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Los elementos  (euclides)
 

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    Los elementos  (euclides) Los elementos (euclides) Document Transcript

    • Los “Elementos” de EuclidesporJuan Navarro Loidi (Instituto de Bachillerato a Distancia deGuipuzcoa), jnavarrolo@euskalnet.net ´El tratado de geometr´a titulado los Elementos se cree que fue escrito alrededor ıdel a˜ o 300 a. de C, por un griego llamado Euclides que ense˜ aba matem´ ticas n n aen Alejandr´a (actualmente Egipto). Pese a su antig¨ edad, su inter´ s no es s´ lo ı u e ohist´ rico. Hoy en d´a todav´a se nota su influencia en los manuales de matem´ ticas. o ı ı aAdem´ s, sigue siendo una referencia obligada cuando se discute sobre el origen de adeterminados conceptos en geometr´a o en teor´a de n´ meros, o cuando se escribe ı ı usobre axiomatizaci´ n o l´ gica matem´ tica. o o aEl t´tulo “Elementos” resume bien el contenido de la obra. La palabra “Elemento” ı(στ oιξεια) ten´a dos significados en Grecia, como explicaba Proclo de Licia (siglo ıV): “El Elemento se compone de dos modos, como dice Menecmo, porque lo queconstruye es el elemento de lo construido [...]. /Tambi´ n se dice, adem´ s, que elemento es lo m´ s sencillo en que se resuelve lo e a acomplejo, siendo elementos las cosas m´ s primitivas que se establecen para un aresultado” [Fuente : Vera, 1970, v. II p.1159/1160]. 1 1 Las referencias completas de los libros citados se encuentran al final en la bibliograf´ ıa. 51
    • 52 Los elementos de Euclides Estos dos sentidos que daba Proclo a la palabra “elemento” vienen a coincidir conlas dos acepciones que tiene ese t´ rmino actualmente en castellano. Los elementos eson los conocimientos b´ sicos que sirven para construir una teor´a cient´fica. Son por a ı ılo tanto los fundamentos de una rama del saber humano. Pero, al mismo tiempo, enespa˜ ol, una cuesti´ n elemental es una informaci´ n sencilla que se supone conocida n o opor todo el mundo. En estas l´neas se va a describir el contenido de los Elementos y se va a comentar la ıforma en la que se introducen las distintas materias. Se mencionar´ n tambi´ n algunas a epol´ micas que ha habido sobre la correcci´ n de los planteamientos de Euclides; pero e ono se va a profundizar en ellas. Nadie les puede negar su inter´ s, pero entrar en esas ediscusiones nos alejar´a del objeto de este escrito, que es sencillamente exponer lo ıque escribi´ Euclides hace veintitr´ s siglos. o e4.1 Organizaci´ n y metodolog´a de los “Elementos” o ıEl texto de los Elementos, en las versiones que se ajustan mejor al texto original,tiene las siguientes partes: Libro Defini- Proposi- Porismas Lemas Postulados Nociones ciones ciones comunes I 23 48 0 0 5 5 II 2 14 0 0 0 0 III 11 37 1 0 0 0 IV 7 16 1 0 0 0 V 18 25 2 0 0 0 VI 3 33 3 0 0 0 VII 22 39 1 0 0 0 VIII 0 27 1 0 0 0 IX 0 36 1 0 0 0 X 16 115 4 11 0 0 XI 28 39 1 1 0 0 XII 0 18 2 2 0 0 XIII 0 18 2 3 0 0 Total 130 465 19 17 5 5
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 53Es decir, se divide en trece cap´tulos, llamados “libros”, que se diferencian entre s´ por ı ısu contenido. Los seis primeros estudian la geometr´a del plano. Los tres siguientes ıtratan de la teor´a de n´ meros. El libro d´ cimo es sobre los inconmensurables, o ı u eirracionales y los tres ultimos son sobre la geometr´a del espacio. ´ ı Cada libro est´ dividido en apartados que pueden ser de seis tipos diferen- ates: definiciones, proposiciones, porismas, lemas, postulados y nociones comunes.Antes de comenzar a detallar el contenido de esos trece libros conviene precisar loque significan esos t´ rminos. eDefinicionesUna definici´ n es una frase que sirve para introducir un concepto matem´ tico. En o aella, normalmente, se define la nueva noci´ n relacionando unos t´ rminos m´ s gene- o e arales ya definidos. Por ejemplo, en el libro primero se puede leer: “20. De las figuras tril´ teras, el tri´ ngulo equil´ tero es el que tiene los tres lados a a aiguales; el is´ sceles el que tiene dos lados iguales y uno desigual; y el escaleno, el oque tiene los tres lados desiguales2 ”.En esta definici´ n se parte de la idea de tri´ ngulo (definici´ n 19 del libro primero) y de o a ola noci´ n de segmentos iguales para obtener, uni´ ndolas, los conceptos de tri´ ngulo o e aequil´ tero, is´ sceles y escaleno. Esta manera de introducir los nuevos t´ rminos se a o esuele relacionar con las doctrinas de Arist´ teles. Pero los objetos matem´ ticos no o asiempre son tan f´ ciles de introducir. Las primeras definiciones, en particular, no se apueden presentar de esa forma. Por ejemplo: “1. Un punto es lo que no tiene partes” o “4. Una recta es una l´nea que yace ıpor igual respecto de todos sus puntos.” [Puertas, 1991, v. I, p. 192] ¿Por qu´ “punto” es lo que no tiene partes y no el corte de dos l´neas o la e ıextremidad de una l´nea? Probablemente porque Euclides no quiso usar la l´nea, ı ıconcepto m´ s complejo, para definir el punto, que es m´ s sencillo, seg´ n recomenda- a a uba Arist´ teles. Pero, ¿por qu´ la recta es la l´nea “que yace por igual” y no es la l´nea o e ı ı“m´ s corta de todas las que tiene los mismos extremos” como defin´a Arqu´medes? a ı ıParece dif´cil encontrar la raz´ n por la que Euclides prefiri´ elegir como fundamento ı o opara la definici´ n de la l´nea recta la idea de direcci´ n constante, en lugar de la de o ı odistancia m´nima. ı 2 Los textos de los Elementos que se citan pueden proceder de varias versiones castellanas,pero cuando se ha simplificado la redacci´n, como en este caso, no se indica ninguna fuente. o
    • 54 Los elementos de Euclides En los Elementos las definiciones son siempre unas frases breves y precisas.Este tratado no tiene explicaciones, ni ejemplos. Adem´ s, la definici´ n de un objeto a omatem´ tico no implica su existencia. Por ejemplo, en la definici´ n 20 del libro a oI se introducen los tri´ ngulos equil´ teros, pero s´ lo se utilizan despu´ s de haber a a o edemostrado que se pueden construir en la proposici´ n 1 de dicho libro. o Se incluyen definiciones en muchos libros. En el libro I se introduce la mayor´a ıde los t´ rminos que se utilizan en la geometr´a plana, aunque tambi´ n se insertan e ı evarios m´ s en los cinco libros posteriores. En el libro VII est´ n todas las definiciones a acorrespondientes a la aritm´ tica, en el X las de los irracionales y en el XI las de la egeometr´a del espacio. Las definiciones suelen estar colocadas al comienzo del libro, ıexcepto en el d´ cimo, que las tiene en tres lugares distintos. ePostulados y Nociones ComunesLos postulados y los axiomas o nociones comunes son dos series de propiedadesde los objetos matem´ ticos que se acepta sin discusi´ n. No se diferencian mucho a oentre s´ y en el texto no se explica por qu´ una afirmaci´ n se considera axioma y ı e ono postulado, lo que tampoco debe extra˜ ar porque, como se ha dicho, Euclides nenuncia y justifica, pero no explica nada. Las nociones comunes, o axiomas, son afirmaciones generales, v´ lidas en todas alas ciencias, cuya evidencia las hace generalmente aceptables. Las que incluyeEuclides en esta obra son en concreto: 1. Cosas iguales a una tercera son iguales entre s´. ı 2. Si a cosas iguales se a˜ aden cosas iguales, los totales son iguales. n 3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. 4. Las cosas que coinciden entre s´ son iguales entre s´. ı ı 5. El todo es mayor que su parte. Los postulados como las nociones comunes se admiten sin demostraci´ n. Pero ono son tan evidentes, por eso se postulan, es decir se pide que se acepten. Sonpropiedades espec´ficas de la geometr´a. Los postulados que se incluyen en los ı ıElementos son: 1. Post´ lese que se pueda trazar una unica recta entre dos puntos distintos u ´cualesquiera.
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 55 2. Y que un segmento rectil´neo pueda ser siempre prolongado. ı 3. Y que haya una unica circunferencia con un centro y un radio dados. ´ 4. Y que todos los angulos rectos sean iguales. ´ 5. Y que si una secante corta a dos rectas formando a un lado angulos interiores ´cuya suma es menor que dos rectos, las dos rectas, prolongadas indefinidamente, secorten en el lado en que est´ n los angulos menores que dos rectos. a ´ Basta con leer los postulados para comprobar que el postulado quinto, o de lasparalelas, tiene una redacci´ n diferente a la de los dem´ s. Ese enunciado tan largo o am´ s parece el de un teorema que el de un postulado. Pero la discusi´ n sobre la forma a oen que Euclides plantea el paralelismo en los Elementos se va a comentar m´ s tarde, aal presentar el contenido del libro primero.ProposicionesLas proposiciones son las aserciones que se logran demostrar partiendo de lasproposiciones anteriores, las reglas aceptadas en axiomas y postulados y las pro-piedades que se suponen en las definiciones. Pueden ser de dos tipos: teoremas yproblemas. Las que indican propiedades de los entes matem´ ticos se suelen llamar ateoremas. Las que explican como se construyen esos objetos se llaman problemas.En muchas versiones de Los Elementos se diferencian claramente los dos tipos deproposiciones; pero se cree que Euclides no lo hac´a. La unica diferencia que tienen ı ´los teoremas y los problemas en las versiones m´ s antiguas consiste en que los teo- aremas acaban con la frase “como quer´amos demostrar” y los problemas con “como ıquer´amos hacer”. ı De las 465 proposiciones que hay en los Elementos s´ lo 93 son problemas, que ose reparten m´ s o menos por igual en los trece libros. Las excepciones son el libro aIV, que s´ lo tiene problemas, y los libros V y IX, que s´ lo tienen teoremas. o oPartes de las proposicionesLas proposiciones suelen tener las siguientes partes:Enunciado: frase en la que se declara lo que se quiere demostrar o lo que se quiereconstruir.Exposici´ n: apartado en el que se concretan los datos del enunciado en un dibujo o ose exponen los objetos que van a intervenir en los pasos posteriores.
    • 56 Los elementos de EuclidesEspecificaci´ n: frase en la que se concretan las condiciones que deben cumplir los odatos del enunciado.Construcci´ n: parte en la que se completa el dibujo a˜ adi´ ndole las l´neas o circun- o n e ıferencias que se necesiten para poder demostrar la afirmaci´ n del enunciado. oPrueba: apartado dedicado a justificar los pasos l´ gicos necesarios para deducir la otesis buscada o para construir la figura deseada a partir de los resultados anteriores.Conclusi´ n: ultimo p´ rrafo de la proposici´ n. En el se repite la parte del enun- o ´ a o ´ciado que indica lo que se quer´a lograr y se termina diciendo “Como quer´amos ı ıdemostrar”, o “c.q.d.”, en los teoremas y “Como quer´amos hacer”, o “c.q.h.”, en ılos problemas, o se acaba con otra frase equivalente. A veces se ponen las siglas enlat´n, “q.e.f.” (quod erat faciendum), o “q.e.d.”. ı Tanto en la construcci´ n como en la demostraci´ n, el autor justifica los pasos o oque da, indicando entre par´ ntesis la propiedad que utiliza. e La “especificaci´ n” no es frecuente. S´ lo aparece en las proposiciones en las o oque se necesita exigir alguna condici´ n a los datos. Por ejemplo, en la proposici´ n o o22 del libro primero se dice: “22. Construir un tri´ ngulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. aPero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera seanmayores que la restante” [Puertas, 1991, v. I, p. 227]. A partir de “Pero...” se indica en el enunciado la condici´ n que deben cumplir los osegmentos, que en este caso es la conocida desigualdad triangular entre los lados.Posteriormente, en la exposici´ n, se vuelve a repetir esta especificaci´ n y en la o oconstrucci´ n se toman segmentos que la cumplen. o Las proposiciones ocupan la mayor parte de la obra. En ellas es sorprendenteel cuidado que pone Euclides en justificar los pasos que da, tratando que el razona-miento sea inatacable. No suele mencionar exhaustivamente todas las propiedadesutilizadas. Por ejemplo, las nociones comunes o los postulados no suelen figurarexpl´citamente como justificaciones, a partir del primer libro, porque se suponen ıconocidas. Pese a ello, considerando solamente las referencias que aparecen men-cionadas se constata f´ cilmente que esta obra es una verdadera red en la que resulta adif´cil quitar o a˜ adir algo sin cambiar todo el libro. ı n Por ejemplo, si se considera el teorema de Pit´ goras (proposici´ n 47 del libro a oprimero, es decir I. 47), se observa que para justificar su demostraci´ n se citan, al o
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 57menos, la noci´ n com´ n 2 (NC 2) y las proposiciones 4, 14, 41 y 46 (I.4, I.14, I.41 o uy I. 46). Pero para justificar esas proposiciones se citan otras. Por ejemplo en laI.46 se mencionan las I. 34, I. 31 y I. 29: En estas, a su vez, aparecen otras. Porejemplo en la I.29 se utilizan como pruebas las NC1 y 2, el postulado 5 (P 5) y lasproposiciones I.13 y I. 15. Este proceso se puede seguir hasta encontrar todas lasjustificaciones que se precisan utilizar, directa o indirectamente, en la demostraci´ n. oEn este caso, para justificar el teorema de Pit´ goras se necesitan las cinco nociones acomunes, los cinco postulados y las proposiciones n´ mero 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, u11, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 26, 27, 29, 31, 34, 35, 37, 41 y 46 del libro primero. Porotra parte, observando donde aparece citado la I.47 se puede asegurar que si esteteorema desapareciera faltar´a una justificaci´ n en las proposiciones I.48; II.9, II. ı o10, II. 11, II. 12, II 13, y II.14; III 14 III 35 y III 36; IV 12; X.13 (lema), X 33,X 34 y X 35; XI 23 y XI 35; XII 17, XIII 14, XIII 15 y XIII 17, por lo que estasproposiciones no ser´an v´ lidas, lo que invalidar´a a su vez otras proposiciones que ı a ıest´ n basadas en ellas. aPorismas o CorolariosEn Los Elementos un porisma es una conclusi´ n interesante que se deduce de una oproposici´ n demostrada, pero que no es necesaria para el desarrollo posterior del olibro. En algunas versiones se les llama corolarios. Por ejemplo, en la proposici´ n o15 del libro primero se dice: “15. Si dos rectas se cortan, hacen los angulos opuestos por el v´ rtice iguales ´ eentre s´ [...] Porisma: Si dos rectas se cortan los angulos de la intersecci´ n suman ı ´ ocuatro rectos.” Hoy en d´a se cree que este corolario no lo escribi´ Euclides sino que fue a˜ adido ı o ndespu´ s, aunque Proclo en el siglo V lo admit´a como original. No es extra˜ o que e ı nhaya sido incorporado posteriormente porque el n´ mero de porismas aument´ mucho u ocon el paso del tiempo. No era raro que los traductores o copistas introdujeran nuevoscorolarios que consideraban interesante para sus lectores en las reproducciones querealizaban.LemasLos lemas son teoremas que se suponen ciertos al demostrar una proposici´ n, pero oque una vez probada esta se deben demostrar a su vez. Es decir, son afirmaciones ´que si se justificaran por completo cuando se emplean en una demostraci´ n har´an o ı
    • 58 Los elementos de Euclidesperder al lector el hilo del razonamiento general. Por eso se declaran como algosabido en la proposici´ n en la que se utiliza, pero luego se enuncian como lemas y ose demuestran. Los lemas s´ lo aparecen en los ultimos libros, que son los que tienen las de- o ´mostraciones m´ s largas. a4.2 Contenido de los ElementosEn cada libro de los Elementos se trata una materia diferente, por lo que estudi´ ndolos asucesivamente se puede conocer de una forma ordenada el contenido de esta obra.Libro IAl comienzo del libro I se encuentran las definiciones de los conceptos b´ sicos de la ageometr´a plana y, a continuaci´ n, se enumeran todos los postulados y axiomas. Por ı oeso en este principio se exponen los fundamentos de la geometr´a seg´ n Euclides. ı uLas definiciones son en total 23. Las nueve primeras dicen: “1. Un punto es lo que no tiene partes. 2. Una l´nea es una longitud sin anchura. ı 3. Las extremidades de una l´nea son puntos. ı 4. Una recta es una l´nea que yace por igual respecto de todos sus puntos. ı 5. Una superficie es lo que s´ lo tiene longitud y anchura. o 6. Las extremidades de una superficie son l´neas. ı 7. Una superficie plana es una superficie que yace por igual sobre todas las l´neas ıque contiene. 8. Un angulo plano es la inclinaci´ n mutua de dos l´neas que se encuentran en ´ o ıun plano y no forma l´nea recta. ı 9. Y cuando las l´neas que comprenden el angulo son rectas, el angulo es ı ´ ´rectil´neo” [Puertas, 1991, v. I, p. 192]. ı En las siguientes definiciones se introduce el concepto de perpendicularidad, yse explica lo que son los angulos obtusos y agudos. Se prosigue con el c´rculo y ´ ıel di´ metro para continuar con los pol´gonos. Se definen los tri´ ngulos equil´ tero, a ı a a
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 59is´ sceles y escalenos y tambi´ n los tri´ ngulos rect´ ngulos, acut´ ngulos y obtus´ ngulos. o e a a a aSe dice lo que es un cuadril´ tero y se explica en qu´ se diferencian los cuadrados, a erect´ ngulos, rombos, y romboides. La ultima definici´ n es la de rectas paralelas: a ´ o “23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, por m´ s aque se las prolongue en ambos sentidos nunca se encuentran”. Aunque el tratamiento del paralelismo en los Elementos ha sido uno de los puntosm´ s debatidos de esta obra, esta definici´ n no ha sido muy criticada. Sin embargo, a ono es raro que en algunas versiones de los Elementos se prefiera decir que las l´neas ıparalelas, son las rectas que distan igualmente entre s´ en todos sus puntos. ı La cr´tica moderna considera que las definiciones son la parte m´ s d´ bil de la ı a eteor´a eucl´dea. Se afirma, con raz´ n, que se basan en ideas intuitivas y que en ellas ı ı ose suponen propiedades que no se postulan ni se demuestran. A las definiciones les siguen los postulados y los axiomas, que ya se han enumer-ado con anterioridad. Los tres primeros postulados piden que se acepte la existenciade rectas y c´rculos, y que se admita que esas figuras no est´ n acotadas. El cuarto ı aafirma que los angulos rectos valen lo mismo en todos los puntos, es decir que el valor ´de un angulo no depende de su localizaci´ n. El 5o postulado se va a comentar m´ s ´ o aadelante. Los axiomas indican varias propiedades de la igualdad. El m´ s discutido aes el cuarto que dice que dos cosas que coinciden son iguales. Este axioma vienea definir la congruencia geom´ trica como un tipo de igualdad. La idea es bastante eevidente, pero su formulaci´ n rigurosa no es sencilla. ¿C´ mo se debe hacer para que o odos figuras coincidan? Normalmente se coloca una encima de la otra; pero para esohay que mover, al menos, una de ellas. Y ¿c´ mo se mueven las cosas en geometr´a?. o ıLos griegos consideraban que el movimiento no era un buen m´ todo para desarrollar elas matem´ ticas. Euclides trata de evitarlo siempre que puede, pero necesita esta anoci´ n com´ n, al menos, para demostrar la proposici´ n I. 4, que es uno de los casos o u ode igualdad de tri´ ngulos. a Para los matem´ ticos que han comentado los Elementos la frontera entre pos- atulado y axioma no est´ muy clara. En muchas versiones hay axiomas originales aque aparecen como postulados o viceversa. En general los estudiosos considerancorrecto introducir estos principios, pero frecuentemente han pedido que se ampl´e ısu n´ mero por razones l´ gicas y pedag´ gicas. Algunos ejemplos de axiomas que se u o ohan propuesto son: Siendo dado un grandor o cantidad: que se pueda tomar otra mayor o menor.
    • 60 Los elementos de Euclides Si iguales se a˜ aden a desiguales dan desiguales. n Si iguales se substraen de desiguales dan desiguales. Los dobles y las mitades de la misma cosa son iguales.Tambi´ n se han propuesto postulados como: e Dos l´neas rectas no cierran superficie. ı Postular la existencia de puntos. Alg´ n postulado de continuidad que asegure que las rectas o circunferencias que use cortan tienen un punto com´ n. u Postular un orden dentro de la recta. Postular la existencia de la cuarta proporcional (para el libro V). Dos rectas no pueden limitar una superficie. Dos rectas no pueden tener un segmento en com´ n y no coincidir. uEsas cr´ticas a las definiciones y a los axiomas y postulados llevaron a varios autores ıa proponer otras formas alternativas de introducir la geometr´a. Hasta el siglo XIX ılos planteamientos que se hac´an no se alejaban muchos de lo que hab´a propuesto ı ıveinte siglos antes Euclides. En ese siglo comenz´ a vislumbrarse una nueva base oaxiom´ tica de la geometr´a, m´ s acorde con las exigencias del rigor matem´ tico. El a ı a asistema m´ s difundido y aceptado fue el que propuso Hilbert en su obra Grundlagen ader Geometrie (1899). La teor´a hilbertiana fue un avance importante en la b´ squeda ı ude unos fundamentos rigurosos de la geometr´a. Pero, como ahora se sabe, por ese ıcamino no se pueden superar los l´mites impuestos por el teorema de G¨ del. ı o Pese a esas cr´ticas a la axiom´ tica los Elementos, no deja de ser admirable ı aque 2200 a˜ os antes de que Hilbert publicara su propuesta, Euclides planteara una naxiomatizaci´ n tan completa de la geometr´a. Adem´ s, aunque no tengan suficiente o ı arigor y profundidad, esta propuesta de los Elementos permite desarrollar una geo-metr´a intuitiva, m´ s f´ cil de “ver” que la de Hilbert. Por eso sus ense˜ anzas no ı a a nhan desaparecido del todo. Una buena parte de lo que expone Euclides en su obrase sigue explicando en los manuales de geometr´a que se utilizan en la ense˜ anza ı nb´ sica. a
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 61Las proposicionesEn la primera proposici´ n se indica c´ mo se puede construir un tri´ ngulo equil´ tero. o o a aCon este problema se demuestra que los tri´ ngulos equil´ teros existen, pero, sobre a atodo, se halla una construcci´ n necesaria para probar la proposici´ n segunda, que o omuestra como se trasladan los segmentos. Para a˜ adir, quitar o comparar segmentos nse necesita colocarlos juntos, por lo que esta segunda proposici´ n resulta fundamen- otal para el desarrollo posterior del libro. En estas dos proposiciones se suele criticar que en la construcci´ n se suponga oque existen puntos de corte entre rectas y circunferencias, sin haber postulado lacontinuidad de la recta. Esa cr´tica es v´ lida, pero lo que m´ s sorprendente es que ı a aEuclides considere necesario explicar c´ mo se mueve un segmento. Podr´a haber o ıpostulado que los movimientos isom´ tricos existen, o considerar que los desplaza- emientos se pueden deducir de la noci´ n com´ n 4. Pero prefiere demostrar que las o uisometr´as se pueden deducir de su teor´a sin nuevas hip´ tesis. ı ı o En la proposici´ n siguiente se explica c´ mo se quita un segmento de otro y en o olas 4, 7, 8 y 26 se estudian los diversos casos de igualdad de tri´ ngulos. a La proposici´ n 5 es la primera que tiene una demostraci´ n larga y era conocida o oen las universidades de la Edad Media por el “Pons asinorum”, o el puente de losasnos. El nombre le viene de la forma de su dibujo y de que a los malos alumnos lescostaba pasar de esta proposici´ n, como a los asnos les cuesta cruzar un puente. En oesa proposici´ n y en la siguiente se demuestra que en un tri´ ngulo a lados iguales o ales corresponden angulos iguales, y viceversa. Algo m´ s adelante se prueba que ´ aa mayor angulo le corresponde mayor lado. En la proposici´ n 15 se demuestra la ´ oigualdad de los angulos opuestos por el v´ rtice y, en las posteriores, hasta la 22, ´ ediversas propiedades de los angulos y los lados de un tri´ ngulo. En la 23 se explica ´ acomo se pueden trasladar los angulos. Tambi´ n hay varias proposiciones dedicadas ´ ea mostrar como se traza la bisectriz de un angulo, la I.9, la mediatriz de un segmento, ´la I.10, o una perpendicular a una recta, las I.11 y I. 12. Las proposiciones que van de la 27 a 33, junto con la 17, el quinto postulado y ladefinici´ n de dos rectas paralelas, completan el n´ cleo de la teor´a de las paralelas o u ıen Los Elementos. Desde la Antig¨ edad hasta los trabajos de Gauss, Boylai y uLobachewski, muchos opinaban que el quinto postulado se pod´a demostrar y que ıno era correcto plantearlo como una petici´ n. Esa idea se apoyaba en la redacci´ n o odel postulado de las paralelas y en que Euclides no emplea ese postulado hasta laproposici´ n 29, que es la rec´proca de la 27: o ı
    • 62 Los elementos de Euclides “27. Si un segmento corta a dos rectas haciendo los angulos alternos iguales ´entonces las rectas son paralelas. 29. Una recta que corta a dos rectas paralelas hace los angulos alternos iguales, ´los angulos exteriores iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los angulos ´ ´interiores por el mismo lado iguales a dos rectos.” Es normal que al analizar este libro se piense que la proposici´ n 29 debe poderse odemostrar sin utilizar el quinto postulado, pues Euclides demuestra su rec´proca, ıla I.27, sin mencionarlo. Si eso pudiera hacerse el 5o postulado ser´a un corolario ıinmediato de la proposici´ n I. 29. Muchos matem´ ticos propusieron demostraciones o aa este postulado de las paralelas, algunas nada malas. Ahora se sabe que eso no esposible y que se pueden aceptar otros postulados en lugar de este para desarrollarotras geometr´as no eucl´deas. Antes eso no se sab´a, pero tambi´ n se hicieron ı ı ı ecr´ticas acertadas a esas “demostraciones” del 5o postulado. En general, se mostr´ ı oque detr´ s de las mejores pruebas se escond´a la aceptaci´ n de alguna otra forma de a ı oesa propiedad. Algunos ejemplos de esos postulados alternativos que se propusieronson: La distancia entre dos rectas paralelas ni se expande ni se contrae. Una l´nea equidistante de una l´nea recta es una recta. ı ı En un cuadril´ tero si tres de sus angulos son rectos lo es tambi´ n el cuarto. a ´ e Todos los angulos de un cuadril´ tero equil´ tero y equi´ ngulo son rectos. ´ a a a Por un punto que no est´ en una recta pasa una paralela a ella. e Por tres puntos no colineales pasa una unica circunferencia. ´ La suma de los angulos de un tri´ ngulo vale dos rectos. ´ aEste tema es muy interesante, pero supera ampliamente lo que se puede incluir enuna introducci´ n a los Elementos como esta3 . o Para algunos autores toda esa discusi´ n se produjo porque Euclides no utiliz´ o oel quinto postulado en la demostraci´ n de la proposici´ n I. 17 como deber´a haber o o ıhecho: 3 Quien est´ interesado en las hip´tesis que hicieron y en las discusiones que tuvieron e olugar pueden consultar R. Bonola, La Geometria Non-Euclidea [1906, Bologna]. Existe unatraducci´n espa˜ola. o n
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 63 “17. En cualquier tri´ ngulo, la suma de cualesquiera dos angulos es menor que a ´dos rectos”. Dado que este teorema no se cumple en general para los tri´ ngulos esf´ ricos a eprobablemente sea cierto. Pero como en otros casos lo m´ s sorprendente no es que aEuclides hace 2300 a˜ os cometiera ese fallo, sino que tuviera el acierto de incluir nel 5o postulado entre las peticiones. Las proposiciones siguientes tratan del area ´de los paralelogramos y de los tri´ ngulos. En ellas se discute cuando tienen dos aparalelogramos igual area y se demuestra que la diagonal de un paralelogramo lo ´divide en dos tri´ ngulos iguales. A continuaci´ n se estudian varios casos de igualdad a oentre las areas de dos tri´ ngulos. La proposici´ n 41 dice que el area del tri´ ngulo es ´ a o ´ ala mitad de la del paralelogramo que tiene la misma base y altura. Las proposiciones44, 45 y 46 tratan de la forma de dibujar rect´ ngulos o cuadrados que tengan un area a ´dada y cumplan alguna otra condici´ n, por ejemplo que dos lados formen un angulo o ´conocido. Las dos proposiciones que quedan, I.47 y I.48, son el llamado teorema dePit´ goras y su rec´proco. a ıLibro SegundoEl libro segundo comienza con las definiciones de rect´ ngulo y de “gnomon”, que aes una especie de L obtenida al quitarle a un rect´ ngulo otro semejante m´ s peque˜ o a a nen un v´ rtice. Las once proposiciones iniciales tratan de relacionar el area de unos e ´cuadrados o rect´ ngulos que tienen por lados unos segmentos dados con la superficie ade otros cuadril´ teros que tienen por lados sumas o restas de dichos segmentos. Las aproposiciones 12 y 13 equivalen a la propiedad de los lados de un tri´ ngulo que aahora se conoce por el “teorema del coseno”. En la proposici´ n ultima se explica la o ´manera de hallar un cuadrado cuya area sea igual a la de una figura rectil´nea dada. ´ ı Las once primeras proposiciones de este libro se podr´an considerar propieda- ıdes algebraicas, si en lugar de segmentos en el se hablara de cantidades. Con esa ´orientaci´ n las proposiciones de este libro se podr´an indicar como: o ı II.1 a(b + c + d) = ab + ac + ad II.2 (a + b)a + (a + b)b = (a + b)2 II.3 (a + b)a = ab + a2 II.4 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
    • 64 Los elementos de Euclides II.5 ab + a+b 2 a+b 2 2 −b = 2 II.6 (2a + b)b + a2 = (a + b)2 II.7 (a + b)2 + a2 = 2(a + b)a + b2 II.8 4(a + b)a + b2 = [(a + b) + a]2 II.9 a2 + b2 = 2 a+b 2 a+b 2 2 + 2 −b II.10 (2a + b)2 + b2 = 2[a2 + (a + b)2 ] II.11 Problema a(a − x) = x2 II.12 y 13 Teorema del coseno de trigonometr´a ı II.14 Problema x2 = ab Pero Euclides presenta todas estas proposiciones como cuestiones geom´ tricas. ePor ejemplo, el enunciado de la proposici´ n 9 es: o “9 Si se corta una l´nea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los ısegmentos desiguales de la (recta) entera son el doble del cuadrado de la mitad m´ s ael cuadrado de la (recta situada) entre los puntos de secci´ n.” [Puertas, 1991, v. 1, op. 279]No s´ lo los enunciados, las demostraciones tambi´ n son puramente geom´ tricas. o e eLibro TerceroEn el libro tercero se estudia la circunferencia, junto con sus arcos cuerdas, tan-gentes, segmentos y sectores, y tambi´ n los angulos que se pueden definir sobre e ´ella. Contiene once definiciones en las que se explica en que consisten esos objetosmatem´ ticos. De esas definiciones la unica extra˜ a es la de angulo de un segmento: a ´ n ´ “7. Un angulo de un segmento es el comprendido por una recta y una circunfe- ´rencia de un c´rculo” [Puertas, 1991, v. I, p. 292] ı Este angulo tiene un lado recto y el otro curvo, es por lo tanto mixtil´neo. ´ ı En las cuatro primeras proposiciones se estudia como se halla el centro de unacircunferencia, y se demuestra que todas las cuerdas son interiores a la circunferencia.Tambi´ n se prueba que un di´ metro la corta en dos partes iguales y que los di´ metros e a aperpendiculares a una cuerda la bisecan.
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 65 Las proposiciones 5 y 6 afirman que los c´rculos secantes o tangentes no pueden ıser conc´ ntricos. A continuaci´ n se discute de la m´ xima y de la m´nima distancia e o a ıque puede haber entre un punto interior o exterior a una circunferencia y dicha circun-ferencia. Las proposiciones siguientes, hasta la 13 se refieren a propiedades de losc´rculos tangentes y secantes. Luego se hallan varias relaciones entre cuerdas de una ımisma circunferencia, para proseguir estudiando las tangentes. En la proposici´ n o17, por ejemplo, se explica como se construye una tangente, demostrando con elloque esas rectas existen. Se examinan tambi´ n los angulos inscritos en un c´rculo. En e ´ ılas proposiciones 23, 24 y 25 se indican algunas relaciones entre cuerdas y arcos yse explica como se dibuja la circunferencia que tiene un arco dado. En las siguientesproposiciones se comparan las cuerdas y los segmentos de dos c´rculos diferentes. ıEn la 30 se explica c´ mo hacer la bisecci´ n de un arco y en las ultimas proposiciones o o ´se estudia la potencia de un punto respecto a una circunferencia. Como Euclides acepta los angulos mixtil´neos, se ve obligado a considerar ´ ıangulos que son m´ s peque˜ os que cualquier angulo agudo, sin ser cero, o mayores´ a n ´a cualquier angulo agudo, sin llegar a ser rectos. As´ en la proposici´ n 16 se afirma: ´ ı o “Si en la extremidad de un di´ metro se levanta una perpendicular, tocar´ esta all´ a a ıel c´rculo, quedando toda fuera de el; y entre ella, y la circunferencia otra cualquiera ı ´recta que se tirare, prolongada, entrar´ en el c´rculo; el angulo de medio circulo, a ı ´es mayor que cualquier angulo rectil´neo, y el restante menos.” Este “´ ngulo de ´ ı aun semic´rculo” y el angulo mixto entre la tangente y el arco, llamado “´ ngulo de ı ´ acontingencia” o “´ ngulo en cuerno”, s´ lo los utiliza Euclides en esta proposici´ n. Su a o oempleo caus´ pol´ micas desde la antig¨ edad. Proclo los aceptaba como verdaderos o e uangulos, pero parece que no todo el mundo en Grecia lo hac´a. Los matem´ ticos de la´ ı aAntig¨ edad se dieron cuenta que es dif´cil considerar esos angulos como magnitudes u ı ´porque no se pueden ordenar, bisecar, o medir con facilidad. En el Renacimiento seenfrentaron dos posturas claras. Una, encabezada por Pelletier, dec´a que no eran ıangulos. La otra, dirigida por el jesuita Clavius, pretend´a que s´ lo eran, aunque no´ ı ılo fueran de la misma manera que los rectil´neos. Pelletier afirmaba que no se puede ıdecir que una tangente tiene una inclinaci´ n con la curva que toca, porque para tener oun angulo debe haber un corte. Clavius dec´a que los angulos de contacto se pueden ´ ı ´dividir o superponer, aunque aceptaba que carec´an de la propiedad arquimedeana. ıLa discusi´ n acab´ a finales del siglo XVII cuando Wallis explic´ que lo que variaba o o oen los razonamientos de Clavius no era la magnitud del angulo mixto sino la curvatura ´en el punto de contacto del lado curvil´neo. ı
    • 66 Los elementos de EuclidesLibro IVEste libro comienza con siete definiciones sobre figuras inscritas y circunscritas enun c´rculo. Las proposiciones que tiene son diecis´ is. En la primera se explica como ı einscribir un segmento en un c´rculo. Desde la segunda hasta la quinta se expone ıla manera de inscribir y circunscribir tri´ ngulos en c´rculos y viceversa. Desde la a ısexta hasta la novena se estudia lo mismo, pero con cuadrados. En la proposici´ n od´ cima se explica como se construye un tri´ ngulo is´ sceles inscrito en un c´rculo e a o ıen el que los dos angulos iguales valgan el doble del desigual. Este tri´ ngulo se ´ anecesita para inscribir y circunscribir pent´ gonos en c´rculos y viceversa, cuesti´ n a a ı ola que se dedican las proposiciones 11, 12, 13 y 14. En la proposici´ n 15 se trata de ola forma de inscribir un hex´ gono en un c´rculo y en la ultima proposici´ n se indica a ı ´ ola forma de inscribir un pentadec´ gono regular en un c´rculo. a ı Este libro es m´ s sencillo que los anteriores. En el Euclides describe como a ´se pueden construir pol´gonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados. Aunque no lo ımencione, a partir de esos pol´gonos son f´ ciles de dibujar los de 8, 10, 12, o 16 ı a ´lados, ya que bastar´a con trazar las bisectrices de los angulos centrales de las figuras ı ´halladas. Faltan los pol´gonos regulares de 7, 9, 11, 13, 17, 19 etc. lados y los que se ıobtendr´an por bisecci´ n del angulo central a partir de ellos. Euclides nada dice de ı o ´esas figuras, pero ahora se sabe que esos pol´gonos no se pueden construir con regla ıy comp´ s. S´ lo hay una excepci´ n que encontr´ Gauss en 1796. Este matem´ tico a o o o ademostr´ que unicamente se pueden construir con regla y comp´ s los pol´gonos de o ´ a ıun n´ mero n impar de lados cuando los factores primos de n son n´ meros primos u ude Fermat diferentes. Es decir primos de la forma4 Fk = 22 + 1. En consecuencia kEuclides indica en este libro la forma de dibujar con regla y comp´ s todos los apol´gonos regulares de 15 o menos lados para los que eso es posible. No explica la ıforma de trazar el pol´gono de 17 lados, (24 + 1), que Gauss demostr´ que se pod´a ı o ıdibujar tambi´ n con regla y comp´ s, pero no parece un fallo grave. e aLibro VEn el libro V se introduce la proporcionalidad entre segmentos, cuesti´ n necesaria opara poder definir figuras semejantes. En los libros anteriores s´ lo se discute sobre ofiguras iguales mayores o menores. A partir de este libro se puede estudiar lasemejanza. Las definiciones son 18. De ellas las m´ s interesantes son la cuarta y la quinta. a 4 Como el 3 = 21 + 1, el 5 = 22 + 1 o el 257 = 28 + 1
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 67En la cuarta se indican las condiciones que deben cumplirse para que se pueda definiruna raz´ n entre dos magnitudes: o “4. Se dice que guardan raz´ n entre s´ dos magnitudes que al multiplicarse, o ıpueden exceder una a otra” [Puertas, 1994, v. II, p. 10]. Es decir, se pide que las magnitudes que se comparen sean del mismo tipo y seexcluyen las cantidades infinitas o infinitesimales. Pero no se exige que tengan unaunidad de medida com´ n por lo que pueden ser magnitudes inconmensurables. O usea se aceptan las fracciones irracionales. La definici´ n m´ s importante es la quinta, en la que se precisa la igualdad entre o aestas razones: “5. Se dice que una primera magnitud guarda la misma raz´ n con una segunda oque una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equim´ ltiplos de la primera/ y ula tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, quecualesquiera equim´ ltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente y tomados en uel orden correspondiente” [Puertas, 1994, v. II, p. 11/12]. La menci´ n a “cualesquiera equim´ ltiplos” hace que esta definici´ n sea equi- o u ovalente a las que determinan una fracci´ n real como el l´mite de sucesiones con- o ıvergentes de fracciones racionales. Pero el inconveniente de este enunciado es queresulta dif´cil de aplicar en la pr´ ctica. Por eso en muchas versiones antiguas de ı alos Elementos, aunque incluyen esta definici´ n, en las proposiciones del libro V se olimitan a probar las propiedades enunciadas para fracciones racionales. La definici´ n de desigualdad entre razones tiene una redacci´ n parecida a la de o oigualdad. Tambi´ n se define en este libro lo que es antecedente y consecuente y ese dan distintos nombres a las igualdades entre razones que se obtienen a partir deuna dada cambiando antecedentes, o consecuentes. Seg´ n la forma de hacerlo a esa uoperaci´ n se le llama alternancia, inversi´ n, composici´ n, separaci´ n, o conversi´ n. o o o o o Las proposiciones del libro V son 24 y generalizan las propiedades de las frac-ciones num´ ricas, que se estudian en el libro VII, a cualquier tipo de razones. Las eseis primeras tratan de razones en las que antecedente y consecuente tienen unaunidad de medida com´ n, por lo que las demostraciones son sencillas. u En las proposiciones siguientes, desde la s´ ptima hasta la d´ cima se estudia e ecomo var´a la relaci´ n de igualdad y desigualdad entre dos razones cuando tienen ı olos antecedentes o consecuentes iguales. En la verificaci´ n de estas proposiciones, o
    • 68 Los elementos de Euclidesque ya no se limitan al caso de magnitudes conmensurables, se necesita utilizar ladefinici´ n quinta, por lo que sus demostraciones resultan m´ s complicadas. Las o aproposiciones 11 y 13 demuestran la transitividad de la igualdad y de la desigual-dad de razones. En las 12 y 15 se relacionan varias razones con la suma de susantecedentes y de sus consecuentes o con sus m´ ltiplos. En la proposici´ n 14 se u odemuestra que si los consecuentes son iguales a mayor antecedente le correspondemayor raz´ n. o En las proposiciones que van desde la 16 hasta la 19 se demuestra que si dosrazones son iguales las que se obtienen a partir de ellas “separando”, “alternando”,“invirtiendo” o “componiendo” tambi´ n lo son. Las proposiciones de la 20 a la 23 etratan de la comparaci´ n de dos series de magnitudes. o Tanto en los enunciados como en las demostraciones se trabaja con magnitudesy equim´ ltiplos, nunca se mencionan n´ meros o fracciones. Los dibujos son siem- u upre segmentos, aunque las propiedades sean v´ lidas para todo tipo de magnitudes a(segmentos, areas o vol´ menes). ´ uLibro VIEn el libro VI se estudia la proporcionalidad entre segmentos y la semejanza entrefiguras planas. Contiene tres definiciones en las que se expone lo que son figurassemejantes, lo que es la altura en una figura y lo que se entiende por dividir unsegmento en media y extrema raz´ n, es decir por divisi´ n aurea. o o ´ Las primeras proposiciones tratan de la proporcionalidad en tri´ ngulos. La aprimera dice que dos tri´ ngulos que tienen la misma altura “son entre s´ como sus a ıbases”, es decir que su area es proporcional a la longitud de la base. La segunda ´afirma que trazando una paralela a la base de un tri´ ngulo los segmentos que se adeterminan en los lados son proporcionales. Esta propiedad se suele dar ahoraen la ense˜ anza elemental como consecuencia del “Teorema de Thales”. En las nproposiciones siguientes, desde la cuarta hasta la s´ ptima se estudian los diversos ecasos de semejanza de tri´ ngulos. En la octava se demuestra que en un tri´ ngulo a arect´ ngulo se cumplen los teoremas de la altura y del cateto. a A continuaci´ n se trata de la divisi´ n de una l´nea en partes proporcionales, o o ıexplic´ ndose como se obtiene la tercera proporcional de dos segmentos y la cuarta aproporcional de tres segmentos. Finalmente, en la proposici´ n 13 se indica la forma ode encontrar la media proporcional de dos segmentos. A estas proposiciones se lespuede encontrar una interpretaci´ n algebraica sencilla. Hallar el cuarto proporcional, o
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 69por ejemplo, es hacer una regla de tres y la media proporcional es equivalente acalcular la ra´z cuadrada, ya que si x = x se cumple que x2 = ab es decir que ı a √ bx = a.b. Pero en esta proposici´ n, como en las dem´ s, el procedimiento propuesto para o ahallar la media proporcional, utilizando una semicircunferencia auxiliar, es pura-mente geom´ trico. e La proposici´ n 16 equivale a la conocida propiedad de las fracciones num´ ricas o eque dice que si a = d se verifica que a.d = b.c. Pero de nuevo el planteamiento es cgeom´ trico. Su enunciado es: e b “16 Si cuatro l´neas son proporcionales, el rect´ ngulo hecho de las extremas ser´ ı a aigual al de las medianas; y si el de estas es igual al de las extremas, las cuatro l´neas ıser´ n proporcionales.” aLas proposiciones siguientes, desde la 18 hasta la 23 tratan de la construcci´ n y las opropiedades de las figuras semejantes. La 19 por ejemplo dice que: “19 Los tri´ ngulos semejantes guardan entre s´ la raz´ n duplicada de sus lados a ı ocorrespondientes.” [Puertas, 1994, v. II, p. 83]. En la proposici´ n 25 se estudia la construcci´ n de una figura igual en area a una o o ´dada y semejante en su forma a otra conocida. En las proposiciones 27, 28 y 29 se mencionan propiedades de unos paralelo-gramos construidos sobre un segmento dado, a los que se les a˜ ade o se les quita notro paralelogramo semejante a uno conocido. Los enunciados resultan bastanteenrevesados y su utilidad no es evidente. Pero si se plantean como problemas alge-braicos, se observa que los segmentos pedidos en las proposiciones 28 y 29 son lassoluciones de ecuaciones del tipo: ax − bx2 = c y ax + bx2 = c. Estas proposiciones junto con la VI.13, la II.14 y las I.43, I.44 y I.45 permitenresolver “geom´ tricamente” las ecuaciones de 2o grado. e En la proposici´ n 30 se explica como “dividir una recta finita dada en media y oextrema raz´ n”, es decir c´ mo hallar la raz´ n aurea. o o o ´ La proposici´ n 31 es una generalizaci´ n del teorema de Pit´ goras en la que se o o adibujan sobre los lados paralelogramos semejantes.
    • 70 Los elementos de EuclidesLibro VIILos libros VII, VIII y IX de los Elementos est´ n dedicados a la aritm´ tica. En el a eprimero de ellos se encuentran las 22 definiciones que Euclides propone en estamateria. En dichas definiciones se introducen los conceptos de unidad y n´ mero. uSe explica cuando un n´ mero es parte (divisor) o partes (no divisor) de otro. Se udefinen los n´ meros pares e impares, junto con otros n´ meros, como los parmente u upar, imparmente par, o imparmente impar, que ahora est´ n en desuso. Tambi´ n a ese informa de lo que son los n´ meros primos y compuestos. Se expone lo que ues multiplicar un n´ mero por otro y, partiendo de la idea de producto, se definen ulos n´ meros planos, cuadrados, s´ lidos y cubos. Se terminan con la definici´ n de u o on´ mero perfecto, que “es el que es igual a sus propias partes ”. u 5Es interesante la diferencia que se observa entre la definici´ n de unidad y n´ mero: o u 1. Una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay esllamada una. 2. Un numero es una pluralidad compuesta de unidades. Esta diferenciaci´ n era habitual en la Grecia cl´ sica. Para los pitag´ ricos la o a ounidad era la frontera entre los n´ meros y las partes y para Arist´ teles era una u ocantidad indivisible. En general para los griegos el uno era diferente a los dem´ san´ meros. u Euclides no incluy´ postulados ni axiomas en este libro. Sin embargo, hubiera osido normal incluir algunas peticiones espec´ficas de la aritm´ tica, como por ejemplo: ı e La sucesi´ n de n´ meros comienza en uno pero se puede aumentar indefinida- o umente. Si A divide a B y B divide a C, A divide a C. En cuanto a las proposiciones, desde la 1 hasta la 3 se explica la manera de hallarel m´ ximo com´ n divisor de dos o m´ s n´ meros. El m´ todo que se propone en la a u a u eproposici´ n 2 es el que todav´a se llama “de Euclides”. o ı Las siguientes proposiciones hasta la 19 exponen propiedades de la proporcio-nalidad num´ rica y son bastante parecidas a las que se incluyen en el libro V para elas razones de segmentos. Por ejemplo la 19 dice que 5 Por ejemplo es perfecto el 6, al que dividen el 1, el 2 y el 3, adem´s del mismo 6, y aresulta que 1+2+3=6.
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 71 “19. Si cuatro n´ meros son proporcionales el producto del primero y el cuarto user´ igual al del segundo y el tercero; y si el producto del primero y el cuarto es igual aal producto del segundo y el tercero, los cuatro n´ meros ser´ n proporcionales.” u a En las proposiciones siguientes se estudian los n´ meros primos y compuestos. uEsta serie de proposiciones acaban con la 32 que dice que “Todo n´ mero o es primo uo es medido por alg´ n n´ mero primo”. En las ultimas proposiciones se determina u u ´la forma de hallar el m´nimo com´ n m´ ltiplo de varios n´ meros, terminando con: ı u u u “Proposici´ n 39 Hallar un n´ mero que sea el menor que tenga unas partes dadas” o u[Puertas, 1994, v. II, p. 162].Libro VIIIEste libro contiene 27 proposiciones que tratan mayoritariamente de n´ meros en u“proporci´ n continua”, es decir de cantidades en progresi´ n geom´ trica. En las o o eprimeras proposiciones se estudian las progresiones que tiene de t´ rmino general un en´ mero de la forma an bm y cuya raz´ n es igual a a . En las proposiciones 8, 9 y 10 se u oindica la forma de interpolar entre dos n´ meros dados varios medios en progresi´ n u o bgeom´ trica. En la siguiente se demuestra que entre dos n´ meros cuadrados s´ lo e u ose puede hallar un medio proporcional y que la raz´ n entre cuadrados es duplicada oa la que hay entre los lados. La proposici´ n 12 es similar pero est´ referida a o alos cubos. A continuaci´ n, hasta la proposici´ n 23, se indican propiedades de o oprogresiones en las que los n´ meros son planos, cuadrados, s´ lidos o cubos. En las u oultimas proposiciones del libro se explica que cuando la raz´ n entre dos n´ meros es´ o uigual a la raz´ n entre dos cuadrados si uno es cuadrado el otro tambi´ n debe serlo. o eFinalmente, se demuestra la misma propiedad con cubos y con n´ meros planos. uLibro IXEn este libro se comienza estudiando los n´ meros planos y s´ lidos, y las propiedades u oque tienen sus productos. Por ejemplo, la proposici´ n 4 afirma que si un n´ mero o ucubo se multiplica por otro cubo el producto ser´ tambi´ n un cubo. A partir de a ela proposici´ n octava se estudian progresiones geom´ tricas que comienzan en la o eunidad, demostr´ ndose en la decimocuarta que la descomposici´ n de un n´ mero en a o ufactores primos es unica: ´ “14. Si un n´ mero es el menor medido por n´ meros primos no ser´ medido por u u aning´ n otro n´ mero primo fuera de los que le med´an desde el principio.” u u ı
    • 72 Los elementos de Euclides En las proposiciones siguientes se discurre sobre cuando se puede encontrar eltercero o el cuarto proporcional entre unos n´ meros. La proposici´ n 20 dice que u o“hay m´ s n´ meros primos que cualquier cantidad propuesta de n´ meros primos”. a u uLa manera de probarlo que propone Euclides es la misma que aparece todav´a enılos libros de aritm´ tica. e Desde la proposici´ n 21 hasta la 34 se discute sobre la suma, resta, multiplicaci´ n o oo divisi´ n de n´ meros pares o impares, sobre sus mitades y sus dobles. En la o uproposici´ n 35 se indica la forma de hallar la suma de los t´ rminos de una progresi´ n o e ogeom´ trica: e “35 Si tantos n´ meros como se quiera son continuamente proporcionales, y se uquitan del segundo y del ultimo n´ meros iguales al primero, entonces el exceso del ´ usegundo es al primero, as´ el exceso del ultimo ser´ n a todos los anteriores.” ı ´ a Pese a que la forma de expresarlo no es la que actualmente se utiliza el resultadoes el correcto. La proposici´ n afirma que a2a1 1 = aSn−11 , es decir que Sn−1 = an−a1 , o −a n −a a2 −a1expresi´ n que poni´ ndola en funci´ n de la raz´ n es Sn−1 = a1r−1 . o e o o r n −1 La proposici´ n 36 es famosa porque en ella se explica como se pueden obtener olos n´ meros perfectos: u “Si tantos n´ meros como se quiera a partir de una unidad se disponen en pro- uporci´ n duplicada hasta que su suma total sea un n´ mero primo y este total se o umultiplica por el ultimo el producto ser´ un n´ mero perfecto.” ´ a u En todos estos libros aritm´ ticos los n´ meros se representan como segmentos, e uaunque se discuta sobre n´ meros planos, cuadrados o cubos. En la redacci´ n original u ono se inclu´an ejemplos con n´ meros, pero en muchas versiones se explican los ı uresultados con unos valores num´ ricos. El m´ todo utilizado por Euclides en sus e edemostraciones sigue teniendo el rigor de la parte dedicada a la geometr´a plana. ıPero la aritm´ tica en los Elementos no tiene una estructura axiom´ tica como la e ageometr´a. Adem´ s no tuvo la misma utilidad para las matem´ ticas aplicadas que ı a ala parte dedicada a la geometr´a. No es extra˜ o, por lo tanto, que estos libros se ı ntradujeran menos a las lenguas vern´ culas o que en el Renacimiento se publicaran en aEuropa muchos libros de aritm´ tica que no segu´an el desarrollo de los Elementos. e ıEsos manuales eran obras m´ s pr´ cticas, en las que se daba importancia a temas a acomo la escritura simb´ lica de los n´ meros, las operaciones o las aplicaciones de la o uregla de tres al comercio que no aparecen en el texto de Euclides. Se cree que se escribieron tambi´ n algunos textos de Elementos de Aritm´ tica en e e
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 73Grecia, pero desgraciadamente se han perdido. Probablemente tampoco inclu´an una ıparte pr´ ctica, porque las matem´ ticas aplicadas en Grecia se consideraban propias a ade mercaderes y no de matem´ ticos, es decir de fil´ sofos amantes de la sabidur´a. a o ıLibro XEn el libro d´ cimo se estudian las magnitudes inconmensurables entre s´. Comienza e ıcon cuatro definiciones en las que se explica lo que son los segmentos conmensu-rables e inconmensurables, es decir racionales e irracionales. Tambi´ n se definen ecantidades “conmensurables en cuadrado” que son las que si se elevan al cuadradotienen una medida com´ n.u Con 115 proposiciones este es el m´ s extenso de todos los libros de los Elementos. ´ aPero la mayor parte de sus proposiciones no tienen actualmente mayor inter´ s. Hoy een d´a se conocen procedimientos mejores que los desarrollados en este libro para ıtrabajar con n´ meros irracionales. La proposici´ n m´ s interesante es la primera que u o aafirma: “1. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitudmayor que su mitad y de lo que queda otra magnitud mayor que su mitad y serepite continuamente este proceso, quedar´ una magnitud menor que la menor de alas magnitudes dadas.” Junto a la definici´ n V.4, esta proposici´ n indica que las magnitudes que estudia o oEuclides tienen una estructura arquimedeana. Adem´ s esta propiedad se necesita aen el libro XII para demostrar las proposiciones sobre areas y vol´ menes. ´ u En la proposici´ n segunda se dice que dos cantidades son inconmensurables si al otratar de hallar su m´ ximo com´ n divisor, por el proceso que se ha descrito en el libro a uVII, el algoritmo no tiene fin. Las proposiciones siguientes, hasta la 17 tratan depropiedades generales de magnitudes conmensurables e inconmensurables. Desdela proposici´ n 17 hasta la 21 se estudian las relaciones que hay entre la conmen- osurabilidad de los lados y la de los cuadrados o rect´ ngulos dibujados sobre ellos. aEn la proposici´ n 21 se comienza el estudio de distintos tipos de irracionales con ola introducci´ n del segmento llamado “medial”, que es la media proporcional entre odos segmentos conmensurables en cuadrado. Es decir, un medial es un irracional √ √de la forma aa b o a 4 b, con a y b fracciones num´ ricas. Las proposiciones ´ esiguientes hasta la 35 relacionan los mediales con l´neas o rect´ ngulos y estudian ı acuando son conmensurables en potencia. De la proposici´ n 36 en adelante se estu- o
    • 74 Los elementos de Euclides √ √dian cantidades irracionales del tipo a + b, donde a y b son conmensurables.Se llegan a definir hasta doce categor´as diferentes de irracionales de esta clase, ıllamados binomiales. Las proposiciones sobre binomial van desde la 36 hasta la72 y a esas cantidades se les dedica tambi´ n seis definiciones, que est´ n colocadas e adetr´ s de la proposici´ n 47. a o √ √ Las expresiones similares, pero con una resta dentro de la ra´z, ı a − b, seles llama ap´ tomas y a ellas se dedican las proposiciones que van desde la 73 hasta o110. Tambi´ n hay seis definiciones sobre ap´ tomas que se encuentran detr´ s de la e o aproposici´ n 84. o La utilidad del estudio de estas propiedades y de estos n´ meros irracionales no ues evidente. Se cree que deb´an servir para la resoluci´ n de ecuaciones de segundo ı ogrado o de ecuaciones bicuadradas, por m´ todos geom´ tricos. Pero la unica vez e e ´que se utilizan en los Elementos es en el libro XIII para encontrar los lados delos poliedros regulares inscritos o circunscritos en una esfera. Las ap´ tomas, por oejemplo, se utilizan en la proposici´ n XIII.17. o Este libro resulta dif´cil de estudiar. Por su complejidad y por la falta de apli- ıcaciones claras el matem´ tico e ingeniero flamenco Simon Stevin (1548-1620) dijo ade el que : “La difficult´ du dixiesme Livre d’Euclide est a plusieurs devenue en ´ e `horreur, voire jusque a l’appeler la croix des math´ maticiens, mati` re trop dure a ` e e `digerer, et en la quelle n’aper¸ oivent aucune utilit´ ”. Desde entonces a este libro se c ele llama “la cruz de los matem´ ticos”. aLibro XILos tres libros restantes, XI, XII y XIII, de los Elementos est´ n dedicados a la ageometr´a del espacio. Sus definiciones van agrupadas al comienzo del libro XI. ıSon 28 en total y en ellas se precisan objetos y relaciones habituales de la geometr´a ıdel espacio, como rectas y planos; paralelismo y perpendicularidad; angulos diedros ´y poliedros; pir´ mide, prisma, esfera, cono, cilindro, cubo, octaedro, icosaedro y adodecaedro. Es interesante observar que en esta parte no le importa al autor utilizar elmovimiento en las definiciones. Por ejemplo de la esfera dice que: “14. Cuando el di´ metro de un semic´rculo permanece fijo y el semic´rculo gira a ı ıhasta volver a la posici´ n de la que empez´ a girar, la figura formada es una esfera” o o
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 75[Vera, 1970, v. I, p. 919] Es posible que estas definiciones est´ n tomadas de alg´ n libro anterior y que e uEuclides no las corrigiera con tanto rigor como las del primer libro. Eso podr´a ıexplicar tambi´ n que se defina una divisi´ n de los conos en rectos, obtus´ ngulos y e o aacut´ ngulos, que luego no se usa. a En las primeras proposiciones se demuestra que una recta no puede tener seg-mentos en dos planos paralelos y que dos rectas que se cortan determinan un plano.En la tercera se afirma que dos planos que se cortan definen una recta. A continuaci´ n ovan varias proposiciones dedicadas a estudiar el paralelismo y la perpendicularidadentre rectas, entre rectas y planos, y entre planos. Desde la proposici´ n 20 hasta ola 26 se estudian los angulos s´ lidos y desde la proposici´ n 27 hasta la ultima los ´ o o ´paralelep´pedos y los prismas. La proposici´ n 34, por ejemplo, afirma que si dos ı oparalelep´pedos son iguales, es decir tienen el mismo volumen, sus bases son inver- ısamente proporcionales a sus alturas. De estas ultimas proposiciones varias sirven ´para preparar los lemas que aparecen en el Libro XII.Libro XIIEl Libro XII est´ dedicado a la obtenci´ n del area del c´rculo y los vol´ menes de a o ´ ı ulos s´ lidos m´ s corrientes. Las proposiciones 1 y 2 sirven para demostrar que los o ac´rculos son proporcionales al cuadrado de sus di´ metros. En las 3, 4 y 5 se demuestra ı aque las pir´ mides de igual altura y base triangular tiene el volumen proporcional aa sus bases. En las proposiciones que van desde la 6 hasta la 9 se relacionan losvol´ menes de los prismas y de las pir´ mides. La proposici´ n 10 muestra que el u a ovolumen de un cono es un tercio del de un cilindro que tiene la misma base y altura.En las proposiciones siguientes, hasta la 16, se estudia la relaci´ n entre el volumen oy las bases o las alturas en los conos y en los cilindros. En la proposici´ n 18 se da oel volumen de una esfera: “18. Las esferas son entre s´ como las razones triplicadas de sus di´ metros” ı a[Vera, 1970, v. I, p. 958]. Como se puede ver la forma de introducir las areas y los vol´ menes en Los ´ uElementos es diferente a la que se usa actualmente. No se indica una f´ rmula para oel volumen, como V = 3 πR , sino que se determina la proporcionalidad entre las 4 3magnitudes que intervienen. La dificultad principal de este libro est´ en las demostraciones. Actualmente a
    • 76 Los elementos de Euclideslas areas y los vol´ menes se hallan por medio de integrales. Pero eso supone saber ´ utrabajar con m´ todos infinitesimales. En la antigua Grecia no se ten´a una definici´ n e ı origurosa de l´mite y las demostraciones que empleaban infinit´ simos no se aceptaban ı epor basarse en conceptos imprecisos. Se conoc´a, sin embargo, un procedimiento ıque permit´a demostrar con rigor el volumen o el area de una figura curvil´nea si ı ´ ıse sab´a de antemano el resultado. A ese m´ todo, que es un caso particular del de ı ereducci´ n al absurdo, se le llama “m´ todo de exhausci´ n”. o e o Supongamos, por ejemplo, que se quiera demostrar que el area de un c´rculo ´ ıes proporcional a su di´ metro al cuadrado, proposici´ n XII.2. Se sabe por la a oproposici´ n anterior que las areas de los pol´gonos regulares inscritos en un c´rculo o ´ ı ıcumplen esa propiedad. Para demostrar que esa proporcionalidad la cumplentambi´ n las esferas se supone que no es cierto, es decir se da por bueno que: e d2 areaP ´ areaC ´ = = [1] d 2 areaP ´ Sdonde S = area de C . En primer lugar se considera que S es menor que el area ´ ´del c´rculo C . Se observa que si se inscriben en un c´rculo primero cuadrados, ı ıluego oct´ gonos, y se contin´ a duplicando el n´ mero de lados de los pol´gonos, o u u ıel area comprendida entre el pol´gono y el c´rculo se va reduciendo en m´ s de la ´ ı ı amitad en cada paso. Por la proposici´ n X.1, se sabe que continuando el proceso oesa diferencia puede ser menor a cualquier cantidad dada y en particular menor quearea de C − S. Supongamos que eso comience a suceder para el pol´gono Pi . Eso´ ıimplicar´a que para ese pol´gono area de Pi > S. Pero si en la igualdad de razones ı ı ´[1] el denominador de la segunda fracci´ n es mayor que el de la tercera el numerador otambi´ n lo debe ser para que las fracciones sean iguales. Por lo tanto area de Pi > e ´area de C. El pol´gono inscrito tiene un area mayor a la del c´rculo en el que se´ ı ´ ıinscribe, lo que es absurdo. Luego S no puede ser menor. Con un razonamientoparecido se demuestra que S no puede ser mayor que el area de C , y se concluye ´que las areas de los c´rculos deben ser proporcionales a sus di´ metros al cuadrado ´ ı apues cualquier otra posibilidad es absurda. Las demostraciones por el m´ todo de exhausci´ n son siempre largas. Adem´ s, e o aes necesario conocer con antelaci´ n la dependencia buscada. Pero, utilizando ese oprocedimiento en las proposiciones 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 16, 17 y 18, Euclides logrademostrar con rigor el area del c´rculo y el volumen de pir´ mides, conos, cilindros ´ ı ay esferas.
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 77Libro XIIIEl objetivo del libro XIII es la construcci´ n de los cinco s´ lidos regulares. Consta o ode 18 proposiciones. Se comienza con seis proposiciones que estudian cuestionessobre l´neas cortadas en media y extrema raz´ n. En la s´ ptima se examinan los ı o epent´ gonos equiangulares. En la proposici´ n octava se afirma que las diagonales a ode un pent´ gono se cortan en la raz´ n aurea. Desde la proposici´ n novena hasta a o ´ oa la duod´ cima se halla la raz´ n entre los lados de los pent´ gonos, hex´ gonos y e o a adec´ gonos regulares inscritos en una misma circunferencia y tambi´ n la raz´ n entre a e oel di´ metro de esa circunferencia y dichos lados. a Los problemas planos que se resuelven en estas primeras proposiciones sirven debase a las construcciones posteriores. Finalmente, en la proposici´ n 13 se muestra ocomo inscribir un tetraedro en una esfera, en la siguiente un octaedro, en la 15 uncubo, en la 16 un icosaedro, y en la 17 un dodecaedro. La ultima proposici´ n est´ ´ o adedicada a comparar entre s´ los lados de las cinco figuras regulares y en ella se ıdemuestra que no hay m´ s s´ lidos regulares que esos cinco. a o Algunos autores han afirmado que Euclides era partidario de la filosof´a de ıPlat´ n y que escribi´ Elementos para ense˜ ar como se construyen los cinco s´ lidos o o n oplat´ nicos. Es posible que estuviera influido por esa escuela filos´ fica, pero no o oes justo decir que los Elementos se redactaron para hallar esos cuerpos regulares.La mayor parte de las materias que se tratan en esta obra nada tienen que ver conesos s´ lidos. Por los temas que se estudian y por la forma en que se analizan los oElementos son un tratado de matem´ ticas, que toca muchas materias fundamentales ade geometr´a y de aritm´ tica, con una precisi´ n y una claridad inesperadas en una ı e oobra escrita hace 2300 a˜ os. Este ultimo cap´tulo no parece tener un peso especial n ´ ıen el conjunto de la obra.4.3 Transmisi´ n, tutor´a y origen de los elementos o ıLos Elementos son un texto valioso de geometr´a, pero lo que hace que sea una obra ıadmirable es la antig¨ edad que tiene. Por eso es conveniente explicar por qu´ se u epuede estar seguro de que el texto que ahora se atribuye a Euclides coincide con loque un matem´ tico del siglo III a. de C. escribi´ . a o Desgraciadamente los libros en la epoca de Euclides se sol´an escribir en unas ´ ıl´ minas obtenidas a partir de las hojas de los papiros. Esa materia aguanta bien aen climas calurosos y secos, pero en climas fr´os o h´ medos se descompone con ı u
    • 78 Los elementos de Euclidesrapidez. Por eso se puede asegurar que los Elementos fueron copiados y recopiadosfrecuentemente hasta que en el siglo II de nuestra era se comenz´ a escribir en opergamino que es una materia m´ s duradera. La copia completa m´ s antigua que se a aconserva de esta obra fue escrita en el a˜ o 888. Hay algunos fragmentos anteriores, nincluso un trozo de cer´ mica del a˜ o 225 a. d C. que contiene algunos textos que a npueden ser de los Elementos. Si se ha podido llegar a conocer qu´ partes son originales y cuales fueron incor- eporadas en la Antig¨ edad en esos manuscritos es porque han sobrevivido bastantes uversiones de or´genes diferentes y, compar´ ndolas, se pueden descubrir los a˜ adidos. ı a nLa mayor parte de los ejemplares antiguos que se conservan son copias de una versi´ n ode los Elementos que realiz´ Te´ n de Alejandr´a (s. IV). Este matem´ tico reconoce o o ı aen otros escritos que su versi´ n de los Elementos contiene explicaciones y cambios oa˜ adidos por el. Desde comienzos del siglo XIX se sabe que un manuscrito que se n ´encuentra en la biblioteca del Vaticano no tiene esos cambios y es m´ s fiel al texto ade Euclides que las de origen “teonino”, aunque esa copia fue escrita en el siglo X.Su texto est´ completo y ha ejercido una gran influencia en las ultimas ediciones de a ´los Elementos. Se conservan tambi´ n otras versiones de los Elementos que proceden de las etraducciones al arabe que se hicieron en los siglos IX y X. Partiendo de estos textos ´arabes se ha podido saber algo sobre los cambios que introdujeron en sus copias de´los Elementos otros sabios griegos, como Heron. Pero, las versiones traducidas alarabe no son fieles porque algunas incorporan cambios importantes para hacerlas´m´ s pedag´ gicas y sencillas y otras, m´ s que traducciones, son comentarios de los a o aElementos. Desde la aparici´ n de la imprenta es m´ s f´ cil seguir la transmisi´ n de los o a a oElementos. La primera edici´ n impresa la public´ E. Ratdolt en Venecia en 1482. No o oes muy exacta porque procede de la versi´ n latina medieval de Campano. El mejor otexto impreso fue durante varios siglos el del humanista italiano F. Commandinode Urbino que fue publicado en 1572. Actualmente la versi´ n mejor considerada oes la que se encuentra en la recopilaci´ n Euclidis Opera Omnia (1883-1916) de J. oL. Heiberg y H. Menge. En esa obra se comparan las versiones antiguas que hanllegado hasta nosotros y se tienen en cuenta los fragmentos de papiros antiguos paradar una versi´ n cr´tica en la que se discuten las variaciones que aparecen en los o ıtextos antiguos y se explica por qu´ se aceptan o rechazan. e De todo lo anterior se puede concluir que se puede estar razonablemente seguro
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 79de que la versi´ n que se considera conforme con el texto original es muy parecida a ola obra que escribi´ Euclides. Sobre el autor, Euclides, se sabe menos que sobre los oElementos. La informaci´ n que se tiene sobre su vida coincide, a grandes rasgos, ocon lo que el fil´ sofo neoplat´ nico Proclo de Licia (s. V a. D.) dice sobre el en su o o ´libro Comentarios a los Elementos de Euclides: “En la composici´ n de sus Elementos, Euclides coordin´ muchos trabajos de o oEudoxio, perfeccion´ los de Teeteto y demostr´ irrefutablemente los que sus prede- o ocesores hab´an presentado de una manera difusa. ı Vivi´ bajo Ptolomeo I porque Arqu´medes, posterior a este, lo menciona. Se o ıdice que Ptolomeo le pregunt´ un d´a si no habr´a un camino m´ s corto que el de la o ı ı aEnse˜ anza de los Elementos para aprender Geometr´a, y le respondi´ “En Geometr´a n ı o ıno hay ning´ n camino especial para los reyes.” Euclides es, por tanto, m´ s moderno u aque los disc´pulos de Plat´ n y m´ s antiguo que Arqu´medes y Erat´ stenes, pues ı o a ı oque estos ultimos fueron contempor´ neos, como dice Erat´ stenes en alguna parte ´ a oy era partidario de la filosof´a de Plat´ n, por lo cual expuso como resultado de su ı oEnse˜ anza de los Elementos la construcci´ n de las figuras plat´ nicas.” n o o La an´ cdota no parece fiable. Al parecer Estobaeo cuenta una historia similar con eMenecmo y Alejandro el Grande como protagonistas. Tampoco parece muy segurala pertenencia de Euclides a la escuela plat´ nica (Proclo s´ que era un ferviente o ıpartidario de Plat´ n). Sin embargo, el resto de la informaci´ n parece plausible y o ocoincide con los datos que se pueden deducir de los escritos de otros autores de laAntig¨ edad y de la comparaci´ n de la obra de Euclides con la de otros matem´ ticos, u o acomo Apolonio, Arqu´medes o Autolico, y con la de fil´ sofos como Arist´ teles. ı o o Faltar´a por discutir si ese texto lo escribi´ Euclides o si se trata de una recopi- ı olaci´ n de obras anteriores. Se sabe que en esa epoca otros matem´ ticos griegos, o ´ acomo Hip´ crates de Qu´os, Leon o Teudio de Magnesia escribieron otros libros so- o ıbre los Elementos de la geometr´a. Parece evidente que el texto de Euclides era mejor ıque el de esos tratados pues ha continuado siendo reproducido hasta nuestros d´as, ımientras que los escritos de esos otros autores han desaparecido. Pero, tambi´ n seecree que la mayor´a de los resultados que se presentan en los Elementos se conoc´an ı ıcon anterioridad, aunque la forma de presentarlos sea de Euclides. Se considera quelos or´genes de los distintos libros son los siguientes: ı Los libros I, III y VI se cree que son el resultado de una elaboraci´ n hecha por oEuclides partiendo del contenido de tratados de geometr´a anteriores. ı
    • 80 Los elementos de Euclides Los libros II, VII, VIII y IX se piensa que provienen de las doctrinas de lospitag´ ricos. o El libro IV tiene su origen en la escuela pitag´ rica, pero est´ completado con o aalgunos descubrimientos de Teeteto y de otros matem´ ticos. a En cuanto al libro V se piensa que esa forma de definir la igualdad de razones entremagnitudes la propuso Eudoxo, pero que Euclides, partiendo de dicha definici´ n, oide´ el resto del libro. o El libro X se cree que proviene de los escritos de Teeteto. Al libro XI no se le suele dar un origen preciso. En el se nota influencia de Plat´ n ´ oy Arist´ teles, pero la mayor parte debe ser una reelaboraci´ n de unos Elementos de o ogeometr´a anteriores. ı En el libro XII el m´ todo de exhausci´ n, que resulta fundamental en su desarrollo, e ose considera que fue descubierto por Eudoxo. Del libro XIII se dice que proviene de Teeteto y que fue mejorado por Aristeo. Adem´ s en el texto hay muchas cuestiones que se cree que fueron descubiertas apor Euclides. Los comentaristas antiguos le atribuyen el famoso 5o postulado, lademostraci´ n del teorema de Pit´ goras que aparece en los Elementos y la general- o aizaci´ n de ese teorema que aparece en la proposici´ n VI.31, entre otras partes. o oBibliograf´a ıComo se ha comentado el texto m´s ajustado de los Elementos se encuentra en J.L. aHeiberg y H. Menge, 18831916, Euclidis Opera Omnia, 8 vol. y suplementos, Ed.Teubner Leipzig.Una versi´n en griego antiguo se puede consultar en la web en el proyecto Perseus: ohttp://www.perseus.tufts.edu/cgi−bin/ptext?lookup=Euc.+1Una edici´n asequible completa y exacta en ingl´s es la de T. L. Heath, 1908, o eThe thirteen books of Euclid’s Elements translated from the text of Heiberg withintroduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, 3 vol., Cambridge UniversityPress. Hay una segunda edici´n en la misma editorial de 1925, que ha sido reimpresa ovarias veces por Dover Publications a partir de 1956.Los comentarios cr´ ıticos de esta versi´n de Heath son tan importantes como el texto omismo. No se limita a cuestiones de l´gica o de ling¨´ o uıstica. Hay tambi´n muchas e
    • Un Paseo por la Geometr´ 2002/2003 ıa 81observaciones muy pertinentes sobre aspectos matem´ticos. aEn la web se puede consultar esta versi´n de Heath en la direcci´n: o ohttp://aleph0.clarku.edu/ djoyce/elements/elements.htmlEl texto est´ algo simplificado para hacerlo m´s comprensible. El responsable de a aesta edici´n es D. E. Joyce, de la Universidad de Clark. Tiene tambi´n comentarios, o eaunque son menos completos que los de Heath, y abundantes figuras.Hay una traducci´n al catal´n de esta versi´n de Joyce, sin comentarios ni dibujos, o a orealizada por J. Domenech Larraz, que se puede consultar en:http://www.xtec.es/ jdomen28/indexeuclides.htmEn castellano la mejor edici´n es la de Ma . L. Puertas Casta˜os, Elementos Li- o nbros I-IV (1991), Elementos Libros V- IX (1994), Elementos Libros X-XII (1996).Ed. Gredos. Colecci´n Biblioteca Cl´sica. Madrid. Es una traducci´n cuidada o a ode la versi´n griega de Heiberg. Incorpora algunos comentarios de Heath sobre as- opectos matem´ticos, pero no llega a tener la riqueza de esa versi´n inglesa. En la a ointroducci´n de L. Vega se profundiza en aspectos l´gicos e hist´ricos. o o oUna versi´n menos precisa en cuestiones ling¨´ o uısticas es la de F. Vera “Euclides:Elementos de Geometr´ En: Cient´ ıa” ıficos griegos 1970, v. I, p.702-980. Este autorsimplifica las demostraciones en los ultimos libros y en general prefiere que la tra- ´ducci´n sea comprensible a que sea fiel. Las notas al pie de p´gina sobre aspectos o amatem´ticos son adecuadas, pero demasiado escasas. aUna edici´n antigua bastante correcta, pero s´lo de los seis primeros libros es la de R. o oZamorano, 1576, Los Seis Libros Primeros de la Geometria de Euclides. Traduzidosen l´gua Espa˜ola por Rodrigo Camorano Astrologo y Mathematico, y Cathedratico e n ¸de Cosmographia por su Magestad en la casa de la Contrataci´ de Sevilla Dirigidos oal jlustre se˜or Luciano de Negr´, Canonigo dela Sancta yglesia de Sevilla. Con n olicencia del Consejo Real. En Sevilla en casa de Alonso de la Barrera 1576. ımil a cargo de J. Ma SanzHa sido publicada de nuevo en 1999, en una reedici´n facs´ oHermida, por la Universidad de Salamanca.En franc´s se puede consultar la versi´n de Vitrac, publicada por P.U.F., Paris e o1990. Tambi´n se tiene la versi´n cl´sica de Peyrard Les Oeuvres d’Euclide (1819) e o aque ha sido reeditada por ed. Blanchard en 1966. Esta edici´n fue la primera que ose hizo tratando de recuperar el texto original de Euclides. No se han utilizado esasversiones en este estudio. S´ se ha consultado otra edici´n, que es uno de los mejores ı oejemplos de las versiones pedag´gicas del Renacimiento y del Barroco: oD. Henrion, 1632, Les quinze livres des El´ments G´ometriques d’Euclide Traduits e e
    • 82 Los elementos de Euclidesen Fran¸ois par D. Henrion Professeur es Mathematiques, imprimez, reueus & cor- crigez du vivant de l’Autheur: avec commentaires beaucoup plus amples & faciles &des figures en plus grand nombre qu’en toutes les impressions precendentes Plus leLivre des Donnez du mesme Euclide aussi traduict en Fran¸ois par ledit Henrion, c& imprim´ de son vivant A Paris, De l’impremerie d’Isaac Dedin Et se vendent en el’Isle du Palais, a l’Image S.Michel, par la veufue dudit Henrion. M.DC.XXXII. `Este libro se puede consultar en la p´gina web de la Biblioth`que Nationale de Paris: a ehttp://gallica.bnf.fr/Sobre la relaci´n entre los Elementos y los fundamentos de las matem´ticas se puede o aconsultar la conferencia de L. J. Hern´ndez Paricio, 2000, “Sobre los principios fun- adamentales de la Geometr´ ıa”, lecci´n inaugural del curso 2000-2001 de la Universi- odad de la Rioja en la direcci´n ohttp://www.unirioja.es/Prensa/Noticias/l1.html/Sobre la historia del 5o postulado se puede ampliar en R. Bonola, 1923, Geometr´ ıasno Euclidianas. Exposici´n Hist´rico-Cr´ o o ıtica de su Desarrollo, Ed. Calpe, colecci´n oBiblioteca de ideas. Como esta edici´n no es f´cil de encontrar, se puede acudir a o ala versi´n italiana que se encuentra en: ohttp://historical.library.cornell.edu/math/math B.htmlTambi´n se puede saber m´s sobre Euclides y su obra consultando los art´ e a ıculos deI. Bulmer-Thomas, 1971, “Euclid. life and works” y John Murdoch, 1971, “Euclid:Transmission of the Elements” en Dictionary of Scientific Biography (1971, NewYork, v. 4, p. 414-437 y 437-459), o de A. Dou, 1986, “Euclides” en: Historia de laMatem´tica hasta el siglo XVII. Ed. Real Academia de Ciencias Exactas, F´ a ısicas yNaturales. Madrid