4 - (3x - 2y) 18.Resolver: x - 1 3y + 2  2 +  5 = 4 20.Llevar a su forma canónica y resolver:   3x + 2 = 2 y + 3x x - 1 y -1  3  3  2 + 3 =4    2x + 1 - 3y + 2 = x + 519.Resolver:  3  2 3 63. Resolución por el método de reducciónConsiste en eliminar una incógnita combinando las dos ecuaciones, tratando que los coeficientesde la incógnita a eliminar tengan el mismo valor absoluto y el signo contrario.Ejm: Resolver el sistema x + 2y = 7... (I)  x - y = 4... (II)Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por 2, obtenemos el sistema. x + 2 y = 7  2 x - 2 y = 8Ahora sumamos miembro a miembro las ecuaciones de este sistema y obtenemos. 3x = 15 de donde x = 5Finalmente sustituimos el valor hallado de "x" en la primera ecuación y hallamos y = 1luego la solución del sistema es: x=5;y=1 ∴ CS = {5; 1} PRACTICA DE CLASEResolver los siguientes sistemas por el método de 3x - 7y = 3 reducción.  2x + y = 21. Resolver: 4. Resolver: x - y = 4  2x + 2y = 5  x + y = 12  -2x + y = 4 5. Resolver por reducción:2. Resolver: 2x - y = -3  7 x - 15y = 1 3x + y = 8  - x - 6 y = 83. Resolver:
  • 142. Teoría de Ecuaciones Segundo Año6. Resolver: 2 (a + 5) = 4 (b - 4 a)  10 (b - a) = 11b - 12a x - 1 = y + 1  x - 3 = 3y - 7 14.Resolver:7. Resolver: 2( x + 5) = 4( y - 4x)  10( y - x ) = 11y - 12 x x - 1 = 2( y + 6)  x + 6 = 3(1 - 2y)8. Resolver: 3( x + 2) = 2y  2( y + 5) = 7 x 15.Resolver:9. Resolver: 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0  8 x - 5 = 7 y - 9 5( x - 1) - (2y - 1) = 0  6x = 3y + 6 16.Resolver: 3x - (9 x + y ) = 5 y - (2x + 9y)  4 x - (3y + 7) = 5y - 47 17.Resolver:10.Resolver por reducción: ( x - y ) - (6x + 8y) = - (10x + 5 y + 3)  6 x - 5y = - 9 ( x + y ) - (9y - 11x ) = 2 y - 2x  4 x + 3y = 13 18.Resolver:11.Resolver por reducción: 5( x + 3y ) - (7x + 8 y) = - 6  3x - 4y = 41 7 x - 9 y - 2( x - 18y) = 0  11x + 6 y = 47 19.Resolver:12.Resolver: 12( x + 2 y) - 8(2 x + y) = 2(5x - 6 y )  20( x - 4y) = - 10 30 - (8 - x) = 2 y + 30  5 x - 29 = x - (5 - 4y) 20.Resolver por reducción:13.Resolver por reducción: 5 (m + 3n) - (7m + 8n) = - 6  7m - 9n - 2 (m - 18n) = 0 TAREA DOMICILIARIA1. Resolver:
  • 143.  x - y = 10 9x + 11y = - 14   2x + y = 8 6 x - 5 y = - 342. Resolver: 12.Resolver: 5x + y = -8  3(2 x + y) - 2(y - x) = - 4(y + 7) 7x - y = -16  3(2y + 3x) - 20 = - 533. Resolver: 3x + 4y = 15 13.Resolver por reducción:  12 (m + 2n) - 8 (2m + n) = 2 (5m - 6n) 2 x + y = 5 4. Resolver: 20 (m - 4n) = - 10 5x + y = 16 14.Resolver:  4x + 3y = 15 x ( y - 2) - y (x - 3) = - 14 5. Resolver: y ( x - 6) - x(y + 9) = 54 15.Resolver:  x − 2y = 10  x − y = − 8 x y 5 = 4 6. Resolver:  3x - ( y + 2) = 2 y + 1 y = x - 1  3  3 5 y - (x + 3) = 3x + 1 16.Resolver:  3y + 37. Resolver: x = -  4  y = - 1 + 5 x 3x - (4 y + 6) = 2 y - (x + 18)    4 2 x - 7 = x - y 17.Resolver:8. Resolver por reducción: x + y 2 3m - 4n - 2 (2m - 7) = 0 x - y = -7   5 (m - 1) - (2n - 1) = 0   8x + y - 1 = 29. Resolver por reducción:  x - y -2  10 x - 3y = 36 18.Resolver:  2 x + 5 y = - 4  3x  2 + y = 11  10.Resolver por reducción: x + y = 7   2 11x - 9y = 2  13 x - 15 y = - 2 19.Resolver:11.Resolver por reducción:
  • 144. Teoría de Ecuaciones Segundo Año  y -3 3x - 5 = 6   3x + 4 y +2  x - =  7 3 3y - x - 2 = 9    7 2y - 5 x + 4 = x + 2420.Resolver:   11 2
  • 145. TEMA Nº 12: I N E C U A C I O N E SCapacidades: Define y expresa intervalos como conjunto y gráficamente. Opera con intervalos. Resuelve inecuaciones , utilizando la regla de los puntos críticos, que será de gran ayuda para el análisis de las funciones algebraicas en el conjunto R.Exploración y Desequilibrio: No es posible jugar ajedrez sin conocer las reglas, podríamos mover un peón 4 espacios o mover la torre diagonalmente; de igual forma no podemos trabajar con los números sin conocer las reglas que la gobiernan. Los números están vinculados a tantas aplicaciones teóricas y prácticas. Por ejemplo la música y los números se relacionan estrechamente, ya se ha descubierto que existe una relación entre la calidad armónica de los acordes de una Lira y las razones entre las longitudes de las cuerdas pulsadas. De tantas otras aplicaciones no nos equivocamos el decir que el mundo esta gobernado por los números. Siendo este el concepto matemático más importante, incluso marca hitos en la historia, así: • El origen de los números naturales caracteriza a la sociedad primitiva y es acondicionado para resolver las necesidades de las actividades prácticas del hombre. • La introducción de los números negativos fue provocada por el desarrollo del álgebra en la resolución de problemas generales (siglo XVII). • La aparición de los números fraccionarios positivos fue acondicionada a la necesidad de efectuar mediciones más pequeñas que la unidad. • En los años 70 del siglo XIV, fue desarrollada una teoría rigurosa de los números reales en los trabajos de R. Dedekind, G. Cantor y Weirstrass. Cada uno de estos conjuntos numéricos ha sido creado por extensión debido a las necesidades circunstanciales de resolver los problemas concretos de la vida cotidiana. En la recta numérica que se menciona consideremos los puntos -1 y 2. Entre -1 y 2 ¿Cuántos números -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 reales existen?
  • 146. Inecuaciones Segundo AñoDesarrollo del Tema: INTERVALO: Un intervalo es un subconjunto de R, cuyos elementos x están comprendidos entre los extremos a y b que pueden o no estar incluidos en el. CLASES DE INTERVALOS: Pueden ser limitados o ilimitados. 1. INTERVALOS LIMITADOS: A. Intervalo cerrado: Es aquel que si considera a sus valores extremos y se [ representa: a; b . ] Gráficamente: Donde x representa a cualquier de los elementos del intervalo x obsérvese que los puntos a y b están sombreados lo que significa a b que se incluyen a los extremos. Representación: x ∈ [ a; b ] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendidos entre -3 y +4 considerando a estos extremos. x -3 4 De donde: x ∈ [ −3;4] {x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 4} B. Intervalo Abierto: Es aquel conjunto de números que no considera a sus valores extremos: Gráficamente: Obsérvese que los puntos extremos a y b no están sombreados esto implica que no pertenecen al intervalo. Representaciones: x ∈ ] a; b[ o x ∈< a; b > Como conjunto: {x ∈ R / a < x < b}
  • 147. Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendidos entre -5 y -2 sin considerar a estos números extremos: de donde: x ∈< −5;−2 > ó {x ∈ R / − 5 < x < −21} C. Intervalo semiabierto: Cuando sólo incluye a uno de los extremos. Aquí se presentan dos casos bien definidos: * Abierto por la derecha y cerrado por la izquierda. Gráficamente: Aquí sólo a pertenece al intervalo, no así el extremo b. Luego: x ∈ [a; b > o {x ∈ R / a ≤ x < b} * Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha. Gráficamente: Aquí sólo b pertenece al intervalo, no así el extremo a. Representación: x ∈< a; b ] o {x ∈ R / a < x ≤ b}2. INTERVALOS ILIMITADOS Convengamos emplear el símbolo ∞ para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito y el símbolo − ∞ para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito pero en sentido opuesto (menos infinito). Es preciso aclarar que el ∞ no es un número sino la representación de una cantidad astronómica, muy grande, pudiendo ser mayor que cualquier número por muy grande que este sea. Como carece de un valor definido no podrá efectuarse con las operaciones aritméticas. A. Intervalo Ilimitado cerrado por la izquierda Gráficamente Este intervalo cerrado en a es el x conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y a +∞ simbólicamente lo expresamos: x ∈ [a; ∞ > ó {x ∈ R / x ≥ a} B. Intervalo ilimitado abierto por la izquierda: Gráficamente Este intervalo abierto en a es el conjunto de todos los números reales mayores que a y simbólicamente lo expresamos: x ∈< a; ∞ > ó {x ∈ R / x > a}
  • 148. Inecuaciones Segundo Año C. Intervalo Ilimitado cerrado por la derecha. Gráficamente Este intervalo cerrado en a es el conjunto de todos los x números reales menores o iguales que a y simbólicamente −∞ a ] lo expresamos: x ∈< −∞; a ó {x ∈ R / x ≤ a} D. Intervalo ilimitado abierto por la derecha Gráficamente: Este intervalo abierto en a es el conjunto de todos los números reales menores que a y simbólicamente lo expresamos: x ∈< −∞; a > ó { x ∈ R / x < a} 3. OPERACIONES CON INTERVALOS Como los intervalos son subconjuntos de R, pueden realizarse con ellos las propiedades operativas de los conjuntos, como son: la unión, intersección, diferencia y complementación. PRACTICA DIRIgIDA 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos, cuáles falsos y por qué? a) 12 ∈ ]9, ∞[ b) y ∈ [ x, y[ c) − π ∈ ] − 4;1] d) 3 / 5 ∈ [ − 1;1[ e) a ∈ ] a; b ] f) 3 ∈ ] − 1;1] 2. Exprese en notación conjuntista los siguientes intervalos a) g) [ − 5;3 / 2] < −7;5] b) h) <9; ∞ [ − 8 / 5;+∞[ > c) i)
  • 149. ] − ∞;0.3[ [−3;4 > d) j) ] − 5;5[ [−16;0 > e) k) ] − ∞;3.6] < 2 ;2 > f) l) [ − 9;−3] < −3; 2 ]3. Exprese en notación de intervalos los siguientes conjuntos: a) i) { x / x ∈ R ∧ x < −11} { x / x ∈ R ∧ x < −5} b) j) { x / x ∈ R ∧ x ≥ 2} { x / x ∈ R ∧ x ≤ −11} c) k) { x / x ∈ R ∧ 7 < x < 8} { x / x ∈ R ∧ −13 < x < −9} d) l) { x / x ∈ R ∧ −5 < x ≤ 4} { x / x ∈ R ∧ −4 ≤ x < −1} e) m) { x / x ∈ R ∧ −2 ≤ x ≤ 6} { x / x ∈ R ∧ x ≤ −30} f) n) { x / x ∈ R ∧ 4 ≤ x < 7} { x / x ∈ R ∧ −17 < x ≤ 2} ñ) g)  1 1 { x / x ∈ R ∧ x ≥ 0} x / x ∈ R ∧ − < x <   2 2 h) o) { x / x ∈ R} { x / x ∈ R ∧ x ≥ −1}4. Dados los intervalos:  3 a. A = − 4;  y B = [ − 2;3], Hallar : A ∪ B, A ∩ B, A − B y B−A  2  [ b. P = 4;13 / 2 [ y Q = ]5;8[ , Hallar : A ∪ B, A ∩ B, A − B y B − A [ ] c. A = − 4;4 ; B = − 3;1 [ [ y C = ] − 1;3], Hallar : A ∩ C , C − A, A ∩ B, B − A, B − C ] d. A = − ∞,2 [ y B = ] − ∞,−1], hallar : A ∪ B, A ∩ B, B − A y A5. Escribe los siguientes intervalos en forma conjuntista: a. [ 5 ; ∞〉 b. 〈 0.8, ∞〉 c. [ −6.6;4.4〉 d. [ − 3 , ∞〉6. Escribe con notación de intervalos los siguientes conjuntos: a. { x / x ∈ R ∧ x < −5} b. { x / x ∈ R ∧ x ≥ −2} c. { x / x ∈ R ∧ x ≤ −7} { d. x / x ∈ R ∧ − 2 < x < 2 }7. ¿Qué intervalos representan los siguientes gráficos? a. b. 1,2
  • 150. Inecuaciones Segundo Año c. d. 8. Escribe la gráfica de: a. x ≤ −5 b. x > −1 c. x ≥ −6 d. −1 < x ≤ 1 9. Dados los intervalos: A = [−1; ∞〉 B = 〈−∞,3〉 C = [ − 5;−1] D = 〈−2;3] E = [ 0;4] Grafica y halla: a. A ∪ B b. A ∩ C c. A – D d. A ∩ E e. B – A f. B ∪ C g. B ∩ D h. B ∪ E i. C ∩ D j. C ∪ E k. D – E l. E – B 10. Si: A = [−7;3〉; B = 〈−2;5] Determinar a qué intervalo pertenece “A – B” a. 〈− 2;3〉 b. 〈−∞;3〉 c. [ −2;3〉 [ d. − 2;3 ] [ e. − 7;−2 ] 11. Si: A = 〈−5;3]; B = [0;4〉 entonces A ∩ B es: a. 〈 0;3] [ ] b. 0;3 c. [0;3〉 d. 〈 0;3〉 e. 〈 2;5] 12. Si: ( x − 2) ∈ 〈−8;4] ⇔ x ∈ A , y que si: ( x + 3) ∈ [1;12〉 ⇔ x ∈ B , por tanto A ∩ B es: a. [−2;8] [ b. − 3;9 ] [ c. − 2;6 ] d. − 3;8[ ] [ e. − 8;6 ] 13. Si: (3x − 1) ∈ 〈 2;11] ⇔ x ∈ E y si (4 x + 2) ∈ [ − 6;14] ⇔ x ∈ F por lo tanto E – F es: [ ] a. 3;4 b. 〈1;3] [ ] c. 1;3 d. 〈3;4〉 [ ] e. 1;4 14. Sean los intervalos: A = 〈−3;4]; B = [ − 1;6] Calcular A ∩ B a. 〈− 3;4〉 b. [ − 1;4] c. [1;4] d. [ −1;6〉 e. 〈− 1;4〉 15. Si A = 〈− 3;2]; B = [ 2;5] Calcular A ∪ B a. [ −3;5〉 b. 〈− 3;5〉 c. 〈−∞;−∞〉 d. 〈− 3;5] e. φ 16. Si P = [−1;3〉; Q = [ 3;6] Calcular P ∩ Q a. [ −1;6〉 b. 〈− 1;6〉 [ c. − 1;6 ] d. 〈− 1;6] e. φ 17. Efectuar A ∩ B Si: A = 〈− 5−,1]; B = [1;2〉 a. 〈− 5;2〉 b. [ − 5;2] c. 〈− 5;2〉 d. 1 e. N.A 18. En la siguiente recta numérica se presentan dos intervalos N y M. Entonces el intervalo M – N.
  • 151. a. 〈1;3] b. 〈1;3〉 c. [1;3〉 [ ] d. 1;3 e. φ 19. Señalar las afirmaciones correctas: I. [ a; b] Intervalo cerrado II. 〈 a; b〉 Intervalo semi abierto III. (a;b) Par ordenado a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. I y II e. Todas son correctas 20. Sean los intervalos: A = [ − 5;7 ]; B = 〈− 3;9〉 Calcular la suma de los valores enteros de A∩ B a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 25 21. Sean los intervalos: C = [ − 9;9] y D = 〈9;15〉 Calcular: C ∪ D [ a. − 9;9 ] b. 〈9;15〉 c. 〈− 9;15] d. [0;15〉 e. [ −9;15〉 22. Escoge un valor específico para probar en cada intervalo y registra los resultados en la tabla: x x Interval 1< o < x< > Signo 3 1 3 1 − 2x x−3 2x − 1 3− x 2x − 1 x−3Exploración y Desequilibrio:Encuentra los valores numéricos para “x”, de tal manera que cumpla la desigualdad? a) X + 6 < 14 b) X – 8 >10Desarrollo del Tema:1. INECUACION: es una Desigualdad, es la relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los números. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
  • 152. Inecuaciones Segundo Año Si una desigualdad contiene incógnitas, se denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x menor que 3 es una solución de -2x + 6 > 0. PRACTICA DE CLASE1) En cada caso halla los valores de la incógnita, de tal manera que cumpla la desigualdad: a) 2x + 30 < 200 – 40 + (3)(6) d) 5z + (4)(14) = (4)( z + 5 ) + (17)(3) b) 4y + 40 < (3)( y – 4 ) e) 4x - 2x – (6)(6) = (19)(5) c) x – (5)(8) = (2)( x – 10 ) f) 4m – 3m + 18 = (2)(2 + m )2) Hallar el conjunto solución de: 2 + 3x < 8 + 5x3) Hallar el conjunto solución de: 3 (2 - 3x) < 2(6 + 4x)4) Hallar el conjunto solución de: x2 > x ( x- 2 ) + 35) Hallar el conjunto solución de: x2 > x ( x+ 2 ) + 36) Hallar el conjunto solución de: 12 < 3x < 367) Hallar el conjunto solución de: 15 < 5x + 5 < 458) Hallar el conjunto solución de: 2 + 3x < 8 + 5x < 26 - 4x9) Hallar el conjunto solución de: 12 + 3x < 18 + 5x < 36 - 4x10) Hallar el conjunto solución de: 1-4x < 11 + 2x < 6x –111) Hallar el conjunto solución de: 3x + 2 < 0,8x + 4 < x + 612) Hallar el conjunto solución de: (2x-1)/3 < (3x-1)/2 + ( 5-x)/613)La carga máxima que puede transportar un camión es de 3500kg. Si se sabe que en cada viaje transporta como mínimo 2800kg. ¿Cuántos paquetes de 70kg como máximo puede transportar en cada viaje? a) 50 b) 70 c)80 d) 6014)Un lado de un triángulo mide 65cm, otro mide 15cm y el tercero tiene la mayor medida exacta de centímetros terminada en 5. Hallar el perímetro del triángulo a)150 b)155 c)180 d)16015)Janine, Francisco y Felipe son hermanos. Janine tiene 15 años y Francisco tiene 3 años más que Felipe. La suma de los años de Francisco y Felipe no alcanzan a igualar la edad de Janine. ¿Cuántos años tiene Felipe, si su edad es un número impar mayor que 4? a) 6 b) 7 c)8 d) 5
  • 153. 16)Se reparte un número de monedas, comprendidas entre 285 y 305, entre los hermanos Basilio, Vicente y Fernando. Se sabe que Vicente recibe 8 veces lo que recibió Basilio y éste recibió 5 monedas, menos de lo que recibió Fernando. ¿Cuánto recibe cada uno? EXCEPTO a) 232 b) 34 c)29 d) 9017)El triple de un número de aumentado en 4 es menor que 214; y la mitad del número, disminuido en 4 es mayor que 30. El número es: a) 70 b) 66 c)68 d) 6918)En una caja donde sólo hay bolas rojas y blancas, las rojas exceden en 8 a las blancas. Si el total de bolas está comprendido entre 206 y 210. ¿Cuántas bolas blancas hay? a) 99 b) 101 c)102 d) 100Exploración y Desequilibrio:Encuentra un los valores numérico para “x”, de tal manera que cumpla la igualdad? a) 2X + 6 < 14 b) 3X – 8 > 10Desarrollo del Tema: INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 1. UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma, ax2 + bx + c > 0, ó ax2 + bx + c < 0 Donde “a”, “b”, y “c” son coeficientes, siendo a ≠ 0 Si “a”, “b”, y “c” son diferentes de cero, la inecuación se llama completa. Y si “b” ó “c” ó ambos, son ceros, la inecuación se llama incompleta; “a” no puede ser cero, porque entonces dejaría de ser la inecuación de segundo grado. Si “a” fuera negativo e multiplican ambos miembros por –1 para hacerlo positivo, con lo cual se cambia de sentido a la desigualdad. 2. RESOLUCIÓN: Para determinar las soluciones de una inecuación de segundo grado se aplica los siguientes procesos:  Si fuera de la forma: x2 - c > 0 se despeja “x” y se resuelve según la equivalencia: Si c > 0 entonces x2 > c si y solo si x>√c ó x<-√c Si c > 0 entonces x2 > c si y solo si x>√c ó x<-√c  Si fuera de la forma: x2 - c < 0 se despeja “x” y se resuelve según la equivalencia: Si c > 0 entonces x2 < c si y solo si -√c< x < √c Si c > 0 entonces x2 < c si y solo si -√c< x < √c  Si el trinomio ax2 + bx + c fuera completa:  Se procede a factorizar y obtener las raíces  Se ubican las raíces sobre la recta numérica real.  Mediante una línea paralela y en la parte superior al eje real desde él, avanzando de la derecha hacia la izquierda cortando sucesivamente las raíces ubicadas sobre la recta, hasta el ∝
  • 154. Inecuaciones Segundo Año  Considerando que el área encerrada por encima de la recta numérica real son positivos y corresponden a todas aquellas proposiciones abiertas positivas y las otras que corresponden a las negativas.  Si las desigualdades poseen < ó > se consideran abiertos y si poseen < ó > se consideran cerrados PRACTICA DE CLASE1) Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Incompletas de la forma: ax2 - c < 0 a) x2 - 64 < 0 d) 2x2 - 288 < 0 b) x2 - 400 < 0 e) 3x2 - 75 < 0 c) x2 - 256 < 0 f) 6x2 - 96 < 02) Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Incompletas de la forma: ax2 - c > 0 a) x2 - 49 > 0 d) 3x2 - 588 > 0 b) 6x2 - 486 > 0 e) 7x2 - 63 > 0 c) 4x2 - 9 > 0 f) 20x2 - 5 > 03) Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Incompletas de la forma: ax2 + bx > 0 a) x2 < 5x d) 7x2 > x b) 2x2 < 6x e) 3x2 > 6x c) 5x2 < 45x f) 64x2 > 4x4) Cuando son Inecuaciones Cuadráticas Completas a) x2 < 5x - 6 f) x2 > - 6 - 7x b) x2 < 15 - 2x g) x2 > - 21 - 10x c) x2 < 12 - 7x h) 2x2 > 6x + 140 d) x2 < 9x - 8 i) 3x2 > 180 – 21x e) x2 < 23x - 120 j) 4x2 > - 16 + 20x5) Resuelve las sgtes Inecuaciones Cuadráticas Incompletas despejando la variable: a) 3x2 - 48 < 0 d) 5x2 - 125 < 0 b) 5x2 - 320 < 0 e) 6x2 - 12 < 0 c) 5x2 - 45 > 0 f) 6x2 - 24 > 06) Resuelve las sgtes Inecuaciones Cuadráticas por factorización: a) 11x2 = 176x g) 7x2 = 252x b) 11x2 = 275x h) 9x2 = 162x c) x2 + x – 156 > 0 i) - x2 – 7x + 18 > 0 d) x2 – 8x +12 < 0 j) x2 + 2x –35 < 0 e) x2 - 10x + 25 < 0 k) 2x2 < 3 - 5x f) 6x2 < 13x - 7 l) 4x2 = 6 - 10x7) ¿Tendrá solución la inecuación cuadrática: x2 – 4x + 6 < 0 ?8) ¿Tendrá solución la inecuación cuadrática: x2 + 14x + 49 < 0 ?
  • 155. TAREA DOMICILIARIA 1 Si x + 4 > 7, calcular el mínimo valor c) x ∈ [-2 ; 2] – {10} entero de “x”a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 d) x ∈ 〈-∞ ; -3] ∪ [3 ; +∞〉 2 Si x + 3 ≤ 6, calcular el máximo valor e) N.A. de “x”.a) 2 b) 3 c) 8 d) 1 e) 6 10 Resolver: (x2 – x – 6)(x + 7) ≤ 0 Resolver las siguientes inecuaciones a) x ∈ 〈-∞ ; -7] ∪ [-2 ; 3] 3 Calcular la suma de los valores de los números enteros “x”, tal que: b) x ∈ 〈-∞ ; -3] ∪ [3 ; 4〉 3 ≤ 2 x ≤ 10 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 c) x ∈ 〈-∞ ; 1] ∪ [2 ; 3〉 4 Si x + 2 ≥ 0, calcular el mínimo valor d) x ∈ 〈-∞ ; 7〉 de (x + 6)a) 7 b) 8 c) 13 d) 4 e) 5 e) N.A. 5 Si x ∈ 〈1 ; 7〉, entonces a que intervalo 11 Si x ∈ [5 ; 8], indique el mayor valor pertenece x + 3 x−3a) 〈3 ; 4〉 b) 〈4 ; 10〉 que toma la expresión: x +1c) 〈3 ; 7〉 d) 〈7 ; 10〉 e) N.A. 12 Resolver la inecuación: x+4 6 Resolver: ≥0 (x + 1) < (x + 1) (4x – x2 – 3) x−3 a) x ∈ 〈-1 ; +∞〉 a) x ∈ 〈-∞ ; -4] ∪ [3 ; 8〉 b) x ∈ 〈-∞ ; -1〉 b) x ∈ 〈-∞ ; 2] ∪ [3 ; 6〉 c) x ∈ 〈-∞ ; 0〉 c) x ∈ 〈-∞ ; -4] ∪ 〈3 ; +∞〉 d) x ∈ 〈-3 ; 4〉 d) x ∈ 〈-3 ; 2] ∪ [4 ; +∞〉 e) N.A. e) N.A. x+3 13 Sean los intervalos: A = [-6 ; 5] 7 Resolver: ≥2 x−2 B = ] -2 ; 9[a) x ∈ 〈2 ; 7] b) x ∈ [2 ; 7〉 Calcular la suma de los valores enteros de A ∩ Bc) x ∈ 〈-3 ; 6] d) x ∈ [3 ; 6〉 e) N.A. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 7 8 Resolver: ≥1 14 Si la unión de los intervalos: xa) x ≤ 7 b) x ≥ 7 E = [- 4 ; 5[ F = ]- 2 ; 5]c) x < 3 d) x = 0 e) N.A. es : [a ; b]. Calcular “ab” a) – 20 b) – 10 c) 2 d) 8 e) 25 9 9 Resolver: ≥1 x2 15 Resolver: a) x ∈ 〈-3 ; 2〉 (x + 5 )(x + 3) ≥ (x + 2)(x + 1 ) + 3 a) x ∈ [- 2;+∞[ b) x ∈ ]- ∞;- 3] b) x ∈ [-3 ; 3] c) x ∈ [ 2; +∞ [ d) x ∈ ]- ∞; - 2] e) x ∈ [ 3; +∞ [
  • 156. Inecuaciones Segundo Año 16 Resolver: x 2 − 3x < 4 18 Resolver: 1 <0 a) x ∈ R b) x > -1 c) x > 4 x2 + x +1 d) −1 ≤ x ≤ 4 e) –1 < x < 4 a) ] − 35 ; − 7 [ b) ] − 35 ; − 3 [ c) R d) φ e) R − ] − 35 ; − 7 [ 17 Resolver: x 2 + 2 x > 8 ; e indicar un intervalo solución :a) ]4; +∞[ b) ]- ∞; 2[ 3x − 1 c) ]2;+∞[ d) ]1; +∞[ 19 Resolver: 3 < <5 x −5 e) ]4;+∞[ a) x > 14 b) x > 13 c) x > 12 d) x > 15 e) x > 5
  • 157. TEMA Nº 1 3: FUNCIONESCapacidades: Define y grafica funciones. Resuelve problemas con funciones.Desarrollo del Tema: FUNCIONESEjemplo.- El profesor de Historia del Perú organiza a sus alumnos de clase en equipos paraque realicen un trabajo (asignación). Con tal fin les recomienda una lista de libros y pude acada alumno lea un libro. Veamos cómo trabajó cada equipo.A = {alumnos del equipo # 1} B = {alumnos del equipo # 2}L = {libros recomendados} L = {libros recomendados}Los diagramas representan la relación R… leyó el libro… entre el conjunto de alumnos de unequipo y el conjunto de libros recomendados. Observa cuántas flechas salen de cada punto deldominio. ⇓ ⇓ Equipo # 1 Equipo # 2 De acuerdo a este diagrama: De acuerdo a este diagrama: De: 1, 2, 3, 4; 6 ∧ 7 sale una sola De 1, 2, 3 y 4 sale una sola flecha flecha (cada uno leyó un libro) (cada uno leyó un solo libro) De 5 no sale ninguna flecha (no leyó De 5 ∧ 6 no sale ninguna flecha (no ningún libro). leyeron ningún libro). De cada punto del conjunto de partida sale una sola flecha o ninguna. Las relaciones que cumple esta propiedad se llama funciones.DEFINICIÓN.- Se dice que una relación entre A y B es una función cuando de cada punto delconjunto de partida sale a lo más una flecha.Ahora analicemos el diagrama del equipo # 1.En el conjunto de partida:El punto 1 tiene como correspondiente al punto a, se dice que “a” es imagen de 1.
  • 158. Funciones Segundo AñoAl punto 5 no le corresponde ninguno como imagen.Se dice que la función no está definida para el punto 5.Los puntos 1, 2, 3, 4, 6 y 7 tienen una sola imagen.En el conjunto de llegada:A los puntos b ∧ d no llega ninguna flecha (b ∧ d no son imágenes de ningún punto deldominio).Al punto c llega una sola flecha (c es imagen de un punto del dominio).Al punto 2 “a” llegan dos flechas (a es imagen de dos puntos del dominio).Al punto “e” llegan tres flechas (e es imagen de tres puntos del dominio).Marquemos el dominio de cada función.OBSERVA:De cada punto del dominio sale una sola flecha.El conjunto D(+) se llama dominio de la función.El conjunto R(+) se llama rango de la función.De acuerdo con estas observaciones podemos dar otra definición de función.DEFINICIÓN.- Se dice que una relación es una función cuando de cada punto de su dominiosale una y sólo una flecha.OBSERVACIONES.- Toda función es una relación, esto quiere decir que de una función surgela frecuencia de i) un conjunto de partida; ii) un conjunto de llegada; iii) una flecha decorrespondencia.• Para que una relación sea función debe cumplirse lo siguiente: “Cada elemento de su dominio debe tener una sola imagen”.• No toda relación es función.NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN: f = {(x; y) ∈ A x B/y = f(x)}Donde:A : conjunto de partida.B : conjunto de llegada.Y = f(x) : Regla de correspondencia.
  • 159. x : Preimágenes; variable independiente. y : imágenes; variable dependiente.D(+) : Dominio de la función; conjunto de todas las imágenes.R(+) : Rango de la función; conjunto de todas las imágenes.OBSERVACIÓN.- Si el dominio de la función D(+) es igual al conjunto de partida (A); o seaD(+)=A, entonces la función recibe el nombre de Aplicación. Luego, toda aplicación es unafunción; pero no toda función es una aplicación.Ejemplo 1: Dados: A = {1; 3; 5; 7} ∧ B = {2; 4; 6; 9; 10; 12}Halla: a) f : a  B; tal que : y = x + 1 b) D(f) ∧ R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?Solución:a) (tabulado)  f = {(1; 2), (3; 4); (5; 6)}b) Dominio de la función: R(+) = {1; 3; 5} Rango de la función: R(+) = {2; 4; 6}c) f : A  B “se lee f aplica x en y”. d) No es una aplicación pues el dominio de la función, o sea: D’f) = {1; 3; 5} es diferente del conjunto de partida ∧; o sea A = {1; 3; 5; 7} ∴ D(+) = + AConjunto de Conjunto de partida llegadaEjemplo 2: Dados: A = {-2: -1: 0; 1; 2} ∧ B = {0; 1; 2; 3; 4}Halla: a) f : A  B; tal que: y = x2 b) D(+) ∧ R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?Solución.- a) + = {(-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4)} b) D(+) = {1-2; -1; 0; 1, 2} D(+) = {0; 1; 4{ c) Diagrama d) Si es aplicación porque D(+) = AEjemplo 3: Dados: A = {1; 3; 5; 7} ∧ B = {3; 5; 6; 7; 9}
  • 160. Funciones Segundo AñoHalla: a) f : A  B; tal que: y = 2x + 3 b) D(+) ∧ R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?Solución.- a) + = {(1; 5); (3; 9)} b) D(+) = {1; 3}; R(+) = {5; 9} c) d) No es una aplicación pues el dominio de la función D(+) o sea: D(+) = {1; 3] es diferente al conjunto A O sea: A = {1; 3; 5; 7} ∴ D(+) ≠ AFUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE DIAGRAMA SAGITALUna relación definida mediante un diagrama sagital es función si de cada elemento de sudominio sale una sola flecha.Analicemos cada una de las siguientes relaciones definidas gráficamente mediante diagramassagitales.Si: Si:En la relación R1 se observa que el conjunto de partida es:A = {1; 3; 5; 7} y el conjunto de llegada es: B = {2; 4; 6; 8}, siendo: D(R1) = {1; 3; 5};R(R1) = {2; 6; 8}REGLA DE CORRESPONDENCIA“a 1 le corresponde 8”, “a 3 le corresponde 2” y “a 5 le corresponde 6”
  • 161. R1, si es una función; porque_ “cada elemento de su dominio tiene una sola imagen”; tambiénpodríamos decir que de cada elemento de su dominio sale una sola flecha.• En la relación R2 si es una función, porque de cada elemento de su dominio, sale una sola flecha.• En la relación R3, no es una función, porque del elemento 4 de su dominio, salen 2 flechas.• En la relación R4 si es una función, porque de cada elemento de su dominio sale una sola flecha.FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE PARES ORDENADOSLas relaciones R1; R2; R3 ∧ R4, pueden ser definidas de la manera siguiente:R1 = {(1; 8); (3; 2); (5; 6)}R2 = {(1; 5); (2; 6); (3; 7)}R3 = {(2; 3); (4; 1); (4; 6); (8; 3)}R4 = {(1; 4); (3; 1); (4; 6); (9; 8)}De acuerdo a la definición de función; R1; R2 y R4 son funciones, pues observamos que lasprimeras componentes de cada función son todas diferentes; sin embargo en la relación R3,observamos los pares ordenados diferentes con primera componente igual: (4; 1) y (4; 6)(4; 1) ≠ (4; 6); esto es lo que distingue a una relación que no es función.FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE DIAGRAMAS CARTESIANASComo bien sabemos, las relaciones en general también son expresadas mediante diagramascartesianos; así:Ejemplo 1: Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {5; 6; 7}Halla: R = {x; y} ∈ A x B / y – x = 3} y diagramar.Solución: R = {(2; 5); (3; 6); (4; 7)} Del diagrama: D(R) = {2; 3; 4} R(R) = {5; 6; 7} La imagen de 2 es 5 La imagen de 3 es 6 La imagen de 4 es 7 ∴ R si es función. D(R) Con D’partida
  • 162. Funciones Segundo AñoEjemplo 2: Dados: A = {1; 2; 3} ∧ B = {1; 2; 4}Halla: R = {(x, y) ∈ A x B / x > y} y diagramarSolución.-R = {2; 1); (3; 1); (3; 2)} ∴ R no es función.Ejemplo 3: Dados: A = {1; 2; 3} ∧ B = {2; 4; 6}Halla: R = {(x, y) ∈ A x B / x = y/2}Solución.- R = {(1; 2); (2; 4); (3; 6)} ∴ R si es función.RECOMENDACIONESUna relación definida mediante un diagrama cartesiano es función si una recta trazadaperpendicularmente al eje de coordenadas en el que está representado el dominio, contiene alo más un punto de dicha representación. (si es función) (no es función) (si es función)RECUERDA QUE: Una función puede ser definida por su diagrama sagital o cartesiano o porun conjunto de pares ordenados o grupo. EJERCICIOS1) Dados: A = {2; 3; 4} ∧ B = {3; 5; 6}; cuáles de las siguientes relaciones no es una función de A en B. R1 = {(2; 3); (3; 5); (4; 6)} R2 = {(2; 5); (3; 3); (4; 6)} R3 = {(2; 5); (2; 6); (3; 3)}2) Dados: A = {-1; 0; 2; 4} ∧ B = {-2; 0; 6; 8} Halla: a) + : A  B; tal que: Y = 2X b) Dominio, rango de f c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?3) Sean: A = {1; 4; 5; 7} ∧ B = {2; 3; 5; 7} Encuentra: R = {(x, 7) ∈ A x B / x = y + 1}; diagramar4) Sean: A = {2; 3; 4; 5} ∧ B = {3; 8; 15; 26]
  • 163. Encuentra: R = {(x; 7) ∧ A x B / y = x2 – 1}, diagramar.CLASES DE FUNCIONES1. FUNCIÓN INYECTIVA O “UNO A UNO”.- Una función f : A –B, es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio se hacen corresponde imágenes distintas, es decir a ninguna imagen llegan dos flechas. Una función f : A –B; se llama inyectiva (uno a uno) si para todo X1 y X2 que pertenecen al dominio de f; siendo: X ≠ X2 implica que: f(x1) ≠ f(x2)2. FUNCIÓN SURYECTIVA; SOBREYECTIVA O FUNCIÓN SOBRE.- Una función f : A  B, es subyectiva; cuando el rango de la forma es igual al conjunto B. Una función f : A  B; se llama suryectiva, si para todo elemento Y ∈ B, existe un elemento X ∈ A; tal que: (X; Y) ∈ f ó Y = f(x)3. FUNCIÓN BIYECTIVA.- Sea la función: Se observa: f : es inyectiva y como R(f) = B; también es subyectiva. Luego: una función f : A  B se llama función biyectiva o es una bisección, si f es inyectiva y suryectiva.Ejemplo 1: Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {a, b, c} , la función:f = {(2; b); (3; a); (1; a); (4; c)}Solución.- a) f no es inyectiva porque: (1; a) , (3; a) b) f es suryectiva pues R(f) = B c) f no es biyectiva pues para serlo debe ser inyectiva y suryectiva a la vez.
  • 164. Funciones Segundo AñoEjemplo 2: Dados: A = {1; 3; 5; 6; 7} ∧ B = {2; 4; 6} ,la función: f = {(x, y) ∈ A x B = x + 1}a) ¿Es inyectiva? b) ¿Es suryectiva? c) ¿Es biyectiva?Solución.-f = {1; 2) , (3; 4) , (5; 6)Grafica: Luego: a) f si es inyectiva (uno a uno) b) f si es suryectiva pues R(f) = B, esto quiere decir que el rango de la función es igual al conjunto B. c) f si es biyectiva por (a) ∧ (b)Ejemplo 3: Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {2; 4; 6; 7} , la función: f = {(x, y) ∈ A x B/Y =2xa) ¿Es inyectiva? b) ¿Es suryectiva? c) ¿Es biyectiva?Ejemplo 4: Dados: A = {1; 3; 5; 6} ∧ B = {5; 9; 11; 15} ,La función: f = {(x, y) ∉ A x B / y = 2x + 3}a) ¿Es inyectiva? b) ¿Es suryectiva? c) ¿Es biyectiva?INVERSA DE UNA FUNCIÓN.- La función de una relación es siempre otra relación. Veamos: Dada la relación: R … leyó el libro Si se cambia el orden de los elementos es necesario cambia la relación para que la proposición obtenida resulte verdadera; o sea: El libro “fue leído por” el alumno. Esta relación se llama inversa de R, se designa por R-1Luego: Si: R: … leyó el libro … Entonces R-1 … fue leído por … R-1 (C alumnos) (C libros) (C alumnos) (C libros) -1 Relación: R … fue leído por …
  • 165. ¿SERÁ LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN OTRA FUNCIÓN?Analicemos el diagrama. En los que has representado la relación: R-1 … fue leído por … No es función, porque de “a” salen dos flechas. Como recordarás del conjunto de partida (de donde salen las flechas), tan solo debe salir una sola flecha para que dicha relación sea función.(C alumnos) (C libros)Nota.- Como se ha podido observar no siempre la inversa de una función es otra función.COMPARACIÓN DE FUNCIONES.- Se puede realizar operaciones con funciones.Especialmente vamos a estudiar la operación llamada COMPARACIÓN DE FUNCIONES.Componer dos funciones f ∧ g significa aplicar la segunda al resultado de la primera.Ejemplo: Si: f; x  x . 3 x f x.3 g x.3-1 y;g:xAplicamos la función g al resultado de la función f.Cuando aplicamos f al valor x anotamos f(X).Cuando aplicamos g al resultado de f, anotamos: g o f, o es el signo de la operación decomposición.g o f se lee: “g cerito f” o “g compuesta con f”.Los siguientes diagramas muestran primero las funciones f ∧ g, y luego la composición deambas funciones: g o f.
  • 166. Funciones Segundo AñoLuego: g o f [f(x)] = f(x) – 1 = x . 3 -1 = 3x – 1  ∴ g o f = 3x – 1NOTA.- La compuesta de dos funciones es otra función g o f. x f:x ∧ g:x  x+5 2Solución: xSi : f : x  f x g x 2 x .3 .3-1 2 2y: g:x x+5 x xLuego: g o f = g [f(x) = f(x) + 5 = +5  ∴gof= +5 2 2Ejemplo 2: Dadas las funciones: f : x  x2 g:xx–2a) define a) g o f c) f o gSolución:a) Calculamos: g o f Si: f : x  x2 x f x2 g x2 - 2
  • 167. y;g:xx–2 Luego: g o f = g[f(x) = (f(x)2 – 2 = x2 – 2  ∴ g o f = x2 - 2b) Calculamos: f o g Si: g : x  x – 2 x g x-2 f (x – 2)2 2 y;f:xx Luego: f o g = f(9(x)] = (g(x)2 = (x – 2)2  {f o g = (x – 2)2 ACTIVIDADEJERCICIO 1.- Determina todas las funciones posibles entre A y B, siendo A el dominioEJERCICIO 2.- De acuerdo con el diagrama la imagen de cada uno de los siguienteselementos es: f(b) = f(e) = f(c) = f(f) =
  • 168. Funciones Segundo Año f(d) = f(a) =EJERCICIO 3: Decir, ¿cuál(es) de los gráficos representa una función?EJERCICIO 4: Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones:EJERCICIO 5: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:f(x) = 2x – 3 ∧ g(x) = 4 – 5x; hallaa) (f o g)(3) b) (g o f) (-1)EJERCICIO 6: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:f(x) = x – 1 ∧ g(x) = 2 – 3x. Halla:a) (f o g)(2) b) (g o f)(2)EJERCICIO 7: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:
  • 169. F(x) = 3x – 2 ∧ g(x) = 4 – 5x. Hallaa) (f o g)(x) b) (g o f)(x)EJERCICIO 8: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:f(x) = 6 – 3x ∧ g(x) = x2 + 1. Halla:a) (f o g)(x) b) (g o f)(x)NOTACIÓN FUNCIONALAsí como utilizamos x para representar un número, sin especificar cuál necesitamos un símbolopara representar una función sin tener que especificar de qué función particular estamoshablando. Esta notación es: y = f(x); que se lee “y es una función de x” o “y es igual a f dex” (esta última notación no significa f por x).Obviamente en lugar de x e y hubiéramos podido emplear cualesquiera dos variables, escritasen la forma: variable dependiente = f(variable independiente).VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTESEn la ecuación: y = 2x + 3, y, recibe el nombre de variable dependiente porque su valordepende del valor que se le de a x; así si asignamos a x el valor de 2; y = 2(2) + 3 = 7; o si x= 3, entonces: y = 2(3) + 3 = 9.A la variable x se le llama variable independiente.Las funciones normalmente se expresan en forma de ecuaciones.Ejemplo: La ecuación: y = 3x2 – 4x + 2, es una función. Podemos hallar uno y solo un valorde “y” que corresponda a cada valor que se asigne a “x”. Veamos:Cuando: x = 0  y = 3(0)2 – 4(0) + 2  y = 2Cuando: x = 1  y = 3(1)2 – 4(1) + 2  y = 1Cuando: x = 2  y = 3(2)2 – 4(2) + 2  y = 6Cuando: x = -1  y = 3(-1)2 – 4(-1) + 2  y = 9No todas las ecuaciones son funciones. Para que una ecuación sea función debe cumplirse quepara cualquier valor que tiene “x”; a “y” le debe corresponder un solo valor.Ejemplo: La ecuación: y = ± x no es función, porque para cada valor de “x” obtenemosdos valores para “y”.Veamos:Cuando: x = 1  y = ± 1  y = ± 1Cuando: x = 4  y = ± 4  y=±2Cuando: x = 9  y = ± 9  y=±3En este caso decimos que la función: y = ± x ; no es función.
  • 170. Funciones Segundo AñoCon frecuencia la variable dependiente “y” en las funciones es sustituida por el símboloF(x). En consecuencia la ecuación y=3x2 – 4x + 2 puede ser simbolizada de esta manera:i) F(x) = 3x2 – 4x + 2: se lee: F de “x” ó F está en función de “x” Variable Nos indica que “x” es la variable y que el polinomio F depende de “x”ii) P(x; y) = ax2 + by + cy2; x; y: son las variables a, b, c: son las constantesVALOR NUMÉRICO O DETERMINADO DE UNA RELACIÓN O FUNCIÓNEn el número (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta dereemplazar una o más variables por valores numéricos o algebraicos. En la mayoría de loscasos se trabaja con la función polinomio.Ejemplo: Sea: F=(x) = 2x2 + x – 3Para: X = 0  F(0) = 2(0)2 + 0 – 3 = -3Para: X = 1  F(1) = 2(1)2 + 1 – 3 = 0Para: X = -1  F(-1) = 2(-1)2 + 1 – 3 = -2Para: X = 2  F(2) = 2(2)2 + 2 – 3 = 7Para: X = a  F(a) = 2(a)2 + a – 3 = 2a2 + a – 3Para: X = b-2  F(b-2) = 2(b-2) - 3 = 2b2 – 7b + 3 ACTIVIDAD P(3) + P( 2 )Ejercicio 1: Siendo: P(x) = X2 – 3X; Halla el valor de E = P( −2) x +1 f (3) − f (1)Ejercicio 2: Si: f(x) = ; calcula: M = 2x − 1 f (2) 2 P (0) P (1) + P (4) P ( −1)Ejercicio 3: Siendo: P(x) = x + 2x. Halla el valor de: R = P (2) P ( 0 )Ejercicio 4: Si: f(x+2) = x2 + 5x – 2; calcula el valor de: f(-5).  1  2x + 1Ejercicio 5: Si: Q  X − = ; calcula: Q (a+1)  2  x −1 2x + 1Ejercicio 6: Si: F(x) = ; halla el valor de F(F(2)) x −1 1 +1Ejercicio 7: Si:  1  x ; calcula el valor de: P(3) P  =  x  x −1Ejercicio 8: Si: P(x) = x2 + x-1, simplifica: R = P(x – 1) – P(x + 1) – P (2x) + x2 2x + 1Ejercicio 9: Si P(x) = ; halla: P[P(x)] x−2Ejercicio 10: Si: P(x+2) = 6x +1 ; P[F(x) = 12x – 17
  • 171. Ejercicio 11: Si; P(x) = 3x + 2; además: P[Gx)] = 3x2 – x + 2; calcula: G(2)Ejercicio 12: Sabiendo que: P(x + 4) = x2 + xh + h2 . Calcula: P(x)Ejercicio 13: Si f(x) = x – 2x2. Halla:a) f(-1) b) f(2) c) f(-2)d) f(1) e) f(3) f) f(-3) f (1) − f (3)Ejercicio 14: Si: f(x) = x3 – 1. Calcula el valor de: E = f (2)Ejercicio 15: F(2x + 1) = x3 – 2x + 3SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARESEs un plano que se forma al cortarse perpendicularmente dos rectas, una de las rectas sedesigna como eje “x” y la otra como “y”.EJE COORDENADASX’X : Es el eje de las abscisas o eje de las “x”YY’ : Es el eje de las ordenadas o eje de las “y”O : Es el origen de coordenadas. SEMIEJES OX : Es el semieje (+) de las abscisas. OX’ : Es el semieje (-) de las abscisas. OY : Es el semieje (+) de las ordenadas. OY’ : Es el semieje (-) de las ordenadas.CUADRANTESEl primer cuadrante es XOY : (Q1)El segundo cuadrante es YOX’ : (Q2)El tercer cuadrante es X’OY’ : (Q3)El cuarto cuadrante es XUY’ : (Q4)POSICIÓN DE UN PUNTO O COORDENADAS DE UN PUNTOSe llama así, a la localización de un punto en el plano cartesiano, así: ABSCISA DE UN PUNTO.- Es la distancia de un punto al eje de las ordenadas de la figura: MP = ON = ABSCISA ORDENADA DE UN PUNTO.- Es la distancia de un punto al eje de las abscisas de la figura: OM = NP  ORDENADA
  • 172. Funciones Segundo AñoAnalíticamente un punto se representa así: P(a; b), donde “a” es la abscisa y “b” la ordenadadel punto.OBSERVACIÓN.- Al punto P(a; b), también se llama “par ordenado” de números. Es un paren el cual el orden es importante. Así el par ordenado (-2; 5) no es igual que el par ordenado(5; 2). Además a; b pertenecen al campo de los números reales. Cuando decimos número realestamos afirmando que puede pertenecer a N (números naturales) o a Z (números enteros) oa Q (números racionales); o a I (números irracionales).DETERMINACIÓN DE UN PUNTO POR SUS COORDENADASEjemplo: Localiza los puntos: A(3; 4), B(-2; 5); C(-1; -3); D(4; -2); E(0; 2)FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADOUna función es lineal o de primer grado, si su regla de correspondencia es: Y = ax + b;donde: a ∧ b son constantes, a ≠ 0.Ejemplo 1: Grafica y halla el dominio y rango de la función f en Z definida por:Y = f(x) = x + 3Solución.-1. Tabulación (algunos valores negativos y positivos para “x”)2. Grafica: D(f) = {…, -2, -1, 0, 0, 1, 2, 3, …} R(f) = {…, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} O también: D(f) = Z D(f) = ZEjemplo 2: Grafica y halla el dominio y rango de la función P definida en N por Y = P(x) = 3x-4Solución.- 1) Tabulación 2) D(P) = {2, 3, 4, …} 2) Grafica R(P) = {2, 5, 8, …}Ejemplo 3: Grafica y halla el dominio y rango de la función h definida en R por: Y=h(x)=2x+1Ejemplo 4: Grafica y halla el dominio y rango de la función f definida en R: por 1Y=f(x) = − x+3 2EJERCICIOS1. Grafica y halla el dominio y el rango de la función f definida por: Y=f(x) = X+5 en el conjunto Z.2. Grafica y halla el dominio y el rango de la función g definida por: Y=g(x) = 4x – 3 en el conjunto N.3. Grafica y halla el dominio u el rango de la función h definida por: Y=h(x) = 3x – 1 en el conjunto R.
  • 173. 14. Grafica y halla el dominio y el rango de la función K definida por: Y=K(x) = x +1 en el 2 conjunto R. En cada función lineal siguiente (real): a) Halla los interceptos. b) Con una regla traza la recta correspondiente.5. f(x) = 4x + 3 7. P(x) = 2x + 6 9. h(x) = -2x – 6 16. f(x) = x–2 8. K(x) = 6x – 3 10. K(x) = +4 – x 3FUNCIONES ESPECIALESLas funciones que a continuación se presentan; son de uso frecuente, por ello es necesariorecordar sus características. Entre estas funciones especiales se consideran las siguientes:1. FUNCIÓN CONSTANTE.- Si en la función: Y=ax + b; a = 0; entonces la función resultante es: Y=b; a esta función se le denomina función constante. 2 Son funciones constantes: Y=3; Y=-5; Y= ; K(x) = 4; h(x) = -3; etc. 3 La función constante: Y=b nos dice que todos sus pares ordenados tienen como segunda componente al número b. Ejemplo: La gráfica de: Y=4 ó K(x) = 4, es: IMPORTANTE a) El dominio de una función constante es: R(conjunto de los números reales). b) El rango de una función constante es: {b} c) Su gráfica es una recta horizontal.2. FUNCIÓN IDENTIDAD Si en la función: Y=ax + b; a=1 ∧ b=0; entonces la función resultante es: Y=x. A esta función se le denomina función identidad. La función identidad; Y=x nos dice que todos sus pares ordenados gozan de la característica siguiente: “Su segunda componente, es igual a su primera componente”. La gráfica de: Y=x ó f(x) = x; es:
  • 174. Funciones Segundo Año3. FUNCIÓN LINEAL.- Si en la función: Y=ax + b; b=0; “a” es una constante diferente de cero, entonces la función resultante es: Y=ax, a esta función se le denomina función lineal. La gráfica de: Y=ax ó f(x)=ax; es: IMPORTANTE a) El dominio de la función lineal es R b) El rango de la función lineal es R c) Su gráfico es una recta oblicua que pasa por el origen.4. FUNCIÓN AFÍN.- Es la función de la forma: Y=ax + b ó f(x) = ax + b; donde: a≠0 ∧ b≠0 La gráfica de: Y=3x +1; es:
  • 175. IMPORTANTE a) El dominio de la función afín es R. b) El rango de la función afín es R. c) Su gráfico es una recta oblicua que no pasa por el origen cuya ordenada en el origen es b.5. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.- La función valor absoluto es una función real, definida por f(x)=|0| ó Y=|x|, esta función puede expresarse de la siguiente manera:  X ; si : X ≥ 0; esta notación se interpreta como la unión Y = - X; si : X < 0 de dos funciones. Veamos : Y = X; si: X = ≥ 0 ∪ Y = -X; si: X < 06. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.- Es la función definida por: f(x) = x ó Y= x ; si ≥ 07. FUNCIÓN CUADRÁTICA.- Una función cuadrática o de segundo grado, es una función real definida por: f(x) = ax2 + bx + c; donde “a”, “b”, “c” son números reales con a ≠ 0. Son funciones cuadráticas; por ejemplo, las siguientes: 1 2 Y=2x2 + x + 3; Y=- x +9 3 f(x) = 2x2 – 1 Y= 4x2; etc. Toda función cuadrática: Y=ax2 + bx + c; puede ser escrita de la forma: (X-K)=E(X-h)2, con tan sólo “completar cuadrados”. PRÁCTICA DE CLASE1. Grafica la función Y=3x-1. Halla su dominio y su rango.2. Grafica el par de rectas en un solo sistema de coordenadas. Y=2x + 3 Y_x-2
  • 176. Funciones Segundo Año3. Grafica la función: Y=|X+6|. Halla su dominio y su rango.4. Grafica la función: Y=2 x . Halla su dominio y su rango.5. Grafica las siguientes funciones y halla su dominio y su rango: a) Y=6 b) Y=9 c) Y=-46. Grafica las siguientes funciones y halla su dominio y su rango: a) Y=2x b) Y=-x c) f(x)=-4x7. Grafica cada función siguiente, halla su dominio y su rango: a) Y=2x+3 b) Y=x+4 c) f(x)=3x+1 d) Y=x-2; x ∈ [-2; 2]8. Grafica cada par de rectas en un solo sistema de coordenadas. Y = 3 X − 1 Y = 2 X + 3 a)  b)  Y = X + 3 Y = 2 X − 1 Y = − X + 4 Y = 5 X + 2 c)  d)  Y = − X + 2 Y = 5 X + 19. Grafica cada función siguiente; halla su dominio y su rango: a) Y=|x+1| b) Y=|X-3| c) Y=|X+4|10. Grafica cada función siguiente, halla su dominio y su rango: a) Y= 2 x b) Y= 3 X c) Y= 4 X11. Grafica. Halla su dominio y el rango de la función: Y=2x2-4x+512. Grafica. Halla su dominio y el rango de la función: Y=-3x2-6x-813. Grafica cada función siguiente. Halla su dominio y rango. 1 2 a) Y=5x2 b) Y=-4x2 c) Y= x 314. Grafica cada función siguiente. Halla su dominio y su rango. a) Y = x2 + 8x – 10 ; x ∈ [0; 5> b) Y = x2 + 12x + 4 ; x ∈ [-4x; -2> c) Y = -x2 – 20x – 6 ; x ∈ <-3; 1> PRÁCTICA DOMICILIARIA F (1) + F (2)1) Si: F(x)=6x – 5; calcula: E = 2) Si: F(x)=2x+1 ∧ F(3x+1)=9; halla “x” F (0) a) 5/8 b) 5 c) 8/5 d) -5/8 e) -8/5 a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) -23) Si: F(x)=3x2-1. Halla el valor de: 4) Si: F(x)=2x+1. Halla F(F(F(2))) F (5) + F (2) a) 23 b) 11 c) 5 d) 47 e) 13 F( 6) a) 25 b) 10 c) 8 d) 5 e) 1
  • 177. 6) ¿Cuál es el rango de la función: F={(1;3);(2;5);(1;a-1);(2;b+2);(a;b);(2b;a)}5) Si: F(x)=5x-3; G(x) = 3x-4. Halla: F(G(2)) a) -7 b) -3 c) 3 d) 2 e) 77) Dado los conjuntos: 8) Si el siguiente diagrama sagital, representa a A={x/x ∈ N ∧ 1 < x < 6} una función de “A” en “B”. Calcula: E=a+b B={x/x N ∧ 2 < x 5} ¿Cuál de las siguientes relaciones representa una función de “A” en “B”? a) F={(2;3);(2;4);(3;4);(4;4)} b) F={(2;3);(3;4);(4;4);(4;3)} c) F={(2;4);(3;4);(4;3);(5;3)} d) F={(2;4);(3;3);(5;3);(5;4)} e) F={(2;3);(2;4);(3;3);(3;4)} a) Absurdo b) 3 c) 5 d) 7 e) 99. Dada la función: Y=f(x)=2x2-3x+1 10) Los gráficos de las funciones: ¿Cuál es el valor de: K=f(0)}f(1)}f(2)? f(x)=3x-2 ∧ g(x)=3-2x; se intersectan en a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 el punto: a) (1;1) b) (2;3) c) (1;2) d) (2;1) e) (-1;2)11. Siendo “g” una función lineal que cumple: g(2)=14 ∧ g(-2)=8 Calcula el g(9) 12) Si: F(x)=3x2-2; calcula el valor de F ( −1 ) a) 24,5 b) 24 c) 23 d) 22 e) 0 E = F ( 2) F ( 0 ) a) 1 b) 10 c) 100 d) 1/10 e) 1/10013) Reconoce el rango en la función: g={(2;a);(2;3a-4);(3;a-1);(4;a2)} 14) Si: f(a)=a-2; f(a;b)=b2+a; entonces: a) {2;3;4} b) {2;3} c) {1;2;4} f(3; f(4)); es: d) {1;2} e) {3;4} a) a2-4a+7 b) 7 c) 8 d) 11 e) 28
  • 178. Funciones Segundo Año
  • 179. TEMA Nº 14 : M I S C E L Á N E A SCapacidades: Resuelve problemas aplicando criterios algebraicos desarrollados en clase.Desarrollo del Tema:1) Resolver el sistema: 3 4  y−1 x + y = 1 x − 2 = 0    9)   21 − 2 = 2 1 x + 1 y = 2 x y 2  5  x + y + 1  =52) Resolver el sistema 10)Resolver el sistema:  3 y + 8x = 0 y−2   x − =0  3 0,2x + 0,3 y = 5   14 − x y = 2  11)Resolver el sistema: * Resolver los siguientes sistemas de  2y + x = 7 ecuaciones lineales:  4  23) Resolver: x + 1 * Resolver los siguientes sistemas de  3 =y  ecuaciones:  y −1 = x − 7  y = 2x − 4  2   12)  1 x = y + 1  24) Resolver: x + 3 x − y = −1  y =2  13)  3 y + 2x + 2 = 0   y + 6 = −1  x  14)Hallar el C.S. de:  5 x y = 3 − 2 5) Resolver:  2 x + 1y x − 8 y = 0 3  2  3 x + 2y = 13 15)Resolver el sistema:6) Resolver:  2y − 1 x =  3  x = 2y + 3 6 x + 4 = 3y   x + y ; hallar “x + 2y”  2 = −3  16)Resolver el sistema: 2( x + y − 3) = 0  4 − 5y7)  x = 3  3( x + y + 1) = 12   x = 8y + 2   −6* Resolver los sistemas de ecuaciones: 17)Resolver el sistema: 2x + y − 8 = −4 2( x + 2y ) − 6 = 12  8) x + y 1  1  2 = 2 x − 2(1 + y ) = − 2 ( 2x + 4 y )  
  • 180. Misceláneas Segundo Año18)Resolver el sistema: 29)Juan tiene 28 animales entre conejos y patos.  10 10 Sabiendo que hay 8 conejos más que patos. x − y =2 ¿Cuántos patos tiene Juan?    8 − 15 = − 1 x y 30)De una pieza de tela de 36m se ha vendido  una parte a 90 soles y otra parte a 72 soles, quedando 9m. ¿Cuál es el precio por metro?19)Resolver el sistema: 3 2 Resolver: x + y =2 x +1 x − 3  31) − =0  10 6 2 + 3 = −2 x  y x −3 32) 0,5( x − 5) = − ,6 + 1 3 x x +2 x +320)Resolver el sistema: 33) + − =3 3 4 9 x + y x − y  2 + 4 =8 x +2 x −1  34) − +1 = 0  9 3  2( x + y ) − 3( x − y ) = 2  3  4 x x −1 x +1 35) 2 + 3 − 4 =121)Santiago tiene S/. 1950 en billetes de S/. 100 36) 1 1 ( x − 5) − ( x − 2) = 3( x −1) 2 3 y de S/. 50. En total tiene 24 billetes. Determinar cuantos billetes son de S/. 100. x 2 3x 1 37) 2 − 3 = 4 + 1222)Si la mitad del número menor se resta del 38) 2x +1 = 6 x +3 x +3 mayor de 2 números, el resultado es 65. hallar los números; si difieren en 35. 5 4 12 x + 6 39) + 2x + 1 x −1 = 2x 2 − x − 123)Un padre reparte entre sus 2 hijos S/. 1200. si el doble de lo que recibe uno de ellos excede 5 1 11x −1 40) − = en S/. 300 a lo que recibe el otro. ¿Cuánto 3 x −1 5 x − 7 15 x 2 − 26 x + 7 recibe cada uno? 4 3 8 41) x −2 − x +1 = ( x + 1)( x − 2)24)Dos números están en la razón de 10 a 5; si se resta 20 al primero y se suma 20 al 3x − 1 3x − 7 42) = segundo; la razón de ellos se invierte. x −2 x +4 ¿Cuáles son los números? 5 x 2 − 27 x 1 43) −x = −6 5x + 3 x25)Dividir 260 en 2 partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor; 1 − 4 = 4 de 2 como cociente y 40 de resto. Hallar una 44) ( x − 1)2 2x − 2 2x − 2 de las partes. 2 x + 4 3( x − 2) x 2 + 7826)En una reunión hay el doble de mujeres que 45) x −2 − 2x + 3 = 2x 2 − x − 6 de hombres; y el triple de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres 46) 2x2 − 2x − 1 = 3x 2 − x 2x 3x − 1 son; si en total hay 156 personas?27)Descomponer 51 en 2 partes de manera que 47) Simplificar: la parte mayor sea 3 más que el duplo de la 3m +n ⋅ 5n +p ⋅ 7p +m parte menor. Hallar la parte mayor. (35 )p (21)m (15)n28)En un examen un alumno obtiene 2 puntos a) -1 b) 1 por respuesta correcta pero pierde un punto c) 0 d) 15 e) 75 por cada equivocación, si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos. 2+ 3 ¿Cuántas preguntas respondió 48)Al racionalizar 3− 2 , se obtiene: 5 +q 6 correctamente? , indicar 5q + 3
  • 181. a) 6 b) 3 63)Resolver: c) 13 d) 5 e) 22 (x2 – 3)(x + 1) – (x2 + 3)(x – 1) < 0 a) R b) 〈0 ; 3〉49) a b + = 4a c) [0 ; 3] d) R – 〈0;3〉 e) x 2 x φ50)Resolver: 64)Hallar m + 2n; si el conjunto solución de la x 1− x 1 inecuación cuadrática en x: − = 2a a2 2a a) 4 b) -6 c) 6 d) 8 e) -851)Resolver: 65)De las siguientes igualdades: 4x 3 + =3 I. (x + 5)(x – 5) = x2 + 10x 2a + b 2 II. x(x + 6) = x2 + 6x III. 3x – 5 = 2x + 8 x IV. (a + 1)2 = a2 + 2a + 152) x− a =b ¿Cuál o cuales son idénticas? x −a x + 3b 3a −13b53) − = 66)De las siguientes igualdades: 2b 3a 6b I. X2 + 6x = x2 + 6x II. (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 1554)Resolver: III. 2(x – 3) = 4(x + 1) (x + a)3 + (x – a)3 = 2x3 + 12a3 IV. (x + 3)(x – 3) = x2 – 955)Resolver: ¿Cuál es una ecuación? x2 x −3 −3 = x +3 67)Resolver: (x + 3)3 = (x + 2)3 + 1 a) -3 b) -256)Resolver: c) 6 d) {-3 ; -2} e) 0 1 1 3x − 1 + = x 2x 2x 2 + 1 68)Al factorizar: P(x) = x5 + x +x3 + x2 + x4 +1, indicar el57)Resolver: número de factores cuadráticos a) 0 b) 4 1 2 5 + = c) 1 d) 2 e) 3 x −1 x x2 − x 69)Si P(x) = (1 + x) [(x+2)(x+3) – 2] indicar un factor58)Resolver: primo. 1− x 5 8 −x a) x b) x + 1 + = x x x +3 c) x + 2 d) x + 3 e) x + 559)Si x ∈ 〈-1 ; 2〉 ∧ 3x – 5 > 2x – 4 por lo tanto x 70)Sea P(x;y) = 2x2+xy–y2+5x–y+2 dar como pertenece al intervalo: respuesta la suma de los factores primos. a) 〈-2 ; 1〉 b) 〈-1 ; 2〉 a) 3x + 3 b) x + 3 c) 〈1 ; 2〉 d) {1 ; 2} e) {2 c) 3x + 1 d) 3x – 3 e) , 1} 3x60)Resolver: (x + 1)2 + 3 > 0 71)Factorizar f(x ; y) = (4x2 + 4x + 1) – y2, indicar el producto de coeficientes de un factor primo. a) 0 b) {0} a) -4 b) -3 c) R– d) R+ e) R c) -2 d) -1 e) 061)Si x ∈ [-2 ; 3], hallar: a + b si a ≤ 2 – 3x ≤ b 72)P(x) = (x + y) 2 – 5(x + y) + 6; indicar la suma a) -2 b) 1 de los términos independientes de sus c) -3 d) 3 e) 2 factores primos.62)Resolver: 2[x2 – 7x + 12] < [x2 – 4x + 3] a) 2 b) 2x a) 〈7 ; 3〉 b) 〈3 ; 5〉 c) 2y – 5 d) 5y – 2 e) x c) 〈7 ; 8〉 d) 〈10 , 12〉 e) 〈3 +7 ; 7〉 73)Si las dimensiones de una caja están en progresión aritmética e razón 2 y la suma de
  • 182. Misceláneas Segundo Año las áreas de 3 caras diferentes es 23, indicar 82)Si P(x) = (–16 – a)x3 + (7 – b)x2 + (9 + c)x + a la menor arista. – c + b indicar S.I. donde s: es la suma de a) 1 b) 2 coeficientes t es el termino independiente. c) 3 d) 4 e) 5 a) 4 b) -2 c) 6 d) 0 e) 274)Sean x – 2, x, x + 2 las longitudes de los lados de un triángulos rectángulo, hallar la 83)Si  0,3 ⋅ 3 2 se puede escribir como 6q (q ∈ longitud del mayor cateto. a) 10 b) 8 Q), indicar el valor de 3 2q c) 6 d) 12 e) 14 a) 6 b) 0 c) -1 d) 2 e) 2/3 ( x − 1)3 + x 3 + x 2 + 175)Halle el resto en: 72 x −1 3 3  a) 3 b) 2 84)Reducir:  2 2  c) 1 d) 0 e) -3   A)2 B)4 C)676)Encontrar el resto de dividir: D(x) = x3 – 7x + 6 D)16 E) 8 Por (x – 2)(x + 3) a) 0 b) 1 85)Sabiendo que la expresión x .2 a x .3a x es a c) -1 d) x e) x + 1 1 igual a 12 , calcula el exponente de “x” en77)Si a, b, m y n son números positivos, reducir la 11 xa (am + bn)2 + (an − bm)2 expresión: A)2 B)4 C)1 (a 2 + b 2 )(m 2 + n2 ) D)3 E) 6 a) 10 b) 0–1 c) 100 d) 0 e) 1 17 86) Al reducir x .2 a x 3 ; se obtiene: x 20 hallar 5a78) Simplificar: (a 2 + b 2 )(m2 + n2 ) + 4abmn el valor de “a” (am + bn)2 + (an + bm)2 A)1 B)4 C)2 a) 10 b) 1 D)3 E)8 c) 0 d) 0,1 e) 100 87) Indicar el exponente final de 5 de la siguiente79)Sean los polinomios: p(x;y) = x + y ; 16 q(x;y) = x2 + y2; s(z) = z2+z+1; expresión:  25.4 5 −3. 5  Dar la expresión simplificada de:     2 + 2P( y ; x ) + q( y ; x ) x + y + S( x ) + S( y ) A)12 B)11 C)10 a) -2 b) -1 D)9 E) 13 c) o d) 2 e) 180)Si a + b + c = 1 y 88)Reducir: 5. 5......... 5. 5. 25 P(x) = ([ax2 – bx + c] + [bx2 – cx + a] + + [cx2 – ax +b])3 A)3 B)1 C)10 Indicar: P(a + b + c) D)5 E) 25 a) -1q b) 0 3 c) 1 d) 2 e) -2} 89) Si: x 10 = 5 x 4 . x −1 . x − n81)Si P(x) = x3 + 1 y q(x) = x2 – 3 y Hallar: n + 1 R(x) = p(x) + q(x). Calcular: “m + n”, donde: A)2 B)1 C)0 m = °[R(x)] y n = R(1) D)5 E) 3 a) 0 b) 11 c) 10 d) 1, 5 e) 1 90)Si: 6 8 = n 2n ; n ∈ N Hallar: n + 1 A)2 B) 2 C)4 D)5 E) 391)Simplificar la siguiente expresión, sabiendo que; a, b, c son reales positivos
  • 183. (a +b) 2 + (b + c ) 2 + (c + a ) 2 + 2c ( a +b) + 2a (b + c ) + 2b( a + c ) + a 2 +b 2 + c 2 E= a 2 +b 2 + c 2 + 2( ab +bc + ca)a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 592)Reducir la expresión:E = ( x − 2 y + z ) 2 − 3[( x − y ) + ( z − y )] 2 + [( y − z ) + ( y − x)] 2 + [ z + x − 2 y ] 2a) 6 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2 60   factores   x .3 y . x .3 y ....... x .3 y93)Simplificar: E = xy xy ............. xy     20 factoresA) x 10 B) y 5 C) x 5 D) y 10 E) x 5 y 594)Calcular “x”: 5 9 x = 3 x .5 27A)2 B)1 C)-1 D)-2 E) -395) Indicar el valor de “K” K = 19 + 6 6 6...............A)5 B)25 C)18 D)12 E) 8 A = 13. 13. 13...........96) Hallar el valor de: A+ B Si: B = 3. 3. 3...........A)5 B)4 C)3 D)2 E) 6 120 factores     x.5 y . x .5 y ....... x .5 y97)Reducir: E = 3x. y .3 x. y ..........3 x. y      30 factoresA) xy 5 B) x 5 y C) x 3 y 4 D) x 10 y E) x 5 y 5 1 1 1 198)Resolver: x + x +1 + x + 2 + x +3 = 15 2 2 2 2A)1 B)-3 C)-1 D)3 1 E) 399)Resolver: x +1 xx = 256 1A)1 B)0 C)2 D) E) -2 2100)Calcular “x” 3+ x ... Si: 3 + x3 + x x3 + x =2
  • 184. Misceláneas Segundo AñoA) 2 B) 3 2 C) 5 2 D) 2 3 E)12

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