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# Portafolio de algebra........

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• 1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI 13 ALGEBRA PORTAFOLIO DE ALGEBRA Xiomara Sepúlveda Cayambe
• 2. PORTAFOLIO DE ALGEBRA TEORIA
• 3. Contenido EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES...................................................................... 8 Conjunto de los números reales..................................................................................... 8 Conjunto de los números naturales................................................................................ 8 Conjunto de los números enteros................................................................................... 8 Conjunto de los números racionales .............................................................................. 8 Conjunto de los números reales..................................................................................... 8 CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES....................................................... 9 PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES.................................................................... 10 LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL ............................................................... 11 Operación inversa........................................................................................................ 12 POTENCIACION Y RADICACION................................................................................... 12 POTENCIACION.......................................................................................................... 12 Propiedades de la potenciación................................................................................ 13 Potencia de potencia ................................................................................................ 13 Multiplicación de potencias de igual base................................................................. 13 División de potencias de igual base.......................................................................... 13 Propiedad distributiva................................................................................................... 14 Propiedad conmutativa................................................................................................. 14 Potencia de exponente 0.............................................................................................. 14 Potencia de exponente 1.............................................................................................. 14 Potencia de base 10 .................................................................................................... 14 RADICACIÓN.................................................................................................................. 14 OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.14 SUMA: ......................................................................................................................... 15 RESTA:........................................................................................................................ 17 MULTIPLICACIÓN: ...................................................................................................... 17 DIVISION: .................................................................................................................... 18 División entre fracciones........................................................................................... 18 División de polinomios entre monomios.................................................................... 19 División entre polinomios.......................................................................................... 19 PRODUCTOS NOTABLES.............................................................................................. 20 Cubo de una suma....................................................................................................... 22
• 5. Método de Gauss......................................................................................................... 43 Ejemplo .................................................................................................................... 43 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 44 EXPRESIÓN ALGEBRAICA......................................................................................... 44 TÉRMINO. ................................................................................................................... 44 GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. ..................................................................... 44 GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA....................................... 45 CLASES DE TÉRMINOS. ............................................................................................ 45 TÉRMINOS HOMOGÉNEOS....................................................................................... 45 TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. .................................................................................. 45 TÉRMINOS SEMEJANTES.......................................................................................... 45 10 Ejemplos de Términos Semejantes: .................................................................... 45 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA.............................................. 45 MONOMIO................................................................................................................... 45 BINOMIO. .................................................................................................................... 46 TRINOMIO................................................................................................................... 46 POLINOMIO................................................................................................................. 46 GRADO DE UN MONOMIOS .......................................................................................... 46 GRADO DE UN POLINOMIO .......................................................................................... 46 DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL................................................................................... 47 Factores....................................................................................................................... 47 Métodos para la factorización de polinomios................................................................ 47 Binomios................................................................................................................... 47 Trinomios.................................................................................................................. 47 Polinomios................................................................................................................ 47 Factorizar un monomio ............................................................................................. 48 Factorizar un polinomio ............................................................................................ 48 Caso I: Factor común ...................................................................................................... 48 Factor común. .............................................................................................................. 48 Factor común de un polinomio ..................................................................................... 49 Factor común por agrupación de términos ................................................................... 49 Trinomio cuadrado perfecto.......................................................................................... 49 Raíz cuadrada de un monomio .................................................................................... 50
• 7. OFERTA.......................................................................................................................... 69 CURVA DE LA OFERTA.............................................................................................. 70 DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA....................................................... 70 DEMANDA....................................................................................................................... 70 DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA.................................................... 71
• 8. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Conjunto de los números reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los números naturales El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2. Puede notarse que N ⊂ Z. Conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0. Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los números reales Se define como. ℜ= ∪ En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo). (Peano, 1889)
• 9. CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q* , está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p , , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales. 1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q* . En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).
• 10. PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES
• 12. Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el número real a es menor que el número real b (a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.) Operación inversa Sea A un conjunto con una operación binaria *: Por lo que cabe la ecuación: Pero si se da el caso de que: Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite elementos simétricos, se define: (S.R) POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil. Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
• 13. Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una potenciación. Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85 . En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al ocho por sí mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el número 10 Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciación Las propiedades de la potenciación son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes. Multiplicación de potencias de igual base La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
• 15. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
• 16. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2
• 17. RESTA: EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) - 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 MULTIPLICACIÓN: ¿Cómo se multiplican los polinomios? Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
• 18. (x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada término de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 DIVISION: División entre fracciones En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético. Ejemplos:
• 19. División de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: División entre polinomios. En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
• 22. Cubo de una suma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3 . Cubo de una diferencia a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3 . A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa: Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2 ) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como sub-problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros cálculos en álgebra.
• 23. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
• 24. Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1°) Se factorizan las expresiones dadas: –> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización –> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. –> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución. ___________________________________________________________ Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab Factorizando las expresiones dadas: –> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización. –> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización. Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución. _________________________________________________________ 2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: –> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) –> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <– Solución. _________________________________________________________ 3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3
• 34. Propiedad del doble negativo Para cualquier número real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente. La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del número. El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo. Operaciones con los números Reales 1. Sumar números reales Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma. La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solución: Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8)
• 35. Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar números reales Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a – b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 – 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar números reales Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos. Propiedad del cero en la multiplicación Para cualquier número a, Dividir números reales Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
• 36. Ejemplos La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno? Solución Laurita=x Pedro=2x (dos veces más que Laura) juanita=5x (cinco veces más que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones.. Ecuaciones lineales de primer grado Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo:
• 37. 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10 –35x = 182 b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
• 38. c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo:
• 39. Graficas Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
• 40. Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de igualación El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
• 41. Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación No contendría dicha incógnita. Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
• 42. Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de sustitución Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuación se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es . Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
• 43. Cuya solución es . Método de Gauss Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO! El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:
• 44. Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupación para obtener : En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera ecuación ( ), para obtener: La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en : Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
• 45. GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Términos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un término semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2 x) 3. 5xy es un término semejante con –xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
• 46. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos. POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
• 47. 9.6 ¿Cuál es el grado de: ? DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL Factores Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Métodos para la factorización de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales. Binomios  Diferencia de Cuadrados  Suma o diferencia de Cubos  Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios  Trinomio cuadrado perfecto  Trinomio de la forma x²+bx+c  Trinomio de la forma ax²+bx+c Polinomios  Factor común
• 48. Factorizar un monomio Se descompone el término en el producto de factores primos. Ejemplo: Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad. A continuación diferentes casos de descomposición factorial. Caso I: Factor común Factor común. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
• 51. Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab Trinomios de la forma x2 + px + q En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea q Regla práctica para factorizar el trinomio 1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio. 3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio. Ejemplos: Descomponer en factores: a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20 b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12 c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) Observemos que el producto: (ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db
• 52. = acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd). Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible factorizar ¿Cómo determinar estos números? a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q: m = ac y q = bd b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos: c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q Ejemplos: a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4 Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4) Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones. Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6 También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo: 2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2) Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre números enteros:
• 53. Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36. Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así: Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro. Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos m.c.m. = 23.32.5 Porque: Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos. El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha). El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32. El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay). Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
• 55. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí. Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican entre sí los polinomios que están en los denominadores. En la práctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los numeradores y los denominadores. Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda. (Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
• 56. Desarrollando por el segundo método. Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación. Formula: En la práctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. ECUACIONES CUADRATICAS Definicion Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas. Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y ,c son números reales y a es un número diferente de cero.
• 59. 0 = 0 3.Conmutativa: a + b = b + a 2 + (− 5) = (− 5) + 2 − 3 = − 3 4.Elemento neutro: a + 0 = a (−5) + 0 = − 5 5.Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 − (−5) = 5 Propiedades de la resta de números enteros Interna: a − b 10 − (−5) 2.No es Conmutativa: a - b ≠ b - a 5 − 2 ≠ 2 − 5
• 60. Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos 2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10 Propiedades de la multiplicación de números enteros 1.Interna: a · b 2 · (−5) 2.Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] 6 · (−5) = 2 · (−15) -30 = -30 3.Conmutativa:
• 61. a · b = b · a 2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10 4. Elemento neutro: a ·1 = a (−5)· 1 = (−5) 5.Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 (−2)· 8 =- 6 - 10 -16 = -16 6.Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5) Propiedades de la división de números enteros 1.No es una operación interna: (−2): 6 2.No es Conmutativo: a: b ≠ b : a 6: (−2) ≠ (−2): 6
• 62. Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades: a0 = 1 · a1 = a am · a n = am+n (−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128 am : a n = am - n (−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8 (am )n = am · n [(−2)3 ]2 = (−2)6 = 64 an · b n = (a · b) n (−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216 an : b n = (a : b) n (−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
• 68. Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0 Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0 Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x Solución: Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 Paso 2: Factorizar 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x 2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3 Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-1/2 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( - 1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2 Verificar x=3 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15 15= 15 DEPRECIACION La depreciación en línea recta es uno de los métodos de depreciación mas utilizados, principalmente por su sencillez, por la facilidad de implementación. La depreciación en línea recta supone una depreciación constante, una alícuota periódica de depreciación invariable En este método de depreciación se supone que el activo sufre un desgaste constante con el paso del tiempo, lo que no siempre se ajusta a la realidad, toda vez que hay activos que en la medida en que se desgastan, el nivel de desgaste se incrementa, es creciente. Pérdida de valor experimentada por los elementos de archivo fijo o inmovilizado de la empresa o de cualquier otra institución al prestar la función que le es propia, por el mero transcurso del tiempo o a causa del progreso tecnológico. Mientras que, en general, los bienes de archivos circulante se agotan con un solo acto de consumo, del mismo modo que los bienes de consumo
• 70. CURVA DE LA OFERTA En la curva puede verse como cuando el precio es muy bajo, ya no es rentable ofrecer ese producto o servicio es producto o servicio en el mercado, por lo tanto la cantidad ofrecida es 0. DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA Se producen modificaciones en diferentes al precio. (Incentivos a la fabricación de un determinado producto) se produce un desplazamiento de la curva en sí (y no sobre la curva). Es decir que al mismo precio habrá más o menos interesados en ofertar. (Mayor o menor cantidad ofrecida en el mercado). DEMANDA Es la cantidad de bienes o servicios que los compradores intentan adquirir en el mercado
• 71. Por medio de la ley de la demando, se determina que al subir el precio de un bien o servicio, la demanda de este disminuye (a diferencia de los cambios en otros factores que determina un corrimiento de la curva en sí). DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA Si se producen modificaciones diferentes al precio 8los habitos de consumo al ponerse de moda un producto o dejarse de utilizar debido a la aparición de otro) se produce un desplazamiento de la curva de demanda. Esto significa que a un mismo precio habrá mas o menos interesado en demandar ese bien o producto. La demanda es elástica cuando ante una variación del precio, la variación en la cantidad demandada es (en porcentaje) mayor que la del precio. Por ejemplo en los bienes de lujo suele pasar que ante un aumento de precio la cantidad demandada baja mucho más porcentualmente. La demanda es inelástica, cuando ante variaciones del precio la cantidad demanda varia (en porcentaje) menos que la del precio. Por ejemplo: en algunos alimentos básicos, por más que haya un aumento importante de su precio, la cantidad demandada no varía tanto.
• 72. APUNTES DE ALGEBRA
• 73. EVALUACIONES
• 74. EVALUACIONES SEGUNDO PARCIAL
• 75. PRIMER PARCIAL
• 76. TRABAJOS AUTONOMOS
• 77. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO DEPRECIACIÓN ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO ING. OSCAR LOMAS
• 78. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO GRAFICAS ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO ING. OSCAR LOMAS
• 79. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO Tabla de amortización AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO Ing. Oscar Lomas
• 81.  Preparación de la tabla de amortización. Para poder analizar el contenido de una tabla primero se debe tomar en consideración el modo de pago, con el cuál se va a amortizar, bien sea, mensual, trimestral o semestral. Por consiguiente, los valores de los pagos, interés sobre saldo, y la reducción en el saldo no pagado serán calculados de acuerdo al tiempo.  Los datos de la tabla son: 1. Períodos de interés (Fecha de expedición). 2. Fecha de pago. (Columna A). 3 .Pago (bien sea mensual, semestral o trimestral) (Columna B). 4. Interés sobre saldo (Columna C). 5. Reducción en el saldo no pagado o amortización (Columna D). 6. Saldo no pagado o capital insoluto (Columna E) La tasa de interés que se utilice en la tabla tiene una importancia especial; esta tasa debe coincidir con el período entre fechas de pago. Por lo tanto, si los pagos se realizaran de manera mensual (por ejemplo) la columna B de gastos por intereses deberá estar basada en la tasa de interés mensual y así sucesivamente. Lo que se puede observar en las tablas: 1-. La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses más la suma de las amortizaciones. 2-. El saldo, como ya se había visto, es igual al saldo anterior más los intereses menos el pago. Por ejemplo, el saldo (\$ 623.57) del fin del semestre 3 es igual al saldo anterior \$ (720.49) más los intereses del periodo (\$ 14.41) menos el pago (111.33) = \$ 623.57. 3-. La amortización es igual al pago menos los intereses. En cada periodo subsecuente, cada vez va siendo mayor la parte del pago que se aplica a la amortización, ya que al mismo tiempo también van disminuyendo tanto el saldo como los intereses correspondientes. 4-. Se puede ver claramente cuánto es lo que resta por pagar al final de cada periodo: el saldo. 5-. El valor del último pago en ocasiones se tiene que ajustar para que coincida exactamente al saldo de la deuda. Aunque el ajuste sea sólo en centavos, en casi todas las operaciones es necesario hacerlo debido a pequeñas diferencias ocasionadas por redondeo.
• 82. Trabajo de amortización amortizacion.xlsx “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
• 83. ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO Ing. Oscar Lomas
• 84. “Universidad Politécnica Estatal del Carchi” Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo de algebra ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe Nivel: Primero “A”
• 85. FRACCIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 117 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN............................................................................... 117 Fracción algebraica simple ..................................................................................... 117 Fracción propia e impropia ..................................................................................... 117 Fracción compuesta ............................................................................................... 117 Simplificación de Fracciones Algebraicas................................................................... 118 Suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador.......................... 118 Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador............................. 119 EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS............................................................ 119 Operaciones con fracciones algebraicas.................................................................... 119 División de fracciones algebraicas.......................................................................... 119 Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas ........................................................... 120 LINKOGRAFIA .............................................................................................................. 123
• 89. Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas 2Suma las fracciones algebraicas
• 90. 3Resta las fracciones algebraicas 4Multiplica las fracciones algebraicas
• 91. 1 2 Opera
• 92. LINKOGRAFIA PUEBLA. (2013). Obtenido de http://www.iupuebla.com/Sb/sbt912.htm SALVADOR. (2013). EPL. Obtenido de http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIV/4_4_multip.htm VITUTOR. (2013). VITUTUR. Obtenido de http://www.vitutor.net/1/38.htmlALGEBRA PORTAFOLIO DE ALGEBRA
• 93. Ecuación lineal.................................................................................................... 125 METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES ...................................... 125 Método de reducción............................................................................................. 126 Ejemplo ............................................................................................................. 126 Método de igualación ............................................................................................ 127 Ejemplo ............................................................................................................. 127 Método de sustitución ........................................................................................... 128 Ejemplo ............................................................................................................. 128 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .................................................................................... 129 EJEMPLOS .......................................................................................................... 129 Sistemas de Ecuaciones Lineales - Método Gráfico - Ejercicios Resueltos........... 132
• 94. Ecuación lineal Ecuación en la que la mayor potencia de cualquier variable es uno.La forma general de una ecuación lineal es y = mx + b, que es una línea recta en una gráfica de coordenadas Cartesianas. El parámetro m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección en y. METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES Los métodos de igualación, sustitución y reducción consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas, una ecuación con esa incógnita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema difícil en uno más fácil. A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones previas. Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incógnitas se utiliza un método (el de reducción, por ejemplo) y que, en el siguiente paso, se utiliza otro método (el de igualación, por ejemplo). Cada vez que se encuentra la solución para una incógnita, se sustituye esta incógnita por su solución para obtener así ecuaciones con menos incógnitas. Los métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados indeterminados. Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo: El método de la matriz inversa y la regla de Carme solo se pueden utilizar en el caso de que el sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado.
• 95. Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es .
• 96. Método de igualación El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación No contendría dicha incógnita. Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que
• 97. Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de sustitución Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuación se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es . Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
• 98. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones. Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales. Hay tres tipos de operaciones elementales: I. Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L. II. Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero). III. Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta. En el proceso de pasar de un sistema equivalente a otro, puede ahorrarse trabajo escribiendo solamente los coeficientes de las variables y los términos constantes, que son los únicos que cambian en el procedimiento. En el ejemplo anterior al sistema de ecuaciones original lo podemos representar por medio del siguiente arreglo: Se llama matriz asociada al sistema y cada número de la matriz se llama componente, también se llama matriz aumentada del sistema. EJEMPLOS
• 99. EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales. a. b. c. a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incógnitas respectivamente. EJEMPLO 2: Ecuaciones que no son lineales. a. b. c. d. EJEMPLO 3: La ecuación lineal tiene como solución la pareja ordenada (5, 8) ya que 3(5) – 4 (8) = – 17. EJEMPLO 4: La ecuación lineal tiene como solución la cuadruplito (2, -1, 0, 3).
• 100. Sistemas de Ecuaciones Lineales - Método Gráfico - Ejercicios Resueltos. Para aplicar el método gráfico se realizan los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una de las ecuaciones la tabla de valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. Se hallan los puntos de intercepción. Puede suceder los siguientes casos: i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución
• 101. BALDPR. (s.f.). OPENTOR. Obtenido de http://www.opentor.com/algebra-baldor/pagina-318.html HUITOTO. (2013). UDEA. EDU.CO. Obtenido de http://huitoto.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11/ejemplos11.html HUITOTO. (2013). udea.co. Obtenido de http://huitoto.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni1/seccion11.html matematicas. (2013). Obtenido de http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html
• 102. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO GRAFICAS ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO ING. OSCAR LOMAS
• 103. Universidad Politécnica Estatal Del Carchi
• 104. Facultad De Industrias Agropecuarias Y Ciencias Ambientales Escuela De Desarrollo Integral Agropecuario Modulo: ALGEBRA DOCENTE:Ing. Oscar Lomas ESTUDIANTE: Xiomara Sepúlveda
• 107. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 [x ·x = x2 ] ( x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para Factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
• 108. 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. EJEMPLO ( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ± x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4
• 109. Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
• 110. x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4 Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12 Solución: Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. x 2 + 4 x - 12 = 0 Paso 2: Factorizar x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2 Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0 Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0 Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x Solución: Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general.
• 111. 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 Paso 2: Factorizar 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x 2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3 Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-1/2 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( - 1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2 Verificar x=3 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15 15= 15
• 112. ECUACIONES CUADRÁTICAS Utilizaremos la descomposición en factores por ser un método común, pero cuando se dispone de una calculadora es preferible usar la Fórmula Cuadrática. En ambos casos es necesario tener la ecuación igualada a cero. EJEMPLO A: Resolver x 2 – 7x – 30 = 0 Solución: Al descomponer en factores resulta (x – 10)(x + 3) = 0. Ahora bien, sabemos que si a . b = 0, entonces a = 0 ó b = 0. Por lo tanto, x – 10 = 0 ó x + 3 = 0 x = 10, x = –3. Luego, el conjunto solución es {–3, 10}. Solución: Al multiplicar por el MCD (que es 6x) obtenemos: x2 – 3x = 18(x – 5). Al igualar acero, obtenemos x2 – 21x + 90 = 0. Descomponemos en factores: (x – 15)(x – 6) = 0 x = 15, x = 6. Luego, el conjunto solución es {6, 15}.
• 113. Bibliografía amschool. (2013). Obtenido de http://www.amschool.edu.sv/paes/c3.htm Murrias, M. (2013). quiz. Obtenido de tutorial cuadratica : http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/Cuad_Eq/cuadeq_home.html wordpress. (2013). Obtenido de http://edumate.files.wordpress.com/2008/12/ecuaciones-cuadraticas.pdf wordpress. (s.f.). edumate . Obtenido de http://edumate.files.wordpress.com/2008/12/ecuaciones- cuadraticas.pdf
• 114. Universidad Politécnica Estatal Del Carchi Facultad De Industrias Agropecuarias Y Ciencias Ambientales Escuela De Desarrollo Integral Agropecuario Modulo: ALGEBRA DOCENTE:Ing. Oscar Lomas ESTUDIANTE: Xiomara Sepúlveda
• 115. TABLE 1.1: x y = x2 −3 (−3)2 = 9 -2 (−2)2 = 4 -1 (−1)2 = 1 0 (0)2 = 0 1 (1)2 = 1 2 (2)2 = 4 3 (3)2 = 9 Para dibujar la parábola, trazar una curva suave a través de todos los puntos (No conectar los puntos con líneas rectas). Graﬁquemos algunos ejemplos más. Ejemplo 1 Graﬁcar las siguientes parábolas. a) y = 2x2 b) y = −x2 c) y = x2 − 2x+ 3 Solución a) y = 2x2 + 4x+ 1 Hacer una tabla de valores.
• 116. TABLE 1.2: x y = 2x2 + 4x+ 1 0 2(0)2 + 4(0) + 1 = 1 1 2(1)2 + 4(1) + 1 = 7 2 2(2)2 + 4(2) + 1 = 17 3 2(3)2 + 4(3) + 1 = 31 Nota que los últimos dos puntos tienen valores grandes en y−. No los graﬁcaremos ya que estos harían demasiado grande la escala en y−. Ahora graﬁquemos los puntos restantes y conectémoslos con una curva suave. b) y = −x2 + 3 Hacer una tabla de valores. TABLE 1.3: x y = −x2 + 3 −3 −(−3)2 + 3 = −6 -2 −(−2)2 + 3 = −1 -1 −(−1)2 + 3 = 2 0 −(0)2 + 3 = 3 1 −(1)2 + 3 = 2 2 −(2)2 + 3 = −1 3 −(3)2 + 3 = −6
• 117. Graﬁquemos los puntos y conectémoslos con una curva suave. 1.1. Gráﬁcas defunciones cuadráticas Nótese que esta es una parábola “hacia abajo”. Nuestra ecuación tiene un signo negativo enfrente del término x2 . El signo del coeﬁciente del término x2 determina si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo. Si el coeﬁciente de x2 es positivo, entonces la parábola se habre hacia arriba. Si el coeﬁciente de x2 es negativo, entonces la parábola se habre hacia abajo. c) y = x2 − 8x+ 3 Hacer una tabla de valores. TABLE 1.4: x y = x2 − 8x+ 3 −3 (−3)2 − 8(−3) + 3 = 36 -2 (−2)2 − 8(−2) + 3 = 23 -1 (−1)2 − 8(−1) + 3 = 12 0 (0)2 − 8(0) + 3 = 3 1 (1)2 − 8(1) + 3 = −4 2 (2)2 − 8(2) + 3 = −9 3 (3)2 − 8(3) + 3 = −12 No graﬁcaremos los primero dos puntos de la tabla ya que sus valores son muy grandes. Graﬁcar el resto de puntos y conectarlos con una curva suave.
• 118. Esta no parece la gráﬁca de una parábola. ¿Qué está sucediendo aquí? Si no está clara la apariencia de la gráﬁca, se deben obtener más puntos hasta obtener una curva familiar. Para valores negativos de x, los valores de y se vuelven cada vez más grandes. Usemos más valores positivos de x después de x = 3. TABLE 1.5: x y = x2 − 8x+ 3 −1 (−1)2 − 8(−1) + 3 = 12 0 (0)2 − 8(0) + 3 = 3 1 (1)2 − 8(1) + 3 = −4 0 (0)2 − 8(0) + 3 = 3 1 (1)2 − 8(1) + 3 = −4 2 (2)2 − 8(2) + 3 = −9 3 (3)2 − 8(3) + 3 = −12 4 (4)2 − 8(4) + 3 = −13 5 (5)2 − 8(5) + 3 = −12 6 (6)2 − 8(6) + 3 = −9 7 (7)2 − 8(7) + 3 = −
• 119. Ahora podemos ver la forma parabólica con la que estamos familiarizados. Graﬁcar construyendo una tabla de valores puede ser muy tedioso, especialmente en ejercicios como el de este ejemplo. En las siguientes secciones, aprenderemos algunas técnicas que simpliﬁcarán este procedimiento grandemente, pero primero necesitamos cono- cer más sobre las propiedades de las parábolas.
• 120. Bibliografía Flexbook. (2013). Ck12. Obtenido de http://www.ck12.org/saythanks