Cuerpo negro

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Cuerpo negro

  1. 1. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO Y EL EFECTO FOTOELÉCTRICO Fig. 1. Representación de la luz como una onda de radiación electromagnética. La luz recibe el nombre de radiación electromagnética debido a que podemos concebirla como un sistema compuesto por un campo eléctrico acoplado a un campo magnético, oscilantes y perpendiculares entre sí. DIcho sistema se propaga a una velocidad enorme (3 x 108 m/s), y su naturaleza ondulatoria quedó establecida a partir de los experimentos desarrollados por Thomas Young y que reportó en 1801. Más de medio siglo después, en 1864, el escocés James Clerc Maxwell formuló cuatro ecuaciones que unificaron las leyes de los fenómenos eléctricos y magnéticos y que predecían el que una carga eléctrica acelerada debía de irradiar energía en forma de una onda electromagnética; como las ecuaciones de Maxwell predecían que la velocidad para estas ondas coincidía con la experimentalmente medida para la luz, se concluyó que la propia luz debería ser también una onda electromagnética (Fig.1). Ante este panorama los físicos no se convencieron Thomas Young (1773-1829) del todo, pero en 1888 el alemán Heinrich Hertz llevó a cabo sus famosos experimentos con cargas eléctricas aceleradas en los que detectó que éstas emiten ondas de radio, reconocidas como un cierto tipo de luz, con lo cual la comunidad científica se dio por satisfecha y adoptó el modelo ondulatorio electromagnético para describir la luz. Desde siempre nos ha sido familiar que la luz es capaz de transmitir energía: un objeto caliente por ejemplo, con independencia del material del que esté constituido (metal, roca, vidrio, madera, papel, etc), emite radiación térmica, y cuando la temperatura aumenta y se hace lo suficientemente
  2. 2. elevada. la radiación emitida llega a hacerse incluso visible: el objeto se pone al rojo. Estos hechos interesaron al prusiano Gustav Kirchhoff, que en 1860 postuló y demostró un teorema sobre la absorción y emisión de energía de los cuerpos a una cierta temperatura. James Clerk Maxwell 1831-1879 Heinrich Rudolf Hertz 1857-1894 Gustav Robert Kirchhoff 1824-1887 Para comprender los argumentos teóricos de Kirchhoff, considera lo siguiente. Cada uno de los rayos que emite un cuerpo a una cierta temperatura posee una determinada longitud de onda  y un valor de energía asociado E, que denominaremos energía radiante emitida por unidad de área del objeto y por tiempo. Kirchhoff estaba interesado en encontrar una función o ecuación, a la que denominó J, a partir de la cual sería posible cuantificar la participación de cada rayo de luz E en la radiación total de un objeto a una cierta temperatura, de tal suerte que si un rayo es emitido con una gran intensidad, su valor de E sería elevado, mientras que si otro rayo participa escasamente en la radiación del objeto su valor de E será modesto. Dicha ecuación se expresaría como sigue: E= J(,T) Esto quiere decir que, si se llega a establecer J, a partir de ella será posible calcular Eintroduciendo los valores de la longitud de onda  del rayo de luz que nos interesa la temperatura T a la que se encuentra el objeto. Mientras que los teóricos se devanaban los sesos para deducir dicha fórmula, otra parte de la comunidad científica se dedicó a construir aparatos con los cuales fuera posible determinar experimentalmente los diferentes valores de Ede los rayos de luz emitidos por un cuerpo a una cierta T. Las dificultades técnicas fueron enormes, dado que un requisito indispensable en su manufactura era impedir por todos los medios que el aparato reflejase
  3. 3. cualquier tipo de luz, ya que de lo contrario la composición de la radiación que estuviese emitiendo y no sería función exclusiva de su temperatura, sino también de la que estuviese en ese momento reflejando. A ese objeto con tales características, un perfecto absorbente, se le conoció como cuerpo negro, y para que el análisis sea válido, dicho instrumento deberá encontrarse en equilibrio térmico con la radiación. Un cuerpo negro es un dispositivo que puede ser de forma aproximadamente cúbica (Fig. 2), hueco, capaz de alcanzar temperaturas muy altas y que cuenta con un orificio minúsculo por el que la radiación que se genera en el interior del aparato sale hacia un detector; éste a su vez determina la longitud de onda de los rayos que están siendo emitidos y la proporción con la que participan. Fig. 2. Equipo moderno que opera como un cuerpo negro. Volviendo con los teóricos, para 1879 el trabajo de hallar la famosa función J aun no rendía dividendos, si bien hubo un avance al respecto: en ese año el esloveno Josef Stefan anunció que el total de energía irradiada por un cuerpo a la temperatura T, JT, era proporcional a JT = T4 lo que posteriormente Ludwig Boltzmann, nacido en el Imperio Austrohúngaro, redefinió como solo válido para un cuerpo negro.  es una constante de Jožef Štefan Ludwig Edward Boltzmann (1835-1893) (1844-1906) porporcionalidad conocida como constante de StefanBoltzmann, con un valor actualmente aceptado de 5.6728 × 10-8 W/(m2K4). Para ese entonces y debido a lo poco práctica que resultó, los físicos abandonaron el trabajo sobre la función J y comenzaron a trabajar en otra, la función u, la cual describe densidad de energía irradiada que fue la que finalmente se midió en los aparatos que funcionaban como cuerpo negro. La relación entre JT y u está dada por:
  4. 4.  donde c = velocidad de la luz en el vacío = 3 x 108 m/s. El problema del cuerpo negro fue abordado más adelante por el inglés John William Strutt (1842-1919), mejor conocido como Lord Rayleigh, quien en junio de 1900 presentó la siguiente función:   La “RJ” nos indica que se trata ésta de la distribución de Rayleigh-Jeans, en honor también a James Jeans, quien tuvo el mérito de haber realizado algunas correcciones sobre esta ecuación. En ella aparece k, la constante de Boltzmann, con un valor de 1.381 × 10-23 J/K. Aparentemente, los físicos habían culminado con su tarea: finalmente se había alcanzado una expresión matemática en la que las únicas variables eran  y T. Para llegar a ella, Rayleigh postuló que todas ondas de radiación electromagnéticas eran producidas por los diferentes movimientos vibracionales (los llamaremos modos de vibración) que sufren las partículas con carga eléctrica de los átomos (las que por este hecho fueron bautizadas como osciladores). Rayleigh distribuyó la energía entre estos diferentes modos vibracionales equitativamente, de tal manera que a cada uno le correspondió un cierto valor de energía. Al final de su trabajo matemático, Rayleigh eliminó la diferencia energética entre los diferentes modos vibracionales, concediéndoles así a los osciladores la posibilidad de adoptar cualquier valor de energía E, sin restricción alguna. Esto último no debiera resultarnos extraño, y lo hizo siempre así Sir Isaac Newton. En los experimentos de caída libre, Newton estableció que es posible conocer la velocidad instantánea v que un cuerpo que se desploma debido a la acción de la gravedad a partir de la expresión v = v0 + gt. Así pues, para un objeto que parte del reposo (v0 = 0 con g = 9.81 m/s) esta expresión nos indica que en el primer segundo alcanza una velocidad instantánea de 9.81 m/s, que en el segundo 2 el objeto lleva ahora una velocidad de (9.81 × 2) m/s; que en el segundo tres transita a (9.81 × 3) m/s, que en el segundo 4 viaja a (9.81 × 4) m/s, etc. Una gráfica en la que podamos esbozar todo esto tendría la siguiente forma:
  5. 5. v(m /s) 4(9.8) 3(9.8) 2(9.8) 9.8 t (s) 1 2 3 4 La mecánica de Newton o mecánica clásica nos dice que con una gráfica como ésta podremos determinar la velocidad instantánea de un objeto en caída libre a cualquier tiempo t. Por ejemplo, si se desea conocer la velocidad de un objeto en caída libre al tiempo t = 2.7587 s, nos basta con realizar una interpolación en la gráfica para obtener el valor de velocidad del objeto. En caída libre un objeto puede alcanzar cualquier valor de velocidad Isaac Newton imaginable (siempre y cuando no nos acerquemos a la de la (1642-1727) luz), y si esto es cierto, dado que la energía cinética para un cuerpo en movimiento con masa m equivale a ½mv2, entonces cualquier partícula podría alcanzar también cualquier valor de energía. Para 1900 ya se contaba finalmente con aparatos con los que podían hacerse mediciones de gran calidad, y en ellos se puso de manifiesto que, contrario a lo que se esperaba, la distribución de Rayleigh-Jeans se desviaba completamente los resultados experimentales. En efecto, la ecuación predice que cuando se sustituyen para una cierta temperatura T valores de  pequeños en la función  , como los de la radiación UV, la proporción en la que éstos serán emitidos por un cuerpo negro deberá ser desmesuradamente grande, lo cual no coincide ni de lejos con la realidad (de hecho, a este hecho anecdótico se le conoció como la catástrofe del ultravioleta). La razón de este desastre es que  crece indefinidamente porque el factor 4 entre el cual se divide se va haciendo más pequeño conforme la gráfica avanza hacia longitudes de onda cada vez más cortas. Efectivamente, conforme se avanza hacia longitudes de onda pequeñas, la participación en la emisión de los rayos de luz en el cuerpo negro cada vez resulta mayor, pero en la realidad se alcanza un máximo (máx) y después la participación decae (Figura 3, líneas a colores correspondientes a mediciones a diferentes temperaturas; nótese lo alejado que está de estas realidades la ecuación de Rayleigh-Jeans, en negro). Un análisis matemático de los datos experimentales permite concluir que éstos obedecen a una ecuación empírica con la siguiente forma:
  6. 6. la cual dista mucho de parecerse a la de Rayleigh-Jeans. John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919) James Hopwood Jeans (1877-1946) Max Karl Ernest Ludwig Planck (1858-1947) Fig. 3. Distribución de Rayleigh-Jeans (classical theory) predicha para 5000 K. En la misma gráfica se incluyen los resultados experimentales obtenidos para la radiación de un cuerpo negro a 3000, 4000 y 5000 K. En octubre de ese mismo año de 1900, Max Planck da a conocer una distribución con notorias diferencias con respecto a la de Rayleigh-Jeans. La llamaremos  . La diferencia estriba en lo siguiente: Planck plantea, de
  7. 7. manera similar a Rayleigh, que cada modo vibracional para los osciladores tiene un valor de energía definido, esto es, 0, E, 2E, 3E. 4E, 5E, etc. [no pierdas de vista el paralelismo de estas magnitudes con (9.81) m/s, (9.81 × 2) m/s; (9.81 × 3) m/s, (9.81 × 4) m/s analizado antes para la caída de un cuerpo libre], pero a diferencia de la dupla Rayleigh-Jeans, Planck no permite que la continuidad se genere, esto es, mantiene la separación energética para cada estado. Eso quiere decir que cada estado puede vibrar con valores de energía 0, E, 2E, 3E, etc., pero no con ningún otro, lo que equivale a que construir una gráfica como la que elaboramos para caída libre en la que unimos con una línea los valores y podamos interpolar no sea válido: simplemente no existen valores intermedios para E. Al final de su tratamiento, con estos argumentos Planck obtiene:    Debido a que la ecuación de la distribución de Planck permite  reproducir los resultados experimentales, la idea sobre la cual se fundamenta, esta cuantización de la energía debe tener validez, aunque escape a la lógica. Para llegar a ella Planck asumió que la energía de cada oscilador es proporcional a su frecuencia de oscilación, esto es, que E = h . Esto deja para los osciladores a 0, h , 2h , 3h , 4h , etc., como los únicos valores de energía que pueden poseer; h es una constante de proporcionalidad la cual, con toda propiedad, fue posteriormente denominada constante de Planck (6.62 x 10-34 Js). Con este planteamiento, Planck alcanza , que es idéntica en su forma a  la ecuación empírica de los resultados experimentales, como a continuación se demostrará. Toma en cuenta que c =  ,  = c/ . Si sustituyes este valor en se llegarás a:    Si h, c y k son constantes, podemos hacer 8 h/c4 = A y h/k = B. Con ello se obtiene:  
  8. 8. Lo que Planck plantea es equivalente a decir que lo propuesto por Newton carece de validez, al menos para los osciladores. Como veremos, esta situación es general para las partículas microscópicas de las dimensiones de un electrón. Éstos no pueden poseer cualquier valor de energía, sino solamente ciertos valores permitidos (discretos) que son múltiplos de una unidad fundamental, fenómeno que se conoce como cuantización de la energía. Un objeto o partícula microscópica no sigue, por tanto, lo establecido por la Física de Newton (Física clásica). Albert Einstein hizo uso de estos argumentos para encontrar posteriormente, en 1905, una explicación plausible para el fenómeno del efecto fotoeléctrico, dejando en claro que la teoría cuántica posee validez general en el mundo microscópico. En esa explicación, la energía E se asoció a una entidad que posteriormente se conocería como fotón (Efotón), la unidad corpuscular transportadora de energía de un rayo de luz. Albert Einstein (1879-1955)

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