Historia de la geometria no euclidiana
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Historia de la geometria no euclidiana

on

  • 5,390 views

 

Statistics

Views

Total Views
5,390
Views on SlideShare
5,387
Embed Views
3

Actions

Likes
1
Downloads
70
Comments
0

2 Embeds 3

http://plasticaabalar.blogspot.com 2
http://www.plasticaabalar.blogspot.com 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Historia de la geometria no euclidiana Historia de la geometria no euclidiana Document Transcript

  • Historia de la geometría no-euclidiana Página 1 de 5Fecha original : 1996-02-01Traducción Astroseti : 2006-11-15 ARTICULOSTraductor : Covadonga Escandón MartínezHistoria de la geometría no-euclidianaHacia el 300 a.C. Euclides escribió Los Elementos, un libro que se convertiría enuno de los más famosos jamás escritos. Euclides hizo cinco postulados sobrelos cuales basó todos sus teoremas. 1. Se puede trazar una línea recta desde un punto hasta otro cualquiera. 2. Se puede prolongar una línea recta finita continuamente. 3. Se puede describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son iguales. 5. Si una línea recta cruza otras dos líneas rectas forma ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, entonces, si se continúan esas dos rectas indefinidamente, se cortan del lado en el que hay ángulos menores que los dos ángulos rectos.Es claro que el quinto postulado es diferente de los otros cuatro. No satisfacía aEuclides, quien trató de evitar su uso tanto como pudo - de hecho, las primeras28 proposiciones de Los elementos se demuestran sin emplearlo. Otrocomentario que vale la pena hacer en este punto es que Euclides, y muchosotros que le siguieron, supuso que las líneas rectas eran infinitas.Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los elementos en el cualcomenta sobre intentos de deducir el quinto postulado de los otros cuatro; hacenotar en particular que Tolomeo había producido una prueba falsa. Procloprosigue dando una prueba falsa propia. Sin embargo sí dio el siguientepostulado, el cual es equivalente al quinto. El Axioma de Playfair: Dados una línea y un punto que no esté en ella, es posible dibujar exactamente una línea a través del punto y que sea paralela a la línea.Aunque es conocido desde la época de Proclo, éste se conoce como Axioma dePlayfair después de que John Playfair escribiera un famos comentario sobreEuclides en 1795 en el cual propone reemplazar el quinto postulado de Euclidespor este axioma.Muchos intentos se hicieron para demostrar el quinto postulado a partir de losotros cuatro; muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largosperiodos de tiempo hasta que se encontraba el error. Invariablemente el errorconsistía en suponer alguna propiedad obvia la cual resultaba ser el quintopostulado. Una de estas pruebas fue dada por Wallis en 1663 cuando pensóque había deducido el quinto postulado pero en realidad había demostrado queera su equivalente:http://www.astroseti.org/imprime.php?num=4150 10/04/2007
  • Historia de la geometría no-euclidiana Página 2 de 5 Para cada triángulo existe un triángulo similar de magnitud arbitrariaUna de las pruebas intentadas resultó ser más importante que la mayoría delas otras. Fue la producida en 1697 por Girolamo Saccheri. La importancia deltrabajo de Saccheri fue que suponía que el quinto postulado era falso y tratabade llegar de allí a alguna contradicción.En esta figura Saccheri demostró que los ángulossuperiores en D y C eran iguales. La prueba usapropiedades de los triángulos congruentes queEuclides demostró en las Proposiciones 4 y 8, lascuales son demostradas antes de que se use elquinto postulado. Saccheri ha demostrado: 1. Los ángulos superiores son > 90° (hipótesis del ángulo obtuso). 2. Los ángulos superiores son < 90° (hipótesis del ángulo agudo). 3. Los ángulos superiores son = 90° (hipótesis del ángulo recto). Aquí está el cuadrilátero de SaccheriEl quinto postulado de Euclides es c). Saccheridemostró que la hipótesis del ángulo obtuso implicaba al quinto postulado,obteniendo así una contradicción. Saccheri entonces estudió la hipótesis delángulo agudo y derivó muchos teoremas de la geometría no-euclidiana sindarse cuenta de lo que hacía. Sin embargo, finalmente probó que la hipótesisdel ángulo agudo llevaba a una contradicción al suponer que hay un punto alinfinito el cual está sobre el plano.En 1766 Lambert siguió una línea similar a la de Saccheri. No obstante, nocayó en la trampa en la que cayó Saccheri e investigó la hipótesis del ánguloagudo sin obtener una contradicción. Lambert notó que, en esta nuevageometría, la suma de los ángulos de un triángulo se incrementaba cuando elárea del triángulo disminuía.Legendre pasó cuarenta años de su vida trabajando en el postulado de lasparalelas y esta obra aparece en el apéndice de varias ediciones de su muyexitoso libro de geometría Eléments de Géométrie. Legendre demostró que elquinto postulado de Euclides es equivalente a: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.Legendre mostró, al igual que Saccheri cien años antes, que la suma de losángulos de un triángulo no puede ser mayor que dos ángulos rectos. Esto,nuevamente como Saccheri, se basaba en el hecho de que las líneas rectaseran infinitas. Al tratar de demostrar que la suma de los ángulos no puede sermenor a 180° Legendre supuso que a través de cualquier punto en el interiorde un ángulo es siempre posible dibujar una línea que toca ambos lados delángulo. Esto resulta ser otra forma equivalente del quinto postulado, perohttp://www.astroseti.org/imprime.php?num=4150 10/04/2007
  • Historia de la geometría no-euclidiana Página 3 de 5Legendre nunca se dio cuenta de su error.La geometría elemental estaba en ese entonces envuelta en los problemas delpostulado de las paralelas. dAlembert, en 1767, la llamó el escándalo de lageometría elemental.La primera persona que realmente entendió el problema de las paralelas fueGauss. Empezó a trabajar sobre el quinto postulado en 1792 cuando teníaapenas 15 años de edad, intentando primero demostrar el postulado de lasparalelas a partir de los otros cuatro. Par 1813 había progresado poco yescribió: En la teoría de las paralelas no estamos hoy más avanzados que Euclides. Esta es una parte vergonzosa de las matemáticas...Sin embargo para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postuladoera independiente de los otros cuatro postulados. Empezó a deducir lasconsecuencias de una geometría en la que más de una línea puede dibujarseque pase por un punto dado y que sean paralelas a una recta dada. Tal vez lomás sorprendente de todo es que Gauss nunca publicó este trabajo sino que lomantuvo en secreto. En esa época el pensamiento estaba dominado por Kant,quien afirmó que la geometría euclidiana es la inevitable necesidad depensamiento y a Gauss le disgustaba la controversia.Gauss discutió la teoría de las paralelas con su amigo, el matemático FarkasBolyai quien hizo varias demostraciones falsas del postulado de las paralelas.Farkas Bolyai le enseñó matemáticas a su hijo, János Bolyai pero, a pesar dehaber pedido a su hijo que no perdiera una sola hora en ese problema delquinto postulado, János Bolyai sí trabajó en el problema.En 1823 Bolyai escribió a su padre diciendo que he descubierto cosas tanmaravillosas que estoy asombrado ... de la nada he creado un extraño nuevomundo. Sin embargo le llevó a Bolyai otros dos años escribirlo todo y publicó suextraño nuevo mundo como un apéndice de 24 páginas en el libro de su padre,aunque solamente para confundir a generaciones posteriores, el apéndice fuepublicado antes que el libro mismo.Gauss, después de leer las 24 páginas, describió a János Bolyai en estaspalabras al escribirle a un amigo: Veo a este joven geómetra Bolyai como ungenio de primer orden. Sin embargo en cierto sentido Bolyai solamente supusoque la nueva geometría era posible. Después siguió las consecuencias demanera no muy diferente a la de aquellos que habían elegido suponer que elquinto postulado era falso y buscaban una contradicción. No obstante a ello, elverdadero avance fue la creencia de que la nueva geometría era posible. Gauss,a pesar de lo impresionado por Bolyai que sonaba en la cita anterior, más bienlo devastó al decirle que él mismo (Gauss) había descubierto todo estoanteriormente pero no lo había publicado. Aunque esto debe sin duda sercierto, no le quita nada al increíble avance de Bolyai.Tampoco queda disminuido el trabajo de Bolyai porque Lobachevsky publicarahttp://www.astroseti.org/imprime.php?num=4150 10/04/2007
  • Historia de la geometría no-euclidiana Página 4 de 5una obra sobre geometría no-euclidiana en 1829. Ni Bolyai ni Gauss sabía deltrabajo de Lobachevsky, principalmente porque fue publicada nada más en rusoen el Mensajero de Kazan, una publicación universitaria local. El intento deLobachevsky para llegar a un audiencia más amplia había fallado cuando suartículo fue rechazado por Ostrogradski.De hecho, a Lobachevsky no le fue mejor que a Bolyai para atraer elreconocimiento público de su trascendental obra. Publicó Investigacionesgeométricas sobre la teoría de las paralelas en 1840, la cual, en sus 61páginas, da la narración más clara del trabajo de Lobachevsky. La publicaciónde un recuento en francés en el Diario de Crelle en 1837 llevó su trabajo sobregeometría no-euclidiana a una gran audiencia pero la comunidad matemáticano estaba lista para aceptar ideas tan revolucionarias.En el folleto de Lobachevsky de 1840 se explica claramente cómo funciona sugeometría no-euclidiana. Todas las rectas que en un plano salen de un punto pueden con respecto a una recta dada en el mismo plano, ser divididas en dos clases -en las que cortan y las que no cortan. Las líneas frontera de cada clase de rectas se llamarán palalelas a la recta dada.Desde aquí Lobachevsky ha reemplazado el quinto postulado de Euclides por: Postulado de las paralelas de Lobachevsky. Existen dos líneas paralelas a otra dada y que pasan por un punto dado que no está en la línea dada.Lobachevsky prosiguió con el desarrollo de muchas identidades trigonométricaspara triángulos en esta geometría, demostrando que conforme el triángulo sehace más pequeño, dichas identidades tienden a las identidadestrigonométricas habituales.Riemann, quien escribió su disertación doctoral bajo la supervisión de Gauss,dio una conferencia inaugural el 10 de junio de 1854 en la cual reformuló porcompleto el concepto de geometría a la cuál el vio como un espacio consuficiente estructura adicional como para poder medir cosas como la longitud.Esta plática no fue publicada sino hasta 1868 dos años después de la muerte deRiemann, pero tendría una profunda influencia en el desarrollo de gran cantidadde geometrías distintas. Riemann brevemente discutió una geometría esféricaen la cual cada línea que pasa por un punto P que no está en una línea AB tocaa la línea AB. En esta geometría las rectas paralelas son imposibles.Es importante darnos cuenta de que ni la descripción de Bolyai ni la deLobachevsky de su nueva geometría habían sido probadas como consistentes.De hecho, no era diferente de la geometría euclidiana en este aspecto aunquelos muchos siglos de trabajo con la euclidiana eran suficientes para convencer alos matemáticos de que jamás aparecería una contradicción dentro de ella.La primera persona que puso a la geometría no-euclidiana de Bolyai -http://www.astroseti.org/imprime.php?num=4150 10/04/2007
  • Historia de la geometría no-euclidiana Página 5 de 5Lobachevsky en la misma base que la geometría euclidiana fue EugenioBeltrami (1835-1900). En 1868 escribió un artículo Ensayo sobre lainterpretación de la geometría no-euclidiana que presentaba un modelo parauna geometría no-euclidiana bidimensional dentro de la geometría euclidianatridimensional. Este modelo se obtuvo en la superficie de revolución de unatractriz alrededor de su asíntota. A esto se le llama a veces una seudo-esfera.Puedes ver la gráfica de una tractriz y cómo se ve la mitad superior de unapseudo-esfera.De hecho, el modelo de Beltrami estaba incompleto pero sin duda daba unadecisión final sobre el quinto postulado de Euclides ya que el modeloproporcionaba una base sobre la cual se sustentaban los primeros cuatropostulados de Euclides pero no así el quinto. Reducía el problema de laconsistencia de los axiomas de la geometría no-euclidiana al de la consistenciade los axiomas de la geometría euclidiana.El trabajo de Beltrami sobre un modelo de la geometría no-euclidiana deBolyai-Lobachevsky fue completado por Klein en 1871. Klein fue más allá deesto y dio modelos de otras geometrías no-euclidianas tales como la geometríaesférica de Riemann. El trabajo de Klein se basaba en la noción de distanciadefinida por Cayley en 1859 cuando propuso una definición generalizada dedistancia.Klein mostró que hay tres tipos básicos de geometría. En la del tipo de la deBolyai-Lobachevsky, las rectas tiene dos puntos infinitamente distantes. En lageometría esférica del tipo de Riemann, las rectas no tienen puntosinfinitamente distantes (o más precisamente dos imaginarios). La geometríaeuclidiana es un caso límite entre las dos en el cual para cada línea hay dospuntos infinitamente distantes que son coincidentes.Artículo de: J J OConnor y E F RobertsonMacTutor History of Mathematics ArchiveBibliografía (23 libros/artículos) (c)2002-2006 Astroseti.org Los contenidos pueden utilizarse siempre que se mencione la fuente y se enlace al artículo en nuestro servidor. Para usos comerciales es necesario solicitar autorización.http://www.astroseti.org/imprime.php?num=4150 10/04/2007