2º álgebra

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2º álgebra

  1. 1. Índice ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA Pág.T E M A 1 Teoria de exponentes................................................................................. 2T E M A 2 Expresione algebraicas............................................................................... 10T E M A 3 Polinomios................................................................................................. 18T E M A 4 Operaciones con expresiones algebraicas.................................................... 30T E M A 5 Productos Notables.................................................................................... 38T E M A 6 Division Algebraica..................................................................................... 48T E M A 7 Cocientes Notables..................................................................................... 63T E M A 8 Factorización............................................................................................. 72T E M A 9 Fracciones Algebraicas............................................................................... 85T E M A 1 0 Relaciones Binarias.................................................................................... 100T E M A 1 1 Teoria de Ecuaciones.................................................................................. 115T E M A 1 2 Inecuaciones............................................................................................. 139T E M A 1 3 Funciones.................................................................................................. 150T E M A 1 4 Miscelaneas............................................................................................... 171
  2. 2. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI TEMA N º 01: TEORÍA DE EXPONENTESCapacidades: Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones. Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial.Desarrollo del Tema: POTENCIACIÓN Exponente (Base) = POTENCIAEjemplos:1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 veces2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5 veces3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 6 vecesEn general: an = a . a . a . a . … a “n” veces LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma base y como exponente la suma de los exponentes. Así: am . an = am+n Ejemplos: 1) x5 . x7 = x12 2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 = 3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
  3. 3. Ecuación Segundo Año2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma base, y como exponente la diferencia de los exponentes. am Así: n = a m−n a Ejemplos: x8 2 m +3 1) = x5 3) = 2 m−3 3 x x 12 5 x + 2 .5 x + 3 2) = 4) = x −3 5 2 x +13. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la unidad. Así: a0 = 1 ; donde: a ≠ 0 Ejemplos: 0 0 0 3 4 + 5 7 + 89 = = 0 1) 5 7 = 51 = 5 3) 90 2) 42 =4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la misma expresión, pero con exponente positivo. 1 Así: a −n = , donde: a ≠ 0 an Ejemplos: −3 1 1 1) x = 3) = x3 x2 a2 2) 2-1 = 4) = b4 a −3 5) = b −55. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Así: (a.b)n = an . bnProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez3
  4. 4. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: 1) (a . b)5 = a5 . b5 3) x4 y4 = 2) ( 3 x = ) 2 4) 3 x .2 x 6x =6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. n a a Así:  = m ; b≠0 b b Ejemplos: 4 x x4 x7 1)   = 4  y 3) =   y y7 3  3 8n 2)   4) = 5 2n7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. −n n a b bn Así:   =  = n b a a Ejemplos: −2 2 −2 −3 −4 5 2 4 1 1 1 1)   =  = 3)   +  +  = 2 5 25 2  3 5 −3 1 2)   = 58. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de exponentes. Así: (a ) m n = am n Ejemplos: ( ) 1) x 2 4 = x8 3) [( x ) ] 3 4 5 = 2) (x-3)-4 = 4) (x-2)5 = { } s OBSERVACIÓN:  ( a m ) n r  = a m.n .r . s    
  5. 5. Ecuación Segundo Año9. RAÍZ DE UNA POTENCIA.- Para extraer la raíz de una potencia, se escribe la misma base y como exponente, el cociente del exponente de la potencia entre el índice del radical. m Así: n am = a n Ejemplos: 10 1) 5 x 10 = x 5 = x2 3) X6 4 = 2) 3 4 X 48 = OBSERVACIÓN: m n s r a = mnrs a10. EXPONENTE FRACCIONARIO.- Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es igual al denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad subradical es la misma cantidad elevada a un exponente igual al numerador del exponente fraccionario. m Así: a n = n am Ejemplos: 1 1) 8 3 =3 8=2 3) a3/5 2) 642/3 4) 1251/3 =11. RAÍZ DE UN PRODUCTO.- Para efectuar, se extrae la raíz de cada factor. Así: n ab = n a .n b Ejemplos: 1) 5 x 10 y 25 = 5 x 10 .5 y 25 = x 2 . y 5 3) 3 125.212 = 2) 7 xy = 4) 5 32.243 =12. RAÍZ DE UN COCIENTE.- Se extrae la raíz del numerador y del denominador. a na Así: n = b nbProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez5
  6. 6. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: x 20 5 x 20 x4 16 1) 5 = = 2) 4 = y 35 5 y 35 y7 62513. INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical. Así: a p n b = n a pn b Ejemplos: 1) x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y 4) 23 5 = 2) x 5 3 y 2 = 5) x y = 3) 2 2 = 6) 54 2 = PRÁCTICA DE CLASEResuelve:1. E=2n+2 + 2n+3. 6. Resuelve: a) 4 b) 4n+5 c) 42n+5 d) 24n e) 12.2n 2 n −1 A= 2 n −32. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) 1/2 e) 1/4 3 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3 Q= 3 n +1 7. Reduce: a) 39 b) 6 c) 27 d) 13 e) N.A. 3 n −1 + 3 n − 2 M = 3 n−43. Calcula: a) 36 b) 3 c) 12 d) 27 e) N.A. 2 n −2 E= 2 n −3 8. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) ½ e) ¼ (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 ) E= (ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 )4. Reduce: a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa) 9. Reduce: (bxbx….xb) (n-15) veces 5.2 n + 2 − 2 n + 4 − 6.2 n −1 (m-18) veces E= a) 60 b) 60ab c) 60anbm 2n d) 60ambn e) N.A. a) 0 b) 1 c) 2 d) ½ e) N.A.5. Reduce: Q= (x xx +x x x + x x + 2 x + x x +3 x x − x ) x 10. Simplificar: −1 −2 −1 L = ( 2 3 ) 9  + 16 − 4− 2 −1  −1 / 2 x x + x 2 x + x 3x −4         a) x b) x-1 c) 0 d) 1 e) N.A.
  7. 7. Ecuación Segundo Año a) 4 b) -4 c) 2/5 d) 5/2 e) -2/5 2 n+ 2 n n+2 2 2 2n+n11. Reduce: 1 −1 1 −1 1 −1 1 a) n 2 n −1 b) n 2 c) d) n 4 e) N.A.   −      n  1  2    1 2  1  2    −      1 2 .  1 2 . 1 2 4   −    2  2 2 a) ½ b) 1 c) -1/16 d) 1/16 e) -1/2 19. Calcula el valor de: 216 .35 3.80 3 E= 4 9 2 ⇒ E=12. Simplifica: 15 .14 .30 3 n .3 3 n.3+ 2 E=n 6 20. Efectúa: 81 a) 1/3 b) 3 c) 81 d) 9 e) N.A. 15 6 .12 4 .5 9 .6 3 E= 1011.313.5 413. Reduce: a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 1/ n  n+ 1  9 4 3.3 n 21. Simplifica: E=   3 3−n      a a a a .16 a a) 3 b) 9 c) 27 d) 1 e) N.A. a) a b) 16 a 15 c) a2 d) 8 a7 e) 1 22. Reduce:14. Simplifica: 81+ n 2n− 1 x y x2 81− n 3 5 Q= 729 .8 3 y x y2 a) 27 b) 17 c) 29 d) 8 e) N.A. x y x a) b) c) 5 y x y15. Calcula el valor de: 2 x + 4 + 32(2 x − 2 ) y x2 d) 5 e) 5 2 x+5 − 2(2 x + 3 ) − 4( 2 x +1 ) − 6(2 x −1 ) x y216. A qué es igual : 2 n+2 1 23. n n+ 2 Q= 2 7 a3 3 a a 2 2n+ 4 a) a b) a2 c) 21 a d) 21 a2 e) N.A. a) 4 b) 2 c) 1 d) n 2 e) n 2 n +117. Halla el valor de la expresión: 2x 3 2x 3 2x 3 ( ) 24. 3 20 n +1 x3 x E= n ⇒ E= 4 n+2 + 2 2n+2 a) 8 64x 7 b) 8 128x 5 c) 4 64x 718. Simplifica: d) 4 128x 7 e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez7
  8. 8. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI25. Realiza: 2 m +3.4 m + 2 n m −1 29.  24 m − 12 m + 15 m  9 m − 2 .16 n + 2  4m m   2 − 2 + 10  3m a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1 1 a) 3 b) 2 c) 2/3 d) 1,5 e) ½ − 1 30. 2 226. Resuelve: a) 3 b) 4 c) 2 d) ½ e) -1/2 6(6) a + 4(4) a 5 n −1 + 2 n −1 a +1 31. n −1 3(3) a + 2(2) a 51− n + 21− n a) -2 b) 2 c) 1 d) ½ e) N.A. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) N.A. a nbn + a ncn + bncn27. n a −n + b −n + c −n 32. a x a x 2a x 8a a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. a) x2 b) x3 c) x4 d) x5 e) N.A. −4 −0.528. − 27 − 9 33. Calcula: 8 2 7 3 2 7 a) 2 b) -2 c) ½ d) -1/2 e) N.A. 3 1+ + 1− 3 3 3 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1 PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Resuelve: 5 −7 7 5 a) − b) c) d) e) -7 2 x +2 + 2 x +3 7 5 5 7 E= 2 x+2 5. Reduce: a) 3 b) 4 c) 2x+3 d) 12 e) N.A. [ ] n M = (x ) n m 1 / mm  1 ( n +1) −  x1 +  + n x 2n2. Simplifica:  n 5.2 n + 2 − 2 n − 4 − 6.2 n −1 a) x b) x2 c) 0 d) 1 e) -1 E= 2 n −1 6. Resuelve: a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) N.A. −2 −1  8  −1  10  − 2  2  −3  E =   +    10  +  3  3. Simplifica:  21         3.2 −1 + 2.3 −1 Q= a) 4 b) ½ c) 2 d) ¼ e) N.A. 3.2 −1 − 2 x3 −1 13 13 5 7. Simplifica: a) 13 b) 15 c) d) e) 6 5 13 a −b −1 x ( a −c ) . b − a x ( b −c ) −14. Reduce: E= −1 c −a n −1 n −2 x ( b −c ) 2.3 + 3 E= a) xab b) 1 c) xac d) xa e) xb 3 n − 2 − 6.3 n −3
  9. 9. Ecuación Segundo Año8. Reduce: ( 13 ) −1− 2 [ ]  1  1 1 2/3 (a ) m /( m + n ) a−a Q =  n am an  n E =  +  −m aa .3       ( xy ) −1 / 2   x y a) a b) an c) am d) 1 e) 0   Sabiendo que: x+y=-19. Reduce: a) 1 b) -1 c) 8 d) 0 e) N.A. − 2 16. Calcula: A =  2 .2 − 2 2  2     2 m + 3.4 m + 2 n E= a) 2 b) ¼ c) 0 d) 1 e) N.A. 8 m − 2 .16 n + 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2.21/210. Resuelve: 17. Simplifica: n xn. xn −1 13 6 −n 3 n .( x ) x −1 + y −1 x . x x −1 . y −1 a) x-n b) xn c) x d) 1 e) N.A. a) x-y b) x+y c) y-x d) –x –y e) N.A.11. Simplifica: 18. Calcula: 3 n −a + 2 n −1 n −1 2 n − a + 1 E= n −1 + 2 n + 4 − 2(2 n ) 31−n + 21− n 21− n + 1 Q= 2(2 n + 3 ) a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) N.A. a) 8/7 b) 7/16 c) 7/8 d) -7/8 e) N.A12. Simplifica: [ Q = ( 64 ) −1 / 3 + (−32) −3 / 5 ] −1 / 3 19. Simplifica: 6 n + 10 n + 15 n a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.A. M =n 2 −n + 3 −n + 5 −n a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 3013. Reduce: n n  20. Calcula: n n   n n   38 n .36 E= (n n ) n −n n E=n 27 2 n +1 + 9 3n +1 a) n b) n2 c) 2n d) n3 e) 1 a) 3 b) 9 c) 38 d) 1 e) 21/n 21. Simplifica: 514. Halla “x” en: 5 5 L = ab 3 a − 2 b −1 ab −1 5 x = 5 25 5 a) 125 b) 5 c) 5 125 d) 1 e) N.A. a) 3 b) 6 c) ab d) 1 e) N.A.15. Calcula el valor de la séte. Expresión: 22. Calcula el valor de M, si: 4 n + 3 − 4(4 n ) M= 4(4 n −1 ) a) 32 b) 48 c) 60 d) 64 e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez9
  10. 10. TEMA Nº 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades: Reconoce y clasifica una expresión algebraica. Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:I. “Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo. Ejemplos: 1) 2 + 4 = 6 3) 3 + 4 = 2) -3 – 7 = -10 4) -13 – 9 =II. “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”. Ejemplos: 1) 3 – 2 = +1 3) 7 – 5 = 2) -4 + 2= -2 4) -13 + 8=Desarrollo del Tema:1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3 Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…) Ejemplo: x2, xyz, x5y7 La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: Parte variable Exponentes − 2x 5 y 4 Bases Parte constante
  11. 11. Expresiones Algebraicas Primer AñoACTIVIDAD Término Parte Parte Bases Exponentes Algebraico Constante Variable-3xy4xyz-3abc7m2n3-4abc3-x5-44xyzt4-3x2z32. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable. Ejemplo: 3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable. * 4x3y4 ; -x3y4  ……………… son semejantes 5 3 5 3 * x y ; 7x y  ……………… son semejantes * -a3b4 ; -3b4a3  ……………… son semejantes OBSERVACIÓN: Un término algebraico NO puede tener como exponente a: a) Números irracionales: Ejemplos: 3 1) 4 x y 4z 5 …………… no es término algebraico 2) 2 xy3 z 2 2 …………… no es término algebraico b) Letras: Ejemplos: 1) -xxyyzz …………… no es término algebraico 2 3 a 2) -2x y z …………… no es término algebraico PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Relacionar los términos semejantes: I) abc ( ) 7x II) 4x3y5z6 ( ) 2nma III) -3x ( ) cba 3. Colocar verdadero (V) o (F) según IV) amn ( ) -x3z6y5 corresponda: I) En un término algebraico los ( ) exponentes no pueden ser números irracionales. ( )2. Son términos semejantes: II) Es un término algebraico 3xxy3z. I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos ( ) III) 7,x IV) abc; -3cba semejantes. a) I b) II c) III d) IV e) N.A. 4. Completar:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez11
  12. 12. Los coeficientes: Término Parte Parte Término a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4Algebraico Constante Variable Semejante d) -9 y 4 e) N.A. 1 5− x y 13. Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1 2 Son semejantes:− 7 xz Calcular: A = a + b + cAbc a) 10 b) 9 c) 87 d) 7 e) 6-x4z5 14. Si los términos semejantes presentan iguales 5. Si: t1 =13x 7 t2 = 2x a coeficientes (b + 3)xbyc+3 ; 10xby5 Calcular: 4a − 3 Calcular la suma de los exponentes: a) 1 b) 2 c) 3 a) 13 b) 12 c) 11 d) 4 e) 5 d) 10 e) 9 6. Dado los términos semejantes: 3a2m+4 ; − 3a12 15. Dados los términos semejantes: Calcular: m + 1 3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8 a) 1 b) 2 c) 3 a+b+c Calcular: A = d) 4 e) 5 3 a) 7 b) 6 c) 5 7. Si los siguientes términos son semejantes: d) 4 e) 3 5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular: B = a + b + 4 16. Verificar si las siguientes expresiones son a) 1 b) 2 c) 3 términos semejantes: d) 4 e) 5 a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . ( ) 8. Dados los términos semejantes: b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( ) 3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b c) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( ) Calcular: R = a.b d) x y ; 3x y 2 3 4 2 .........( ) a) 10 b) 9 c) 8 e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( ) d) 7 e) 6 f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ( ) g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( ) 9. Dados los términos semejantes: 17. Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5 semejantes. Halla el valor de “m+n”: Calcular: La suma de coeficientes a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4 son 10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes. Entonces (a+b) es: semejantes siguientes: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 -2axa+by5 ; 12bx8yb+4 a) -14 y 12 b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A. 19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos 11. Dados los términos algebraicos semejantes: semejantes. Calcular: t1 + t2 (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 Calcular: a + b a) 1 b) 2 c) 3 20. Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n; d) 4 e) 5 t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de “m - n”: 12. Calcular de los términos semejantes: a) 5 b) 3 c) 2 d) 8 (b+4)x7 ; (2 – b)xb+2 RECORDANDO:
  13. 13. Expresiones Algebraicas Primer AñoComo ya sabemos un término algebraico consta de:Parte constante  NúmerosParte variable  LetrasNota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.Así: 2x + 4x – 3x + 5x Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5cSe reduce: 8x Queda: …………………………………MAYOR O IGUAL A 2Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes sedenomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA.Por ejemplo:Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda:5b – a + 5c Expresión algebraica de 3 términos-x + y + z Expresión………………………………………… 3 4-x – y Expresión…………………………………………Si:3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados)5x 3 + x 3 + 14 x 3 + 3 (No es porque los exponentes de las variables no pueden serx4 + 2 + 4y números irracionales o letras)Entonces ahora completa el siguiente cuadro: Expresión Si es expresión algebraica No es expresión algebraica2x3y4 + 5xy−x 3 + x3 − 4x + x6 + x7 + … 5 x +3 x +43 + 2x…… + x3 – x2 + 4x3x + 4x + 5xx 5y 4 + 2x + y5x2 + 5y3 + 5z4 PRÁCTICA DE CLASEI. Reducir: 7. –{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-1. 4x + 2x – 3x + 4x (5a+b)]]]}2. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x 8. –{(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)-3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2 (3xy2+6xy2)]}4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz 9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 +6. –{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]} 6z2x3y4Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez13
  14. 14. 10. Indicar cuántos términos tiene la 13. Reducir si los términos son semejantes: expresión luego de reducir: (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b – 4)xa+3 – bxc+4 -{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7 +2a – (a-b)]]]]]} d) 7x7 e) 6x7 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) N.A. 14. Dados los términos semejantes (reducir)11. Reducir los términos semejantes axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x (c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 7x b) 2x c) 3x 3 3 4 a) 8x b) 3x c) 8x d) 4x e) 5x 4 4 d) 4x e) 16x 15. Si los siguientes son términos12. Reducir los términos semejantes semejantes: a+b c+d e+f 3 (a+b)x + (c+d)x + (e+f)x +x (a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5 a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 Reducirlos: 10 d) 3x e) 10x a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5 d) 7x5 e) x5 PRÁCTICA DOMICILIARIAI. Reducir: a) 3 términos d) 01. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 b) 2 términos e) N.A.2. 2xy + 4xy + 5xy – 10xy c) 1 término3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3 11. Reducir los términos semejantes:4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + (2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4 2a3b4c5 10c3a4b5 a) 7x4 b) 8x4 c) 9x45. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 + d) 10x4 e) N.A. 7x2y4a3 – x3y2a46. –{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}} 12. Reducir los términos semejantes:7. –{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}} (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x48. –{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y- a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4 xy2)]} d) 20x4 e) N.A.9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x 2 3 4 Z 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 13. Al reducer los términos semejantes: + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + mxm + nxn + pxq + qxq + x7 z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4 queda: a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7 d) 26x7 e) N.A.10. Luego de reducir: -{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a – 14. Luego de reducir los términos {a – b}+{+b}c} – a} semejantes: La expresión tiene: (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
  15. 15. Expresiones Algebraicas Primer Año a) 5x3y4 b) 3x3y4 c) 7x3y4 a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a – 3 4 d) 6x y e) N.A. b)}}} a) a b) 2b – c c) a + b15. Reducir: d) a + b + c e) N.A. VALOR NUMÉRICOEl valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variableo variables toman un determinado “VALOR”.Ejemplo:I CASO:P(x)= 2x+3 Q(x)=5x – 3 R(x)= 2x + 5P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) – 3 R(1)=P(2)= 7 Q(1)=2 R(2)=P(3)=2(3) + 3 Q(2)=5(2) – 3 R(0)= = 09 Q(2)=7II CASO: Si P(x)=2x+3 P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3 P(x)=2x – 5 P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3 P(a)= P(x+3)=2x + 9 P(x+3)=III CASO: Si P(x) = 2x+3Calcular: A=P (P (P (3)))¿CÓMO?Se empieza por adentro, es decir: A = P (P (P (3) ) ) 2(3) + 3 A = P (P (9) ) 2(9) + 3 21 A = 2(21) + 3 A = 45IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5Calcular: P(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x+5) P(Q(x)) = 2(3x+5)+3 P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA : P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ? PRÁCTICA DE CLASE 1) Hallar el valor numérico de:  P(x,y)=3x + 2y – xy x=1; y=2; z=3de los siguientes  P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z polinomios:  P(x)=3(x+2)(x-3)  P(x)=2x + 5  P(x,y)= 2x(x+1)(y-2)Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez15
  16. 16. A) 0 B) 3 C) 52) Si: P(x)=2x-4 Calcular: A=P(1) + P(2) D) 2 E) 43) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y 15) Dado: F ( m 3 − 1) = m + 5 Calcular: A=P(2,3) + P(0,1) Calcular z en: F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1)4) Si: P(x)=3x + 5 A) 3 B) -1 C) 0 Calcular: M=P(a+2) – P(a-2) D) 2 E) -25) Si:P(x)=2x – 1 16)Calcular: “A” Calcular: A=P (P(P(O))) Si: M(x) = 4x6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3 M(1) + M(2) A= Calcular: A=P(R(2)) M (4)7) Si: P(x)=3x+5 17) Dada la expresión: Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2 1 Calcular: A=P(Q(R(O))) P( x ) = ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ; calcular x( x − 1)8) Si: L(x + 3) = x2 + x − 1 P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5) Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4) 4 3 2 A) B) C)9) Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 5 5 5 1 1 7 Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0) D) E) 5 510) Sea: M(3x − 2) = 5x − 9 Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13) 18) Si : P( x ) = n; n ∈ R ; Calcular: R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 )11) Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1 A) n B) 2n C) 10n Calcular el valor de: D) 15n E) 55n a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)] 19) De la expresión :  x +1 =x − 2 x1998 + 4 1999 P12) Sea: P( x −1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6)  x −1  Calcular el valor de: P ( 3) P ( −1) A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x - 8 D) 4x + 10 E) NA. A) 256 B) 16 C) 128 D)4 E) 2313) Indicar el valor de a; b en ese orden, si: P( x ) = 3x a −1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b−1 se reduce a  x 20) Sea: P  = x − 125 x + 3 x + 2 ; 20 17 un solo término. 5  y +1  x +1 calcular P(1)14) Sea: P( x; y ) = x  + y  y +1 ;  A) 17 B) 20 C) 30  x +1    D) 50 E) 80  33 41  Calcular P ;   41 33  PRÁCTICA DOMICILIARIA
  17. 17. Expresiones Algebraicas Primer Año1. Calcular el valor numérico de polinomios Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10 para x=2; y=3; z=1 12. Si: P(x) = 2x + 4  P(x)=3x – 4 Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )  P(x,y)=2x+3y-2  P(x,y,a)=x + y + z – 6 13. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3  P(x)= (4 – x)(x -2) Calcular: P(Q(x))  P(x,y)=(x+2)(y-3)  P(x,y,z)=(x – 1)(y-2)(z-3) 14. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 22. Si: P(x)=2x + 8 Calcular: P(Q(x)) Calcular: A=P(a) + P(a-1) 15. Dado: p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x − 13 ;3. Si: P(x,y)=5xy+x-y calcular el valor de p ( p ( 4 ) ) Calcular: P(1,2) + P(2,0) A) -24 B) -21 C) -12 D) 11 E) 344. Si: P(x)=x + 2 Calcular: A=P(P(P(3))) P x  = x 20 − 8 x17 + 3x + 2 ; 16. Sea:   25. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1 Calcular P( 1) Calcular: A=P(R(2)) A) 17 B) 20 C) 306. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2 D) 50 E) 8 Calcular: A=P(R(x)) 17. Si: P(x) = x + 3x + 4 2 Calcular: P(2) + P(3)7. Del problema anterior 18. P(x) = 2x + 4 Calcular: B=R(P(x)) A = P ( P ( P ( P (2))))8. Si: P(x)=3x+4 19. Si: Q(x) = x + 5 P(x)=x+3 Calcular: M=P(P(x)) Calcular: P( Q (x) ) 20. A(x) = 2x + 49. Calcular: P(P(P(2))) Calcular: A ( R ( x ) ) Si: P(x)=2x – 110. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4 21. Si: P( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3x − 2 ; calcular M(0) + M (2) Si: A = M(1) P ( 1) P ( 2 ) P( 0) A) 2 B) -2 C) 411. Calcular: P(7) D) 5 E) 0Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez17
  18. 18. Polinomios Segundo Año TEMA Nº 03: P O L I N O M I O SCapacidades: Reconoce un polinomio. Diferencia entre monomio y polinomio, Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa. Resuelve problemas con polinomios.Desarrollo del Tema:Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables sonnúmeros naturales. P( x , y) ≡ 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4 Término Variables Independiente1. MONOMIO Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo: M ( x , y, z ) ≡ 4 x 3 y 4 z 5 Parte Variable Parte constante (Coeficiente) a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión Ejemplo: Sea: M(x,y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) : 4 (exponente de x) GR(y) : 3 (exponente de y) b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x,y) = 135x4y3 GA = 4 + 3 Exponente de variable x Exponente de variable y GA = 7
  19. 19. ACTIVIDAD: COMPLETA EL CUADRO ParteMonomio Parte Constante GA GR(x) GR(y) GR(z)M(x,y,z) Variable (Coeficiente) 39x3y -4 − 3x 4 z 5x2yz3 18z -4x5y4 82. POLINOMIO Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. Ejemplo: P( x; y) ≡ 2 xy 3 + 4 y 4 − 3x + 2 Término Independiente Polinomio de 4 términos 4 3 2 P(x) = 4x + x – x + 2x + 3 Polinomio de ___________________ 2 P(y) = ax + bx + c Polinomio de ___________________ P(x; y) = x + y Polinomio de ___________________ a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio. P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GR(x)=3 GR(x)=5 GR(X)=1 GR(y)=4 GR(y)=3 GR(y)=2 Entonces: GR(x) = 5 GR(y) = 4 AHORA TÚ: P(x,y)≡ 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y GR(x) : GR(y) = b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma el mayor: P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GA=7 GA=8 GA=3 ⇒ GA=8 ¡AHORA TU!
  20. 20. Polinomios Segundo Año P(x,y) ≡ 3x3y + 2xy + 4xy2 – x5y GA =ACTIVIDAD: COMPLETARPolinomio P(x, y, z) GA GR(x) GR(y) GR(z)x6 + xy + x3y4zx+y+zzxy + x2y3 + 4a + abx + bx23x3 + 4y4-x3y4 + x5 + y84z3 + 4z – 3 c) Cálculo de Grados en Operaciones 1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor. Ejemplo: Si P(x) es de grado: a Si Q(x) es de grado: b tal que: a > b ⇒ Grado [P(x) ± Q(x)] = a 2. En la multiplicación los grados se suman Ejemplo: (x4 + x5y + 7) (x7y + x4y5 + 2) Resolución: ⇒ Grado: 6 + 9 = 15 3. En la división los grados se restan xy 8 − x 3 y 3 + x 7 Ejemplo: x 4z − y 3 + x 3y 3 Resolución: ⇒ Grado: 9 – 6 = 3 4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente Ejemplo: (x3y – x2y6 + z9)10 Resolución: ⇒ Grado: 9 . 10 = 90 5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo: 3 xy 7 + 2x 3 y 6 − 7x 12 Resolución. 12 ⇒ Grado =4 3 Propiedad:
  21. 21. En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 PRÁCTICA DE CLASE1. Dado el monomio: a+b+c Calcular: A = M(x,y) = -3abxa+3yb 7 De GR(x) = 7 y GA = 10 a) 5 b) 4 c)3 Calcular: El coeficiente d) 2 e) 1 a) -36 b) 36 c) 12 d) -12 e) N.A. 6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+22. Si el siguiente monomio: Calcular: A = a + b a+1 b+2 4 M(x,y,z) = -4x y z a) 1 b) 2 c) 3 Es de GA=14 y GR(y) = GR(z) d) 4 e) N.A. Calcular: “a . b” a) 15 b) 10 c) 5 7. Dado el polinomio: d) 3 e) 6 P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab Si: GR(x) = 7 GR(y) = 63. Si el monomio: Calcular el término independiente: x+2 y+5 M(a; b) = -4xya b a) 5 b) 6 c) 7 Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 d) 12 e) N.A. Calcular: “El coeficiente” a) 24 b) -24 c) 25 8. Si: d) 26 e) 12 P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc Es de GR(x) = 14 GR(y)=64. Si en el monomio: Calcular la suma de coeficientes: 2 3 a+3 b+2 6 M(w, t, ψ) = -2a b w t ψ a) 3 b) 4 c) 5 El GA = 17 y GR(w) = 5 d) 7 e) N.A. Calcular: “El Coeficiente” a) 512 b) 251 c) -512 9. Si: d) 251 e) 521 P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z)=3 GR (z) GR ( y) Calcular el grado absoluto.5. Si GA = 15 GR(x) = = =2 2 3 De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3 10. Dado el polinomio:
  22. 22. Polinomios Segundo Año P(x) = xa+3 + xa+4 + xa+2 + 2a P( x; y ) = x m + 2 n y 7 − n + x m + n y 10− n + x m+ 3n y 9− n Calcular el término independiente si , además: GR(x) = 15; GR(y) = 12. Calcular el GA=8 grado absoluto.11. Determine el grado del polinomio A) 25 B) 26 C) 27 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x10 + 10 ) D) 28 E) 29 A) 45 B) 36 C) 55 15. Sea: P( x; y ) = x 2 n −3 y 2 n +5 , donde el D) 21 E) 28 grado relativo con respecto a “x” es 7. Calcular el grado absoluto de la expresión:12. En el siguiente polinomio ordenado y A) 22 B) 30 C) 35 completo de grado 2 : D) 25 E) 28 P( x ) = x a + 2 x a −b + 3 16. Determine el grado del polinomio Calcular: a2 − b2 P( x ) = ( x + 1) ( x 2 + 2 )( x 3 + 3)....( x 8 + 8) A) 3 B) -1 C) 0 A) 45 B) 36 C) 15 D) 1 E) 2 D) 21 E) 2813. Sea: 17. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ? P ( x ) = 3ax a +5 + 5ax a + 6 + 2ax a +8 . P( x ) = x 2 n + x 2 n −1 + x 2 n −2 + ... + x 2 + x + 1 Un polinomio de grado 17. señale la suma de A)2n B)2n + 1 C) 3n sus coeficientes. D) 2n - 1 E) n A) 20 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 18. ¿Cuántos términos tiene p ( x ) ? P( x ) = x 2 n −1 + x 2 n − 2 + x 2 n −3 + ... + x 2 + x + 114. Dado el polinomio: A)2n B)2n+1 C) 3n D) 2n - 1 E) n PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Dado en el monomio. GA=12 GR(x) = GR(y) a b M(x,y) = 4abx y Calcular: m . P Si. GR(x) = 2 GA=7 a) 12 b) 13 c) 14 Calcular: “El coeficiente” d) 15 e) 16 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 3. Si en el monomio: M(ψ, θ) = 2xyψx+4θy+22. En el siguiente monomio: Donde: GR(ψ)= 7 GR(θ)=5 m+1 p+2 2 M(x,y,z) = 3x y z Calcular el coeficiente:
  23. 23. a) 18 b) 19 c) 20 P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3 d) 21 e) 24 Si el GA=7 Además: a – b=2 b Calcular: A = a4. Si en el monomio: a) 1 b) 2 c) 3 2 3 4 a+5 b+4 c+3 M(x,y,z) = 2a b c x y z d) 4 e) 5 Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4 Calcular el coeficiente: 11. En el polinomio : a) 2 b) 4 c) 5 P( x , y ) = ax 2 y 3 − bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y) d) 16 e) 14 Indicar la suma de los coeficientes. A) 13 B) 11 C) GR ( x ) 125. Si: GA=24 GR(y) = 5 D) 9 E) 8 a+b a-b M(x,y)= 2x y 12. Determine el grado del polinomio Calcular: a . b a) 96 b) 108 c) 64 ( )( P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7 ) ( ) d) 25 e) 15 A) 45 B) 36 C) 15 D) 21 E) 286. Si: P(x) = x a+4 +x a+3 +x a-4 ;GA=7 Calcular: 3a 13. Si al polinomio: a) 3 b) 4 c) 5 P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8 d) 6 e) 7 le restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 disminuye ¿Cuánto vale el menor de los GR(x) =5 GR(y) = 3 grados relativos? Calcular el GA A) 3 B) -1 C) 0 a) 1 b) 2 c) 3 D) 4 E) 2 d) 4 e) 6 14. Si:8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4 n m P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m −1 Es de GA=5 Calcular la suma de coeficientes: se reduce a un monomio: a) 14 b) 15 c) 16 Calcular GA de: d) 17 e) 18 2 M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 GR(x) = 4 GR(y)=5 GR(z)= 3 Calcular el grado absoluto 15. Si el polinomio completo es de (4 + a) a) 1 b) 14 c) 12 términos. d) 10 e) 11 P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a − 1) x 2 a −1 + ( 2a − 2) x 2 x − 2 + .... Calcular el valor de “a”10. Dado el polinomio: A) 1 B)4 C)2
  24. 24. Polinomios Segundo Año D)3 E) 5 P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a Calcular “a”, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su termino independiente incrementado en 76.16. En el polinomio: A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 5 POLINOMIOS ESPECIALESPOLINOMIO HOMOGÉNEOEs aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.Ejemplo:P(x,y) = 4x3y4 - 3x7 + 2xy6 - x5y2 GA=7 GA=7 GA=7 GA=7P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7 3+5 = a + 2 = b + 7 a = 6 b = 1POLINOMIOS IDÉNTICOSSon aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.Ejemplo:P(x)= (x + 1)2 Q(x)=x2 + 2x + 1P(O)= Q(O)=1P(1) Q(1) = 4  P(x) y Q(x) son idénticos.Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.Ejemplo:P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x)=Ax2 +5x – B A=4 B=3NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo.Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).P(x) = Ox2 + Ox + OP(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0Así, sí tenemos:Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.Entonces: A = 2; B = 3; C = 2¡¡AHORA TÚ!!Si son idénticos: P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x)= 2x2 + 5x + 3
  25. 25. Entonces: A= B= C=AHORA:Si: P(x) = ax3 + (b – 2)x2 + (c + 3)x – 2d + 14Es idénticamente nulo:a= c= b= d=POLINOMIO COMPLETOEs aquel polinomio que presenta todos los términos algebraicos, desde el mayor, hasta elmenor.Ejemplo:P(x) ≡ 5x3 + 2x – 4x2 + 7OJO: Presenta todos los términos desde el mayor grado (5x3) hasta el menor (7) P(x) = 2x + 3 ……………………… Es polinomio completo. P(x) = 2x5 – 4x2 + 5x4 – 2x + 7 – x3 ……………………… Es polinomio completo. P(x) = x – 2x + 5x – 4 4 3 ……………………… Es polinomio completo.POLINOMIO ORDENADOEs aquel que guarda un orden ascendente o descendente referido a los grados relativos.Ejemplo: P(x) = x2 + 2x3 – x5 (Polinomio ordenado en forma ascendente) P(x) = x7 – 4x + 3 (Polinomio ordenado en forma descendente) P(x) = x – x + x 17 25 50 (Polinomio ………………. en forma ……………………………) P(x) = 14x – 2 (Polinomio ………………. en forma ……………………………)Si el polinomio es de dos variables se ordena con respecto solo a una. P(x,y) = 4x3y7 – 5x2y9 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “x”) P(x,y) = -5x2y9 + 4x3y7 + 2xy4 (Polinomio ordenado en forma descendente con respecto a “y”)POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADOEs aquel polinomio que cumple los dos criterios anteriores.Ejemplo: P(x) = 5x4 – 3x3 + x2 + x + 3 (Observemos que es completo porque presenta todos los exponentes de “x” y además están ordenados en forma descendente). P(x) = 2 + 3x – 4x2 + 15x3 (Polinomio completo y ordenado en forma ascendente)
  26. 26. Polinomios Segundo Año AHORA COMPLETA (MARCA CON UN ASPA) Polinomio Ordenado Completo Completo y Ordenado Ascendente Descendente Ascendente DescendenteP(x)=4x2+5-3xP(x)=x7 + x + 6P(x)=5x2-3x+2P(x)=x1000-x10+1P(x)=1+2x+x2-x3P(x)=4x5-x+5P(x)=x102-x101-2 PRÁCTICA DE CLASE1. Dado el polinomio homogéneo 8. Dados los polinomios idénticos: P(x,y)=2xay3 + 3x5y7 – xby8 P(x) = 4x2 + bx + 7 Calcular: (a + b) Q(x) = cx2 + 3x + 7 a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 R(x) = (d + 1)x2 + 3x – a Calcular: a + b + c+ d2. Dado el polinomio homogéneo: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A P(x,y,z)=5xyz – x2ya + zb + xc Calcular: a + b + c 9. Dado: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 P(x)=(4 – a)x + 5c + d Q(x)=4c +3 + (2a + 2)x3. Si el polinomio es homogéneo. Son idénticos: P(x,y)= 3xa+2yb+8+xd+3y7+2x8y5 Calcule: a + c + d Calcular: a + b + d a) 4 b)5 c) 6 d) 7 e) N.A a) 1 b) 13 c) 6 d) 5 e) 8 10. Si los siguientes polinomios son4. Dado el polinomio homogéneo: idénticos: P(x,y)=axa+2y4 + 2bxby7 – cx6y8 + 2x10 P(x)=mx2+nx+p y Q(x)=ax2+bx+c Calcule la suma de coeficientes: m+n+p a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) NA Calcular: A = a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 55. Dado el polinomio homogéneo: P(x,y)=2bxbyc + 5x7y2+3cxb+7y 11. Dado el polinomio idénticamente nulo: Calcular la suma de coeficientes: P(x)=(a – 2)x2 + bx + c + 3 a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)NA Calcular: a . b . c a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A.6. Si P(x) y Q(x) son idénticos donde: P(x)=ax5+3x2 – 4 12. Dado el polinomio idénticamente nulo: Q(x)=(2a – 3)x5 + (c+2)x2 + b Q(x)=3x2 + 5x-3+ax2 + bx – c Calcular: a + b + c Calcular: a + b + c a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) N.A. a) -10 b) -11 c) -12 d) -13 e) N.A.7. Si: R(x)=2x2 + 5x – 3 Es idéntica con: 13. Si el polinomio es nulo: S(x) = (a2 – 2)x2 + (b2 + 1)x + c R(x)=-3x2+(a2-1)x2+cx-2x+d-4 Calcular: a+b+c Calcular: a . c . d a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)N.A. a) 1 b) 2 c) 16 d) 15 e)N.A. 14. Dado el polinomio nulo:
  27. 27. P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular: a + b + c Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e)N.A a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.15. Si el siguiente polinomio es nulo: P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c 24. Si: m +n +p 2 2 2 Calcular: M ( x ) = x m −10 + 5 x m − n + 5 + 2 x p − n + 6 a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. es completo y ordenado descendentemente, calcular: m + n + p.16. Calcular el valor de “a” en los siguientes A) 38 B) 28 C) 26 polinomios completos: D) 25 E) 36  P(x)=4xa+4x2 +3-2x  Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 2  R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 25. Calcular el valor de: a 33 + , si el a 9917. En el polinomio completo: polinomio: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 P( x ) = ( a + b − c − 10) x a + ( c − b + 9) x a 6 9 Es Calcula la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 idénticamente nulo. d) 11 e) N.A. A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 018. Dado el polinomio completo: P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp 26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente Calcular: m + n + p polinomio completo: a) 1 b) 6 d) 4 e) N.A. c) 5 ( a b ) ( P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c + b ) ( ) A) 15 B) 6 C) 1819. Ordenar en forma ascendente y D)12 E) 9 descendente los siguientes polinomios:  P(x)= 25x5+3x7-2x+4 27. Si el polinomio:  R(x)= 1- x+x3-x7+2x2  Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc ( ) ( M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y) es idénticamente nulo, calcula S. d 2 9b 6a20. Ordene en forma ascendente y S= + 2 + descendente los siguientes polinomios b e c primero relativo a “x” t luego a “y” A) 15 B) 16 C) 18  P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab D)13 E) 9  P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1- abc 28. Si el trinomio:21. Dado el polinomio completo y a x a +b + b x b + c + c x a + c es ordenado: homogéneo, de grado 10. de que grado es el P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes: monomio : a x b .b x c .c x a a) 1 b) 2 c)4 A) 7 B) 13 C) 27 d) 5 e) N.A. D) 33 E) 3022. Dado el polinomio completo y 29. Calcular la suma de coeficientes del ordenado: polinomio homogéneo: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Q( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3 Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c)9 A) 10 B) 11 C) 12 d) 12 e) N.A. D) 13 E) 1423. Si el polinomio es completo y ordenado 30. Si la expresión: en forma ascendente. (a + b ) 2 6 x a −b − ab 4 x a +b + ( b − a ) x ,

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