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# 2º álgebra

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• 1. Índice ÁLGEBRA - 2 do AÑO DE SECUNDARIA Pág.T E M A 1 Teoria de exponentes................................................................................. 2T E M A 2 Expresione algebraicas............................................................................... 10T E M A 3 Polinomios................................................................................................. 18T E M A 4 Operaciones con expresiones algebraicas.................................................... 30T E M A 5 Productos Notables.................................................................................... 38T E M A 6 Division Algebraica..................................................................................... 48T E M A 7 Cocientes Notables..................................................................................... 63T E M A 8 Factorización............................................................................................. 72T E M A 9 Fracciones Algebraicas............................................................................... 85T E M A 1 0 Relaciones Binarias.................................................................................... 100T E M A 1 1 Teoria de Ecuaciones.................................................................................. 115T E M A 1 2 Inecuaciones............................................................................................. 139T E M A 1 3 Funciones.................................................................................................. 150T E M A 1 4 Miscelaneas............................................................................................... 171
• 2. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI TEMA N º 01: TEORÍA DE EXPONENTESCapacidades: Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones. Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación exponencial.Desarrollo del Tema: POTENCIACIÓN Exponente (Base) = POTENCIAEjemplos:1) 27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 128 7 veces2) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 5 veces3) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 6 vecesEn general: an = a . a . a . a . … a “n” veces LEYES QUE RIGEN LOS EXPONENTES1. PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- Para tal efecto se escribe la misma base y como exponente la suma de los exponentes. Así: am . an = am+n Ejemplos: 1) x5 . x7 = x12 2) x8 . x6 . x-3 . x-8 . x12 = 3) 2m+3 . 2m+4 . 24-2m =
• 3. Ecuación Segundo Año2. COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES IGUALES.- En este caso se escribe la misma base, y como exponente la diferencia de los exponentes. am Así: n = a m−n a Ejemplos: x8 2 m +3 1) = x5 3) = 2 m−3 3 x x 12 5 x + 2 .5 x + 3 2) = 4) = x −3 5 2 x +13. EXPONENTE CERO.- Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero es igual a la unidad. Así: a0 = 1 ; donde: a ≠ 0 Ejemplos: 0 0 0 3 4 + 5 7 + 89 = = 0 1) 5 7 = 51 = 5 3) 90 2) 42 =4. EXPONENTE NEGATIVO.- Toda cantidad diferente de cero, elevada a un exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es 1, cuyo denominador es igual a la misma expresión, pero con exponente positivo. 1 Así: a −n = , donde: a ≠ 0 an Ejemplos: −3 1 1 1) x = 3) = x3 x2 a2 2) 2-1 = 4) = b4 a −3 5) = b −55. POTENCIA DE UN PRODUCTO.- Para efectuar se eleva cada factor a dicha potencia. Así: (a.b)n = an . bnProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez3
• 4. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: 1) (a . b)5 = a5 . b5 3) x4 y4 = 2) ( 3 x = ) 2 4) 3 x .2 x 6x =6. POTENCIA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se eleva tanto el numerador como el denominador a dicha potencia. n a a Así:  = m ; b≠0 b b Ejemplos: 4 x x4 x7 1)   = 4  y 3) =   y y7 3  3 8n 2)   4) = 5 2n7. POTENCIA NEGATIVA DE UN COCIENTE.- Para efectuar, se invierte el cociente y el exponente se transforma en positiva y se procede como en el caso anterior. −n n a b bn Así:   =  = n b a a Ejemplos: −2 2 −2 −3 −4 5 2 4 1 1 1 1)   =  = 3)   +  +  = 2 5 25 2  3 5 −3 1 2)   = 58. POTENCIA DE POTENCIA.- Para realizar esta operación se escribe la misma base y se eleva a un exponente igual al producto de exponentes. Así: (a ) m n = am n Ejemplos: ( ) 1) x 2 4 = x8 3) [( x ) ] 3 4 5 = 2) (x-3)-4 = 4) (x-2)5 = { } s OBSERVACIÓN:  ( a m ) n r  = a m.n .r . s    
• 6. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI Ejemplos: x 20 5 x 20 x4 16 1) 5 = = 2) 4 = y 35 5 y 35 y7 62513. INTRODUCCIÓN DE UN FACTOR EN UN RADICAL.- Se multiplica el exponente del factor por el índice del radical y a esto se le afecta del radical. Así: a p n b = n a pn b Ejemplos: 1) x 2 5 y = 5 x 2.5 y = 5 x 10 y 4) 23 5 = 2) x 5 3 y 2 = 5) x y = 3) 2 2 = 6) 54 2 = PRÁCTICA DE CLASEResuelve:1. E=2n+2 + 2n+3. 6. Resuelve: a) 4 b) 4n+5 c) 42n+5 d) 24n e) 12.2n 2 n −1 A= 2 n −32. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) 1/2 e) 1/4 3 n +1 + 3 n + 2 + 3 n +3 Q= 3 n +1 7. Reduce: a) 39 b) 6 c) 27 d) 13 e) N.A. 3 n −1 + 3 n − 2 M = 3 n−43. Calcula: a) 36 b) 3 c) 12 d) 27 e) N.A. 2 n −2 E= 2 n −3 8. Simplifica: a) 2 b) 4 c) 8 d) ½ e) ¼ (a 4 b 3 c)(a 5 b 2 c 3 )(a 6 b 9 c 5 )(a 8 c 7 ) E= (ab)(a 2 b 2 )(a 3b 3 )(a 4 b 4 )(ac 15 )4. Reduce: a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. E=(2a4b5) (5a5b6) (6a6b7) (axax…xa) 9. Reduce: (bxbx….xb) (n-15) veces 5.2 n + 2 − 2 n + 4 − 6.2 n −1 (m-18) veces E= a) 60 b) 60ab c) 60anbm 2n d) 60ambn e) N.A. a) 0 b) 1 c) 2 d) ½ e) N.A.5. Reduce: Q= (x xx +x x x + x x + 2 x + x x +3 x x − x ) x 10. Simplificar: −1 −2 −1 L = ( 2 3 ) 9  + 16 − 4− 2 −1  −1 / 2 x x + x 2 x + x 3x −4         a) x b) x-1 c) 0 d) 1 e) N.A.
• 7. Ecuación Segundo Año a) 4 b) -4 c) 2/5 d) 5/2 e) -2/5 2 n+ 2 n n+2 2 2 2n+n11. Reduce: 1 −1 1 −1 1 −1 1 a) n 2 n −1 b) n 2 c) d) n 4 e) N.A.   −      n  1  2    1 2  1  2    −      1 2 .  1 2 . 1 2 4   −    2  2 2 a) ½ b) 1 c) -1/16 d) 1/16 e) -1/2 19. Calcula el valor de: 216 .35 3.80 3 E= 4 9 2 ⇒ E=12. Simplifica: 15 .14 .30 3 n .3 3 n.3+ 2 E=n 6 20. Efectúa: 81 a) 1/3 b) 3 c) 81 d) 9 e) N.A. 15 6 .12 4 .5 9 .6 3 E= 1011.313.5 413. Reduce: a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 1/ n  n+ 1  9 4 3.3 n 21. Simplifica: E=   3 3−n      a a a a .16 a a) 3 b) 9 c) 27 d) 1 e) N.A. a) a b) 16 a 15 c) a2 d) 8 a7 e) 1 22. Reduce:14. Simplifica: 81+ n 2n− 1 x y x2 81− n 3 5 Q= 729 .8 3 y x y2 a) 27 b) 17 c) 29 d) 8 e) N.A. x y x a) b) c) 5 y x y15. Calcula el valor de: 2 x + 4 + 32(2 x − 2 ) y x2 d) 5 e) 5 2 x+5 − 2(2 x + 3 ) − 4( 2 x +1 ) − 6(2 x −1 ) x y216. A qué es igual : 2 n+2 1 23. n n+ 2 Q= 2 7 a3 3 a a 2 2n+ 4 a) a b) a2 c) 21 a d) 21 a2 e) N.A. a) 4 b) 2 c) 1 d) n 2 e) n 2 n +117. Halla el valor de la expresión: 2x 3 2x 3 2x 3 ( ) 24. 3 20 n +1 x3 x E= n ⇒ E= 4 n+2 + 2 2n+2 a) 8 64x 7 b) 8 128x 5 c) 4 64x 718. Simplifica: d) 4 128x 7 e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez7
• 8. Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI25. Realiza: 2 m +3.4 m + 2 n m −1 29.  24 m − 12 m + 15 m  9 m − 2 .16 n + 2  4m m   2 − 2 + 10  3m a) 1 b) 2 c) 3 d) -2 e) -1 1 a) 3 b) 2 c) 2/3 d) 1,5 e) ½ − 1 30. 2 226. Resuelve: a) 3 b) 4 c) 2 d) ½ e) -1/2 6(6) a + 4(4) a 5 n −1 + 2 n −1 a +1 31. n −1 3(3) a + 2(2) a 51− n + 21− n a) -2 b) 2 c) 1 d) ½ e) N.A. a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) N.A. a nbn + a ncn + bncn27. n a −n + b −n + c −n 32. a x a x 2a x 8a a) ab b) ac c) bc d) abc e) N.A. a) x2 b) x3 c) x4 d) x5 e) N.A. −4 −0.528. − 27 − 9 33. Calcula: 8 2 7 3 2 7 a) 2 b) -2 c) ½ d) -1/2 e) N.A. 3 1+ + 1− 3 3 3 3 a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1 PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Resuelve: 5 −7 7 5 a) − b) c) d) e) -7 2 x +2 + 2 x +3 7 5 5 7 E= 2 x+2 5. Reduce: a) 3 b) 4 c) 2x+3 d) 12 e) N.A. [ ] n M = (x ) n m 1 / mm  1 ( n +1) −  x1 +  + n x 2n2. Simplifica:  n 5.2 n + 2 − 2 n − 4 − 6.2 n −1 a) x b) x2 c) 0 d) 1 e) -1 E= 2 n −1 6. Resuelve: a) 1 b) 2 c) 4 d) 0 e) N.A. −2 −1  8  −1  10  − 2  2  −3  E =   +    10  +  3  3. Simplifica:  21         3.2 −1 + 2.3 −1 Q= a) 4 b) ½ c) 2 d) ¼ e) N.A. 3.2 −1 − 2 x3 −1 13 13 5 7. Simplifica: a) 13 b) 15 c) d) e) 6 5 13 a −b −1 x ( a −c ) . b − a x ( b −c ) −14. Reduce: E= −1 c −a n −1 n −2 x ( b −c ) 2.3 + 3 E= a) xab b) 1 c) xac d) xa e) xb 3 n − 2 − 6.3 n −3
• 9. Ecuación Segundo Año8. Reduce: ( 13 ) −1− 2 [ ]  1  1 1 2/3 (a ) m /( m + n ) a−a Q =  n am an  n E =  +  −m aa .3       ( xy ) −1 / 2   x y a) a b) an c) am d) 1 e) 0   Sabiendo que: x+y=-19. Reduce: a) 1 b) -1 c) 8 d) 0 e) N.A. − 2 16. Calcula: A =  2 .2 − 2 2  2     2 m + 3.4 m + 2 n E= a) 2 b) ¼ c) 0 d) 1 e) N.A. 8 m − 2 .16 n + 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 2.21/210. Resuelve: 17. Simplifica: n xn. xn −1 13 6 −n 3 n .( x ) x −1 + y −1 x . x x −1 . y −1 a) x-n b) xn c) x d) 1 e) N.A. a) x-y b) x+y c) y-x d) –x –y e) N.A.11. Simplifica: 18. Calcula: 3 n −a + 2 n −1 n −1 2 n − a + 1 E= n −1 + 2 n + 4 − 2(2 n ) 31−n + 21− n 21− n + 1 Q= 2(2 n + 3 ) a) 6 b) 7 c) 8 d) 2 e) N.A. a) 8/7 b) 7/16 c) 7/8 d) -7/8 e) N.A12. Simplifica: [ Q = ( 64 ) −1 / 3 + (−32) −3 / 5 ] −1 / 3 19. Simplifica: 6 n + 10 n + 15 n a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) N.A. M =n 2 −n + 3 −n + 5 −n a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 3013. Reduce: n n  20. Calcula: n n   n n   38 n .36 E= (n n ) n −n n E=n 27 2 n +1 + 9 3n +1 a) n b) n2 c) 2n d) n3 e) 1 a) 3 b) 9 c) 38 d) 1 e) 21/n 21. Simplifica: 514. Halla “x” en: 5 5 L = ab 3 a − 2 b −1 ab −1 5 x = 5 25 5 a) 125 b) 5 c) 5 125 d) 1 e) N.A. a) 3 b) 6 c) ab d) 1 e) N.A.15. Calcula el valor de la séte. Expresión: 22. Calcula el valor de M, si: 4 n + 3 − 4(4 n ) M= 4(4 n −1 ) a) 32 b) 48 c) 60 d) 64 e) N.A.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez9
• 10. TEMA Nº 02 : EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades: Reconoce y clasifica una expresión algebraica. Reconoce términos semejantes a través de su parte literal y puede reducirlos a uno solo. Calcula el valor numérico de una expresión algebraica, correctamente. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:I. “Si dos números son de signos iguales se suman los dígitos y se coloca el mismo signo. Ejemplos: 1) 2 + 4 = 6 3) 3 + 4 = 2) -3 – 7 = -10 4) -13 – 9 =II. “Si dos números son de diferente signo se restan los dígitos y se coloca el signo del mayor”. Ejemplos: 1) 3 – 2 = +1 3) 7 – 5 = 2) -4 + 2= -2 4) -13 + 8=Desarrollo del Tema:1. TÉRMINO ALGEBRAICO CONCEPTO: Es aquella expresión que relaciona dos partes contrarias, por medio de la multiplicación, dichas partes son: Parte constante: es aquella magnitud que permanece invariable y se representa generalmente mediante números reales. Ejemplo: 4, 5, -2, 4/3 Parte invariable: Es aquella que varía y se representa generalmente por letras (x, y, z,…) Ejemplo: x2, xyz, x5y7 La unión de dichas partes origina el Término Algebraico. Así: Parte variable Exponentes − 2x 5 y 4 Bases Parte constante
• 11. Expresiones Algebraicas Primer AñoACTIVIDAD Término Parte Parte Bases Exponentes Algebraico Constante Variable-3xy4xyz-3abc7m2n3-4abc3-x5-44xyzt4-3x2z32. TÉRMINOS SEMEJANTES Son aquellos términos algebraicos que tiene la misma variable. Ejemplo: 3x4y4 es semejante con -2x4y5 porque tienen la misma parte variable. * 4x3y4 ; -x3y4  ……………… son semejantes 5 3 5 3 * x y ; 7x y  ……………… son semejantes * -a3b4 ; -3b4a3  ……………… son semejantes OBSERVACIÓN: Un término algebraico NO puede tener como exponente a: a) Números irracionales: Ejemplos: 3 1) 4 x y 4z 5 …………… no es término algebraico 2) 2 xy3 z 2 2 …………… no es término algebraico b) Letras: Ejemplos: 1) -xxyyzz …………… no es término algebraico 2 3 a 2) -2x y z …………… no es término algebraico PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Relacionar los términos semejantes: I) abc ( ) 7x II) 4x3y5z6 ( ) 2nma III) -3x ( ) cba 3. Colocar verdadero (V) o (F) según IV) amn ( ) -x3z6y5 corresponda: I) En un término algebraico los ( ) exponentes no pueden ser números irracionales. ( )2. Son términos semejantes: II) Es un término algebraico 3xxy3z. I) ab; -a2b3 II) 7xy; 4y2z III) 5x3y4z5 ; -3y3x4z5 son términos ( ) III) 7,x IV) abc; -3cba semejantes. a) I b) II c) III d) IV e) N.A. 4. Completar:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez11
• 12. Los coeficientes: Término Parte Parte Término a) 9 y 3 b) 9 y 3 c) 9 y 4Algebraico Constante Variable Semejante d) -9 y 4 e) N.A. 1 5− x y 13. Si: t1= 3x4y53 y t2 =-2xayb+2zc+1 2 Son semejantes:− 7 xz Calcular: A = a + b + cAbc a) 10 b) 9 c) 87 d) 7 e) 6-x4z5 14. Si los términos semejantes presentan iguales 5. Si: t1 =13x 7 t2 = 2x a coeficientes (b + 3)xbyc+3 ; 10xby5 Calcular: 4a − 3 Calcular la suma de los exponentes: a) 1 b) 2 c) 3 a) 13 b) 12 c) 11 d) 4 e) 5 d) 10 e) 9 6. Dado los términos semejantes: 3a2m+4 ; − 3a12 15. Dados los términos semejantes: Calcular: m + 1 3xa+4yb+3zc+2 ; -2xb+4yc+3z8 a) 1 b) 2 c) 3 a+b+c Calcular: A = d) 4 e) 5 3 a) 7 b) 6 c) 5 7. Si los siguientes términos son semejantes: d) 4 e) 3 5xa+4y7 ; -3x5y3+b Calcular: B = a + b + 4 16. Verificar si las siguientes expresiones son a) 1 b) 2 c) 3 términos semejantes: d) 4 e) 5 a) xyz, 2xyz, 8xyz . . . . . . . . . ( ) 8. Dados los términos semejantes: b) 12abc , 3bca , 4 acb . . . . . .( ) 3xa+5yb+7 ; -x7ya+2b c) 2ab , 6bc , 4ac . . . . . . . .( ) Calcular: R = a.b d) x y ; 3x y 2 3 4 2 .........( ) a) 10 b) 9 c) 8 e) 12a2bc , 3b2ca , 4 a2cb . . . . ( ) d) 7 e) 6 f) 2x2 , 3x3 , 4 x4 . . . . . . . . . . ( ) g) 2x3 , 2y3 , 2z3 . . . . . . . . . . ( ) 9. Dados los términos semejantes: 17. Si los términos: 2xm+5 yn; 3x13 y4 son t1 = (2a+b)x4yb+3 t2=(b-3a)x4ay5 semejantes. Halla el valor de “m+n”: Calcular: La suma de coeficientes a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Si los términos: 3ma+2nb+1 ; 2mb+3n4 son 10. Indicar los coeficientes de los términos semejantes. Entonces (a+b) es: semejantes siguientes: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 -2axa+by5 ; 12bx8yb+4 a) -14 y 12 b) 14 y 12 c) 4 y -12 d) -4 y -12 e) N.A. 19. Si: t1 = abxay3 ; t2 = 2x2yb , son términos 11. Dados los términos algebraicos semejantes: semejantes. Calcular: t1 + t2 (a+4)ca+3db+4 ; (b+2)c2a+1d2b+2 a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 Calcular: a + b a) 1 b) 2 c) 3 20. Si los términos: t1 = 2xm+n ym-n; d) 4 e) 5 t2 = 3x13-n y1-m son semejantes. Halla el valor de “m - n”: 12. Calcular de los términos semejantes: a) 5 b) 3 c) 2 d) 8 (b+4)x7 ; (2 – b)xb+2 RECORDANDO:
• 13. Expresiones Algebraicas Primer AñoComo ya sabemos un término algebraico consta de:Parte constante  NúmerosParte variable  LetrasNota: Cuando los términos son semejantes se pueden REDUCIR por adición o sustracción.Así: 2x + 4x – 3x + 5x Ejemplo: 4a + 5a + 3a + 2b – 3b + 5cSe reduce: 8x Queda: …………………………………MAYOR O IGUAL A 2Cuando el resultado arroja un número limitado de términos algebraicos no semejantes sedenomina EXPRESIÓN ALGEBRAICA.Por ejemplo:Luego de reducir 2a + b – 3a + 4b + 5 nos queda:5b – a + 5c Expresión algebraica de 3 términos-x + y + z Expresión………………………………………… 3 4-x – y Expresión…………………………………………Si:3x3 + x4 + 2x5 + ……………… (No es porque son limitados)5x 3 + x 3 + 14 x 3 + 3 (No es porque los exponentes de las variables no pueden serx4 + 2 + 4y números irracionales o letras)Entonces ahora completa el siguiente cuadro: Expresión Si es expresión algebraica No es expresión algebraica2x3y4 + 5xy−x 3 + x3 − 4x + x6 + x7 + … 5 x +3 x +43 + 2x…… + x3 – x2 + 4x3x + 4x + 5xx 5y 4 + 2x + y5x2 + 5y3 + 5z4 PRÁCTICA DE CLASEI. Reducir: 7. –{a+[2a+b+[-[b-2a+(6a-3b)+2a-1. 4x + 2x – 3x + 4x (5a+b)]]]}2. 5x + 3y – 2z + 4z – 3y + 4x 8. –{(4xy2+3yx2)+[-(4x2y+5yx2)-3. 5x2y2z2 + 3 x2y2z2 - 16 x2y2z2 + 15 x2y2z2 (3xy2+6xy2)]}4. 3xy3z + 5yx3z + 7xy3z – 14zy3x + x3yz 9. 2x2y3z4 + 3y2x3z4 – 12z2x3y4 + 7x3y2z4 +5. 3yz2 +2zy2 + 3xyz – 4zy2 + 4yz2 – 5xyz x2y3z4 – 2x3z2y4 + 5z4x3y2 – y3z4x2 +6. –{ab + [ - [ - [ -(a – b)+4ab-5ª+2b]]]} 6z2x3y4Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez13
• 14. 10. Indicar cuántos términos tiene la 13. Reducir si los términos son semejantes: expresión luego de reducir: (a+2)xb + (c + 4)x7 + (b – 4)xa+3 – bxc+4 -{ - [ - [ - [-a + [b + a – 2b – [a – b a) 10x7 b) 9x7 c) 8x7 +2a – (a-b)]]]]]} d) 7x7 e) 6x7 a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) N.A. 14. Dados los términos semejantes (reducir)11. Reducir los términos semejantes axa + bxb + cxc + dxd + exe + 2x (c+4)x4 + (b + c)xb – 4xc+2 a) 7x b) 2x c) 3x 3 3 4 a) 8x b) 3x c) 8x d) 4x e) 5x 4 4 d) 4x e) 16x 15. Si los siguientes son términos12. Reducir los términos semejantes semejantes: a+b c+d e+f 3 (a+b)x + (c+d)x + (e+f)x +x (a+1)xa+b; (b+1)xa+c; (c+1)xa+3; 2x5 a) 10x3 b) 3x3 c) 4x5 Reducirlos: 10 d) 3x e) 10x a) 13x5 b) 14x5 c) 15x5 d) 7x5 e) x5 PRÁCTICA DOMICILIARIAI. Reducir: a) 3 términos d) 01. 2x2 + 3x2 – 7x2 + 10x2 b) 2 términos e) N.A.2. 2xy + 4xy + 5xy – 10xy c) 1 término3. 5x3y2 + 3y2x3 + 11x3y2 – 25y2x3 11. Reducir los términos semejantes:4. a3b4c5 + 2b3c4a5 + 3c3a4b5 – 7b3c4a5 + (2 + c)x4 + x4 + (c – 4)x9-c + 3x4 2a3b4c5 10c3a4b5 a) 7x4 b) 8x4 c) 9x45. 2x3y4a2 + 5a2x3y4 – 3x2y4a3 + x3a4y2 + d) 10x4 e) N.A. 7x2y4a3 – x3y2a46. –{a + {-{-[b + a 4b – (2a – b)]}}} 12. Reducir los términos semejantes:7. –{-{-{-{-{-a+{-a+{-a –{a}}}}}}}} (a + b)xa+b + axa+b + bxa+b + 4x48. –{-(4xy2 + 5x2y) + [-(2x2y+3xy2)-(x2y- a) 12x4 b) 16x4 c) 17x4 xy2)]} d) 20x4 e) N.A.9. x y z + x z y + y x z + x z y + y z x 2 3 4 Z 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 13. Al reducer los términos semejantes: + z2x3y4 + z2y3x4 + y2z3x4 + y2x3z4 + mxm + nxn + pxq + qxq + x7 z2x3y4 + z2y3x4 + x2z3y4 queda: a) 29x7 b) 30x7 c) 28x7 d) 26x7 e) N.A.10. Luego de reducir: -{-a + b + {-a – {b + c+{-a + b – a – 14. Luego de reducir los términos {a – b}+{+b}c} – a} semejantes: La expresión tiene: (a + 1)xayb + (b + 1)x3y4 + 2x3y4
• 15. Expresiones Algebraicas Primer Año a) 5x3y4 b) 3x3y4 c) 7x3y4 a + b – c – {a – b + c – {a – b + c – (a – 3 4 d) 6x y e) N.A. b)}}} a) a b) 2b – c c) a + b15. Reducir: d) a + b + c e) N.A. VALOR NUMÉRICOEl valor numérico de un polinomio, es el valor que adquiere dicho polinomio cuando la variableo variables toman un determinado “VALOR”.Ejemplo:I CASO:P(x)= 2x+3 Q(x)=5x – 3 R(x)= 2x + 5P(2)= 2(2) + 3 Q(1)=5(1) – 3 R(1)=P(2)= 7 Q(1)=2 R(2)=P(3)=2(3) + 3 Q(2)=5(2) – 3 R(0)= = 09 Q(2)=7II CASO: Si P(x)=2x+3 P(a)= 2a + 3 P(x+3)=2(x+3) + 3 P(x)=2x – 5 P(b)= 2b + 3 P(x+3)=2x + 6 + 3 P(a)= P(x+3)=2x + 9 P(x+3)=III CASO: Si P(x) = 2x+3Calcular: A=P (P (P (3)))¿CÓMO?Se empieza por adentro, es decir: A = P (P (P (3) ) ) 2(3) + 3 A = P (P (9) ) 2(9) + 3 21 A = 2(21) + 3 A = 45IV CASO: Si: P(x) = 2x+3 y Q(x)=3x + 5Calcular: P(Q(x)) + 3 (Pero Q(x) = 3x+5) P(Q(x)) = 2(3x+5)+3 P(Q(x)) = 6x + 10 + 3 AHORA CALCULA : P(Q(x)) = 6x + 13 Q(P(x)) = ? PRÁCTICA DE CLASE 1) Hallar el valor numérico de:  P(x,y)=3x + 2y – xy x=1; y=2; z=3de los siguientes  P(x, y, z)=xyz + 2x – y + z polinomios:  P(x)=3(x+2)(x-3)  P(x)=2x + 5  P(x,y)= 2x(x+1)(y-2)Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez15
• 16. A) 0 B) 3 C) 52) Si: P(x)=2x-4 Calcular: A=P(1) + P(2) D) 2 E) 43) Si: P(x,y)=2xy – x + 3y 15) Dado: F ( m 3 − 1) = m + 5 Calcular: A=P(2,3) + P(0,1) Calcular z en: F ( F ( F ( F ( z ) ) ) ) = F ( F ( 2 ) + 1)4) Si: P(x)=3x + 5 A) 3 B) -1 C) 0 Calcular: M=P(a+2) – P(a-2) D) 2 E) -25) Si:P(x)=2x – 1 16)Calcular: “A” Calcular: A=P (P(P(O))) Si: M(x) = 4x6) Si: P(x)=5x – 2; R(x)=2x+3 M(1) + M(2) A= Calcular: A=P(R(2)) M (4)7) Si: P(x)=3x+5 17) Dada la expresión: Q(x)=2x-1 y R(x)=3x+2 1 Calcular: A=P(Q(R(O))) P( x ) = ; x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ; calcular x( x − 1)8) Si: L(x + 3) = x2 + x − 1 P( 2 ) + P( 3) + P ( 4 ) + P( 5) Calcular: E = L(5) + L(3) − L(4) 4 3 2 A) B) C)9) Sea: N(5x − 4) = 2(5x − 4)19 + 3(5x − 4)2 + 5 5 5 1 1 7 Hallar: I = N(−1) + N(1) + N(0) D) E) 5 510) Sea: M(3x − 2) = 5x − 9 Hallar: I = M(7) + M(10) − M(13) 18) Si : P( x ) = n; n ∈ R ; Calcular: R = P(1) + P( 2 ) + P( 3 ) + P( 4 ) + ..... + P(15 )11) Si: P(x,y) = x4 + y4 − 2x2y2 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 8x − 1 A) n B) 2n C) 10n Calcular el valor de: D) 15n E) 55n a) Q[P(2,1)] b) P[Q(1); Q(2)] 19) De la expresión :  x +1 =x − 2 x1998 + 4 1999 P12) Sea: P( x −1) = 4 x + 1 , calcular P( x + 6)  x −1  Calcular el valor de: P ( 3) P ( −1) A) 4x + 3 B) 4x + 8 C) 4x - 8 D) 4x + 10 E) NA. A) 256 B) 16 C) 128 D)4 E) 2313) Indicar el valor de a; b en ese orden, si: P( x ) = 3x a −1 y 3 + 4 x c y d + 7 x 5 y b−1 se reduce a  x 20) Sea: P  = x − 125 x + 3 x + 2 ; 20 17 un solo término. 5  y +1  x +1 calcular P(1)14) Sea: P( x; y ) = x  + y  y +1 ;  A) 17 B) 20 C) 30  x +1    D) 50 E) 80  33 41  Calcular P ;   41 33  PRÁCTICA DOMICILIARIA
• 17. Expresiones Algebraicas Primer Año1. Calcular el valor numérico de polinomios Si: P(x) = -x5 + 7x4 + 2x – 10 para x=2; y=3; z=1 12. Si: P(x) = 2x + 4  P(x)=3x – 4 Calcular: M= P (P (P (P (3) ) ) )  P(x,y)=2x+3y-2  P(x,y,a)=x + y + z – 6 13. Si: P(x) = 2x – 1 Q(x) = x + 3  P(x)= (4 – x)(x -2) Calcular: P(Q(x))  P(x,y)=(x+2)(y-3)  P(x,y,z)=(x – 1)(y-2)(z-3) 14. Si: P(x) = x + 5 Q(x) = x + 22. Si: P(x)=2x + 8 Calcular: P(Q(x)) Calcular: A=P(a) + P(a-1) 15. Dado: p( x ) = x 3 − 4 x 2 + 3x − 13 ;3. Si: P(x,y)=5xy+x-y calcular el valor de p ( p ( 4 ) ) Calcular: P(1,2) + P(2,0) A) -24 B) -21 C) -12 D) 11 E) 344. Si: P(x)=x + 2 Calcular: A=P(P(P(3))) P x  = x 20 − 8 x17 + 3x + 2 ; 16. Sea:   25. Si: P(x)=x+3 ; R(x)=2x-1 Calcular P( 1) Calcular: A=P(R(2)) A) 17 B) 20 C) 306. Si: P(x)=5x+3; R(x)=3x+2 D) 50 E) 8 Calcular: A=P(R(x)) 17. Si: P(x) = x + 3x + 4 2 Calcular: P(2) + P(3)7. Del problema anterior 18. P(x) = 2x + 4 Calcular: B=R(P(x)) A = P ( P ( P ( P (2))))8. Si: P(x)=3x+4 19. Si: Q(x) = x + 5 P(x)=x+3 Calcular: M=P(P(x)) Calcular: P( Q (x) ) 20. A(x) = 2x + 49. Calcular: P(P(P(2))) Calcular: A ( R ( x ) ) Si: P(x)=2x – 110. Calcular “A” Si: M(x) = 2x4 21. Si: P( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3x − 2 ; calcular M(0) + M (2) Si: A = M(1) P ( 1) P ( 2 ) P( 0) A) 2 B) -2 C) 411. Calcular: P(7) D) 5 E) 0Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez17
• 18. Polinomios Segundo Año TEMA Nº 03: P O L I N O M I O SCapacidades: Reconoce un polinomio. Diferencia entre monomio y polinomio, Calcula el grado absoluto y relativo de monomios y polinomios. Diferencia correctamente las clases de polinomios en forma directa. Resuelve problemas con polinomios.Desarrollo del Tema:Es una Expresión Algebraica que se caracteriza porque los exponentes de las variables sonnúmeros naturales. P( x , y) ≡ 4 x 3 y 4 + 2 xy + 4 Término Variables Independiente1. MONOMIO Cuando se refiere a un solo término. Ejemplo: M ( x , y, z ) ≡ 4 x 3 y 4 z 5 Parte Variable Parte constante (Coeficiente) a) Grado Relativo (G.R.): Es el exponente de la variable en cuestión Ejemplo: Sea: M(x,y) = 135x4y3 GR(x) : Se lee grado relativo con respecto a “x” GR(x) : 4 (exponente de x) GR(y) : 3 (exponente de y) b) Grado Absoluto (G.A.): Es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: M(x,y) = 135x4y3 GA = 4 + 3 Exponente de variable x Exponente de variable y GA = 7
• 19. ACTIVIDAD: COMPLETA EL CUADRO ParteMonomio Parte Constante GA GR(x) GR(y) GR(z)M(x,y,z) Variable (Coeficiente) 39x3y -4 − 3x 4 z 5x2yz3 18z -4x5y4 82. POLINOMIO Es la agrupación por adición de monomios no semejantes. Ejemplo: P( x; y) ≡ 2 xy 3 + 4 y 4 − 3x + 2 Término Independiente Polinomio de 4 términos 4 3 2 P(x) = 4x + x – x + 2x + 3 Polinomio de ___________________ 2 P(y) = ax + bx + c Polinomio de ___________________ P(x; y) = x + y Polinomio de ___________________ a) Grado Relativo (G.R.): Se calcula el grado relativo de la variable en cuestión de cada monomio y se toma el mayor grado relativo como grado relativo de dicha variable en el polinomio. P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GR(x)=3 GR(x)=5 GR(X)=1 GR(y)=4 GR(y)=3 GR(y)=2 Entonces: GR(x) = 5 GR(y) = 4 AHORA TÚ: P(x,y)≡ 3x3y + 2xy + 4x2y – x5y GR(x) : GR(y) = b) Grado Absoluto (G.A.): De la misma manera se calcula en cada monomio el GA y se toma el mayor: P(x;y) = 2x3y4 + 5x5y3 + 2xy2 GA=7 GA=8 GA=3 ⇒ GA=8 ¡AHORA TU!
• 21. En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir: Número de términos = Grado + 1 Ejemplo: P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2 Como es completo: Número de términos = 6 PRÁCTICA DE CLASE1. Dado el monomio: a+b+c Calcular: A = M(x,y) = -3abxa+3yb 7 De GR(x) = 7 y GA = 10 a) 5 b) 4 c)3 Calcular: El coeficiente d) 2 e) 1 a) -36 b) 36 c) 12 d) -12 e) N.A. 6. Si GA=10; GR(x) = 5 del polinomio: P(x,y)=4xa+1yb+5xa+2yb+1 + 3xayb+22. Si el siguiente monomio: Calcular: A = a + b a+1 b+2 4 M(x,y,z) = -4x y z a) 1 b) 2 c) 3 Es de GA=14 y GR(y) = GR(z) d) 4 e) N.A. Calcular: “a . b” a) 15 b) 10 c) 5 7. Dado el polinomio: d) 3 e) 6 P(x,y) = xayb+2+ xa+1yb+4 + xa+5yb + ab Si: GR(x) = 7 GR(y) = 63. Si el monomio: Calcular el término independiente: x+2 y+5 M(a; b) = -4xya b a) 5 b) 6 c) 7 Donde GR(a) = 5 GR(b) = 7 d) 12 e) N.A. Calcular: “El coeficiente” a) 24 b) -24 c) 25 8. Si: d) 26 e) 12 P(x,y) = axa+byc+2 + bxa+b+1yc+3+cxa+b+3yc+abc Es de GR(x) = 14 GR(y)=64. Si en el monomio: Calcular la suma de coeficientes: 2 3 a+3 b+2 6 M(w, t, ψ) = -2a b w t ψ a) 3 b) 4 c) 5 El GA = 17 y GR(w) = 5 d) 7 e) N.A. Calcular: “El Coeficiente” a) 512 b) 251 c) -512 9. Si: d) 251 e) 521 P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1+xa + 2yb – 2zc Donde GR(x) = 4 GR(y) = 5 GR(z)=3 GR (z) GR ( y) Calcular el grado absoluto.5. Si GA = 15 GR(x) = = =2 2 3 De: M(x,y,z) = -4xayb+2zc+3 10. Dado el polinomio:
• 23. a) 18 b) 19 c) 20 P(x,y) = xayb + xa+1yb+2 + xa+3yb-3 d) 21 e) 24 Si el GA=7 Además: a – b=2 b Calcular: A = a4. Si en el monomio: a) 1 b) 2 c) 3 2 3 4 a+5 b+4 c+3 M(x,y,z) = 2a b c x y z d) 4 e) 5 Si: GA=15 GR(x)=6 GR(z)=4 Calcular el coeficiente: 11. En el polinomio : a) 2 b) 4 c) 5 P( x , y ) = ax 2 y 3 − bx 5 y 6 + 8 x 7 y 2 ; a = GA. ; b = GR (y) d) 16 e) 14 Indicar la suma de los coeficientes. A) 13 B) 11 C) GR ( x ) 125. Si: GA=24 GR(y) = 5 D) 9 E) 8 a+b a-b M(x,y)= 2x y 12. Determine el grado del polinomio Calcular: a . b a) 96 b) 108 c) 64 ( )( P( x ) = ( x + 1) x 2 + 2 x 3 + 3 .... x 7 + 7 ) ( ) d) 25 e) 15 A) 45 B) 36 C) 15 D) 21 E) 286. Si: P(x) = x a+4 +x a+3 +x a-4 ;GA=7 Calcular: 3a 13. Si al polinomio: a) 3 b) 4 c) 5 P ( x; y ) = nx m y p + mx m −a y p −1 + x n −8 d) 6 e) 7 le restamos 10 x 3 y 4 , su grado absoluto7. Si : P(x,y) = 2xa+1yb-1 + xa+3yb-4+xa+2yb-2 disminuye ¿Cuánto vale el menor de los GR(x) =5 GR(y) = 3 grados relativos? Calcular el GA A) 3 B) -1 C) 0 a) 1 b) 2 c) 3 D) 4 E) 2 d) 4 e) 6 14. Si:8. Si: P(x) = axa + (a+1)xa+1 + (a+2)xa-4 n m P( x , y ) = n 2 x n −1 . y 26 + m 2 x 3 y m −1 Es de GA=5 Calcular la suma de coeficientes: se reduce a un monomio: a) 14 b) 15 c) 16 Calcular GA de: d) 17 e) 18 2 M ( x , y , z ) = m n x 12 .3 y 2 m .z m9. P(x,y,z) = xaybzc + xa+1yb+1zc-1 + xaybzc A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 GR(x) = 4 GR(y)=5 GR(z)= 3 Calcular el grado absoluto 15. Si el polinomio completo es de (4 + a) a) 1 b) 14 c) 12 términos. d) 10 e) 11 P( x ) = 2ax 2 a + ( 2a − 1) x 2 a −1 + ( 2a − 2) x 2 x − 2 + .... Calcular el valor de “a”10. Dado el polinomio: A) 1 B)4 C)2
• 24. Polinomios Segundo Año D)3 E) 5 P( x ) = 6ax 5a + 5ax 4 a + 4ax 3a + 3ax 2 a + 20ax 2 + a Calcular “a”, si se cumple que la suma de coeficientes es igual a su termino independiente incrementado en 76.16. En el polinomio: A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 5 POLINOMIOS ESPECIALESPOLINOMIO HOMOGÉNEOEs aquel polinomio que en todos sus monomios presenta el mismo grado absoluto.Ejemplo:P(x,y) = 4x3y4 - 3x7 + 2xy6 - x5y2 GA=7 GA=7 GA=7 GA=7P(x,y)=2x3y5 + 5xay2 + 3xby7 3+5 = a + 2 = b + 7 a = 6 b = 1POLINOMIOS IDÉNTICOSSon aquellos que tienen el mismo valor numérico para un valor en cuestión.Ejemplo:P(x)= (x + 1)2 Q(x)=x2 + 2x + 1P(O)= Q(O)=1P(1) Q(1) = 4  P(x) y Q(x) son idénticos.Esto trae como consecuencia que tengan los mismos coeficientes en términos homólogos.Ejemplo:P(x) = 4x2 + 5x – 3 es idéntico Q(x)=Ax2 +5x – B A=4 B=3NOTA: Observe que cuando es idénticamente nulo el valor numérico es siempre nulo.Esto trae como consecuencia que los coeficientes del polinomio siempre son nulos (ceros).P(x) = Ox2 + Ox + OP(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(…) …………… = P(1000) = 0Así, sí tenemos:Que si P(x) = (A – 2)x2 + (B – 3)x + c + 2 es idénticamente nulo.Entonces: A = 2; B = 3; C = 2¡¡AHORA TÚ!!Si son idénticos: P(x) = Ax2 + (B + 3)x + C + 2 con Q(x)= 2x2 + 5x + 3
• 27. P(x)=(a2 + 1)x2+(b2+1)x+c2-1-2x2-10x P(x)=axc-1+bxb+cxa Calcular: a + b + c Calcular la suma de coeficientes. a) 1 b) 5 c) 9 d) 10 e)N.A a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.15. Si el siguiente polinomio es nulo: P(x)=(m2-a)x2 +(n2-b)x + p2 – c 24. Si: m +n +p 2 2 2 Calcular: M ( x ) = x m −10 + 5 x m − n + 5 + 2 x p − n + 6 a+b+c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. es completo y ordenado descendentemente, calcular: m + n + p.16. Calcular el valor de “a” en los siguientes A) 38 B) 28 C) 26 polinomios completos: D) 25 E) 36  P(x)=4xa+4x2 +3-2x  Q(x)=2x+xa+2+x2 – 4 2  R(x)=3xa+2 +xa+1+5xa+3+1 25. Calcular el valor de: a 33 + , si el a 9917. En el polinomio completo: polinomio: P(x)=axa+3+3xa+1+5x3-2ax + a2 P( x ) = ( a + b − c − 10) x a + ( c − b + 9) x a 6 9 Es Calcula la suma de coeficientes: a) 8 b) 9 c) 10 idénticamente nulo. d) 11 e) N.A. A) 1 B)4 C)2 D)3 E) 018. Dado el polinomio completo: P(x)=mxm+3+nxn+mnp+pxp 26. Calcular la suma de coeficientes del siguiente Calcular: m + n + p polinomio completo: a) 1 b) 6 d) 4 e) N.A. c) 5 ( a b ) ( P( x ) = c x + x + a x + x c + b x a + x c + b ) ( ) A) 15 B) 6 C) 1819. Ordenar en forma ascendente y D)12 E) 9 descendente los siguientes polinomios:  P(x)= 25x5+3x7-2x+4 27. Si el polinomio:  R(x)= 1- x+x3-x7+2x2  Q(x)= ax + nx3 – bx2 + abc ( ) ( M ( x; y ) = a + b − c − d 2 x 2 + ( b − de ) xy + 9 b + c − a − e 2 y) es idénticamente nulo, calcula S. d 2 9b 6a20. Ordene en forma ascendente y S= + 2 + descendente los siguientes polinomios b e c primero relativo a “x” t luego a “y” A) 15 B) 16 C) 18  P(x,y)=x3y4–5xy2 + 2x7y3 – 2ab D)13 E) 9  P(x,y)=axm+1yn-2 + bxmyn+cxm-2yn+1- abc 28. Si el trinomio:21. Dado el polinomio completo y a x a +b + b x b + c + c x a + c es ordenado: homogéneo, de grado 10. de que grado es el P(x)=2axa+3+5x3 -7x2+ax +3 Calcula la suma de coeficientes: monomio : a x b .b x c .c x a a) 1 b) 2 c)4 A) 7 B) 13 C) 27 d) 5 e) N.A. D) 33 E) 3022. Dado el polinomio completo y 29. Calcular la suma de coeficientes del ordenado: polinomio homogéneo: P(x)=3x2a-1+4x4 + 2xb+1+3x2-x+ab Q( x , y ) = nx n + 5 + 3 x n y m + mx m + 3 Calcule el término independiente. a) 4 b) 6 c)9 A) 10 B) 11 C) 12 d) 12 e) N.A. D) 13 E) 1423. Si el polinomio es completo y ordenado 30. Si la expresión: en forma ascendente. (a + b ) 2 6 x a −b − ab 4 x a +b + ( b − a ) x ,
• 28. Polinomios Segundo Año puede reducirse a un monomio, este siendo términos semejantes en variables “x” e monomio es: “y”. A) 2x B) x C) 3x 32. Se la familia de polinomios: D) 4x E) 5x Pn ( x ) = nx + b; n ∈ N ∧ b ∈ Z ; resolver:31. Efectuar: P2 ( x ) + P3 ( x ) + P4 ( x ) +  + P12 ( x ) + x = 11b 6 bx y a +1 + ( a + b) x b+2 y + ax y 7 a b +3 A) b B) b C) b 78 2 D) -78 E) 0 PRÁCTICA DOMICILIARIA1. Si el polinomio: a) 40 b) -40 c) 10 d) -10 e)N.A. 3 a 2 7 9 P(x,y)=3x y +2x y -x es homogéneo. 9. Dados los polinomios idénticos: Calcular: a +3 P(x)= (a2-1)x2 + (b+1)x + c + 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)N.A. Q(x)= 8x2 + 7 + 5x Calcular a + b c2. Dado el polinomio homogéneo: a)14 b) 15 c) 16 P(x,y)=2x4ya+1 – x3yb + 5x2y7 d) 17 e) N.A. Calcular: a . b a) 48 b) 24 c) 12 d) 10 e)N.A 10. Dados los polinomios idénticos: R(x) = (a+b)x3 + (c+d)x + 43. Dado el polinomio homogéneo. Q(X) = 3x3 + e +x P(x,y)=3xay2 – xby4 + 5x5y6 Calcular: a + b +c+d+e Calcular: a + b a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e)N.A. a) 15 b) 16 c) 17 d)18 e) N.A 11. Dados los polinomios idénticamente4. Dado el polinomio homogéneo: nulos. Calcular A, B y C P(x) = axa + bxb – cxc + 2x2 Calcular la suma de coeficientes:  (A-3)x + (C+2)x + B – 5 = P(x) 2 a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e)N.A.  R(x) = (A2–4)x2 + (B3-8)x + C – 25. El polinomio homogéneo:  Q(x) = (A+3)x2 – 5x + -x2 + Bx – C P(x,y)=axayb + bxcyd + (c + d)x5 12. Si P(x) = mx2 : nx + p, es idéntico con: Tiene como suma de coeficientes a: a) 10 b) 11 c) 20 d) 15 e)N.A. Q(x)= cx2 + dx + e c+d+e Calcular6. Si: R(x) y Q(x) son idénticos. m+n+p R(x) = bx2 + 3x + c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. Q(x) = (2b – 2>)x2 + ax + 2 Calcular : a + b + c 13. Si: P(x)= (a-b)x2 + (c+d)x + e – f a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) N.A. Es idénticamente nulo:7. Si: R(x)=12x – 5x + 7 es idéntico con: 4 a c e Calcular A = + * b d f Q(x)=abx4 – 5x + a + b (Nota:a > b) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. Calcular: a- b a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 14. Calcular el valor de “b” en los siguientes8. Dados los polinomios idénticos: polinomios completos: P(x,y)= 5x2 - 2x + 4  P(x)=x2b-4+x3+2x-4+3x2 R(x,y)= ax3 + c + bx5 Calcular: a.b.c  P(x)=3xb+1+x3-8+5x+7xb+3
• 30. Polinomios Segundo Año a) 1 b) 4 c) 3 d) 2 e) N.A.
• 31. TEMA Nº 04: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALgEbRAICASCapacidades: identifica una expresión algebraica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un polinomio y en forma directa operar con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) 3x + 2x = 5x 3) 3m + 4m – 5 m = 2) 6a + 4a = 4) 8y – 3y + y =B. Efectúa 1) 6x + 4y – 6x = 3) (x + y + 2z) + (2x + 3y – 6z) = 2) (a + 4) – (a – 5) 4) (m – 3n + 2p) – (3m + 4m – 6p)Desarrollo del Tema: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS2.1. Adición de Polinomios Para armar varios polinomios que contiene términos de diversos clases, se indica cada clase con marcas, xx y se reduce separadamente cada una de ellas. Solución: 6x – 4y + 4 + 3y – 5x + 6 = x – y + 10 rpta. • En la práctica se escribe los polinomios sumandos completos y ordenados unos debajo de otros, de modo que correspondan los términos semejantes, procediendo a reducir los términos semejantes. Ejemplo: A(x) = 6x3 – 8x + 3 con B(x) = 3x2 + 12x – 10 Solución: A(x) = 6x3 – 8x + 3  A(x) = 6x3 + 0x2 – 8 x + 3 B(x) = 3x2 + 12x - 10  B(x) = 3x2 +12x – 12 - 10 __________________________ A(x) + B(x)= 6x3 + 3x2 + 4x – 7 ∴ S(x) = 6x3 + 3x2+ 4x – 7 rpta.2.2. Sustracción de Polinomios: Se llama diferencia de dos polinomios al polinomios que se obtiene al sumar el minuendo el punto del sustraendo. Ejemplo: Efectúa la diferencia indicada : (6x2 – 3xy + 4y2) - (3xy +5x2-7y2)
• 32. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año Solución: Método práctico El polinomio minuendo es : 6x2 – 3xy + 4y2 Recuerda que: El opuesto del sustraendo es : -5x2 – 8xy + 7y2 Después de la palabra De, La diferencia es: x2 – 11xy + 11y2 encontramos al minuendo y después de la palabra restar encontramos el sustraendo PRÁCTICA DE CLASESuma los siguientes polinomios:1) 7x – 3y ; 4x + 6y ; 5x – 8 ; 4x – 3y – 5 ; 6x – y + 22) 14x – 5 ; -3x + 6x2 ; -5x2 – 10x + 6 ; 23x – 4 + 3x23) 2x3 + 7x2 – 3x + 1 ; 3x3 – 5x2 + 6x – 4 ; x2 – 5x + 74) 3x2y – 8x3y2 – x4y3 ; 9x3y2 + 4x4y3 – 4x2y ; 3x3y2 – x2y5) 2x2y3 + 4xy2 + 10x2y – 3x2y ; -xy2 + 6x2y3 – 8x2y + 2x2y26) -3x2 + 5x4 – x6 ; 4x5 – 2x4 + 3x6 ; 12x2 + x6 – 3x5Efectúa la resta de los siguientes polinomios:1) De: 3x2 – 8xy + 6y2 resta: 2x2 + 3xy + 5y22) De: 6x3+ 3x2 –x resta: -4x2 – 3x + 5x33) De: -8x2y – y2 + 3 resta: 3y2 – 12 + 5x2y4) De: ½ xy + 1/3 x2 + x2 resta: 5/8xy – 2/5x2 + 5/7x25) De: 0,13x2 – 0,5x3 + x4 resta: 0,9x2 + 1,2x3 + 0,4x46) De: -1,5xy + 0,8x2y + 0,1y2 resta: 0,2y2 -0,5x2y -1,4xy7) De: -x2y – 3/8xy – 1/5y2 resta: 4/9 x2y – ½ xy – 8/15 y2Suma los siguientes polinomios:1) 0,3x2 – 0,8y2 + 0,2z2; 0,9x2 + 0,2y2 – 0,8z2 ; x2- 2z2 + 3y22) 0,2x3yz – 0,7xy2 + 1,5z2 + 1,2xy3 ; 0,7x3yz + 2,3xy2 – 2,6z2 + 0,6xy33) 2/3xy2 – ¼ xy3 – 5/7xz; - ¾xy3 + 2/5xz – xy2; xz – ¾ xy3 + 1/2 xy24) 1/3x2 + 1/2xy + 1/4 y2; 2/5x2 – 3/4xy – 1/5y2; 8/9x2 – 1/3xy – 3/7y25) 0,5x4 – 0,4x3y + x5 -3x2; 3x5 + 0,6x2 – 2/5x3y + 1/3x4Efectúa la resta de los siguientes polinomios:6) Resta: 5x2 + 3xy – 2y2 de : 8x2 – 5xy + 3y27) Resta: -x2y –y2 + 2y3 de: 5x2y – 4xy2 – y38) Resta: 12xy2 – 9x2y + x2 de: -9xy2 – 2xz + 10x2y9) Resta: 3/7x3 + 2/9 x2 + ½ x de : 5/14x3 – 1/18x2 – 2/3x10) Resta: -1/6xy – 3/8x2 + 5/7y2 de: xy -5/12x2 – 2/9y211) Resta: 0,1xy – 0,5x2y2 + 0,9x3y3 de: -0,7xy -0,8x2y2 + 0,12x3y312) Resta: -1,8x2 + 1,3y2 + 2,5z2 de: 0,6x2 + 0,9y2 – 1,2z213) Resta: 3xn – 5x2n + 8x3n de: 2xn – 6x2n + 5x 3n
• 33. 14) Resta: 12 x n-1 + 9x n+1 – 5x n+2 de: 15x n-1 + 11x n+1 + 8x n+215) Resta: 0,1xyn+3 – 0,5x2y + 0,9x n+1 de: -0,9xy n+3 + 0,75x 2y + xn+1Suma los siguientes polinomios16) 3yn – 8yx + y2; -yx + 2y2 + 4yn; -5y2 – 6yn + yx17) 8xn – 3xn+1 + 5xn+2; 4xn+1 – 3xn – 3xn+2 ; -8xn+2 + 6xn – xn+118) xn+3 – 6xn+2 + 2xn+1; -3xn+1 + 8xn+2 – 2xn+3; xn+2 – xn+3 + 5xn+119) 3xn – 2xn-1 + xn-2; 4xn-1 – 2xn-2 + 4xn; 6xn-2 + xn – 8xn-120) 5x4 -2/5 x3 – 3x2 -6 ; 4x3 + 2/5x2 -7x + ¼ PRÁCTICA DOMICILIARIAA. Si : A(x,y) = 7x2 y – 3/2 xy2 + y3; B(x,y) = 4/7 y3- x2 Y – 3/5 x y2 C(x,y) = 3xy2 – 5x2 y + 2y3 ; Halla: 1) A(x,y)+B(x,y) 2) B(x,y)+C(x,y) 3) A(x,y)+C(x,y) 4) A(x,y)+B(x,y)+C(x,y)B. Si: P(x,y) = -12x2 y4 –1/3 x2 y2 +3/5 xy3; Q(x,y) = -x2 y2 + 32 y4 + 2/5xy3 R(x,y) = 5x2 y4 + 17/3 x2 y2 + 6xy3. Halla: 1) P(x,y) + Q(x,y) 2) Q(x,y) + R(x,y) 3) P(x,y) + R(x,y) 4) P(x,y) + Q(x,y) + R(x,y)C. Si: A = 3x2 – 2xy + y2 – 5; B = -8x2 + xy – 5y2 + 6; C = 0,9X2 – 0,5XY + 0,2Y2 – 1,2; Halla: 1) (A+B)-C 2) A-(B+C) 3) (A+C)-B 4) (B+C) -4D. Efectúa las siguientes operaciones 1) De: 3ax2 resta la suma: (2a + 5bx – a2x) con: (a – 2bx – 3a2x) 2) De: 5/9 resta la diferencia que hay entre (1/2 a + 3x) y (5/8ª - 2x) 3). De: -6x3 resta la suma: (3x- 5x2 – 8x3) con (2x + 4x2 – 7x3) 4). De: 0,3zx resta la diferencia que hay entre: (0,8x2 – 0,5ax) y 0,3x2 + 0,1axSuprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes en las expresionessiguientes:1) 5X – {4Y – (3X – 2Y)}2) -6X –[-2X –(3Y + X)]3) 4X –{-2Y –[6Z –(3X – 7Y)]}4) -9X –{-X-y –[3y –X –(3y –X)]}5) –{-11X + [-7y –(8x – 10y) – (4x – 2x – 3y)]}6) 2x –{3y – (2y – z) -4z + [2x – (3y – z – 2y)]}7) –{-[13x – (6x – 8y – 7x) – 6y – (8x – 11x – 7y) -9x] – 4y}8) (x-1) – {x-2 –[x – 3 – (x – 4)] + 2 + [x – 2x – y + (3y – x)]}
• 34. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año9) –(-2x – y) – {-(x + 2z) – {-x- [(x-y) + 2z – (y-x) – (x-3y)]}}10) Si: A = x + y; B = -x –y; C = x – y ; D = -x + y Calcula: I –{(A-B) + (C-D)} II) –{(B+C) -2 (C+D)}Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) (+2) (+4) = + 8 3) (+5) (-6) = -30 2) (-6) (-7) = + 42 4) (-7) (+9) = - 63B. 1) (+5m2) (+3m3) = 3) (9ab3) (-3ª b5) 2) (-7a2) (-9a3) = 4) (-10x2) (2x3) =Desarrollo del Tema: MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOSLa multiplicación es una operación que consiste en hallar una expresión llamada producto apartir de otras dos llamadas factores: Recuerda Multiplicando Multiplicador I. Ley de los signos (+)(+) =+ (+) (-) = - 5.4 = 20 (-) (-) =+ (-) (+) = - Factores Producto II. Ley de los exponentes am. an = am+nEfectúa :1) -7.8 = 5) 72.73 =2) 8.-6 = 6) a8.a4 =3) -7.-6 = 7) 210.220 =4) -9.12 = 8) a5.a7 .a2 = (a.b)n = a n.bn (am)n = am.nEjemplos:1) (2.9)3 = 23.93 1) (32) 3 = 32.3 = 26 7) (2.32) 5 =2) (m.n)5 = m5.n5 2) (25) 4 = 25.4 = 220 8) (x3.y) 3 =3) (3.11)2 = 3) (x3) 7 = x21 9) (a2.b3)2 =
• 35. 4) (2.8)5 = 4) (b2.a) 3 = 10) (a4.b)3 =5) (5.8.9)7= 5) (55) 2 =6) (a.b.c.d)3 = 6) (a2) 7 =III. Propiedad Distributiva a(b+c) = ab + ac) Ejemplos: 1) 3(5+2) = 3.5. + 3.2 3) 8(5.3) = = 15 + 6 = 21 1) 4(x+3) = 4.x. + 4.3 3) 3(2+4+3) = = 4x + 123.1. Multiplicación de Monomio por Monomio Para multiplicar 2 monomios, primero se multiplican las partes constantes (coeficientes) de acuerdo a la ley de signos luego se multiplican las partes variables de acuerdo a las Leyes de exponentes Ejemplos: 1) ( (2x3) (3x5) = (2.3) (X3.X5) = 6X8 4) (-8y7) (9y9) = 2) (-5X2) (-2X3) = 5) (2xy2) (3x3 y2) = 3) (7Y4) (-4Y3) = 6) (3x5) (5x3) =3.2. Multiplicación de Monomio por Polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se emplea la propiedad distributiva. Recuerda: Un polimonio es una suma limitada de monomios no semejantes Ejemplos: 1) 2x2 (x+5) = 2x2. x + 2x2.5 = 2x3 + 10x2 Multiplicación multiplicación de monomios de monomios2) 3x3 (x2 + 2x) = 3x5 + 6x4 5) -2x2Y3 (x3y5+x2y3) =3) 12x5 (x3 – 3x2) = 6) 3x (x+2) = 2y4) 5x (x + xy) = 7) -5x(x2 + 3) = 8) 4x2(x3-4)2.3. Multiplicación de un polinomio por polinomio En este caso también se emplea la propiedad distributiva. Ejemplos: 1) (x+5) (x+2) = x.x + 2. x + 5.x + 5.2 2) x + 5
• 36. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año = x2 + 2x + 5x + 10 x+2 2 = x + 7x + 10 x2 + 5x 2x + 10 2 x + 7x + 10 3) (x-3) (x + 4) = 4) (x + 3) (x2 + 2x + 1) = 5) (x-2) (x-5) = 6) (x+2) (x – 7) = 7) (x + 1) (x2 + x + 2) = 8) (x – 2) (x4 – x2 + 3) = 9) (x3 + x) (x3 + x + x5) = 10) (xy + 1) (x2y + xy2) = PRÁCTICA DE CLASEEfectúa las siguientes multiplicaciones:1) 5x3.4x2 2) 3x2y. 6x 3) -3ax . 6ax 4) -6xz . 3z25) (-8x2y) (-5x2) 6) 3/4x2y.(-5/8xy) 7) (-4/7x3y2)(-8/9y3) 8) 4(-1/5x) (x y)9) (5/3X5y3)(-3X3Y) 10) (0,5X2y2)(-0,3xz) 11) (0,8xy5)(-2,4ay2) 12) (-15xy2)(0,8xy)13) 0,6ax2.(-3x3) 14) (-5xa+2)(-2x3-a) 15) (3xn+11) (-xn+2) 16) 3a.5a2x .(-a2bx2)17) (-13axy2) (-2xy2)(3x2) 18) (-a2b) (-9ax) (-5ax2y)19) 18a5b3xy.5a4b4 (-2/9a3by3) 20) -12x3y4z5.3/4xy2.5x5y5z21) 3x2 (2x-3x2y+x3y2) 22) -5xy (-3x3 + 5x2y – xy2)23) -6ax2 (x+2y – 5) 24) 3a2x (2x – 5b + 2a)25) (9x3 – 5x2 + 6x -4) (4x2) 26) (3x2-5y + 6) (-2x2y)27) (-5x3 y + 8x5y2 – xy) (3xy2) 28) –x2y2 (x4y3 – 5x3 – y2+10x2y) PRÁCTICA DE CLASEEfectúa las siguientes multiplicaciones:1) 2/3 x2 (3/4x3 – 5/9 x2 -1/2x) 2) -3/4xy2 (-5/8 x3 + 1/3 xy2 + 2/5xy3)
• 37. 3) - ½ a2xy (1/6ax – 1/4a2x2 -1/5a3x3) 4) (5/8x – 1/5x2 – ¾ x3) (3/5x3)5) (-3/4y3 + 5/6y4- ½ y5) (-½ x2y) 6) (3/5xy -4/9x2 – 1/3y2) (-1/4x2y)7) (0,3x3 – 0,8x4 + 0,1x5) (0,95x2) 8) (0,5ab2 + 0,92b – 0,8a2b2) (-0,7ab2)9) 5a2 (3ax – 5ax+1 + 8ax+2) 10) -24a+1(8xa+1 – 6xa+2 + 3xa+3)11) 3xa-2 (12xa-4 – xa-3 + 9xa-2) 12) -4bx-1 (-b2x+2 + 3b2x+2 + 5b2x)13) (3x + y) (4x – 5y) 14) (2x3 + 4y2) (4x3 – 2y2)15) (-3x2 -5y) (2x2 + 3y) 16) (2+2x2y) (2 + 3x2 y)17) (2/3 x + 3/5) (x – 1/4y) 18) (1/2 x2 -3/8y2) (5/6 x2 – 2/5y2)19) (x2 -4x + 2) (x – 1) 20) (x4 – 3x3 + 2x2 + 5) (x – 5)21) (x4 – 8x3 + 4x2 + 5x-6) (4x -3) 22) (3x2 – 4) (x – 1) (2x2 + 3)23) (x + 6) (2x – 1) (x2 – 5) 24) (3x + 2) (4 x – 3) (5x + 4)25) 2x -3[x+ (2x – 3y) -5(x – 2y)] 26) x-2{x –[a – x + 5(a – x) -4 (a +x)]}27) x – y – 3{x + y – 2 [-x + y – 4 (-x – y) + 2 (-x + y)-x] –y}28) 6a2 + 4 {x2 –[a2 + 2a2 - 3x2 – a(3a - 8) + x (-2x + 2)]} PRÁCTICA DOMICILIARIAResuelve: 3. Si de: P(x) = 4x2 y Q(x) = 2x-31. Dado: P(x) = 2x3 ∧ Q(x) = 3x2 Se obtiene : P(x). Q(x) = mxn + axb; n > b Donde: P(X) . Q(x) = mxn Calcula : m -a Indica la o las proposiciones verdaderas: n+b I) m = n a) 4 b) 20 II) n – m = 1 c) 5 d) 2 e) -4 III) n + 1 = m a) solo I b) sólo II c) sólo III 4. Si: P(x) = 2x3 – 3x + 5x5 + 3; y Q(x) = 7x5 d) sólo I y II e) sólo II y III Calcular: P(x). Q(x)2. Asocia correctamente: Da como respuesta la suma de a) (4x3y2) (9xy3) ( ) 36 x4 y6 Coeficientes: 4 b) (18xy ) (2x y ) (3 2 ) 36 x y6 5 a) 47 b) 14 3 4 x) (12x y ) (3x y) ( 3 ) 36 x y4 5 c) 0 d) -21 e) 49
• 38. Operaciones Con Expresiones Algebraicas Segundo Año5. Dado: P(x) = x + 4 y Q(x) = x – 3 10. En la siguiente multiplicación de monomios: 2 Además : x + x = 12 axay2 . mx3yb = 10x5 y6 Halla: P(x) . Q(x) Determina: a + m + b a) 24 b) 0 a) 5 b) 2 c) 12 d) -12 e) -24 c) 4 d) 11 e) 106. Si: P(x; y) = - 3ax2 yb Q(x;y) = 2bxay4 11. Si: P(x) es idéntico a M(x) Son semejantes Donde: P(x) = -9x (3x + 2 – 4x2) Halla el coeficiente de: P(x;y) . Q(x;y) M(x) = mx2 + nx + q x3 a) -48 b) -6 Halla: m + n + q c) 2 d) -4 e) -8 a) -9 b) - 8 c) 7 d) 9 e) 07. Si : P . Q es homogéneo Desde : 12. Si al multiplicador: 2 3 m+3 3 n+1 P (x;y) = 3x y ; Q(x,y) = x y-2x y nxn – mxm + (p+a)xp – qxq Halla : m – n Por 2x2 se obtiene un polinomio complete y a) 2 b) -3 ordenando ascendentemente. Calcular la c) 0 d) -2 e) 3 suma de coeficientes del polinomio resultante.8. Si luego de multiplicar: a) -2 b) - 4 P(x) = x + 1 y c) 0 d) -1 e) 2 Q(x) = x + 2a Se obtiene un polinomio cuya suma 13. Al multiplicar: de coeficientes es 10. P(x) = x2 + x + 1 y Q(x) = x2 – x + 1 Calcula: Q (1) ¿Cuántos términos tiene el resultado? a) 2 b) 5 a) 1 b) 2 c) 4 d) -2 e) -5 c) 3 d) 4 e) 99. El producto de: (x + y) (xn – xy + ym) es un 14. Calcular el número de términos que se origina polinomio homogéneo. Halla el N° de al multiplicar: términos que posee dicho polinomio. P(x ; y) = (x – y) a) 6 b) 4 Q(x ; y) = x3 + x2 + xy2 + y3 c) 3 d) 5 e) 12 a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 3
• 41. 5) ( )2 = X2 + 16X + 64 6) ( )2 = X2 + 18X + 817) ( )2 = X2 + 8 X + 16 8) ( )2 = X2 - 36X + 3249) ( )2 = X2 + 40X + 400 10) ( )2 = X2 + 28X + 19611) ( )2 = X2 + 30X + 225 12) ( )2 = X2 + 42X + 441Halla el binomio que da origen a cada binomio cuadrado perfecto:13) x2 + 20x + 100 = ( )2 14) z2 + 62 + 9 = ( )215) x2 + 40x + 400 = ( )2 16) x2 – 30x + 225= ( )217) x2 + 8 x + 16 = ( )2 18) x2 – 42x + 441= ( )219) x2 + 22x + 121 = ( )2 20) x2 - 26 + 169= ( )23. Producto de la suma por la diferencia de dos monomios Si: “a” y “b” representan dos monomios cualquiera, efectuamos el producto: (a + b) (a – b) como sigue: (a + b) (a - b) a2 + ab - ab - b2 a2 - b2 ∴ (a + b) = (a – b)=a2 - b2 Lo que nos dice: El producto de la suma por la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.Ejemplos:1) (a+2b) (a-2b) ) = a2 – (2b) 2 = a2 – 4b2 2) (xn + 3) (xn – 3) =3) (x+√3) (x-√3) ) = x2 – √3 2 = x2 – 3 4) (2x2 - 1) (2x2 + 1) =5) (9 – 3x) (9 + 3x) = 81 –9x 2 6) (√5 - √2x) (√5 + √2x) =7) (√3 – 1) (√3 + 1) = √32 - 12 =3–1=2 8) (√7 + √5) (√7 - √5) = 3 3 69) (2/5x - 2) (2/5x + 2) = 4/25 x - 4 10) (3/4xm – 5/2 yn) (3/4xm + 5/2yn) =
• 42. Productos Notables Segundo Año ACTIVIDAD N° 1Aplica la regla del producto notable: (a + b) (a – b); halla el resultado de:1) (a + 2x) (a – 2x) 2) (3a + 8y) (3a - 8y) 3) (5xy + 6) (5xy - 6) 5 54) (x + 1) (x – 1) 5) (2 + x) (x – 2) 6) (6 - x2) (x2 + 6)7) (3x2 – 4) (3x2 + 4) 8) (ax + bx) (ax – bx) 9) (10xy2 + 6) (10xy2 – 6)10) (1-2axy) (1 + 2axy) 11) (3xn + 5yn) (3xn - 5yn) 12) (2x + 1/3) (2x – 1/3) 3 4 3 4 2 213) (X y – 5/8z) (x y + 5/8z) 14) (1/2 x + b ) (1/2 x – b ) 15) (0,2x3y + 0,8z3) (0,2x3y –0,822)16) (√5x+√2yn) (√5x-√2 yn) 17) (√3xn-4√9yn (√3xn+4√9yn 18) (x6+3xnyn) (x6-3xnyn) ACTIVIDAD N° 2Escribe en forma directa, el resultado de cada una de las siguientes expresiones (no esnecesario efectuar la multiplicación)1) (√3 – 1) (√3 + 1) 2) (√6 + √2) (√6 - √2) 3) (√11 + 3) (√11 – 3)4) (5 + √2) (5 - √2) 5) (6 + √13) (6 - √13) 7) (2 +√15) (√15 – 2)7) ¾ (√5 + 1) (√5 – 1)) 8) (4√9 + 2) (2 - 4√9) 3) [(√7 + 2) (√7 – 2)]2 ACTIVIDAD N° 3En cada ejercicio siguiente, escribe los dos factores cuyo producto es el que se le da:1) ( )( ) = x2 – 100 2) ( )( ) = 25 –x23) ( )( ) = x2 – 16 4) ( )( ) = x6 –y45) ( )( ) = 225 – y4 6) ( )( ) = 121 –x87) 1/16 -z4 = ( ) ( ) 8) x6 - 49 = ( ) ( )4. Producto de dos Binomios que tienen un término común Forma: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab Donde: x  término común a, b  términos no comunes Lo que nos dice: El producto de dos binomios con término común es igual al término común al cuadrado más la suma de los términos no comunes por el común y más el producto de los términos no comunes.1) (x+7)(x+3) = x2 + (7+3)x + 7.3 = x2 + 10x + 21 2) (x + 5) (x + 2) = 2 23) (2x+1)(2x+3) = 4x + 4(2x) + 3 = 4x + 8 x + 3 4) (x + 1/3) (x + ½ ) = 25) (x - 3)(x - 4) = x + (-3 - 4)x + 3.4 6) (2x - 3) (2x - 5) = = x2 – 7x + 12
• 43. 7) (x + 5)(x - 2) = x2 + 3x – 10 8) (x - 7) (x + 3) =5. Cuadrado de un Trinomio Forma: (a + b + c)2 = a2 +b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: 1) (x2 + x + 2) 2 = x4 + x2 + 4 + 2x3 + 4x2 + 4x = x4 + 2x3 + 5x2 + 4x + 4 2) (x2 - 5x + 1) 2 = x4 + 25x2 + 1 - 10x3 + 2x2 - 10x = x4 - 10x3 + 27x2 - 10x + 1 ¡AHORA TÚ! 3) (a2 + 2a + 3) 2 = 4) (5x2 - 3x - 1) 2 = PRÁCTICA DE CLASEHalla el producto de:1) (x + 3) (x + 8) 2) (x2 + 1) (x2 + 2) 3) (x3 + 5) (x3 + 4)4) (x + 10) (x + 5) 5) (x + 9) (x + 8) 6) (x2 + 12) (x2 + 15)7) (x4 + 6) (x4 + 9) 8) (x3 + 3) (x3 +11) 9) (x2 + ½ ) (x2 + 1/3)10) (x2 + 0,5) (x2 + 0,3) 11) (2x + 1) (2x +3) 12) (3x + 2) (3x + 4)13) (x - 8) (x - 10) 14) (x - 1) (x -9) 15) (x - 10) (x - 20) 2 2 3 316) (x - 3) (x - 8) 17) (x - 7) (x - 6) 18) (x4 - 1 ) (x4 - 3)19) (x – 0,7) (x – 0,2) 20 (x3 – 0,2) (x3 – 06) 21) (2x - 3) (2x - 5) PRÁCTICA DOMICILIARIAHalla el producto de:1) (x + 15) ( x – 3) 2) (x – 12) (x + 7) 3) (x – 5) (x + 4) 2 2 3 34) (x + 9) (x – 2) 5) (x – 13) (x + 8) 6) (x + 4/3) (x – 3/2)7) (x – ½ ) (x + 2/5) 8) (x + 2/3) (x – 5/4) 9) (x – 0,7) (x + 0,2)10) (x + 0,9) (x – 0,7) 11) (2x + 1) (2X – 3) 12) (5x + 2) (5x – 6) 2 2 3 313) (3x + 6) (3x – 1) 14) (5x – 2) (5x + 3) 15) (2x6 – 1) (2x6 + 5)16) (x + y – z) 2 17) (2x + y + 3) 2 18) (2c + 1 – 2y) 219) (x2 – 3x – 5) 2 20) (x2 – 10x – 1) 2 21) (2a2 – 5a - 3) 26. Cubo de la suma de dos monomios 1ª Forma: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2ª Forma: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
• 44. Productos Notables Segundo Año Lo que nos dice: El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo.Ejemplo:1) (x + 2)3 = x3 + 3(x2) (2) + 3 (x)(2)2 + (2)2 2) (3x+4)3 = ( )3+3( )2 ( )+3 ( )( )2+( )3 = x3 + 6 x2 + 12x + 43) (x + 5)3 = x3 + 3 (x)2 (5) + 3 (x) (5)2 + (5)3 4) (2x + 1)3 = = x3 15x2 + 75x + 125 = 3 3 2 2 3 35) (x – 4) = (x) – 3(x) (4) + 3(x) (4) – (4) 6) (2x – 3) 3 2 = x – 12x + 48x – 647) (x2 – y3)3 = (x2)3 -3(x2)2 (y3) + 3 (x2) (y3)2 – (y3)3 8) (x – y2)3 = ACTIVIDADHalla aplicando las reglas de los productos notables, el resultado de:1) (x + y)3 2) (2x + 3)3 3) (3x + y) 3 4)(ax + y) 3 5) (3x + 2y) 36) (x2 + 4)3 7) (2x + 5)3 8) (2x2 + 1) 9)(x2 + y2)3 10) (2ax3+ 3b3)311) (½ + x)3 12) (x - 5)3 13) (3 - x) 3 14)(2x - 3y)3 15) (3b –2ay) 316) (x2 – y3)3 17) (x4 – 2y2)3 18) (-x - 3y) 3 19)(x3 – 1/3)3 20) (2/3 - x) 37. Suma de cubos de dos monomios Forma: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 De donde: a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Lo que nos dice: La suma de cubos de dos monomios es igual a la suma de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio menos el producto de los dos monomios más el cuadrado del segundo monomio. Ejemplos: ¡AHORA TÚ! 2 3 3 3 1) (x + 2) (x – 2x + 4) = x + 2 = x + 8 2) (2x + 3) ( - + )= 2 2) (x + 1) ( )= 4) (3x + 2) ( )=8. Diferencia de cubos de dos monomios Forma: (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3 De donde: a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) Lo que nos dice:
• 45. La diferencia de cubos de dos monomios, es igual a la diferencia de los dos monomios, multiplicando por el cuadrado del primer monomio más el producto de los dos monomios mas el cuadrado del segundo monomio. ACTIVIDADHalla, aplicando las siglas de los productos contables, el resultado de:1) (x + 8) (x2 – 8x + 64) 2) (x + 6) (x2 – 6x + 36) 3) (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)4) (3x + 1) (9x2 – 3x + 1) 5) (5x2 + 2) (25x4 – 10x2 +4) 6) (2x3 + y2) (4x6 – 2x3y2+ y4)7) (5x2n + 2) (25x4n – 10x2n + 4) 8) (x-4) (x2 + 4x + 16) 9) (x-9 )(x2 + 9x + 81)10) (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) 11) (2x2 – 5) (4x4 + 10x2 + 25) 12) (6x – ½) (36x2 + 3x +¼)13) (8x2 – ¾ ) (64x4 + 6x2 + 9/16) 14) (2xn - 5) (4x2n + 10xn + 25) 15) (3xny -1/6) (9x2n y2 +xny/2 + 1/36) PRÁCTICA DE CLASE1. Relaciona correctamente Da como respuesta la suma de 2 2 a) (x + 5) ( ) x + 4x + 4 coeficientes: b) (x + 3) 2 ( ) x2 + 10x + 25 a) 0 b) 2 2 2 c) (x + 2) ( ) x + 6x + 9 c) 4 d) 5 e) -42. Indica la relación correcta: 7) Reduce: (x + 3) (x - 3) + (x + 2) (x – 2) a) (x - 10)2 ( ) x2 - 20x + 100 Da por respuesta el mayor b) (x - 6) 2 ( ) x2 - 14x + 49 coeficiente. c) (x - 7) 2 ( ) x2 - 12x + 36 a) 2 b) -13 c) 13 d) -2 e) 83. Da la respuesta en cada caso: a) (2x + 1) 2 = _________________ 8) La expresión: (x + 3)2 – (x + 2) (x – 2) 2 2 b) (4x – x) = _________________ Se reduce a : mx + n Halla: m + n4. Desarrolla en cada caso: a) 13 b) 17 a) (x + 2) (x – 2) = c) 6 d) 18 e) 19 b) (2a + 3) (2a – 3) = c) (x2 + 3x) (x2 – 3x) = 9) Luego de simplificar: (x + 2) 2 + (x – 2) 2 + (x + 3) 2 – (x – 3)25. Si: (2x + 3) 2 = m x2 + nx + p Indica el menor coeficiente. Halla: m + n + p a) 2 b) 8 a) 94 b) 96 c) 4 d) 12 e) 1 c) 100 d) 98 10) Si: m2 + n2 = 5 > m n = 2 e) 102 Halla: m + n6) Simplifica: (x + 1)2 + (x – 2)2
• 46. Productos Notables Segundo Año a) 2 b) 3 18) Simplificar: c) 5 d) 1 e) 4 7b 2 + 2ab + (a 2 + b2 ) − (2ab ) 2 211) Simplifica: (3ax + 2by) (3ax – 2by), 19) Efectuar: sabiendo además que: a2 x2 = 1 ∧ b2 y2 = 2 A = 1 + ( x + 1)( x − 1) (x 2 + 1) x 4 + 1 ( ) a) 0 b) 1 20) Efectuar: c) 2 d) 3 e) 4 N =  a + b . a − b  a2 −b +b     [ ]12) Si : (x + 1)2 = 3 a (a + b )2 (a − b ) 21) Simplificar: P = Calcula: x2 + 2x – 2 a2 −b2 a) 3 b) 0 a b 22) Dado: + =1; a . b ≠ 0 b a c) 2 d) 1 e) -2 a 4 +b4 Determinar: 2 2 a .b13) Cuál es el grado del siguiente 23) Si: x3 + y3 = 280; x + y = 10 polinomio: P(x) = (2x + 3) – 8 x2 + 2 Calcular x. y (2x – 3) 2 + x a) 2 b) 0 24) Reducir: c) 3 d) 1 e) 4 ( P = 6 ( a + b )( a − b ) a 4 + a 2b 2 + b 4 + b 6 ) a>014) Reduce la expresión: (x + 1) 2 + (x + 3) 2 (x – 1) 2 – (x – 3) 2 25) Si: (x+5)(x+b)(x–3) = x3–19x+a. a) 2x b) 3x Calcular a – b c) 10x d) 12x e) 16x15)Reducir: 26) Simplificar:R = ( x 2 − 7 x + 11) − ( x − 2)( x − 3)( x − 4 )( x − 5) 2 A = 16 ( 2 +1 )( ) 2 − 1 + 3 . 5 .17 . 25716) Efectuar: E ( 2+ 3 − 2− 3 ) 6 27) Simplificar: 2 2+ 3 2 2− 317) ¿Qué expresión hay que agregar a B = + (3x+2)2 para que sea igual a: (3x+5) 2 2− 3 2 2+ 3 (3x+7)? 28) Reducir: (x + 9)2 − (x + 13)(x + 5) R= (x + 10)(x + 9) − (x + 18)(x + 3) PRÁCTICA DOMICILIARIA1) Si. (x + 1)3 = ax3 + bx2 + cx + d 2) Si: (x – 2)3 = mx3 + nx2 + px + q Halla: b+c Halla: m+p +q a +d m +n a) 1 b) 3 a) 2 b) -2 c) 4 d) 1/3 e) 2/3 c) 1 d) -1 e) 0
• 47. 3) Si: (x + 2) (x2 – 2x + 4) ≡ ax3 + b 11) Si: (x – 2)2 = 5 Calcula: a+b Calcula: x2 – 4x a) 3 b) 4 a) 2 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 c) 0 d) -1 e) 14) Se cumple que: 12) Cuál es el grado del siguiente 2 3 (x – 3) (x + 3x + 9) ≡ mx + n polinomio: Halla: m + n Q((x) = (x – 5) 2 + 4 – 20x – (x – 5)2 a) -26 b) 25 a) 1 b) 0 c) -22 d) 26 e) -28 c) 2 d) 3 e) 45) En la siguiente identidad: (x + 1) (x + 2) ≡ a x2 + bx + c: 13) Reduce: Calcula: c a+b N = (x + 3) (x + 2) + (x – 3) (x – 2) – 2x2 a) 0 b) x2 a) 3 b) 1 c) 2x2 d) 6 e) 12 c) 2 d) 5 e) 46) Simplifica: m = (a + b) 3 – 3ab (a + b) 14) Simplifica: a) a3 b) b3 M = (x + 2) (x – 1) – (x + 3) (x – 2) c) a3 – b3 d) 0 e)a3+b3 a) 4 b) 27) Reduce: c) 6 d) -2 e) 0 G = (a – b) 3 + b3 + 3ab (a – b) a3 a) a3 –b3 b) a3 c) b3 d) 0 e) 1 15) Si: a + b = 3 ∧ ab = 1 3 3 Halla: a + b en la siguiente 3 38) Simplifica: expresión: a + b + 3ab (a + b) M = (m + n) (m2 – mn + n2) + a) 27 b) 18 (m –n) (m2 + mn + n2) c) 9 d) 3 e) 0 3 3 a) n b) m c) 2m 3 d) 2n3 e) 0 16) En la expresión: (a + b) (a2 – ab + b2) Se cumple que: a + b = 2 y 2 29) Si: m2 + n2 = 20 ∧ mm = 2 a – ab + b = 5 Halla: m – n Halla: M = a3 + b3 a) 2 b) 3 a) 2 b) 5 c) -2 d) 4 e) 0 c) 10 d) 9 e) 2510) (a + 3b) (a – 3b) = 0 17) Determina el valor de: a3 – b3 Calcula: 27 b2 Si: a – b = 6 y a2 + ab + b2 = 8 a3 a) 6 b) 4 a) 3 b) 7 c) 8 d) 3 e) 48 c) 9 d) 27 e) 1 18) Determina el valor numérico de:
• 48. Productos Notables Segundo Año M = ( x + 3) (x + 2) Sabiendo que: x2 + 5x = 2 26) Simplifica: a) 2 b) 5 M = (a + b)3 –b3 – 3ab (a + b) c) 6 d) 7 e) 8 a) 0 b) b3 c) a3 + b3 d) ab e) a319) Calcula: (x + 4) (x + 8) 2 Si: x + 12x = 4 27) Reduce: a) 4 b) 32 N= a3 – b3 – 3ab (a – b) + 9 c) 6 d) 36 e) 1 (a – b) 3 + 9 a) 0 b) 1 2 220) Si: (x + n) = x + 16 x + 64 c) 3 d) -1 e) 9 Calcula: 3n a) 6 b) 2 28) Simplifica: c) 3 d) 4 e) -2 G = (m+n) (m2 – mn + n2) – (m – n) (m2 + mn +n2)21) Si: (x + 2)3 ≡ ax3 + bx2 + cx + d a) n3 b) m3 Halla : 3 a+b+c+d c) 0 d) 2n3 e) 2m3 a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) -2 29) Reduce: M = (x – 3) (x + 2) + (x + 5) (x –22) 3 Si: (x – 3) ≡ m x + n x3 2 + px + q 4) + 26 Halla: (m + n) (p + q) a) 26 b) 24 2 a) 1 b) 0 c) 2x d) x e) x2 c) -27 d) 9 e) -9 30) Simplifica M = (x – 3) (x – 2) – (x – 6) (x + 1)23) Si: (x + 3) (x2 – 3x + 9) ≡ a x3 + b a) 6 b) -6 Calcula: a + b c) 12 d) -12 e) 0 a) 28 b) 27 c) 26 d) 1 e) 0 31) Si: a + b = 4 ∧ ab = 2 Halla: a3 + b3 en la siguiente24) En la siguiente identidad: expresión: (3x – 2) (9x2 + 6x + 4) ≡ m x3 – n a3 + b3 + 3ab (a + b) Determina: m-n+1 a) 24 b) 0 5 c) 40 d) 36 e) 12 a) 3 b) 5 c) 1 d) 4 e) 2 32) En: (a + b) (a2 – ab + b2) Si: a + b = 3 ∧ a2 – ab + b2 = 525) Se cumple que: Determina: a3 + b3 (x + 3) (x – 5) ≡ ax2 + bx + c a) 15 b) 5 Calcula: a + b + c c) 2 d) -2 e) 6 a) -16 b) 16 c) -17 d) 17 e) 0 33) Halla: a3 – b3
• 49. Si: a – b = 3 ∧ a2 + ab + b2 = -2 34) Halla el valor numérico de:a) 6 b) 5 M = (x – 1) (x + 2)c) -6 d) 1 e) -1 Si: x2 + x = 2 a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) 7
• 50. División Algebraica Segundo Año TEMA Nº 06: DIVISIóN ALgEbRAICACapacidades: Determina el cociente y residuo, utilizando el método clasico, de Horner , la regla práctica de Ruffini o el teorema del resto. Resuelve problemas aplicando la división algebraica.Exploración y Desequilibrio:A. Efectúa: 1) (3x2 ) (2x3) = 3) (x + 5) (x – 6) = 2) 5x (x + 8) = 4) (x – 2) (x2 + 2x + 4) =B. Efectúa: 1 (-8 x6) : (4 x3) = 3) (x2 – y2) : (x + y) = 2) (5x3 – 3x2) : x = 4) (x2 + 7x + 10) : (x + 2) =Desarrollo del Tema: DIVISIÓN DE MONOMIOS El corriente de los monomios es otro monomio (como de división exacta); cuyo coeficiente es el cociente de sus coeficientes y la parte literal es el cociente de sus partes literales, y si los monomios tienen la misma parte literal es la letra común con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. Ejemplo 1: Halla el cociente al divisor Ejemplo 2: Halla el cociente de: 6 2 12 x entre 3x - 20 x8 y4 entre 5x5 y2 SOLUCIÓN: 12 x6 = 12 x6 SOLUCIÓN: -20 x8 y4 = -20 x8 y4 3x2 3 x2 5x2 y2 5 x5 y2 = 4 x6 - 2 = 4x4 = -4 x8-5 y4-2 = -4 x3 y2 TÉRMINOS DE UNA DIVISIÓN EXACTA: En la división exacta entran los siguientes términos: a) DIVIDENDO; que es la cantidad que se ha de dividir (18 x) b) DIVISOR; es el término por el cual se efectúa la división (6) c) COCIENTE; que es el resultado de la división (3x) Ósea: DIVIDENDO : DIVISOR = COCIENTE 18 x : 6 3x
• 51. LEYES DE LOS SIGNOS: En la división de dos términos hay que tener presente la (+) : (+) = + (El cociente de los siguiente regla de los signos: dividiendo dos términos (- ) : (-) = + términos de signos entre si, que tienen signos iguales, los dos positivos o los iguales es POSITIVO). dos negativos, resulta su cociente positivo y dividendo dos términos que tienen signos diferentes, uno positivos (+) : (-) = - (El cociente de los y otros negativos, resulta su cociente negativo; lo cual (- ) : (+) = - términos de signos se resume de la siguiente forma: diferentes es NEGATIVO). Ejemplos: 1) 16 x2 = 8x2-1 = 8x 2) -30 x4 = 10x4-1 = 10x3 2x - 3x 3) + 10 x8 = - 2x8-5 = -2 x3 4) 12 x7 = -3 x7-4 = 3x3 -5x5 - 4x4 ACTIVIDADHalla el resultado de las siguientes operaciones:1) 12 x6 y3 2) 36 x8 y 4 3) 144 x6 y4 4) -42 x3 y4 z2 4x4 y2 -9 x3 y3 72 xy2 7x2 y2 Z5) 30 x8 y2 Z3 6) -48 x6 y7 z2n 7) -56 x6 y6 Z4 8) 117 x7 y4 z3 - 5x3 y z2 -6 x2y3 z -7 xy2 Z 9x3y2 Z9) 108 x6 y9 10) 84 x4 y7 11) 55a6 b9 x4 y9 12) -72 xm+3 yn+2 9x4 y7 -6 x y6 -5a4 b2 xy6 -6 xm y213) 128 xm+5 yn+2 14) -126 xn+1 yn+4 15) 112 x3 y5 64 x4 yn 6xn yn+3 7x3 y2 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor y se suman algebraicamente cada uno de estos resultados. Ejemplo 1 Dividir: 42x6 y5 – 21 x3 y7 + 35 x5 y2 7 xy2 SOLUCION: Procedemos a dividir cada término entre el divisor: 42 x6 y5 – 21 x3 y7 + 35 x5 y2 = 42 x6 y5 - 21 x3 y7 + 35 x5 y2 7 x y2 7 x y2 7 x y2 7 x y2 = 6 x5 y3 - 3 x2 y5 + 5x4 Rpta. Ejemplo 2: Divide: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4y – 0,6 x6
• 52. División Algebraica Segundo Año - 2x2 SOLUCION: 0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y – 0,6 x6 = 0,8 x2 y2 + 1,2 x4 y - 0,6 x6 - 2x2 - 2x2 - 2x2 - 2x2 = 0,4 y2 - 0,6 x2 y + 0, 3 x4 Rpta. ACTIVIDADDESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES:1. 8 X2 - 24 xy 2. 5x2 - 10 x 3. 3xy3 - 5x2 y2 + 4x2 y3z 8x 5x - x y24. –6 x3 y2 + 9 x4 y4 z – 12 x2 y z3 5. 15 x6 y2 – 10 x4 y3 z5 - 20 x2 y5 z6 - 3 xy 5 x2 y26. 5/7 x4 y3 z – 2/9 x3 y4 z – ¾ x2 y5 7. 3/8 x4 y + x3 y3 – ½ x2 y5 z - 2/3 x2 y2 ¾ x2 y n8. –z wn + 2zn+1 w n +1 9. 0,9 x2 y2 + 0,65 x3 y3 – 0,15 x4 y4 - 2n wn -0,05 x y10. 45xn-3 - 15xn-2 - 25xn-1 11. 1,5 x y5 z – 2,4 x2 y4 – 3,6 x3 y3 - 5xn-3 -0,1 x y3DIVISIÓN DE POLINOMIOSEs la operación que nos permite encontrar unas expresiones llamadas Polinomios Cociente y Residuo deotras llamadas Polinomios Dividendo y Divisor.• Dados los polinomios: D(x) : Polinomio dividendo d(x) : Polinomio devisor→ Vamos a calcular: q(x) : Polinomio cociente R(x) : Polinomio residuo D (x ) d (x ) A l d iv id ir D (x ) d (x ) q (x ) R (x )ALGORITMO DE LA DIVISIÓNEs el criterio que se enuncia de la siguiente forma:Dados los dos polinomios D(x) y d(x) con d(x)0, entonces existe polinomios únicos q(x) y R(x) tales que: D (x ) ≡ d (x ) . q(x ) + R(x )Esta identidad es conocida como el Algoritmo de Euclides. MÉTODO PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOSPara dividir polinomios existen diversos métodos cuyos procedimientos presentan reglas particulares quehacen fácil el cálculo del Cociente y Residuo.I) Método Clásico o División Normal.
• 53. II) Método de los Coeficientes Separados.III) Método de Horner.IV) Método de Ruffini.V9 Teorema del Resto ObSERVACIóN: Antes de efectuar la división entre dos polinomios, estos se deben encontrar en forma completa y ordenada. De no ser así se completa con “ceros” y se ordena descendentemente.Ejemplo:Sea el polinomio: P(x ) = 5 x 4 + 1 − x 3 + 3 x 2Luego: Completando (con ceros) tendremos: → P(x ) = 5 x 4 − x 3 + 3 x 2 + 0 x + 1 (Es un polinomio completo y ordenado descendentemente)A continuación vamos a emplear los diversos métodos para dividir polinomios, para lo cual se tiene queseguir ciertos procedimientos.I) MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL Para dividir dos polinomios, previamente completo y ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una misma variable, debemos seguir los siguientes pasos:1º Se escriben en línea horizontal uno a continuación del otro utilizando el signo de la división aritmética.2º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.3º Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan los resultados con signos cambiados debajo de los correspondientes términos del dividendo.4º Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.5º Luego se procede como en el tercer paso, es decir, se efectúan las mismas operaciones anteriores. Así hasta que el resto sea de grado menor que el del divisor:Ejemplo 1:Efectuar la siguiente división: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1 2 x 2 + 3x − 1Solución:* Se observa que: [ D (x )]  = 4 [ d (x )]  = 2* Entonces: [ q(x )]  = [ D (x )]  − [ d (x )]  [ q (x )]  = 4 − 2 ⇒ [ q (x )] = 2 * También:
• 54. División Algebraica Segundo Año Máx [ R(x )]  = 2 − 1 máx [ R(x )]  = 1* Antes de efectuar la división tener presente que los polinomios deben estar completos y ordenados.* Aplicando el Método Clásico o Normal. 6x 4 + 1 3x3+ 5x2+ 6x + 1 2x 2 + 3x + 1 - 6x 4 - 9x 3 + 3x 2 3x 2 + 2x + 1 + 4x 3 + 8 x 2 + 2x - 4 x 3 - 6x 2 + 2x + 2x 2 + 8x + 1 - 2x 2 - 8 x + 1 5 x + 2Luego:El cociente es : q(x ) = 3 x 2 + 2 x + 1El resto es : R(x ) = 5 x + 2 NOTA: Si observas en los resultados obtenidos * El grado del cociente es 2. * El máximo grado del residuo es 1. Lo que verifica los cálculos realizados al inicio de la solución.Ejemplo 2:Dividir 4 x 5 + 3x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 − 5 x + 2 4x 2 − x + 2 Solución:* Se observa que: [ D (x )]  = 5 [ d (x )]  = 2* Entonces: [ q(x )]  = 5 − 2 = 3   R (x )  = 2 − 1 = 1   Máx* Aplicando el método clásico:
• 55. 4 x 5 + 3x 4 - 7x 3 + 8 x 2 - 5 x + 2 4 x 2 - x + 2 - 4 x 5 + x 4 - 2 x 3 x 3 + x 2 - 2x + 1 + 4x 4 - 9 x 3 + 8 x 2 - 4x 4 + x 3 - 2 x 2 - 8x 3 + 6x 2 - 5 x + 8x 3 - 2x 2 + 4 x + 4 x 2 - x + 2 - 4 x 2 + x - 2 0Luego:El cociente exacto es : q(x ) = x + x − 2 x + 1 3 2El residuo exacto es : R(x ) ≡ 0 NOTA: Cuando el resto es igual a cero se dice que un polinomio es divisible por otro que la división es exacta.II) MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS Este método es recomendable para polinomios de una sola variable. Como su nombre lo indica, se debe trabajar únicamente con los coeficientes en forma separada, la distribución de sus términos es la misma que en el Método Normal, colocando ceros en los términos que faltan. Para determinar el grado del cociente y el resto se debe aplicar a las propiedades del grado. NOTA: Para ver que los métodos mencionados se cumplan vamos a realizar las mismas divisiones de los ejemplos 1 y 2.Ejemplo 1: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1Dividir: 2 x 2 + 3x − 1Solución:* Los grados del cociente y residuo serán: [ q(x )]  = 4 − 2 = 2 Máx [ R(x )]  = 2 − 1 = 1 Tomando la distribución de los coeficientes en la división:
• 56. División Algebraica Segundo Año 6 + 1 3 + 5 + 6 + 1 2 + 3 –1 – 6 – 9 3 3 2 1 4 8 6 – 4 – 6 2 2 8 1 – 2 – 3 1 5 2 Luego, colocando la parte literal se tiene: q(x ) = 3 x 2 + 2 x + 1 R(x ) = 5 x + 2Ejemplo 2: 4 x 5 + 3x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 − 5 x + 2Dividir: 4x 2 − x + 2Máx [ R(x )]  = 2 −1 = 1Tomando la distribución: 4 3 – 7 8 – 5 2 4 –1 2 – 4 1 – 2 1 1 –2 1 4 – 9 8 – 4 1 – 2 – 8 6 –5 8 –2 4 4 –1 2 – 4 1 –2 0 0 0Luego, colocando la parte literal:• q(x ) = x 3 + x 2 − 2 x + 1y R(x ) = 0II) MÉTODO DE HORNER Este método es un caso particular del Método de Coeficientes Separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado. El procedimiento es el siguiente:1º Se colocan los coeficientes del dividendo (horizontal) y divisor (vertical).2º Se escriben los coeficientes del divisor en una columna, el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados.3º Las líneas punteadas (discontinuas) son importantes ya que separan al cociente del Residuo y para su trazo sólo observaremos el grado del divisor.4º La división comienza dividiendo el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor.5º El primer coeficiente del cociente obtenido multiplica a los demás coeficientes del divisor (coeficientes que cambian de signos) uno a uno.6º Los resultados se ubicarán en las siguientes columnas, corriendo un lugar hacia la derecha.
• 57. 7º Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado obtenido se divide con el primer coeficiente del divisor para obtener así el segundo término del cociente. El procedimiento se repetirá hasta llegar a las líneas punteadas.8º Para obtener los coeficientes del Residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen al residuo.• En forma gráfica se tiene: Si nos piden dividir: + + + + + + ∗−∗+∗ Entonces, por el procedimiento descrito se tiene: * + * – * q REjemplo 1:Dividir: 6 x 4 + 1 3x 3 + 5 x 2 + 6 x + 1 2 x 2 + 3x − 1Solución:Los grados del cociente y residuo serán:[ q(x )]  = 4 − 2 = 2Máx [ R(x )]  = 2 − 1 = 1• Aplicando el Método de Horner: 2 6 1 3 5 6 1 – 3 – 9 3 + 1 – 6 2 – 3 1 3 2 1 5 2 C o e fi c i e n te s C o e fi c i e n te s Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculadoe seq tiene: d “ ” d e “R ” q(x ) = 3x 2 + 2 x + 1 R(x ) = 5 x + 2Ejemplo 2:Dividir: 4 x 5 + 3x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 − 5 x + 2 4x 2 − x + 2Solución:Los grados del cociente y residuo serán:
• 58. División Algebraica Segundo Año[ q(x )]  = 5 −2 = 2Máx [ R(x )]  = 2 −1 = 1• Aplicando el Método de Horner: 4 4 3 –7 8 –5 2 + 1 1 –2 – 2 1 –2 –2 4 1 –2 1 1 –2 1 0 0• Escribiendo la parte literal con el Grado respectivo calculado se tiene: q(x ) = x 3 + x 2 − 2 x + 1 R(x ) = 0IV) MÉTODO DE RUFFINI Este es un caso particular del Método de Horner. El Método de Ruffini permite encontrar el Cociente y Residuo cuando el Divisor es un binomio de la forma o transformable a ella. Se debe observar y tener presente que el polinomio Dividendo sea completo y ordenado, si faltase algún término lo reemplazamos con ceros hasta completarlos. Es decir, si: D (x ) ax ± b C ocient obt e enid o Q (x ) = Entonces: a De igual forma el Método de Horner, utilizaremos sólo coeficientes empleando para la división el siguiente esquema: D IV ID E N D O d iv is o r C O C IE N T E RE STO ( o b te n i d o )Procedimiento:1º Se coloca en posición horizontal el dividendo (coeficiente).2º Se iguala el divisor a cero y se despeja la variable.3º Dicho valor despejado se ubicará en el esquema donde se indica el divisor.4º Se baja el primer coeficiente de D (x ) que se multiplicará con el valor despejado, resultado que se indicará debajo del segundo coeficiente del D (x ) .5º Se suman los valores de la segunda columna cuyo resultado se volverá a multiplicar con el valor encontrado. Procedimiento que se repetirá hasta concluir la división (cuando se haya llegado a la última columna).6º En la última columna se reducen los términos, el resultado obtenido será el residuo a calcular.7º Para obtener el cociente Q(x) a los coeficientes del cociente (obtenido) se les divide con el primer coeficiente de divisor.
• 59. Ejemplo 1:Dividir: 1 0x 3 + 3x 2 − 6 x + 4 5x −1Solución: Aplicando el procedimiento mencionado, por Método de Ruffini. 5x 1 = 0 1 0 3 6 4 x = 1 2 1 1 5 1 0 5 5 3 C o c i e n te o b te n i d o Como: d (x ) = ax − b Luego: d (x ) = 5 x − 1 ⇒ a=5 • Cálculo de Q (x ) : 1 0x 2 + 5 x − 5 Q (x ) = 5 1 0x 2 5 x 5 Q (x ) = + − 5 5 5 ∴ Q (x ) = 2x 2 + x − 1 R(x )= 3Ejemplo 2:Dividir: 3x 4 − 5 x 3 + x 2 − x + 1 x −2Solución:Aplicando el Método de Ruffini: x 2 = 0 3 5 1 1 1 x = 2 6 2 6 10 3 1 3 5 11Como: d (x ) = ax − b y d (x ) = x − 2 d (x ) = 1 x − 2 ⇒ a =1• Cálculo de Q (x ) : (4 x + 6 x + 5) ÷ (2 x + 1 ) 2 ∴ Q (x ) = 3 x 3 + x 2 + 3 x + 5 R(x ) = 1 1
• 60. División Algebraica Segundo Año Ejemplo 3: Dividir: 5 x 4 − 9 x 3 + 3x 2 + 6 x + 1 5x +1 Solución: Aplicando el Método de Ruffini: 5x + 1 = 0 5 9 3 6 1 x = 1 1 2 1 1 5 5 1 0 5 5 0 Como: ⇒ d (x ) = 5 x + 1 ⇒ a=5 • Calculo de Q(x): 5 x 3 − 1 0x 2 + 5 x + 5 Q (x ) = 5 ∴ Q (x ) = x 3 − 2 x 2 + 5 x + 5 R(x ) = 0V) TEOREMA DEL RESTO Para encontrar el resto de dividir su polinomio P(x) entre un divisor de forma (a x + b) se halla reemplazando en P(x) el valor de “x” que anula al divisor, vale decir, habrá que calcular: P (-b/a) Ejemplo 1: Calcula el residuo de dividir: x3 + 2x2 – x + 2 entre 2x – 1 SOLUCION: Calculamos el valor de “x” que anula al divisor: 2x–1= 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = ½ Este valor de “x” se replaza en el dividendo: DIVIDENDO: x3 + zx2 – x + 2 Residuo “R” = (½)3 + 2(½)2 – (½) + 2 ⇒ ∴ R = 1 + 4 – 4 + 2 x 8 = 17 8 8 Ejemplo 2: Calcula el residuo de dividir: 3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3 Solución: Calculamos el valor de “x” que anula el divisor:
• 61. x–3 = 0 ⇒ x =3 Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo Dividendo: 3 x3 – 5x2 + 7 Residuo: “R” = 3(3)3 – 5 (3) 2 + 7 ⇒ ∴ R = 81 – 45 + 7 = 43 Ejemplo 3: Calcula el residuo de dividir: x5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x–2 Solución: Calculemos el valor de “x” que anula al divisor. x–2=0 ⇒ x =2 El valor de “x” se reemplaza en el dividendo: Dividendo: x5 – 8 x3 + 4 x2 – 5 Residuo: “R” = (2)5 – 8(2)3 + 4 (2)2 –5 ⇒ R = 32 – 64 + 16 – 5 = -21 ACTIVIDADHALLA EL POLINOMIO COCIENTE EN CADA DIVISIÓN1. (3y3 – 10 y2 + 20y – 16) : (3y – 4) 2- (6 x2 – x – 2) : (2x + 1)2. (2x4 – x3 + 7 x – 3) : (2 x + 3) 4. (z2 – 15z + 56) : (z – 8)5. (6 y2 – 9y – 27) : (3y – 9) 6. (-10 z3 – 13z2 + 13z – 2 ) : (-5z + 1)7. (8 y3 – 27) : (2y – 3) 8. (9 x3 + 3x2 + x – 1) : (3 x –1)9. (x6 – 7 x3 + 12) : (x3 – 3) 10. (38 x4 – 65 x3 + 27) : (2x2 – 5x + 3)11. (12x4–7x3–74 x2–7x+12): (3x2-7x-4) 12. (3/2 z7 – 6 z6 – ¼ z5 -5z4 + z2): (323 – ½ z) ACTIVIDADHalla el residuo de los siguientes divisores, empleando el tema del resto.1. 2x4 – 5x3 + 3x – 6 entre x – 2 2. 8x5 – 3x4 + x3 – 5x2 + 3 entre x – 13. 5x3 – 2x2 + 7x – 2 entre x + 2 4. x2 – 5x + 9 entre 3x – 15. x6 – y6 entre x – y 6. x3 + 2x + 3 entre 2x + 17. x6 – 5x3 + 6x2 – 8 entre x + 2 8. x2 – 2ax + a2 entre x – a9. x32 + 1 entre x + 1 10. x3 + 2 ax2 – 5 a3 entre x + 2 a
• 62. División Algebraica Segundo Año ACTIVIDADEscribe en cada espacio libre el monomio que falta:1. : 3x4 = 4 x2 2. : 5xy2 = 2 x3y3. : -6x2 y3= 4xy2 4. : 7x y2 z3 = -5x3yz5. : -8x3 y4 z2 = -3xy3z 6. : - 6xy4 = 2xy27. : 3xy3 = 4y2 8. : 8x5 y2= -3xy9. : –5x2 y3 = -6 y4 10. 20 x7 y4: = 5x4 y311. 12x6 y4 z6: = -x3 y2 z5 12. –36x5y3: = 9x3y13. 128 x6 z5: = -16x4z3 14. 112a3b2x5: = 7abx3DESARROLLA LAS SIGUIENTES DIVISIONES:1. (z2x + zx + x) : - z 2. (3xy2 – 2x2y2 + 5x3y – 7x4): 2xy3. (-4x2y + 6xy2 – 10y3):-2x 4. (12x3y3 – 15x2y2+18x):-3xy5. (-8x3 + 16x2y2 – 32xy3):4xy 6. (4x2y – 63y2+ 10xy4): -2xy 3 2 4 2 3 2 2 3 2 27. (-6x y z + 9x y z – 3xy z ): -3xy z 8. (18x4y3z2 – 24x2y2z3 + 36x3y3z2): 6x2y2z29. (-15x6y3z + 20x4y4z3 – 10x5y2z2): -5x4y2z 10. (20xn+1 yn – 16x n+2 yn+1) : 4xnyn ACTIVIDADEfectúa las siguientes divisiones:1. (x5 + 3x4y + 3x3y2 + 5x2y3 – 10yx4 – 7y5) : (x+3y)2. (6x4y + 21x3y2 – 60x2y3 + 24xy4) : (2x-y)3. (3x4y – 4x3y2 – 4x2y3 + 8xy4 – 3y3(: (x2 – 2xy + y2)4. (-4xy4 + 6x2 y3 – 3x3 y2 + 5x4y) : (-y3 + 2xy2 + x2y)5. (-6x6 + 11x5y – 40 x4y2 – 6x3 y3 + 12x2y4) : (-12x2 + 6xy)6. (1/3 x3 - 17/36 x2y + 13/24 xy2 + ¼y3 ) : (1/2 x – 1/3 y)7. (2/3 x4 – x3 + x2/2 – 5x + 3) ( x + 1)8. (12 x2a+2 - 23 x 2a+3 - 10x 2a+4 + 25 x 2a+5 : (4xa+1 – 5xa+2)9. (xa+2 + 2x a+1 + 2 xa – 5xa-1) : (x2 – x)10. (38 xa+3 – 65xa+2 + 27x a-1) : (2xa+1 – 5xa + 3xa-1)11. (-5ya-1 + 2ya + 2ya+1 + ya+2) : (5ya-2 + 3ya-1 + ya)12. (9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa-1) : (3xa – xa –1)13. (6xa+3 + 5/2 xa+2 – 16/3 za – 4xa-1) : (3xa+1 + 2xa)14. (x5 – 27x – x4 + 7x2 + 10) : (x2 – x + 5)
• 63. 15. (31 x2 + x6 – 8x – 5x5 + 21 ) : (x3 – 7 – 2x)16. (x3 – 10x2 + 14x – 9) : (x2 – 4x + 3)17. (2x3 – x2 + 3) : (x + 1)18. (x4 – 8x2 – 9) : (x – 2)19. (x3 – 7x – 6): (x – 3)20. (x3 – 7x – 6) : (x + 1)21. Calcula el valor de “m” para que : x5– 3x4 + 2x2 + 4m, sea divisible entre x – 2.22. Calcula el valor de “m”, para que : 2x3 – 6x2 + 5x – m/4, sea divisible entre 2x – 1.23. Calcula el valor de “m” para que : 2x4 – 5x3 + 8x2 – 5m, sea divisible entre x + 1.24. Calcula el valor de “m” para que: x6 + 3x5 – 4x3 – x2 + n, sea divisible entre x + 2 TAREA DOMICILIARIA x 4 + 2x 3 − 7x 2 + ax + b x 3 + 3x 2 − 7x − 51. La división: . Es ; Señale el residuo. x 2 − 3x + 5 x 2 −1 exacta, calcular “a + b” 8. Calcular “m–n” para que la división x 4 − 5x 2 + nx + m ; Sea exacta2. Calcular el residuo de: x2 + 1 x 6 + 6x 3 − 2x 5 − 7x 2 − 4x + 6 x 4 − 3x 2 + 2 9. Calcular el valor de “γ” en: x 5 + 2x 4 − 3x 3 + 2x − γ3. Calcular el cociente de: x+2 30x 5 + 18x 2 − 7 x 3 + 2 + x 10x3 + 6 + x 10.Calcular el resto de: 3x 3 − 4x 2 − 5x + 64. Calcular el cociente de: 3x 2 + 2x − 1 3 − x + 2x 4 − 2x 3 x +2 11.Calcular el valor de (m+n) en la siguiente división exacta5. Calcular el resto de la división: x 5 + x 4 + mx 3 − 1 x 5 + x 4 −x 2 + x +1 x 3 + x −n x 2 +1 12.Hallar el término independiente del6. Calcular la suma de los coeficientes del cociente, luego de dividir: residuo al dividir: 10x 4 + 6x 3 − 37 x 2 + 33x − 9 4x 4 − 5x 3 − 2x 2 + 3x − 1 5x 2 − 7 x + 3 x 2 − 2x − 1 13.Si la división7. Al dividir: 2x 4 + 3x 2 − ax + b x 2 +x +3
• 64. División Algebraica Segundo Año Es exacta, hallar 4 a +b 20.Hallar la suma de coeficientes del cociente: 9x 4 + 2x 2 + 5x − 6 3x 2 + x − 214.Hallar el resto de la división U) 1 V) 2 W) 3 x 18 − 3x 9 + 5x 6 + 7 x − 1 X) 4 Y) 5 x 2 −1 21.Luego de dividir:15.Si el resto de: 10x 5 − x 4 + 3x 3 + 17x 2 + ax + 3 5x + 2 ( x + 7 ) 2n + 2n x 2 + 14x + 47 Se sabe que el residuo es 5, hallar “a” Es 256, hallar el valor de “n” A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) –116.Hallar el T.I. del resto de: 22.Hallar el resto de dividir: 8x − 6x + 4x + 7 4 2 ( x + 2) 12 − x 51 ( x + 4 ) 51 + 2001 − 3x + 1 + 2x 2 x 2 + 4x + 1 A) 1 B) 2 C) 3 F) 2641 G) 2728 H) 2729 D) 4 E) 5 I) 2700 J) 200117.Hallar el resto de: 23.Hallar el residuo de la división: x 5 +x 4 +x 3 + x 2 +x +1 6x5 + 5x 4 y − 8x3 y 2 − 6x2 y3 + 2xy 4 + 2y 5 x +1 2x3 + 3x2 y − y 3 F) 0 G) 1 H) 2 K) 0 L) 1 M) xy I) 3 J) 4 N) y O) y518.Si la división: 24. Si l coeficiente del término lineal del 4 3 2 4x + 2x − mx + 3x + n cociente es –45, hallar 4 −n x 2 − 2x + 1 Es exacta. Halla (m+n) 2x 5 − nx 2 − 6x 3 − 7 x −3 K) 16 L) 18 M) 20 N) –20 O) –16 P) –81 Q) –3 R) 3 S) 81 T) 7219.Hallar el resto de: 25.Calcular el resto de la siguiente división: 3x 8 − 28x 4 − 5x 2 + 4 x 2 +3 ( x + 6) 321 − 1 x 2 + 12x + 37 P) 5 Q) 10 R) 15 S) 20 T) 25 U) x+1 V) x+2 W) x+3 X) x+4 Y) x+5
• 65. TEMA Nº 07: C O C I E N T E S N O T A b L E SCapacidades: Aplica cocientes notables Calcula el termino k- ésimo de un cociente notable Resuelve problemas que involucren cocientes notablesExploración y Desequilibrio:A. Efectúa 1. (x + y) (x – y) = x3 – y3 2) (x + 3) (x + 5) = x2 + 8x + 15 (x2 – y2 ) : (x + y) = ⇒ (x3 + 8 x + 15): (x + 5 ) = 3. (x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8 4) (x + 2) (2x + 1) = 2x2+ 5x+ 2 ⇒ (x3 + 8) : (x + 2) = ⇒ (2x2 + 5 x + 2) : (x + 2) =Desarrollo del Tema:1) COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables, son ciertos cocientes que se escriben por simple inspección, sujetándose areglas fijas y sin realizar la división. I. COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADROS DE DOS MONOMIOS entre la suma o la diferencia de los mismos. Se trata de los COCIENTES que se obtienen de las divisiones que pertenecen a estas formas: X2 – y2 o x 2 - y2 ; si efectuamos las divisiones se tiene: x+y x-y x2 -y2 x + y ; x2 - y2 x - y -x2 – xy x–y -x2 + xy x + y -xy - y2 -xy - y2 + xy + y2 + xy + y2 0 0 Por lo tanto: x2 - y2 = x – y x 2 - y2 = x + y x+y x-y La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la suma de los mismo es igual a la diferencia de ellos. La diferencia de los cuadrados de dos monomios entre la diferencia de los mismos es igual a l asuma de ellos. Ejemplos: 1. x2 - 1 = x2 - 12 = x – 1 2. x2 – 4 = x - 22 = x - 2
• 66. Cocientes Notables Segundo Año x+1 x+1 x+2 x+2 2 3. 100 - z = 10 - z = 10 + z 2 2 4. x – 36 = x2 – 62 = x + 6 2 10 – Z 10 - z x–6 x–6 ACTIVIDADAplicar la regla de los cocientes notables, halla el cociente de:1) x2 - 81 2) z2 – 1 3) x2 - 121 4) 36 x2 – 4 x–9 z+ 1 x – 11 6x + 25) w2 - 144 6) 4x2 – 100 7) 1 - 9z2 8) 169 - 16x2 w + 12 2x + 10 1 + 3Z 13 + 4x9 (x-1)2 - 1 10) 9 –(2x – 1)2 11) 49 x4 - 9z2 12) 16 x6y4 -1 x+1+1 3 - 2x + 1 7x2 + 32 4x3 y2 + 113. 25 x2 - 1 14) 49 y4 - 16 15) 64 x6 – 81z2 16) 81 - x4 – 16y6 5x + 1 7 y2 - 4 8x3 + 9z 9x2 - 4Y317. 49X4 – 225 y4 18) x2n – y2n 19) x2n+2 – 121 y2n 12)(x+y)2n–(2z+3)2n 7x2 + 15 y2 xn- yn xn+1 + 11yn (x+y) – (2z + 3) II. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS MONOMIOS entre la SUMA O DIFERENCIA DE LOS MISMOS. Se trata de escribir por simple inspección los cocientes: X3 – y3 o x3 - y3 ; si efectuamos las divisiones se obtiene: x+y x-y x3 -y3 x+y ; x3 - y3 x - y -x – x y 3 2 x –xy+y 2 2 X2+XY+Y2 -xy - y2 -xy - y2 + xy + y2 + xy + y2 0 Por lo tanto: x3 - y3 = x2 – xy + y2 x3 - y3 = x2 + xy + y2 x +y x-y La suma de los cubos de los monomios entre la SUMA de los mismos es igual al cuadrado del primero MENOS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. La diferencia de los CUBOS de dos monomios entre la DIFERENCIA de los mismos es igual al cuadrado del primero MAS el producto del primero por el segundo MAS el cuadrado del segundo. Ejemplos: 1) x3 + 8 = x3 + 23 = x2 - 2x + 4 2) y3 + 27 = y3 + 33 = y2 – 3y + 9 x+2 x+2 y+2 y+3 3) x + 64 = x + 4 = x - 4x + 16 3 3 3 2 4) 64x – 125 y = (4x2)3–(5y)3 = (4x2)2 + (4x2)(5y)+(5y)2 6 3 x-4 x-4 4x2 – 5y 4x2 + 5y
• 67. = 16x4 + 20x2 }y + 25y2 ACTIVIDADAplica la regla de los cocientes notables y halla el cociente de:1) x3 + 1 2) 64 + x3 3) 125 + y2 4) x9 + 1 5) 8 – x9 X+1 4+x 5+y x3 + 1 2 – x36) x12+ 27 7) x12 - y15 8) x6 - y6 9) x6 + 8y3 10) 8z6 + y9 x4 + 3 x4 - y5 x2 - y2 x2 + 2y 2z2 + x311) x3 – y6 12) 216 - y3 13) 27x6 + 64y3 14) 729x9 + 27y3 15) 64x3n – 125y3n x – y2 6-x 3x2 + 4y 9x3 + 3y 4xn – 5yn16) 216x6 – 8y3n 17) 729x9n - 512y6n 18) x6 y9 + 27 w3 z6 19)0,027x3–0,001y6 6x2n + y2 9x3n – 8 y2n x2 y3 + 3w z2 0,3x – 0,1 y220) 0,064x9 + 0,125 y9 21) 0,008x3 – 0,001y3 0m4 x3 + 9m5 y3 0,2x – 0,1y III. COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES POR LA SUMA O DIFERENCIA DE SUS BASES. A. La diferencia de potencias iguales, ya sean pares o impares, es siempre divisible por la diferencia de sus bases así: 1. a4 – b4 = a3 + a2b + ab + b3 a–b 2. a5 – b5 = a4 + a3b + a2 b2 + a b3 + b4 a–b B. La diferencia de potencies iguales pares, es siempre divisible por la suma de sus bases así: 3. a4 – b4 = a3 - a2b + ab2 - b3 a+b C. La suma de potencies iguales impares, es siempre divisible por la suma de sus bases así: 4. a5 + b5 = a4 - a3b + a2 b2 - a b3 + b4 a+b D. La suma de potencias iguales pares, nunca es divisible por la suma ni por la diferencia de sus bases así: 5. a4 + b4 = No es exacta la división a+b 6. a4 + b4 = No es exacta la división a-b
• 69. Ejemplo 3: Calcula el 4to término del desarrollo de : 64 x6 – y6 2x – y Solución: La expresión dada, se puede escribir así: (2x)6 – y6 2x – y Por fórmula: TK = ± x n-k y k-1 Donde : k = 4 ∧n=6 T4 = (2x)6-4 y 4-1 = (2x)2 y3 = 4x2 y3 ACTIVIDAD1. Calcula el 3er término del desarrollo de : x7 – y7 x-y2. Calcula el 4to término del desarrollo de : 81x4 – 1 3x – 13. Calcula el 2do término del desarrollo de : 125x3 – 27 5x – 34. Calcula el 4to término del desarrollo de : 64x6 – 1 2x + 15. Calcula el 3er término del desarrollo de : x14 + 128 y7 x2 + 2y6. T12 de: x142 –y213 7) T15 de: x350 - y280 8) T42 de: x51a + y102b x –y 2 3 x5 + y4 xs + y2bEFECTÚA:1) x5 – 32 2) x6 – 64y6 3.) 64x6 – y6 4) y8 – x8 x-2 x-2y 2x + y y+85) x – y 10 10 6) x – y 15 15 7.) x + y 9 9 8) x21 – y21 x+y x3 + y3 x+y x3 + y39) x15 – y10 10) 32x10 + 243 11.) 16a4 – 81b4 12) x3 – y12 x3 – y2 2x2 + 3 2a - 3b √x + y2 PRÁCTICA DE CLASE1. Halla el cociente: 2x7 – 3x5 – x4 – 2x2 + 4 c) 2x4 + 2x3 + x2 +1 d) 2x4 + 3x3 x3 – 2x + 3 e) 2x4-3√2x3 + 11x2 - 8√2 x+16a) 2x + x – 7x + 2 4 2 b) 2x + 4 4c) 2x4 + x3 + 2 d) 2x4 + 7x 3. Halla el cociente: 4x12 –9x9-4x3 – 5e) N.A. x3 – 2 a) 4x9 – x6 –2x3 –8 b) x6 + x22. Halla en cociente: 2x5-√2 x4+5x3+3√2 x2–5√2 c) x9 + x6 d) 4x9 – x6 x + √2 e) N.A.a) 2x + √2 x 4 b) x4 + x3
• 70. Cocientes Notables Segundo Año4. Halla el cociente: nxn – x + n x-1a) nxn-1 b) nx n-1 + xn 11. Calcula el cuarto término del desarrolloc) x n-1 + nx d) nxn De:e) nx n-1 + x n-2 + ... + nx + (n-1) (x+y)18 - (x-y)12 ; para: x = 2√3 (x+y)3 – (x-y)2 y = √105. Halla el cociente: 8x20 + 5x8 – 4x4 + 3 a) 32 b) 64 c) 16 4 2x + 1 d) 128 e) 81 16a) 4x + 2 16 b) 4x + 2x 12c) 2x 16 +x d) 4x16 – 2x12 + x8 + 2x4 –3 12. Al dividir : x4 –2x2 – 6 por x+3 ; el resto es:e) N.A. a) 69 b) 62 c) 59 d) 57 e) 546. Dividir: x4 + ax3 + bx2 + a x + b el x2 + 4x + 3 13. Cuál es el polinomio que dividido por x2+1 residuo es: 6x – 7 halla :”a b” da como cociente: x+2, resto: x-3 a) 6 b) 15 c)12 a) x3 – 2x2 + 2x-1 b) x3 + 2x2 + 2x-1 d)10 e) 18 c) x3 + 2x2 - 2x-1 d) x3 + 2x2 + 2x+1 e) x3 - 2x2 + 2x +17. 12 x4 + 2x3 – 3x2 + 12x-9 señala el 4x2 + 2x -3 14. Al dividir: x4 – 2x3 + 4x2 – x +1 por x –2 es resto es: coeficiente del término cuadrático del a) 3 b) 9 c) 15 cociente. d) 51 e) 61 a) 3 b) –1 c)2 d) -2 e) 1 15. Encuentra el resto que se obtiene en: (x+5)80 – (x+3)81 +38. Halla la suma de coeficientes del cociente (x + 4) 2 x4 + 3x3 + x2 + 2x + 16 a) 1 b) 2 c) 3 2x + 1 d) 4 e) 5 a) 6 b) 4 c)3 d) 1 e) N. A. 16. Para que valor de “m” el polinomio:9. Indica el resto de dividir: P(x) = (x2 –x +m)3 + (mx-1) 3 (x+3) (x+5)(x+4) (x+6) +3 Es divisible entre (x + 2) 2(x+9) + 18 a) 5 b) -5 c) 3 a) 1 b) 3 c) 4 d) 1 e) -1 d) 6 e) 5 17. ¿Qué valor debe tener “m”, para que el10. Determina el coeficiente del término inicial Polinomio: del cociente al dividir: 4x3 + 4x2y – xy2 + m, sea divisible 6 x4 + 7x3 + 11x2 - 5 por x + y? 3x + 2 a) y3 b) –y3 c) y4 a) -3 b) -6 c) 3 d) –y 4 e) N.A. d) 9 e) –1
• 71. x3 + px2 – x + 8 por x – 4, sea 100?18. Qué valor debe tener “m”, en el a) -2 b) 3 c) 2 Polinomio: 2x4 + 25 x + m, para d) –3 e) N.A. que sea divisible por x + 3? a) 87 b) -87 c) 86 20. Dado: 4x3 – 8x2 – mx + 18, calcula d) –86 e) N.A. el valor de “m” para que sea divisible por: 2x – 3.19. Qué valor debe tener “p” para que el a) 9 b) -9 c) 8 Residuo de la división: d) –8 e)N. A. x 28 + 128y 721. Hallar el término de lugar 6, de: x 4 + 2y A) 32x4y5 B) –32x4y5 C) 32x5y4 D) –32x5y4 E) x5y422. Hallar el G.A. del término de lugar 8 x 6 n − y 40 de: x n −4 − y 4 F) 30 G) 20 H) 40 I) 50 J) 25 ( x + 3) 36 − x 3623. Hallar el V.N. del término de lugar 29 de: ; para x = –1 2x + 3 K) 32 L) 69 M) 128 N) 256 O) 512 1 x 18 − x 1224. Hallar el T4 del desarrollo del siguiente C.N: 1 x 3 −x2 P) X6 Q) X5 R) x4 S) 1 T) x a 6n +1 − a 5n25. Hallar el número de términos de: a 2n −3 − a n U) 4 V) 3 W) 2 X) 1 Y) 5 x 3 x − 8126. Hallar el T3 en: 3 x −3 A) 9 x B) 9 x C) 33 x D) 7 3 x E) 3 3 x27. Halar el término lineal de: ( x + 4) 3 − 64 x F) 12x G) 13x Z) x H) –12x I) 10x x 35 − y 4928. Hallar el término central de: x 5 − y 7A) x17y27 B) x27y17 C) x21y15 D) x15y21 E) x12y13 a 75 − b 3029. Hallar el grado absoluto del quinto término de: a 15 − b 6 A) a24 B) a12b12 C) ab12 D) b24 E) b18
• 72. Cocientes Notables Segundo Año x 64 − y 4830. hallar el G.A. del sexto término del desarrollo de: x4 −y3 F) 45 G) 55 H) 65 I) 75 J) 85 TAREA DOMICILIARIA1. Sabiendo que el resto de la siguientes 7. Halla el resto de dividir: (x-1)6 (x-2)5 +1 división: x-3 5 3 8x + 4x + mx + p 2 2 es R(x) = 5x – 3x+7 a) 64 b) 65 c) 63 3 2x + x + 3 2 d) 68 e) 102 Calcula los valores de: m, n , p a) 20; -9; 16 b) 20; 10; 9 8. Calcula “a+b” si se sabe que el cuarto término c) 9; 10; 11 d) 8; 20; 5 del cociente notable al que da lugar la división e)11; 12; 20 x10 – y15; es igual a ; xa yb+5 x 2 – y3 a) 8 b) 9 c) 62. Halla el cociente : 3x5 + 2x4 – 10x3 + 4x+1 3 – 1/3 d) 11 e) 13 a) 3x + 9x + 1 4 3 b) 3x + 3x – 9x – 4 3 2 9. La división: a125 + b175, da lugar a 3x+3 a5 + bm c) 3x4 + 3 d) 3x4 + x2 + x un CN Halla el grado del término e) N.A. da lugar 22. a) 160 b) 162 c) 1263. Halla el cociente: 3x8 – 28 x4 – 5x2 + 4 d) 164 e) 166 x2 + 3 10. Calcula el 11° término del CN a) 3x6 + 9x4 b) 9x6 + 3 x2 Correspondiente a la siguiente c) 3x6 – 9x4 – x2 – 2 d) 3x6 – 9x4 + x2 División: (x60 - y660) : (x5 – y55) e) 3x6 – x2 a) –x5 y550 b) x y5 c) x5 y550 d) x10 y500 e) x5 y54. Halla el cociente: 15x4 – 8x3 – 9x2 + 7x + 1 5x – 1 11. Da el grado del 8° término del a) 3x + 5x3 b) 3x3 – x2 – 2x + 1 C.N. correspondiente a la siguiente c) 3x2 + 6x +2 d) 3x3 + 5x2 + 1 División: x100 + m120 e) 3x3 + x2 +1 x10 + m125. Calcula el resto en: (x + a) 7 – x7 – a7 a) 104 b) 76 c) 82 x + 2a d) 48 e) 102 a) –126 b) 126a7 c) 126a 6 d) 127a 3 e) 127a 6 12. Halla el grado respecto a “y” del6. ¿Cuanto se le debe restar al dividendo Séptimo término del CN correspondiente Para que la división sea exacta? a la siguiente división: 3x – 7x + x + 5x + 3 4 3 2 a180 - y150 3x2+ 2x + 1 a18 - y15a) 4x + 1 b) 4x – 1 c) 3x +1 a) 60 b) 75 c) 84d) 3x –1 e) 2x –3 d) 90 e) 78
• 73. 21. Hallar el lugar que ocupa el término de13. Hallar el termino del lugar 14 del grado 101, en el desarrollo de: x 31 + y 31 x 180 − y 80 desarrollo: x+ y x9 −y4 22. Si A es el penúltimo término del C.N.14. Hallar el termino del lugar 3 del x 40 + y 10 Hallar A x 28 + x −49 x4 +y desarrollo 4 x + x −7 23. Hallar el grado absoluto del décimo15. Hallar el termino del lugar 4 del primer término en el cociente notable x 21 + y 21 x 3n +2 − y 5n −1 desarrollo que se obtiene al dividir: x 2 − y n −5 x3 + y3 x n +1 − y 3n − 416. Calcular “n” ( 5x − 1) 99 + ( 5x + 1) 99 x − y2 24. Si la división: x Origina un cociente en el cual un17. Calcular el número de términos del término tiene la forma A(25x2 – 1)B, Calcular A–B x 3n +8 − y 2 n −1 siguiente cociente: x2 − y 25. El grado absoluto del término de lugar 618. Calcular el número de términos del x 3n + 9 + y 3n del siguiente C.N. ; es: x3 + y2 x 20 − y n siguiente cociente: xn + y5 26. Encontrar el cociente que dio origen al siguiente desarrollo: x35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 –19. Hallar el valor numérico del término 1 1 número 37 para x = − de: 5 x 82 − 1 ( 5x + 9 ) − ( 5x ) 43 43 27. Calcular el tercer término de: x 2 −1 10x + 920. Hallar el desarrollo del siguiente C.N. 28. Hallar T5/T10 del siguiente desarrollo: ( x − 4) 3 − 8 x −6 a 51b 119 − m 85 . n 34 a 3b 7 − m 5 . n 2
• 74. Cocientes Notables Segundo Año29. ¿Cuál es el tercer término en el x 10 + 32y 5 cociente? x 2 + 2y
• 75. TEMA Nº 08: F A C T O R I Z A C I ó NCapacidades: Transforma una suma algebraica en un producto de factores. Factoriza expresiones indicando sus factores primos. Aplica diversos métodos de factorización en la solución de ejercicios. Conoce equivalencias Notables, de tal manera que nos ayude a la factorización de manera directa.Desarrollo del Tema: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOSFACTORIZACIÓN.- Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto de dos o másfactores primos. PRODUCTO La factorización o descomposición en factores de una expresión seAsí: x2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) realiza sólo para polinomios. FACTORIZACIÓNCASOS DE FACTORIZACIÓN1. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO CON FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común numérico es el monomio que está contenido en todos los términos del polinomio considerado, está formado por el M.C.D. de los coeficientes y las letras comunes elevadas a su menor exponente. Ejemplos: Factoriza o descompone en factores: 1) 8x2y + 6x3yz – 10xy2w = 2xy(4x + 3x2z – 5yw) ¡¡AHORA TÚ!! 2) 2,4ab3 – 1,8a2b – 0,9ab = 3ab ( - - ) 3 2 3) x – 2xy + x = x ( - + ) 4) 12x y z – 15x yz – 6x y z + 9xy z = 3x2yz3 3 2 3 2 3 2 3 4 5 3ACTIVIDAD N° 1Factoriza los siguientes polinomios:1) 6a + 18b 2) 12x + 8bx 3) ab2 + ab4) x3 – x2 5) b4 – b3x 6) 36xy – 18xz 2 3 27) 6x – 24xy 8) 8x – 16x y 9) 20ax2 + 36abx
• 76. Factorización Segundo AñoACTIVIDAD N° 2Factorizar los siguientes polinomios:1) a3bx + 3a2b2y – a4b3z 2) 2x3y2 – 7x2y + 0,6x4y2z3) -ab2 + 8a2by – 5abx2 4) 25a2x – 30a4y + 35a3z5) -12x2y + 18xy2 – 24xyz 6) 21a3bx – 15a2xy – 9a4bx27) 15a2b3c – 9a3b – 6abx 8) -24x3y + 16x2y2 – 8x2yz29) 50a3b3 – 40a2b4 + 30ab5x 10) -22abc + 44a2c – 66b2c2. FACTORIZACIÓN DE UN PONINOMIO CON FACTOR COMÚN POLINOMIO En caso de que el polinomio tenga un factor común polinomio de dos o más términos para factorizarlo se procede en la misma forma como en el caso anterior, o sea aplicando la propiedad distributiva. ab + ac = a (b + c) Ejemplos: Factoriza: 1) 3a (x – 2y) + 6b2 (x – 2y) = 3 (x – 2y) (a + 2b2) ¡¡AHORA TÚ!! 2) 8a2 (x-2)4 + 16a3 (x-2)2 – 24a5 (x-2)3 = 8a2 (x-2)2 3) -2x – 3y + ab3 (2x + 3y) = Recuerda que: 4) 5x (2a – 7b) – 2a + 7b) = -a – b = -(a+b)ACTIVIDAD N° 1Factoriza los siguientes polinomios: 1) 3x (5a – 2b) + 2y (5a – 2b) 2) 12a (x2 – y2) + 5 (x2 – y2) 3) 4x2 (y – 1) – 9 (y – 1) 4) 7x (8m + 3) + 8m + 3 5) x + 2y – 3z (x + 2y 6) xy2 (2-a) + x2y (2-a) 7) (x-3)2 (x+2) + (x-3) (x-1) 8) 8abc3 (x+3y) – 7a2bc (x+3y) 9) (3x-2)3 (x-2) – (3x-2)2 (x+1) 10) (x+2)3 (x+5) + (x+5) (x-2)2ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores: 1) 16x2 (z+2y) + 4x (z+2y) 2) 20xy3 (a-3b) + 152y (a-3b) 3) 12 (a+2b) (x-y)2 – 18 (a+b2b)2 (x-y) 4) 81 (x-3y)2 (m+n) + 27 (x-3y) (m+n) 5) -3a – 5b – (3a + 5b) 5x2 6) -6x2 + 9y2 + 4w (2x2 – 3y2) 7) 4a2 – 9b2 – 6xy (4a2 – 9b2) 8) 6a (5x – 2y – 3z) -5x + 2y + 3z 3 3 2 2 9) (x – y ) + (x-y) z – x + y 10) -7x + 2y – 2ab (7x – 2y)3. FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS El proceso para factorizar por “agrupación de términos” consiste en agrupar convenientemente los términos de un polinomio a fin de obtener, en cada grupo formado, un factor que sea común a todos los términos, luego se procede como en el caso anterior. Ejemplos:
• 78. Factorización Segundo Año 1. x2 – 49 = (x+7)(x-7) x 7 ¡AHORA TÚ! 2. 252 – y2 = ( + )( - ) 3. 36a2 – 25/4= 4. 3x2 – 300 =ACTIVIDAD N°1Factoriza los siguientes polinomios:1) x2 - 121 2) 64 – x2 3) 36x2 – 14) 49 – 16x2 5) 25x2 – 4y2 6) 2x2 – 2007) 6a2 – 6b2 8) x4y2 – 1 9) 16/9x2 – 3610) 81 – 1/9z2 11) 144 – a2n+ 12) 49x2n – y2nACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) 3x2 – 9 2) 5x2 – 3 3) 7 – 2x24) 1/4x2m – 1 5) 1/3x4 – 16/3y4 6) x4 – 817) 1/25x4 – 1/9y6 8) 15 – 60x2n 9) 49a4b2 – 25x210) 16ax4n 11) (x+3y)2 – 4 12) (2x – 1)2 – 645. FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS La suma de cubos es un producto igual a la suma de sus ases, multiplicado por el trinomio que se forma del cuadrado de la primera base menos el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base. O SEA: a3 + b3 =(a + b)(a2 – ab + b2) Ejemplos: Factoriza: 1) 27a3 + 64b3 = (3a + 4b)(9a2 – 12ab + 16b2) 3a 4b 2) 125x3 + 1 = (5x + 1)( - + ) 4) 0.27x3 + 0,001y3= 5x 1 3) x + 1/8y3= 6 5) (x+2y)3 + 64z3=ACTIVIDAD N° 1
• 79. Factoriza los siguientes binomios:1) 8x3 + 1 2) x3 + 64 3) 125x3 + 27y34) 8 + 1000x3 5) 1 + 27x6 6) 343x9 + 17) x3 + x-3 8) 729x3 + y6 9) 64 + 27x3n10) x3n + 1 11) x6 + 1 12) 8x15 + y12ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) 7x4 + 7x 2) 6x5 + 6x2y3 3) 6bx6 + 48by94) (a + b)3 + 125x3 5) 64(x – 3)3 + 27y6 6) (x – y)3 + (a – 2)37) (x2 + a)3 + (a + 2)3 8) 729(3a – y)3 + (2x + y)3 9) 0,008 (x+5y)3 + (3 – y)36. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS La diferencia de dos cubos es un producto igual a la diferencia de las bases, multiplicada por el trinomio que consta del cuadrado de la primera base más el producto de las bases y más el cuadrado de la segunda base. OSEA: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplos: Factoriza 1) 8x3 - 27 = (2x - 3)(4x2 + 6x + 9) 2x 3 2) 125x – y3 = (5x2 – y) ( 6 + + ) 3) a3 – a-6 = 5x2 y 3) 64x3 – (3x – 1)3=ACTIVIDAD N° 1Factoriza los binomios siguientes:1) x3 - 1 5) x9 + y6 9) x6 - 12) x6 – 27y9 6) x3n - 27 10) x3 – 125y33) 1331x9 - y3 7) 64x3 – y3 11) 216x3 – 125y64) 8 - x3 8) 64x12 - 1 12) 8x12 - y15ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) 64x6 – y9 5) 64x3y6 – z9 9) 12ax6 – 96ay92) 1000x6 – y15 6) 8x7 – 8x4y3 10) 1/216x3 – y63) 4x5 – 4x2 7) 1/27x3 – 1 11) 0,125x6 – 0,008y34) x3 – a6b9 8) 8x6y9 – a12 12) (2x+y)3 – 8x6
• 81. 2) x2 – 26x + 169 7) x2 – 12x + 363) x4n – 2x2n + 1 8) x6 – 4x3 + 4 x 2 2xy4) + + y2 9) 0,04x2 + 0,12xy + 0,09y2 9 35) 9x6 + 1,2x3 + 0,04 10) 25x2 + 10 3 x+38. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c p+q=b 2 Así: x + bx + c = (x + p)(x + q) siendo: p.q=c “Par de números que multiplicados de el tercer término “c” y sumados de el coeficiente del segundo término “b”. Ejemplos: 1) Factorizo x2 + 9x + 14 = (x + 2) (x + 7) Porque: 2 . 7 = 14 2+7=9 ¡AHORA FACTORIZA! 2) x2 + 10x + 24 = 3) x2 – 6x – 16 = (x - )(x + ) 4) a4 – 16a2 + 64=ACTIVIDAD N°1Factoriza cada uno de los trinomios siguientes:1) x2 + 11x + 24 8) x2 + 6x – 72 15) x2 – 13x + 402) x2 + 14x + 13 9) x2 + 13x + 22 16) x2 + 9x + 203) x2 + 2x – 8 10) x2 + 15x + 54 17) x2 + 16x + 284) x2 + 5x – 16 11) x2 + 5x – 24 18) x2 + 8x - 485) x2 + 13x – 48 12) x2 + 6x – 72 19) x2 + 5x - 366) x2 – 7x – 44 13) x2 + 6x – 40 20) x2 – 14x - 367) x2 – 15x + 56 14) x2 – x – 132 21) x2 – 12x – 64 22) x2 + 5x – 36ACTIVIDAD N° 2Descompone en factores:1) x2 – 5x – 104 6) x2 – 20 + 8x 11) x2 – 27 + 6x2) x2 + 121 + 22x 7) x2 – 56 – x 12) x2 – 72 + 14x3) x2 + 126 – 23x 8) x2 – 96 + 10x 13) x8 – 3x4 – 184) x6 – 5x3 – 14 9) (ax)2 – 3ax – 18 14) a4n + 5a2n – 65) x6 – 3x4 – 40 10) x16 – 15x8 + 26 15) (x+2)2 + 12(x+2) + 27
• 82. Factorización Segundo Año9. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c “MÉTODO DE ASPA” Ejemplos: Factorizar: 1) 2x2 + 7x + 6 = (2x + 3)(x + 2) 2) 3x2 – 10x – 8 2x +3 +3x 3x +2 2x x +2 +4x x -4 -12x 7x -10x 2 2 3) 5x – 17x – 12 = 4) 3x + 23x – 36 = 5x 3 x -4ACTIVIDADFactoriza cada uno de los trinomios siguientes:1) 2x2 + x – 10 8)2x2 + 13x – 24 15) 3x2 + 14x + 82) 3x2 + 35x – 12 9) 4x2 – 5x – 21 16) 2x2 + 5x – 33) 5x2 – 28x – 12 10) 4x2 + 25x + 6 17) 5x2 + 31x + 64) 4x2 + 5x – 21 11) 6x2 + 7x – 3 18) 10x2 + 17x + 65) 3x2 – 2 – 5x 12) 2x2 – 18 – 9x 19) 4x2 – 3 – 19x6) 5x2 – 4 – 8x 13) 2x2 – 7 – 5x 20) 6x2 + 3 + 19x7) 3x2 – 32 – 4x 14) 5x2 – 16 – 38x 21) 6x2 – 2 – x10. ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + FEjemplos:1. Factorizar: La expresión factorizada es: (5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)2. Factorizar:
• 83. La expresión factorizada es: (3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)11. ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.Regla:1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente, se calcula la suma del producto en aspa.2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver el término central. La expresión agregada es la que se descompone para comprobar los otros términos del polinomioEjemplo:1. Factorizar P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3)12. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS: Con éste método se busca uno o más factores binomios primosAdemás:1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x). P (x )2. Los demás factores se encuentran al efectuar: x − x03. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar: Posibles Divisores T. indep. de P ( x ) = x0 ceros Divisores Coef. Principal de P ( x ) Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6 Divisores 6 Posibles ceros = ± Divisor de 1
• 84. Factorización Segundo Año Posibles ceros = ± (1, 2, 3, 6) Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x – 1) Luego:P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6) x –3 x –2 ∴ P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)ACTIVIDAD 1. Factorizar: 3. Factorizar e indicar el factor que se 4x2 – 15y2 + 17xy + 12x – 9y repite. e indicar la suma de sus factores P(x) = x4 – 16x3 + 72x2 – 128x + 512 primos 4. Los polinomios 2. Factorizar: P(x) = x4 + 2x3 – x – 2 x4 – 3x3 – 7x2 + 27x - 18 Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6 Indicando la suma de sus factores primos. Tienen un factor común. Indicar la suma de coeficientes de dicho factor común13. MÉTODO DE SUMAS Y RESTAS: Se inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida, la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.Ejemplo:Factorizar: x4 + 64y4⇒ x4 + 64y4 + 16x2y2 – 16x2y2 x4 + 16x2y2 + 64y4 – 16x2y2∴ (x2 + 8y2)2 – (4xy)2Donde:(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)ACTIVIDADFactoriza los polinomios siguientes:1) 4x4 + y4 4) 4a4 + 81 7) a4 + a2b2 + b42) 4m4 + 3m2 + 9 5) 16x4 + 4x2 + 1 8) 4x4 + 3x2 + 1
• 85. 3) 36m4 + 15m2n2 +4n4 6) 9x4 +2x2 + 1 9) 9x4 + 8x2y2 + 4y4 PRÁCTICA DE CLASE1. Después de factorizar: c) x – 1 + 2 d) x2 + x + 1 a2 (b+c) – c2(b+c) – b – c; indica el e) No es factorizable. factor trinomio: a) a2 – c2 b) b + c c) a2 – c2 +1 9. Señala el factor primero repetido de: d) a2 – c2 – 1 e) a + c x6 + x4 – x2 – 1 a) x +1 b) x – 1 c) x2 + 12. Señala un factor común de: d) x2 + 2 e) x m+2p n m+p n+9 m n+29 3x y + 6x y + 3x y a) xp b) yp c) xm + yn 10. Señala un factor de: 4x4 – 17x2 + 4 p 9 p 9 d) x + y e) x y a) 2x – 3 b) 3x – 1 c) 2x + 1 d) 4x + 4 e) 4x – 13. Señala un factor de: x3 – x2y + xy2 – y3 11. Al factorizar: x4 + 4x2 – 117 un factor 2 2 3 a) x + y b) x + y c) (x-y) de primer grado es: d) x e) y a) x + 3 b) x – 3 c) x2 – 9 d) x2 + 15 e) x + 14. Señala un factor de: xn+2 + x3 – xn – x + x2 – 1 12. Uno de los factores de: a) x2 + 1 b) xn + 1 c) xn + x + x4 – 3x2 + 1; es: 1 a) x2 – x + 1 b) x2 + x + 1 d) xn–x–1 e) xn – 1 c) x2 + x – 1 d) x2 + 3x + 1 e) x2 – 3x + 15. Un factor de : x – 7x – x + 7 es : 3 2 13. Indique el número de factores primos. a) x + 7 b) x-1 c) x2 + 1 Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 + 1)11 2 2 d) x +7 e) x +7x+1 14. Hallar la suma de factores primos.6. Señala un factor de: A(x) = (x + 2)(x – 1) + (x + 3)(x + 2) + x + 2 x2m + 2xmyn + y2n a) xm b) yn c) xm + y2n 15. Factorizar e indicar uno de los factores d) xmyn e) xm+yn primos.7. Un factor de: x3n + 1 es: (x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2 a) x2n + xn + 1 b) x2n+2xn +1 c) x2n – xn +1 d) x2n – 2xn +1 16. Indicar un factor primo de: e) xn – 1 (x + y2) (x + y) + z (x + y2)8. Uno de los factores de: x4 + 4; es: 17. Indicar un factor primo: a) x2 – 2x + 2 b) x2 + 2x + 1 (x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)
• 86. Factorización Segundo Año 25. Indicar un factor primo al factorizar: (a2 + b2) – (c2 + b2)18. Indicar un factor primo de: 26. Indicar el número de factores primos (x–3y)(x2+y2)+(x2–y2)(x-3y)+x–3y de: x8 – 44 27. Dar la suma de los factores primos:19. Factorizar: x2 – y2 – xz – yz (x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)20. Dar un factor primo de: 28. Factorizar: a2 + b2 – c2 + 2ab; Indique (x2+y2)(xy +2)+(x2+y2)(x2–1)– (x2+y2) un factor primo21. Factorizar: 29. Factorizar: x2 – 49 (x+3y)(xy+2)+(xy+2)z +(x+3y+z)22. Factorizar: (x+y)(x–y+z) – (x2 – y2) – x – y 30. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de:23. Factorizar: a4 – b4 ; Señalar un factor x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 22y + 20 primo.24. Dar la suma de los términos 31. Indicar un factor primo de: independientes de los factores primos x2 + xy - 6y2 + 3x + 19y – 10 de: 2x2 – 7xy + 6y2 – 2x + y – 1232. Factorizar: Q(x) = 18x2 – 39x + 20; Indique cual es un factor primo. A) 6x + 1 B) 3x – 5 C) 3x + 4 D) 6x + 5 E) 3x – 433. Dar la suma de factores primos de: (x+7) (x2–6x) = (x+7) (5x–12) F) 3x + 9 G) 3x + 14 H) 3x+6 I) 3x + 8 J) 3x + 1034. Dar la suma de factores primos: (x - 5) (x2 – 6x) + (40 – 7x) (x – 5) K) 3x + 8 L) 3x – 18 M) 2x – 13 N) 2x + 8 O) 3x – 835. Indicar un factor primo de: 3x(x+2)(2x–3)+(14x+12)(2x–3) A) 6x + 4 B) 2x + 3 C) x + 2 D) 3x + 2 E) 3x + 536. Dar un factor primo de: 2x(x+2)(x+3) – 3(x+5)(x+3)A) x – 3 B) (x + 3)2 C) 2x – 5 D) 2x + 3 E) 2x – 337. Indicar la suma de factores primos de: 6x(2x–1)(2x+3) – (5x-2)(2x+3)F) 8x G) 9x H) 8x + 6 I) 9x + 6 J) 7x – 3 PRÁCTICA DOMICILIARIA
• 87. 1. La suma de los factores de la expresión 9. Al factorizar x7-x3 + 8x4 indica el algebraica: x2 – xy – y – 1: número de factores primos. a) 2x – y b) x+y+1 c) 2x-y+2 a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) 2 d) x-y e) x+y2. Al factorizar: x+y+xy2+x2y-x3-y3 10. (x+y)3 – (x-y)3 en tres factores uno de dichos factores es: 11. 27x3 – (x – y)3 a) 1 + x + y b) 1+x-y c)1-x-y 12. x3 + x2 – 4x – 4 d) x-y-1 e) –x-y-1 13. a4 + a3 – 8a – 8 14. x6 – 2x3 + 13. Señala el factor primo de mayor grado 15. x5 – a2x3 – c3x2 + a2c3 contenido en: x2 + x4y2 – y4 – x2y6 16. 4a4 + b4 a) x+y3 b) x-y3 c) 1+x2y2 d) x+y2 e) x-y2 17. a4 + 5a2 + 9 18. 4a2 – b2 – 2ac + bc4. Halla el producto de coeficientes de un 19. x2+y2-z2 – 2xy factor primo de: 9x4+8x2y2 + 4y4 20. 16a2+b2 – c2 + 8ab a) 1 b) 6 c) 12 d) 18 e)21 21. 4m2+9y2 + 12my – 64 22. x3 + x2 – y2 – y35. Factoriza e indica un factor: 23. a4 – 625 x3 – 2x2y – xy2 + 2y3 24. x2y2 – 4x3 + 4xy2 – y4 a) x + 2y b) y – 2x c) x – y d) 2x+y e) x2 + y2 25. 8x3 – 12x2 – 2x + 3 26. 12xy2 + 8y3 + x3 + 6x2y6. Indica el factor primo cuadrático de 27. x4+x3 + x + 1 mayor suma de coeficientes, después de 28. a3 – a2 – a + 1 factorizar: x4+4x2 +16 29. a3 + a2 – 8a – 12 2 2 2 a) x + x + 2 b)x -x +2 c) x +9 30. x2 – 8xy3 + 15y6 2 2 d) x +2x+4 e) x + 7 31. 4x2 – 29x - 24 32. 9x2 + 109xy2 + 12y47. Hallar un factor de: x5 – 2x4 – x+2, señalando el factor de menor término 33. a2 – 2ab + b2 – 9 independiente: 34. 4m2 – 4mn + n2 – 49 a) x-1 b) x+1 c) x+3 35. x2 – y2 + 8y – 16 d) x-3 e) x+2 36. a4 – a2 + 2a – 1 37. 30ab – 25ª2 + 4c2 – 9b28. Factoriza y da como respuesta la suma 38. n4 + 2m2n2 + 9n4 de los factores de: 2 2 2 2 39. x4 – 7x2y2 + y4 9(x-y) + 12(x -y )+4(x+y) 40. 9a4 + 26a2 +25 a) y-5x b) 5x+y c) 5x-y d) 8x-3y e) 8x+3y 41. Uno de los factores de: 3m3 – 20 + 12m2 – 5m es:
• 88. Factorización Segundo Año a) m + 3 b) m2+2 c) m – 4 43. ¿Cuántos factores lineales se obtienen d) m + 1 e) m + 4 al factorizar P(x)? Si: P(x)=18x4 + 25x2 – 342. ¿Cuántos factores primos tiene: a) 1 b) 2 c) 4 5 3 2 x – 4x + x – 4? d) 4 e) ninguno a) 1 b) 2 c) 4 44. ¿Cuántos factores lineales tiene P(c) si: d) 5 e) 3 P(x)=3x6 – 2x3 – 1 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TEMA Nº 09: FRACCIONES ALgEbRAICASCapacidades: Reconoce y clasifica una expresión algebraica racional. Opera con expresiones algebraica racionales. Resuelve problemas con expresiones algebraicas.Exploración y Desequilibrio:A) EFECTÚA 2) 5 1 5b + a + =1) − 2 1 − 4 + 1 − 3 −1 2 b ab + = = = 3 6 6 6 2 8 3 8x − 3 − = − 4 1 − 8 −1 − 9 4) x x2 x23) − = = 7 14 14 14 x +3 x −3 . = 1 2 6) x2 − 9 x − 2 x −1 x −15)Desarrollo del Tema: EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALESUNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES RACIONAL, SI TIENE LA FORMA DE UNA FRACCIÓN. LLÁMESE FRACCIÓN ALGEBRAICA AL COCIENTE INDICADODE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS, DONDE EL DENOMINADOR DEBE TENER AL MENOS UNA LETRA O VARIABLE.EJEMPLOS: a + 2b 6 x − 5 a 3 + b 3 − z 3 6m x 3 − 1 ; 4 ; ; ; a2 x a +b− z n x −1* EL DIVIDENDO ES EL NUMERADOR DE LA FRACCIÓN Y EL DIVISOR ES EL DENOMINADOR.1) CLASIFICACIÓN
• 92. Factorización Segundo Año SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS EL NUMERADOR: ENTONCES: 6 x 3 − 9 x 2 3x 2 (2 x − 3) 2 x − 3 = = 3ax 2 3ax 2 a EJEMPLO 2: SIMPLIFICAR: x 2 + 5x + 6 x2 + x − 2 SOLUCIÓN: FACTORIZAMOS NUMERADOR Y DENOMINADOR: x 2 + 5 x + 6 ( x + 2)( x + 3) x + 3 ENTONCES: = = x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) x − 1 EJEMPLO 3: SIMPLIFICAR: x2 − 9 x2 − x − 6 x3 − 8 EJEMPLO 4: SIMPLIFICA: = x2 − 4 : ACTIVIDADSIMPLIFICA: ab a2x1) 22) 3ax 5a 3bx 2 2) 2a 2 23) 6bx 2 − 6b 3 y 34) 12b 2 y 12ax 2 − 18b 3 y 2 x 3) − 9a 2b 2 8x3 y 37) 5) 3ab 2 − 27 a 3b 3 32 x 5by 4 3a + 6ab 6) − 5x y 2 8) 9 xy 2 − 2 x 3 y 510) 15 x y 2 − 10 x 3 y 2 xy 2 9) x2 y2 25a 3b 4 + 30a 4b 313) x + 5x + 6 2 10a 3b 2 x 11) 3x 3 y 3 − 2 x 4 y 4 x+2 12) x + 6x + 9 2 y 2 + 7 y + 1216) x − 6x + 8 2 14) y +4 x +3 x−4 15) x − 7x + 6 2 x 2 − 8 x + 1519) x2 − 9 17) x −6 x −3 ( x − 3) 2 18) ( x + 5) 2 x 2 −1 2+a 20) x 2 − 25 x 3 −1 4 − a2 9a 2 − 25 x 2 125 x 3 − 64 y 3 3a + 5 x 25 x 2 −16 y 2
• 93. 24)21)7) REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR PARA TRANSFORMAR VARIAS FRACCIONES EN OTRAS DEL MISMO DENOMINADOR SE HALLA EL M.C.M. DE TODOS LOS DENOMINADORES Y SE MULTIPLICAN LOS DOS TÉRMINOS DE CADA FRACCIÓN POR EL COCIENTE QUE RESULTA DE DIVIDIR EL M.C.M. POR EL DENOMINADOR RESPECTIVO. EJEMPLO 1: REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS FRACCIONES: 2 ; 5 ; 7 . 2 2 5X 3XY 9X Y SOLUCIÓN: PRIMERO SE BUSCA EL M.C.M. DE: 5X; 3XY; 9X2Y2  M.C.M. ES: 45X2Y2 LUEGO SE PROCEDE: 18XY2 ; 75XY ; 35 . 2 2 2 2 45X Y 45X Y 45X2Y2 EJEMPLO 2: REDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS FRACCIONES: 2 ; 5 ; X +4 2 X X+1 X –1 SOLUCIÓN: M.C.M. ES: X(X+1)(X-1) 2(X+1)(X-1) ; 5X(X-1) ; X(X+4) . X(X+1)(X-1) X(X+1)(X-1) X(X+1)(X-1) ACTIVIDADREDUCE AL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR LAS SIGUIENTES FRACCIONES: a 3x 51) 3 2 5 xy 2) ; ; ; ; 3x 4 x 2 2 x 3 x y z 4 x 5 x 3a 3a 4b 6 4) ; ;3) ; ; 3xy xy 6 2 x 3x 9 x ab 3ab 1 x xy 3 x 2 − 2 xy 6) ; ;5) ; ; 3 + x 3 − x 9 − x2 x + y x − y x2 − y2 2 5 12 8) ; ; 27) 3x 5 x 6c − 10 2 2 x + 2 3x − 3 6 x − 6 ; ; x + 2 x − 2 x2 − 4 3a 8 3 10) ; ;9) 2a 3b 5x x − 16 3x + 12 4 x − 16 2 ; 2 ; ( x + 1) x − 1 2 x + 2 28) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
• 96. Factorización Segundo Año 8.3 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON FRECUENCIA SE PRESENTAN CASOS EN LOS CUALES HAY LAS OPERACIONES DE SUMA Y RESTA EN UN MISMO EJERCICIO, EN ESTE CASO SE TRATA TAN SÓLO DE LA REDUCCIÓN DE SUS TÉRMINOS. SI DICHAS FRACCIONES TIENEN DISTINTOS DENOMINADORES SE LES REDUCE AL COMÚN DENOMINADOR Y LUEGO SE EFECTÚAN LAS OPERACIONES INDICADAS. 2a 2 − x 2 4x 5EJEMPLO 1: EFECTÚA: 3 − 2 + 3x 6x 8xSOLUCIÓN: 2a 2 − x 2 4 x 5 8( 2a 2 − x 2 ) − 4 x (4 x) + 3 x 2 (5) − 2+ = 3x 3 6x 8x 24 x 3 16a 2 − 8 x 2 − 16 x 2 + 15 x 2 16a 2 − 9 x 2 = = 24 x 3 24 x 3EJEMPLO 2: REDUCE: x +3 x −2 4 E= − + 4−x 2 4 − 2x 4 + 2xSOLUCIÓN: x+3 x−2 4 E= − + ( 2 + x)(2 − x) 2(2 − x) 2(2 + x)DAMOS COMÚN DENOMINADOR, SIENDO ESTE: 2(2+X)(2-X) 2( x + 3) − ( x − 2)(2 + x) + 4( 2 − x)E= 2(2 + x)(2 − x) 2x + 6 − (x 2 − 2 2 ) + 8 − 4xE= 2(2 + x)(2 − x) 2x + 6 − x 2 + 4 + 8 − 4xE= 2(2 + x)(2 − x) − x 2 − 2 x + 18E= 2(2 + x)(2 − x) − x 2 − 2 x + 18E= 2(4 − x 2 )
• 97. PRÁCTICA DE CLASEEFECTÚA LAS SIGUIENTES SUMAS Y RESTAS: 3x 2 8 3ab ab 5ab1) + + + + x + 4 x + 4 ´x + 4 2) 2+ x 2+x 2+x 3c c 6c x + 1 x − 1 3x + 83) + + + + 5x + 2 y 5x + 2 y 5x + 2 y 4) x −1 x −1 x −1 3a 8a a 2 xy 6 xy xy5) + + + + 5 3 2 6) 3 4 6 5a 3a a x +5 x +3 x −57) + + 8) + + 8x 4 x 2 x 8 4 6 2 xy 3y 3 4 xy 3 6 4 − 20 x9) + 2 + + + x−y x −y 2 x+ y (1 − 2 x) (1 + 2 x ) 1 − 4 x 2 10) 2a 3x 5 x 2 + 2a 2 2ax + x 2 3x 5 x 2 + 2a 2 + + 2 + + 211) (a + x) (a − x) a − x2 (a − x) 2 (a − x) a − x2 12) 5 2 10(5 x 2 − 2 x) 2( x + 2) 3( x + 1)13) + + − 3(1 + 5 x) 2 − 10 x 1 − 25 x 2 2x −1 2x −1 21) 5( 2 + x ) 2(3x − 1) 2x 115) − 14) − x +1 x +1 x −y 2 2 x+ y 2x 5 − x2 16) x +1 x −1 − −17) x +1 x2 −1 x −1 x +1 x − 2y xy + 3 y 2 5x + 2 15 x − 2 18) − 219) x+ y x + 2 xy + y 2 x − 3 x − 3x 2x +1 3x − 2 x+2 x −3 − 2 − 2 x − 4x + 3 x − 5x + 4 2 x + 8 x + 15 x − 2 x − 15 2
• 98. Factorización Segundo Año20) 22)
• 100. Factorización Segundo AñoSOLUCIÓN:FACTORIZAMOS LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE CADA FRACCIÓN SE OBTIENE: x 2 − 9 x 2 + 3x + 2 ( x + 3)( x − 3) ( x + 2)( x + 1) x + 3 . = . =x2 − x − 6 x2 −1 ( x − 3)( x + 2) ( x + 1)( x − 1) x − 1EJEMPLO 2: EFECTÚA: x 2 − 81 x + 11 x 3 + 5 x 2 2 x − 12 . . . 2 x 2 + 10 x x 2 − 36 2 x + 22 2 x + 18SOLUCIÓN:FACTORIZANDO LOS NUMERADORES Y DENOMINADORES DE CADA FRACCIÓN SE TIENE:( x + 9)( x − 9) ( x + 11) x 2 ( x + 5) 2 ( x − 6) ( x − 9).x x 2 − 9 x . . . = = 2 x( x + 5) ( x + 6)( x − 6) 2( x + 11) 2 ( x + 9) 4( x + 6) 4 x + 24 8.5 COCIENTES DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS EL COCIENTE DE DOS FRACCIONES ALGEBRAICAS SE OBTIENE MULTIPLICANDO LA FRACCIÓN DIVIDENDO POR EL INVERSO MULTIPLICATIVO DE LA FRACCIÓN DIVISOR. A C A D : = . B D B C DIVIDENDO DIVISOR DIVISOR INVERSO MULTIPLICATIVO DEL DIVISOR x 2 + 7 x + 12 x 2 + 4 x + 3EJEMPLO 1: EFECTÚA: : 2 x2 + x − 2 x −x−6SOLUCIÓN:FACTORIZAMOS E INVERTIMOS LA FRACCIÓN DIVISOR:( x + 3)( x + 4) ( x − 3)( x + 2) ( x + 4)( x − 3) x 2 + x − 12 . = =( x + 2)( x − 1) ( x + 3)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x2 −1  x + 2 x + 1 2x + 5EJEMPLO 2: EFECTÚA: R =  − :  2 6  3SOLUCIÓN:DAMOS COMÚN DENOMINADOR A LAS FRACCIONES QUE ESTÁN ENTRE PARÉNTESIS:  3( x + 2) − 1( x + 1)  2 x + 5 2 x + 5 3 1 1R= : = . = ⇒R=  6  3 6 2x + 5 2 2 PRÁCTICA DE CLASE
• 101. MULTIPLICA Y DIVIDE LAS SIGUIENTES FRACCIONES ALGEBRAICAS: 3( x + y ) x 2 − y 21) . 2a x 2 − y 2 2( x − y ) 6x . 2) x−y 8ax 15 x − 30 3x3) . (a − 1) 2 4 y (a + 1) 2x 5 x − 10 . 4) 2y2 a 2 −1 5a + 5 2a − 2 25) . 4a 2 + 4a x2 − y2 2a + 4a + 2 10(a 2 − 1) 2 . 6) x 2 − 2 xy + y 2 8(a + 1)7) x 2 + 11x + 30 x 2 − 25 . 2 2a 2 + 5a + 3 3a 2 − a − 2 x 2 + 7 x + 10 x + 10 x + 25 . 3a 2 + 8a + 4 2a 2 + a − 3 8) 2 x y xy2 x −y 2 29) . . a 2 − b 2 64 − x 3 a 2 + ab + b 2 y a( x + y ) axy . . 10) 16 − x 2 a 3 − b 3 16 + 4 x + x 2 x 2 + 10 x + 16 x 2 + 9 x + 811) : x 2 + 9 x + 20 x 2 + 6 x + 5 12) 2a 2 + 7 a + 5 2a 2 + 3a − 5 36 − a 36 + 12a + a 2 2 :13) : 2 a 2 + 3a + 2 4a 2 − 4 a − 7a + 12 a − 5a + 6 2  2a 2b 2ab 2   2ab   1 1   2x  14)   a + b + a − b  :  a 2 + 2ab + b 2  15)  − : 2      1 − x 1 + x  1 − 2x + x   2a + 2 a   a + 3 a − 2   x +1 x   x +1 x  16)  + : − 17)  − : +   4 5  3 2   2 6  3 6 18)  6 − 6x   6 4   a 2 + 2a + 1   a + 1 a 2 + 3a + 2   : +   x −1   5 x − 2 3x −1   a 2 − 1  :  a − 1 : (a − 1) 2 19)         20)  3 x 2 + 8 x + 4 5 x 2 + 11x + 2   3 x + 2    2 x + 1 : (2 x ) 2 − 1  :  2 x − 1      
• 102. Factorización Segundo Año PRÁCTICA DOMICILIARIAEFECTÚA LAS SIGUIENTES OPERACIONES INDICADAS:  3 + x3  (1 − x )1 + x +  2    1  11)  1− x  1 − 1 +   a + 1  a 2)  2x  2 ( ) 2 a − x +  a − x2  2 xy  2 xy   a+ x x +   y − 3)    x − y   x+y  4) a+b  2 x  2   − a − b    4 1  2 1 5)   a − 2  a +   4x  a + b   a  a 6)  b − a  ab − a 2   2 2x 2 + x   2 x −1  a − 1 −  x − x +  :  2 x −1 + 7)  1 + ab   1 + ab     4    5  8)  2 + a 2 + 2a   a + 1   9 − x2 3−x  2 +x  1 − :     2a + 3   6a + 9    9 + 6 x + x 2 : 3 + x  :  3 x −1 9)     x 10) x+ a −b 1− x −1 a +b11) x a +b x− −1 x −1 a −b 12) 1 x 1− 1−13) 1 1+ 2x 2 1+ x + x 14) 1− x 1 x a 1 +15) 1− x −a x +a 1 x a 1+ 16) − x x −a x +a a −1 b −1 c −1 a −1 b −1 c −1 + + + +17) a b c a b c 1 1 1 1 1 1 + + − + a b c 18) a b c x+ y x2 − y2 ax + a a +1 1+ 1+ 2 − +1 x− y x + y2 ax + 1 ax + 1 : a + 1 ax + a19) x+ y x2 − y2 20) − +1 1− 1− 2 x− y x + y2 ax + 1 ax + 1 PRÁCTICA DOMICILIARIA
• 103. 1. Después de simplificar: (a 3 + b 3 ) 2 − (a 2 + b 2 ) 3 x −y 2 xy − y 2 2 8. Reduce: R = − ; resulta: ( a + b ) 2 − 4( a 2 + b 2 ) xy xy − x 2 a) x b) y c) 0 a) ab( a + b ) 2 2 y x d) 1 e) x2 y a2 + b2 b) ab2. Señala el resultado de: 8 2 1 ab(a + b) R= + 2 + c) ( x + 3)( x − 1) x + 3 x + 1 2 2 a2 + b2 a) 1 b) x-1 c) 0 d) 1 e) x+2 d) a2b2 x-1 a3 + b33. Suma: e) xy ( x − a )( y − a ) ( x − b)( y − b) a2 + b2 Q= + + ab a ( a − b) b(b − a) 9) Señala el numerador resultante al efectuar y a) 1 b) x-a c) y-a reducir a su mínima expresión: d) x-b e) y-b x 2 + 5x + 6 x2 + x − 6 + 3 2x 3 + 6x 2 + 4x 2x − 6x 2 + 4x x −1 x− a) x(x+1) b) x(x+2) c) x +1 x(x+3)4. Reduce: M = x( x − 1) d) x(x+4) e) x(x+5) 1+ x +1 10) Efectuar: a) 0 b) 1 c) x a 2 ( a + x ) 2 (a + y ) 2 d) –x e) x+1 M = + 2 + 2 xy x − xy y − xy ( x + y ) 2 − ( xy + 1) 25. Simplifica: T = x2 −1 11) Calcular el valor de: a) x2-1 b) 1-x2 c) y2-1 an bn + d) 1-y2 e) x2 2na n − 2nx 2nb n − 2nx an + bn Para: x =6. Al reducir: 2 1 1 2 + − 2 ; 12) Reducir:x − 3 + 2 x 1 − 3x + 2 x 3 x + 10 x + 3 2 2Se obtiene: (a 2 ) ( 2 + ax + x 2 − a 2 − ax + x 2 ) 2 a) 1 b) x c) 0 (a + x ) 3 − (a − x ) 3 d) x-1 e) x+1 13) Reducir: ( x + y) − ( x − y) 4 4 a 3 + 2a 2b + 2ab 2 + b 3 17. Simplifica: K = − a + a b + ab + b 3 2 2 3 a b 8 x 3 y + 8 xy 3 + b a a) 0 b) 1 c) x d) y e) xy TEMA Nº 10: RELACIONES bINARIAS
• 105. a) Diagrama de Caminos de A x B b) Diagrama Sagital A x Bc) Diagrama del Árbol de A x B d) Diagrama Cartesiano de A x B B c b a 1 2 AObservación.- Recuerda que A x B ≠ B x A; siempre y cuando A ∧ B sean conjuntos. Si Atiene 2 elementos, B tiene 3 elementos, entonces A x B; tendrá: 2 x 3 = 6 elementos.TABLA DE DOBLE ENTRADA A B a b c 1 (1,a) (1,b) (1,c)  A x B {(1,a) (1,b) (1,c), (2,a) (2,b) (2,c)} 2 (2,a) (2,b) (2,c)Ejercicios:1. Si: A = {1 ; 6} ∧ B = {2 , 4}; halla: A x B, luego B x A, representa gráficamente cada producto en diagramas cartesianos.2. Dado: A = {2; 4; 6}, halla: A x A.3. Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {a ; b ; c}, halla A x B y representa en el diagrama del Árbol.4. Dados: A = {3;4} ; B = {2 ; 4) ∧ C = {5; 6} Halla: a) A x {B∪C} b) (A x B) ∪ (A x C).5. De las afirmaciones siguientes coloca en cada paréntesis una “V” si es verdadero y una “F” si es falsa. a) (32;4) = (9;22) … ( ) f) (52;7) = (25;7) … ( ) b) (1:8) = (12;23) … ( ) g) (6;0) = (25;7) … ( ) c) (3-1;6) = (1/3;6)… ( ) h) (2 ;9) = (43;32) … ( ) 4 d) (50;√9) = (1;3) … ( ) i) (2-3;8) = (1/8;8) … ( ) e) (9;3) = (3;√81) … ( ) j) (13;4) = (4 ; 1) … ( )
• 106. Factorización Segundo Año6. En cada ejercicio halla el valor de “x” y el valor de “y”; para que exista igualdad de pares ordenados. a) (x + 2; 5) = (6; y-3) b) (2x ; 1) = (8; y-5) c) 8-5 ; 2y) = (x + 1; -10) d) x + 1 ; 1 = 2; y–2 3 2 4 e) 6; -3 = (3 ; -3) x y f) 2-x ; -5 = -2 ; 3-y 3 6 37. Halla el conjunto de A x B sabiendo que: A = {xЄN / 3 ≤ x < 6} ∧ B = { xЄZ / -2 < x ≤ 2} y elabora un diagrama cartesiano para representar dicho producto.8. Hallar el conjunto de E x F, sabiendo que: E = { xЄZ / -3 ≤ x < 2} ∧ F = { xЄZ / -2 < x ≤ 3}. Elabora una diagrama cartesiano para representar dicha propiedad.9. Halla el conjunto de A x B, sabiendo que: A = {2x – 1 / -2 ≤ x ≤ 1 ; x Є Z} ∧ B = {3x + 1 / -2 < x ≤ 0 ; x Є Z}. Elabora un diagrama sagital, para representar dicho conjunto.10. Halla el conjunto de A x A sabiendo que: A = {x2 + 2 / -1 ≤ x < 3 : x Є Z} => x : -1, 0 , 1, 2. Elabora un diagrama cartesiano para representar dicho conjunto. ACTIVIDADEjercicio 1: De las afirmaciones siguientes: cuales son verdaderas? Coloca una dentro delparéntesis ¿Cuáles son falsas? Coloca una F dentro de los ( ).a) (x ; y) = (y ; x) ( ) f) (11°, 32) = (1 ; 9) ( ) 3 2b) (x ; y) = (x ; y) ( ) g) (2 ; 7) = (3 ; 7) ( ) 2c) (25 ; 4) = (5 = 4) ( ) h) (x ; y) = (y ; x) ( ) 4 3 3 0 5d) (81 ; 64) = (3 = 4 ) ( ) i) (5 : 4 ) = (3 ; 1) ( ) 4 2e) (2 ; 5) = (4 ; 5) ( ) j) (√81; 2) = (9 ; √4) ( )Ejercicio 2: Si: (4 ; 7) = (a ; b) y (a ; b) = (x ; y); ¿Cuánto vale “y”?Solución:Ejercicio 3: Si: (a + 1 ; 4) = (3 ; t); }¿Cuánto vale t y cuánto vale “a”?Solución:
• 107. Ejercicio 4: Si: (3a ; 5) = (6 ; y) ¿cuanto vale “a”?Solución:Ejercicio 5: Si: x + 3 ; 7 (x ; 7) ¿Cuánto vale “x”? 2Solución:Ejercicio 6: Si: (82 ; 2) = (x6 ; 22) ¿Cuánto vale “x”?Solución:Ejercicio 7: Si x+1;6 = 2 ; y – 1 ; ¿Cuánto vale x+y 4 2 2Solución:Ejercicio 8: Si: (n ; 3) = (x ; y) y (x ; y) = (6 ; 3); escribe dentro de cada paréntesisuna F o una V, según sea Falsa o Verdadera en cada una de las siguientes afirmaciones:a) (6 ; 3) = (y ; x) ( ) d) (3, n) = (x ; y) ( )b) (x ; y) = (n ; 3) ( ) e) (6;y) = (n ; 3) ( )c) (x ; y) = (6 ; 3) ( ) f) (6 ; y) = (3 ; n) ( )Ejercicio 9: Escribe los pares ordenados de cada producto cartesiano y observa si se cumplela propiedad conmutativa gráfica en un diagrama cartesiano:a) A = {5 ; 2} ∧ B = (3 ; 7) Solución: A x B= { B x A = {b) P = {3 ; 5 ; 9} ∧ Q = {6 ; 0 ; 8} => P x Q ∧ Q x Pc) M = {a ; b ; c ; d} ∧ N = {3 ; 6} => M x N ∧ N x MEjercicio 10: Si A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ∧ B = {a ; b ; c}Hallar A x B y grafica el producto-a) En un diagrama de caminos. d) En diagrama cartesiano.b) En un diagrama de árbol. e) Construir una tablac) En un diagrama de Sagital de doble entrada.Ejercicio 11: Si A = {xЄN / 3 < x < 7} ∧ Q = {xЄN / 4 ≤ x ≤ 6}Halla: A x BEjercicio 12: Si: P = {xЄN / 2 ≤ x < 5} ∧ Q = {xЄN / 7 < x < 10}Halla: P x QEjercicio 13: Si: M = {xЄN / 0 ≤ x ≤ 2} ∧ N = {xЄN / 2 < x < 6}
• 108. Factorización Segundo AñoHalla: M x NEjercicio 14: Si: R = {xЄN / 1 < x < 4} ∧ S = {xЄN / 3 ≤ x < 5}Halla: R x SEjercicio 15: Si: P = {1; 2; 3} ∧ Q = {2 ; 6} Halla: (P∪Q) x QEjercicio 16: Si: M = {3 ; 4 ; 6} ∧ N = {3 ; 6 ; 7}Halla: (M∩) x MEjercicio 17: Si: E = {3; 4; 5} ∧ F = {4; 5; 6}.Halla: (E – F) x F.Ejercicio 18: Si: A = {2; 3; 4} ∧ B = {5; 1; 8} ∧ C = {3; 1; 6}Halla: a) (A∪B) x C b) A x (B∪C) c) A x (B – C)Ejercicio 19: Halla los pares ordenados correspondientes a los puntos: P1; P2; P3; P4; P5; P6^P7 que aparecen en los diagramas (1) ∧ (2).Ejercicio 20: Dado el conjunto : A = {1; 2; 3; 4}. Calcula la diagonal del productocartesiano:A x A. Trazar su gráfico.
• 109. NOCIÓN DE CORRESPONDENCIAEste diagrama es el diagrama de flechas del producto A x B. Observa que se ha unido con flechas cada elemento de “A” con todos los elementos de “B”. Estos son los pares de elementos que forman el producto A y B.A x B = {(a; ), (a, ), (a, ), (e, ), (e, ), (e, ), (i, ), (i, ), (i, )}Ahora unimos los elementos de A con algunos de B. Al conjunto “A” se le llama conjunto de Partida y al conjunto B se le llama conjunto de llegada. Los pares de elementos correspondientes que se ha formado en éstos dos últimos conjuntos, son:S = {(a ; ), (e ; ), (i ; ), (i ; )}Observa que: SC A x B (El grupo “S” es un subconjunto del producto A x B) S es una correspondencia de A hacia BUna correspondencia de A hacia B es un subconjunto del producto cartesiano A x B.CORRESPONDENCIA UNÍVOCA.- Una correspondencia es unívoca cuando de cada elementodel conjunto de partida sale una sola flecha al conjunto de llegada.Ejemplo:CÓMO CONSTRUIR UNA CORRESPONDENCIA ENTRE DOS CONJUNTOS:Para construir una correspondencia, basta dar el conjunto de Partida A, el conjunto de llegadaB, y el grafo o subconjunto del conjunto producto A x B. Estos son los tres elementosesenciales de una correspondencia.Ejemplos: Sean: A = {a; e; i; o; u} ∧ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}La correspondencia de A hacia B, es: S = {(e;2), (e;3), (0;1), (0;3), (u;6)} grafo
• 110. Relaciones Binarias Segundo AñoLa correspondencia así definida puede también expresarse por cualquiera de los tresdiagramas siguientes: DIAGRAMA TABULAR (TABLA DE DOBLE ENTRADA) B 1 2 3 4 5 6 A a e (e,2) (e,3) i o (0,1) (o,3) u (u,6) DIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANO B 6 5 4 3 2 1 a e i o u AOBSERVACIÓN: No confundas Grafo con gráfico de una correspondencia, el grafo es elconjunto de pares que define una correspondencia, gráfico es cualquiera de los diagramas quela representan.- Del diagrama satelital, podemos decir que: 2 es la IMAGEN de e en 3 3 es la IMAGEN de e ∧ de o 1 es la IMAGEN de 0 y 6 es la IMAGEN de u, mediante la correspondencia de “F”. A su vez: “e” es el origen ó pre-imagen de 2 y de 3; “o” es el origen ó pre-imagen de 1 y de 3; “u” es el origen ó pre-imagen de 6. Esto se expresa de cualquiera de estas dos maneras siguientes: e  2 ; f(e) = 2 e  3 ; f(e) = 3 e  1 ; f(o) = 1 e  3 ; f(0) = 3 u  6 ; f(u) = 6- Observamos que en esta correspondencia solamente los elementos “e”, “o” y “u” del conjunto “A” tienen imágenes en B. Su conjunto se llama DOMINIO de la correspondencia f. Se escribe así:Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez111
• 111. dom.f = {e; o; u} DOMINIO de una correspondencia f entre A y B es el conjunto de los orígenes o pre- imágenes de los pares de f. También observamos que solamente los elementos 1, 2, 3 y 6 del conjunto B son imágenes de otros elementos del conjunto A. Su conjunto se llama RANGO de la correspondencia f. Se escribe así: Ran.f = {1; 2; 3; 6} RANGO de una correspondencia f entre A, B es el conjunto de imágenes de los pares de f. CORRESPONDENCIA INVERSA Sean los conjuntos : P ∧ Q P={ ; ; ; ; ; } ∧ Q = {círculo, cuadrado, triángulo} Se ha establecido la correspondencia: P . f . Q En este diagrama, P es el conjunto de Partida y Q es el conjunto de llegada. Consideramos ahora al conjunto Q como conjunto de partida y P como conjunto de llegada, siendo el diagrama el siguiente: f-1 * f – 1 Es la inversa de la correspondencia f. * El conjunto de partida de una correspondencia es el conjunto de llegada de la correspondencia inversa.• El conjunto de llegada de una correspondencia es el conjunto de partida de la corresponsal inversa.CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCAEntre los conjuntos M ∧ N se ha establecido la siguiente correspondencia.Como se observará la correspondencia es unívoca porque de cada elemento del conjunto departida sale una sola flecha.Ahora, hallamos la correspondencia inversa veamos: -1
• 112. Relaciones Binarias Segundo AñoTambién la correspondencia es unívoca porque de cada elemento del conjunto de partida saleuna sola flecha. Luego: f ∧ f-1 son unívocasCuando una correspondencia es unívoca y su inversa también lo es, esa correspondencia sellama BIUNÍVOCA.APLICACIÓN.- Consideremos los conjuntos:A = {María, Manuel, Carmen, Fidel} ∧B = {Blusa, camisa, corbata} - como se observará la correspondencia es unívoca. - del conjunto de partida A, salen flechas de todos sus elementos.Para que una correspondencia sea APLICACIÓN es necesario que sea UNÍVOCA, que salganflechas de todos los elementos del conjunto de partida.Ejemplo 1: Esta correspondencia si es aplicación porque de todos los elementos del conjunto de partida salen flechas.Ejemplo 2: Esta correspondencia no es aplicación, porque del elemento “o” no sale ninguna flecha.Ejemplo 3: Esta correspondencia no es aplicación porque de los elementos a ∧ i salen de cada una 2 flechas.Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez113
• 113. Ejemplo 4: Esta correspondencia si es aplicación porque de todos los elementos del conjunto de partida salen flechas.CÓMO DISTINGUIR LAS APLICACIONES: Para saber si una correspondencia es unaaplicación, basta observar el conjunto de partida. Lo más sencillo es trazar el diagrama sagital,y ver si de cada elemento de A (conjunto de partida) sale una, solo una flecha. No es aplicación No es aplicación Si es aplicaciónRELACIONES BINARIASEjemplo: Si: A = {3; 4} ∧ B = {1; 2; 5; 6}Halla R (relación binaria) de A en B para la condición o relación “es menor que”.Solución:1° Hallamos A x B A x B = {(3;1), (3;2), (3;5), (3;6), (4;1), (4;2), (4;5), (4;6)}2° R = {(3,5), (3,6), (4,5), (4,6)} observamos que R es un subconjunto de A x B.Definición: Dados dos conjuntos A ∧ B llamamos Relación Binaria entre los elementos deambos conjuntos, a un subconjunto R del producto cartesiano A x B.Simbólicamente: R = {)a,b) ∉ A x B / a ∈ A ∧ b ∈ B; según a R b}Dominio y Rango de una Relación Binaria.Dominio de una relación R. Es el conjunto formado por todos los primeros elementos ocomponentes de los pares ordenados que pertenecen a R se denota por D(R)Rango de una relación R. Es el conjunto formado por todos los segundos elementos ocomponentes de los pares ordenados que pertenecen a R se denota por R(R) .Así en el ejemplo anterior en la relación buscaría R. R = {(3;5), (3;6), (4;5), (4;6)} El dominio de R, es D(R) = {3,4} El rango de R, es R(R) = {5,6}
• 114. Relaciones Binarias Segundo AñoImagen de una relación R.- Cada uno de los elementos del rango de R, que satisfacen acada elemento del dominio, se llama imagen así en el ejemplo podemos afirmar que 5 esimagen de 3 ∧ 4 ; y 6 es imagen de 3 ∧ de 4.También se puede decir:3 es pre-imagen de 5 y de 64 es pre-imagen de 5 y de 6Representación Gráfica de una relación binaria.Puede hacerse de las siguientes formas:a) El diagrama sagital b) El diagrama cartesianoEjemplo: sean : A = {3; 5; 7} ∧ B = {2; 4; 6; 8}; halla, grafica la relación R, definida por lacondición: “a>b”Solución: 1) A x B = {(3,2), (3,4), (3,5), (3,8), (5,2), (5,4), (5,6), (5,8), (7,2), (7,6), (7.8)} 2) R = {(3,2), (5,2), (5,4), (7,2), (7,4), (7,6)} A) DIAGRAMA SAGITAL B) DIAGRAMA CARTESIANO D(R) = {3, 5, 7} D(R) = {3, 5, 7} R(R) = {2, 4, 6} R(R) = {2, 4, 6} Relación de A en A.- Entre los elementos de un mismo conjunto se puede establecer también una relación binaria R, llamada relación R de A en A, o simplemente R en A. Ejemplo: Sea: A = {1; 3; 5}; halla R de A en A; para “a = b” Solución: 1° A x A = {(1,1) (1,3) (1,5) (3,1) (3,3) (3,5) (5,1) (5,3) (5,5)} 2° R = {(1,1), (3,3), (5,5)}; aquí también: RC A x A A) DIAGRAMA SAGITAL B) DIAGRAMA CARTESIANOProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez115
• 115. D(R) = {1, 3, 5} D(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5}Relación Simétrica.Una relación R de A en A, se llama simétrica:Si: (a; b) ∈ R  (b; a) ∈ REjemplo: Del conjunto A = {1; 2; 3; 5}Se ha establecido una relación cuyos pares son: R = {(1;5) ; (2;3) ; (5;1) ; (3;2)}Esta relación es simétrica porque:(1 ; 5) ∈ R ∧ (5 ; 1) ∈ R(2 ; 3) ∈ R ∧ (3 ; 2) ∈ RDIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANOUna relación definida en un conjunto tiene la propiedad simétrica cuando en su diagramade flechas (sagital) no hay ningún par de elementos que esté unido por una sola flecha.Relación Reflexiva:Una relación R de A en A es reflexiva cuando:∀a∈A  (a ; a) ∈A (∀ se lee: para todo)Ejem.: Sea: A = {1 ; 5; 6} y la relación en A:R = {(1 ;1), (5;1), (5;5), (5;6), (6,6)}Es reflexiva pues: 1∈A ∧ (1 ; 1) ∈ R 5∈A ∧ (5 ; 5) ∈ R 6∈A ∧ (6 ; 6) ∈ RDIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANO
• 116. Relaciones Binarias Segundo Año Una relación en un conjunto tiene la propiedad reflexiva cuando en su diagrama de flechas todos los elementos tienen un lazo. ( ) RELACIÓN TRANSITIVA Una relación R de A en A es transitiva: Si (a ; b) ∈R ∧ (b ; c) ∈R => (a, c) ∈R Ejemplo: Dado la relación: R = {(1 ; 2), (3 ; 1), (3 ; 2), (4 ; 1), (4 ; 2)} Es transitiva, pues: i) (3 ; 1) ∈R ∧ (1 ; 2) ∈R  (3 , 2) ∈R ii) (4 ; 1) ∈R ∧ (1 ; 2) ∈R  (4 , 2) ∈R DIAGRAMA SAGITAL Una relación tiene la propiedad transitiva cuando se cumple que si un elemento está relacionado con un segundo, éste está relacionado con un tercero, el primero está relacionado con el tercero. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Una relación de R de A en A es de equivalencias, si cumple las tres condiciones siguientes: 1) ∀ a∈A  (a , a) ∈A (Relación reflexiva) 2) Si: (a ; b) ∈A  (b ; a) ∈R (Relación simétrica) 3) Si: (a ; b) ∈A  (b ; c) ∈R  (a ,c ) ∈R (Relación transitiva). Ejemplo: Dado: A = {1; 2; 3} y la Relación: R: A  A: R = {(1;1), (2;2), (1;2), (2;1), (3;3)} ¿es relación de equivalencia? Solución: 1) 1∈A ∧ (1;1) ∈R 2∈A ∧ (2;2) ∈R “R” es reflexiva 3∈A ∧ (3;3) ∈R 2) (1;2) ∈R ∧ (2;1) ∈R (1;1) ∈R ∧ (1;1) ∈R 3) (1;1) ∈R ∧ (1;2) ∈R (1;2) ∈R (2;2) ∈R ∧ (2;1) ∈R (2;1) ∈R “R” es transitivaProf.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez117
• 117. (1;2) ∈R ∧ (2;1) ∈R (1;1) ∈R Luego “R” es una relación de equivalencia. Ejemplo: Dados: A = {1; 3; 5; 7; 9} ∧ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Halla la relación de A en B, definida por la condición: a) Primera componente es igual a la segunda componente. b) Primera componente es menor que la segunda componente. c) Segunda componente es el doble de la primera componente. Solución: A x B = {… Luego: a) R1 = {(1,1), (3,3), (5,5)} Representación Sagital D(R) = {1, 3, 5} R(R) = {1, 3, 5} b) R2 = {(x,y) ∈A x B / x < y} R2 = {(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (3,4) (3,5) (3,6) (5,6)} Representación Sagital c) R3 = {(x,y) ∈A x B / x = 2y} R3 = {(1; 2), (3;6)} PRÁCTICA DE CLASE1. Dado los conjuntos: E = {3; 5; 8} ∧ Representa R3 como un conjunto de F = {2; 3; 4}; definimos la relación R1 pares ordenados. Halla su dominio, de la siguiente manera: rango. R1 = {(x;y) ∈E x F / x > y} 4. Dado el conjunto:2. Representa la relación siguiente como A = {x2-1/-2≤x<3; x∈Z} un conjunto de pares ordenados. definimos R4: R4={(x,y)∈AxN/y=x2+3} Si: P = {2x/4 ≤ x < 9 ; x∈N} ∧ Representa R4 como un conjunto de Q = {2x – 1 / 1 ≤ x ≤ 4 ; x∈N} pares ordenados. Halla su dominio y Entonces: R2 = {(x;y) ∈ P x Q/y = x/2} rango. Halla el dominio y su rango. 5. Siendo: E = {2-x2/-3<x≤3;x∈Z} ;3. Dados: A = {2-x/-1 ≤ x < 2 ; x∈Z} ∧ Definimos R5 como: B = {2x + 1 /-3 < x ≤ 1 ; x∈Z} R5 = {(x,y) ∈ ExZ/y = 2x – 3} Representa R5 como un conjunto de Define la relación R3; como: pares ordenados. Halla su dominio y R3 = {(x;y) ∈ AxB / y = 2x – 5} rango.
• 119. Entonces: Definiciones R5: R5 = {(x ; y) ∈ E x Z/y = 3x - 1} R2 = {(x , y) ∈ S x T/y = x + 1} Representa R5 como un conjunto de * Halla su dominio y su rango. pares ordenados. Halla su dominio y su rango. * Representa gráficamente. * Halla su dominio y su rango.7. Dados: A = {3 – x / -1 ≤ x < 3 ; x ∈ Z} * Representa gráficamente. y B = {2x + 3 / -2 < x ≤ 3 ; x ∈ Z} Definimos la relación R3 como: 10. Dado: A = {3; 4; 5; 6} ∧ R3 = {(x ; y) ∈ A x B/y = 3x + 2} ; B = {4; 6; 8} y la relación: representa R3 como un conjunto de R = {(x ; y) ∈ A x B / x + y ≥ 11} pares. ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la * Halla su dominio y su rango. relación R? * Representa gráficamente. 11. Dado los conjuntos:8. Dados: G = {x2 – 3/-3 ≤ x < 2 ; x ∈ Z} E = {1; 2; 3; 4} ∧ F = {1; 4; 6; 9} y la Definiciones R4: relación R = {(x ; y) ∈ E x F / y = x2} R4 = {(x ; y) ∈ G x N/y = x2 + 2} ¿Cuántos pares ordenados satisfacen la Representa R4 como un conjunto de relación R? pares ordenados. Halla su dominio y su rango. 12. La relación: R = {(2; 4), (4; 2), (2; 6)}; definida en9. Siendo: el conjunto: A = {2; 4; 6}. ¿Será E = {3 – x2 / -2 < x ≤ 4 ; x ∈ Z} simétrica?
• 126. Teoría de Ecuaciones Segundo AñoResuelve las siguientes ecuaciones: x 2x − 11) 2x + 5 = 9 6) 2 x − 4 = − 6 9 42) 7(x + 3) = 35 7) =1 x 13) 3 + x – (5 – 2x) – 1 = 3 8) =2 x 3(5 x + 2) 14) =x 9) =1 17 2y x+2 7 25) − 4 = −1 10) + 1 = 10 − 3 x x11) Halla dos números cuya suma es 60 y su 17) Si al cuadrado de un número natural se cociente 4. le resta su menor se obtiene el cuadrado12) Halla dos números cuya suma es 14, y el de su antecesor. Halla dicho número. cociente del mayor por el menor es 4/3. 18) La suma de tres números pares13) La suma de dos números es 22. Si el consecutivos es igual a 300. ¿Cuáles son mayor se divide por el menor, el cociente dichos números? es 3 y el residuo 2. Halla los números. 19) Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/.20 más14) La diferencia de dos números es 6 y el quedándome con la quinta parte de lo cociente del mayor por el menor es 4/3. que tenía y S/. 16 más ¿Cuánto tenía? Halla los números. 20) El numerador de una fracción excede en15) La diferencia de dos números es 32 si al 5 unidades al triple del denominador. mayor se divide por el menor, el cociente Cuando simplificamos la fracción nos es 5 y el residuo 4. Halla los números. queda 17/4.16) La cifra de las decenas de un número de dos cifras excede en 1 a la cifra de las unidades. Si el número se divide entre la cifra de las decenas, el cociente es 10 y el residuo 5. Halla el número.
• 128. Teoría de Ecuaciones Segundo Año ACTIVIDADResuelve las siguientes ecuaciones: 6) 2x2 – 8 = 01) x2 – 36 = 0 7) 5x2 – 2 = 232) 3x2 = 48 8) 4y2 – 16 = 3y2 + 203) x2 + 7 = 3 9) (x+2)(x-2) = -54) 75x – 5 = 0 2 2 x 2 − 6 x 2 − 4 5 x 2 − 10 10) − − =0 y+2 y−2 2 4 75) + =5 y−2 y+2CASO 2: Si: C=0 La ecuación es de la forma : ax2 + bx = 0Ejemplo:Resuelve: 2x2 – 6x = 0Solución: ComprobaciónSacando el factor común “x”, tenemos: Para: x1 = 0 x(3x-6) = 0 2(0)2 – 6(0) = 0Igualando cada factor a cero: 0 = 0 se cumple i) x1 = 0 Para: x2 = 2 ii) 3x – 6 = 0 2(2)2 – 6(2) = 0 3x = 6 8–8 = 0 se cumple x2 = 2 C.S.= 0;2 ACTIVIDADResuelve las ecuaciones siguientes:1) x2 – 3x = 0 7) 5x2 = 30x2) 3x2 – 9x = 0 8) 7x = -14x23) 6x2 – 2x = 0 9) (x+2)2 – (x-1)2 = x2 +34) (2x – 5)2 – 25 = 0 y+2 y+6 10) = x2 x−6 3 2 y −1 y − 35) − = 2 10 56) x2 + 5x = 0CASO 3: Ecuación Completa: ax2 + bx + c = 0Las ecuaciones completas de segundo grado se resuelven por factorización y aplicando lafórmula general.A) Resolución de una ecuación de segundo grado por factorización Dada una ecuación de segundo grado, es posible que podamos factorizar su primer miembro. Si fuera así, aplicando entonces la propiedad de que, si el producto de dos factores es cero, cada factor es cero, podemos hallar muy fácilmente sus raíces. Ejemplo 1: Resuelve:
• 129. x2 – 5x + 6 = 0 Solución: Comprobación: Factorizando el primer miembro: Para: x1 = 2 (x-2)(x-3) = 0 x2 – 5x + 6 = 0 Igualando cada factor con cero: (2)2 – 5(2) + 6 = 0 x -2 = 0  x1 = 2 4 - 10 + 6 = 0 x – 3 = 0  x2 = 3 0=0 C.S. = 2;3 Para: x2 = 3 (3)2 – 5(3) + 6 = 0 9 - 15 + 6 = 0 0=0 ACTIVIDADResuelve por factorización las siguientes ecuaciones:1) x2 – 3x + 2 = 0 6) x2 – 6x – 16 = 02) 2x2 – 3x – 2 = 0 7) 3x2 – 21x + 36 = 03) 9x2 = 12x – 4 8) x2 + x – 6 = 04) x2 + 5x – 14 =0 9) 5x2 – 3x – 2 = 05) 4x2 + 4x = -1 10) 6x2 – 11x + 3 = 0• Deducción de la fórmula general, consideremos la educación general de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 1. Transpongamos el término independiente “c” al segundo miembro: ax2 + bx = -c 2. Multipliquemos por 4a los dos miembros de esta ecuación: 4a2x2 + 4abx = -4ac 3. Sumamos b2 a los dos miembros de esta ecuación, y se tendrá: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac 4. Se ha formado así en el primer miembro el cuadrado del binomio 2ax + b, luego la ecuación anterior se puede escribir así: (2ax + b)2 = b2 – 4ac 5. Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros, se tiene: 2ax + b = ± b 2 − 4ac 6. Transponiendo “b”: 2ax = - b ± b 2 − 4ac 7. Despejando “x” resulta finalmente: − b ± b 2 − 4ac x= 2a
• 130. Teoría de Ecuaciones Segundo Año Que es la fórmula general de las ecuaciones de 2º grado, obteniéndose las dos raíces al considerar el doble signo ± de la raíz cuadrada, es decir: − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac x1 = ; x2 = 2a 2a Teniendo en cuenta: a  coeficiente del término cuadrático. b  coeficiente del término lineal c  término independiente.B) Resolución de una ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general. Ejemplo: Resuelve: 3x2 – 5x + 2 = 0 Solución: Valores: Fórmula General a=3 − b ± b 2 − 4ac b = -5 x= 2a c=2 Reemplazando: − (−5) ± (−5) 2 − 4(3)(2) 5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1 x= = = = 2(3) 6 6 6 Las raíces son: Comprobación: 5 +1 6 2 x1 = = =1 Para x1 = 1 Para x2 = 6 6 3 2 2 2 3(1)2-5(1)+2 = 0 3  − 5  + 2 = 0 5 −1 4 2 3 3 x2 = = = 6 6 3 4 10 3 - 5 +2=0 − +2 =0 3 3 5–5 =0 -2+2=0 ACTIVIDADResuelve las siguientes ecuaciones, aplicando la fórmula general:1) x2 + 4x + 3 = 0 2) x2 + 3x – 10 = 02) x2 – x – 20 = 0 3) x2 – 7x + 11 = 03) 3x2 + 5x + 1 = 0 4) 11x2 + 7x + 1 = 04) 5x2 – 7x – 1 = 0 5) 3x2 + 50 = 25x 2x +1 1 6) 2 − = 3 2x −1
• 131. x −3 x −2 15) − = 2 3x x3. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. SUMA DE LAS RAÍCES Las dos raíces de la ecuación general: ax2 + bx + c = 0, son: − b ± b 2 − 4ac 1) x1 = 2a − b − b 2 − 4ac 2) x 2 = 2a Sumando miembro a miembro estas dos igualdades resulta: 2b x1 + x 2 = − 2a b x1 + x 2 = − a Lo que nos dice que: La suma de las raíces de una ecuación completa de segundo grado es igual al coeficiente del término de primer grado, con el signo cambiado, dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplos: a. Halla la suma de las raíces de la ecuación: 2x2 – 6x – 3 = 0 Solución: b 6 Tenemos: x1 + x2 = − = =3 a 2 b. Halla la suma de las raíces de la ecuación: 3x2 + 5x – 1 = 0 Solución: b −5 Tenemos: x1 + x2 = − = a 3 PRODUCTO DE LAS RAÍCES Multiplicando miembro a miembro en igualdades (1) y (2), se tiene: x1 ⋅ x 2 = (− b + )( b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac ) 4a 2 El numerador del segundo miembro es el producto notable: suma por diferencia, luego es igual a la diferencia de cuadrados, y por lo tanto:
• 132. Teoría de Ecuaciones Segundo Año ( − b) 2 − ( ) 2 b 2 − 4ac b 2 − b 2 + 4ac 4ac c x1 ⋅ x 2 = = = 2 = 4a 2 4a 2 4a a c x1 ⋅ x 2 = a Lo que nos dice que: El producto de las raíces de una ecuación completa de segundo grado es igual al término independiente dividido por el coeficiente del primer término. Ejemplos: 1. Halla el producto de las raíces de la ecuación: 5x2 – 3x + 10 = 0 Solución. c 10 Tenemos: x1 ⋅ x 2 = = =2 a 5 2. Halla el producto de las raíces de la ecuación: 3x2 – 4x – 7 = 0 Solución: c −7 Tenemos: x1 ⋅ x 2 = = a 3 En particular si el coeficiente del primer término es igual a la unidad (a = 1), entonces, la ecuación general toma la forma: x2 + bx + c = 0 Y se tiene: x1 + x2 = -b ∧ x1 . x2 = c Es decir: 1º La suma de las raíces es igual al coeficiente del segundo término con el signo cambiado. 2º El producto de las raíces es igual al término independiente. Ejemplos: 1. Halla la suma y el producto de las raíces de la siguiente ecuación: x2 + 8x + 15 = 0 Solución: Tenemos: a) x1 + x2 = -8 b) x1 . x2 = 15 ACTIVIDADHalla la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:1. 5x2 – 3x + 7 = 0 4. 6y2 + 4y + 3 = 02. 2x2 – 3x + 5 = 0 2 2 1 5. x − x +1 = 03. y2 + 3y – 10 = 0 3 36. x2 + 7x + 12 = 0 9. x2 – x – 20 = 07. x2 – 5x + 1 = 0 10. -2x2 + 3x + 2 = 0
• 133. 8. my2 – my – 7 = 04. APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Formación de una ecuación de segundo grado conocidas las raíces: acabamos de ver que si a=1, la ecuación general se expresa: x2 + bx + c = 0 y que si: x1 ∧ x2 son las raíces de la ecuación, se tiene: x1 + x2 = - b x1 . x2 = c Estas relaciones que dan la suma y el producto de las raíces, permiten forman una ecuación que tengan raíces conocidas. En efecto, basta tomar una ecuación cuyo término sea “x2”, y en la que el coeficiente de “x” sea la suma de las raíces dadas, con signo cambiado, y el término independiente sea el producto de las mismas. Ejemplos: 1. Forma la ecuación cuyos términos sean: x1 = 2 ∧ x2 = 4 Solución: Tenemos: a) x1 + x2 = 2 + 4 = 6 b) x1 . x2 = 2 . 4 = 8 2 Ecuación: x – 6x + 8 = 0 1 1 2. Forma la ecuación cuyas raíces sean: x1 = ∧ x2 = - 2 3 Solución: 1 1 3− 2 1 Tenemos: a) x1 + x2 = − = = 2 3 6 6 1 −1 −1 b) x1 . x2 = . = 2 3 6 1 1 Ecuación: x2 - x- = 0 ⇒ 6x2 – x – 1 = 0 6 6 ACTIVIDADForma las ecuaciones cuyas raíces: x1 ∧ x2 sean, respectivamente:1) 7 y 4 2) -3 y -5 3) 5 y -2 4) -8 y 1 1 2 2 2 25) y6 6) -1 y 7) 4 y − 8) y 2 3 5 5 3 5 −3 2 39) y 10) − y − 11) 2m y -7m 12) 2+ 3 y 2− 3 6 4 3 5 PRÁCTICA DE CLASEResuelve las siguientes ecuaciones: 3 2 15. Los de un número es igual al cociente1. x – 25 = 0 42. 3(x2 – 25) = 0 de 48 por el número. Halla el número.
• 135. 15. Si al cuadrado de un número se agrega su duplo, se obtiene 80. Halla el número.16. La suma de dos números es 25 y su producto 126. Halla los números.17. Halla un número cuyo cuadrado disminuido en 9 es igual a 160. 2 218. Halla un número natural cuyos multiplicado por sus da 540. 5 319. El área de un círculo es igual a 78,50m2. Calcula su radio.20. El área de un rectángulo es igual a 128cm2. Calcule sus dimensiones sabiendo que la base es el duplo de su altura. SISTEMA DE ECUACIONESI. Sistema de ecuaciones.- Vamos a estudiar sistema de ecuaciones con dos incógnitas, normalmente "x" e "y" de primer grado es decir que el mayor exponente de las incógnitas sea uno. a x + by = e  (I) Forma canónica :  c x + dy = f  (II) donde "x" e "y"; son las incógnitas 2 x + 5 y = 7  (I) 4 x - 7y = 1  ; Ejm: 4 x + 3y = 15  (II) 3x + 4y = 10II. Solución de un sistema.- La solución de un sistema es el conjunto de valores de la variable que transforman las ecuaciones en igualdades. Resolver un sistema es encontrar su solución: S is t e m a S o lu c ió n I g u a ld a d e s 3x - 5y = 1 3 (2 ) - 5 (1 ) = 1 x = 2; y = 1 4x + 3y = 11 4 (2 ) + 3 (1 ) = 1 1 2x - 3y = 12 x = 3; y = 2 4x - y = 7III. Principios de equivalencia.-• Primer principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta el mismo número o expresión algebraica, se obtiene otra ecuación equivalente.• Segundo principio: Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un mismo número o expresión algebraica se obtiene otra ecuación equivalente.Nota: De estos dos principios se deducen las reglas de transposición que se usan paratransformar en sistema en su forma "canónica"Ejm: Expresar en su forma canónica el siguiente sistema:
• 136. Teoría de Ecuaciones Segundo Año x + 4 - y = 2 3 x + 4 - 3y = 6 x - 3y = 2 x - 1 x - 1 + 6y = 10 x + 6y = 11 + 3y = 5 2 " F o r m a c a n ó n ic a "IV. Métodos de resolución1. Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones, para luego igualar sus equivalencias. Ejm: Resolver: x + 2 y = 7... (I)  x − y = 4... (II) Resolución: Despejando la incógnita "x" de las dos ecuaciones de (I): x + 2y = 7 x = 7 - 2y de (II): x - y = 4 x=4+y Igualando las equivalencias de "x" de las ecuaciones (I) y (II). • 7 - 2y = 4 + y 7 - 4 = y + 2y • 3 = 3y • 1=y El valor de "y" se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones. El valor de "y" reemplazamos en la ecuación (II). • x =4 + y x = 4 + (1) Ahora el conjunto solución del sistema será los valores de "x" e "y". ∴ CS = { x; y} = CS = {5; 1} PRACTICA DE CLASE1. Resolver: 2 x + y = 8 x + y = 7   3x - y = 7 x - y = 13 5. Resolver: 2x + y = 192. Resolver:  3x - y = -4  x + 3y = 8  x - y = 4 6. Resolver: 7x + y = 173. Resolver:  5x - y = 19 x + 6 y = 27  x - y = - 1 7. Resolver:4. Resolver:
• 137.  x + 6y = 27  14. Resolver por igualación:  x - 3y = 9 3 - x + 2 y = 4 x - 3 8. Resolver: 2 x + y = 8  x - 2y = -2  15. Resolver:  x + 8y = -62 9 x + 16 y = 7 9. Resolver: 4 y - 3 x = 0 3x + y = 7  16. Resolver: 2x - y = -2 14 x - 11y = - 29 10. Resolver: 13y - 8 x = 30  x - 4y = − 11  17. Resolver:  x + 8y = 13 15 x - 11y = - 87  - 12 x - 5 y = - 2711. Resolver por igualación: 18. Resolver: 3m - 7n = 5  7 x + 9 y = 42 2m - n = 3  12 x + 10 y = - 4 19. Resolver:12. Resolver por igualación: 6 x - 18 y = - 85 2a - b = 3   24 x - 5 y = - 5 a + 3b = - 4 20. Resolver:13. Resolver por igualación: 3x + 7 y = 15 2a + 3b = 8   3a + b = 5 2x - 5 y = - 19 TAREA DOMICILIARIA1. Resolver: 3x + y = 11 x + y = 17   5x - y = 13 x - y = 5 5. Resolver:2. Resolver: 2x + 8 = y + 2 x + 2 y = 8   y + 4 = x + 2 x - y = 5 6. Resolver:3. Resolver: 2 x - 3y = - 11  x - 3y = 2   3x + y = 11 x + y = 6 7. Resolver:4. Resolver por igualación: 5x + 2y = 24  3x - y = 10
• 138. Teoría de Ecuaciones Segundo Año8. Resolver: 15. Resolver: x - 2 y = 5 5 x + 6 y = 20   2 x + 4 y = 18 4 x - 3y = - 239. Resolver: 16. Resolver: x + y = 6 4 x + 5 y = - 32   5x - 4 y = 12 3x - 5 y = 1110. Resolver: 17. Resolver: x - 2 y = 10 5x + 7 y = - 1   2x + 3y = - 8 - 3x + 4 y = - 2411. Resolver: 18. Resolver: x + 3 y = 6 4 y + 3x = 8   5 x - 2 y = 13 8 x - 9 y = - 7712. Resolver por igualación: 19. Resolver por igualación: 2 x + y = 5   2y - 6 x - 3y = 6  = x  5 y - x = 913. Resolver por igualación:  3x - y = 7  20. Resolver por igualación: 2x + 3y = 12 x + y - 2 114. Resolver:  x - y =- x - 5y = 8  3   - 7 x + 8 y = 25  3x + y - 3 = - 1  2y - x  112. Resolución por el método de sustitución.Consiste en despejar una incógnita de las dos ecuaciones para luego reemplazarla en la ecuaciónque no se despejo dicha incógnita.Ejm. Resolver el sistema: x + 2 y = 7... (I)  x - y = 4... (II)Despejamos la incógnita "x" de la ecuación (I)de (I): x = 7 - 2yAhora la incógnita "x" despejado de la ecuación (I) lo reemplazamos en la ecuación (II)es decir: x - y = 4 7 - 2y - y = 4Desarrollando:7 - 3y = 4 7 - 4 = 3y 3 = 3y 1=yFinalmente sustituimos el valor de "y" en la ecuación (I):x = 7 - 2y x = 7 - 2(1)
• 139. • x=5Luego la solución del sistema es: x = 5; y = 1 PRACTICA DE CLASEResuelva usando el método de sustitución los  x + 2y = 10siguientes sistemas:  x 2 - y = 3  x + y = 14 1. x - y = 6 11.Resolver: 2x + y = 4 7 x - 2y = - 34   3x - y = 11 5x + 3y = - 112.  2x + y = 4 12.Resolver:  10 x + 18 y = - 113. x + y = - 2  16x - 9 y = - 54. Exprese en forma canónica el siguiente 13.Resolver: sistema y resuelve: 4 x + 5 y = 5  3x + 2( y - 3) = 2 y - 10y - 4 x = - 7  2 x - ( y + 2x) = 4 14.Resolver: 32 x - 25 y = 13 5. Exprese en forma canónica el siguiente 16x + 15 y = 1 sistema y halle el valor de las incógnitas. 5 (a + b) + b = 22 + a  5 (a + 4) + b = 15 15.Resolver: - 13y + 11x = - 1636. Resolver por sustitución:  3m = 2n - 8x + 7 y = 94  2m = n + 2 16.Resolver por sustitución:7. Resolver por sustitución: 3 (a - 2b) = 15  a = b - 5 2 (2a - 5b) = 14  2a + b = 8 17.Resolver por sustitución:8. Resolver: 5 x + 2 y = 6 30 - (8 - m) = 2n + 30   7 x + 2 y = 10 5m - 29 = m - (5 - 4n)9. Resolver: 18.Resolver: 6 x + 4 y = 14  3x - (4y + 6) = 2y - (x + 18) 6 x - 3y = - 21  2 x - 3 = x - y + 410.Resolver: 19.Resolver por sustitución:
• 140. Teoría de Ecuaciones Segundo Año x - 2 2y + 1 8x - 5 = 7y - 8  3 +  4 =5   6x = 3y + 9  2x - 1 = y + 5  4  320.Resolver: TAREA DOMICILIARIA1. Resolver: 2x + y = 1 3 (m + 2) = 2n   3x - y = 14 2 (n + 5) = 7m2. Resolver: 11.Resolver por sustitución: 4x + 5 y = 7  x - 1 = 2 (y + 6)  x + 3y = 7  x + 6 = 3 (1 - 2y)3. Resolver el sistema: 12.Llevar a su forma canónica y resolver: 5x + y = 14  3x - 4y = 36 2x + (x - 3y) = 5(x + y) + 2 − 3x  3x - (2y - x) = 35 + 3y4. Resolver el sistema: 7x + y = 1  5x - 2y = 17 13.Resolver:5. Resolver: 4( x + 3) + 2y = 11 7x - 3y -15 = 0   3( x + 2) - 3y = 13 4x + 9y + 24 = 0 14.Resolver por sustitución:6. Resolver: 2x - 3y = - 14 3a - (9a + b) = 5b - (2a + 9b)   3x + 3y = 39 4a - (3b + 7) = 5b - 477. Resolver: 15.Resolver por sustitución: 3x + 8y - 18 = 7   x + 5y + 7 = 13 (x - y) - (6x + 8y) = - (10x + 5y + 3) + y - 1  (x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x8. Resolver: 3x + 5 = -y 16.Resolver:   y - 13 = 6x  2x 5y  3 + 2 =3 9. Resolver por sustitución:   x + 2y = 4 2  3 x - 1 = y + 1   x - 3 = 3y - 7 17.Resolver:10.Resolver por sustitución:
• 141.  2(x + y ) - 4 = 10 - x  x - 1 2y - 3 x y 3x 2y 17  - = + + =  3 4 2 6 10 5 5 2 x - y = 4 - (3x - 2y) 18.Resolver: x - 1 3y + 2  2 +  5 = 4 20.Llevar a su forma canónica y resolver:   3x + 2 = 2 y + 3x x - 1 y -1  3  3  2 + 3 =4    2x + 1 - 3y + 2 = x + 519.Resolver:  3  2 3 63. Resolución por el método de reducciónConsiste en eliminar una incógnita combinando las dos ecuaciones, tratando que los coeficientesde la incógnita a eliminar tengan el mismo valor absoluto y el signo contrario.Ejm: Resolver el sistema x + 2y = 7... (I)  x - y = 4... (II)Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por 2, obtenemos el sistema. x + 2 y = 7  2 x - 2 y = 8Ahora sumamos miembro a miembro las ecuaciones de este sistema y obtenemos. 3x = 15 de donde x = 5Finalmente sustituimos el valor hallado de "x" en la primera ecuación y hallamos y = 1luego la solución del sistema es: x=5;y=1 ∴ CS = {5; 1} PRACTICA DE CLASEResolver los siguientes sistemas por el método de 3x - 7y = 3 reducción.  2x + y = 21. Resolver: 4. Resolver: x - y = 4  2x + 2y = 5  x + y = 12  -2x + y = 4 5. Resolver por reducción:2. Resolver: 2x - y = -3  7 x - 15y = 1 3x + y = 8  - x - 6 y = 83. Resolver:
• 142. Teoría de Ecuaciones Segundo Año6. Resolver: 2 (a + 5) = 4 (b - 4 a)  10 (b - a) = 11b - 12a x - 1 = y + 1  x - 3 = 3y - 7 14.Resolver:7. Resolver: 2( x + 5) = 4( y - 4x)  10( y - x ) = 11y - 12 x x - 1 = 2( y + 6)  x + 6 = 3(1 - 2y)8. Resolver: 3( x + 2) = 2y  2( y + 5) = 7 x 15.Resolver:9. Resolver: 3x - 4y - 2(2x - 7) = 0  8 x - 5 = 7 y - 9 5( x - 1) - (2y - 1) = 0  6x = 3y + 6 16.Resolver: 3x - (9 x + y ) = 5 y - (2x + 9y)  4 x - (3y + 7) = 5y - 47 17.Resolver:10.Resolver por reducción: ( x - y ) - (6x + 8y) = - (10x + 5 y + 3)  6 x - 5y = - 9 ( x + y ) - (9y - 11x ) = 2 y - 2x  4 x + 3y = 13 18.Resolver:11.Resolver por reducción: 5( x + 3y ) - (7x + 8 y) = - 6  3x - 4y = 41 7 x - 9 y - 2( x - 18y) = 0  11x + 6 y = 47 19.Resolver:12.Resolver: 12( x + 2 y) - 8(2 x + y) = 2(5x - 6 y )  20( x - 4y) = - 10 30 - (8 - x) = 2 y + 30  5 x - 29 = x - (5 - 4y) 20.Resolver por reducción:13.Resolver por reducción: 5 (m + 3n) - (7m + 8n) = - 6  7m - 9n - 2 (m - 18n) = 0 TAREA DOMICILIARIA1. Resolver:
• 143.  x - y = 10 9x + 11y = - 14   2x + y = 8 6 x - 5 y = - 342. Resolver: 12.Resolver: 5x + y = -8  3(2 x + y) - 2(y - x) = - 4(y + 7) 7x - y = -16  3(2y + 3x) - 20 = - 533. Resolver: 3x + 4y = 15 13.Resolver por reducción:  12 (m + 2n) - 8 (2m + n) = 2 (5m - 6n) 2 x + y = 5 4. Resolver: 20 (m - 4n) = - 10 5x + y = 16 14.Resolver:  4x + 3y = 15 x ( y - 2) - y (x - 3) = - 14 5. Resolver: y ( x - 6) - x(y + 9) = 54 15.Resolver:  x − 2y = 10  x − y = − 8 x y 5 = 4 6. Resolver:  3x - ( y + 2) = 2 y + 1 y = x - 1  3  3 5 y - (x + 3) = 3x + 1 16.Resolver:  3y + 37. Resolver: x = -  4  y = - 1 + 5 x 3x - (4 y + 6) = 2 y - (x + 18)    4 2 x - 7 = x - y 17.Resolver:8. Resolver por reducción: x + y 2 3m - 4n - 2 (2m - 7) = 0 x - y = -7   5 (m - 1) - (2n - 1) = 0   8x + y - 1 = 29. Resolver por reducción:  x - y -2  10 x - 3y = 36 18.Resolver:  2 x + 5 y = - 4  3x  2 + y = 11  10.Resolver por reducción: x + y = 7   2 11x - 9y = 2  13 x - 15 y = - 2 19.Resolver:11.Resolver por reducción:
• 144. Teoría de Ecuaciones Segundo Año  y -3 3x - 5 = 6   3x + 4 y +2  x - =  7 3 3y - x - 2 = 9    7 2y - 5 x + 4 = x + 2420.Resolver:   11 2
• 146. Inecuaciones Segundo AñoDesarrollo del Tema: INTERVALO: Un intervalo es un subconjunto de R, cuyos elementos x están comprendidos entre los extremos a y b que pueden o no estar incluidos en el. CLASES DE INTERVALOS: Pueden ser limitados o ilimitados. 1. INTERVALOS LIMITADOS: A. Intervalo cerrado: Es aquel que si considera a sus valores extremos y se [ representa: a; b . ] Gráficamente: Donde x representa a cualquier de los elementos del intervalo x obsérvese que los puntos a y b están sombreados lo que significa a b que se incluyen a los extremos. Representación: x ∈ [ a; b ] {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendidos entre -3 y +4 considerando a estos extremos. x -3 4 De donde: x ∈ [ −3;4] {x ∈ R / − 3 ≤ x ≤ 4} B. Intervalo Abierto: Es aquel conjunto de números que no considera a sus valores extremos: Gráficamente: Obsérvese que los puntos extremos a y b no están sombreados esto implica que no pertenecen al intervalo. Representaciones: x ∈ ] a; b[ o x ∈< a; b > Como conjunto: {x ∈ R / a < x < b}
• 147. Ejemplo: Representar el intervalo de números reales x comprendidos entre -5 y -2 sin considerar a estos números extremos: de donde: x ∈< −5;−2 > ó {x ∈ R / − 5 < x < −21} C. Intervalo semiabierto: Cuando sólo incluye a uno de los extremos. Aquí se presentan dos casos bien definidos: * Abierto por la derecha y cerrado por la izquierda. Gráficamente: Aquí sólo a pertenece al intervalo, no así el extremo b. Luego: x ∈ [a; b > o {x ∈ R / a ≤ x < b} * Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha. Gráficamente: Aquí sólo b pertenece al intervalo, no así el extremo a. Representación: x ∈< a; b ] o {x ∈ R / a < x ≤ b}2. INTERVALOS ILIMITADOS Convengamos emplear el símbolo ∞ para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito y el símbolo − ∞ para indicar que la sucesión de números reales “x” tiende al infinito pero en sentido opuesto (menos infinito). Es preciso aclarar que el ∞ no es un número sino la representación de una cantidad astronómica, muy grande, pudiendo ser mayor que cualquier número por muy grande que este sea. Como carece de un valor definido no podrá efectuarse con las operaciones aritméticas. A. Intervalo Ilimitado cerrado por la izquierda Gráficamente Este intervalo cerrado en a es el x conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y a +∞ simbólicamente lo expresamos: x ∈ [a; ∞ > ó {x ∈ R / x ≥ a} B. Intervalo ilimitado abierto por la izquierda: Gráficamente Este intervalo abierto en a es el conjunto de todos los números reales mayores que a y simbólicamente lo expresamos: x ∈< a; ∞ > ó {x ∈ R / x > a}
• 148. Inecuaciones Segundo Año C. Intervalo Ilimitado cerrado por la derecha. Gráficamente Este intervalo cerrado en a es el conjunto de todos los x números reales menores o iguales que a y simbólicamente −∞ a ] lo expresamos: x ∈< −∞; a ó {x ∈ R / x ≤ a} D. Intervalo ilimitado abierto por la derecha Gráficamente: Este intervalo abierto en a es el conjunto de todos los números reales menores que a y simbólicamente lo expresamos: x ∈< −∞; a > ó { x ∈ R / x < a} 3. OPERACIONES CON INTERVALOS Como los intervalos son subconjuntos de R, pueden realizarse con ellos las propiedades operativas de los conjuntos, como son: la unión, intersección, diferencia y complementación. PRACTICA DIRIgIDA 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos, cuáles falsos y por qué? a) 12 ∈ ]9, ∞[ b) y ∈ [ x, y[ c) − π ∈ ] − 4;1] d) 3 / 5 ∈ [ − 1;1[ e) a ∈ ] a; b ] f) 3 ∈ ] − 1;1] 2. Exprese en notación conjuntista los siguientes intervalos a) g) [ − 5;3 / 2] < −7;5] b) h) <9; ∞ [ − 8 / 5;+∞[ > c) i)
• 149. ] − ∞;0.3[ [−3;4 > d) j) ] − 5;5[ [−16;0 > e) k) ] − ∞;3.6] < 2 ;2 > f) l) [ − 9;−3] < −3; 2 ]3. Exprese en notación de intervalos los siguientes conjuntos: a) i) { x / x ∈ R ∧ x < −11} { x / x ∈ R ∧ x < −5} b) j) { x / x ∈ R ∧ x ≥ 2} { x / x ∈ R ∧ x ≤ −11} c) k) { x / x ∈ R ∧ 7 < x < 8} { x / x ∈ R ∧ −13 < x < −9} d) l) { x / x ∈ R ∧ −5 < x ≤ 4} { x / x ∈ R ∧ −4 ≤ x < −1} e) m) { x / x ∈ R ∧ −2 ≤ x ≤ 6} { x / x ∈ R ∧ x ≤ −30} f) n) { x / x ∈ R ∧ 4 ≤ x < 7} { x / x ∈ R ∧ −17 < x ≤ 2} ñ) g)  1 1 { x / x ∈ R ∧ x ≥ 0} x / x ∈ R ∧ − < x <   2 2 h) o) { x / x ∈ R} { x / x ∈ R ∧ x ≥ −1}4. Dados los intervalos:  3 a. A = − 4;  y B = [ − 2;3], Hallar : A ∪ B, A ∩ B, A − B y B−A  2  [ b. P = 4;13 / 2 [ y Q = ]5;8[ , Hallar : A ∪ B, A ∩ B, A − B y B − A [ ] c. A = − 4;4 ; B = − 3;1 [ [ y C = ] − 1;3], Hallar : A ∩ C , C − A, A ∩ B, B − A, B − C ] d. A = − ∞,2 [ y B = ] − ∞,−1], hallar : A ∪ B, A ∩ B, B − A y A5. Escribe los siguientes intervalos en forma conjuntista: a. [ 5 ; ∞〉 b. 〈 0.8, ∞〉 c. [ −6.6;4.4〉 d. [ − 3 , ∞〉6. Escribe con notación de intervalos los siguientes conjuntos: a. { x / x ∈ R ∧ x < −5} b. { x / x ∈ R ∧ x ≥ −2} c. { x / x ∈ R ∧ x ≤ −7} { d. x / x ∈ R ∧ − 2 < x < 2 }7. ¿Qué intervalos representan los siguientes gráficos? a. b. 1,2
• 150. Inecuaciones Segundo Año c. d. 8. Escribe la gráfica de: a. x ≤ −5 b. x > −1 c. x ≥ −6 d. −1 < x ≤ 1 9. Dados los intervalos: A = [−1; ∞〉 B = 〈−∞,3〉 C = [ − 5;−1] D = 〈−2;3] E = [ 0;4] Grafica y halla: a. A ∪ B b. A ∩ C c. A – D d. A ∩ E e. B – A f. B ∪ C g. B ∩ D h. B ∪ E i. C ∩ D j. C ∪ E k. D – E l. E – B 10. Si: A = [−7;3〉; B = 〈−2;5] Determinar a qué intervalo pertenece “A – B” a. 〈− 2;3〉 b. 〈−∞;3〉 c. [ −2;3〉 [ d. − 2;3 ] [ e. − 7;−2 ] 11. Si: A = 〈−5;3]; B = [0;4〉 entonces A ∩ B es: a. 〈 0;3] [ ] b. 0;3 c. [0;3〉 d. 〈 0;3〉 e. 〈 2;5] 12. Si: ( x − 2) ∈ 〈−8;4] ⇔ x ∈ A , y que si: ( x + 3) ∈ [1;12〉 ⇔ x ∈ B , por tanto A ∩ B es: a. [−2;8] [ b. − 3;9 ] [ c. − 2;6 ] d. − 3;8[ ] [ e. − 8;6 ] 13. Si: (3x − 1) ∈ 〈 2;11] ⇔ x ∈ E y si (4 x + 2) ∈ [ − 6;14] ⇔ x ∈ F por lo tanto E – F es: [ ] a. 3;4 b. 〈1;3] [ ] c. 1;3 d. 〈3;4〉 [ ] e. 1;4 14. Sean los intervalos: A = 〈−3;4]; B = [ − 1;6] Calcular A ∩ B a. 〈− 3;4〉 b. [ − 1;4] c. [1;4] d. [ −1;6〉 e. 〈− 1;4〉 15. Si A = 〈− 3;2]; B = [ 2;5] Calcular A ∪ B a. [ −3;5〉 b. 〈− 3;5〉 c. 〈−∞;−∞〉 d. 〈− 3;5] e. φ 16. Si P = [−1;3〉; Q = [ 3;6] Calcular P ∩ Q a. [ −1;6〉 b. 〈− 1;6〉 [ c. − 1;6 ] d. 〈− 1;6] e. φ 17. Efectuar A ∩ B Si: A = 〈− 5−,1]; B = [1;2〉 a. 〈− 5;2〉 b. [ − 5;2] c. 〈− 5;2〉 d. 1 e. N.A 18. En la siguiente recta numérica se presentan dos intervalos N y M. Entonces el intervalo M – N.
• 151. a. 〈1;3] b. 〈1;3〉 c. [1;3〉 [ ] d. 1;3 e. φ 19. Señalar las afirmaciones correctas: I. [ a; b] Intervalo cerrado II. 〈 a; b〉 Intervalo semi abierto III. (a;b) Par ordenado a. Sólo I b. Sólo II c. Sólo III d. I y II e. Todas son correctas 20. Sean los intervalos: A = [ − 5;7 ]; B = 〈− 3;9〉 Calcular la suma de los valores enteros de A∩ B a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 25 21. Sean los intervalos: C = [ − 9;9] y D = 〈9;15〉 Calcular: C ∪ D [ a. − 9;9 ] b. 〈9;15〉 c. 〈− 9;15] d. [0;15〉 e. [ −9;15〉 22. Escoge un valor específico para probar en cada intervalo y registra los resultados en la tabla: x x Interval 1< o < x< > Signo 3 1 3 1 − 2x x−3 2x − 1 3− x 2x − 1 x−3Exploración y Desequilibrio:Encuentra los valores numéricos para “x”, de tal manera que cumpla la desigualdad? a) X + 6 < 14 b) X – 8 >10Desarrollo del Tema:1. INECUACION: es una Desigualdad, es la relación matemática en la que se tiene en cuenta el orden de los números. Por ejemplo, la desigualdad 3 < 10 indica que el número 3 es menor que el 10; la desigualdad x2 ≥ 0 expresa el hecho de que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.
• 153. 16)Se reparte un número de monedas, comprendidas entre 285 y 305, entre los hermanos Basilio, Vicente y Fernando. Se sabe que Vicente recibe 8 veces lo que recibió Basilio y éste recibió 5 monedas, menos de lo que recibió Fernando. ¿Cuánto recibe cada uno? EXCEPTO a) 232 b) 34 c)29 d) 9017)El triple de un número de aumentado en 4 es menor que 214; y la mitad del número, disminuido en 4 es mayor que 30. El número es: a) 70 b) 66 c)68 d) 6918)En una caja donde sólo hay bolas rojas y blancas, las rojas exceden en 8 a las blancas. Si el total de bolas está comprendido entre 206 y 210. ¿Cuántas bolas blancas hay? a) 99 b) 101 c)102 d) 100Exploración y Desequilibrio:Encuentra un los valores numérico para “x”, de tal manera que cumpla la igualdad? a) 2X + 6 < 14 b) 3X – 8 > 10Desarrollo del Tema: INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 1. UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma, ax2 + bx + c > 0, ó ax2 + bx + c < 0 Donde “a”, “b”, y “c” son coeficientes, siendo a ≠ 0 Si “a”, “b”, y “c” son diferentes de cero, la inecuación se llama completa. Y si “b” ó “c” ó ambos, son ceros, la inecuación se llama incompleta; “a” no puede ser cero, porque entonces dejaría de ser la inecuación de segundo grado. Si “a” fuera negativo e multiplican ambos miembros por –1 para hacerlo positivo, con lo cual se cambia de sentido a la desigualdad. 2. RESOLUCIÓN: Para determinar las soluciones de una inecuación de segundo grado se aplica los siguientes procesos:  Si fuera de la forma: x2 - c > 0 se despeja “x” y se resuelve según la equivalencia: Si c > 0 entonces x2 > c si y solo si x>√c ó x<-√c Si c > 0 entonces x2 > c si y solo si x>√c ó x<-√c  Si fuera de la forma: x2 - c < 0 se despeja “x” y se resuelve según la equivalencia: Si c > 0 entonces x2 < c si y solo si -√c< x < √c Si c > 0 entonces x2 < c si y solo si -√c< x < √c  Si el trinomio ax2 + bx + c fuera completa:  Se procede a factorizar y obtener las raíces  Se ubican las raíces sobre la recta numérica real.  Mediante una línea paralela y en la parte superior al eje real desde él, avanzando de la derecha hacia la izquierda cortando sucesivamente las raíces ubicadas sobre la recta, hasta el ∝
• 155. TAREA DOMICILIARIA 1 Si x + 4 > 7, calcular el mínimo valor c) x ∈ [-2 ; 2] – {10} entero de “x”a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 d) x ∈ 〈-∞ ; -3] ∪ [3 ; +∞〉 2 Si x + 3 ≤ 6, calcular el máximo valor e) N.A. de “x”.a) 2 b) 3 c) 8 d) 1 e) 6 10 Resolver: (x2 – x – 6)(x + 7) ≤ 0 Resolver las siguientes inecuaciones a) x ∈ 〈-∞ ; -7] ∪ [-2 ; 3] 3 Calcular la suma de los valores de los números enteros “x”, tal que: b) x ∈ 〈-∞ ; -3] ∪ [3 ; 4〉 3 ≤ 2 x ≤ 10 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 c) x ∈ 〈-∞ ; 1] ∪ [2 ; 3〉 4 Si x + 2 ≥ 0, calcular el mínimo valor d) x ∈ 〈-∞ ; 7〉 de (x + 6)a) 7 b) 8 c) 13 d) 4 e) 5 e) N.A. 5 Si x ∈ 〈1 ; 7〉, entonces a que intervalo 11 Si x ∈ [5 ; 8], indique el mayor valor pertenece x + 3 x−3a) 〈3 ; 4〉 b) 〈4 ; 10〉 que toma la expresión: x +1c) 〈3 ; 7〉 d) 〈7 ; 10〉 e) N.A. 12 Resolver la inecuación: x+4 6 Resolver: ≥0 (x + 1) < (x + 1) (4x – x2 – 3) x−3 a) x ∈ 〈-1 ; +∞〉 a) x ∈ 〈-∞ ; -4] ∪ [3 ; 8〉 b) x ∈ 〈-∞ ; -1〉 b) x ∈ 〈-∞ ; 2] ∪ [3 ; 6〉 c) x ∈ 〈-∞ ; 0〉 c) x ∈ 〈-∞ ; -4] ∪ 〈3 ; +∞〉 d) x ∈ 〈-3 ; 4〉 d) x ∈ 〈-3 ; 2] ∪ [4 ; +∞〉 e) N.A. e) N.A. x+3 13 Sean los intervalos: A = [-6 ; 5] 7 Resolver: ≥2 x−2 B = ] -2 ; 9[a) x ∈ 〈2 ; 7] b) x ∈ [2 ; 7〉 Calcular la suma de los valores enteros de A ∩ Bc) x ∈ 〈-3 ; 6] d) x ∈ [3 ; 6〉 e) N.A. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 7 8 Resolver: ≥1 14 Si la unión de los intervalos: xa) x ≤ 7 b) x ≥ 7 E = [- 4 ; 5[ F = ]- 2 ; 5]c) x < 3 d) x = 0 e) N.A. es : [a ; b]. Calcular “ab” a) – 20 b) – 10 c) 2 d) 8 e) 25 9 9 Resolver: ≥1 x2 15 Resolver: a) x ∈ 〈-3 ; 2〉 (x + 5 )(x + 3) ≥ (x + 2)(x + 1 ) + 3 a) x ∈ [- 2;+∞[ b) x ∈ ]- ∞;- 3] b) x ∈ [-3 ; 3] c) x ∈ [ 2; +∞ [ d) x ∈ ]- ∞; - 2] e) x ∈ [ 3; +∞ [
• 156. Inecuaciones Segundo Año 16 Resolver: x 2 − 3x < 4 18 Resolver: 1 <0 a) x ∈ R b) x > -1 c) x > 4 x2 + x +1 d) −1 ≤ x ≤ 4 e) –1 < x < 4 a) ] − 35 ; − 7 [ b) ] − 35 ; − 3 [ c) R d) φ e) R − ] − 35 ; − 7 [ 17 Resolver: x 2 + 2 x > 8 ; e indicar un intervalo solución :a) ]4; +∞[ b) ]- ∞; 2[ 3x − 1 c) ]2;+∞[ d) ]1; +∞[ 19 Resolver: 3 < <5 x −5 e) ]4;+∞[ a) x > 14 b) x > 13 c) x > 12 d) x > 15 e) x > 5
• 158. Funciones Segundo AñoAl punto 5 no le corresponde ninguno como imagen.Se dice que la función no está definida para el punto 5.Los puntos 1, 2, 3, 4, 6 y 7 tienen una sola imagen.En el conjunto de llegada:A los puntos b ∧ d no llega ninguna flecha (b ∧ d no son imágenes de ningún punto deldominio).Al punto c llega una sola flecha (c es imagen de un punto del dominio).Al punto 2 “a” llegan dos flechas (a es imagen de dos puntos del dominio).Al punto “e” llegan tres flechas (e es imagen de tres puntos del dominio).Marquemos el dominio de cada función.OBSERVA:De cada punto del dominio sale una sola flecha.El conjunto D(+) se llama dominio de la función.El conjunto R(+) se llama rango de la función.De acuerdo con estas observaciones podemos dar otra definición de función.DEFINICIÓN.- Se dice que una relación es una función cuando de cada punto de su dominiosale una y sólo una flecha.OBSERVACIONES.- Toda función es una relación, esto quiere decir que de una función surgela frecuencia de i) un conjunto de partida; ii) un conjunto de llegada; iii) una flecha decorrespondencia.• Para que una relación sea función debe cumplirse lo siguiente: “Cada elemento de su dominio debe tener una sola imagen”.• No toda relación es función.NOTACIÓN DE UNA FUNCIÓN: f = {(x; y) ∈ A x B/y = f(x)}Donde:A : conjunto de partida.B : conjunto de llegada.Y = f(x) : Regla de correspondencia.
• 159. x : Preimágenes; variable independiente. y : imágenes; variable dependiente.D(+) : Dominio de la función; conjunto de todas las imágenes.R(+) : Rango de la función; conjunto de todas las imágenes.OBSERVACIÓN.- Si el dominio de la función D(+) es igual al conjunto de partida (A); o seaD(+)=A, entonces la función recibe el nombre de Aplicación. Luego, toda aplicación es unafunción; pero no toda función es una aplicación.Ejemplo 1: Dados: A = {1; 3; 5; 7} ∧ B = {2; 4; 6; 9; 10; 12}Halla: a) f : a  B; tal que : y = x + 1 b) D(f) ∧ R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?Solución:a) (tabulado)  f = {(1; 2), (3; 4); (5; 6)}b) Dominio de la función: R(+) = {1; 3; 5} Rango de la función: R(+) = {2; 4; 6}c) f : A  B “se lee f aplica x en y”. d) No es una aplicación pues el dominio de la función, o sea: D’f) = {1; 3; 5} es diferente del conjunto de partida ∧; o sea A = {1; 3; 5; 7} ∴ D(+) = + AConjunto de Conjunto de partida llegadaEjemplo 2: Dados: A = {-2: -1: 0; 1; 2} ∧ B = {0; 1; 2; 3; 4}Halla: a) f : A  B; tal que: y = x2 b) D(+) ∧ R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?Solución.- a) + = {(-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4)} b) D(+) = {1-2; -1; 0; 1, 2} D(+) = {0; 1; 4{ c) Diagrama d) Si es aplicación porque D(+) = AEjemplo 3: Dados: A = {1; 3; 5; 7} ∧ B = {3; 5; 6; 7; 9}
• 160. Funciones Segundo AñoHalla: a) f : A  B; tal que: y = 2x + 3 b) D(+) ∧ R(+) c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?Solución.- a) + = {(1; 5); (3; 9)} b) D(+) = {1; 3}; R(+) = {5; 9} c) d) No es una aplicación pues el dominio de la función D(+) o sea: D(+) = {1; 3] es diferente al conjunto A O sea: A = {1; 3; 5; 7} ∴ D(+) ≠ AFUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE DIAGRAMA SAGITALUna relación definida mediante un diagrama sagital es función si de cada elemento de sudominio sale una sola flecha.Analicemos cada una de las siguientes relaciones definidas gráficamente mediante diagramassagitales.Si: Si:En la relación R1 se observa que el conjunto de partida es:A = {1; 3; 5; 7} y el conjunto de llegada es: B = {2; 4; 6; 8}, siendo: D(R1) = {1; 3; 5};R(R1) = {2; 6; 8}REGLA DE CORRESPONDENCIA“a 1 le corresponde 8”, “a 3 le corresponde 2” y “a 5 le corresponde 6”
• 161. R1, si es una función; porque_ “cada elemento de su dominio tiene una sola imagen”; tambiénpodríamos decir que de cada elemento de su dominio sale una sola flecha.• En la relación R2 si es una función, porque de cada elemento de su dominio, sale una sola flecha.• En la relación R3, no es una función, porque del elemento 4 de su dominio, salen 2 flechas.• En la relación R4 si es una función, porque de cada elemento de su dominio sale una sola flecha.FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE PARES ORDENADOSLas relaciones R1; R2; R3 ∧ R4, pueden ser definidas de la manera siguiente:R1 = {(1; 8); (3; 2); (5; 6)}R2 = {(1; 5); (2; 6); (3; 7)}R3 = {(2; 3); (4; 1); (4; 6); (8; 3)}R4 = {(1; 4); (3; 1); (4; 6); (9; 8)}De acuerdo a la definición de función; R1; R2 y R4 son funciones, pues observamos que lasprimeras componentes de cada función son todas diferentes; sin embargo en la relación R3,observamos los pares ordenados diferentes con primera componente igual: (4; 1) y (4; 6)(4; 1) ≠ (4; 6); esto es lo que distingue a una relación que no es función.FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE DIAGRAMAS CARTESIANASComo bien sabemos, las relaciones en general también son expresadas mediante diagramascartesianos; así:Ejemplo 1: Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {5; 6; 7}Halla: R = {x; y} ∈ A x B / y – x = 3} y diagramar.Solución: R = {(2; 5); (3; 6); (4; 7)} Del diagrama: D(R) = {2; 3; 4} R(R) = {5; 6; 7} La imagen de 2 es 5 La imagen de 3 es 6 La imagen de 4 es 7 ∴ R si es función. D(R) Con D’partida
• 162. Funciones Segundo AñoEjemplo 2: Dados: A = {1; 2; 3} ∧ B = {1; 2; 4}Halla: R = {(x, y) ∈ A x B / x > y} y diagramarSolución.-R = {2; 1); (3; 1); (3; 2)} ∴ R no es función.Ejemplo 3: Dados: A = {1; 2; 3} ∧ B = {2; 4; 6}Halla: R = {(x, y) ∈ A x B / x = y/2}Solución.- R = {(1; 2); (2; 4); (3; 6)} ∴ R si es función.RECOMENDACIONESUna relación definida mediante un diagrama cartesiano es función si una recta trazadaperpendicularmente al eje de coordenadas en el que está representado el dominio, contiene alo más un punto de dicha representación. (si es función) (no es función) (si es función)RECUERDA QUE: Una función puede ser definida por su diagrama sagital o cartesiano o porun conjunto de pares ordenados o grupo. EJERCICIOS1) Dados: A = {2; 3; 4} ∧ B = {3; 5; 6}; cuáles de las siguientes relaciones no es una función de A en B. R1 = {(2; 3); (3; 5); (4; 6)} R2 = {(2; 5); (3; 3); (4; 6)} R3 = {(2; 5); (2; 6); (3; 3)}2) Dados: A = {-1; 0; 2; 4} ∧ B = {-2; 0; 6; 8} Halla: a) + : A  B; tal que: Y = 2X b) Dominio, rango de f c) Diagrama sagital d) ¿Es aplicación?3) Sean: A = {1; 4; 5; 7} ∧ B = {2; 3; 5; 7} Encuentra: R = {(x, 7) ∈ A x B / x = y + 1}; diagramar4) Sean: A = {2; 3; 4; 5} ∧ B = {3; 8; 15; 26]
• 163. Encuentra: R = {(x; 7) ∧ A x B / y = x2 – 1}, diagramar.CLASES DE FUNCIONES1. FUNCIÓN INYECTIVA O “UNO A UNO”.- Una función f : A –B, es inyectiva cuando a elementos distintos del dominio se hacen corresponde imágenes distintas, es decir a ninguna imagen llegan dos flechas. Una función f : A –B; se llama inyectiva (uno a uno) si para todo X1 y X2 que pertenecen al dominio de f; siendo: X ≠ X2 implica que: f(x1) ≠ f(x2)2. FUNCIÓN SURYECTIVA; SOBREYECTIVA O FUNCIÓN SOBRE.- Una función f : A  B, es subyectiva; cuando el rango de la forma es igual al conjunto B. Una función f : A  B; se llama suryectiva, si para todo elemento Y ∈ B, existe un elemento X ∈ A; tal que: (X; Y) ∈ f ó Y = f(x)3. FUNCIÓN BIYECTIVA.- Sea la función: Se observa: f : es inyectiva y como R(f) = B; también es subyectiva. Luego: una función f : A  B se llama función biyectiva o es una bisección, si f es inyectiva y suryectiva.Ejemplo 1: Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {a, b, c} , la función:f = {(2; b); (3; a); (1; a); (4; c)}Solución.- a) f no es inyectiva porque: (1; a) , (3; a) b) f es suryectiva pues R(f) = B c) f no es biyectiva pues para serlo debe ser inyectiva y suryectiva a la vez.
• 164. Funciones Segundo AñoEjemplo 2: Dados: A = {1; 3; 5; 6; 7} ∧ B = {2; 4; 6} ,la función: f = {(x, y) ∈ A x B = x + 1}a) ¿Es inyectiva? b) ¿Es suryectiva? c) ¿Es biyectiva?Solución.-f = {1; 2) , (3; 4) , (5; 6)Grafica: Luego: a) f si es inyectiva (uno a uno) b) f si es suryectiva pues R(f) = B, esto quiere decir que el rango de la función es igual al conjunto B. c) f si es biyectiva por (a) ∧ (b)Ejemplo 3: Dados: A = {1; 2; 3; 4} ∧ B = {2; 4; 6; 7} , la función: f = {(x, y) ∈ A x B/Y =2xa) ¿Es inyectiva? b) ¿Es suryectiva? c) ¿Es biyectiva?Ejemplo 4: Dados: A = {1; 3; 5; 6} ∧ B = {5; 9; 11; 15} ,La función: f = {(x, y) ∉ A x B / y = 2x + 3}a) ¿Es inyectiva? b) ¿Es suryectiva? c) ¿Es biyectiva?INVERSA DE UNA FUNCIÓN.- La función de una relación es siempre otra relación. Veamos: Dada la relación: R … leyó el libro Si se cambia el orden de los elementos es necesario cambia la relación para que la proposición obtenida resulte verdadera; o sea: El libro “fue leído por” el alumno. Esta relación se llama inversa de R, se designa por R-1Luego: Si: R: … leyó el libro … Entonces R-1 … fue leído por … R-1 (C alumnos) (C libros) (C alumnos) (C libros) -1 Relación: R … fue leído por …
• 165. ¿SERÁ LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN OTRA FUNCIÓN?Analicemos el diagrama. En los que has representado la relación: R-1 … fue leído por … No es función, porque de “a” salen dos flechas. Como recordarás del conjunto de partida (de donde salen las flechas), tan solo debe salir una sola flecha para que dicha relación sea función.(C alumnos) (C libros)Nota.- Como se ha podido observar no siempre la inversa de una función es otra función.COMPARACIÓN DE FUNCIONES.- Se puede realizar operaciones con funciones.Especialmente vamos a estudiar la operación llamada COMPARACIÓN DE FUNCIONES.Componer dos funciones f ∧ g significa aplicar la segunda al resultado de la primera.Ejemplo: Si: f; x  x . 3 x f x.3 g x.3-1 y;g:xAplicamos la función g al resultado de la función f.Cuando aplicamos f al valor x anotamos f(X).Cuando aplicamos g al resultado de f, anotamos: g o f, o es el signo de la operación decomposición.g o f se lee: “g cerito f” o “g compuesta con f”.Los siguientes diagramas muestran primero las funciones f ∧ g, y luego la composición deambas funciones: g o f.
• 166. Funciones Segundo AñoLuego: g o f [f(x)] = f(x) – 1 = x . 3 -1 = 3x – 1  ∴ g o f = 3x – 1NOTA.- La compuesta de dos funciones es otra función g o f. x f:x ∧ g:x  x+5 2Solución: xSi : f : x  f x g x 2 x .3 .3-1 2 2y: g:x x+5 x xLuego: g o f = g [f(x) = f(x) + 5 = +5  ∴gof= +5 2 2Ejemplo 2: Dadas las funciones: f : x  x2 g:xx–2a) define a) g o f c) f o gSolución:a) Calculamos: g o f Si: f : x  x2 x f x2 g x2 - 2
• 167. y;g:xx–2 Luego: g o f = g[f(x) = (f(x)2 – 2 = x2 – 2  ∴ g o f = x2 - 2b) Calculamos: f o g Si: g : x  x – 2 x g x-2 f (x – 2)2 2 y;f:xx Luego: f o g = f(9(x)] = (g(x)2 = (x – 2)2  {f o g = (x – 2)2 ACTIVIDADEJERCICIO 1.- Determina todas las funciones posibles entre A y B, siendo A el dominioEJERCICIO 2.- De acuerdo con el diagrama la imagen de cada uno de los siguienteselementos es: f(b) = f(e) = f(c) = f(f) =
• 168. Funciones Segundo Año f(d) = f(a) =EJERCICIO 3: Decir, ¿cuál(es) de los gráficos representa una función?EJERCICIO 4: Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones:EJERCICIO 5: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:f(x) = 2x – 3 ∧ g(x) = 4 – 5x; hallaa) (f o g)(3) b) (g o f) (-1)EJERCICIO 6: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:f(x) = x – 1 ∧ g(x) = 2 – 3x. Halla:a) (f o g)(2) b) (g o f)(2)EJERCICIO 7: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:
• 169. F(x) = 3x – 2 ∧ g(x) = 4 – 5x. Hallaa) (f o g)(x) b) (g o f)(x)EJERCICIO 8: Sean f ∧ g funciones reales definidas por:f(x) = 6 – 3x ∧ g(x) = x2 + 1. Halla:a) (f o g)(x) b) (g o f)(x)NOTACIÓN FUNCIONALAsí como utilizamos x para representar un número, sin especificar cuál necesitamos un símbolopara representar una función sin tener que especificar de qué función particular estamoshablando. Esta notación es: y = f(x); que se lee “y es una función de x” o “y es igual a f dex” (esta última notación no significa f por x).Obviamente en lugar de x e y hubiéramos podido emplear cualesquiera dos variables, escritasen la forma: variable dependiente = f(variable independiente).VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTESEn la ecuación: y = 2x + 3, y, recibe el nombre de variable dependiente porque su valordepende del valor que se le de a x; así si asignamos a x el valor de 2; y = 2(2) + 3 = 7; o si x= 3, entonces: y = 2(3) + 3 = 9.A la variable x se le llama variable independiente.Las funciones normalmente se expresan en forma de ecuaciones.Ejemplo: La ecuación: y = 3x2 – 4x + 2, es una función. Podemos hallar uno y solo un valorde “y” que corresponda a cada valor que se asigne a “x”. Veamos:Cuando: x = 0  y = 3(0)2 – 4(0) + 2  y = 2Cuando: x = 1  y = 3(1)2 – 4(1) + 2  y = 1Cuando: x = 2  y = 3(2)2 – 4(2) + 2  y = 6Cuando: x = -1  y = 3(-1)2 – 4(-1) + 2  y = 9No todas las ecuaciones son funciones. Para que una ecuación sea función debe cumplirse quepara cualquier valor que tiene “x”; a “y” le debe corresponder un solo valor.Ejemplo: La ecuación: y = ± x no es función, porque para cada valor de “x” obtenemosdos valores para “y”.Veamos:Cuando: x = 1  y = ± 1  y = ± 1Cuando: x = 4  y = ± 4  y=±2Cuando: x = 9  y = ± 9  y=±3En este caso decimos que la función: y = ± x ; no es función.
• 170. Funciones Segundo AñoCon frecuencia la variable dependiente “y” en las funciones es sustituida por el símboloF(x). En consecuencia la ecuación y=3x2 – 4x + 2 puede ser simbolizada de esta manera:i) F(x) = 3x2 – 4x + 2: se lee: F de “x” ó F está en función de “x” Variable Nos indica que “x” es la variable y que el polinomio F depende de “x”ii) P(x; y) = ax2 + by + cy2; x; y: son las variables a, b, c: son las constantesVALOR NUMÉRICO O DETERMINADO DE UNA RELACIÓN O FUNCIÓNEn el número (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta dereemplazar una o más variables por valores numéricos o algebraicos. En la mayoría de loscasos se trabaja con la función polinomio.Ejemplo: Sea: F=(x) = 2x2 + x – 3Para: X = 0  F(0) = 2(0)2 + 0 – 3 = -3Para: X = 1  F(1) = 2(1)2 + 1 – 3 = 0Para: X = -1  F(-1) = 2(-1)2 + 1 – 3 = -2Para: X = 2  F(2) = 2(2)2 + 2 – 3 = 7Para: X = a  F(a) = 2(a)2 + a – 3 = 2a2 + a – 3Para: X = b-2  F(b-2) = 2(b-2) - 3 = 2b2 – 7b + 3 ACTIVIDAD P(3) + P( 2 )Ejercicio 1: Siendo: P(x) = X2 – 3X; Halla el valor de E = P( −2) x +1 f (3) − f (1)Ejercicio 2: Si: f(x) = ; calcula: M = 2x − 1 f (2) 2 P (0) P (1) + P (4) P ( −1)Ejercicio 3: Siendo: P(x) = x + 2x. Halla el valor de: R = P (2) P ( 0 )Ejercicio 4: Si: f(x+2) = x2 + 5x – 2; calcula el valor de: f(-5).  1  2x + 1Ejercicio 5: Si: Q  X − = ; calcula: Q (a+1)  2  x −1 2x + 1Ejercicio 6: Si: F(x) = ; halla el valor de F(F(2)) x −1 1 +1Ejercicio 7: Si:  1  x ; calcula el valor de: P(3) P  =  x  x −1Ejercicio 8: Si: P(x) = x2 + x-1, simplifica: R = P(x – 1) – P(x + 1) – P (2x) + x2 2x + 1Ejercicio 9: Si P(x) = ; halla: P[P(x)] x−2Ejercicio 10: Si: P(x+2) = 6x +1 ; P[F(x) = 12x – 17