Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

  1. 1. “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN” PRESENTADOR POR: NATALIA CASTILLO MÉNDEZ XIOMAR ANDREA DITTERICH RUÍZ RICARDO ORTEGÓN MENDOZA PRESENTADO A: ING. CARLOS MONROY MATEMATICAS III CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL META INGENIERÍA AMBIENTAL MAYO 2012
  2. 2. INTRODUCCIONLas Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la Matemáticaspara la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes yrelaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones. Es interés de estetrabajo la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que sepresentan en determinados problemas de carácter físico . A esta transición del problema,al Modelo Matemático correspondiente se llama Modelado. Este método tiene una granimportancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos. Enestos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia un planteamientomatemático y su solución, y la interpretación física del resultado. Se dedicará en esteespacio la modelación de problemas que conduce a Ecuaciones Diferenciales desegundo orden y esto lo justifica desde el punto de vista teórico y práctico pues se veránmás fáciles si uno se concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera losestudiantes familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultaría más fácil losconceptos, métodos y resultados hacia las de orden superior.
  3. 3. OBJETIVOSMediante la primera y segunda ley de Hooke determinar ecuaciones diferenciales.Solucionar respectivamente los ejercicios del taller usando las formulasadecuadas de la leyes de Hooke y ecuación diferencial para hallar la función x(t).Hallar mediante la ecuación principal los valores y .
  4. 4. “APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”Aplicaciones a la física:Movimiento Armónico Simple:La Ley de Hooke:Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexiblesuspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura5.1b. Cuando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será,por supuesto, distinto.Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a ladirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F =ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto pesoproducen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmentecaracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. Alarga el resorteen 1/2 pie, entonces,10 = k (1/2) implica que k = 20 lb. /pie.Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. Alarga el mismo resorte en 2/5 pie.Segunda Ley de Newton:Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s yalcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza derestitución ks. El peso es definido por:W = m .g
  5. 5. En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geo libras (slugs) y g = 9.8mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,lacondición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza desu posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerzaneta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley delmovimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo quesobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entoncespodemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución: (1)Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuacióndiferencial de segundo orden:O bien.En donde = k/m. Se dice que la ecuación (3) describe el movimiento armónicosimple o movimiento vibratorio no amortiguado. Hay dos condiciones iniciales obviasasociadas con dicha ecuación:
  6. 6. Que representa la magnitud del desplazamiento inicial y la velocidad inicial,respectivamente. Por ejemplo si > 0 y < 0, se trata de una masa que parte de unpunto abajo de la posición de equilibrio y a la cual se ha comunicado una velocidaddirigida hacia arriba. Si < 0 y = 0, se trata de una masa en reposo que se suelta desdeun punto que está unidades arriba de la posición de equilibrio. Los demás casos sonanálogos.Solución y ecuación de movimiento:Para resolver la ecuación (3) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar Son los números complejosDe acuerdo a la ecuación auxiliar de las ecuaciones lineales homogéneas podemosconcluir la ecuación general.Formula Euler:Solución general;El periodo de las vibraciones libres descritas por la última ecuación (5) es yla frecuencia es . Por ejemplo, para x (t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t el periodo es 2 y la frecuencia es 3/2 . El primer numero indica que la grafica x(t) se repite unidades; el ultimo numero indica que hay 3 ciclos de la grafica 2 unidades; enotras palabras, la masa realiza 3/2 oscilaciones completas por unidad de tiempo.Además, se puede demostrar que el periodo es el intervalo de tiempo entre dosmáximos sucesivos de x(t). Finalmente, una vez que hemos determinado las constantesC1 y C2 en (5) C2 sen t mediante las condiciones iniciales (4), decimos que la soluciónparticular resultante es la ecuación de movimiento.
  7. 7. Ejemplo 1:Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 m. Una masa de 50 kg se sujeta al extremo delresorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida haciaarriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.Ecuación del movimiento
  8. 8. Ejemplo2:Resolver e interpretar el problema de valor inicial:Solución:Una formulación equivalente del problema es: se estira hacia abajo de un cuerpo quepende de un resorte hasta que esté 10 unidades bajo la posición de equilibrio y luego sele retiene hasta t = 0; se le suelta a continuación de manera que parta de un estado dereposo. Aplicando las condiciones iniciales a la solución:ResultaDe modo que y por lo tantoLa ultima ecuación implica que y por lo tanto la ecuación de movimiento esx(t)=10cos 4t.La solución muestra claramente que una vez que el sistema se pone en movimiento,permanece en tal estado, con la masa deslazándose alternadamente 10 unidades haciacada lado de la posición de equilibrio x = 0. El periodo de oscilación es 2 /4 = /2segundos.Ejemplo3:Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desdeun punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida haciaarriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.Solución:Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudesdadas en pulgadas deben expresarse en pies: 6plg = 6/12 = 1/2 pie, 8plg = 8/12 = 2/3 pie.Además, debemos convertir las unidades de peso en unidades de masa. M = W/gTenemos
  9. 9. Además, por la Ley de Hooke se tiene:Por consiguiente, las análogas de las ecuaciones (1) y (2) son, respectivamente,El desplazamiento y la velocidad iniciales están dados por:En donde el signo negativo que aparece en la última condición en consecuencia de que ala masa se le da una velocidad inicial con dirección negativa, esto es, dirigida hacia arriba.Ahora bien, o sea de modo que la solución general de la ecuacióndiferencial es:Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos que:YLuego Por consiguiente, la ecuación de movimiento es:Nota: desafortunadamente, es usual que no haga una distinción entre peso y masa. Así,a menudo se habla del movimiento de una masa sujeta a un resorte y también, delmovimiento de un peso sujeto a una resorte.Forma alternativa de x(t)
  10. 10. Cuando y , la amplitud real A de las oscilaciones libres no se obtiene enforma inmediata de la ecuación (5). Por ejemplo, aunque la masa del Ejemplo 2 esinicialmente desplazada 2/3 pie fuera de la posición de equilibrio, la amplitud de lasoscilaciones es un número mayor que 2/3. Por lo tanto, a menudo conviene transformaruna solución de la forma (5) a una forma más simpleEn dondeY en donde es un ángulo de fase definido porPara verificar esto, desarrollamos (8) mediante la formula del seno de una suma deangulos:Se define como:Entonces (10) se transforma en
  11. 11. CONCLUSIONESTeniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puededeterminar valores como constantes, fuerzas, peso y así remplazarlas en lasecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar y para darle unasolución principal a la ecuación diferencial.Sabiendo los valores respectivos con los cuales podemos hallar la ecuacióndiferencial podemos darle solución a siendo el valor final que nos piden encada ejercicio determinado por la ecuación principal.

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