Libro recopilacion demre
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    Libro recopilacion demre Libro recopilacion demre Document Transcript

    • LIBRO RECOPILACIÓN PSU EJERCICIOS DEMRECONTENIDOSEJERCICIOS PSURESPUESTASENSAYOS ÁLVARO M. SÁNCHEZ VÁSQUEZ PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA 2010 1
    • INDICE Contenido Página1 Números Enteros, operatoria, propiedades 32 Números racionales, operatoria, propiedades 103 Potencias, propiedades, aplicaciones 204 Operatoria algebraica 265 Simbología 386 Razones y proporciones 427 Tanto por ciento 498 Raíces, propiedades, aplicaciones 579 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de 64 ecuaciones10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 7911 Ecuación de segundo grado 8312 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 8513 Funciones, operatoria, tipos de funciones 8814 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de 108 Pitágoras, teorema de Euclides15 Congruencia de triángulos 12916 Semejanza de triángulos 13317 Cuadriláteros 14118 Polígonos 15219 Ángulos en la circunferencia 15320 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 16221 Poliedros, volumen 16622 División interior y exterior 17323 Trigonometría 17524 Probabilidad 18325 Estadística 19826 Transformaciones isométricas 20927 Teorema de Tales 22128 Evaluación de suficiencia de datos 22629 Respuestas 24330 Resumen contenidos Primer año medio 24831 Resumen contenidos Segundo año medio 25832 Resumen tercer año medio 26933 Resumen Cuarto año medio 28034 Ensayo 1 29035 Ensayo 2 30836 Ensayo 3 32937 Ensayo 4 34838 Ensayo 5 36539 Ensayo 6 384 2
    • RESUMEN PSU MATEMATICAI. NÚMEROS NATURALES Y CARDINALES ( IN, IN0 )Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3, …} se denominan “números naturales”. Si a esteconjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2, …} llamado“conjunto de los números cardinales”.NÚMEROS ENTEROS (Z)Los elementos del conjunto Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …} se denominan “números enteros”Algunos subconjuntos de Z son: +Z+ = {1, 2, 3, …} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2, … } enteros no negativos −Z- = {-1, -2, -3, …} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3, …} enteros no positivos1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,256, …2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …MÚLTIPLO Y DIVISOREn la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de co bien b y c son divisores o factores de a.REGLAS DE DIVISIBILIDADUn número entero es divisible: Por Cuando 2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres. 4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son Ceros. 5 La última cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez. 7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las Cifras restantes es múltiplo de siete. 8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve. 10 Termina en cero. 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once. 3
    • NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESNúmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no sonprimos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …TEOREMA FUNDAMENTALTodo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factoresde números primosMÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESPRIMOSSe descomponen los números en factores primos:1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existirfactores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerandoaquel que posea el exponente menor.OPERATORIA EN ZADICIÓNi. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservandoel signo común.ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.MULTIPLICACIÓNi. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.VALOR ABSOLUTOEs la distancia que existe entre un número y el 0 n, si n ≥ 0DEFINICIÓN:  − n si n < 0ALGORITMO DE LA DIVISIÓNSi D: d = c, entonces D = d ⋅ c + r r //D = dividendod = divisorc = cuociente o cocienter = resto 4
    • OBSERVACIONES:1) 0 ≤ r < d2) La división por cero no está definida.PRIORIDAD DE LAS OPERACIONESAl realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:1. Resolver los paréntesis.2. Realizar las potencias.3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.RELACIÓN DE ORDEN EN ZSi a y b son números enteros, entonces diremos que:i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).EJEMPLO PSU-1: Si al entero (– 1) le restamos el entero (– 3), resultaA) – 2B) 2C) 4D) – 4E) ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-2: Si a es un número de dos dígitos, en que el dígito de las decenas es m yel de las unidades es n, entonces a + 1 =A) m + n + 1B) 10m + n + 1C) 100m + n + 1D) 100m + 10n + 1E) 10(m + 1) + nEJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, ¿cuál es el valor de –nm –(n + m)?A) -11B) -5C) 5D) 7E) -7 5
    • EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para quecada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?A) 11B) 20C) 21D) 0E) 7EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tardedepositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en elbanco?A) $ 8pB) $ 10pC) $ 12pD) $ 16pE) $ 14pEJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: elúltimo número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último númerode cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?A) 5 x 4 20B) 7 4 9C) 8 8 13D) 9 24 16 55E) 16EJEMPLO PSU-7: Con los círculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 círculos II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número imparde círculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de círculos entre dos figurasconsecutivas es 2A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 6
    • EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto dedinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero III) En el monedero hay $600A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-9: Se define a ◊ b = ab + b y a # b = 2a - 4b, para a y b números enteros, elvalor de (2 ◊ 5) # (-2) es:A) 82B) 66C) 60D) 38E) 22EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7),3(3x - 9), 4(4x + 11), . . . , resultaA) 41x - 2B) 61x + 25C) 41x - 109D) 41x + 109E) 41x - 21EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, unacuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?A) De 1 formaB) De 2 formasC) De 4 formasD) De 3 formasE) De 6 formasEJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, apartir de hoy?A) ViernesB) SábadoC) LunesD) MiércolesE) Jueves 7
    • EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180cada uno?A) $280B) $200C) $120D) $100E) $ 40EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3),respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tresartículos T?A) 6n - 14B) 6n – 6C) 5n – 14D) 3n – 14E) 3n - 6EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los números n. p, q y r son enterospositivos. ¿Cuál de las opciones expresa la afirmación p es divisible por q?A) p = nq + rB) q = np + rC) q = npD) p = nq p 1E) =1+ q qEJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de lasiguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”.¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?A) 8B) 6C) 9D) 10E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual aA) -12B) -7C) -2D) 4E) 12 8
    • EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tienefactores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?A) 7B) 5C) 4D) 3E) 1EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios decada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Sirepetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es: 1.000A) 12  1.000 B) 6 •    2  1.000C) 26 1.000D) 6 1.000E) 25EJEMPLO PSU-20: La suma de tres números impares consecutivos es siempre: I) divisible por 3 II) divisible por 6 III) divisible por 9Es(son) verdadera(s):A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-21: La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto aestos números, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La suma del menor y el mayor es 0 II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) El mayor menos el menor es 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 9
    • II. NÚMEROS RACIONALES aLos números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números benteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por laletra Q.2. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALESADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a cSi , ∈Q, entonces: b dOBSERVACIONES a a1. El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también como b b−a a ob −b b2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula: cMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a cSi , ∈Q, entonces: b dMULTIPLICACIÓNDIVISIÓNOBSERVACIÓN −1 a  a bEl inverso multiplicativo (o recíproco) de es   = , con a ≠ 0 b b  a 10
    • RELACIÓN DE ORDEN EN QOBSERVACIONES1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientesprocedimientos:a) igualar numeradores.b) igualar denominadores.c) convertir a número decimal.2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.NÚMEROS DECIMALESAl efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene undesarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifrasdecimales.Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimalesb) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parteentera y el período.Ejemplo: 0,444.... = 0, 4c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por laparte entera, un anteperíodo y el período.Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES1. Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimalesse ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimalbajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,202. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales,se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, dederecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números enconjunto.Así por ejemplo: 3,21 · 2,3 963 642 7,383 11
    • 3. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformarel dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.Así por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enterosTRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el númerodecimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimalestenga dicho número. 324Por ejemplo: 3,24 = 1002. Decimal infinito periódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el númerodecimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras queanteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. 215 − 2Por ejemplo: 2, 15 = 993. Decimal infinito semiperiódico: Se escribe en el numerador la diferencia entre elnúmero completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras queanteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga elperíodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. 534 − 53Por ejemplo: 5,3 4 = 90  0,05 EJEMPLO PSU-1: 5 •      0,5 A) 0,5B) 0,05C) 0,005D) 50E) 500 2 5 3EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = , b = y c = de menor a mayor es 3 6 8A) a < b < cB) b < c < aC) b < a < cD) c < a < bE) c < b < aEJEMPLO PSU-3: 40 - 20 ⋅ 2,5 + 10 =A) 0B) -20C) 60D) 75E) 250 12
    • 9 3EJEMPLO PSU-4: − = 8 5A) 0,15B) 0,5C) 0,52D) 0,525E) 2 5 1EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta: 6 3 1A) − 2 1B) 2 2C) 3 4D) 3 2E) 9 1 1EJEMPLO PSU-6: + 3 3 − 0,75 − 0,25 8 8 15A) 3 16B) 3 16C) − 3D) 4 8E) 3 t −rEJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces = rA) 80,89B) 80,9C) 88,9D) 89E) Ninguno de los valores anteriores 13
    • 1 1 1EJEMPLO PSU-8: En la igualdad = − , si P y R se reducen a la mitad, entonces P Q Rpara que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debeA) duplicar.B) reducir a la mitad.C) mantener igual.D) cuadruplicar.E) reducir a la cuarta parte.EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe quecobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internetA) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III 1 1 1EJEMPLO PSU-10: + + = x x xA) 3 1B) x3 3C) x 1D) 3x 3E) x3 14
    • 1EJEMPLO PSU-11: Si P = RH , entonces H-1 es igual a: 2 2PA) R RB) − 2P 2PC) − R 2RD) P RE) 2P 1 1 1EJEMPLO PSU-12: + ⋅ = 3 6 2 5A) 12 2B) 15 1C) 9 2D) 3 1E) 4 2,6 − 2 ⋅ 3,8EJEMPLO PSU-13: = 2,6 ⋅ 6 + 3,8 1A) − 3 5B) − 19,4 5C) 19,4 2,28D) 19,4 7,6E) 9,8 15
    • 1 2EJEMPLO PSU-14: + = 3 1 1− 4 3A) 2 1B) 3 11C) 6D) 1E) 3 50 + 0,5EJEMPLO PSU-15: 100 = (0,5) ⋅ 2A) 10B) 1C) 0,1D) 0,25E) 0,75EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?A) 4,45 kmB) 4,55 kmC) 5,55 kmD) 5,45 kmE) 6,62 kmEJEMPLO PSU-17: Si a es un número natural mayor que 1, ¿cuál es la relación correcta 3 3 3entre las fracciones: p = t = r = a a−1 a+1A) p <t < rB) r < p < tC) t < r < pD) r < t < pE) p < r < t 16
    • EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros dellicor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla? a+bA) $ 3 a+bB) $ 5C) $(2a + 3b) 3a + 2bD) $ 18 5 ⋅ (3a + 2b)E) $ 18 1EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2 3litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo? 1A) 2 3 2B) 2 3 3C) 2 2 1D) 3 3 2E) 1 3 1 1 2EJEMPLO PSU-20: + • = 3 4 3 1A) 2 1B) 4 1C) 5 1D) 12 4E) 21 17
    • 1EJEMPLO PSU-21: Se define a ∗ b = , entonces a ∗ (b ∗ c) es igual a: ab 1A) abc aB) bc bcC) a abD) c cE) abEJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d números enteros distintos entre sí y distintos de cero. Si a aP = + d y Q = + d, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) siempre b cverdadera(s)? I) P - Q ≠ 0 P c II) = Q b a2 III) P — Q = + d2 bcA) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas. 1EJEMPLO PSU-23: = 1 1+ 1 1+ 1+1 5A) 2 2B) 5C) 1 3D) 5 1E) 2 18
    • EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Javier llegó después de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a lameta III) Arturo llegó primeroA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos deazúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debemultiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?A) 33, 3B) 200C) 1.200D) 6E) 0,03 a aEJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si S = + , entonces S −1 es: b d bdA) 2a ad + abB) bd b+dC) a b+dD) 2a bdE) a( b + d )EJEMPLO PSU-27: (0 ,2 ) −2 =A) 5B) 10C) 25 1D) 25 1E) 5 19
    • III. POTENCIAS EN ZDEFINICIÓNPROPIEDADES1. 0 n = 0, si n ∈Z+2. 1 n = 13. Si n es par, (−1) n = 14. Si n es impar, (−1) n = -1 Positivo si a ≠ 0 y n es parSignos de una potencia: a n =  Negativo si a < 0 y n es imparMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIASSean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+1.- Multiplicación de potencias de igual base2.- División de potencias de igual base3.- Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente4.- División de potencias de distinta base e igual exponenteDEFINICIÓNOBSERVACIÓN:0 0 no está definidoPOTENCIA DE UNA POTENCIAPOTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVOPOTENCIAS DE BASE 10 110 0 = 1 10 −1 = =0,1 10 20
    • 110 1 = 10 10 −2 = =0,01 100 110 2 = 100 10 −3 = =0,001 100010 3 = 1000Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k · 10 n , en que 1≤ k < 10 y n ∈ Z.2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p · 10n, en que p esel menor entero y n ∈ Z.3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como lasuma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por lapotencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,centésima...) abcde = a · 10 2 + b · 10 1 + c · 100 + d · 10 −1 + e · 10 −2 3 −1 + 4 −1EJEMPLO PSU-1: = 5 −1 12A) 35 35B) 12 7C) 5 5D) 7 5E) 12 0 ,0009 ⋅ 0 ,0000002EJEMPLO PSU-2: = 6 ⋅ 0 ,0003A) 10-15B) 10-12C) 10-7D) 10-6E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-3: El orden de los números: M = 4,51⋅ 10 −6 ; N = 45,1⋅ 10 −5 y P = 451⋅ 10 −7 ,de menor a mayor, esA) M, N, PB) P, M, NC) N, M, PD) P, N, ME) M, P, N 21
    • −3 1 EJEMPLO PSU-4:  a − 2  = 2  6A ) 8aB ) 8a − 5 1C ) a −5 2 1D ) a −6 8 1 6E) a 2EJEMPLO PSU-5: Si 2 2 x = 8, ¿cuántas veces x es igual a 9?A) 6 9B) 2C) 3 3D) 2E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-6: 4 −2 + 2 −3 − 2 −4 = 1A) 8 1B) 4 1C) 6D) − 8E) − 6EJEMPLO PSU-7: ( 2a ) 3 • ( 3a) 2 =A) 72a2B) 72a5C) 6a5D) 36a6E) 36a5 22
    • EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 2 6 ?A) 25B) 23C) 16 3 1D)   2 6 1E)   2EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)? I) a n ⋅ a n = a 2 n II ) a 2 n − a n = a n III ) ( 2 a n ) 2 = 2 a 2 nA) Solo IB) Sólo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41? I) 2 4 + 5 2 II ) 6 ⋅ 7 − 6 0 ⋅ 7 0 III ) 7 2 − 2 3A) Solo I y IIB) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II, IIIE) Ninguna de ellas 4 ⋅ 18 nEJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión es 3 −1 ⋅ 6 2 n +1 ⋅ 2 − nA) 2 nB) 4⋅ 2 nC) 2D) 6E) 36 23
    • 3,6 ⋅ 10 6 ⋅ 0 ,00006EJEMPLO PSU-12: = 20.000.000A ) 1,08 ⋅ 10 −4B ) 1,08 ⋅ 10 − 5C ) 1,08 ⋅ 10 −6D ) 1,08 ⋅ 10 −7E ) 1,08 ⋅ 10 −15EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 4 n + 4 n + 4 4 + 4 n = 2 44 , el valor de n es: 11A) 2B) 11C) 21D) 22E) ninguno de los valores anteriores –2EJEMPLO PSU-14: (0,2) =A) 5B) 10C) 25 1D) 25E) 5 a6b −15EJEMPLO PSU-15: = a − 2b − 5 9A) − 7B) a8b − 10C) a 4b − 20D) a − 3b 3E) − 9EJEMPLO PSU-16: Si 9 ⋅ 9 = 3 x . Entonces x=A) 2B) 3C) 4D) 6E) 27 24
    • EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20 minutos e inicialmentehay 5.000 de ellas, el número de bacterias que hay al término de 3 horas es:A) 5.000 ⋅ 33 bacteriasB) 5.000 ⋅ 34 bacteriasC) 5.000 ⋅ 39 bacteriasD) 5.000 ⋅ 360 bacteriasE) 5.000 ⋅ 3180 bacteriasEJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3? 1 I) 4x = 64 II) 4x ⋅ 43 = 1 III) (4−1 )x = 64A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-19: Si p = 5,2 • 10 −3 y q = 2 • 10 −3 , ¿cuál(es) de las siguientes igualdadesse cumple(n)? I) p + q = 7,2 • 10 −3 II) p • q = 1,04 • 10 − 5 III) p − q = 3,2A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-20: Si 3 x + 3 −x = P , entonces 9 x + 9 − x es igual a:A) P2B) P2 + 2C) P2 – 2D) P2 – 1E) 3P 25
    • IV. ALGEBRA y FUNCIONESEVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEvaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricosdados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entreparéntesis.TÉRMINOS SEMEJANTESSon aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y losmismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTESPara reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos ymantener su factor literal.USO DE PARÉNTESISEn Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Losparéntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos delos términos que están dentro del paréntesis.Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signosde cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez seencuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden alos paréntesis desde adentro hacia fuera.OPERATORIA ALGEBRAICAADICIÓN DE POLINOMIOSPara sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términossemejantes y uso de paréntesis.MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOSMONOMIO POR MONOMIO:Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usandopropiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto demonomios se multiplica sólo por uno de ellos. Es decir, a · (b · c) = (a · b) · cMONOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.Es decir, a(b + c + d) = ab + ac + ad 26
    • POLINOMIO POR POLINOMIO:Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomioy se reducen los términos semejantes, si los hay.PRODUCTOS NOTABLES:∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab∗ Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac∗ Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3EJEMPLO PSU-1: La expresión a 4 − b 4 se puede escribir comoA) (a − b) 4B) (a + b) 2 (a − b) 2C) (a 3 − b 3 )(a + b)D) (a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 )E) (a − b )(a 3 + b 3 )EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a − b)2, entonces a · b = n−pA) 2 n − p4 4B) 4 n − p2 2C) 4 n−pD) 4E ) 4( n − p) 27
    • xy − x ay − aEJEMPLO PSU-3: La expresión : es igual a: y y2A) 0 aB) xy axC) y xa(y − 1)2D) y3 xyE) aEJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n)1? 2a + 3 I) 3 + 2a a2 − b2 II ) (a − b ) 2 ( b − a) 2 III ) a 2 + b 2 − 2 abA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-5: El doble de − [− (a − ( − b ))]A) 2a + 2bB) a - b + 2C) a + b + 2D) a + bE) -2a - 2bEJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y,¿cuánto mide el ancho del rectángulo?A) 2x + yB) 4x + 2yC) 7x + 4yD) x + 2y 7E) x + 2y 2 28
    • EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2 x 2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x -3), el otro lado mideA) (x + 8)B) 2(x + 8)C) 2(x - 4)D) 2(x - 3)E) 2(x + 4) 1 a2 b2 − 1 1EJEMPLO PSU-8: Si a + =9 y 2 = 36 , entonces a − b b bA) -9B) 6C) 4D) 3E) 1EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de laexpresión algebraica 2 x 2 − 6x − 20 ? I) 2 II) (x − 5) III) (x + 2)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III zEJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide , entonces ¿cuánto 2mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo? zA) 4 zB) 2 2C) z zD) 2 z2E) 4EJEMPLO PSU-11: Si x = −3, entonces (x − 2)( 2 x 2 − 3) =A) − 45B) − 75C) 15D) 75E) 105 29
    • x yEJEMPLO PSU-12: Si x e y son números enteros diferentes de 0, entonces + = y x x2 + y2A) xy x+yB) xyC) 1 2x + 2yD) xyE) 2EJEMPLO PSU-13: (3w − 2)2 − 2(2w − 3)(2w + 3) =A) w 2 – 12w - 14B) w 2 – 12w + 22C) w 2 – 12w -5D) w 2 – 12w + 13E) w 2 – 12w + 14EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:A) 9B) 16C) 18 27D) 10E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-15: ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + k – 6?A) k + 1B) k + 2C) k – 6D) k – 3E) k – 2 30
    • EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) El área de ABCD es a2 + 2ab + b2 II) El área de la región achurada es (a + b)2 III) El área de AEFD es b2 + abA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-17: Si x es un número entero mayor que 1 y el área de un rectángulo seexpresa como (x2 + 5x – 6), ¿cuál de las siguientes opciones puede representar a sus lados?A) (x – 1) y (x – 5)B) (x + 2) y (x – 3)C) (x – 1) y (x + 6)D) (x + 1) y (x – 6)E) (x – 2) y (x – 3)EJEMPLO PSU-18: Dada la expresión x 2 y 2 + x 2 y + xy + x , ¿cuál(es) de las siguientesexpresiones es (son) factor(es) de ella? I) xy + 1 II) x + 1 III) y + 1A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III (EJEMPLO PSU-19: Si n es un número natural, una expresión equivalente a 3n − 3 − 3n − 2 ) 2es:A ) 2 ⋅ 3 2( n − 3 )B) − 2 ⋅ 3( n −3)C ) 4 ⋅ 3 2( n − 3 )D ) 16 ⋅ 3 2( n − 3 )E) − 8 ⋅ 3 2( n −3 ) 31
    • EJEMPLO PSU-20: a ⋅ [a − a − (a − a) ⋅ a − a] : −a =A) –a2B) –aC) aD) 2aE) a - 2 5a + 4 2a − 6EJEMPLO PSU-21: − = 3a − 6 2a − 4 2a + 13A) 3(a − 2) 2a − 5B) 3(a − 2) 2a + 5C) 3(a − 2) 2a − 3D) 3(a − 2) 3a − 2E) a − 10EJEMPLO PSU-22: Si mx2 – mp2 = 1 y x – p = m, entonces (x + p)2=A) 1 1B) m 1C) m2 1D) m3 1E) m4EJEMPLO PSU-23: a – a(1 –a)A) 1 - aB) aC) 0D) –a2E) a2EJEMPLO PSU-24: Si a ⋅ b = 10 y a2 + b 2 = 29 , entonces el valor de (a – b)2 es:A) 9B) 19C) 29D) 49E) No se puede determinar el valor 32
    • EJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (m + n ) 2 – 4mn?A) (m – n)2B) m2 – 2 + n2C) m2 – 4mn + n2D) 2m – 4mn + 2nE) 2m – 2mn + 2n m − mrEJEMPLO PSU-26: Sea m ≠ 0, al simplificar la expresión resulta: 2mA) 0 rB) − 2 1−rC) 2 m−rD) 2 1 − mrE) 2 x xEJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces ¿cuál es el valor de de t t +2m?A) 0 2xB) t(t + 2) −xC) t+2 − 2xD) t(t + 2) −2E) t(t + 2) 2EJEMPLO PSU-28: (30 + 5) – (30 + 5)(30 – 5) =A) 0B) 50C) 300D) 350E) 450 33
    • EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $ay el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero?A) $ aB) $ 7aC) $ (3a – b)D) $ (3a + 2b)E) $ (a + 2b)EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5entonces, el sucesor de ese número entero es:A) 6B) 7C) 8D) 14E) Ninguno de los anteriores 3xEJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el doble del ancho. 2¿Cuánto mide su perímetro? 9x 2A) 2B) 3x 9xC) 2D) 9xE) 6x 1 1 1EJEMPLO PSU-32: Si a = ,b= yc= , entonces la expresión x – (a + b + c) 2x 4x 6xequivale a: 12 x 2 − 11A) 12 x 2 x −7B) 12 x 11xC) 12 11D) 12 x 7E) 12 x 34
    • EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?I. El área del cuadrado de lado (a + b) es igual al áreaachurada.II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las áreas delcuadrado de lado a y el lado de b. 2 2III. a(a + b) > a + bA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadradosde lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?A) 8 – xB) 64 – 4x2C) 64 – x2D) 8 – x2E) 64 – x4EJEMPLO PSU-35: Si a∇b = (a + b) 2 y a# b = (a 2 + b 2 ) , ¿a cuánto equivale la expresiónA) -2m2 + 8p2B) -2m2 + 6mp + 8p2C) 8m2 + 6mp – 2p2D) -2m2 + 3mp + 8p2E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual aA) -10B) 10C) 13D) -25E) 25 35
    • EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen deotro cilindro P, entonces I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radiosdeben ser iguales. II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y lasalturas deben ser iguales. III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y lasalturas deben ser iguales.Es (son) verdadera(s)A) sólo I.B) sólo II.C) sólo III.D) sólo I y II.E) sólo I y III nEJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n 2 − + 3n es igual a: 3A) 6B) 9C) 14D) 17E) 18 2  2 EJEMPLO PSU-39:  x + y  x − y  = 3  3  4 2A) x − y2 3 4 2B) x − y2 9 2 2C) x − y2 9 4 2D) x − y2 6E) Ninguna de las expresiones anterioresEJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectángulo, entonces el área de la regiónachurada se expresa como:A ) x(z − y )B ) x( y − z )C ) xz xyD) 2 x( z + y )E) 3 36
    • x+y 1− x−yEJEMPLO PSU-41: para que la expresión = sea positiva, se debe cumplir x+y 1+ x−ynecesariamente que:A) xy < 0B) x < 0C) xy > 0D) y < 0E) x > yEJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión x 2 − x 3 + x 4 ?A) -9B) -3C) -1D) 1E) 3 2EJEMPLO PSU-43: ¿Cuál es el valor de x – 2xy, si x = 2 e y = – 1?A) 8B) 6C) 4D) 2E) 0EJEMPLO PSU-44: a – [–a – (–a + b – c)] =A) –a + b – cB) a + b – cC) –a – b + cD) a – b – cE) a + b + c 2EJEMPLO PSU-45: (3m – 5p) = 2 2A) 6m – 10p 2 2B) 9m – 25p 2 2C) 9m – 15mp + 25p 2 2D) 9m – 30mp – 25p 2 2E) 9m – 30mp + 25p 37
    • V. SIMBOLOGÍA:∗ Números natural cualquiera = n∗ El antecesor de un número = n – 1∗El sucesor de un número = n + 1∗Número natural par = 2n∗ Número natural impar = 2n – 1∗El cuadrado del sucesor de un número = (n + 1) 2∗El sucesor del cuadrado de un número = n2 + 1∗El cuadrado del sucesor del antecesor de un número = n2∗ Dos números naturales impares consecutivos = 2n – 1, 2n +1∗ El inverso aditivo u opuesto de un número = – n 1∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número = n∗El triple de un número = 3n∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifrade las decenas es d = 10d + u∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifrade las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u p∗La razón o cuociente entre p y q = q∗ El valor absoluto de un número = | n | p∗p es directamente proporcional a q = = k( cons tan te ) q∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x – 3) se expresa por:A) [2(x-3)]2B) 2(x2 – 32)C) (2x – 6)2D) 2(x – 3)2E) (x2 – 32)2 38
    • EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguienteproblema: “Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 más que ati, me quedo con 4”? 2xA) +5 = 4 5 2xB) +5 = x 5 xC) +9=x 5 2xD) +9= x 5 xE) +5 = 4 5EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado semultiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribeA ) d + 2d ⋅ 3d 2B ) d + 2d ⋅ ( 3d ) 2C ) (d + 2d ) ⋅ ( 3d ) 2D ) (d + 2d ) ⋅ 3d 2E ) (d + 2 ) ⋅ ( 3d ) 2EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo alcuadrado, se expresa como 2  1A)  n +   n 2 1 2B) n +   n 2 1C) n +   nD ) n + ( −n ) 2E) n 2 + (−n ) 2EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un círculo aumenta en ε unidades, entonces el área delnuevo círculo se expresa, en unidades cuadradas, comoA ) πr 2 + εB ) πr 2 + ε 2C ) π(r 2 + ε 2 )D ) π(r 2 + ε )E ) π(r + ε ) 2 39
    • EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”,se escribe 5m + m 2A) t m + m2B) 5 t m2C) 5m + t m m2D) + 5 t m + 2mE) 5 tEJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Sihace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se planteancorrectamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan? JA) M − 2 = y J + 2 = 10 4 JB) M − 2 = y J − 2 = 10 4 JC) M + 2 = y J − 2 = 10 4 JD) M − 2 = y J = 10 4 JE) M + 2 = y J + 2 = 10 4EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma desus edades en a años más?A) (11 + 3a) añosB) (11 + 2a) añosC) (11 + a) añosD) (8 + 3a) añosE) (5 + 3a) añosEJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado deldoble de (3 – b)” se representa como:A) [2(3 + b] = 2(3 − b)2 2B) 4(3 + b)2 = 4(3 − b)2C) [2(3 + b] = 2(3 + b)(3 − b) 2D) 2(3 + b)2 = 2(3 − b)2E) 2(3 + b)2 = [2(3 − b)] 2 40
    • EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el anchodel rectángulo es x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es:A) (4x + 16) metrosB) (2x + 8) metrosC) (2x + 16) metrosD) (4x + 8) metrosE) (4x + 32) metrosEJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291.¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de esteproblema?A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4unidades”, se expresa comoA) 2a + c + 4 = 18B) 2(a + c) – 4 = 18C) 2(a + c) + 4 = 18D) 4 – 2(a + c) = 18E) 2a + c – 4 = 18EJEMPLO PSU-13: Compré x kg de café en $ 36.000 y compré 40 kg más de té que de caféen $ 48.000. ¿Cómo se expresa el valor de 1 kg de café más 1 kg de té, en función de x? 36.000 48.000A) + x x + 40 36.000 48.000B) + x x − 40 x x + 40C) + 36.000 48.000 x x − 40D) + 36.000 48.000 36.000 48.000E) + x 40 41
    • VI. RAZONES y PROPORCIONES aRAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe o a: b. bY se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente. x yPROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe = ó x: a = y : b a bY se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.TEOREMA FUNDAMENTALEn toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. (x : a = y : b) ⇔ (x — b = y — a)OBSERVACIÓN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante deproporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k ≠ 0PROPORCIONALIDAD DIRECTADos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valorescorrespondientes es constante.OBSERVACIONES:En una proporción directa, si una cantidadaumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta(disminuye) el mismo número de veces.El gráfico de una proporcionalidad directacorresponde a una línea recta que pasa por elorigenPROPORCIONALIDAD INVERSADos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valorescorrespondientes es constante x1 — y1 = x2 — y2 = x3 — y3 = ..........= xn — yn = k k : constanteOBSERVACIONES:En una proporcionalidad inversa, si unacantidad aumenta (o disminuye) n veces, laotra disminuye (o aumenta) el mismo númerode veces.El gráfico de una proporcionalidad inversacorresponde a una hipérbola equilátera 42
    • EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla: A 10 15 20 B 3 x 1,5¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?: I. A y B son directamente proporcionales. II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 días, trabajando 8 horas diarias.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas diarias. II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales. III. La constante de proporcionalidad es 3.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces¿cuántos duraznos hay en la quinta?A) 54B) 77C) 84D) 126E) 210 43
    • EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1.Si x = 8, entonces y = 1A) 2 1B) 4C) 2D) 4E) 9EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que larazón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo alorden de las razones dadas?A) 180 mm 120 mm 90 mmB) 420 mm 180 mm 120 mmC) 320 mm 240 mm 160 mmD) 510 mm 120 mm 90 mmE) Ninguna de las medidas anteriores 1EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número y cuando a btoma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:A ) 10 8B) 5 5C) 8 1D) 10 15E) 4EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en él corresponden a 25 km enla realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distanciareal esA) 50 kmB) 65 kmC) 67,5 kmD) 62,5 kmE) ninguno de los valores anteriores. 44
    • EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Paramantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces NA) aumenta al doble.B) disminuye a la mitad.C) aumenta en dos unidades.D) disminuye en dos unidades.E) se mantiene constante. 1EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a . Según los y adatos registrados, el valor de , es bA) 256 z yB) 16 8 2 1 a 4C) 16 1 16D) 64 1 b 1 4E) 64EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dosciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?A 1,75 kmB 17,5 kmC 175 kmD 1.750 kmE 17.500 kmEJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre lospesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =A) 4: 7B) 4: 3C) 7: 4D) 3: 7E) 3: 4 45
    • EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal de un gas esP⋅V = constante, donde P es la presión del gas, V su volumen y T su temperatura Tabsoluta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A volumen constante la presión es directamente proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presión es inversamente proporcional al volumen III) A presión constante el volumen es inversamente proporcional a la temperaturaA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que susvolúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántoslitros tiene la mezcla total?A 6 litrosB 10 litrosC 12 litrosD 14 litrosE 16 litrosEJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razón entre mujeres y hombres es m:h. ¿Cuál es la expresión que representa el número de mujeres? 40mA) m+h 40(m + h)B) m 40(m + h)C) h 40hD) m+h 40mE) h 46
    • EJEMPLO PSU-15: El gráfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entrelas magnitudes m y t. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36 II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellasEJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada 3hombres, ¿cuántas mujeres asistieron al evento?A) 8B) 21C) 24D) 28E) 32EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombresse necesitan para fabricar x artículos en un día? hxA) 50 50xB) h xC) 50h hD) 50xE) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes permanentes. En el mes defebrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, ¿cuántas personas hay enfebrero?A) 416B) 4.000C) 12.500D) 15.000E) 17.500 47
    • EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional au, con constante de proporcionalidad 2, y w es inversamente proporcional a v, conconstante de proporcionalidad 8. ¿Cuáles de las siguientes relaciones entre dichasvariables representan este hecho? xA) =2 yw • v=8 uB) x – u = 2 y w + v = 8 wC) x • u = 2 y =8 vD) x + u = 2 y w – v = 8E) x + w = 10EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t días en hacer un jardín,otro trabajador Y se demora t + 15 días en hacer el mismo jardín, y si ambos trabajanjuntos se demoran 10 días. ¿Cuántos días se demorará Y trabajando solo?A) 30B) 28C) 25D) 20E) 15EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamenteproporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D =0,25, entonces entre ambos índices se cumple:A) D = 0,5CB) D = C2 0,5C) D = CD) D = 0,125C 0,125E) D = CEJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número deelectricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horasdiarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias II) El número de electricistas y el número de días son variables directamenteproporcionales III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III 48
    • TANTO POR CIENTOEl tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de lostérminos de la proporción es 100:P: Es el tanto por cientoC: Es la cantidad de referenciaQ: Es el porcentajeEl tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fracción es P P% de C = C 100OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOSi) Dos o más tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar a% de C ± b% de C = (a ± b)% de Cii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de lostantos por cientos a b El a% del b% de C = ⋅ ⋅C 100 100INTERÉS SIMPLEUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de nunidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad detiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por lafórmula:  i  C F = C 1 + n ⋅  100  OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés simple cuando, alfinalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses son retirados. En este caso el capitalpermanece inalterable.INTERÉS COMPUESTOUna cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de nunidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad detiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es: n  i  C F = C 1 +  100   49
    • OBSERVACIÓN: Un capital está sometido a un régimen de interés compuesto cuando, alfinalizar el periodo mínimo de depósito, los intereses no se retiran y se añaden al capitalpara producir nuevos intereses.EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y reponedores. Si el 60%de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y éstos son un tercio de loscajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?A) 108B) 72C) 180D) 90E) 54EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular elinterés simple anual.A) 5%B) 5,25%C) 5,5%D) 5,75%E) 15,75%EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Seofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuentaun 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cadapantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos.¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?A) $ 45.000B) $ 50.000C) $ 57.150D) $ 72.000E) $ 81.900EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, más un 8% de lasventas por comisión. ¿Cuánto debe vender para ganar $ 317.000 en el mes?A) $ 254.625B) $ 532.000C) $ 1.275.000D) $ 1.812.500E) $ 3.962.500 50
    • EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían 10 vasos para llenar el jarro. II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos para llenar el jarro. III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personassentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s) ? I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B. II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado enéste, menos del 50% de sus asientos vacíos. III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a lacapacidad de B.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y IIIEJEMPLO PSU-7: Un depósito contiene 20 litros que equivalen al 25% de su capacidad,entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregarA) 4 litros.B) 24 litros.C) 40 litros.D) 60 litros.E) ninguno de los valores anteriores. 51
    • EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%,30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en lasegunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un5,1?A) 5,0B) 5,1C) 5,2D) 6,0E) 6,3EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta sulargo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientesafirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto delárea original?A) Se mantiene igual.B) Aumenta en un 4%.C) Disminuye en un 4%.D) Aumenta al doble.E) Disminuye a la mitad.EJEMPLO PSU-10: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5%del precio de un artículo? 1 I) del precio del artículo 8 II) El precio del artículo multiplicado por 12,5 III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2 de cerámica y 100m2 de piso flotante para la sala de computación. Si el metro cuadrado de cerámica cuesta$P y el metro cuadrado de piso flotante es un 75% más caro que la cerámica, entonces elcosto total es de:A) $ 145⋅PB) $ 170⋅PC) $ 175⋅PD) $ 245⋅PE) $ 195⋅P 52
    • bEJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el valor de es: a 400A) 7 35B) 8 18C) 35 35D) 18 8E) 35EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividadextraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sextaparte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje deestudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?A) Menos del 91%.B) Entre el 91% y el 93%.C) Entre el 93% y el 95%.D) Entre el 95% y el 97%.E) Más del 97%.EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m2 en el primer pisoy 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p elmetro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresionesrepresenta el costo total C en alfombras?A) C = 1,6 • p • 100 + p • 100B) C = 0,6 • p • 100 + p • 100C) C = 0,6 • p • 60 + p • 40D) C = p • 60 + 0,6 • p • 40E) C = 1,6 • p • 60 + p • 40EJEMPLO PSU-15: El día lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos.¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) Faltó la cuarta parte del curso II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa el 25% del cursoA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 53
    • EJEMPLO PSU-16: Un niño aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumentoes: 1A) % 5 1B) % 6C) 3%D) 20%E) 30%EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 20% es geometría, el 10% esálgebra y el resto astronomía. Luego las páginas dedicadas a la astronomía son:A) 4B) 8C) 10D) 12E) 28EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad delprecio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600,¿cuánto me descuentan?A) $ 555B) $ 510C) $ 255D) $ 45E) $ 90EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400,ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja? 4A) % 3B) 10%C) 25%D) 33, 3 %E) 75%EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatroy los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relaciónal total del curso?A) 20%B) 80%C) 16,6…..%D) 83,3…..%E) No se puede determinar 54
    • EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: Mrecibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende$ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes,cada empleado? M PA) $ 288.000 $ 72.000B) $ 288.000 $ 172.000C) $ 388.000 $ 172.000D) $ 960.000 $ 240.000E) $ 960.000 $ 340.000EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre unacuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá enla cuenta, en pesos, 100A) 1.000 + 1.000 ⋅ 12 12  100 B) 1.000 + 1.000 •    12 C) 2.000 100D) 1.000 • 12 12  100 E) 1.000 • 1 +   12 EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quintaparte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 4 I) Las gallinas que no son blancas son T 5 II) El 20% de las gallinas son blancas III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número degallinas que son blancasA) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuálnúmero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?A) Por 15%B) Por 0,15C) Por 1,5D) Por 1,15E) depende del precio de cada artículo 55
    • EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interéscompuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada nt  1 por: P = C1 +  .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto  100n trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:A ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 4B ) 50.000 ⋅ (1,06 ) 3C ) 50.000 ⋅ (1,18) 4D ) 50.000 ⋅ (1,015) 3E ) 50.000 ⋅ (1,015) 4EJEMPLO PSU-26: En una liquidación de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya hasido rebajado en un 70%. ¿Cuánto costaba el abrigo antes de la liquidación?A) $ 21.450B) $ 23.571C) $ 28.050D) $ 55.000E) $ 115.500EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, unaestampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículoen $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?A) $ 600B) $ 750C) $ 792D) $ 800E) $ 19.200EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practicanteatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatrocon respecto al total de alumnos del curso?A) 83, 3 %B) 80%C) 20%D) 16, 6 %E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000,durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5?A) 5,0%B) 5,5%C) 5,27%D) 5,25%E) 5,05% 56
    • VII. RAÍCESSi n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, nonegativo, tal que b n = a n a = b ⇔ b n = a, b ≥ 0Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b,tal que b n =a n a = b ⇔ b n = a, b ∈ ROBSERVACIONES1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL n2. La expresión a k , con a real no negativo, se puede expresar como una potencia de kexponente fraccionario n ak = a n3. a 2 = a , para todo número realPROPIEDADESSi n a y n b están definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n n n a • b = a⋅bDIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE n a a = n , b≠0 n b bPOTENCIA DE UNA RAÍZ n am = ( a) n m , a>0RAÍZ DE UNA RAÍZnm nm a = aAMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ n a = mn am m ∈ Z+ , a ∈ R+PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE n a • mb = mn am ⋅ b n , a, b ∈ R +FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL b n a = n b n ⋅ a, b ∈ R + 57
    • RACIONALIZACIÓNRacionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracciónequivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz aFracciones de la forma b c aFracciones de la forma p b +q cEJEMPLO PSU-1: 5 12 − 2 27A) 16 3B) 4 3C) 2 3D) 3 3E) No se puede det er min ar 1 1 4EJEMPLO PSU-2: 6+ − 5+ + 8− = 4 16 25 61A) 20 7 6 2B) − + 2 4 5 151C) 20 7D) 6 − 5+ 8+ 20E) Ninguno de los valores anteriores a2x + 2 • ax + 1 = 3 3EJEMPLO PSU-3:A) a3x + 3 a3 x + 3 6B)C) a3xD) ax + 3E) a x + 1 58
    • EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) cuando lavariable x toma los tres valores 0, 1, –1? I) x 2 = −x II) x2 = x III) x2 = xA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Ninguna de ellas.EJEMPLO PSU-5: ( 2 − 2)3( 2 + 2)4 + ( 2 − 2)4( 2 + 2)3 es un número:A) Racional positivoB) Racional negativoC) Irracional positivoD) Irracional negativoE) No real 2EJEMPLO PSU-6: 3 = 2 3A) 4 3B) 2 6C) 8 6D) 2E) 1EJEMPLO PSU-7: Si 2 = a , 3 = b y 5 = c entonces ¿cuál(es) de las expresionessiguientes es(son) equivalentes a 60 I) 2bc 4 II) a 4b 2 c 2 III) a2bcA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III 59
    • 2 7 + 14EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión resulta 7A) 2 3B) 2 + 14C) 2 + 2D) 2 7 + 2E) 4EJEMPLO PSU-9: 12 − 2 + 8 − 3 =A) 3+ 2B) 15C) 10 + 5D) 20 − 5E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-10: ( 50 + 512 − 242 ) : 2 =A) 10B) 10 2C) 8 5D) 32E) 40 55 + 55 + 55 + 55 + 55EJEMPLO PSU-11: = 3 55 + 55 + 55 + 55 + 55A) 5 5B) 56C) 1 2D) 53 3E) 5 2 60
    • EJEMPLO PSU-12: Si 2 + 3 − 2 − 3 = t , entonces el valor de t2 – 2 es:A) 2 3 − 2B) 0C) 2 3D) 2E) − 2EJEMPLO PSU-13: (0,25)1 − a = −a 1A)   2 1−a 1B)   2 a − 1 2C)   2 a 12D)   2 a 1E)   2EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál(es) de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) dey = x2 + 5 + x2 I) (2,5) II) (2,-5) III) (2,-1)A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellosEJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) 2⋅ 8 II) 3 +3 3 6 III) 24A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III 61
    • 6 3EJEMPLO PSU-16: − = 2+ 2 2− 2A) 0 3B) 2 2C) 6 − 9 2 6−9 2D) 2 6−3 2E) 2EJEMPLO PSU-17: Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?A) x > x 1B) < x x 1C) > x xD) x > 1E) x < xEJEMPLO PSU-18: 3 27x ⋅ 27−3 =A) 27x ⋅ 27−9B) 33x ⋅ 3−9C) 3x +3D) 9x +3E) 3x −3 11 1EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales − 3 2 , − ,− 7 ,− 2 3 ,− 4 , al 3 3ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:A) − 2 3B) − 3 2C) − 7 11D) − 3 1E) − 4 3 62
    • EJEMPLO PSU-20: (5 2 − 3 )( 3 + 5 2 ) =A) − 25 5B) 24 5C) 7D) 47E) 0EJEMPLO PSU-21: El número 216 es igual a:A) 2 4B) 32C) ( 2) 4D) 214E) Ninguno de los números anteriores 63
    • VIII. ECUACIONES:(a) Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operacionesadecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita.(b) Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencillasi se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todoslos denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contengafracciones.(c) Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:Paso 1: Leer con atención el problema.Paso 2: Anotar los datos del problema.Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido porun literal (letra).Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación.Paso 5: Resolver la ecuación.Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos.PROBLEMAS CON FRACCIONESSon problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un a anúmero. La fracción de un número x se calcula multiplicando por x. b bPROBLEMAS DE DÍGITOSPara este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de laforma x y z queda representado por x · 102 + 101 + z · 100PROBLEMAS DE EDADESEn estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentesindicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,según corresponda: Edad pasada Edad Actual Edad futura (hace b años) (dentro de c años) x-b x x+c y-b y y+cB. ECUACIONES LINEALES:La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1,y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:d AB = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 64
    • Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento ABsonPENDIENTE DE UNA RECTAEs la tangente trigonométrica del ángulo deinclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje xhacia la recta)RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LARECTASea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces:(α = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0) L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva(α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0) L es paralela al eje y L tiene pendiente negativaECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTELa ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es 65
    • CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, laecuación anterior se escribe: Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posiciónECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOSLa ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) esECUACIÓN GENERAL DE LA RECTAToda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 son constantes reales y losnúmeros A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si sedespeja y en función de x se obtiene la ecuación principal: −A −C −A −C y = x+ donde m= y n= B B B BRECTAS PARALELASDos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces:RECTAS PERPENDICULARESDos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces: 66
    • SISTEMAS DE ECUACIONESDos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyenun sistema de ecuaciones lineales.La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambasecuaciones.OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea rectaen un sistema de ejes coordenados.MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CONDOS INCÓGNITASRESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuacioneslineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejescoordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema(figura 1).ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3). L1 ∩ L2 L1 ∩ L2 = L1 = L2 L 1 ∩ L 2 = ∅ (Vacío)RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos:sustitución y reducción.MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de lasecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación conuna incógnita.MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose unsistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando asíuna ecuación con una incógnita. 67
    • ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOSINCÓGNITAS a1 x + b1 y = c 1Sea el sistema:  Entonces: a2 x + b 2 y = c 2 a1 b* El sistema tiene solución única si ≠ 1 a2 b2 a1 b c* El sistema tiene infinitas soluciones si = 1 = 1 a2 b2 c2 a1 b c* El sistema no tiene solución si = 1 ≠ 1 a2 b2 c2EJEMPLO PSU-1: La ecuación de una recta es x – my – 2 = 0. Si el punto (–2, 8) pertenece aesta recta, entonces el valor de m esA) –2B) –3 1C) – 2 1D) 2E) 2EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P1 de coordenadas (1, 3) tienependiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P2 de coordenadas (8, 2).Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x valeA) − 5B) − 2C) 2D) 5 1E) − 2 1−x 2EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = ? 15 5A) - 5B) 5C) – 25D) 25E) – 35 68
    • EJEMPLO PSU-4: En un supermercado el precio de costo de un kilogramo de pan es de $600 y lo venden en $ 820; las conservas de mariscos tienen un costo de $ 800 y las vende en$ 1.060. Si la política de asignación de precios del supermercado es lineal, ¿cuál es el preciode venta de un kilogramo de arroz cuyo costo es de $ 400?A) $ 600B) $ 580C) $ 547D) $ 537E) $ 530EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de lassiguientes opciones representa a la ecuación de la recta L1? 5A) y = x−2 4 5B) y = (x − 2) 4 4C) y = (x − 2) 5 4D) y = x−2 5 5E) y = − (x − 2) 4EJEMPLO PSU-6: La relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius es lineal. Si sesabe que 32º F corresponde a 0º C y 212º F corresponde a 100º C, entonces ¿cuál es latemperatura en grados Celsius que corresponde a 55º F aproximadamente?A) – 21º CB) – 12,7º CC) 12,7º CD) 23º CE) 25,9º CEJEMPLO PSU-7: La ecuación (2 – k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a larecta cuya ecuación es – 6x + y – 9 = 0. ¿Cuál es el valor de k?A) 20 3B) 2C) 8 7D) 2 13E) 6 69
    • 3EJEMPLO PSU-8: Si 1 − = 9, entonces x = x 9A) − 2 2B) − 9 9C) 2 8D) 3 3E) − 8EJEMPLO PSU-9: ¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de 3x + y = 4con y + x = 0?A) B) C)D) E) 3x − my = 9EJEMPLO PSU-10: En el sistema,  nx + 4y = −11¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ? m nA) − 2 1B) − 2 − 1C) 2 1D) 4 −23E) Ninguno de los valores anteriores 70
    • EJEMPLO PSU-11: En la figura, la ecuación de L1 es y + x = 5, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) L1 // L2 II) La ecuación de L2 es y = -x + 3 III) Ambas rectas tienen igual inclinaciónrespecto del eje xA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: La intersección de las rectas y = 5 – x e y = x – 1 es el punto:A) (2,3)B) (2,1)C) (3,-2)D) (0,2)E) (3,2)EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años.¿Qué edad tendrá Juan en un año más?A) 21 añosB) 20 añosC) 16 añosD) 15 añosE) 11 añosEJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y deseanrepartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar lacuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?A) $ 20.000B) $ 22.000C) $ 25.500D) $ 26.000E) $ 29.500 71
    • EJEMPLO PSU-15: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos deharina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo deharina?A) $(s − 3p)  s − 3p B) $   2   s + 3p C) $   2  s − pD) $   2 E) $(s + 3p) 2x − 1EJEMPLO PSU-16: Si − 3 = , entonces ¿cuánto vale x? 1 − 3x 2A) 7 4B) 7 2C) − 5D) 2E) 4EJEMPLO PSU-17: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:A) 9B) 16C) 18 27D) 10E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada porla ecuación x = a?A) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a).B) La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0).C) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a).D) La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0).E) La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a). 72
    • EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x 2hectáreas, al del medio los de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las 3hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibióA) 2.000 hectáreasB) 4.000 hectáreasC) 5.333, 3 hectáreasD) 6.000 hectáreasE) 8.000 hectáreas 5x − ky = 2EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema  no tiene solución? 3x + 2y = 3A) 2B) -2 10C) - 3 4D) - 3 3E) - 2 x+2EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación = −1 ? 3A) -9B) -5C) -1 1D) 3E) 1EJEMPLO PSU-22: ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación0,03x = 5,2? 26A) 0,03x = 5B) 3x = 5,2 ⋅ 10 − 2 3 1C) x =5 100 5 3D) x = 5,2 100E) 3 ⋅ 10 − 2 x = 5,2 73
    • a + b = 6 EJEMPLO PSU-23: Si 1 1 2 , entonces a ⋅ b = a + b = 3 A) 3B) 9 1C) 3 2D) 3E) 1EJEMPLO PSU-24: Dada la recta de ecuación y = 2x y (2,1) es el punto medio delsegmento que corta a la recta en P y al eje x en Q. Las coordenadas del punto P son: 1 A)  ,1 2  1 3B)  ,  2 2C) (4,2)D) (2,4)E) (1,2)EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luiscompran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y lecosto $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?A) 4aB) 16a aC) 3 3aD) 4 4aE) 3EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramosde plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semanasiguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramosde manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana?A) $450B) $350C) $400D) $346E) $292 74
    • EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A(-1,-2), B(5,-2) y C(5,3), en el sistema de ejescoordenados, se pude afirmar que: I ) AB ⊥ BC II ) AB es paralelo al eje X III ) (0 ,5) es un punto del trazo BCEs(son) correcta(s):A) Solo IIB) Solo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III x + y = 7a + 3bEJEMPLO PSU-28: Según el sistema  , ¿cuál es el valor de y? x − y = 7a − 3bA) 6bB) 3bC) bD) -bE) -3bEJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La pendiente de la recta L es negativa. II. El punto (a, b) pertenece a la recta. ax III. La recta L es perpendicular a la recta y = . bA) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo II y IIID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-30: Tres números enteros consecutivos suman cero. Entonces esverdadero que: I) El número mayor y el menor suman cero II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor III) La diferencia entre el mayor y el menor es ceroA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 75
    • EJEMPLO PSU-31: En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuacióny = px + q. ¿Cuál es el valor de q?A) 1B) 2C) 0D) -1E) -2EJEMPLO PSU-32: Si 3 ⋅ 2(2x + 4) = 24 , entonces x es igual a:A) -4B) 0C) 3D) 4E) 36EJEMPLO PSU-33: Si 6 – 2x = 14, entonces x – x2 es igual a:A) -20B) -10C) -30D) 10E) 30EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo queuna de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?A) 250 cm y 50 cmB) 150 cm y 150 cmC) 175 cm y 125 cmD) 200 cm y 100 cmE) Ninguna de las medidas anterioresEJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) La pendiente de AD y de BC no es un número real II) La pendiente de DC es cero III) La pendiente de AB es positivaA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 76
    • EJEMPLO PSU-36: Hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma desus edades en a años más?A) (11 + 3a) añosB) (11 + 2a) añosC) (11 + a) añosD) (8 + 3a) añosE) (5 + 3a) añosEJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?A) $ aB) $ 7aC) $ (3a – b)D) $ (3a + 2b)E) $ (a + 2b)EJEMPLO PSU-38: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5entonces, el sucesor de ese número entero esA) 6B) 7C) 8D) 14E) ninguno de los anteriores. 2t − 1EJEMPLO PSU-39: Si = 4 , entonces t = 2A) 5B) 3 3C) 2 9D) 2 7E) 2 77
    • EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros dellicor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla? a+bA) $ 3 a+b B) $ 5 C ) $( 2 a + 3b) 3a + 2 bD) $ 18 5 • ( 3a + 2 b)E) $ 18 78
    • VII-2: DESIGUALDADESLlamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a ≥ b ó a ≤ b. lasdesigualdades cumplen con las siguientes propiedades:Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, elsentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + cPropiedad 2: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismonúmero positivo, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bcPropiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismonúmero negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son números reales tales que a<b y c< 0, entonces ac > bcINTERVALOSIntervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a yb. se simboliza por ]a , b[Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidosambos. Se simboliza como [a,b]Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números realescomprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. sesimboliza por: [a, b[Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números realescomprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simbolizapor: ]a, b]]a , b[ = {x ∈ R / a < x < b}En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en estecaso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo[a , b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} 79
    • En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, quedichos puntos pertenecen al intervalo[a , b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b}Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda]a , b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}Este intervalo también se denomina semicerrado por derechaINECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITASon desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0, ax + b≤ 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de laincógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puederepresentar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráficaSISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITAEs un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. Elconjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S1,S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución delsistema, entonces: S = S1 ∩ S 2 ∩ S 3 .... ∩ SnPROBLEMAS DE INECUACIONESEn estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ≥ ó ≤,tales como: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤), “como mínimo” (≥), “como máximo (≤),“sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema deinecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas deecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema. 80
    • EJEMPLO PSU-1¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones x − 1 < 2  ? x + 1 > 2A) ] ,3[ 1B) ]− ∞,−3[ ∪ ]3,+∞[C) ]− ∞,1[ ∪ ]3,+∞[D) [1,3]E) ]3,+∞[EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a unadistancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?A) ]6,8[B) ]6,28[C) ] 12,−6[ ∪ ]6,28[ .D) ]− ∞,28[E) ]− ∞,−12[ ∪ ]− 6,6[ ∪ ]28, ∞[EJEMPLO PSU-3: 3x – 8 < 5x + 5, ¿cuánto vale x? 13A) x < 2 13B) x> 2 13C) x<− 2 13D) x>− 2 2E) x>− 13 2x + 4 ≥ 6EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones , ¿cuál es el x + 1 < 4gráfico solución? A) B) C) D) E) 81
    • EJEMPLO PSU-5: Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un númeromenor que 47, entonces el número debe ser menor que:A) 42B) 49C) 52 82D) 7 52E) 7EJEMPLO PSU-6: El gráfico que representa al conjunto solución de la inecuación –6 ≥ 4xesEJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de 3x − 6 < 3inecuaciones  es 4 − 2x ≤ 6 82
    • B. ECUACIONES CUADRATICAS:— Ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 − b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c— Fórmula cuadrática: x = 2⋅a— Número de soluciones: (∆: discriminante) (∆: b2 – 4ac)∆ > 0…. 2 raíces reales y distintas∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales∆ < 0…. No tiene raíces reales— Cortes en el eje x: ∆ > 0…. 2 cortes en el eje x ∆ = 0…. 1 corte en el eje x ∆ < 0…. No corta el eje x b c— Propiedades de las raíces: x1 + x 2 = − x1 • x 2 = a aEJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que: I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X. II. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X. III. Si a < 1, no hay intersección con el eje X.A) Sólo IB) I y IIC) II y IIID) Sólo IIE) Sólo I y IIIEJEMPLO PSU-2: Un patio rectangular de 24 m2 de superficie, tiene 2 metros más defrente que de fondo. Si x es la medida del fondo, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permitecalcular las dimensiones del patio?A) x(x + 2) – 24 = 0B) x(x – 2) – 24 = 0C) x(x – 2) + 24 = 0D) x2 - 22 = 0E) 4x - 20 = 0EJEMPLO PSU-3: Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x − 1) = 20 sonA) 1 y 20B) 2 y 20C) 4 y 5D) 4 y − 5E) −4 y 5 83
    • EJEMPLO PSU-4: Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, entonces¿cuál es el valor de c?A) - 24B) -8C) -2D) 2 5E) 3 2EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión x 2 + cuando x satisface la x 15igualdad x + = 16 ? xA) 4B) 3C) 1D) 0E) -1EJEMPLO PSU-6: El conjunto solución (o raíces) de la ecuación x2 + 1 = x + 1 es:A) {0}B) {1}C) {0,1}D) {0,-1}E) Ninguno de los conjuntos anteriores 84
    • IX. LOGARITMOS:(1) log a 1 = 0( 2 ) log a a = 1( 3) log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y x( 4 ) log a   = log a x − log a y y  ( 5) log a x y = y ⋅ log a x 1(6 ) log a n m = ⋅ log a m n log b— Cambio de base: log a b = log aEJEMPLO PSU-1: log (a + b)2 – log (a + b) =A) 2B) a + bC) log a + 3log bD) log a + log bE) log (a + b)  1 EJEMPLO PSU-2: Si log  = 2 entonces x vale: 1 − x  99A) − 100B) − 99 99C) 100 101D) − 100 19E) 20EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?A ) log 6 ⋅ log 2B ) log 10 + log 2C ) 2 ⋅ log 6D ) log 2 ⋅ log 2 ⋅ log 3E ) log 6 + log 2 85
    • 1 log 2 8 − log 3  EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión  9  es log 4 16 5A) 2 1B) 2C) 3 5D) 4 7E) 4EJEMPLO PSU-5: log32 = a resultaA) a3 = 2B) a2 = 3C) 23 = aD) 32 = aE) 3a = 2EJEMPLO PSU-6: Si a > 1, entonces log 2 (log a a 2 ) =A) 0B) 1C) 2D) aE) a2EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I ) log 1 ⋅ log 20 = log 20 1 II ) log ⋅ log 30 < 30 2 III ) log 4 ⋅ log 10 = log 4A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III 86
    • EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? 1 I ) log 3   = −2 9 II ) Si log 3 x = −2 , entonces x = 3 1 III ) Si log x 49 = −2 , entonces x = 7A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-9: log 2.0002 =A) 4 • log 1.000B) 6 + 2 • log 2C) 2(6 + log 2)D) 2(log 2)(log 1.000)E) 3 + 2 • log 2 87
    • X. FUNCIONES:DEFINICIÓN: funciónSean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cadaelemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.Se expresa como: y f: A → B x y x → f(x) = y Re corrido x Do min ioSe dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y sedenota Dom f.∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y sedenota Rec f.∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, tambiénaumenta la variable dependiente.∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variabledependiente disminuye.∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente,la variable dependiente toma un único valor.EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓNPara encontrar los valores de las imágenes de unafunción definida, se reemplazará la variableindependiente por el número o expresión quecorresponda.Ejemplo: Si f(x) = 3x – 1, la imagen de -1 sería f(-1) =3 — (-1) – 1 = - 4.Si la imagen es 29 y la función es f(x) = 2x + 1, la pre-imagen se obtendrá igualando2x + 1 = 29 de aquí x = 14 pre-imagen.∗ Función continua: Es aquella en la que su gráficase puede recorrer en forma ininterrumpida en todasu extensión (figura 1).∗ Función discontinua: Es aquella que no es continua, es decir, presenta separacionesy/o saltos en su gráfica (figura 2 y 3).∗ Función periódica: Es aquella en la que parte de su gráfica se repite cada ciertointervalo, llamado período (figura 4). 88
    • A. FUNCION DE PRIMER GRADO: y f (x) f (x) y∗ f(x) = ax + b a>0 a<0 m negativa m positiva x xB. FUNCION LINEAL: y∗ Función de primer grado f (x) = ax + b, con b = 0: f (x) = axf(x) = ax , con a ≠ 0 x∗ La recta pasa por el origen.C. FUNCION IDENTIDAD: yFunción lineal f(x) = ax, con a = 1:f(x) = x f (x) = x x∗ La recta pasa por el origen.∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.TRASLACIÓN DE FUNCIONESSea y = f(x) una función.La función y = f(x) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y. Si k > 0 eldesplazamiento es en el sentido positivo del eje y, y si k < 0 el desplazamiento es en elsentido negativo (figura 1 y 2).La función y = f(x – h) es la función f(x) trasladada h unidades en el eje x. Si h > 0 eldesplazamiento es en el sentido positivo del eje x, y si h < 0 es en el sentido negativo(figura 3 y 4).La función y = f(x – h) + k es la función f(x) desplazada k unidades en el eje y, y hunidades en el eje x.Si f(x) = ax entonces:f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x – h), h < 0 f(x) = a(x – h), h > 0 89
    • D. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOEl valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número real nonegativo.  x Si x ≥ 0 f(x) = x =  , x∈R − x , Si x < 0Representaciones gráficasa indica el punto de traslación en el eje b indica el punto de traslación en el ejede las ordenadas de las abscisas. yE. FUNCION CONSTANTE: 3∗ Función de grado cero. x∗ Su gráfico es una recta horizontal. f (x) = 3F. FUNCION CUADRATICA: y∗ Función de segundo gradof(x) = ax2 + bx + c∗ Se grafica una curva llamada parábola. x f (x) = ax2 + bx + cA la función de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c ∈ lR y a ≠ 0 se ledenomina función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es unaparábola, simétrica con respecto a una recta paralela al eje de las ordenadas. Dicha rectarecibe el nombre de eje de simetría. 90
    • Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola Si a > 0, la concavidad de la parábola está Si a < 0, la concavidad de la parábola Orientada hacia arriba está orientada hacia abajo INTERSECCIÓN CON EL EJE YLa parábola asociada a la función y = ax2 + bx + c siempre intersecta al eje de lasordenadas en y = c. CEROS DE LA FUNCIÓNLos ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0 91
    • DISCRIMINANTELa expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de lasraíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + cEJE DE SIMETRÍAEl eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas”congruentes.VÉRTICE DE LA PARÁBOLAEl vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría. 92
    • G. FUNCION RAIZ CUADRADA:Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x porOBSERVACIONES:i. La función es creciente.ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.∗ Su dominio son los IR+ U {0}.H. FUNCION EXPONENCIAL:La función f definida por f( x ) = a x , con a ∈ R + y a ≠ 1 se denomina función exponencial.GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL x 1 f( x) =   f( x ) = 2 x 2En las gráficas se puede observar que:∗ La gráfica intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).∗ Si a > 1, entonces f(x) = a x es creciente.∗ Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente.∗ La gráfica no corta al eje de las abscisas. 93
    • I. FUNCION LOGARITMICA:Una función f definida por f( x ) = log a x , con a ∈ R + , a ≠ 1 y x > 0 se denomina funciónlogarítmica f( x ) = log 2 x f( x ) = log 2 x f( x ) = log 1 x 2 f( x ) = log 1 x 2En los gráficos se puede observar que:∗ La gráfica intersecta al eje x en el punto (1,0)∗ Si a > 1, entonces f( x) = log a x es creciente∗ Si 0 < a < 1, entonces f( x) = log a x es decreciente∗ La curva no intersecta al eje y 94
    • J. FUNCIÓN PARTE ENTERADado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor oigual a x.Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo elnúmero 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6.Su representación gráfica esOBSERVACIÓN: A la gráfica de esta función se le llama “función escalonada”.APLICACIONES LINEALESEn el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende,es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional.La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación. 95
    • − 2x + 3EJEMPLO PSU-1: Si f(x) = , entonces f(7) es igual a: −2A) 4 17B) 2 11C) − 2 11D) 2 17E) − 2EJEMPLO PSU-2: En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamientopor horas. Un automovilista estaciona durante 4días: el primer día 152 minutos, el segundo día180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuartodía 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por losdías que estacionó?A) $ 1.900B) $ 2.300C) $ 2.400D) $ 2.000E) Ninguno de los valores anteriores.EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1y g(x) = x2 + 1?A) B) C) D) E) 96
    • EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2,donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) delos siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? I) 6 segundos II) 10 segundos III) 14 segundosA) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) Sólo en I y en IIE) Sólo en I y en III 1EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola y = ( x − 1) 2 ¿Cuál(es) de las siguientes 2afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La parábola se abre hacia arriba II) Su vértice se encuentra en (1,0) III) Su eje de simetría es x = 1A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: ¿Cuál es el dominio de la función f( x) = x 2 − 4 en los números reales?A) [2,+∞[B) [− 2,+∞[C) [0,+∞[D) ]− ∞,−2] ∪ [2,+∞[E) [4,+∞[EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respectodel gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III 97
    • EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura?A) y = (– x + 1)(x – 2)B) y = (x + 1)(x – 2)C) y = (– x + 1)(x + 2)D) y = (– x – 1)(x – 2)E) y = (x + 1)(– x – 2)EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valorde f(a) esA) 1B) 1 − aC) 2 − aD) 1 + aE) 3 − 2aEJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?A) -3B) -2C) 3D) 2 3E) 2EJEMPLO PSU-11: Del gráfico de la función real f( x) = 1 − x , se puede afirmar que: I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1Es(son) verdadera(s):A) Solo IIB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: Si f(x) = 5x, entonces 5 • f(5x) es igual aA) 125xB) 25xC) 125x2D) 25x2E) ninguna de las expresiones anteriores. 98
    • EJEMPLO PSU-13: Considere la función f(x) = 2x2 + 4x + 5, con x en los números reales. Elmenor valor que alcanza la función esA) 5B) 3C) 2D) 0E) –1EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)? I) f(x) ≠ g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y IIIEJEMPLO PSU-15: Si f(x) = x a + 1 y f(2) = 9, entonces a =A) 9B) 4C) 3D) 2E) 8 1−xEJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por f( x) = , x+1entonces f(-2)A) 1B) -1C) 3D) -3 1E) - 3 99
    • EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x)= -(x + 1)2 + 1?EJEMPLO PSU-19: Considere la función f(x) = x2 – 8x + 15, ¿cuál(es) de las afirmacioneses(son) verdadera(s)? I) El gráfico de la función intersecta en dos puntos al eje x II) Su valor mínimo es -1 III) f(-3) > 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 100
    • EJEMPLO PSU-20: El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana.¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita relacionando el nivel deagua y con el número de semana x?A) y = -12 + 0,5xB) y = - 0,5 + 12xC) y = 12 + 0,5xD) y = 12 – 3,5xE) y = 12 – 0,5xEJEMPLO PSU-21: De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientesigualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0) II) 3⋅f(-2) – f(0) = 2⋅f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-22: Sea la función de números reales f(x) = x2 – 3, ¿cuál es el conjunto delos números reales t que satisfacen f(t) = 1?A) {-2}B) {-2,2}C) {2}D) {4}E) No tiene solución en el conjunto de los números realesEJEMPLO PSU-23: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = x2 – 5x +6? 101
    • EJEMPLO PSU-24: La línea quebrada de la figura es el gráfico de la función f(x) =A) 2xB) x + xC) x − xD) x − xE) 3 x − xEJEMPLO PSU-25: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de lafunción f(x) = x2 – 1?EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientestarifas según tramo de consumo: Consumo en m3 Precio 0-9 $3.000 10 – 19 $ 8.000 20 o más $11.000Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a unnúmero entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficosinterpreta el sistema de cobros de la empresa? 102
    • EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)verdadera(s)? I) La pendiente de la recta es igual a 5 II) El punto (1,15) pertenece a la recta III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y IIIEJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa algráfico de la figura?A) y = x2B) y = x3C) y = 4x4D) y = 4xE) y = 4x2 103
    • EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: A = π ⋅ r 2¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. π es variable. II. r es variable y A sólo toma valores positivos. III. A es función de r.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo IID) Sólo II y IIIE) I, II y III x−3 −xEJEMPLO PSU-30: Dada la función f( x) = , entonces f(-4)= 2−x 11A) 6 1B) − 2 1C) 2 11D) − 6E) Otro valor EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cadaKm. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x)es:A ) y = 150 + 300 ⋅ [x]B ) y = 150 ⋅ [x] + 300C ) y = 150 ⋅ [x − 1] + 300D ) y = 150 + 300 ⋅ [x − 1]E ) y = 150 + 300 ⋅ [x + 1]EJEMPLO PSU-32: Dada la función f( x) = ( x − 2 ) , se puede afirmar que: I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la funciónA) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 104
    • EJEMPLO PSU-33: Si f(x) = mx + n, ¿qué valores deben tener m y n, respectivamente, demodo que f(3) = 8 y f(2) = 6? 1A) y5 2 1B) - 1 y 2C) 2 y 2 1 13D) y 2 2E) 2 y 10EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas parasus clientes:Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horariodiurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, encualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadasen cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) conrespecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horarionocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horarionocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos enhorario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-35: Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número delámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la funcióncosto C(x)?A) C(x) = x + 1.005.000B) C(x) = 1.000.000x + 5.000C) C(x) = 1.005.000xD) C(x) = 5.000x + 1.000.000E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000 105
    • EJEMPLO PSU-36: Dada la función f(x)= 2 1 − x − x , ¿cuál(es) de las siguientes igualdadeses(son) verdadera(s)? I ) f( −2 ) = f( −1) 1 1 II ) f   = 2 2 III ) f( 2 ) = 0A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-37: Si f(x) = log2x, entonces f(16) – f(8) es:A) 1B) 2C) 3D) 4E) 7EJEMPLO PSU-38: Si f(x) = x2 + 3x – 4, entonces f(x + 1) es igual a:A) x2 + 3x - 2B) x2 + 5x – 3C) x2 + 5x – 2D) x2 + 5xE) x2 + 3xEJEMPLO PSU-39: dada la parábola de ecuación y = x2 – 2x + a, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x III) Si a < 1, la parábola no intersecta al eje xA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III 106
    • EJEMPLO PSU-40: Sea la función cuadrática f( x ) = ax 2 + bx + c , ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si a < 0, entonces la función tiene un máximo II) Si c = 0, la gráfica de la función pasa por el origen III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntosA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por elgráfico de la figura?A ) f ( x ) = 8xB ) g( x ) = 2 x 2C ) h( x ) = 4 x 2D ) t( x ) = 2 x 3E ) s( x ) = x 4 107
    • XI. ANGULOS:Clasificación de ángulosSegún su medida, un ángulo puede ser: DEFINICIÓNÁngulo Agudo: su medida es menor que90° ∠ AOB < ∠ α < 90º DEFINICIÓNÁngulo Recto: su medida es 90°, es decir,mide la cuarta parte del ángulo completo. ∠BOC = 90 °Se dice que sus lados son“perpendiculares” (⊥) DEFINICIÓNÁngulo Obtuso: Su medida es mayor que90° y menor que 180° 90 ° < ∠ AOB < 180 ° DEFINICIÓNÁngulo Extendido: Su medida es 180° ∠ BAC = 180 °Ángulos en el plano DEFINICIÓNÁngulos adyacentes: dos ángulos sonadyacentes si y solo si tienen en común elvértice y un lado, y sus interiores no seintersectan. Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD 108
    • DEFINICIÓNÁngulos complementarios: dos ángulosson complementarios si la suma de susmedidas es 90°.”Complemento” de unángulo es la medida del ángulo que le falta 1para completar de giro (90°). 4 α + β = 90° , complemento de α = 90° − α DEFINICIÓNÁngulos Suplementarios: Dos ángulos sonsuplementarios si la suma de sus medidases 180°. “suplemento” de un ángulo es lamedida del ángulo que le falta para 1completar de giro. (180°) 2 α + β = 180° Suplemento de α = 180° − α Así entonces, podemos tener:a) ángulos adyacentes complementariosα + β = 90°b) ángulos adyacentes suplementarios:α + β = 180° DEFINICIÓNÁngulos opuestos por el vértice: son dosángulos cuyos lados forman dos pares derayos opuestos.Propiedad: ángulos opuestos por el vérticetienen igual medida ( son congruentes) α =β y γ = δ 109
    • Ángulos entre paralelas y una transversalSi dos rectas paralelas se cortan por otra rectatransversal, se determinan 8 ángulos; entre los cualeshay parejas que cumplen propiedades importantesOpuestos por el vértice .Son congruentes.∠1 ≅ ∠3 ∠2 ≅ ∠4 ∠6 ≅ ∠8 ∠5 ≅ ∠7Ángulos Correspondientes.Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir conL2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben elnombre de correspondientes, y obviamente soncongruentes.∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6 ∠3 ≅ ∠7 ∠4 ≅ ∠8Ángulos alternos internos.Son los que están entre las paralelas y a distinto lado dela transversal. Los ángulos alternos internos soncongruentes. ∡3 ≅ ∡5 ∡4 ≅∡6Ángulos alternos externosSon los que están en el exterior de las paralelas y adistinto lado de la transversal. Los ángulos alternosexternos son congruentes. ∠1 ≅ ∠7 ∠2 ≅ ∠8Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen.Observación: Sea L1 // L2, entonces: (1) α = β si : (2) α + β = 180° 110
    • Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: ε = α + βObservaciones:(a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igualmedida (congruentes) ∠α ≅ ∠β(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medidaes de 90º L1 ⊥ L 2 111
    • • Triángulo DEFINICIÓNUn triángulo lo podemosentender como la unión de tressegmentos determinados por trespuntos no colineales. Estos trespuntos se denominan vértices, ylos segmentos, lados deltriángulo; además, se determinantres ángulos, cuyos lados son loslados del triángulo, y sedenominan ángulos interioresdel triánguloSe acostumbra usar letrasminúsculas para los lados, deacuerdo al vértice al que seoponen. Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°” α + β + γ = 180° DEFINICIÓNÁngulo ExteriorSe llama ángulo exterior de untriángulo, al ángulo formado porun lado del triángulo y laprolongación de otro.α ; β ; γ ángulos exterioresPropiedades(1) La medida de un ánguloexterior es igual a la suma de lasmedidas de los ángulos interioresno adyacentes α = β + γ β = α + γ γ = α + β(2) La suma de las medidas de losángulos exteriores de un triánguloes 360° α+β+ γ = 360° 112
    • • Clasificación de los triángulos Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos Según la medida de sus ángulosAcutángulo: es aquel que tiene sus tresángulos interiores agudosRectángulo: es aquel que tiene un ángulorecto. Los otros dos ángulos interiores sonagudos y complementarios.Los lados que forman el ángulo recto sedenominan “catetos” y el lado opuesto alángulo recto “hipotenusa”Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulointerior obtuso 113
    • Según la medida de sus ladosEquilátero: tiene sus tres ladoscongruentes; por lo tanto, sus tres ángulosinteriores también lo son, y como la sumade sus medidas es 180°, cada uno mide 60°Isósceles: es aquel que tiene dos ladoscongruentes, llamados “lados”, y el tercerose llama “base”Se puede demostrar que los ángulosopuestos a los “lados” son tambiéncongruentes. A estos ángulos se les llama“ángulos basales”Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienendistinta medida, y por ende, sus ángulostambiénELEMENTOS DEL TRIÁNGULO Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos. Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas notables” • Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas. • Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro. 114
    • DEFINICIÓN1. Transversal de gravedad.-Es la recta que une un vértice, con el puntomedio del lado opuesto. Se denominan ta, tb,tc, donde el subíndice indica el vértice por elcual pasa. Las tres transversales degravedad se intersectan en un mismo puntollamado Centro de Gravedad ( o baricentro)D,E, F : Puntos medios de los ladosAD = t a ; BE = t b ; CF = t ct a ∩ t b ∩ t c = {G}G : Centro de Gravedad ( o Baricentro) AG BG CG 2 ⇒ = = = GD GE GF 1Propiedad: El baricentro divide a cadatransversal de gravedad en dos segmentosque están en la razón 2 : 1. El segmento queva desde el vértice al Baricentro mide eldoble que el segmento que va del Baricentroal lado DEFINICIÓN2.- Altura.Es la perpendicular bajada desde un vérticeal lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ;donde el subíndice indica el vértice por elcual pasa. Las tres alturas se intersectan enun mismo punto llamado Ortocentro. AE ⊥ BC ; BF ⊥ AC ; CD ⊥ AB AE = h a ; BF = h b ; CD = h c h a ∩ h b ∩ h c = {H} H : OrtocentroPropiedad: Las alturas de un triángulo soninversamente proporcionales a los lados a ⋅ ha = b ⋅ hb = c ⋅ hc = k 115
    • Observaciones:∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puestoque los catetos se confunden con las alturas. DEFINICIÓN3.- Bisectriz.-Es la recta que pasa por un vértice y divideal ángulo en dos ángulos congruentes. Sedenominan: b α ; b β ; b γ ; donde el subíndiceindica el ángulo que dimidia. Las tresbisectrices se intersectan en un mismopunto llamado Incentro, el cualcorresponde al centro de la circunferenciainscrita al triángulo, se decir, el incentroequidista de los lados del triángulo. Elradio de esta circunferencia se designa porla letra griega “ ρ ”. AE AC FB AB CG BC = ; = ; = EB CB FC AC GA BA AF = bα ; BG = b β ; CE = bγ b α ∩ bβ ∩ b γ = {I} Propiedad: Las bisectrices dividen al lado I: Incentro opuesto en la razón de las medidas de los P, Q, R :Puntos de tan gencia lados que forman el ángulo 116
    • Observaciones:∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita altriángulo no coinciden con los pies de las bisectrices∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se determinan trespuntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” ocentros de las circunferencias exinscritas al triángulo. DEFINICIÓN4.- SimetralEs la recta perpendicular a un lado deltriángulo, en su punto medio. Lassimetrales se designan por: Sa , Sb , Sc ,donde el subíndice indica el lado al cual esperpendicular.El punto de intersección de las simetrales sedenomina Circuncentro y corresponde alcentro de la circunferencia circunscrita altriángulo, es decir, el circuncentro es unpunto que equidista de los tres vértices deltriángulo. Su radio se designa por “r” OD = S a ; OF = Sb ; OE = S c S a ∩ Sb ∩ S c = {O} Observación: En general, las simetrales no O : Circuncent ro pasan por los vértices del triángulo.DEFINICIÓN5.- MedianaEs el segmento de recta que une lospuntos medios de dos lados deltriánguloP, Q, R : Puntos medios de los lados PQ, QR , RP : Medianas Propiedades: • La mediana es paralela al tercer lado: RP // AB ; QR // AC ; PQ // BC 117
    • • La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela: AB = 2 PR ; BC = 2 PQ ; AC = 2 QR • Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentesNota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en lostriángulos equiláteros e isósceles.Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTEROPROPIEDADES(1) AB = BC = CA = a( 2 ) ángulos iguales a 60° cada uno , α = 60°(3) Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma recta t a = tb = t c = ha = hb = hc = bα = bβ = b γ( 4 ) AM = MB M ; punto medio lado 3 a( 5) Altura = = 3 2 2 (lado) 2 3 a 2(6 ) Área = = 3 4 4(7 ) Radio de la circunferencia inscrita lado 3 a 3 = = 6 6(8) Radio de la circunferencia circunscrita lado 3 a 3 = = 3 3 118
    • TRIÁNGULO ISÓSCELES PROPIEDADES (1) AC = BC ; AB base ( 2 ) α 1 = α 2 ángulos basales ( 3) β ángulo del vértice (4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo hc = tc = bβ= CMLa bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto endos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondienteángulo del triángulo u a v b = o bien = v b u aLa bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos,cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interiordel triángulo. EA b = EB a 119
    • TEOREMA DE PITÁGORAS“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de untriángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de loscuadrados construidos sobre los catetos”“En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que elcuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos, es decir a2 + b 2 = c 2 ”RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS“Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 =a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo”— Tríos pitagóricos: (a – b – c) a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULOTeorema:“Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto adicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa” AB Tesis: BC = 2 120
    • Teorema:“En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a lahipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa” AC Tesis: BM = 2Corolario:“En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de lahipotenusa”Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de unlado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio desu condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º) CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOSabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad delarco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco queabarcan los dos catetos es de 180ºPor tanto, se cumplirá:a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia.b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c.c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa. 121
    • TEOREMAS DE EUCLIDESEl triángulo de la figura es rectángulo en C yCD es altura.a y b: catetosc: hipotenusap y q: proyecciones de los catetos a y b,respectivamente.Los triángulos ACB, ADC y CDB sonsemejantes.Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a lahipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre lahipotenusa. h2 = p • q cReferente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcionalGeométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. a2 = p • c b2 = q • c a•b hc = cClasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO c2 = a2 + b2 c2 > a2 + b2 c2 < a2 + b2OBSERVACIÓN:“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual alcociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo” 122
    • a⋅b ρ= a+b+c a+b+c s= ; s : semiperíme tro 2PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSAEn un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dostriángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial 123
    • EJEMPLO PSU-1: En el triángulo ABC rectángulo en C, BC = 5 cm y BD = 4 cm. Lamedida del segmento AD es: 3A) cm 2 9B) cm 4 3C) cm 4D) 4 cmE) 9 cmEJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es unrombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ? I) x = z II) x + y = EBD III) x + y – z = 60°A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-3: Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces seforman dos triángulosA) isósceles rectángulos congruentes.B) acutángulos escalenos congruentes.C) acutángulos congruentes.D) escalenos rectángulos congruentes.E) equiláteros congruentes.EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equiláteroABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra enla figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)? I) El área del ∆ DEF es la sexta parte del área del ∆ ABC. II) El lado FE es paralelo al lado AB . III) El lado FE es perpendicular al lado AC .A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III 124
    • EJEMPLO PSU-5: En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro yDBEC es un rectángulo. El área de la región achurada es:A) 9 cm2B) 9 3 cm2C) 9 5 cm2 9D) 5 cm2 2 9E) 3 cm2 2EJEMPLO PSU-6: En la figura, si el ∆ ABC es rectángulo en C y AC = BC = 2 6 , entoncesCD esA) 2 3B) 2 6C) 3D) 6E) 12EJEMPLO PSU-7: Si en el triángulo ABC de la figura, CE = 3 cm y BE = 12 cm, entonces lamedida de CD es:A) 6 cmB) 3 5 cmC) 3 2 cmD) 9 cmE) Indeterminable con los datos dadosEJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se divide por dos y semantiene su base?A) Se reduce en media unidad cuadradaB) Se reduce a la mitadC) Se reduce a la cuarta parteD) Se reduce en un cuarto de unidad cuadradaE) Falta información para decir que ocurre con el 125
    • EJEMPLO PSU-9: En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividena BC en tres segmentos iguales. Si BC // BC, AC = 12, AC = 4 y BC = 3, área ∆AB DEntonces área∆ACE 1A) 18 1B) 3 1C) 4 1D) 6 1E) 9 p 4EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si = yp+q= q 110, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) I) a + b = 6 5 II) h = 4 III) El área del triángulo ABC = 20A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-11: Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumenta sulargo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, ¿cuál de las siguientesafirmaciones es verdadera para el área del triángulo rectángulo resultante, respecto delárea original?A) Se mantiene igualB) Aumenta en un 4%C) Disminuye en un 4%D) Aumenta al dobleE) Disminuye a la mitad 126
    • EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de suslados iguales mide a, entonces la base c mide: s−aA) 2 2s − aB) 2C) s − aD) 2s − aE) 2(s − a)EJEMPLO PSU-13: ¿Cuánto mide el ángulo x en el triángulo ABC de la figura?A) 32ºB) 39ºC) 45ºD) 52ºE) No se puede determinar, faltan datosEJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. CD es perpendicular a AB . AD= 9 y DB= 4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I ) CD = 6 II ) AC = 117 III ) BC = 52A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 1EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25 cm y cm, 3¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 5 I) Su hipotenusa es igual a del cateto menor. 3 5 II) El área del triángulo es cm2 12 III) Su perímetro es igual a 1 cm.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III 127
    • cEJEMPLO PSU-16: En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C y hc = . ¿Cuál(es) de las 2siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) (p + q)2 = 4pq p q II) q = ó p= 2 2 III) El ∆ ABC es isósceles.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III 128
    • XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:DEFINICIÓNDos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. AB ≅ PQ  AC ≅ PR  CB ≅ RQ ∆ABC ≅ ∆PQR ⇒  ∠A ≅ ∠P  ∠B ≅ ∠Q  ∠C ≅ ∠R POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dosángulos adyacentes a ese lado. LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendidoentre ellos respectivamente iguales.LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto almayor de esos lados respectivamente iguales. 129
    • EJEMPLO PSU-1: En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR seintersectan en T. ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)? I) ∆PTS ≅ ∆STR II) ∆PTS ≅ ∆RTQ III) ∆PSR ≅ ∆RQPA) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-2: En la figura, ∆ PTR y ∆ SVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) TR // VQ II) PT // SV III) ∠RQV ≅ ∠RPTA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-3: El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. Si P, Q y R sonpuntos medios de sus lados respectivos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)? I) Los triángulos AQP y PRC son congruentes II) Los triángulos QBP y RPB son congruentes III) El área del triángulo QBP es la cuarta parte del área del triángulo ABCA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 130
    • EJEMPLO PSU-4: El triángulo ABC es isósceles de base AB . La circunferencia de centro Cy radio r interfecta a los lados del triángulo en D y E. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s)afirmación(es) es(son) verdadera(s)? I. ABE ≅ ABE II. ∆ BEC ≅ ADC III. ABD ≅ ADCA) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-5: En la figura ∆ABC ≅ ∆BAD I ) ∆AEC ≅ ∆ADB II ) ∆AEC ≅ ∆BED III ) AC ≅ DBA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes debases BC y AE , respectivamente. Si ∠BAC = 36º, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses (son) verdadera(s)? I) ∡ DAC ≅ ∡ CAB II) ∆ ABC ≅ ∆ ACD III) ∆ AEP ≅ ∆ DCPA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 131
    • EJEMPLO PSU-7: Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y AD ≅ DB ,¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∆ ADC ≅ ∆ BDC II) ∡ ACD = 30º 3 III) CD = 2A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos soncongruentesA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III 132
    • XIV. SEMEJANZA DE TRIANGULOS:DEFINICIÓN:Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos deluno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan suslados homólogos proporcionales ∡A≅∡P ∡B≅∡Q AB BC CD DE EA ∡ C ≅∡ R = = = = PQ QR RS ST TP ∡D≅∡S ∡E≅∡TObservación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir,dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así, por ejemplo; (1) todos los cuadrados son semejantes entre sí (2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí (3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre síEn general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantesentre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas lascircunferencias son semejantes entre si.SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSEl hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos,motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras ∆ABC ≈ ∆PQR si y solo si : ∠A = ∠P ; ∠B = ∠Q ; ∠C = ∠R y AB BC CA = = PQ QR RP 133
    • TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSLos geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entredos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestasanteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente laocurrencia de los otros restantes.* TEOREMA FUNDAMENTALPara que dos triángulos sean semejantes, basta que losángulos de uno sean iguales a los ángulos del otroCorolario: Toda paralela a un lado de un triángulo,determina un triángulo semejante al primeroSi DE //AB , entonces ∆ CDE ~ ∆CABLos criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos sonsemejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que leson propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares delados homólogos proporcionales.TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA)Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantesHipótesis: ∡ A ≅ ∡ D y ∡C≅∡FTesis ∆ ABC ∼ ∆ DEFNota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente conun tercero, el primero y el tercero son semejantes. 134
    • TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA)Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ánguloscomprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. CA CB = ∧ ∠C ≅ ∠C C A C B ⇓ ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza)Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces lostriángulos son semejantes. AB BC CA = =A B B C C A ⇒ ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremasLAL y LLLNota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulosson semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones quele son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres paresde lados homólogos, proporcionales.Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual áreaSEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOSDos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90°. Porlo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, apartir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce:a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente. 135
    • b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamenteproporcionalesc. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusay de un cateto respectivamente proporcional.RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTESSi dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionalesa los lados respectivos.Sea ∆ ABC ∼ ∆ A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ∆ADC ∼ ∆ A’D’C’. De esa CD ACsemejanza se deduce que: = C D A CEn general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos dedos triángulos semejantes. h a t c bα = = = .................. = λ h a t c b αRAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTESLos perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazoshomólogos cualesquiera 136
    • perímetro ∆ABC h b = c = a = .................................... perímetro ∆A B C h c b aRAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTESLas áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razónen que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera 2 2 área ∆ABC  b a   hc   b  =  h  = .......................... =    área ∆A B C  a   c  • Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma unidad, se establece una razón entre estas medidas.Nota: MN es el segmento. MN es la medida de MNLa razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo.Dicho número puede ser racional o irracional. • Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre si. Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre si.Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dosángulos respectivamente congruentes. • Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los triángulos equiláteros son semejantes) • Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos. 137
    • Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +ePerímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’ P a P b P e = ; = ;.............; =P a P b P eEJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con eltriángulo Q?A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en I y en IID) Sólo en II y en IIIE) En I, en II y en IIIEJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud.A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, seencuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de lasombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?A) 200 metrosB) 198,4 metrosC) 113,2 metrosD) 112,5 metrosE) 110 metrosEJEMPLO PSU-3: ¿Qué significa que dos triángulos sean semejantes?A) Que tienen igual áreaB) Que tienen igual perímetroC) Que sus lados son proporcionalesD) Que sus tres lados respectivos coincidenE) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno 138
    • EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son)semejante(s)? I) ∆ACD y ∆BCE II) ∆BEC y ∆AEB III) ∆ACD y ∆CABA) Sólo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-5: En la figura, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) semejantes I) ∆ ABE ∼ ∆ AFD II) ∆ FEC ∼ ∆ BDC III) ∆ CFE ∼ ∆ ABEA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?A) Solo I y IIB) Solo I y IIIC) Solo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos son semejantes entre siEJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene unaaltura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros,respectivamente, ¿cuál es la altura del poste?A) 3,5 metrosB) 7,1 metrosC) 14 metrosD) 35 metrosE) No se puede determinar 139
    • EJEMPLO PSU-8: En la figura, el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEC. Si CM= 5, AB = 21 y CN = 15, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) CN : AB = CM : ED 35 II) Área ∆EDC = 2 Área ∆EDC 1III) = Área ∆ABC 9A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III ANEJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón es equivalente a: NM BCA) AB ABB) BC ACC) BC AND) NC AME) ACEJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer pisotiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombraproyectada por el segundo piso?A) 8 mB) 10 mC) 15 m 40D) m 3E) No se puede determinar 140
    • XV. CUADRILATEROS:— Los ángulos interiores suman 360º— Los ángulos exteriores suman 360º— Clasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares) > Trapecios (1 par) > Trapezoides (ningún par)A. PARALELOGRAMOS:— Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.— Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide1. CUADRADO:— 4 ángulos interiores rectos— 4 lados iguales D C— Lados opuestos paralelos d1— Las diagonales son iguales y son perpendiculares— Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales)— Las diagonales bisectan los ángulos— Se puede inscribir una circunferencia— Se puede circunscribir una circunferencia d2—d= a 2 A B— p = 4a a— A = a2 D C2. RECTANGULO:— 4 ángulos interiores rectos— Lados opuestos de igual medida d1 b— Lados opuestos paralelos— Las diagonales son iguales y se dimidian d2— Se puede circunscribir una circunferencia A B— p = 2a + 2b a— A = ab3. ROMBO:— 4 lados iguales D C— Lados opuestos paralelos d2 d1— Ángulos opuestos iguales— Ángulos contiguos suplementarios h— Las diagonales son perpendiculares— Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos— Se puede inscribir una circunferencia e f— p = 4a A B e⋅f a— A = a — h // A = 2 141
    • 4. ROMBOIDE:— Lados opuestos de igual medida D C— Lados opuestos paralelos d1— Ángulos opuestos iguales— Ángulos contiguos suplementarios— Las diagonales se dimidian h b— p = 2a + 2b d2—A=a—h A B aB. TRAPECIOS:— Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales.— Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo b1. TRAPECIO ESCALENO: D C— Lados no paralelos no son δ γcongruentes. c d— AB // CD M N— α + δ = 180º h— β + γ = 180º α β—p=a+b+c+d A B (a + b) a— A = MN — h / A = •h 2 a+b MN = 2 b2. TRAPECIO ISOSCELES: D C— Lados no paralelos son iguales (AD = BC) δ d1 γ— AB // CD c d— Las diagonales son iguales M N— Ángulos contiguos suplementarios—α=β d2 α h β—γ=δ A B— p = a + b + 2c (a + b) a— A = MN — h / A = •h 2 142
    • 3. TRAPECIO RECTANGULO:— Uno de sus lados no paralelos es b D Cperpendicular a las bases. γ— AB es perpendicular a AD— DA es perpendicular a DC c d— AB // CD M N— c = h = altura h— Ángulos en A y D son rectos β— β + γ = 180º A B—p=a+b+c+d a (a + b)— A = MN — h / A = •h 24. MEDIANA DE UN TRAPECIO: D C— Segmento que une los puntos medios de los lados noparalelos. M N— Es paralela a las bases.— MN = AB + DC A B 2 D δ bC. TRAPEZOIDES: γ C— No tienen lados opuestos paralelos. c d α β A B aD. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS: D— En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los δ Cángulos opuestos son suplementarios. γ(α + γ = β + δ = 180º) α β A B 143
    • D c C — En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las d sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí. b (a + c = b + d) BA aEJEMPLO PSU-1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:A) 6 + 2 6B) 6 + 6C) 12 + 2 6D) 12 + 6E) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es)de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) El área de FCGI es 12 II) El área de ABFI es 6 III) El área de AEIH es 3A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2).¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?I) El perímetro de la figura es 8 2 .II) Cada diagonal mide 4.III) El área de la figura es 4 2 .A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 144
    • EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?A Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.B Los ángulos consecutivos son complementarios.C Las diagonales son bisectrices.D Los ángulos opuestos son congruentes.E Los ángulos opuestos son suplementarios.EJEMPLO PSU-5: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadradoscongruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es 4a 2A) 9 5a 2B) 3 3a 2C) 4 5a 2D) 9 8a 2E) 9EJERCICIO PSU-6: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El perímetro del polígono es 8 2 . II) Cada diagonal del polígono mide 4. III) El área del polígono es 4 2 .A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 145
    • EJEMPLO PSU-7: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seiscuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? 1 I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio BC 2 II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una 1circunferencia de radio AB 3 III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetrode ABCD.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y IIIEJEMPLO PSU-8: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PC = 3PB ,QD = 2QC y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es k2A) 9 k2B) 3 4k 2C) 9 2k 2D) 9 2 kE) 6EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces lamedida del lado BE en el rectángulo DBEF mide 5A) 2 1B) 5 2C) 5 3 2D) 5E) 1 146
    • EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Lostriángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la regiónsombreada esA) 42 cmB) 46 cmC) 48 cmD) 50 cmE) 56 cmEJEMPLO PSU-11: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Seconstruyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?A) 3 mB) 6 mC) 12 mD) 80 m  − 3 + 165 E)   m   2 EJEMPLO PSU-12: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, AF = FC y αmide 60º, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I ) FE = FC AB II ) FE = 2 III ) AB = BCA) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-13: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de ladocada uno. El área de la región achurada mideA) 50 cm2B) 75 cm2C) 100 cm2D) 112,5 cm2E) 125 cm2 147
    • EJEMPLO PSU-14: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?A) 4p + 3qB) 4p + 4qC) 3p + 3qD) 3p + 2qE) No se puede determinarEJEMPLO PSU-15: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntosmedios de los lados AD y AB , respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN? a2A) 2 a2B) 4 a2C) 8 aD) 4 aE) 8EJEMPLO PSU-16: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido encuadrados congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmacionessiguientes es(son) verdadera(s)? I) Área de la región sombreada es 13 II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetrodel rectángulo ABCDA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II, IIIEJEMPLO PSU-17: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios delos lados respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempreverdadera(s)? I) ∆TLP ∼ ∆TMB II ) ∆PML ≅ ∆LTM III ) ∠DTA = ∠CBLA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo I y III 148
    • EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área deun cuadrado cuando su lado se duplica?A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplicaB) El perímetro se cuadruplica y el área se duplicaC) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetroD) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetroE) El perímetro aumenta en mayor proporción que el áreaEJEMPLO PSU-19: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectánguloABCD?A) 2B) 6C) 2 3D) 3 3E) 3 2EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es: 9A) 8B) 1C) 2 2 3D) 3E) 3 −1EJEMPLO PSU-21: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 3 3 cm. Si P,B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:A) 6 3 cm2B) 9 3 cm2C) 12 3 cm2D) 9 cm2E) 18 cm2EJEMPLO PSU-22: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentesentre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro delcuadrado?A) 50 cmB) 48 cmC) 60 cmD) 150 cmE) Ninguno de los valores anteriores 149
    • EJEMPLO PSU-23: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el áreadel cuadrado?a) d2 d2B) 2 d2C) 4 d2D) 8 d2E) 16EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si ∆ AHD ≅ ∆ CFB y ∆ DGC ≅ ∆ BEA entonces¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) ∠DCB ≅ ∠DAB II) DC ≅ AB III) ∠DCG ≅ ∠ADGA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-25: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 romboscongruentes cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?A) 60 cmB) 70 cmC) 80 cmD) 84 cmE) 120 cmEJEMPLO PSU-26: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscritoel trapecio isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de EFGH es 48 II) ∆ AEH ≅ ∆ CFG III) HJ = EFA) Solo IIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III 150
    • EJEMPLO PSU-27: En el rectángulo ABCD de la figura, EF // AB , DG = 5 cm, EG = 4 cmy BG = 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del trapecio ABGE?A) 28 cmB) 34 cmC) 32 cmD) 35 cmE) 42 cmEJEMPLO PSU-28: para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla.¿Cuál es el área del terreno si el largo mide 30 metros?A) 600 m2B) 1.050 m2C) 1.200 m2D) 2.100 m2E) 2.400 m2EJEMPLO PSU-29: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ? I) Sus perímetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes.A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 151
    • XVI. POLIGONOS:∗ Figura plana limitada por lados rectos.∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en:> 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono> 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono> 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono> 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono> 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono> 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º•( n − 2 )(n = número de lados del polígono)∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3 n ( n − 3)∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: D = 2A. POLIGONOS REGULARES:∗ Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales. 180 º ( n − 2 )∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ángulo int erior = n 360º∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: ángulo exterior = n∗ Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.EJEMPLO PSU-1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados seconstruyen exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que ellado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono. II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.A) Sólo IIIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 152
    • XVII. CIRCUNFERENCIA:DEFINICION:Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia aun punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Estadistancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por elcentro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio.NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por lospuntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos. r = AO ( radio ) r = BO ( radio ) d = AB (diámetro ) De lo anterior se deduce que : AO + BO = 2 r AB = 2 r = dÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIAANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radiosEl ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa.Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorarioANGULO INSCRITO: Su vértice se ubica en la Circunferencia y sus lados son cuerdas.El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende. 153
    • ANGULO INTERIOR: Es el ángulo formado por la intercepción de dos cuerdascualesquiera, su vértice se ubica en el interior de la circunferencia.La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en lacircunferenciaANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice seubica fuera de la circunferencia.La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta enla circunferenciaANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son unatangente y una cuerda 154
    • La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito quesubtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiendeCorolarios1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.3. Los Ángulos Opuestos en un cuadrilátero cualquiera, inscrito en la circunferencia, sonsuplementarios (suman 180°) 155
    • 4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia T ⊥r5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con elarco menor que determinan las rectas en la circunferencia x + α = 180º6. Dos líneas paralelas secantes a lacircunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes 156
    • EJEMPLO PSU-1: En la figura AB ≅ BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE ,entonces el ángulo α mide:A) 10ºB) 40ºC) 20ºD) 70ºE) 80ºEJEMPLO PSU-2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y ∡ BAC = 20°. El valordel ∡ x esA) 20°B) 35°C) 40°D) 55°E) 70°EJEMPLO PSU-3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En eltriángulo ABC, el ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α esA) 68°B) 66°C) 57°D) 44°E) ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medidadel ángulo x esA) 32ºB) 26ºC) 38ºD) 52ºE) 64º 157
    • EJEMPLO PSU-5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el ∡BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) FALSA(S)? I) ∡ CBO = 20° II) ∡ CAO = ∡ AOD III) ∡ AOD =∡ BODA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: En la semicircunferencia de centro O de la figura,el ∡ BOC mide 100º. ¿Cuánto mide el ∡ AED en el triángulo isóscelesAED?A) 70ºB) 50ºC) 40ºD) 20ºE) Ninguno de los valores anteriores.EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°.Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mideA 55°B 70°C 110°D 125°E 220°EJEMPLO PSU-8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro,∠DOC = 60º y DB es bisectriz del ∠OBC . ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)verdadera(s)? I) ∆OBC ≅ ∆AOD II) ∆ACB ≅ ∆BDA III) ∆AED ≅ ∆BECA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y III 158
    • EJEMPLO PSU-9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál esla medida del ángulo x?A) 20ºB) 40ºC) 70ºD) 110ºE) 160ºEJEMPLO PSU-10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la 2cuerda AC = y el ángulo ABC es inscrito de 45º? 2 2A) 4 1B) 3 1C) 4 1D) 2E) 1EJEMPLO PSU-11: Si dos circunferencias son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales II) Sus radios son de igual longitud III) Sus centros son coincidentesA) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden1. AD , DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC .¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?A) 2 + 1 2B) 2C) 2 − 1D) 3 −1E) 2 − 2 159
    • EJEMPLO PSU-13: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°.¿Cuál es la medida del ángulo AOC?A) 12°B) 24°C) 48°D) 132°E) 156°EJEMPLO PSU-14: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita altriángulo PQR. La medida del ángulo α esA) 80ºB) 100ºC) 120ºD) 125ºE) 130ºEJEMPLO PSU-15: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radior y la medida del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es: 1A) πr 3 1B) πr 6 2C) πr 3 1D) πr 12E) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-16: En la circunferencia de centro O de la figura, si α + β = 32º , entonces elvalor del ángulo γ es:A) 16ºB) 32ºC) 48ºD) 64ºE) Indeterminable 160
    • EJEMPLO PSU-17: En la figura, la medida del ángulo inscrito α en la circunferencia decentro O es:A) 60ºB) 70ºC) 80ºD) 110ºE) 120ºEJEMPLO PSU 18: En la circunferencia de la figura. AB // DC , ¿Cuál(es) de las siguientesrelaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) α = β II ) γ = α + β III ) α + β + γ = 180 ºA) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-19: En la circunferencia de centro O, AD es diámetro y ∡ ABC =2∡DAB.La medida del ∡ ABC es:A) 100ºB) 30ºC) 35ºD) 60ºE) 70º 161
    • XVIII. CIRCULO:A. SECTOR CIRCULAR: π ⋅ r2 ⋅ αÁrea del sector = 360ºB. SEGMENTO CIRCULAR:Área segmento circular = Área sector circular AOB – Área triánguloAOB π ⋅ r2 ⋅ α − Área triángulo AOB 360 ºC. CORONA O ANILLO CIRCULAR:Área del anillo = ̟ — (R2 – r2)R = radio círculo mayor / r = radio círculo menor PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIATeorema de las cuerdasSi dos cuerdas de una circunferencia se cortan en el interior deella, el producto de los segmentos determinados en una de ellases igual al producto de segmentos determinados en la otra AP • PB = CP • PD 162
    • Teorema de las secantesSi desde un punto exterior a unacircunferencia se trazan dos secantes, elproducto de una de ellas por su segmentoexterior es igual al producto de la otrasecante por su segmento exterior PA • PC = PB • PDTeorema de la tangente y la secanteSi desde un punto exterior a unacircunferencia se trazan una tangente y unasecante, la tangente es media proporcionalgeométrica entre la secante y su segmentoexterior 2 PT = PA • PB 163
    • EJEMPLO PSU-1: Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura, la distancia desdeel centro O de ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mideA) 6 cmB) 12 cmC) 18 cmD) 20 cmE) 24 cmEJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radior. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM,en términos de r, esA) r r 5B) 2 r 3C) 2 r 2D) 2 4rE) 3EJEMPLO PSU-3: En la figura 12, los puntos P, Q, R y S están sobre la circunferencia decentro O. Si QT : TP = 3 : 4 , QT = 6 y ST = 12, entonces RT mideA) 4B) 6C) 8D) 9E) 10 164
    • EJEMPLO PSU-4: En la figura, se tiene una circunferencia de centro O, radio r y diámetroAB . Si por el punto medio M de OB , se traza la cuerda CD perpendicular al diámetro,entonces la longitud de la cuerda CD esA) r 3B) r 2 3C) r 3 2 2D) r 3 3 3E) r 2EJEMPLO PSU-5: En una circunferencia de diámetro 20 cm la distancia desde el centrohasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide:A) 8 cmB) 10 cmC) 12 cmD) 16 cmE) Ninguno de los valores anterioresEJEMPLO PSU-6: En la circunferencia de centro O, AB es diámetro, CD ⊥ BD ; CD = 4;BD = 3. El radio es:A) 5 25B) 3 5C) 3 25D) 9 25E) 6EJEMPLO PSU-7: En la circunferencia de radio 6 y centro O de la figura, MP = OP¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) MQ = 6 II) PQ = 3 3 III) QN = 6 3A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 165
    • XIX. CUERPOS POLIEDROS: POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices. PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto. A. POLIEDROS REGULARES: — Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí. — Son cinco: b. Octaedro: Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12 aristas. Son dos pirámides unidas por su base común.a. Tetraedro:Tiene 4 caras (triángulos c. Icosaedro:equiláteros), 4 vértices, Tiene 20 caras6 aristas. (triángulos equiláteros), 12 vértices, 30 aristas. e. Dodecaedro:d. Hexaedro o cubo: tiene 12 carasTiene 6 caras (pentágonos(cuadrados), 8 vértices, regulares), 2012 aristas, 4 diagonales vértices, 30 aristas.congruentes. 166
    • — Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por el número totalde caras del poliedro.B. POLIEDROS IRREGULARES:— No tienen todas sus caras congruentes.— Se clasifican en: > Prismas > Pirámides1. PRISMA:— Tiene dos polígonos iguales de base y variosparalelogramos como caras laterales.— A = Área lateral — 2 Área basal— V = Área basal — h2. PIRAMIDE:— Tiene una base que es un polígono y las caras laterales sontriángulos que tienen un vértice en común también llamadocúspide. a⋅p— A = Área basal • (nº de caras) • Área lateral h p 2— V = Área basal — h a 3XX. CUERPOS REDONDOS:— Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.— Los principales son: > Cilindro > Cono > EsferaA. CILINDRO: r— Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser hcualquiera de sus lados.— A = 2 π r (h + r)— V = π r2 — hB. CONO: g— Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje hsituado sobre uno de sus catetos.— A = π r (g + r) π ⋅ r2h r—V = 3 167
    • C. ESFERA:— Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a sudiámetro.— A = 4 π r2 4—V = π r3 3CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANASCUERPOS DE REVOLUCIÓNLos cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de unejeTRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana: 168
    • EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro Ddel pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es: V = 10 ,79 ⋅ D 2 ⋅ L Si eldiámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumendel cilindro?A) 7.900 cm3B) 790 cm3C) 79 cm3D) 7,9 cm3E) 0,79 cm3EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre unode sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es elvolumen del cuerpo generado?A) 4 m3B) 6 m3C) 8 m3D) 16 m3E) 24 m3EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamenteel rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC ?A) 30π cm3B) 45π cm3C) 75π cm3D) 180π cm3E) 300π cm3EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)verdadera(s)? I) Las rectas AD y BC son paralelas. II) Las rectas AB y DC son paralelas. III) Las rectas AD y BC no se intersectan.A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III 169
    • EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar lafigura indefinidamente en torno al eje. Si = 3 cm, entonces el volumen del cuerpogeométrico que se genera esA) 9 π cm3 27B) π cm3 2C) 36 π cm3D) 27π cm3E) 18π cm3EJEMPLO PSU-6: Se tiene un prisma cuya base es un hexágono regular de lado 2 . Laaltura del prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del prisma?A) 9B) 18C) 9 2 3D) 9 3E) 9 6 2EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, unaencima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:A ) πr 3B) 2πr3C) 3πr3D) 4πr3 4E) πr3 3EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en lascoordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden,respectivamente, 1A) 2 y3 2 2 1B) 3 y 2 2C) 3 y 3 2 1D) 3 y3 2 2 1E) 2 y 2 2 170
    • EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientesexpresiones representa la superficie a cubrir? 2A) 12a 2B) 6a 2C) a 2D) 4a 2E) 8aEJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran enforma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor elcuerpo generado? 171
    • EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndricaen el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio delcilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm3, esA) 512 - 32πB) 512 - 16πC) 512 - 128πD) 256 - 32πE) 480πEJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es:A) equiláteroB) isósceles no equiláteroC) isósceles rectánguloD) rectángulo en DE) rectángulo en BEJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de:A) 7 caras, 12 aristas y 6 vérticesB) 6 caras, 12 aristas y 6 vérticesC) 7 caras, 7 aristas y 7 vérticesD) 6 caras, 7 aristas y 6 vérticesE) 7 caras, 12 aristas y 7 vérticesEJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de 3 m y la base es unhexágono regular de lado 2 m. Su volumen es:A) 3 m 3B) 9 m 3C ) 18 m 3 3m 3D) 3 3 mE) 6 3 m 3 2 m 172
    • XXI. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:A. DIVISION INTERIOR:DIVISIÓN INTERNAUn punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n AP m = PB nB. DIVISION EXTERIOR:— Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m : n , significa encontrar en el exteriordel trazo AB (en su prolongación), un punto Q AQ m m n m ntal que: = QB n Q A B A B QC. DIVISION ARMONICA:Dividir armónicamenteel trazo AB en la razón m nm : n , significa dividirlointeriormente (punto P)y exteriormente (punto A P B QQ) en una misma razón AP AQ mdada, tal que: = = PB QB nD. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINADividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, demodo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre elsegmento mayor y el menor.AB AP = (AP > PB )AP PB ABOBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO APÁUREO AB 5 +1 = ≈ 1,618034 AP 2 173
    • EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medidadel segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?A) 45 cmB) 15 cmC) 60 cmD) 25 cmE) No se puede determinar.EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si QRmide 20, entonces ¿cuánto mide PR ?A) 28B) 28C) 50D) 70E) Ninguno de los valores anteriores.EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por elpunto P en la razón 2:3?A) Sólo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BCduplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD comoA) 1: 2B) 1: 3C) 1: 4D) 1: 5E) 1: 6 174
    • XXII. TRIGONOMETRIA:RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULOEn cualquier triángulo ABC rectángulo en C, tenemos AB : hipotenusa AC y BC catetos α y β : ángulos agudosSi prolongamos los lados AB y AC , y unimos algunos puntos de dichas prolongacionesmediante segmentos paralelos a BC , obtenemos entonces otros triángulos rectángulossemejantes al triángulo ABC ∆ABC ∼ ∆ADE ∼ ∆AFG ∼ ∆AHJ Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones: ∆ ABC ∆ ADE ∆ AFG ∆ AHJ cateto BC DE FG HJ CONSTANTE = = = = K1 hipotenusa AB AD AF AH cateto AC AE AG AJ CONSTANTE = = = = K2 hipotenusa AB AD AF AH cateto BC DE FG HJ CONSTANTE = = = = K3 cateto AC AE AG AJ En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre un valor constante Respecto al ángulo agudo α de un triángulo ABC rectángulo en C se tiene que: (A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de α, y se abrevia senα (B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de α, y se le abrevia cosα (C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de α, y se la abrevia tgα 175
    • Nota: El término tangente se abrevia como tg en castellano y tan en inglés. Las calculadoras científicas usan esta última abreviatura En general, dado un triángulo ABC, rectángulo en C, se tiene: FUNCIÓN DEFINICIÓN RAZÓN ABREVIACIÓN Seno cat. opuesto a sen α de α hipotenusa c Coseno cat. adyacente b cos α de α hipotenusa c Tangente cat. opuesto a tg α de α cat. adyacnte b Cotangente cat. adyacente b cotg α de α cat. apuesto a Secante hipotenusa c sec α de α cat. adyacente b Cosecante hipotenusa c cosec α de α cat. opuesto aÁNGULOS COMPLEMENTARIOSsenα = cos(90 º −α ) cos ecα = sec(90 º −α )cos α = sen( 90º −α ) sec α = cos ec( 90º −α )tgα = cot g(90 º −α ) cot gα = tg(90 º −α )Ángulos de elevación y de Depresión. Son aquellos formados por la horizontal,considerada a nivel del ojo del observador y la línea de mira, según que el objetoobservado esté por sobre o bajo esta última.Con respecto a un observador, los ángulos de elevación y de depresión constituyenángulos alternos internos entre paralelas, por lo tanto, sus medidas son iguales. 176
    • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º 3 30º 45º 60º senα 1 2 3 2 2 2 cos α 3 2 1 2 2 2 tgα 3 1 3 2 3IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES (∀α : 0 º < α < 90 º ) 1. senα • cos ecα = 1 4. tgα = senα cos α 2. cos α • sec α = 1 5. cot gα = cos α senα 3. tgα • cot gα = 1 6. sen α + cos 2 α = 1 2 177
    • EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tgα es igual a: 1 − p2A) p pB) 1 − p2 1 + p2C) p pD) 1 + p2 1E) 1 − p2EJEMPLO PSU-2: En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujadoun triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces senβ= 3A) 34 5B) 4 3C) 4 5D) 34 3E) 5EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura:Es verdadero que: 5 I ) senα = 29 2 II ) cos α = 29 5 III ) tan α = 2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III 178
    • EJEMPLO PSU-4: Un ratón observa a un águila en la copa de un árbol con un ángulo deelevación de 70°. Si la distancia del ratón al árbol es 12 m, determinar la distancia entre eláguila y el ratón. 12A) tan 70 º 12B) cos 70 º 12C) sen 70 º cos 70 ºD) 12 sen 70 ºE) 12EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en latierra, es de 20 3 metros. El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos metrosde la tierra está fijo el cable en el poste?A) A 10 3 metrosB) A 10 6 metrosC) A 30 metrosD) A 40 metrosE) A 60 metrosEJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30ºcomo se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto dedespegue hasta que alcanza una altura de 1.500 metros?A) 750 metrosB) 3.000 metrosC) 1.000 3 metrosD) 750 3 metrosE) 1.500 3 metros 179
    • EJEMPLO PSU-7: ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el largo de laescalera de la figura? 1, 2 I) metros sen 20 º 12 II ) metros cos 70 º III ) 1,2 ⋅ cos 70 º metrosA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y IIIEJEMPLO PSU-8: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) ? I) tg α = 2 4 5 II) sen α + cosβ = 5 III) tg β + tgα = 1A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área 2es cm2, entonces tgα= 3 1A) 3 2B) 3 3C) 2 3D) 4 4E) 3 180
    • EJEMPLO PSU-10: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm, entoncesel coseno del ángulo menor es: 5A) 13 12B) 13 5C) 12 12D) 5 13E) 12 3EJEMPLO PSU-11: Si α es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y senα = , 5entonces tgα − cos α = 1A) − 20 3B) 20 1C) 20 11D) 15 8E) 15EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen α – cos α es igual a: a−cA) b c−aB) b a−bC) c b−aD) c ac − abE) bc 181
    • EJEMPLO PSU-13: En la figura, una persona ubicada en lo alto del edificio P de 12 m dealtura, observa a otra persona, de igual tamaño, en lo alto del edificio Q de 18 m de alturacon un ángulo de elevación de 40°. ¿Cuál es la distancia (d) entre los dos edificios?A ) 6 ⋅ tg 40 º 6B) tg 40 º 6C) sen 40 º 6D) cos 40ºE ) 6 ⋅ sen 40 ºEJEMPLO PSU-14: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A. Si la hipotenusa es 1,¿cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el perímetro del triángulo? I) sen γ + sen β + 1 II) cos γ + cos β + 1 III) sen β + cos β + 1A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de lassiguientes opciones es verdadera? bA ) senα = c cB ) cos α = a aC ) cos β = c bD ) senβ = c aE ) tgα = b 182
    • XXIII. PROBABILIDAD:∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones unnúmero indefinido de veces.∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo unconjunto de resultados posibles.∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Sise representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral.∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otraspalabras, es un subconjunto del espacio muestral.∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas,bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otracosa.TIPOS DE EVENTOS∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjuntovacío (∅) del espacio muestral.∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide laocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuandodos o más eventos no tienen elementos comunes.∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunesy la unión de ellos es el espacio muestral.∗ PROBABILIDAD CLÁSICALa probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables alevento A por el número total de casos posibles.La probabilidad de A se denotará por P(A).∗ Observación:1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de queno ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), laprobabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: 183
    • ∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), laprobabilidad de que ocurra A o B está dada por:∗ Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrenciade uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.∗ Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional deA, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que elsuceso B ha ocurrido.∗ Probabilidad y triángulo de PascalCaras y sellosEl triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salirtirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras(CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tresde sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta esla pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal. Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal C 1 1, 1 S CC 2 CS SC 1, 2, 1 SS CCC CCS, CSC, SCC 3 1, 3, 3, 1 CSS, SCS, SSC SSS CCCC 4 CCCS, CCSC, CSCC, SCCC 1, 4, 6, 4, 1 CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC 184
    • CSSS, SCSS, SSCS, SSSC SSSS ... etc ...¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos 6caras. Así que la probabilidad es , o 37.5% 16Triángulo de PascalDIAGRAMA DEL ARBOL:— Representa de manera grafica todos los resultados posibles.Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres vecesseguidas una moneda. C CCSResultados favorables: 8 C S CCS(CCC – CCS – CSC – CSS – C CSCSCC – SCS – SSC – SSS) C S S CSSCasos favorables: 3(CCS – CSC – SCC) C SCC C S SCS 3 SProbabilidad = 8 C SSC S S SSS 185
    • 1EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es . ¿Cuál es la 3probabilidad de sacar una bola que no sea roja? 1A) 3B) 1 2C) 3 1D) 6E ) Falta InformaciónEJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de quesumen 3 ó 4? 1A) 6 7B) 36 4C) 36 5D) 36 21E) 36EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8.¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3? 7A) 8 1B) 4 1C) 2 3D) 8 5E) 8EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49.¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?A) 0,4B) 0,41C) 0,42D) 0,5E) Ninguna de las anteriores 186
    • EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 soncafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarillay nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición? 12 20 18 11A) + + + 50 50 50 50 12 20 18 11B) + + + 50 49 48 47 12 20 18 12C) ⋅ ⋅ ⋅ 50 50 50 50 12 20 18 12D) ⋅ ⋅ ⋅ 50 49 48 47 12 20 18 11E) ⋅ ⋅ ⋅ 50 49 48 47EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantesa un cargo administrativo NIVEL EDUCACIONAL Sexo Universitaria Media Básica Masculino 250 100 40 Femenino 225 110 25Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)? 390 I) La probabilidad que sea varón es de 750 360 II) La probabilidad que sea mujer es de 390 475 III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de 750A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III 187
    • EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de lapalabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de queen ésta esté escrita una vocal es: 1A) 10 2B) 5 1C) 5 1D) 4 2E) 3EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicarcualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) delas siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ? 1I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 2 1II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de 4 2III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de 3A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde yamarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la fichaverde antes de la roja? 1A) 4 1B) 2 3C) 4 1D) 8 1E) 24 188
    • EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igualtamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una 2ficha negra sea ? 3A) 1N y 0BB) 1N y 3BC) 1N y 4BD) 1N y 1BE) 0N y 1BEJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtenerun número par menor que 5? 1A) 6 2B) 6 3C) 6 4D) 6E ) Ninguna de las anterioresEJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es laprobabilidad de que ese número sea múltiplo de 4? 3A) 30 23B) 30 7C) 30 8D) 30 6E) 30 189
    • EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana elque obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 yCarlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera? 1A) Todos tienen probabilidad de ganar. 2 1B) Todos tienen probabilidad de ganar. 3C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.EJEMPLO PSU-14: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2sean caras y 1 sea sello? 3A) 8 1B) 8 2C) 8 1D) 3 2E) 3EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tresdados? 3A) 216 1B) 216 3C) 8 1D) 18E) Ninguno de los valores anteriores 190
    • EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradasdel 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. Laprobabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es: 1A) 2 2B) 5 5C) 11 2D) 11 1E) 4EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la probabilidad de que un 1habitante sea una mujer es , ¿cuántas mujeres hay en el pueblo? 3A) 200B) 300C) 400D) 600E) 800EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es laprobabilidad de que el suceso no ocurra?A) 0,45B) 0,55C) 0,65D) -0,45E) -0,55EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad deobtener un número impar o un número menor que 4? 1A) 6 2B) 6 4C) 6 3D) 6 6E) 6 191
    • EJEMPLO PSU-20: ¿En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia esigual a 1?A) Nacer en un año bisiestoB) Que al tirar una moneda salga caraC) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébolD) Que un mes tenga 30 díasE) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 13 15 17 16 20 19¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad de obtener par es de un 50% II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30% III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes aseveracioneses(son) verdadera(s) ? I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6. 1 II) La probabilidad de obtener un número impar es . 2 1 III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es . 6A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 192
    • EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas. Si se escoge unnúmero al azar del 1 al 40, ¿cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al deuna niña en la lista del curso? 17A) 40 1B) 40 1C) 17 17D) 23 23E) 40EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellascontiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s) ? 1 I) La probabilidad de sacar una M es . 12 7 II) La probabilidad de no sacar una vocal es . 12 III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una TA) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguienteforma: PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO NIÑOS 15 20 18 12 NIÑAS 30 25 27 33Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s) ? 65 I) La probabilidad de que sea un niño es . 180 45 II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es . 180 25 III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es . 45A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 193
    • EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salgaun número menor que 2 o mayor que 4? 1A) 6 1B) 2 1C) 3 2D) 3 5E) 6EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, yrecorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de lospuntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor?A) PB) QC) RD) SE) TEJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo.¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para 3que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea ? 4A) 1 blanca y 0 negraB) 0 blanca y 1 negraC) 0 blanca y 5 negrasD) 3 blancas y 5 negrasE) 2 blancas y 2 negras 194
    • EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si seeligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellassea diferente de 10? 8A) 9 17B) 18 16C) 17 9D) 10 7E) 8EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones hasalido un 4, ¿cuál es la probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4? 1A) 3 1B) 6 1C) 4 3D) 6 4E) 6EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales 1algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad 3de sacar una ficha de cualquier otro color? 1A) 2 1B) 3 2C) 3D) 1E) No se puede determinar 195
    • EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, queparticipan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan enB, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es laprobabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A? 7 1A) ⋅ 13 350 1B) 4 3C) 5 7D) 12 7E) 20EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tienemayor probabilidad de salir en los dos dados?A) 12B) 10C) 9D) 7E) 6EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas seanrojas es: 7A) 50 1B) 8 1C) 252 19D) 12 19E) 37 196
    • EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad deobtener al menos una cara? 1A) 32 1B) 2 5C) 32 1D) 5 31E) 32EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entresí, donde la flecha no puede caer en los límites. La probabilidad de que la flecha caiga enalguna de las regiones de números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un númeromayor que 3 es de: 1A) 2 1B) 4 3C) 8 1D) 8 3E) 4EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la sumade los puntos sea 3 o 4? 5A) 36 7B) 36 5C) 12 7D) 12 1E) 2 197
    • XXIV. ESTADÍSTICAEstadística: Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que seemplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación ycomunicación de conjuntos de datosPoblación: Es un conjunto, cuyos elementos poseen alguna característica común que sequiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de métodos, de medidas, deproducciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas oinfinitasMuestra: es un subconjunto de la población, que debe ser representativa y aleatoria.Variable Cualitativa: Se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo,nacionalidad, profesión, etcVariable cuantitativa: Tienen un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso,temperatura, salario, etcLas variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:Discretas: Toman solo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número dedepartamentos en un edificio, etcContinuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etcTABULACIÓN DE DATOSFrecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuenciaabsoluta)Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valoresde la variable y el total de datosFrecuencia acumulada (fac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuenciasabsolutas hasta la que ocupa la última posiciónFrecuencia relativa acumulada (frac): Es la que se obtiene sumando ordenadamente lafrecuencia relativa hasta la que ocupa la última posiciónAmplitud del intervalo: Es la diferencia entre los límites superior e inferiorMarca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior einferior de cada intervaloMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMedia aritmética (x) : Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de x 1 + x 2 + x 3 + ...... + x ndatos. x = nMedia aritmética para datos organizados en una tabla de frecuenciasSi los datos son: x1, x2, x3,……..,xn y las frecuencias respectivas son f1, f2, f3,…..,fn entonces x 1 ⋅ f1 + x 2 ⋅ f2 + x 3 ⋅ f3 + ...... + x n ⋅ fnla media aritmética es: x = f1 + f2 + f3 + ........ + fnModa (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Sino hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución defrecuencia es amodal 198
    • Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos seencuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número parde datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centralesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOSA) PICTOGRAMAS: Se aplican a las variables de tipo cualitativo y aquellas de tipocuantitativo que plantean comparaciones. Utilizan para su grafismo representaciones delas variables, de tamaño proporcional a la frecuencia con que aparece cada unoB) GRÁFICO DE SECTORES: La representación gráfica se hace por medio de un círculo,dividido en sectores de áreas proporcionales a las frecuencias de la variableAsignatura Estudiantes que la prefierenMatemática 4Lenguaje 3Arte 2Historia 1Total 10C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de lavariable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos,de longitud proporcional a la dicha frecuencia 199
    • D) HISTOGRAMAS: mediante un histograma se representa gráficamente lasdistribuciones de frecuencias de variables estadísticas continuas. Se construyenrectángulos que tienen como bases cada intervalo de la variable y como alturas lasrespectivas frecuencias de dichos intervalos f 16 14 12 8 6 3 29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Salarios en miles de $E) POLÍGONOS DE FRECUENCIAS: Cada par; Variable/Frecuencia (xi,fi) da origen a unpunto del diagrama cartesiano. Al unir dichos puntos por medio de una línea poligonal, seobtiene un polígono de frecuencias 200
    • EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8,¿qué se obtiene?A) MedianaB) Media AritméticaC) ModaD) Media geométricaE) Desviación estándarEJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quintosi la suma de los 4 primeros es 302?A) 78B) 68C) 62D) 58E) 72EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) La moda es 17 años. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.A) Sólo IB) Sólo II Edad 15 16 17 18 19C) Sólo I y II (en años)D) Sólo II y III Alumnos 50 40 60 50 20E) I, II y IIIEJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficinade control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el pesodel niño al que le perdieron la ficha?A) 39 kgB) 29 kgC) 21 kgD) 20 kgE) 19 kg 201
    • EJEMPLO PSU-5: El gráfico circular de la figura muestra las preferencias de 30 alumnosen actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ? I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%. II) La frecuencia relativa del grupo de básquetbol es de 30%. III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-6: El gráfico de la figura apareció en un periódico de una ciudad. En él seindica la preferencia por el noticiero central de cinco canales de televisión, según unamuestra aleatoria, en un año determinado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) De acuerdo a la muestra el noticiero central con menor probabilidad de ser visto esTV 5. II) El gráfico muestra exactamente la realidad de las preferencias de los noticieroscentrales de esta ciudad. III) Aproximadamente, un cuarto de la muestra no ve los noticieros centrales de estoscinco canales.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de losalumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente.D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente.E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina. 202
    • EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gustahacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear. II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar. III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos porlos alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40. II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29. III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.A) Sólo I Intervalos FrecuenciaB) Sólo II de puntajeC) Sólo IIID) Sólo I y III 10 – 19 6E) I, II y III 20 – 29 8 30 – 39 12 40 – 49 5 50 – 59 9EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las notas dematemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de lassiguientes opciones corresponde a los valores de la medianay la moda, respectivamente?A) 4 y 5B) 5 y 5C) 4,1 y 4D) 4,1 y 5E) 4 y 4,5 203
    • EJEMPLO PSU-11: Tres cursos rindieron una misma prueba obteniéndose los resultadosque se indican en la tabla adjunta. ¿Cuál es el promedio total de la prueba?A) 4,25B) 5,00C) 5,16D) 5,25E) 5,50EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron:4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) La mediana es 7 II) La moda es 5 III) La media aritmética (o promedio) es 5A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la pruebade matemática, obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de lassiguientes afirmaciones son verdaderas? I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 Nota f II) La moda corresponde a la nota 5,0 3,0 3 III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 3,5 5 IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0 4,0 4 4,5 6A) Sólo II y III 5,0 7B) Sólo III y IV 5,5 5C) Sólo I, II y III 6,0 4D) Sólo I, II y IV 6,5 4E) Sólo II, III y IV 7,0 2 Total 40 alumnosEJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos endistintos días de la semana y uno de sus valores acumulados ¿Cuántos artículos se hanvendido en total hasta el término del día miércoles? Días Nº de TotalA) 24 artículos acumuladoB) 20 LunesC) 30 Martes 12 16D) 8 Miércoles 8E) Ninguna de las anteriores Jueves 6 204
    • EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos,con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la notapromedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de amboscursos es:A) 5,7B) 5,6C) 5,5D) 5,4E) 5,3EJEMPLO PSU-16: El gráfico de la figura representa la distribución de las notas obtenidaspor 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)verdadera(s)? I) 9 niños obtuvieron notas mayores o iguales a 5. II) La moda es la nota 5. III) La quinta parte del curso obtuvo nota inferior a 4.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-17: Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000, $10.000, $10.000 y $15.000.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La moda es $10.000. II. La mediana es $10.000 III. El promedio es $9.600.A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III 205
    • EJEMPLO PSU-18: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguientedistribución de edades. La moda y la mediana de las edades de ese grupo son: moda mediana Edad FrecuenciaA) 16 17 13 5B) 17 15 14 11C) 15 17D) 5 1 15 1E) 17 16 16 5 17 13EJEMPLO PSU-19: El promedio (media aritmética) de los números 3; 2; 5; 5 y 6 esA) 4B) 4,2C) 5D) 5,25E) ninguno de los anteriores.EJEMPLO PSU-20: La tabla adjunta muestra la distribución de sueldos de 45 personas deuna empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? TRAMO NÚMERO DE SUELDO EN PESOS PERSONAS DESDE – HASTA A 3 5.000.000 – 7.000.000 B 2 2.000.000 – 3.000.000 C 5 800.000 - 1.200.000 D 15 500.000 - 700.000 E 13 300.000 - 400.000 F 7 150.000 - 250.000 I) Hay exactamente 20 personas que ganan a lo menos $ 400.000 de sueldo. II) La mediana de la distribución se encuentra en el tramo D. III) El total que se paga a las personas del tramo A es, a lo más, $ 21.000.000.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y IIIEJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5. II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia. III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III 206
    • EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en igualescondiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El curso Q es el más homogéneo. II) El curso R es el más homogéneo. III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas.A) Sólo I CURSO PROMEDIO DESVIACIÓNB) Sólo II ESTÁNDARC) Sólo III Q 4,6 1D) Sólo II y III R 5,2 0,8E) Ninguna de ellasEJEMPLO PSU-23: El gráfico de la figura, representa la distribución de los puntajesobtenidos por un curso en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) El 40% de los alumnos obtuvo 30 puntos II) 30 alumnos obtuvieron más de 20 puntos 1III) de los alumnos obtuvo 10 puntos 10A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignaturade un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La mediana de las notas es 4 II) La moda de las notas es 5 III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4A) Solo I Notas 1 2 3 4 5 6 7B) Solo II Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4C) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III 207
    • EJEMPLO PSU-25: Se ha lanzado un dado 100 veces y se obtuvo la siguiente tabla: Cara 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 13 15 17 16 20 19¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El 50% de las veces se obtuvo un número par II) El 30% de las veces resultó 1 o 3 III) El 20% de las veces salió el número 5A) Solo IIIB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿quéindicador estadístico se obtiene?A) La modaB) La media aritmética (o promedio)C) La medianaD) El rangoE) La desviación estándarEJEMPLO PSU-27: En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguientedistribución de edades: Edad Frecuencia E1 N1 E2 N2 E3 N3 E4 N4¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de estamuestra? E + E2 + E3 + E4A) 1 4 E1 + E2 + E3 + E4B) N1 + N2 + N3 + N4 N ⋅ E + N 2 ⋅ E2 + N3 ⋅ E3 + N 4 ⋅ E4C) 1 1 N1 + N2 + N3 + N4 N ⋅ E + N2 ⋅ E2 + N3 ⋅ E3 + N 4 ⋅ E4D) 1 1 4 N + N2 + N3 + N4E) 1 4 208
    • XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICASDefinición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformacionesque no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo puedencambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta)Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y lasreflexiones (o simetrías)Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta,manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicuaSentido: derecha, izquierda, arriba, abajoMagnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y laposición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura enun sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un parordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e yrepresenta el desplazamiento verticalEJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose elpunto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el puntoA) (1, -2)B) (-5, 0)C) (3, -1)D) (-5, 2)E) (1, 0)Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Estemovimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican treselementos:El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuarla rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un puntocualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el puntocorrespondiente en la figura obtenida después de la rotaciónEl sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de lospunteros del reloj)Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de lafigura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el puntocorrespondiente de la figura original y el centro de rotación.Rotación de 90º (x,y) ------- (-y,x)Rotación de 180º (x,y) ------- (-x,-y) 209
    • EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotaciónen180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en sunueva posición?A) En (2, 2)B) En (2, 0)C) En (4, 2)D) En (0, 0)E) En (0, 2)Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es elmovimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’equidisten del eje de simetría y el segmento PP sea perpendicular al eje de simetríaNota: (1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial (2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría centralEJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje desimetría L, es el puntoA) QB) RC) SD) TE) U 210
    • Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta semantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de lafigura.El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambasdiagonales son ejes de simetría del cuadrado.También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a losejes determinados por los puntos medios de lados opuestosEstos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.El cuadrado tiene cuatro ejes de simetríaEn el caso de los triángulos, tenemos: Tipo Ejes Triángulo equilátero Tres ejes de simetría Triángulo Isósceles Un eje de simetría Triángulo Escaleno Ningún eje de simetríaEn el caso de los cuadriláteros, tenemos: Tipo Ejes Cuadrado Cuatro ejes de simetría Rectángulo Dos ejes de simetría Rombo Dos ejes de simetría Trapecio isósceles Un eje de simetría Trapezoide Ningún eje de simetríaNota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un ejede simetría del círculo. 211
    • Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría comonúmeros de ladosEJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes desimetría? I) Cuadrado II) Rombo III) TrapecioA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y IIITeselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo queéstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrirCon rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar.También es posible teselar con cualquier tipo de triángulosCon polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie esque los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros,los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el planoEJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado,entonces el número de cerámicas que se ocuparían esA) 120B) 60C) 40D) 18E) 12EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es elreflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es unsegmentoA) paralelo al eje x.B) paralelo al eje y.C) de la bisectriz del segundo cuadrante.D) de la bisectriz del primer cuadrante.E) perpendicular al eje x. 212
    • EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el punto medio de PMQ . ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ,como también por la reflexión del eje NP?A) SB) QC) PD) NE) MEJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene un círculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces latraslación de toda la figura al nuevo centro (2, 1) sitúa al punto P en las coordenadasA) (1, 2)B) (2, 1)C) (1, 1)D) (2, 2)E) (0, 2)EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al punto P. ¿Cuál de lasopciones representa mejor la rotación de la figura?A) B) C) D) E)EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90º con respecto alpunto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son:A) (6,2)B) (-3,6)C) (6,-7)D) (6,-3)E) (6,-5) 213
    • EJEMPLO PSU-11: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico del punto A(-1,-2) con respectoa la recta y = 3?A) (-1,8)B) (1,8)C) (-1,6)D) (7,-2)E) (-1,-4)EJEMPLO PSU-12: ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos regulares permite(n) teselar(o embaldosar) el plano? I) Pentágonos. II) Triángulos equiláteros. III) Hexágonos.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas(8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?A) (-8, -3)B) (8, 3)C) (-8, 3)D) (-3, 8)E) (3, 8)EJEMPLO PSU-14: La en I) está formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) esun cuadrado y la figura en III) es un triángulo equilátero. ¿Cuál(es) de ellas tiene(n)simetría central?A) Sólo IB) Solo IIC) Solo IIID) Sólo I y IIE) I, II y III 214
    • EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Un cuadrado tiene 4 ejes de simetría II) Un rectángulo tiene 4 ejes de simetría III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetríaA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto P(2,3), con respecto ala recta L de ecuación y = xA) (2,1)B) (-2,3)C) (-2,-3)D) (2,-3)E) (3,2)EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas(8, - 3) con respecto al eje de las ordenadas?A) (-8, -3)B) (8, 3)C) (-8, 3)D) (-3, 8)E) (3, 8)EJEMPLO PSU-18: En la figura, ABCD es un cuadrado simétrico con el cuadradoA’B’C’D’ con respecto al eje y. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) D’ = (-5,6) II) Ambos cuadrados tienen igual perímetro III) Ambos cuadrados tienen igual áreaA) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III 215
    • EJEMPLO PSU-19: En la figura, el triángulo MNS es simétrico (reflejo) con el triánguloQPR respecto al eje T, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempreverdadera(s)? I) RS ⊥ T II) QR // NS III) ∆PMR ≅ ∆NQSA) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-20: En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se trasladaal cuadrado dibujado con línea punteada. ¿Cuáles son los componentes del vector de latraslación?A) (1,2)B) (-2,1)C) (-1,2)D) (2,1)E) (-2,-1)EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central.¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figuracon simetría central? I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y tamaño II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma forma y tamaño III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y tamañoA) Sólo IB) Solo IIIC) Solo en I y en IID) Solo en I y en IIIE) En I, en II y en IIIEJEMPLO PSU-22: En la figura, ¿cuál de las siguientes transformaciones rígidas permiteobtener el polígono P a partir del polígono Q?A) Simetría (reflexión) con respecto al eje yB) rotación en 180º con respecto al origenC) Simetría (reflexión) con respecto al eje y, y una rotaciónen 180º con respecto al origenD) simetría (reflexión) con respecto al eje x, y una rotaciónen 180º con respecto al origenE) Rotación de 90º con respecto al origen 216
    • EJEMPLO PSU-23: El triángulo ABC tiene coordenadas: A(2,3), B(-3,8) y C(3,7). Si seaplica una traslación según el vector (5,-7), las nuevas coordenadas del triángulo serán: I) A’(7,-4) II) B’(-8,1) III) C’(8,0)A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-24: En la figura, el ∆ ABC se traslada según el vector (4, 2). ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3). II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5 . III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual alperímetro del triángulo ABC.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-25: En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia 1tiene radio . Si se gira toda la figura en torno al centro O en 180º, en el sentido de la 2flecha, el punto A, que está sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas 1 1A)  ,−  2 2 1 B)  ,0  2   1 1C)  − ,−   2 2  1D)  0,   2  1 1E)  − ,   2 2 217
    • EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1,2),B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x enuna unidad a la izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dosunidades hacia arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4) II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7) III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4)A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos ladosiguales y uno distinto es:A) 4B) 3C) 2D) 1E) 0EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son las coordenadas delpunto simétrico de P con respecto al eje y?A) (-7,-9)B) (7,9)C) (-7,9)D) (-9,7)E) (-9,-7)EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y C(4, 0), se le aplicala traslación según el vector u = ( −5,7 ) , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) A se transforma en A’(-4, 9) II) B se transforma en B’(-3, 8) III) C se transforma en C’(-1, 7)A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III 218
    • EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con respecto al eje RS.¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante?EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de lafunción g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación? 219
    • EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –1), ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) El punto simétrico de A con respecto al eje y es el punto (4, – 1). II) Al rotar el punto A en 90° en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene el punto (–1, 4). III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtiene el punto (–2, 1).A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) dela figura respecto a la recta L? 220
    • XXVI. TEOREMA GENERAL DE THALESSi tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellasdeterminan segmentos proporcionales en dichas transversales. L 1 // L 2 // L 3Hipótesis: M 1 y M 2 transversales AB A BTesis: = BC B CNota: en una proporción es posible: (a) alternar los términos medios (b) alternar los términos extremos (c) invertir las razones (d) permutar las razones (e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al consecuente de cada razónTeorema recíproco del teorema general de Thalesseñala que:“Si tres o más rectas son intersectadas por dostransversales, determinando en estas segmentosproporcionales, entonces las rectas son paralelas”M1 y M2 transversalesAB A B = ⇒ L 1 // L 2 // L 3BC B C 221
    • EJEMPLO PSU-1: La figura muestra un rectángulo ABEF con BC = 10, CF = 5 y CD = 4.¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE?A) 16B) 22C) 28D) 32E) 36EJEMPLO PSU-2: En el triángulo ABC de la figura, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, yAP: PR: RB = 1: 2: 3, entonces el valor de CB es:A) 96 cmB) 72 cmC) 48 cmD) 36 cmE) 24 cmEJEMPLO PSU-3: En la figura, el área del triángulo ABC es 90 cm2 y AB // DE . ¿Cuál esel área del trapecio ADEB?A) 36 cm2B) 40 cm2C) 50 cm2D) 54 cm2E) 60 cm2 222
    • EJEMPLO PSU-4: En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? AG AB I) = FE CD BG AG II ) = CF GF AG AB III ) = AF ACA) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-5: En la figura, AC // DE La medida de BC esA) 25B) 20C) 9D) 30E) 14EJEMPLO PSU-6: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) Sólo en II y en IIIE) En I, en II y en III 223
    • EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes EDy BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la distancia entre el puntoA y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántosmetros separan a la persona (punto A) del poste ED?A) 1 metroB) 9 metrosC) 6 metrosD) 3 metrosE) 30 metrosEJEMPLO PSU-8: En la figura AB // CD . Si CD mide el doble de AB , ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Los triángulos OAB y OCD son rectángulos II) Los triángulos OAB y OCD son semejantes III) AC = 2 ⋅ OAA) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-9: En el triángulo ABC de la figura, PM // AB Si PM = 10, AB = 15 y CT =12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar elvalor de x? 10 12 − xA) = 15 12 10 12 − xB) = 15 x 10 x − 12C) = 15 12 10 12D) = 15 12 − x 10 12E) = 15 x 224
    • EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer pisotiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombraproyectada por el segundo piso?A) 8 mB) 10 mC) 15 m 40D) m 3E) No se puede determinar AE 3EJEMPLO PSU-11: En la figura, ED // BC. Si = , ¿cuál(es) de las siguientes EC 2afirmaciones es (son) verdadera(s)? AD 3 I) = DB 2 EC 3 II ) = ED 2 AC AB III ) = AE ADA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y IIIEJEMPLO PSU-12: Si en la figura L1//L2, entonces el valor de x es:A) 2B) 7C) 12,5D) 18E) Ninguno de los valores anteriores 225
    • EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS Nº 64 A LA Nº 70En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida silos datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en lasafirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.Usted deberá marcar la letra: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, se puede determinar el capital de Q si:(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3: 2(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicionalEn este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciadomás los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:P: Q = 3: 2, luego(P + Q): Q = 5: 2, de donde$ 10.000.000: Q = 5: 2Q = $ 4.000.000Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en elenunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). 226
    • EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS1. Se puede determinar cuanto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatroproporcionales si: (1) La cuerda mide 72 cm (2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6A) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional2. Si x e y son dos números distintos, se puede determinar el valor de la expresiónx2 − y2 si: x−y (1) x + y = 8 (2) x – y = 2A) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del ángulo AOB se puede determinarsi: (1) El área del sector achurado representa el 40% (2) la medida del ángulo ACB = 72ºA) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional a4. El valor numérico de log(ab) + log   se puede determinar si: b (1) a = 1.000 (2) b = 100A) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 227
    • 5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede determinar el precio promedio deuna manzana si: (1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total es $ 4.800 (2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100 manzanasA) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional6. m y n son números naturales, m + n + 1 es un número impar si: (1) m es un número impar (2) m ⋅ n es un número imparA) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional7. En la figura, el triángulo FEC es semejante con el triángulo BDE si: (1) ∠FCB ≅ ∠CBD (2) AC // BDA) (1) Por sí solaB) (2) Por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional8. ax + by es igual a bx + ay si: (1) x = y (2) a = bA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 228
    • 9. En la figura, DE = AB = 10. Se puede determinar la magnitud AC si se sabe que: (1) AD = 8 (2) = 5A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional10. En la figura, EB = 6. Se puede determinar el valor de DB si: (1) CE: EB = 3: 2 (2) AD = 5A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 3 3 (x − 3)2 9 z 11. Se puede determinar el valor numérico de la expresión 2 + y  •   si: (3 − x) z  9 (1) z = 9 (2) y = 6A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos. Se puede saber el número total detrabajadores si: (1) Enfermos: Sanos = 1: 3 (2) El 75% de los trabajadores están sanosA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 229
    • 13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y caramelos tipo 2 que cuestan $4c/u. se puede determinar la cantidad de caramelos de cada tipo que compró si: (1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que tipo 1 (2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional14. En la siguiente tabla se muestra la edad de un grupo de personas. Se puede determinarx si: (1) El promedio es 6 Edad Frecuencia (2) La mediana es 7 5 2A) (1) por sí sola 6 XB) (2) por sí sola 7 10C) Ambas juntas (1) y (2) 8 6D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional15. Se puede determinar el monto de una deuda si: (1) La cuota mínima a pagar es el 5% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ 12.000.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional16. Se puede determinar cuánto vale m si se sabe que: (1) La tercera parte de m sumada con 2 resulta 7. (2) Al restarle 1 al 20% de m resulta 2.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 230
    • 17. Se pueden calcular las edades de Juanita y de su madre si se sabe que: (1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años. (2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de su madre.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional18. Sea n = 7, se puede saber cuántas unidades es x mayor que y si: (1) x = n + y x (2) =y-5 nA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional19. En la figura el trazo AC corresponde a la sombra de la torre vertical AB, en un ciertomomento. Es posible calcular la altura de la torre si se sabe que, en ese mismo instante: (1) Muy cerca de la torre, un poste vertical de 1 metro tiene una sombra de 1 metro. (2) Se conoce la medida del trazo AC.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional20. En la figura, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersecciónde los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del ∆ PBC si: (1) El lado del cuadrado mide 8 cm. (2) Se sabe que M es punto medio de AD.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 231
    • 21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puededeterminar la probabilidad de sacar una ficha roja si: (1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes. (2) El número total de fichas es 36.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional22. a2 + b2 = (a + b)2 si : (1) a = 0 (2) b = 0A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional23. Si x es un entero comprendido entre 80 y 90, se puede determinar el valor exacto de xsi: (1) x es múltiplo de 4 (2) x es múltiplo de 7A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional x24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede saber el valor de si: y (1) y es el triple de x. (2) La suma de x e y es 8.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 232
    • 25. En el rectángulo ABCD de la figura, el perímetro mide 28 cm. Se puede determinar elárea achurada si (1) AB : BC = 4 : 3 (2) AC = 10A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 426. En la figura, sen α = , se puede afirmar que UT = 7 si: 7 (1) US = 4 (2) L1 // L2A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 2a − b27. Se puede determinar el valor de si: b (1) a : b = 5 : 2 (2) a + b = 21A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Cada una por sí sola, (1) ó (2)D) Ambas juntas, (1) y (2)E) Se requiere información adicional 233
    • 28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Sepuede determinar la relación que hay entre los volúmenes de los conos que se generan sise sabe que: (1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que un cateto de la dePedro. (2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que mide el otro cateto dela de Pedro.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional29. Se puede determinar la edad de Benjamín si: (1) Benjamín es menor en 46 años que su padre que tiene el triple de su edad. (2) Al sumar la edad de Benjamín con 1950 se obtiene su año de nacimiento que es1973.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se puede determinar el número exacto si: (1) La suma de sus cifras es 9. (2) El número es par.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos congruentes. Se puede determinarel perímetro de la figura MNPQRM si se sabe que: (1) MQ = 12 cm (2) PQ = 2 cmA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 234
    • 32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabeque: (1) El 52% de la población del país son mujeres. (2) El 0,5% de la población son médicos.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas y viudas, se puede determinar elnúmero de mujeres viudas si: (1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3. (2) Las casadas son 25.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar laedad de Cecilia si: (1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella. (2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional35. Se puede concluir que x es un número negativo si se sabe que: (1) 4x es negativo. (2) x – 3 es negativo.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 235
    • 36. Sea b el doble de a y el a% del b% de H es 24. Se puede determinar el valor de H si sesabe que: (1) a = 10 (2) a + b = 30A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional37. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 8 cm, se puede determinar el área deltriángulo NME si: (1) AE = EC ; AM = MD (2) AN = NMA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional38. En la figura, CD // AB .Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con eltriángulo DCB si: (1) α = ε (2) = AB = CDA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 236
    • 39. Un automóvil tiene un rendimiento promedio de 10 km por litro de bencina. Se puededeterminar la velocidad promedio en un viaje entre dos ciudades A y B, si se sabe que elautomóvil: (1) Gastó en el viaje 5 litros de bencina. (2) Demoró en el viaje 30 minutos.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional40. Se puede determinar que existe semejanza entre los triángulos ABC y DEC de lafigura, si: (1) DE es mediana. (2) α = εA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional41. Sean n, m números enteros positivos y a = 2 n • 3 m . Se puede afirmar que el número a es el cuadrado de un número entero, si se sabe que: 2 (1) n es impar. (2) m es par.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional42. Se puede determinar el precio de una lata de bebida si: (1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche (2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 237
    • 43. En la expresión 3a – 2b = 8 se puede determinar el valor de a si: (1) b es la mitad de a (2) b + 2 = aA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional44. En el triángulo ACD de la figura, BE // CD. Se puede determinar la medida delsegmento ED si: (1) CD = 12 (2) = 3xA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6, entonces se puede determinar el valorde x si: (1) La moda es 6 (2) La mediana es 6A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se puede determinar el valor de a si: (1) X e Y son inversamente proporcionales (2) T e Y son directamente proporcionalesA) (1) por sí solaB) (2) por sí sola T X YC) Ambas juntas, (1) y (2) 5 354 432D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 10 a bE) Se requiere información adicional 238
    • a b+547. La expresión toma siempre un valor positivo si: a b+8 (1) a es un número positivo (2) a es un número parA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional48. Sean m y p números enteros positivos, se puede determinar exactamente el valor deellos si: m 11 ( 1) = p 19 ( 2 ) (m + p ) 2 = 22.500A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se puede determinar siempre el valornumérico de la altura si: (1) Se conoce el área del triángulo (2) Se conoce el perímetro del triánguloA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional50. En la figura PT es tangente en T a la circunferencia de centro O. PQ pasa por el centrode la circunferencia y la intersecta en R y en Q, respectivamente. Se puede calcular el valordel radio si: (1) Se conoce la medida de PT (2) Se conoce la medida de RPA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 239
    • 51. Se tienen los números 3, 7, 9, 5 y x. Se puede determinar el valor de x si: (1) El promedio de los números es 8 (2) La mediana de los números es 7A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional x 2 + y 2 − 2 xy52. Se puede determinar el valor numérico de , con x ≠ y , si se sabe que: x−y (1) x + y = 5 (2) x – y = 3A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional53. En la figura, se puede determinar la medida de AB si: (1) AC = BC = 6 cm y AB < BC (2) AB : AC = 2 : 3A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional a•b54. Si c es un número entero positivo y G = , entonces G es positivo si: c (1) a y b son positivos (2) a y b son negativosA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 240
    • 55. Las edades de dos personas están en la razón de 3: 4. Se puede determinar las edadessi: (1) La diferencia de edades es 5 años (2) Las edades suman 35 añosA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional56. Se puede conocer la edad de Paz si: (1) La suma de las edades de su mamá y su hermana menor es 36 años (2) La diferencia de edad entre Paz y su hermana menor es de 5 añosA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional p a57. Se puede determinar el valor numérico de la expresión : con m distinto de cero, m 3msi se conoce que: (1) p = 4 p (2) = 8 aA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional58. En la circunferencia de centro O, PB y PD son secantes, si PA = 6, entonces se puededeterminar PC si: (1) PA: AB =3: 2 (2) DC = 5A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 241
    • 59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y (ay + bx) son iguales si se sabe que: (1) a = b (2) x = yA) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7 cada uno y caramelos de tipo II quecuestan $ 4 cada uno. Se puede saber la cantidad comprada de cada tipo si: I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del tipo I II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente(sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm. (2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm y 20cm.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional62. Sea a: b = 2: 3. Se pueden determinar los valores numéricos de a y b si: (1) 2b: c = 6: 5 y c = 15 (2) a + b = 15A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 242
    • RESPUESTASNÚMEROS ENTEROS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B B D A E D E D A E C A B A D D A B C A21DNÚMEROS RACIONALES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20A D A D B B D B E C E A B E B A B A B A21 22 23 24 25 26 27C A D E A E CPOTENCIAS EN Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B C E A A A B B A D C B C C B C C E D CÁLGEBRA y FUNCIONES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D D E C A A E C E D B A B C E D C D C C21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40A E E A A C D D E C D A D B C E D D B B41 42 43 44 45A E A B ESIMBOLOGÍA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13D D C A E B C A E A C C A 243
    • RAZONES y PROPORCIONES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D A D B C A C B C B A C C A D E A D A A21 22E ATANTO POR CIENTO1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C B D C E E A D C E D B B E D D E D C C21 22 23 24 25 26 27 28 29B C E D E D A D DRAÍCES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B A E B D B A C A A A B B A B D C E A D21EECUACIONES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C C A B B C B E D C E E A C B A C D A C21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B B B A E C B B D C B B A C D A E C D ADESIGUALDADES1 2 3 4 5 6 7A C D A E D EECUACIONES DE SEGUNDO GRADO1 2 3 4 5 6D A E A B C 244
    • LOGARITMOS1 2 3 4 5 6 7 8 9E C E A E B D C BFUNCIONES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C B B E E D D D A B D A B D C D C D E E21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E B A B A A D E D A A C C E D E A D B C41CEJE TEMÁTICO: GEOMETRÍAUNIDAD: ÁNGULOS – TRIÁNGULOS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16B D D B E A B B E E C E D D D DUNIDAD: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS1 2 3 4 5 6 7 8D D E B D E C CUNIDAD: SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10E A C E E A C E B AUNIDAD: CUADRILÁTEROS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B B C D D C E A D B B E B B C E D A E B21 22 23 24 25 26 27 28 29A A E C A E C A B 245
    • UNIDAD: POLÍGONOS1EUNIDAD: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19B B C B C C D E C D B C C B A B A B EUNIDAD: TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20A D B C C A B C C D A D A D D E A E D B21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33D E C E C E D A D D E D CUNIDAD: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA1 2 3 4 5 6 7E B C A D E EUNIDAD: CUERPOS POLIEDROS – VOLUMEN1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14B C B D E A B D B C A A E BUNIDAD: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA1 2 3 4A B B DUNIDAD: TRIGONOMETRÍA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16A A E B C B D C D B A A B E A C 246
    • UNIDAD: TEOREMA DE THALES1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12D B C C A D D B A A D BUNIDAD: ESTADÍSTICA1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B A E B E D E D D A C D C A D E E E B E21 22 23 24 25 26 27C D D D E B CUNIDAD: PROBABILIDAD1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C D B A E D B D C A B C A A A D C B C E21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37E B A E C B C E A B C E D A E B AEJERCICIOS DE EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C A D A C B D D E C B D A E C D C A C C21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E D B A D C A E D E C E D C A D C D D41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60C E D B A C A C A C A B C D D E B C D B61 62B D 247
    • PRIMER AÑO MEDIO• Eje Temático: Números y proporcionalidadContenidos Curriculares: Conjuntos numéricos - Potencias de base racional y exponenteentero - Regularidades numéricas- Razones y proporciones – Porcentaje.• Eje Temático: Álgebra y funcionesContenidos Curriculares: Operatoria algebraica - Ecuaciones de primer grado.• Eje Temático: GeometríaContenidos Curriculares: Criterios de congruencia de triángulos - Transformacionesisométricas – Teselaciones.1. ( −2 ) 2 − ( −3) 2 − ( −4 ) 2 =A) -25B) -21C) -3D) 11E) 292. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2 , 2 . 10-3 , 0,00002 , .... ¿Cuál es elquinto término?A) 2 • 10 −5B) 2 • 10 −6C) 2 • 10 −7D) 2 • 10 −9E) 2 • 10 −113. A es inversamente proporcional al cuadrado de T. Cuando A es 2, el valor de T es 3. Si T= 2, entonces el valor de A es: 8A) 9 9B) 2 9C) 4 8D) 9E) 9 248
    • 4. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones permite(n) calcular “un número aumentado en su25%”? I. multiplicarlo por 5 y dividir el resultado por 4. II. multiplicarlo por 1,25. III. dividirlo por 0,8.De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.5. ¿Qué porcentaje es 0,002 de 0,04?A) 0,05%B) 0,5%C) 0,8%D) 5%E) 8%6. Dada la siguiente secuencia de figuras: Cuál de las siguientes figuras necesita 49 fósforospara ser construida?A) la figura 23B) la figura 24C) la figura 25D) la figura 99E) la figura 1007. Si el radio de una circunferencia es un número racional, ¿cuál(es) de las siguientesmagnitudes corresponde(n) a un número racional? I. Su longitud o perímetro. II. El lado del cuadrado circunscrito a la circunferencia. III. El lado del cuadrado inscrito a la circunferencia.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.8. Si 0,002 • 10 x = 2.000; entonces x =A) -7B) -6C) 5D) 6E) 7 249
    • 2 8 + 2 109. 10A) 27B) 5 −18C) 218 • 10-1D) 236 • 10-1E) 280 •10-110. Dada la sucesión: 2 • 21 , 3 •22 , 2 • 23 , 3 • 24 , 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre lostérminos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese orden? 3A) 4 1B) 4 4C) 3D) 3E) 611. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. (0,2) −2 = 25 II. (0, 1 ) −2 = 81 III. (0,1 6 ) −2 = 36A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III. 412. Los de 0,008 escrito en notación científica es: 5A) 64 • 10-4B) 6,4 •10-3C) 1 •10-2D) 0,1 •10-1E) 0,64 •10-2 250
    • 13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una pizza. Sebastián 1 3compró 260 gramos, Francisco de kg y Leonardo de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes 4 8afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sebastián compró menos que Francisco. II. Leonardo compró más que Francisco. III. Sebastián compró más que Leonardo.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo III.D) Sólo I y II.E) Ninguna de ellas.14. (a – 2b)2 – (b – 2a)2 =A) 5a2 – 3b2B) 5a2 + 3b2C) -3a2 – 3b2D) 5a2 – 8ab + 3b2E) -3a2 + 3b215. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar quince”, se expresamediante:A) 2A – B = 15B) 2A + 15 = BC) 2A + B = 15D) 2AB = 15 2AE) = 15 B16. Si x2 – y 2 = 2 y x+y = 4, entonces 2x – 2y =A) 0,25B) 0,5C) 1D) 2E) 4 4a 2 − b 217. = 2 b − 4aA) -a+bB) -a-bC) -4a-2b −2a − bD) 2 2a + bE) 2 251
    • 18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemosafirmar que el triángulo es:A) equilátero.B) isósceles no rectángulo.C) isósceles rectángulo.D) escaleno rectángulo.E) No se puede determinar19. Si (a - b)2 = 25 y a2+b2 = 9, entonces ab =A) -17B) -8C) 2D) 8E) 17 120. Se define a * b = a + a + 1 , entonces 2 * 3 = 1 1+ bA) 5 4B) 7 7C) 4 11D) 4 5E) 421. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la edad de Enriquees la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es eldoble de la de Juan, ¿cuál es la edad de Enrique?A) 11 añosB) 22 añosC) 33 añosD) 66 añosE) 77 años22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientesexpresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada? I. ab – c2 II. a(b – c) + (a – c)c III. (a – c)b + c(b – c)A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) I, II y III 252
    • 23. 32x • 22x =A) 52xB) 64xC) 12xD) 24xE) 36x24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2. II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab. III. El área de PQDF es 2a2 + abA) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III. a−b  125. Se define : a ∇ b = , entonces − ∇( −3) = a+b  3 1A) − 3 5B) − 4 4C) − 5 4D) 5 5E) 4 a+126. Si a-1 + 1= 4 entonces = aA) 2B) 4C) 6 4D) 3 6E) 5 253
    • 27. En un rectángulo de 42 cm de perímetro, el largo mide tres centímetros más que eldoble del ancho. ¿Cuál es su área?A) 36 cm2B) 42 cm2C) 54 cm2D) 90 cm2E) 270 cm228. El cuadrado ABCD de la figura se ha trasladado transformándose en el cuadradoEFGH. ¿Cuál es la dirección de la traslación?A) (1,2)B) (1,-2)C) (2,1)D) (2,-1)E) (-2,1)29. Si el punto (-3,2) se gira en 90º en torno al origen, queda en el punto:A) (3,-2)B) (2,-3)C) (-2,-3)D) (3,2)E) (-2,3)30. Con respecto a los triángulos de la figura, se puede afirmar que:A) son congruentes por el criterio (L,L,L).B) son congruentes por el criterio (L,A,L).C) son congruentes por el criterio (A,L,A).D) son congruentes por el criterio (L,L,A>).E) no son congruentes necesariamente.31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto (a,b), entonces a+b =A) -5B) -1C) 1D) 2E) 5 254
    • 32. Según los datos de la figura, el valor de α es:A) 21ºB) 31,5ºC) 32ºD) 42ºE) Falta información.33. Si el ABC de la figura, se traslada de modo que el vértice C queda en el vértice A,entonces el punto B queda en el punto de coordenadas:A) (3,1)B) (-1,-3)C) (-1,-2)D) (0,-2)E) (0,-3)34. En la figura, EFRS es un cuadrado y C es su centro de gravedad. Si el ABC es isóscelesde base AB, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. ∆ CEA ≅ ∆ CFB. II. ∆ SCE ≅ ∆ RCF. III. ∆ CQE ≅ ∆ CPF.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con cuál(es) de ellas sepuede teselar (embaldosar) un plano?A) sólo con I.B) sólo con II.C) sólo con III.D) sólo con I y II.E) sólo con I y III.36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría? I. Cuadrado. II. Rectángulo. III. Rombo.A) sólo I.B) sólo II.C) sólo I y II.D) sólo II y III.E) I, II y III. 255
    • 37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + 2 cm. ¿Cuál es el área delcuadrado?A) 1 cm2B) 2 cm2C) 4 cm2D) 8 cm2E) 16 cm238. En la figura, AB = BC y ∆ ABC ≅ ∆ ABE ¿Cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)? I. CE ⊥ AF II. ∡ ACF ≅ ∡ AEF III. ∡ CBE ≅ 2∡ CAEA) sólo I.B) sólo I y II.C) sólo II y III.D) sólo I y III.E) I, II y III.39. ¿Con cuál(es) de las siguientes figuras se puede teselar (embaldosar) un plano? I. Rombos. II. Romboides. III. Triángulos escalenos.A) sólo I.B) sólo I y II.C) sólo I y III.D) sólo II y III.E) I, II y III.40. Si el punto A(-1,2) se refleja en torno a la recta x = 2, su imagen queda en el punto:A) (3,2)B) (4,2)C) (5,2)D) (1,2)E) (6,2) 256
    • RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B D B E D B B D A A E B B E C C D D B D21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40A E E E C B D E C E A D B E E D B E E C 257
    • SEGUNDO AÑO MEDIOEje Temático: Álgebra y funcionesContenidos Curriculares: Funciones - Sistemas de ecuaciones - Operatoria con expresionesalgebraicas.• Eje Temático: GeometríaContenidos Curriculares: Propiedades angulares en la circunferencia - Semejanza detriángulos.• Eje Temático: Estadística y probabilidadesContenidos Curriculares: Sucesos equiprobables - Probabilidad de un evento - Regla deLaplace - Regla de multiplicación de probabilidades - Probabilidad y frecuencia relativa.1. Si f(x) = x2 – 3x, entonces f(-1) + f(2) =A) -6B) -2C) 2D) 4E) 6 (a − b)x2. Si f(x) = (a ≠ b), entonces f(a+b) = a2 − b2A) a+bB) a - bC) a2 – b2D) a2 + b2E) 13. Si x + y = 2, entonces x −1 + y −1 =A) 2 1B) 2C) 2xy 2D) xy xyE) 24. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de ecuaciones: L1: (1+k)x – y = 2 ; L2: (1-k)x +2y = 3 sean paralelas?A) -3B) 3C) 2D) 2E) No existe tal valor de “k” 258
    • 5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta que es perpendicular a 1la recta de ecuación: y = - x + 3 y pasa por el punto (2,1)? 2A) y - 1= 2(x - 1)B) y - 1= -2(x - 2)C) y - 2= 2(x - 1)D) y - 1= 2(x - 2) 1E) y - 1= (x - 2) 26. ¿Cuál debe ser el valor de K para que el sistema de ecuaciones: 2x - ky = 3 4x + 2y = 5 NO tenga solución?A) -4B) -2C) -1D) 1E) 27. Si 2x – y = 3 y | x | = 2, entonces el o los valores posibles de y es(son): I. 1 II. -7 III. 7A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) Ninguno de ellos.8. Si x e y son números reales distintos de cero tales que x −1 + y −1 = 1 , entonces x+y =A) 1B) 2C) x-yD) xyE) 1x+y9. Las rectas de ecuaciones: L1: 2x-y-m = 0 ; L2: px+2y+m = 0 se interceptan en el punto(2,-2). Entonces m + p =A) -5B) -1C) 5D) 6E) 7 259
    • 10. Si |x| corresponde al valor absoluto de x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s) con respecto a la gráfica de la función: y = -|x - 1|+1? I. Pasa por el punto (-2,-2). II. Intercepta al eje x en dos puntos. III. Intercepta al eje y en el origen.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III. 2(a − b) + x( b − a )11. Al simplificar la fracción algebraica: , resulta: ( a − b)( 2 − x )A) 1B) -1 1C) 2−x 1D) a−bE) a – b 2x 2y12. Si x = y, entonces + = x−y y−xA) -2B) 0C) 2 1D) xy −2( x + y )E) xy13. Con respecto a la recta de ecuación: x+2y - 3= 0, se afirma que: I. Pasa por el punto (3,0) II. Intercepta a la recta de ecuación 2x - y-1= 0 en el punto (1,1). III. Es perpendicular a la recta de ecuación 2x- y + 4= 0.Es(son) verdadera(s):A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III. 260
    • 14. Con respecto a las rectas L1 y L2 de la figura: Se afirma que: −2 I. La ecuación de L1 es: y-1 = (x-2) 3 3 II. La ecuación de L2 es: y = x - 2 2 III. Las rectas son perpendiculares.Es (son) correctas:A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.15. BCA es una semicircunferencia y ∡ ACO = 40º Entonces el ∡ABC mide:A) 20°B) 40°C) 50°D) 70°E) 80°16. En la figura: L1 // L2 y L1 ⊥ L3. Entonces x mide:A) 1,5B) 2,6C) 3D) 3,3E) 417. En la figura: PT es un segmento tangente a la circunferencia que mide 6 cm. Si PAmide 4 cm, entonces AB mide:A) 2 cmB) 4 cmC) 5 cmD) 9 cmE) 13 cm 261
    • 18. Si EB y AD son perpendiculares a AC y CE respectivamente. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. ∆ABF ~ ∆EDF. II. ∆ABF ~ ∆EBC. III. ∆ADC ~ ∆EBC.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.19. En la figura: L1//L2, entonces x =A) 3B) 8C) 9D) 10E) 1220. En la figura: O es el centro de la circunferencia, entonces ∡ x:A) 20ºB) 100ºC) 120ºD) 140ºE) 160º21. En la figura, los triángulos ABC y ADE son rectángulos en B y D respectivamente.Según los datos dados, BC mideA) 6 cmB) 8 cmC) 9 cmD) 10 cmE) 12 cm22. En la figura: L1//L2//L3 Si AC = 12; DF = 15 y FE = 3, Entonces AB mide:A) 2,4B) 4,8C) 5,4D) 6E) 9,6 262
    • 23. ABCD es un rectángulo y BE ⊥ AC , entonces BE =A) 3 cmB) 4 cmC) 4,8 cmD) 2 2 cmE) 2 5 cm24. Según los datos dados en la figura, el ∡ x mideA) 70°B) 80°C) 100°D) 110°E) 140°25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto medio del lado AD,entonces el área del ∆ AEM es: a2A) 18 a2B) 12 a2C) 9 a2D) 6 a2E) 426. O: centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ∡ χ?A) 40ºB) 70ºC) 100ºD) 120ºE) 140º27. En la figura “B” es punto de tangencia, “O” centro de la circunferencia. Entonces lamedida del ángulo x es:A) 120°B) 90°C) 60°D) 45°E) 30° 263
    • 28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que aparece sea unmúltiplo de tres? 1A) 6 2B) 6 3C) 6 4D) 6 5E) 629. Si se lanza la flecha de la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que NOSALGA el color verde? 1A) 3 5B) 12 7C) 12 2D) 3 3E) 430. Se tienen 10 fichas iguales numeradas del 0 al 9. Si se eligen 2 al azar, reponiendo laprimera, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 5?A) 0,04B) 0,05C) 0,06D) 0,2E) 0,4 264
    • 31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros 16 númerosnaturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 36? 7A) 16 3B) 8 1C) 2 1D) 4 9E) 1632. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color numerado del 1 al 10. ¿Cuáles la probabilidad de extraer una bolita de color rojo o mayor que 5? 5A) 20 10B) 20 14C) 20 15D) 20 16E) 2033. La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares numerados del 1 al 4.Si L1 y L2 son líneas que pasan por el centro, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) siempre verdadera(s)? I. La probabilidad de que salga un número impar es igual a la probabilidad de quesalga par. II. La probabilidad de que salga el “1” es igual a la probabilidad de que salga un“4”. III. La probabilidad de que salga un número mayor que “1” es 0,75.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III. 265
    • 34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello y en eldado un número menor que 3? 1A) 6 1B) 3 1C) 4 2D) 3 1E) 235. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, laprobabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es: 1A) 2 1B) 5 2C) 5 3D) 5 1E) 436. Al lanzar la ruleta de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)SIEMPRE verdadera(s)? 1I. La probabilidad de que salga un número par es 4 1II. La probabilidad de que salga el “1” es 5 1III. La probabilidad de que salga el “4” es 6A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) I, II y III. 266
    • 37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad de sacar una bolita 4verde es , ¿cuántas bolitas rojas hay? 9A) 4B) 6C) 8D) 10E) 1638. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto de los puntajes.¿Cuál es la probabilidad de que X > 20? 4A) 36 5B) 36 6C) 36 7D) 36 8E) 3639. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a optar solo por unaactividad extra programática. Si las tres cuartas partes de los estudiantes eligen practicardeporte y una octava parte elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidadde que al entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realizaactividades extra programáticas? 1A) 8 1B) 4 5C) 8 7D) 8 3E) 8 267
    • 40. De 25 televisores que se fabrican 1 sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de escogeruno defectuoso en 100 televisores? 1A) 25 1B) 50 1C) 100 1D) 20 2E) 25RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E D A D C C D C E A C E E C B C E C D21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B E C D B E E B C C C D A A C D D E A A 268
    • TERCER AÑO MEDIO• Eje Temático: Álgebra y funcionesContenidos Curriculares: Raíces cuadradas y cúbicas - Función cuadrática - Ecuaciones desegundo grado - Intervalos enlos números reales - Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita• Eje Temático: Estadística y probabilidadesContenidos Curriculares: Variable aleatoria - Probabilidad y frecuencia relativa -Probabilidad de eventos compuestos -Probabilidad condicionada• Eje Temático: GeometríaContenidos Curriculares: Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo - Teoremade Euclides - Teorema de Pitágoras- Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo1. 50 − 18 − 32 =A) 0B) - 8C) 8D) 18E) 722. ¿Cuál es el vértice de la parábola de ecuación y = x2 - 6x + 4?A) (3, 31)B) (-3, 31)C) (6, 4)D) (3, -5)E) (-6, 76)3. Con respecto a las soluciones de la ecuación x2 – 2ax – 3a2 = 0, donde a ≠ 0, se afirmaque: I. Una es el triple de la otra. II. Tienen signos distintos. III. Su suma es un número positivo.¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)?A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y III.D) Solo II y III.E) I, II y III. 269
    • 4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las funciones: f(x)=x2+2 yg(x)=-x+1?5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3, entonces p =A) -6B) -5C) 5D) 6E) Falta información.6. ¿Cuál de las siguientes funciones tiene como gráfica la siguiente?A) y = -2x2 + 8x - 8B) y = -x2 + 4x - 4C) y = x2 - 4x + 4D) y = -x2 - 4x + 4E) y = -x2 - 4x - 47. Si a = 3 + 5 − 3 − 5 , entonces a2 =A) 2B) 4C) 6D) 10E) 2 5 2 28. − = 2 −1 2 +1A) -4B) -2C) 1D) 2E) 4 270
    • 9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto (2,3) entonces p + q =A) -3B) -2C) 2D) 5E) 1110. La solución del sistema de inecuaciones 2x – 3 < 5 es el intervalo -x + 4 < 2A) [2 , 4]B) ]2 , 4[C) ]2 , 4]D) [2 , 4[E) Ø11. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones 3x – 1 > 2 -2x + 1 > -1 ?A) IRB) IR – {1}C) ØD) ]1, +∞]E) [1, +∞[12. A y B son dos eventos independientes. Si la probabilidad de que ocurra A es p y de queocurra B es q, ¿cuál es la probabilidad de que NO ocurran ambos eventos?A) (1 - p) qB) p (1 - q)C) (1 - p) (1 - q)D) pqE) 1 - pq 3 x213. Si x≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes al cociente ? x 1 I) 3 x 1 II ) x 3 III ) xA) Solo I.B) Solo II.C) Solo III.D) Solo I y II.E) Ninguna de ellas. 271
    • 14. Con respecto a la función cuadrática y = -x2 + 4x, se afirma que: I. Intercepta al eje x en dos puntos. II. Intercepta al eje y en el origen. III. Su vértice es el punto (2,4)¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s)?A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y II.D) Solo I y III.E) I, II y III.15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca cae fuera del disco,entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga sobre el sector marcado“rojo”? 8A) 27B) 1 1C) 27 1D) 3 1E) 616. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que en ambasoportunidades salga el color verde? 1A) 3 1B) 6 1C) 9 1D) 12 1E) 144 272
    • 17. Una persona contesta al azar 3 preguntas de verdadero o falso. ¿Cuál es laprobabilidad de obtener sólo dos correctas? 1A) 3 1B) 4 1C) 8 3D) 8 1E) 218. Si se lanza un dado tres veces, ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga unnúmero mayor que 4? 1A) 8 1B) 9 2C) 9 2D) 3 1E) 2719. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntosresultantes sea 4? 2A) 36 3B) 36 4C) 36 5D) 36 6E) 36 273
    • 20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntosresultantes sea 6? 4A) 36 5B) 36 6C) 36 7D) 36 12E) 3621. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la primera vez salga unnúmero mayor que 3 y la segunda vez salga un múltiplo de 3? 1A) 36 3B) 36 4C) 36 5D) 36 6E) 3622. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidossea menor o igual que 3? 1A) 36 2B) 36 3C) 36 4D) 36 5E) 36 274
    • 23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75% de las bolitas sonverdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas blancas, reponiendo la primera? 1A) 2 1B) 8 1C) 16 1D) 25 16E) 4924. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen tres tarjetas,reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la probabilidad de que las tarjetassumen 5?A) 0,002B) 0,003C) 0,004D) 0,006E) 0,225. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar la flechados veces, en ambas ocasiones salga el color verde? 4A) 9 7B) 9 8C) 9 16D) 81 49E) 32426. En el triángulo ABC de la figura, AE ⊥ BC y EF ⊥ AB . Si EC = 4 cm, EB = 2 cm y BF =1 cm, entonces ¿cuál es el área del ABC?A) 3 2 cm2B) 6 2 cm2C) 3 3 cm2D) 6 3 cm2E) 12 3 cm2 275
    • 27. Si α es un ángulo agudo tal que sen α = 0,6, entonces tg α =A) 0,75B) 0,8C) 1,25D) 1,3E) 1,628. En el ABC rectángulo en C de la figura, DB mide 5 cm más que AD y la altura CDmide 6 cm, ¿cuál es el área del triángulo?A) 6 cm2B) 27 cm2C) 39 cm2D) 54 cm2E) 78 cm229. Si tg α = 0,75, entonces cos α =A) 0,4B) 0,5C) 0,6D) 0,8E) 430. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si CD = a, entonces ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. AC = a 2 II. BC = 2a III. DB = a 3A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y II.D) Solo II y III.E) I, II y III. 276
    • 31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total. En el 4º A hay 18mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de mujeres entre los dos cursos es 25. Si seeligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombredel 4ºA y el segundo sea una mujer del 4º B? 1A) 35 12B) 35 17C) 50 5D) 44 7E) 25032. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. sen 60° = cos 30° II. sen 30° = sen2 45° III. tg 30° > cos 60°A) Solo I.B) Solo II.C) Solo I y II.D) Solo II y III.E) I, II y III.33. Según los datos dados, x + y =A) 4,5B) 8C) 9,5D) 10E) 10,534. El ACB es rectángulo en C y CHBE es un rectángulo. Si AC = 6 cm y BC = 8 cm, ¿cuáles el perímetro del rectángulo?A) 16 cmB) 16,8 cmC) 22,4 cmD) 30,4 cmE) 46,08 cm 277
    • sen 30 º + cos 60 º35. = tg 30 ºA) 3 3B) 2 3C) 3D) 3E) 136. En un triángulo rectángulo, α es uno de los ángulos agudos tal que sen α = 0,6. Si lahipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto mayor?A) 9 cmB) 11 cmC) 12 cmD) 13 cmE) Falta información37. Según los datos de la figura, x =A) 2 2B) 3 2C) 2 6D) 4 3E) 1838. En la figura, CD ⊥ AB , ∡ CBA = 20º y ∡BAD = 70º. Si AE = 2 cm y EB = 8 cm, entoncesAD =A) 4 cmB) 6 cmC) 8 cmD) 2 5 cmE) 10 2 cm39. En una superficie sintética la probabilidad de que un deportista resbale si la superficieesté mojada es 0,8. Si la probabilidad de que la superficie esté mojada y que resbale eldeportista es 0,02, ¿cuál es la probabilidad de que la superficie esté mojada?A) 0,025B) 0,02C) 0,25D) 0,78E) 0,8 278
    • 40. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C y EFGD es un rectángulo. Si AE = 3cm y ED = 4 cm, entonces BF =A) 3 cmB) 4 cmC) 5 cm 16D) cm 3 9E) cm 4 RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B D B A C B A E E B C C D E C E D E B B21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E C C D D D A C D E A E E C A C C D A D 279
    • CUARTO AÑO MEDIOEje Temático: Álgebra y funcionesContenidos Curriculares: LogaritmosEje Temático: GeometríaContenidos Curriculares: Cálculo de áreas y volúmenes de cuerpos generados portraslación o rotación de figuras planas- Rectas y planos en el espacio - Sistema cartesiano tridimensionalEje Temático: Estadística y probabilidadesContenidos Curriculares: Gráficos estadísticos - Estadígrafos de tendencia central1. log25 5 =A) 0,1B) 0,2C) 0,3D) 0,4E) 0,52. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I. log4 2 = 0,5 II. log8 16 = 1,3 III. log 0,01 = -1A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.3. ( 2 x + 2 x ) 2 =A) 4 xB) 4 x + 1C) 2 x + 1D) 2 4 xE) 2 8 x4. log 8 + log 2 =A) 0B) 1C) 4D) 3 log 2E) 4 log 2 280
    • 5. Si 2 x = p, entonces 4 − x =A) 2pB) p-2C) 4pD) p-4E) p4 16. El conjunto de las soluciones de la ecuación (0 ,25) x − 1 = es: 1− x 2 2A) {-3}B) {1}C) {3}D) {1,3}E) {-3,1}7. Si 3 x = 9 - y y 2 x + y = 0,125, entonces y – x =A) 3-3B) 3-2C) 1D) 3E) 328. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica: log x = log (x+18) – log(10 – x)?A) {-6}B) {-3}C) {3}D) {6}E) {3,6}9. Si 2 x + 2 x = 0,25, entonces x =A) -4B) -3C) -2D) -1E) 110. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. x = 3 y 2 II. y = x x III. 3 log x = 2 log yA) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III. 281
    • 11. El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log (x+6) = 2 log x es:A) {3}B) {-2}C) {2}D) {3,-2}E) Ø12. La solución de la ecuación: 2 x + 2 x = 2 −1 es x =A) -4B) -3C) -2D) -1 1E) - 213. Sea la función f definida por f(x) = 3 x – 1. Si f(a) = 1, entonces a =A) log2 3B) log3 2C) log 2 – log 3D) log 3 – log 2E) 014. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el segundo y suradio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los volúmenes de ambos cilindros?A) 1: 1B) 1: 2C) 1: 3D) 1: 4E) 1: 615. La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la esfera es 36 π cm3,¿cuál es el volumen del cilindro?A) 9 π cm3B) 18 π cm3C) 27 π cm3D) 54 π cm3E) 432 π cm316. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los vértices B y D son (3, 4,0)y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide la diagonal AD del paralelepípedo?A) 5B) 10C) 12D) 13E) 17 282
    • 17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la rectaL?A) 10 π cm3B) 11 π cm3C) 12 π cm3D) 16 π cm3E) 17 π cm318. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el triángulo de la figura entorno al cateto AB?A) 4,5 π 3 cm3B) 9 π 3 cm3C) 12 π 3 cm3D) 18 π 3 cm3E) 36 π 3 cm319. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano horizontal. Si estetriángulo se traslada en dirección vertical “b” cm, ¿cuál es el volumen del cuerpogenerado? a2 b 3A) cm 3 2 a2b 3B) cm 3 4 a2b 3C) cm 3 3 a2 b 3D) cm 3 12 a2b 3E) cm 3 620. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio 3 cm, tangente al ladoCD. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada entorno al lado AB?A) 18 π cm3B) 24 π cm3C) 27 π cm3D) 36 π cm3E) 64 π cm3 283
    • 21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado BC. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I. tg α= 2. II. tg β= 0,5. III. γ= α+β .A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.22. ABCD es un cuadrado de lado 6 cm y DC es una semicircunferencia. Si M y N son lospuntos medios de los lados del cuadrado, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera alhacer girar la figura sombreada en torno a la recta MN?A) 6 π cm3B) 9 π cm3C) 12 π cm3D) 24 π cm3E) 36 π cm323. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la figura?A) 13 3 cmB) 18 3 cmC) 11 + 2 3 cmD) 16 + 2 3 cmE) 22 + 2 3 cm24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ; B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuáles su área?A) 2 3B) 4 3C) 8 3D) 12 2E) 16 284
    • 25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia. ¿Cuál es elvolumen del cuerpo que se genera al girar la figura sombreada en torno al lado AD? 5A) π 3 17B) π 3 32C) π 3 35D) π 3 71E) π 626. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son lascoordenadas del punto A?A) (1 , 2, 3)B) (2 , 1 ,3)C) (1 , 3 , 2)D) (2 , 3 , 1)E) (3 , 2 , 1)27. Se ha efectuado un estudio de precios de un artículo. Para ello se ha consultado en seissupermercados, obteniendo los siguientes valores: $ 320 ; $ 350 ; $ 348 ; $ 332 ; $ 350 ; $ 327.¿Cuál es la mediana de estos datos?A) $ 335B) $ 338C) $ 340D) $ 349E) $ 35028. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que se muestran en lasiguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de estos datos?A) 2 Número FrecuenciaB) 3 1 2C) 3,5 2 3D) 4 3 5E) 5 4 4 5 2 6 3 285
    • 29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Su mediana es 5 años. II. Su media es 8 años. III. Su moda es 12 años.A) Sólo I.B) Sólo I y II.C) Sólo II y III.D) Sólo I y III.E) I, II y III.30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de un curso electivode Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas?A) 5,0B) 5,5C) 6,0D) 6,5E) 7,031. Si la media entre a, b y c es p, ¿cuál es la media entre a-2, b-2 y c-2?A) p-6B) p-3C) p-2D) pE) p+232. El menor de 5 números consecutivos es “a”, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)? I. La media es a+2. II. La mediana es igual a la media. III. La moda es 1.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo I y III.E) I, II y III. 286
    • 33. Un curso tiene 40 alumnos y la distribución por edad y sexo se muestra en la siguientetabla:Si se elige un(a) alumno(a) al azar de este Hombres Mujeres Totalcurso, se puede afirmar que: ≤ 15 años 16 > 15 años 22 18 18 I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es . 40 22 II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es 40 24 III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de 15 años es 40Es(son) correcta(s):A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y II.D) Sólo II y III.E) I, II y III.34. Las estaturas de 8 alumnos seleccionados para representar a un Colegio en uninterescolar son las siguientes: (en cm) 170 ; 172 ; 173 ; 171 ; 170 ; 172 ; 173 ; 170¿Cuál es la mediana de estas estaturas?A) 170,5B) 171C) 171,5D) 172E) 17535. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica Pedro durante unasemana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes para que la media de estudio diariodurante esa semana sea de dos horas?A) 0B) 0,5C) 1D) 1,5E) 2 287
    • 36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para realizar un estudioacerca del tiempo en el cual permanecen estacionados. Los resultados se ilustran en lasiguiente tabla:¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos? Tiempo (en FrecuenciaA) [0 , 1) horas)B) [1 , 2) [0,1) 14C) [2 , 3) [1,2) 10D) [3 , 4) [2,3) 6E) [4 , 5) [3,4) 3 [4,5) 137. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2 Kg. Elige 30 bolsas alazar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de naranjas que contiene, obteniendo losiguiente:¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra? Unds. FrecuenciaA) 10,87 9 4B) 11 10 6C) 11,2 11 6D) 11,5 12 8E) 12 13 638. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres cuartos medios de unestablecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo masculino. II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B. III. La media de alumnos(as) por curso es 30.A) Sólo I.B) Sólo II.C) Sólo I y III.D) Sólo II y III.E) I, II y III.39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8 años, ¿cuál es lamediana?A) 6 añosB) 8 añosC) 10 añosD) 14 añosE) Falta información 288
    • 40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis meses seguidos enuna casa de cambio fue el siguiente: $510; $515; $512; $508; $508; $519.¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos?A) $512 y $508.B) $511 y $508C) $511 y $519D) $512 y $519E) $512 y $508 RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20E C B E B E E E B E A C B B D D B B B A21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40C E D C E D C B C C C C E C C B C C B B 289
    • FACSIMIL 1 I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD 0 ,002 − 0 ,051. = 0 ,018 − 0 ,002 3A) − 16B ) − 0 ,3C) − 3 30D) − 16E ) Otro Valor2. Dados los decimales 0,15 ; 0,149 ; 0,2 ; 0,1437 ; 0,07 ; al sumar el menor con el mayor seobtiene:A) 0,2137B) 0,27C) 0,2927D) 0,299E) 0,7127 3 4 5 6 73. Si los 5 primeros términos de una secuencia son: , , , , ,........ ¿cuál es el 2 4 6 8 10término que ocupa la posición n-esima? 3+nA) n2 n+1B) n+2 nC) 2n 2nD) n+2 n+2E) 2n4. La distancia de la Tierra a la Luna es de 386.000 Km. Ésta es, aproximadamente, cincomilésimas de la distancia de la Tierra a Marte. ¿Cuál es la distancia aproximada de laTierra a Marte?A) 1,93 x 102 KmB) 1,93 x 105 KmC) 772.000 KmD) 77,2 — 10−2 KmE) 77,2 — 106 Km 290
    • 5. El valor de (0,25−2 − 5)2 es:A) 9B) 22C) 50D) 81E) 1216. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa 2se ocupa la cuarta parte de los hombres y en la segunda los del resto. ¿Cuántos 3hombres trabajan en la tercera etapa?A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa.B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa.C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa.D) Un tercio del total.E) La mitad del total. 9 17. Los de 33 es igual a de: 11 10A) 0,27B) 2,7C) 27D) 270E) Ninguna de las anteriores8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre es posible afirmarque: I) a2 + b2 es un número real positivo II) (a + b)2 es un número real positivo III) (a + b)(a − b) es un número real positivoA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I y III9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la edad de Marcela. Elpromedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué edad tiene Raúl?A) 36 añosB) 24 añosC) 18 añosD) 12 añosE) 9 años 291
    • 10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta $ 30.000 más que A.Además, verifica que si a B se le descuenta el 10%, ambas quedarán con el mismo valor.¿Cuál será el valor de la mercancía B?A) $ 300.000B) $ 270.000C) $ 99.000D) $ 33.333E) $ 30.000 II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES11. Si 89xy – 99 = 98xy , entonces xy = ?A) –11B) –9C) 9D) 11E) 8912. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume en partes iguales porel total de los b alumnos del curso, pero a última hora desistieron del viaje c alumnos.¿Cuál es el valor de la nueva cuota que deben cancelar los que realizan el viaje?A) aB) a (b − c) aC) b−c aD) b+c aE) − c b13. Con el 70% del perímetro de un cuadrado se construye un triángulo equilátero de 14cm de lado. ¿Cuál es el área del cuadrado?A) 25 cm2B) 100 cm2C) 225 cm2D) 360 cm2E) 400 cm214. En la expresión: xk − 2 = 3x , ¿para qué valor de k ocurre que no existe el valor de x?A) 2B) −2C) −3D) 3E) 0 292
    • a b15. Si a + b + c = 90 y = = c entonces el valor de c es: 2 2A) 72B) 36C) 18D) 12E) 916. La expresión: “La mitad del cuadrado de 3a es equivalente al cuadrado de la mitad dea”. Corresponde a: 2 3a 2  a A) =  2 2 2  3a  a2B)   =  2  2 2 ( 3a ) 2  a C) =  2 2 2 3a a2D) = 2 2E) Otra expresión17. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta tiene b años y Soniatiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea?A) 2aB) 2bC) a + 2bD) 2a + bE) 2a + 2b18. Si al cuadrado de (x − 3) le restamos el triple de (3 − x) resulta:A) x2 + 3xB) x2 + 9xC) x2 - 9xD) x2 - 3x + 18E) x2 - 3x19. Si 2a − 3b = 8 y 3m + 2n = 18 , entonces 2 (a + 2n) + 3 (2m − b) = ?A) 26B) 34C) 36D) 44E) Ninguna de las anteriores 293
    • 20. Si x - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ?A) 1B) 19C) 16D) 253E) 256 a 121. Sea = x + . ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre verdadera(s)? b y I) b = ay − bx a−1 II) x = b−y a 1 III) = b + x yA) Sólo IB) I y IIC) Sólo IIID) II y IIIE) Ninguna22. Si a + b = 25 ; entonces a2 + b2 = ? ab = -150A) 1.225B) 925C) 625D) 325E) Ninguna de las anteriores23. Si f (3x − 1) = x2 − 10, entonces f (5) =?A) −1B) −6C) 15D) 26E) No se puede determinar24. Si f (x) = 3x y g (x) = 5, entonces f (1) + g (1) =?A) 8B) 4C) 3D) 2E) Ninguna de las anteriores 294
    • 25. Si el punto P (4, 3) pertenece a la recta de ecuación x - 2py - 5 = 3 y además satisface laecuación de la recta qx + 1 - 2y = 3, entonces los valores de p y q son, respectivamente: 2A) y 2 3 2B) 2 y 3 2C) − y − 2 3 2D) − 2 y − 3 2E) − y 2 326. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en lafigura?A) y = x − 1B) y = x − 1C) y = x − 2D) y = x − 1 − 1E) y = x − 1 − 127. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x− 1 < 5? 5 n + 8 + 5 n +928. =? 5 n + 9 + 5 n + 10A) 5B) 1 1C) 5D) 0E) Ninguna de las anteriores 295
    • 2 129. − =? 2 +1 2 −1A) 2B) 2C) 2 - 1D) 2 - 2E) 2 - 3 a+b−c30. Si 540 = 2a •—3b • 5c, entonces =? 2A) 1B) 2C) 0 1D) 2E) 431. Si log x = a y log y = b , entonces log 3 xy = ?A) 3a + 3bB) 3ab a bC) + 3 3 1D) ab 3E) 3 3 a + b 1  1  5032. Un elemento radiactivo se desintegra de acuerdo a la relación M = M0 •   , donde 5M0 es la cantidad inicial del elemento y M es la cantidad que queda de él después detranscurridos los t años. ¿Cuántos años deberán transcurrir para que una muestra de 400gr de este elemento se reduzca en un 80%? 50 log 5 − log 4A) log 5 1B ) 50 log 5C ) 50 50(log 4 − log 5)D) log 5E) Ninguna de las Anteriores 296
    • 33. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es igual al semiproductode ellas, entonces:A) r - p = 0B) p = rC) r + 2q = 0D) r - 2q = 0E) - 2q = pr34. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f (x) = a (x − h)2+ k .Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente:A) 1 ; -8 ; 15B) 1 ; 8 ; 15C) 1 ; 4 ; -1D) -1 ; 4 ; -1E) -1 ; -4 ; -135. Una ameba, en condiciones de laboratorio, se duplica cada 3 minutos. Al cabo de 30minutos de transcurrido un experimento se cuentan 210 amebas. ¿Con cuántos ejemplaresse inició éste?A) 1B) 2C) 4D) 8E) 12 III. GEOMETRÍA36. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le aplica una reflexióncon respecto al eje Y, y posteriormente una reflexión con respecto a la recta y = x.¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante?A) (1, −1)B) (1, 1)C) (−1, 1)D) (−1, −1)E) (0, −1) 297
    • 37. Al ∆ ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica una rotación en 90º conrespecto al origen del sistema cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’, imágenesde A y B respectivamente?A) (−2, 0) y (1, 0)B) (0, −2) y (0, 1)C) (−2, 0) y (0, 1)D) (0, −2) y (1, 0)E) (−2, 0) y (1, 1)38. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de P alrotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º en sentido horario (figura)?A) ( 2, −3) ; ( 3, −2) ; (−2, 3)B) ( 2, −3) ; (−3, −2) ; (−2, 3)C) ( 2, −3) ; (−2, −3) ; (−2, 3)D) ( 3, −2) ; (−3, −2) ; (−3, 2)E) (−2, 3) ; (−2, −3) ; ( 3, −2)39. En la figura, ABCD es un paralelogramo. ¿Cuál(es) de la(s) afirmaciones siguienteses(son) verdadera(s)? I) ∡1 + ∡2 +∡ 4 = 180º II) ∡1 + ∡2 = ∡3 III) ∡1 + ∡2 = ∡3 + ∡5A) Sólo IB) I y IIC) I y IIID) Sólo IIIE) Todas40. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3 rombos congruentescuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?A) 20 cmB) 40 cmC) 60 cmD) 80 cmE) 100 cm 298
    • 41. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie de la región circularque tiene por radio la diagonal del cuadrado es: πa 2A) 2B ) πa 2 3πa 2C) 2D ) 2 πa 2E ) 4 πa 242. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del triángulo CDE? 1A) 6 1B) 3 1C) 4 2D) 3E) Ninguna de las anteriores43. En la figura se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero EFG. Si AD = 4 cm yFG = 12 cm, entonces el perímetro del sector sombreado es:A) 52 cm  8 B)  52 − 3  cm  3   16 C)  52 + 3  cm  3   3D)  13 −   cm  3  E) Ninguna de las anteriores44. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, los arcos AD y DC soncongruentes y Arco DA = 2 Arco BC. ¿Cuál es el valor del ∡ DEC?A) 36ºB) 54ºC) 72ºD) 108ºE) 120º 299
    • 45. En la figura, ABC equilátero, CE = EB y CD : DA = 2 : 1. ¿En qué razón están las áreasdel cuadrilátero ABED y el triángulo ABC?A) 3 : 4B) 2 : 3C) 3 : 5D) 4 : 5E) Ninguna de las anteriores.46. Dos triángulos son semejantes si tienen: I) dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. II) los tres lados proporcionales. III) sus tres ángulos congruentes.De las afirmaciones anteriores, es (son) siempre verdadera(s):A) Sólo IB) I y IIIC) I y IID) II y IIIE) I, II, III47. En la figura, PR = 5 cm y RQ = 12 cm. El ∆ PQR es rectángulo en R y RS ⊥ PQ .Entonces, PS : SQ =? 5A) 12 12B) 5 25C) 144 144D) 25E) Otro Valor48. En el ABC de la figura, se tiene que AC = t, DE = u, AD = p, DB = q, BE = r y CE = s.Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I) AB = p + q II) CE = p + q - r tq III) CB = uA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I y III 300
    • 49. En la figura, O es el centro de la circunferencia, PQ = 2 RQ y Arco RS ≅ Arco SQ.Entonces, el ∡ SOR mide:A) 75ºB) 60ºC) 45ºD) 30ºE) 15º50. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente a ella y unasecante que pase por su centro, entonces ¿cuál es el radio de la circunferencia si elsegmento exterior de la secante mide 8 cm y la tangente mide 12 cm?A) 18 cmB) 10 cmC) 9 cmD) 5 cmE) No se puede determinar51. De acuerdo a los datos de la figura, la longitud deBC es:A) 5 cmB) 6 cmC) 9 cmD) 5 3 cmE) 3 5 cm 352. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, CD ⊥ AB y BC = 17 cm. Si tg α = , entonces 5AD =? 25A) 2 cm 6 25B) cm 6 25C) 3 cm 6 25D) 3 cm 3E) Ninguna de las anteriores 301
    • 53. Con los datos de la figura, ¿cuál es el valor de sen2α + cos2α? 2m 2A) p2 m2 + n2B) p2 (m + n ) 2C) p2 m2 + n2D) 2p 2E) 154. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de 1.000 litros decapacidad. Para ello determinó que la arista debía medir un metro de longitud. Cuandoterminó la construcción, notó que las aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es ladiferencia, en cc, de la capacidad del estanque que construyó?A) 8B) 404C) 800D) 61.208E) Otro Valor IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.55. Una caja contiene 10 fi chas de igual peso y tamaño. Cada fi cha tiene grabada una letrade la palabra LITERATURA. Si se escoge una fi cha al azar, ¿cuál es la probabilidad deescoger una vocal? 1A) 10 4B) 10 5C) 10 6D) 10 7E) 10 302
    • 56. Si la probabilidad de un suceso es 0,001, entonces ¿cuál es la afirmación más adecuada?A) Este suceso jamás ocurre.B) Ese suceso siempre ocurre.C) El suceso ocurre con mucha frecuencia.D) Ese evento ocurre rara vez.E) El suceso es seguro.57. Un dado es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el segundolanzamiento se obtenga un número par? 1A) 2B) 1 1C) 12 1D) 3 1E) 658. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los sucesos posibles son 36. II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero. 2 III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es . 9A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo II y IIID) Todas son verdaderasE) Ninguna es verdadera59. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se sacan 2 bolitas al azary sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas se obtenga un número par? 1A) 5 1B) 4 2C) 9 1D) 10 1E) 2 303
    • 60. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU fueron lossiguientes: 450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675 782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:A) 600,0B) 612,8C) 615,8D) 616,2E) 622,861. En la tabla Nº 1 se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces,al sumar la media con la moda de la distribución se obtiene:A) 3,1B) 3,3 x 1 2 3 4 5 6 7C) 5,12 f 1 7 4 3 5 4 1D) 5,8E) Ninguna de las anteriores62. La tabla Nº 2 muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de Inglés. Deacuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota promedio del curso? Nota Nº alumnosA) 5,0 2 5B) 4,5 3 5C) 4,0 4 5D) 3,5 5 5E) 3,063. De acuerdo a la información de la tabla Nº 2 es correcto afirmar que:A) la moda es 5B) la mediana es 5C) el promedio y la mediana son igualesD) el promedio es mayor que la medianaE) el promedio es menor que la mediana 304
    • V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOSINSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida silos datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en lasafirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en latarjeta de las respuestas la letra:A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a lapregunta;E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.64. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y el resto chilenos.¿Cuántas chilenas viajan? (1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número de mujeres. (2) Del total de pasajeros, los son hombres.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.65. ¿Cuál es el área de un terreno rectangular? (1) El cerco que lo rodea mide 500 metros. (2) Los lados están en razón 2 : 3.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. 305
    • 66. En la figura, EOA = 135º ¿Cuánto mide el ∡ AOB? (1) Arco AB : Arco BC : Arco CD :Arco DE = 1 : 2 : 4 : 8 (2) EOB = 150ºA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.67. Sean α y β ángulos. ¿En qué razón están sus suplementos? (1) α + β= 90º (2) α:β = 1 : 2A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.68. En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuál es el valor de BC? (1) ABCD trapecio isósceles de base AB igual a 5 cm de longitud. 3 (2) DC = AB 5A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.69. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados, ¿cuál será el área sombreada? (1) El área total es 100 cm2. (2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.70. ¿Cuál es el promedio de edad en un curso mixto? (1) La edad promedio de las niñas es 17 años. (2) La edad promedio de los varones es 18 años.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. 306
    • PAUTA FACSIMIL1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C B E E E A D A D A A C C D C C E E D D21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E B B A E D D C E B C C C C A A C B C C41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60D C B A B E C E D D E A A D C D A D C D61 62 63 64 65 66 67 68 69 70D D C C C D C E D E 307
    • ENSAYO Nº 2INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de 2 horas y 15 minutos pararesponderla.2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar duranteel desarrollo de los ejercicios.3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas aescala.4. Antes de responder las preguntas N° 64 a la N° 70 de esta prueba lea atentamente lasinstrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N° 63.SÍMBOLOS MATEMÁTICOS < es menor que ≅ es congruente con > es mayor que ∼ es semejante con ≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a ≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de ángulo recto // es paralelo a ∠ ángulo AB trazo AB log logaritmo en base 10 ∈ pertenece a φ conjunto vacío | x| valor absoluto de x [x] función parte entera de x 308
    • 1. 12 : 2(-5 + 8) – 7 = A) -31 B) -17 C) -12 D) -5 E) 112. Cuando un entero positivo n es dividido por 9 el resto es 7. ¿Cuál es el resto cuando 5n es dividido por 9? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 43. Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) 324. Se tienen dos cajas A y B. la caja A contiene 4 fichas negras y 1 blanca; la caja B contiene 4 fichas negras y 3 blancas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que deben ser removidas de la caja A a la caja B para que la razón de fichas blancas y fichas negras sea la misma en ambas cajas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Ninguno de los valores anteriores 25. Si x es el 66 % de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x? 3 1 A) 33 % 3 B) 75% 1 C) 133 % 3 D) 150% 2 E) 166 % 3 309
    • 6. 48 + 12 + 3 = A) 63 B) 7 3 C) 20 3 D) 4 15 + 3 E) 30 + 37. Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo muestra la figura. ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser verdadera? A) R—S=P P R S T B) P—R=T -1 0 1 C) R—S=T D) R—T=P E) P—T=S8. En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5)(5, 12, 13)(7, 24, 25)(9, 40, 41)…, la suma de los números que forman el séptimo trío es A) 132 B) 182 C) 240 D) 306 E) 312 km9. Manejando a un promedio de 48 , Juan llega a su destino exactamente en 2 h horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta, demora exactamente 2 horas en regresar. ¿Cuál fue el promedio de su regreso? km A) 50 h km B) 54 h km C) 55 h km D) 60 h km E) 64 h 310
    • 10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 — 20 — b + c2, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) a>b>c B) b>a>c C) c>a>b D) a=b>c E) a=b=c11. (-a + b)2 = A) –(a – b)2 B) (a – b)2 C) (a + b)2 D) –(a + b)2 E) (-a – b)212. Si x2 = 7, ¿cuál es el valor de (x + 1)(x – 1)? A) 6 B) 8 C) 48 D) 50 E) No se puede determinar13. Si los trinomios 9x2 + ax + 4 y x2 – 5x + b son cuadrados perfectos, entonces el mayor valor de a + 4b es A) 12 B) 13 C) 31 D) 37 E) 4914. Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 = A) 6 B) 9 C) 11 D) 20 E) 26 311
    • 15. Sean a y b números enteros distintos de cero y a ≠ b. Si ab = m[(a + b)2 – (a – b)2], entonces m = A) -3ab B) ab C) 0 1 D) 4 E) 4 x2 − 2x − 7 -116. Si =x+2– , entonces A = A A A) x+4 B) x–4 C) x+3 D) x–3 E) x+2 a2bc + ab2c + abc217. Si abc ≠ 0, entonces = abc A) a+b+c B) a + b + abc2 C) a 3b 3c 3 D) 3abc E) 2abc18. Si 2(2t – 2) = 1, entonces (t – 1)-1 es igual A) 4 1 B) 2 1 C) 4 1 D) - 2 E) -419. Si la longitud de uno de los catetos de un triángulo rectángulo es x + 2 y la longitud de la hipotenusa es x + 3 donde x > -2, ¿cuál es la longitud del otro cateto? A) x B) x+1 C) x+ 5 D) x+5 E) 2x + 5 312
    • 220. Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en del tiempo que tomará 3 para finalizar la segunda mitad. Si el examen completo lo rindió en 1 hora, ¿en cuántos minutos realizó la primera mitad del examen? A) 20 B) 24 C) 27 D) 36 E) 4021. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2) y B(3, -3)? A) -1 1 B) - 3 C) 0 1 D) 3 E) 122. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y (-4, 3), entonces a – b = A) -1 1 B) - 3 1 C) 3 2 D) 3 E) 1  x − 523. Si f   = x – 1, entonces f(3) = 1 − x  A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 313
    • 24. Sea f(x) = 2x – 5. Si g(x – 2) = f(x + 2), entonces g(-2) = A) -9 B) -2 C) -1 D) 0 E) 2 y25. Sea x y definida como x2 + para todo x e y. Si 3 4=5 m, ¿cuál es el valor 2 de m? A) -28 B) -7 12 C) 5 D) 6 E) 6026. Sea f(x) = 3x + 2. Si f(2m + 1) = f(m + 2) – 5, entonces m = 2 A) 3 1 B) 3 1 C) - 4 1 D) - 3 2 E) - 327. Si 3y = x + 1 y 4y + x = 13, ¿cuál es el valor de y? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 314
    • 28. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = x + 2, en sentido horario y con centro (0,0), se obtiene A) y B) y C) y 2 -2 x 2 -2 2 x 2 x D) y E) y -2 x -2 x -2 -229. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector (-3, -2), entonces el nuevo gráfico queda mejor representado por A) y B) y C) y -3 x -2 -3 x -2 -3 x y y D) E) 9 9 x -2 -2 x 315
    • 30. Si la ecuación x2 – 4x + 1 = 0 se escribe de la forma (x + a)2 = b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? A) a = 3, b = 2 B) a = 3, b = -2 C) a = 2, b = 3 D) a = -2, b = 3 E) a=b=3 1 231. Una solución o raíz de la ecuación +1= es x2 x A) 1 1 B) 2 1 C) - 2 D) -1 E) -232. ¿Cuál es el punto de intersección entre la parábola y = -x2 + 2x – 3 y la recta x = -1? A) (1,-2) B) (-1,-4) C) (1,-6) D) (-1,-6) E) (-1,0)33. Si 2x – 3 = 3y + 1 = 1, entonces (x + y)(x – y) = A) 0 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 3 3 ⋅ 234. = 6 3 3 A) 2 6 B) 2 3 2 C) 3 6 D) 18 6 E) 24 316
    • 635. = 6 2 − 6 A) 2 B) 2 +1 C) 2 –1 D) 1– 2 2 E) 236. La gráfica lR se puede expresar como -5 -1 6 12 A) ]-5-1] ∩ [6,12[ B) [-5,-1[ ∪ [6,12] C) [-5,-1[ ∪ ]6,12] D) [-5,-1 [ ∩ ]6,12] E) [-5,12] x+5 x − 3 ≥37. El conjunto solución del sistema 3 2 es 5(x − 1) ≥ 10 A) ∅ B) [3, +∞[ C) [19, +∞[ D) [3, 19] E) ]-∞, 19]38. En el ∆ABC de la figura, si AE y CD son bisectrices de los ángulos A y C, respectivamente, entonces ∡ CDB = C A) 90º E B) 85º C) 80º D) 75º 20º 50º E) 70º A D B 317
    • 39. En la figura, la expresión que representa el área del ∆EFD inscrito en el rectángulo ABCD es D 12 C A) 21 + 6x B) 21 + 18x 6 C) 123 + 6x F D) 123 + 18x x E) 21 – 6x A 5 E B 140. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 53 cm y PBQR es un cuadrado de 2 1 lado 46 cm. ¿Cuál es el área de la región achurada? 2 D C A) 7 cm2 49 B) cm2 R 4 Q 81 C) cm2 4 693 D) cm2 A P B 4 E) 700 cm241. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes en B. Si AC = AB + BC , ¿cuál es la medida del ∡ ACD? A) 20º 20º B) 30º A C O B O’ C) 45º D) 50º D E) 70º42. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del lado del cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada del sexto cuadrado? A) 1+ 2 B) 1+2 2 C) 2+ 2 32 D) 1– 2 318
    • E) 1–2 243. En la circunferencia de la figura, Arco AB = Arco BC = 60º. Entonces, ∡x +∡ y = A) 120º B) 100º x C) 90º A D) 80º y E) 60º B C44. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la quinta figura de la sucesión debería ser A) B) C) D) E) 319
    • 45. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura con respecto a la recta L? L A) B) C) D) E)46. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores están en la razón de 2 : 3 : 5 : 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas del mayor y menor de los ángulos? A) 112,5º B) 90º C) 67,5º D) 45º E) 13,5º47. En el círculo de centro O de la figura, si el área del ∆AOB es 25, ¿cuál es el área del círculo? A A) 25π B) 25π 2 C) 50π B D) 50π 3 O E) 625π 320
    • 48. En la figura, AB = 4 cm, AC = 3 cm, DB = 5 cm y DE = 3 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABDC? D A) (20 + 10 ) cm B) (17 + 10 ) cm C C) (15 + 10 ) cm E D) (12 + 10 ) cm E) (12 + 2 10 ) cm A B49. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son números enteros y de perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo 60? A) 120 B) 144 C) 240 D) 360 E) 48050. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados de área 25 cada uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 5051. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ∆ABE es equilátero. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región achurada? D C A) 2 3 E B) 6 3 3 C) 12 3 3 D) A 3 B 4 3 E) 6 321
    • 52. ¿Cuál es el perímetro del trapecio isósceles ABCD de la figura, si DE = 3, AB = 12 y CD = 6? D C A) 21 B) 24 C) 18 + 4 2 D) 18 + 6 2 E) 24 + 6 2 A E B 53. La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la longitud de otro lado. Si las longitudes de los tres lados son números enteros, ¿cuál es el mínimo perímetro posible del triángulo? A) 25 B) 21 C) 13 D) 10 E) 554. En la figura, la región achurada es un cuadrado de área 3, y el ∆ABC es equilátero. ¿Cuál es el perímetro del ∆ABC? C A) 3 3 B) 6 3 C) 2+ 3 D) 3+6 3 E) 6+3 3 A B55. El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál es el área de otro a hexágono regular de lado ? 3 A) 12 cm2 B) 6 cm2 C) 3 cm2 D) 2 cm2 E) 1 cm2 322
    • 56. En la figura, ∆ADC ∼ ∆BDC. Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) ∡ DCB = 2∡ABC C II) ∡ ADC = ∡ CDB III) CD ⊥ AB A) Sólo I 30º B) Sólo II A D B C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III57. En una caja A hay 5 ampolletas de 75 w y 3 de 100 w; en otra caja B hay 4 ampolletas de 100 w y 6 de 75 w. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger una ampolleta al azar, de cada caja, ambas sean de 75 w? 1 A) 8 3 B) 16 3 C) 8 1 D) 2 3 E) 458. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12, ¿cuál es la media aritmética de 2 y x? A) 7 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 323
    • 59. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea impar y divisor de 18? 3 A) 40 1 B) 10 3 C) 20 1 D) 5 E) Ninguno de los valores anteriores60. Si un matrimonio desea tener 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que salga, a lo menos, una mujer? 3 A) 8 1 B) 4 7 C) 8 1 D) 2 5 E) 861. Si el promedio (media aritmética) de 3 enteros positivos y distintos es 4, ¿cuál es el mayor valor posible para uno de esos enteros? A) 5 B) 6 C) 9 D) 11 E) 1262. Si al siguiente conjunto de datos: 7 – 10 – 9 – 3 – 7, se le agregan dos datos, su mediana sería 9 y su moda sería 10. ¿Cuál sería su media? A) 7 B) 8 C) 8,5 D) 9 E) 10 324
    • 63. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que “chatea” un grupo de 40 jóvenes. Luego, la moda es Nº de horas frecuencia A) 2 0 1 B) 3 1 6 C) 12,5 2 15 D) 15 3 10 E) 30 4 5 5 3 Evaluación de Suficiencia de Datos Instrucciones Para las Preguntas N° 64 a la N° 70En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decidasi los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en lasafirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.Usted deberá marcar la letra:A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la pregunta.E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.Ejemplo: P y Q en conjunto tiene un capital de $ 10.000.000, ¿cuál es el capital de Q? (1) Los capitales de P y Q están en razón de 3 : 2. (2) P tiene $ 2.000.000 más que Q. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola 325
    • C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto: P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde $ 10.000.000 : Q = 5 : 2 Q = $ 4.000.000Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en elenunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).Por lo tanto, usted debe marcar la clave D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).64. Se puede determinar el valor de A + B de la tabla de la figura, si: (1) P y Q son inversamente proporcionales. P Q (2) A—B=1 4 A 0,5 40 A) (1) por sí sola B 100 B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 3x + 2y = 565. El sistema de ecuaciones tiene solución única si: 5x − 3ky = 6 (1) k ≠ -10 10 (2) k≠- 9 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 326
    • 66. En la ecuación y = mx + 3, donde m es una constante, se puede determinar que el par (x, y) = (2,7) es solución de la ecuación si : (1) (1, 4) es solución de la ecuación y = mx + 2. (2) (5, 3) es solución de la ecuación 3y = mx – 1. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional67. En el ∆ABC de la figura, AB = 10. Se puede determinar que el ∆ABC es equilátero si: (1) AC = 10 C (2) h=5 3 A) (1) por sí sola h B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) A B E) Se requiere información adicional68. Se puede determinar el área del cuadrado ABCD de la figura si: (1) Las coordenadas del punto A son (0,4). (2) Los puntos D y B tienen coordenadas (4,8) y (4,0), respectivamente. A) (1) por sí sola D y B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) N D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) A C E) Se requiere información adicional B x 327
    • 69. En la figura, L1 // L2. Se puede determinar el área del ∆ADC si: (1) AD = 9 B D (2) BE ⋅ AC = 24 L1 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) L2 E) Se requiere información adicional A E C70. Se puede determinar el valor de x si: (1) El promedio (media aritmética) de x2, 6x y 3 es -2. (2) x4 = 9 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20E A E B D B D C B E B A D E D B A A E B21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B A D C A E B A C D A D D E B C D B A E41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60A C C B D B C D D C E D C E D E A E A C61 62 63 64 65 66 67 68 69 70C B A A B D E B B A 328
    • ENSAYO Nº 3 21. = 2 2+ 2 2+ 2+2 2A) 7 7B) 2 1C) 2 5D) 7 3E) 52. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma hora paradirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco demoró 7,02 minutos y Luis 7,2minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Hugo llegó después que Luis. II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de diferencia en llegar al colegio. III) Francisco llegó primero.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Solo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se necesitan dos hombres.¿Cuántos hombres se necesitarán para construir una pared similar a la anterior en m horasde trabajo?A) 16m mB) 16 16C) mD) 5mE) 40m 329
    • 4. El gráfico de la figura muestra el itinerario de un vehículo al ir y volver, en línea recta, aun determinado lugar. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El vehículo recorrió en total 420 Km. km II) Al regreso viajó con una rapidez de 70 h III) Entre t = 2 y t = 3 recorrió 120 Km.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III5. De un cargamento de porotos, k toneladas son de porotos negros, las cualescorresponden a un tercio del total. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)falsa(s)? 2 I) Los porotos no negros son del total. 3 2 II) El 66 % de los porotos no son negros. 3 III) El número de toneladas que no son porotos negros es dos veces el número de toneladas de porotos que son negros.A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) I, II, y IIIE) Ninguna de ellas6. Si R = 4,3 — 10-5 y S = 2 — 10-5, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades se cumple(n)? I) R + S = 6,3 — 10-5 II) R — S = 8,6 — 10-6 III) R – S = 2,3A) Solo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III7. Una orquesta sinfónica está compuesta por instrumentos de percusión, bronces ycuerdas. Si el 20% corresponde a instrumentos de percusión, los bronces son 12 y éstos sonun cuarto de las cuerdas, ¿cuántos instrumentos tienen la orquesta?A) 15B) 48C) 60D) 63 330
    • E) 758. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo reajustaron deacuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo del año 2008 seráA) $ 7,8 • 600.000B) $ 0,78 • 600.000C) $ 1,78 • 600.000D) $ 1,078 • 600.000E) $ 0,078 • 600.0009. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de cada lado y seobtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos elproceso 10 veces, el lado del triángulo que se obtiene es 500A) 20 500B ) 10 • 2 1C) • 500 10 1D ) 10 • 500 2 1E ) 9 • 500 210. Si la tasa de natalidad T de cierto país es inversamente proporcional a la densidad depoblación P y en un instante en que T= 0,1 se tiene que P = 0,4, entonces se cumple que 0 ,04A) T = PB) T = 0,04 — P PC) T = 4D) T = 4P 0 ,4E) T = P t11. Si t = 2, entonces t 2 − + 2 t es igual a: 2A) 15B) 9C) 7D) 6E) 5 331
    • 12. Si la expresión 5[3(4x – 1)] = 15, entonces 4x es igual aA) -2 1B) - 2 1C) 2D) 2E) 413. ¿Cuál es el valor de (-x + 1)(x + 1) si 4 – 2x = 8?A) -5B) -3C) 1D) 3E) 514. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12. Entonces, siempre secumple que: I) Uno de ellos es divisible por 4. II) El menor de los enteros es divisible por tres. III) El término central es divisible por 2.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 3  3 15.  a + b  •  a + b  = 5  5  3A) a 2 + b 2 5 9 2B) a + b2 25 9 2 6C) a + ab + b 2 25 5 6D) a + 2b 10 3 6E ) a 2 + ab + b 2 5 5 332
    • 16. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene 500 monedas más quePablo, entonces el dinero que posee cada uno, respectivamente, esA) $ 1.500 y $ 3.000B) $ 1.000 y $ 2.000C) $ 1.500 y $ 1.000D) $ 10.000 y $ 15.000E) $ 12.750 y $ 12.25017. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el largo del rectángulo esY metros, la expresión algebraica que representa su perímetro esA) (4Y – 12) metrosB) (2Y – 6) metrosC) (2Y – 12) metrosD) (4Y – 6) metrosE) (4Y – 24) metros 1 1 118. Si m = ,n= yp= , entonces x – (m + n + p) es: 3x 6x 9x 18x − 11A) 18x 7B) 18x 7 x − 11C) 18x 18x 2 − 11D) 18xE) Ninguna de las expresiones anteriores19. ( 3 + 3 2 )( 3 2 − 3 ) =A) 0B) 15C) 8 5D) 9 5E) 2120. El número 3 24 es equivalente aA) ( 3 ) 8B) 3C) 38D) 312E) ninguna de las anteriores 333
    • 21. Si 4-x + 4x = U, entonces 2x + 2-x es igual aA) 2UB) U2C) UD) 2 + UE) U+222. En la figura, ABCD es un trapecio de bases AB y CD . ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del trapecio es 3x – y. ( y − x) 2 3 II) El área del trapecio es . 4 III) El trapecio es isósceles.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III23. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es igual a 200. Si y es unentero par, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la ecuación que soluciona elproblema?A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4)B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)224. El intervalo que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones 4(x + 3) < 4 15 - 2x ≥ 5 esA) ]-∞, -2]B) ]-∞, -2[C) ]-2, 5[D) ]2, 5[E) [5, +∞[ 334
    • A−B −125. Para que la expresión A + B sea negativa, se debe cumplir necesariamente que A−B +1 A+BA) A > 0B) B < 0C) AB > 0D) A < 0E) AB < 0  x + y = 5a + 2 b26. Dado el sistema  , el valor de y es  x − y = 5a − 2 bA) 0B) 2bC) 4bD) 5aE) 10a27. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m3 y un cargo fijo de$ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3 consumidos mensualmente, ¿cuál de lassiguientes expresiones representa la función costo mensual C(x)?A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100B) C(x) = 1.980x + 1.100C) C(x) = 3.080xD) C(x) = 1.100x + 1.980E) C(x) = x + 3.38028. El conjunto solución (o raíces) de la ecuación y + 3 = y2 + 3 esA) {0, 1}B) {0, -1}C) {0}D) {1}E) ninguno de los anteriores29. ¿En cuál de las siguientes expresiones el valor de x es - 4? I) 1 = 3 x — 81 1 II) 3 x = 1 • 3 − 3 3 x −1 III) ( 3 ) = 9 2A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en I y en IID) Sólo en II y en IIIE) En I, en II y en III 335
    • 1−x30. Dada la función f ( x) = , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 2verdadera(s)? I) f(0) = f(1) II) f(-2) = 3 f(0) III) f(3) = f(-1)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III31. Si f(x) = log3x , entonces f(27) – f(3) esA) 2B) 3C) 4D) 8E) 932. Si f(x + 1) = x2 + 2x – 3, entonces f(x) es igual aA) x2 + 2x – 2B) x2 + 2x – 4C) x2 – 2D) x2 – 4E) (x + 3)(x – 1)33. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = 2−x ? 336
    • 34. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) siempre verdadera(s)? I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III35. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa semestral del i% de interéscompuesto n veces al semestre, obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el nt  i cual está dado por: C F = C o  1 +  Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de interés  100n compuesto bimestral, al término de 1 año se tendráA) $ 25.000 (1,06)6B) $ 25.000 (1,02)6C) $ 25.000 (1,06)12D) $ 25.000 (1,02)12E) $ 25.000 (1,12)636. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones sonverdaderas? I) La pendiente del segmento AB es creciente. II) La pendiente del segmento BC se indetermina. III) La pendiente del segmento CD es nula. IV) La pendiente del segmento DE es decreciente.A) Sólo I y IIIB) Sólo II y IIIC) Sólo I, II y IVD) Sólo II, III y IVE) I, II, III y IV 337
    • 37. En la figura, el cuadrado ABCD tiene lado 2. Si F es el punto de intersección de lasdiagonales del cuadrado OMCN y se gira toda la figura en 180º en el sentido de la flecha yen torno al punto O, el punto F queda en las coordenadas 1 1A )  ,−  2 2 1 B )  ,0  2   1C)  0,   2  1 1D )  − ,−   2 2 1 1E)  ,  2 238. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y D(1,3) se le aplica unatraslación paralela al eje x en dos unidades a la derecha, y luego se le aplica otra traslaciónparalela al eje y en tres unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)? I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3). II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0). III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0).A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III39. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados iguales esA) 0B) 1C) 2D) 3E) 440. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las coordenadas del puntosimétrico de Q con respecto al eje X?A) (5 , 3)B) (3 , 5)C) (-3 ,5)D) (3 ,-5)E) (-5 ,-3) 338
    • 41. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha dibujado el pentágonoEFGHD. Si K es el punto de intersección de DB con FG , ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área del pentágono es 64. II) ∆ AEF ≅ ∆ CGH III) BK = KFA) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III42. En la figura, el ∆ ABC está inscrito en la circunferencia de centro O y de radio 2 3 . Silos arcos AB, BC y CA son congruentes, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) ∆ADC ≅ ∆BDC II) AD = 3 III) ∡ DCB = 30ºA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II, III43. El ∆ ABO es isósceles y rectángulo en O. La circunferencia de centro O y radio rintersecta a los lados del triángulo en D, E y F como lo muestra la figura. ¿Cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∆ ABD ≅ ∆ ADO II) ∆ ABE ≅ ∆ BAD III) ∆ ADO ≅ ∆ BEOA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III44. En la figura, el rectángulo se ha dividido en 8 cuadrados congruentes entre sí, y cadacuadrado tiene un perímetro de 8 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo mayor?A) 12 cmB) 18 cmC) 24 cmD) 48 cmE) Ninguno de los anteriores 339
    • 45. En la semicircunferencia de centro O de la figura, DB = 6 y DE = 8. El diámetro de lacircunferencia esA) 8 50B) 3 25C) 3 19D) 3E) Faltan datos para determinarlo46. En la figura, N es punto medio del segmento OP y el segmento MN triplica alsegmento MP. El segmento MN es al segmento OP comoA) 3 : 8B) 3 : 7C) 3 : 6D) 3 : 5E) 3 : 447. En la figura, L1 // L2. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? x a I) = c b x c−b II ) = a b x+a c III ) = a bA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III48. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes entre sí?A) Sólo I y IIB) Solo II y IIIC) Sólo III y IVD) Sólo I, II y IVE) I, II, III y IV 340
    • 49. La figura representa un poste perpendicular a la tierra que sobresale 2 metros y unedificio. Las sombras del poste y del edificio miden 80 centímetros y 14 metros,respectivamente. ¿Cuál es la altura del edificio?A) 98 metrosB) 46 metrosC) 35 metrosD) 22,4 metrosE) 11,4 metros50. En la circunferencia de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) ∆ AED ∼ ∆ CEB II) ∆ AEC ∼ ∆ DEB III) ∆ BCA ∼ ∆ DACA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III51. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de radio r y ∡ PQR = 15º.La longitud del arco QP es πrA) 3 πrB) 6 πrC) 9 πrD) 12 πrE) 2452. En la circunferencia de la figura, ε = 60º. Si β – α = 16º, entonces el valor del ángulo α esA) 44ºB) 37ºC) 22ºD) 38ºE) Imposible de determinar 341
    • 53. En la figura, se muestra un cubo de arista a. El ∆ BEG esA) Rectángulo en BB) rectángulo en EC) isósceles rectánguloD) isósceles no equiláteroE) equilátero54. Respecto del triangulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones esfalsa?A) sen α = cos β bB) sen β = c bC) tg β = a c cD) tg α + tg β = • a b abE) sen α + sen β = c55. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de igual radio, unaencima de la otra como se muestra en la figura. Si la altura del prisma es h, entonces elvolumen de una esfera es h3A) π 48 h3B) π 24 h3C) π 4 h3D) π 3E) h 3 π 342
    • 56. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las seis ocasiones hasalido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente giro, salga un 6? 1A) 5 1B) 10 1C) 6 1D) 2 7E) 1057. Una canasta contiene cuatro tipos de frutas: A, B, C y D. Si la probabilidad de escoger 1una fruta del tipo A es , ¿cuál es la probabilidad de extraer una fruta que no sea del tipo 4A? 1A) 4 1B) 2 3C) 4D) 1E) No se puede determinar58. Un club de baile tiene 100 socios, entre hombres y mujeres, que participan en lascategorías A (Avanzados) y B (Novatos). Se sabe que 22 hombres bailan en B,18 hombres en A y 25 mujeres en B. Si se elige al azar un socio del club, ¿cuál es laprobabilidad de que sea mujer y baile en la categoría A? 1A) 4 3B) 5 7C) 12 7D) 20 7 1E) • 13 35 343
    • 59. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los dos dados, quetiene menor probabilidad de salir?A) Tanto el 2 como el 12B) Sólo el 6C) Solo el 2D) Sólo el 12E) Tanto el 1 como el 660. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros y 2 rojos, el segundo4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12 rojos. Si se saca al azar un lápiz de cadaestuche, la probabilidad de que los tres lápices sean rojos es 8A) 45 24B) 45 8C) 5 8D) 9 8E) 4061. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y 30 metros. ¿Cuál(es)de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 20. II) La moda es igual a la mediana. III) La media aritmética es menor que la mediana.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 344
    • 62. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que tienen las familias deun condominio. La fórmula correcta que permite determinar el número promedio de hijospor familia para este condominio es x+y+zA) 4 x+y+zB) a+b+c+d bx + cy + dzC) b+c+d bx + cy + dzD) a+b+c+d a+b+c+dE) x+y+z63. El gráfico de la figura, representa la distribución de tiempos registrados en una carrera.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I) El 50% de los participantes marcaron 180 segundos.II) 60 participantes registraron más de 120 segundos. 3III) de los participantes registraron 120 segundos. 10A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III64. En la figura, se puede determinar el valor del ∡ δ si se sabe que: (1) ABCD es un cuadrado y α = 70º. (2) El ∆ AEF es equilátero.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional65. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar un trabajo, si: (1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2. (2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 345
    • 66. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la cuarta parte de lospuntos de Hernán. Se puede determinar el número de puntos que tiene Hernán si: (1) Se conoce el total de los puntos. (2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere la información adicional.67. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil. Se puededeterminar el valor de x si: (1) La moda es 3 años. (2) El promedio es 4,3 años.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola,(1) ó (2)E) Se requiere información adicional68. Una terraza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosarperfectamente (sin necesidad de recortar baldosas) si: (1) Se dispone de baldosas con forma rectángulos de lados 10 cm y 20 cm. (2) Se dispone de baldosas con forma de hexágonos regulares.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional69. Sea m : n = 3 : 5. Se puede determinar los valores numéricos de m y n si : (1) 3m : p = 18 : 7 y p = 21 (2) m + n = 16A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas junta, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional 346
    • p (p − 2 ) 170. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión • + • q • r se p−2 p rpuede determinar si: (1) q = 8 (2) r = 2A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas junta, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicionalRESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20D E C B E A E D D A C D B C C D A D B D21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40E C C B C B B A E B A D D A B B D E B E41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60E E D C B A E E C C B C E E A B C D A A61 62 63 64 65 66 67 68 69 70E D D C B A B A D A 347
    • ENSAYO Nº 4 51. 30 – — 10 + 16: (-0,5)-1 = 2A) 117B) 13C) -3D) -10,5E) -18 12. El opuesto de - es el recíproco de αA) 0 1B) - α 1C) αD) -αE) α3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál sería el mínimonúmero de globos que faltarían para que todos sus alumnos quedaran con igual númerode globos?A) 10B) 15C) 25D) 35E) 404. Al elevarse al cubo 2 se obtiene un númeroA) enteroB) racionalC) irracionalD) no realE) racional no entero 3600 • 0 ,0051 • 10 −35. Si A = , entonces A, escrito en notación científica, es 0 ,18 • 10 − 2 • 1,7 • 10 − 1A) 0,06B) 0,6C) 6 — 10D) 60E) 0,6 — 102 348
    • 6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el pedazo más largo mide180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser cortada?A) 324 cmB) 360 cmC) 540 cmD) 900 cmE) No se puede determinar 17. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las siguientes: “por cada 2 1taza de leche agregar 4 tazas de agua”. Si se siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas 2 3de agua se deben agregar a taza de leche? 4 3A) 6 4 1B) 6 2 1C) 7 8D) 6E) 78. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque en 21 horas.¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo?A) 7 horasB) 31,5 horasC) 16 horasD) 14 horasE) 28 horas9. Si el 15% de un número es 30, entonces el 30% del número esA) 45B) 60C) 75D) 100E) 120 349
    • 210. ¿Qué porcentaje de 4 es de 8? 3A) 25% 2B) 66 % 3C) 120% 1D) 133 % 3E) 150%11. En una prueba PSU, Donoso y Novoa contestaron todas las preguntas. Si Donosocontestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Novoa contestó en forma correcta el15% del total de incorrectas contestadas por Donoso, ¿qué fracción de las preguntas de laprueba contestó en forma correcta Novoa? 3A) 25 1B) 20 3C) 20 7D) 20 3E) 10012. Dada la siguiente tabla: Si x es inversamenteproporcional a y2, entonces P — Q =A) 576B) 144C) 48D) 12E) 4 13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de interés compuestoanual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento de su capital? 350
    • 214. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción para que la nueva fracción 3sea igual a 0,25?A) 1B) 2C) 4D) 5E) 615. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y), el segundo 3y.¿Cuánto costó el tercero?A) 3y – 4xB) 4x – 3yC) 5x – 3yD) 6x – 4yE) 6x – 3y −c + a + b16. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces = (a + b)cA) 9B) 0,9C) 0D) -0,9E) -917. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación para cada par denúmeros (x, y) en la tabla adjunta?A) y = x + 5B) y = 2x + 3C) y = 2x + 5D) y = 3x – 1E) y = 3x + 118. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8 unidades mayor que elcuádruplo del número menor. ¿Cuál es el producto de estos números?A) 24B) 12C) 8D) 0E) -8 351
    • 119. Si x = , entonces x + 1 es igual a 1− 2A) 2 + 1B) 2 – 1C) - 2D) 0E) 120. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto al gráfico dela figura? I) L1 tiene pendiente nula. II) L2 tiene pendiente positiva. III) L3 carece de pendiente.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo II y III21. Si A = 0 ,25 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A2 > A II) (-A)2 > -A III) (-A)3 > -AA) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo II y IIIE) I, II y III 1 a2b322. Al dividir por − 2 − 3 se obtiene a2b3 a bA) a2b3B) a4b6 1C) 2 3 a b 1D) 4 6 a b 1E) 6 9 a b 352
    • 23. En la figura, ¿a cuál de las siguientes rectas corresponde la ecuación y = -2x + 1?A) L1B) L2C) L3D) L4E) L5 4x − 224. Al despejar x en la ecuación = 3 se obtiene aA) x = 24a 3a + 4B) x = 2 4a + 3C) x = 2 4D) x = 3a + 2 3a + 2E) x = 4 x+4−4 x25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a si x > 4? x −2A) x + xB) x –2C) x+2D) 2 xE) x 2 1 126. Si a – b = 4 y a — b = 2, entonces el valor de  −  es a bA) 2(a – b)B) 2(b – a)C) 2b – aD) -4E) 427. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el punto A(-3, 0), entoncessu ecuación general esA) x – y – 3 = 0B) x – y + 3 = 0C) x + y – 3 = 0D) x + y + 1 = 2E) x + y + 3 = 0 353
    • 28. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k. ¿Cuál de lassiguientes expresiones es igual al radio del círculo?A) kB) k( 2 + 1)C) k( 2 – 1)D) k(2 – 2 )E) 2k 1 1 129. Si A = + , entonces = m n AA) m + nB) mn mnC) m+n m+nD) mn 1E) mn30. El punto (p, 16) pertenece a la función f(x) = 2x, si p =A) 4B) 3C) 2D) 1E) 031. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos momentos marca las 5 con 2minutos y se sabe que hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora que debería marcarcorrectamente es: las cuatro conA) 28 minutosB) 30 minutosC) 32 minutosD) 48 minutosE) 52 minutos32. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales. ¿Para qué valor de x severifica que f(x) — g(x) = f(g(x))?A) 1B) -1C) 0D) 2E) -2 354
    • 33. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa mejor el gráfico de la figura?A) y = -x2B) y = -x2 – 2C) y = -2x2D) y = 2 – 2x2E) y = 2 – x2 134. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función f(x) = ? x2 − 9A) [3, +∞[B) ]3, +∞[C) ]-3, +∞[D) [-3, 3]E) ]-∞, 3[ 5 n+4 − 5 n+235. = 5nA) 10B) 25C) 500D) 600E) 62536. El valor de x en la igualdad 2x + 1 + 2x + 2 = 3 esA) 2B) 3C) 4D) -1E) -237. log 3 0, 3 = 1A) 2 1B) 3 1C) - 3 1D) - 2E) -2 355
    • log ab 938. Si ab > 1, entonces = log ab 3A) logab 3B) logab6C) 2D) 3E) Depende de los valores de a y b39. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β soncomplementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) El ∆ ABC es rectángulo. II) ∡ ABC = ∡ CBD III) BC es bisectriz del ∡ ABD.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III40. El cuadrado de la figura, está formado por 4 rectángulos congruentes. Si el perímetrode uno de los rectángulos es igual a 20 cm, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)? I) El perímetro del cuadrado es igual a 32 cm. II) La mitad del cuadrado tiene un perímetro de 16 cm. III) El área de uno de los rectángulos es igual a 8 cm2.A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III41. El cuadrilátero de la figura es un rombo. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones sonverdaderas? I) ∡ABD ≅ ∡CDB II) AD + DE = BC + CE III) BE ≅ DEA) Sólo I y IIB) Sólo I y IIIC) Sólo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguna de ellas 356
    • 42. En la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia de centro O. SiArco AB = 50º, entonces (∡ x + ∡ y) es igualA) 25ºB) 30ºC) 50ºD) 75ºE) 100º43. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada uno. Si FD ⊥ DA ,entonces BF =A) 8 cmB) 10 cmC) 5 2 cmD) 10 2 cmE) 10 3 cm44. ¿Cuál(es) de las figuras tiene(n) centro de simetría? I) Rombo. II) Triángulo equilátero. III) Hexágono regular.A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III45. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si a la recta se le realizauna rotación de 180º en sentido antihorario con respecto al origen (0, 0), ¿cuál de lossiguientes puntos pertenece a la recta que se obtuvo?A) (0, -4)B) (0, -3)C) (-4, -3)D) (-3, -4)E) (-5, 0)46. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el área del círculo es100 π , ¿cuál es el área del hexágono?A) 600B) 300C) 200 2D) 200 3E) 120 3 357
    • 47. En el rectángulo ABCD, AE ⊥ ED , AB = 6 cm y CE = 3 cm. ¿En qué razón están laslongitudes de EC y BC , respectivamente?A) 1 : 5B) 1 : 4C) 2 : 5D) 1 : 6E) 1 : 348. Con los datos de la figura, la expresión sen α + cos α es igual a x+1A) y x+yB) y yC) x+1 yD) x−1 x+yE) x49. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí?A) Sólo I con IIB) Sólo I con IIIC) Sólo II con IIID) Todos son semejantes entre síE) No son semejantes entre sí50. El triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C. ¿Cuál es la medida de la altura h sia = 4 y b = 3? 9A) 5 12B) 5 16C) 5D) 6E ) 12 358
    • 51. En la figura, Arco BCA es una semicircunferencia de centro O. Si CD ⊥ AB , AD = DO ,∡ AOC = 60º y CD = 4 3 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) DB = 12 II) AD = 4 III) BC = 192A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III52. AB es diámetro de la circunferencia. Si AB ⊥ CD , CE = 6 y AE = 2 , ¿cuál es la longitudde la circunferencia?A) 20 πB) 18 πC) 10 πD) 9 πE) 6 π53. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con respecto al triángulorectángulo de la figura? I) a2 + b2 = 2h2 II) a — b = h2 1 1 1 III) 2 = 2 + 2 h a bA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III54. En el ∆ ABC de lados 10, 12 y 20 de la figura, el segmento AD mideA) 3B) 5C) 12D) 15E) 20 359
    • 55. En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide el trazo que unelos centros de gravedad de ambos cuadrados?A) 2B) 2 5C) 2 3D) 2 2E) 456. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de un 40%. ¿Cuál es laprobabilidad de sacar una ficha que no sea blanca?A) 60%B) 50%C) 40%D) 30%E) No se puede determinar57. Dada la palabra GEOMETRÍA, ¿cuál es la probabilidad de sacar una vocal? 2A) 3 5B) 9 4C) 9 1D) 3 2E) 9 360
    • 58. En una pirinola de 8 caras, en cada una de ellas se puede leer una de las siguientesfrases:− Toma uno.− Toma dos.− Toma tres.− Toma todo.− Pone uno.− Pone dos.− Pone tres.− Todos ponen.Si se lanza la pirinola, con respecto a la cara que muestre (cara superior), ¿cuál(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La probabilidad que salga “Toma todo” es de un 12,5%. II) Es igualmente probable “Tomar” que “Poner”. III) La probabilidad de “Tomar más de uno” es de un 37,5%.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III59. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál de las siguientesalternativas se indica una acción que una vez realizada permita que al extraer una bolita alazar de la caja, la probabilidad de que ésta sea blanca corresponda a un 50%?A) Agregar a la caja una bolita verdeB) Sacar de la caja una bolita verde y una blancaC) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancasD) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blancaE) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas60. Se lanzan 4 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan a lo menos 3 sellos? 1A) 16 1B) 4 5C) 16 5D) 8 11E) 16 361
    • 61. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un curso en la pruebade matemática. En relación a la distribución de las notas, es verdadero queA) 6 alumnos dieron la prueba.B) hay más mujeres que hombres.C) las mujeres sacaron mejores notas.D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los queobtuvieron nota 7.E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.62. Se entrevistaron a 100 fumadores consultándoles por la cantidad de cigarrillos quefuman diariamente. Sobre la base de la tabla siguiente que resume esta información:¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 35. II) La media aritmética es 19,6. III) La mediana es 25.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III63. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al resultado de una pruebade biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) La moda es 5. II) La mediana es menor que la moda. III) El promedio es mayor que la mediana.A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III 362
    • Evaluación de Suficiencia de Datos64. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero desconocido tal que3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se sabe que: (1) El MCD entre los tres es 1. (2) x no es primo.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional65. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple mensual x. Se puedeconocer el valor de x si: (1) Don Humberto depositó $ 500.000. (2) En un trimestre ganó $ 9.600.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional x + y = a + 3b66. En el siguiente sistema:  , se puede determinar el valor numérico de y  3x − y = a − 5 bsi: (1) a = 4 ; b = 1 (2) a + 3b = 7A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional67. En el triángulo ABC de la figura, se puede conocer el valor de sen α si: (1) ∡ ABC = 90º (2) AB = 3, BC = 4, AC = 5A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional 363
    • 68. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede determinar la medida dellado del cuadrado A si: (1) Se conoce el perímetro del cuadrado C. (2) Se conoce el área del cuadrado B.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional69. En la figura, BC es tangente en C a la circunferencia de centro O. Se puede determinarla longitud del radio de la circunferencia si: (1) Se conoce la medida de BD . (2) Se conocen las medidas de BC y AB .A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional70. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es 0,6. Se puededeterminar el número de varones que hay en el curso si: (1) En el curso hay 40 alumnos. (2) En el curso hay 24 mujeres.A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas (1) y (2).D) Cada una por sí sola (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C E A C C A A D B D E D E D B A E A C B21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40D E B E B E B B C A B A C B D D E C A A41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60B C E D B D A A D B E A C D D A B E C C61 62 63 64 65 66 67 68 69 70E C E C C A B C B D 364
    • ENSAYO Nº 5INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15 minutos pararesponderla.2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejesperpendiculares. I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.1. Si m es un número positivo y el cuadrado de 2m es 16, entonces el doble de 2m esA) 2B) 4C) 8D) 12E) 162. ¿Cuál es el valor de 32 + 33?A) 15B) 18C) 36D) 243E) 7293. Si m es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son)número(s) real(es) positivo(s)? I) m2 II) -m III) m3A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la primera página de lahoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para completar la novela?A) 61B) 62C) 142D) 143E) 224 365
    • 5. La cifra de las unidades de 699 esA) 3B) 4C) 6D) 9E) No se puede calcular6. r es directamente proporcional a t y r = 54 cuando t = 9. ¿Cuál es el valor de r si t =6?A) 20B) 18C) 15D) 30E) 367. Se compra un electrodoméstico al crédito pagándose por él, en total, la suma de $187.000, incluido un interés del 10%. ¿Cuánto se habría ahorrado al cancelar al contado?A) $ 1.700B) $ 1.870C) $ 17.000D) $ 18.700E) $ 170.0008. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho fósforos también.¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede construir un cuadrado?A) 94 fósforosB) 63 fósforosC) 132 fósforosD) 154 fósforosE) 190 fósforos II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES9. El 0,1% de 100x es igual a 0,1. Entonces, el valor de x esA) 0,0001B) 0,01C) 1D) 10E) 10010. 2x - [3x -(3x - 2) - (4 - 5x)] =A) 2 - 3xB) 6 - 3xC) 7x - 6D) 7x - 6E) Ninguna de las anteriores 366
    • 11. (5a - 5b)2 =?A) 25a - 25bB) 10a - 10bC) 25a - 25b - 10(a + b)D) 25(a - b) – 2 • 5(a + b)E) 25a + 25b – 2 • 5(a + b)12. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá dentro de (2a + 3) años?A) 6a añosB) 2a + 6 añosC) 4a + 4 añosD) 6a + 6 añosE) 6a + 12 años x+413. El valor de la expresión cuando y = 4 es: xyA) 1 5B) 4 x+4C) 4 x+1D) x x+4E) 4x14. Se definen las operaciones: a S b = a + b y a R b = a + (-b). ¿Cuál es el resultado de (2 S3) R (3 R 2)?A) 0B) 4C) 5D) 6E) 1015. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que Rosa. Si Rosa yDaniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea esA) 6 añosB) 7 añosC) 8 añosD) 9 añosE) 10 años 367
    • 16. En un canasto hay n naranjas, 12 plátanos y 8 manzanas. Si se sacan 5 naranjas, pplátanos y se agregan m manzanas, ¿cuánta fruta contiene el canasto?A) n - p + m + 15B) m - p + 15C) n - p - m + 15D) n - p + m + 25E) n - p - m + 2517. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros para llenarse. ¿Cuál esel doble de la capacidad del jarrón?A) R - qB) 2p - qC) 2R + 2qD) 2R - 2qE) 2p - 2q18. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan $ 3b. ¿Cuánto cuestan3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos?A) 2a + 3bB) 6a + 12bC) 2a + 12b 8a + 9 bD) 12 8a + 27 bE) 1219. ( 2 − x 2 − 1 ) 2 =?A) 2 − x 2 − 1B) 3 + x 2 − 4 x 2 − 1C) 3 + x 2 − x 2 − 1D) 4 − x 2E) 5 − x 220. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una docena y media debebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces ¿cuánto cuestan 5 envases?A) $ 75B) $ 125C) $ 150D) $ 200E) $ 250 368
    • 21. Una persona asiste a un casino con $ p, apuesta $ r en la ruleta y gana $ g.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) p = r - g II) Después de ganar, tiene $ (p + r + g). III) p ≥ rA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) II y III22. La figura muestra 2 cuadrados congruentes construidos con un alambre de largo x.¿Cuál es la superficie total de la figura?A) x 2 x2B) 2 x2C) 16 x2D) 32 x2E) 6423. El perímetro de un rectángulo es igual a q y la suma de los valores recíprocos del 1ancho y del largo es igual a El área del rectángulo es: rA ) qr qrB) 2 qC) 2r 2qD) r qE) r 369
    • 24. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante una semana.De acuerdo al gráfico podemos afirmar que: I) La mayor variación diaria en el consumo ocurrió entre viernes y sábado. II) Entre viernes y sábado se produjo una variación del 50%. III) Entre lunes y martes la familia no consumió pan.A) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) II y IIIE) I, II y III25. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la función f(x) = x2 − 1 ?A ) [1, ∞[B ) ]1, ∞[C ) ]− ∞ ,−1] ∪ [1, ∞[D ) ]− ∞ ,−1] ∩ [1, ∞[E ) [− 1,1]26. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces se cumple una de lassiguientes alternativas:A) son perpendicularesB) son paralelasC) son coincidentesD) se intersectan en (2,1)E) el punto (2,4) pertenece a L1 370
    • 27. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función f(x) = [x] + 1?28. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura?A) x + y + 1 = 0B) x - y - 1 = 0C) x + y - 1 = 0D) -x + y + 1 = 0E) Ninguna de las anteriores29. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) 2 + 3 = 5 II) 2 + 7 es un número irracional III) 2 • 18 es un número irracionalA) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) I y IIIE) II y III a+b30. Si a = 1 − 2 y b = 2 + 1 entonces ? bA) 1 − 2B) 2 − 1 2C) 3D) 2E ) 2( 2 − 1) 371
    • 31. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x • (-2)x equivale a:A) 22xB) (-3)xC) (-3)2xD) 2-2xE) 2x32. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?I) log 0,1100 = 3II) log 10 = 2III) Si log x 25 = -2, entonces x = 0,2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III33. De la función de segundo grado representada en el gráfico de la figura, podemosdeducir que la ecuación de segundo grado asociada a ella:A) tiene una solución real.B) tiene una solución imaginaria.C) tiene dos soluciones imaginarias.D) tiene dos soluciones reales.E) una de las soluciones es x = 2.34. ¿Cuál es el mayor valor de y = x + 1 si x es raíz de x 2 − 9 x + 8 = 0 ?A) 1B) 2C) 3D) 8E) 0 372
    • 35. Un depósito de $ m se reajusta todos los meses en un p%. ¿Cuál es el montoacumulado después de t meses?  p A ) mt  1 +   100  t  p B) m 1 +   100  ptC) m + 100 mptD) 100 mp tE) 100 III. GEOMETRÍA36. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmacioneses(son) verdadera(s)? I) ∡ AED ≅ ∡ CDE II) AD ≅ AC III) AD ≅ CEA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III37. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto del eje de lasabscisas? 373
    • 38. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son) verdadera(s)?I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene coordenadas (-3, 1).II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda en el tercer cuadrante.III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el punto (1, 3).A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IIID) II y IIIE) I, II, III39. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus coordenadas cambian a(m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector traslación aplicado?A) (m, n)B) (m + 3, n + 4)C) (3, 4)D) (-3,-4)E) (4, 3)40. Si el perímetro de un cuadrado es 72 cm, ¿cuál(es) de las siguientes conclusioneses(son) falsa(s)? I) Su área es 324 cm2 II) Su lado mide 18 cm III) El doble de su perímetro equivale a la mitad de su área.A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo IIID) I, II y IIIE) Ninguna41. ∆ ACD isósceles con AC = AD y K ∆ BDE rectángulo. El ∡ x mideA) 10ºB) 15ºC) 25ºD) 30ºE) 50º 374
    • 42. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos congruentes cuyasdiagonales miden 6 cm y 8 cm?A) 30 cmB) 40 cmC) 48 cmD) 60 cmE) 80 cm43. En la figura, ABCD es un cuadrado y E es punto medio de AB . Si el área achurada est 2, el lado del cuadrado mideA) tB) 2tC) tD) 2 tE) No se puede calcular44. En la figura, AB = AC = AD = 13 cm. Si CE = 1 cm, ¿cuánto mide BD ?A) 5 cmB) 10 cmC) 10 3 cmD) 11,5 cmE) 12 cm45. En la figura, ABCD y BEFG son cuadrados; BC = 4 cm; E es punto medio de CD .¿Cuánto mide la superficie achurada?A) 16 cm2B) 20 cm2C) 28 cm2D) 32 cm2E) 36 cm2 375
    • 46. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡ AOB = 125º y ∡ COB = 100º. ¿Cuál es lamedida del ∡ ABC?A) 55ºB) 67,5ºC) 112,5ºD) 135ºE) 225º47. Un trazo AB queda dividido en sección áurea por un punto P si se cumple queAB : AP = AP : PB , con AP > PB . ¿Cuál(es) de los siguientes trazos está(n) divido(s) ensección áurea?A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) II y IIIE) I, II y III48. Si en la figura AB // CD , entonces x + y =A ) 27 cm 1B ) 27 cm 15 1C ) 27 cm 14 1D ) 27 cm 7E) Ninguna de las anteriores49. En la circunferencia de la figura, O es el centro, AD es diámetro y DC es tangente.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∆ ABD ~ ∆ DBC II) ∆ ABD ~ ∆ ADC III) ∆ DBC ~ ∆ ADCA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) II y IIIE) I, II y III 376
    • 50. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con los datos de lafigura? I) a2 - p2 = b2 - q2 II) a2 + b2 = (p + q)2 III) h2 = (c - p)(c - q)A) Sólo I y IIB) Sólo II y IIIC) Sólo I y IIID) TodasE) Ninguna 351. Si tgα = entonces senα + cos α =? 4A) 7 7B) 5C) 1D ) 0 ,5E) No se puede determinar52. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma posada en el extremosuperior de éste con un ángulo de elevación de 50º. ¿Qué distancia separa a la gata de lapaloma? 4A) tg 50 ºB ) 4 • tg 50º 4C) cos 50 º cos 50ºD) 4E ) 4 • cos 50 º53. Si asumimos que la Tierra es geométricamente esférica y de un radio aproximado de6.400 Km, ¿cuál es su superficie, expresada en notación científica?A) 1,1 × 1012 Km2B) 2,6 × 108 Km2C) 4,1 × 107 Km2D) 5,1 × 108 Km2E) 6,4 × 108 Km2 377
    • 54. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0,1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?A) 2 + 2 5B) 4 5C) 2 5D) 12E) 8 IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD55. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un número primo de entre los primeros 25números naturales, éste sea par? 1A) 25 12B) 25 9C) 25 1D) 9 1E) 1256. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan un 1 y un 2? 1A) 2 1B) 3 1C) 9 1D) 18 1E) 3657. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer unabolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son rojas?A) 16B) 12C) 10D) 8E) 4 378
    • 58. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón de 5: 2. ¿Cuál es laprobabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólohay rubios y morenos en el curso? 2A) 5 1B) 6 2C) 7 1D) 7 2E) 359. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las pintassea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo? 1A) 81 1B) 108 1C) 9 2D) 9E) Ninguna de las anteriores60. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5 de color blanco, 2 decolor negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del conjunto de poleras?A) 2B) 5C) blancoD) rojo y negroE) amarillo61. La tabla muestra las estaturas de un grupo de 20 niños de un colegio, agrupadas enintervalos, donde Xi es la marca de clase, fi es la frecuencia y Fi es la frecuencia acumulada.¿Cuál de las siguientes alternativas representa los valores correctos de p y q,respectivamente?A) 1,14 y 13 Estatura [m] Xi fi FiB) 1,15 y 13 1,10 – 1,12 4C) 1,15 y 17 1,12 – 1,14 6D) 1,16 y 13 1,14 - 1,16 p 7 qE) 1,16 y 17 1,16 – 1,18 3 379
    • 62. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5 , 5,5 y 4,0, cuyo promedio se pondera en un60% para obtener la nota final. Si la nota mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberásacarse como mínimo en la última evaluación, para aprobar el curso?A) 5,0B) 4,0C) 3,5D) 2,0E) 1,063. En un curso de Matemática de 32 alumnos, se registró la siguiente asistencia durante 2meses: 24, 20, 25, 21, 23, 25, 28, 25, 30, 18, 15, 20, 18, 25, 23, 26. ¿Cuál(es) de las siguientesafirmaciones es(son verdadera(s)? I) La moda es menor que la mediana y que la media II) La media es menor que la moda y la mediana III) La media es mayor que la medianaA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) Ninguna de las anteriores 380
    • V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOSINSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida silos datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en lasafirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a lapregunta;E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.64. a y b son números enteros distintos de cero. ab es negativo si: (1) a < 0 a (2) < 0 bA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.65. Si a es el 10% de b, entonces b =? (1) a es el 50% de c ; c = 18 (2) c = 2a: a + c = 27A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.66. x2 = x si: (1) x = 0 (2) 2x = 2A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. 381
    • 67. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del ∆ DFG si: (1) E y F son puntos medios (2) DG = GH = HBA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.68. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrado ABCD de la figura? 1 (1) AE = AB ; CF = CG = AE 2 (2) El área achurada mide 23 cm2.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.69. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una caja de cartón? (1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo (2) El alto de la caja es la mitad del anchoA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.70. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el origen si: (1) su pendiente es 1,5. (2) pasa por el punto (2; 3)A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. 382
    • HOJA DE RESPUESTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20C C B D C E C C C A E D E B A A E E B B21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40D B B C A C C B E E C D C B D C C B C C41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60B A B B D B A C E D B C D A D D A C B C61 62 63 64 65 66 67 68 69 70C D B B D D D C C D 383
    • ENSAYO Nº 6 I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.1. En un curso de 28 alumnos, 21 asistieron a clases. ¿Qué porcentaje faltó?A) 75%B) 25%C) 7%D) 0,75%E) 0,25% 23 − 62. =? 2 −1A) 0B) -1C) -2D) -6E) 43. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc cada una. “A” bebe 7 4 3los de su lata, “B” toma los y “C” toma los . ¿Cuál(es) de las siguientes 10 5 4afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) A bebió más que B. II) C bebió más que B. III) A bebió menos que C.A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de claveles, ¿cuántasplantas de claveles hay en el huerto?A) 8B) 16C) 24D) 32E) 40 384
    • 5. En la secuencia siguiente, con cuatro palitos se forma un rombo y al agregar 3, se formaun nuevo rombo.¿Cuántos rombos se pueden formar con 169 palitos?A) 56B) 57C) 59D) 60E) 636. Un artículo de ferretería se vende en $ 16.000, luego de aplicarle un 20% de descuento.¿Cuál era el precio del artículo antes de aplicarle el descuento?A) $ 12.800B) $ 19.200C) $ 20.000D) $ 21.600E) $ 28.0007. d dulces cuestan $ p. ¿Cuántos dulces puedo comprar con $ x? pdA) x xB) pd xdC) p xpD) d pE) xd8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que hay el la caldera deuna industria durante 5 horas de funcionamiento. ¿Cuál de las siguientes alternativasentrega la mayor información correcta que se puede obtener del gráfico?Se agregó agua:A) 4 veces en 5 horas.B) cada 1 hora, 100 litros cada vez.C) cada 1 hora, 200 litros cada vez.D) 5 veces, 200 litros cada vezE) cada vez que la caldera tenía menos de 250 litros. 385
    • II. ÁLGEBRA Y FUNCIONES9. x es el lado de un triángulo equilátero. Si el lado se aumenta en y unidades, entonces elperímetro resultante es:A) x + yB) 3x + yC) 3x + 3y (x + y) 2D) 2 xyE) 210. La solución de la ecuación: 2x - 4 = 6 esA) -1B) 1C) 5D) 7E) 811. (-2m2)3 = ?A) -6m6B) -6m2C) -8m6D) -8m2E) -2m6 a212. =? a .5A) a 7B) a −3 2 −C) a 5 2D) a 5E ) a −713. Si x = 2 , entonces x + x2 =?A) 4B) 6C) 2 + 2D) 12E) 20 386
    • 3+ 614. Al simplificar la expresión resulta: 3A) 6B) 2C) 1 + 2D) 3 + 3 2E) 3 p+115. Al simplificar la expresión con p ≠ 2, se obtiene: p−2A) − 2 1B) − 2C) − 1D) 1E) No se puede simplificar16. Si se desarrolla la expresión (x - y)2 como x2 + y2 se está cometiendo un error. El errorconsiste en I) el exponente del primer término II) el signo del segundo término III) que falta el doble producto de x = (-y)A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) II y III17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación 0,01x = 3,14? 1A) x = 3 ,14 100B ) 0 ,01x = πC ) x • 10 − 2 = 3 ,14 314D ) 0 ,01x = 100E ) x • 10 − 2 = 314 • 10 − 218. Si x = 3 es una solución de la ecuación 3x + 5 = x + k, entonces el valor de k es:A) 5B) -5C) 8D) 11E) 17 387
    • 19. Pedro (P) tiene el doble de la edad de José (J) y hace 3 años era el triple. ¿En cuál de lasalternativas se plantea el sistema que permite calcular las edades de Pedro y José?20. (m + n)2 - 2n(m + n) = ?A) (m + n)(m - n)B) m2 - 2n2C) m2 - n2 - nD) m2 - n2 - 2mnE) (m - n)221. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está dada por la relación 2v2 = v 0 + 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la aceleración de gravedad y d es ladistancia recorrida por el móvil. ¿Qué rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caídasi se lanza con v0 = 10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2?A) 10 m/sB) 20 m/sC) 100 m/sD) 200 m/sE) 400 m/s22. Si el perímetro de un rectángulo es 2(x + y) y el ancho es x - y, ¿cuál es el largo?A) 2yB) 2xC) 0 x+yD) x−yE) 2x - 2y 388
    • x x23. La diferencia entre y t es ¿Cuál es el valor de t? m m−1 −1A) m ( m − 1)B) 0 xmC) m ( m − 1) 2m − 1D) m ( m − 1) −xE) m ( m − 1)24. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $ 5.400. ¿Cuántodinero me sobraría si quiero comprar una revista que cuesta $ 3.000?A) $ 1.080B) $ 1.320C) $ 1.500D) $ 2.400E) $ 4.50025. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $ 400 a Beatriz, ambasquedarían con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene Rosa?A) $ 400B) $ 800C) $ 1.200D) $ 1.600E) $ 1.80026. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas, precio contado.¿Cuánto vale cada cuota?A) $ (x + 1)B) $ x ( x + 1)C) $ 3 ( x + 3)D) $ 3 xE) $ 3 389
    • 27. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $ 10.000. ¿Cuál es lafunción que permite determinar el ahorro total y en el mes x?A) y = 50.000x + 10.000B) y = 50.000x - 10.000C) y = 10.000x + 50.000D) y = 10.000x - 50.000E) y = x + 10.000 + 50.00028. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta deecuación y - x + 2 = 0? I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2). II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0). III) La pendiente de la recta es -1.A) Sólo IB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III29. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta de ecuación x - y = 0?30. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto de las solucionesde la ecuación x2 - 6x + 8 = 0? I) Son reales. II) Una es el doble de la otra. III) Son negativas.A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III 390
    • 31. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 50t - t2, donde t se mideen segundos y la altura y(t) en metros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son)correcta(s)? I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros. II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos. III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de 400 metros.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I, II y III32. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función f(x) = 3 - 3x - x2?33. Una bacteria se reproduce por bipartición cada 20 minutos. ¿Cuál es la fórmula quepermite calcular el número de bacterias que tiene un cultivo al cabo de t minutos si seinicia el proceso con una sola bacteria? (NOTA: [x] = función parte entera de x)A ) [20 t ]  t B)    20 C ) 2 • [20 t ]  t D) 2 •    20   t   E) 2  20  391
    • 34. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)? I) log 1 + log 2 = log 2 II) log 2 + log 3 = log 6 III) log 4 - log 2 = log 2A) Sólo IIB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III35. La figura representa a un rectángulo divido en 8 partes. ¿Cuál(es) de las siguientesexpresiones representa(n) el área de la región achurada? bd b(d − c) d( b − a ) I) II ) III ) 2 2 2A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIIE) I, II y III III. GEOMETRÍA36. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos triángulos sonsemejantes? I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño. II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño. III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) I y IIE) I y III37. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un eje de simetría?A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) En I y IIIE) En I, II y III 392
    • 38. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura respecto del ejeOP ?39. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación de la figurasuperior en torno al eje AB ?A) Sólo en IB) Sólo en IIC) Sólo en IIID) En I y en IIIE) En I, en II y en III40. En la figura se tienen 5 cuadrados congruentes de 4 cm de lado. ¿Cuál es el perímetrototal de la figura?A) 32 cmB) 40 cmC) 80 cmD) 200 cmE) No se puede determinar41. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de componentes (4, 2).¿Cuáles son las coordenadas del vértice A trasladado?A) (4, 2)B) (5, 2)C) (5, 3)D) (3, 5)E) No se puede determinar 393
    • 42. ¿Cuál de las siguientes traslaciones permite dejar íntegramente el polígono de la figuraen el primer cuadrante?A) (4, 0)B) (0, 4)C) (2, 3)D) (4, 2)E) (3, 0)43. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta L. ¿Cuál(es) de lassiguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)? I ) BC ≅ NO II ) CO // AM III ) BC // MOA) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) I y IIIE) II y III44. Un rectángulo de dimensiones 3 m × 2 m, se traslada 4 metros, apoyado sobre uno desus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es elvolumen del cuerpo generado?A) 6 m3B) 8 m3C) 9 m3D) 20 m3E) 24 m345. En la figura, el ∆ ABC es rectángulo en C, AC ⊥ BC , CD ⊥ AB , AD = 16 cm y BC = 6cm. Entonces, el área del ∆ ABC es:A) 36 2 cm²B) 48 cm²C) 32 2 cm²D) 12 2 cm²E) No se puede determinar46. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y AB // DC . ¿Cuál es el área del ∆ ABC?A) 10 cm2B) 20 cm2C) 30 cm2D) 40 cm2E) 50 cm2 394
    • 47. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?I) ∆ DAB y ∆ BACII) ∆ EBD y ∆ DCBIII) ∆ BAC y ∆ DBCA) Sólo IB) Sólo IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III48. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos medios. ¿Cuál(es) de lassiguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?I) ∆ ABN ≅ ∆ CBMII) Área ∆ ABN = Área ∆ CBMIII) Área ∆ ABN = Área ∆ ANCA) Sólo IIB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) II y III 149. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 2 m, en ese mismo lugar, 2proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del edificio?A) 12 mB) 10 mC) 9 mD) 8 mE) 7 m50. En la circunferencia de centro O, se trazan AB y DE diámetros y CD cuerda, como seindica en la figura. Si AB // CD y ∡ AOE = 30°, entonces el ∡ x mideA) 15°B) 20°C) 25°D) 30°E) 45° 395
    • 51. En la circunferencia de la figura, ∡ DAC=30º y ∡ BCA =40º. ¿Cuál es la medida del∡ x?A) 30ºB) 35ºC) 40ºD) 45ºE) 70º52. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes a cos a? 1 1I ) cot gα • senα II ) III ) sec α tgα • cos ecαA) Sólo IB) Sólo IIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III53. En el cuadriculado de la figura, cada cuadrado es de lado 1. ¿Cuál es el valor de cos a? 4A) 41 5B) 41 4C) 5 5D) 4 41E) 554. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura. Si el piloto observala torre de control con un ángulo de depresión de 30º, ¿a qué distancia d se encuentra elavión del aeropuerto?A) 750 mB) 750 3 mC) 3.000 mD) 3.000 3 mE) 4.500 m 396
    • IV. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD55. En un estante hay 10 libros de Biología y 12 de Química. Si se sabe que 5 libros deBiología y 6 de Química están en inglés y el resto en español, entonces ¿cuál es laprobabilidad de escoger un libro de Química en español? 18A) 22 12B) 22 6C) 22 6D) 12 6E) 1156. La probabilidad de que ocurra un suceso A es de 10% y la probabilidad de que ocurraun suceso B, independiente de A, es de 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran lossucesos A y B simultáneamente?A) 2%B) 15%C) 30%D) 50%E) 200%57. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita roja es de 0,25.¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna?A) 0,25B) 4C) 8D) 20E) 2558. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del suceso es 0,5?A) Lanzar un dado y obtener un 5.B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello.C) Ganarse el sorteo del Loto.D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz.E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena.59. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la mayor probabilidadde ocurrencia?A) Obtener 2 ó 4.B) Obtener 4 ó 6.C) Obtener un número par.D) Obtener un número primo.E) Obtener 2 ó más. 397
    • 60. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos de un curso en unaprueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 3?A) 3B) 4C) 12D) 17E) 3561. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre los meses de Enero yJunio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de mayor venta?A) 200B) 250C) 300D) 350E) 40062. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de 4º medio de un liceo.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 17 años. II) El 20% del curso tiene 18 años. III) La mediana es 17 años.A) Sólo IB) Sólo IIIC) I y IID) I y IIIE) I, II y III63. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18 Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 13 Kg. II) La mediana es 13 Kg. III) La media es 13 Kg.A) Sólo IB) I y IIC) I y IIID) II y IIIE) I, II y III 398
    • V. EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOSINSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N° 64 A LA N° 70En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida silos datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en lasafirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letraA) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes pararesponder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a lapregunta;E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes pararesponder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.64. ¿Cuánto dinero tiene Jaime? (1) Si consigue $ 500, puede comprar 2 libros de $ 5.000 cada uno y le sobra dinero. (2) Si compra un CD de $ 9.000, le sobrarían más de $ 500.A) 1) por sí sola.B) 2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) e requiere información adicional.65. ¿Cuál es el volumen de un baúl? (1) La razón entre el largo, el ancho y el alto es 5 : 3 : 2. (2) El área basal es 6.000 cm2.A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.66. La expresión a + b, con a y b números reales, es positiva si: (1) a > b (2) a - b > 0A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. 399
    • 67. ¿Cuál es el valor de la expresión x2 - y2? (1) x + y = 5 ; x - y = 2 (2) x = 3 ; y = 2A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.68. En la figura, ∆ ABC rectángulo isósceles de 18 cm2 de superficie. C es el centro delcírculo. Se puede determinar el área de la región achurada si: (1) P es punto medio (2) AB = 6 cmA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.69. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la región achurada si: (1) ∡ ACB = 45º (2) el radio del círculo es 5 cmA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.70. En la figura, el ∆ AMN es congruente con ∆ CMN si: (1) ABCD es un cuadrado (2) BM = MN = NDA) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional. 400
    • RESPUESTAS CORRECTAS1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20B E B C A C C B C C C A E C E C B D C A21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40B A E C D D C B C C E B E E A C D C E B41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60C D C E A A E E B D E E B C C A D D E C61 62 63 64 65 66 67 68 69 70C E B E C E D A A A 401