Analisis combinatorio
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Analisis combinatorio Presentation Transcript

  • 1. En muchas situaciones de la vida ordinaria y en las Matemáticas en particular, se nos presenta confrecuenciaEl problema de agrupar elementos de un cierto conjunto siguiendo un determinado criterio. La parte de lasMatemáticas que se ocupa de este recibe el nombre genérico de Combinatoria o Análisis combinatorio. Sien cada colección formada, los elementos aparecen una sola vez, estamos en la Combinatoria simple, entanto que si en las agrupaciones de objetos, uno o varios de ellos aparecen mas de una vez, estamos en laCombinatoria con repetición. Tanto en una como en otra se distinguen tres tipos: variaciones,permutacionesy combinaciones. Dado un conjunto A con m elementos, se llama variación simple de orden n, a todoagrupamiento de A con “n” elementos. Diremos que dos de ellas son distintas cuando tengan algúnelemento diferente o cuando, teniendo los mismos elementos , el orden de colocación sea distinto.Formula: Vm;n = m(m - 1)(m - 2) .... (m - n + 1)
  • 2. Dado un conjunto A con m elementos, llamaremos permutaciones simples de los elementos de A, a todas las colecciones posibles, entrando los m elementos de A, diferenciándose dos de estas colecciones únicamente en el orden de los elementos. Formula: Pm = m! Recordamos que si n es un numero natural, se define factorial de n, y se escribe n! al numero n! = n(n - 1)(n - 2) . . . . . . 3 . 2 . 1 Números combinatorios: Dado un conjunto A con m elementos, se llaman combinaciones simples de orden n, a todas las colecciones posibles de n elementos de A y diremos que dos de estas colecciones son distintas si tienen algún elemento diferente. Formula: C m;n = Vm;n PnComo : Vm;n = m! y Pn = n! tenemos que Cm;n = m! (m - n)! n! . (m - n)!esta ultima expresion se llama numero combinatorio y suele escribirse en la forma:M = m! n n! . (m - n)!
  • 3. Propiedades importantes de los numeros combinatorios:1. Numeros combinatorios extremos.-m =1 m =10 mPor Convenio 0! = 12. Números combinatorios complementarios: m = m n m–n3. Suma de números combinatórios consecutivos: m + m = m+1 n n+1 n+14. Suma de una ¯la completa de números combinatorios: m + m + m + . . . . .+ m m 2m 0 1 2 m–1 m
  • 4. Dado un conjunto A con m elementos, llamaremos variacionescon repetición de n elementos del conjunto A a todas las agrupaciones de n elementosque pueden hacerse con los m elementos de A. Dos agrupaciones se consideran distintascuando tengan algún elementos diferente o bien cuando, teniendo los mismos, el orden decolocación en ambas no coincide. En cada colección pueden aparecer elementos repetidos. V Rm;n = mn Dado un conjunto A con m elementos, entre los cuales exis-ten m1 iguales entre s³, m2 iguales entre s³ y distintos de los anteriores, y as³ sucesivamente hasta un numero finalmk de ellos iguales entre s³, de forma quem1 +m2 +. . . .+mk = mentenderemos las colecciones distintas obtenidas con los m objetos, estando en cada colección los m1 objetos igualesentre s³, los otros m2 iguales entre s³, etc., hasta llegar a los mk iguales entre s³. m ; m ; m ….m PRm 1 2 k = m! m1 ! . m2! . … . mk! m1 + m2 + . . . . + mk = m
  • 5. Dado un conjunto A con m elementos y n un numero natural cualquiera. Porcombinaciones con repetición de n elementos del conjunto A entenderemos todas las colecciones de nelementos del conjunto A y diremos que dos colecciones son distintas cuando tengan algún elementosdiferente. En cada colección pueden aparecer elementos repetidos. CRm;n = Cm+n – 1,n = m+n–1 nEs un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo soloentran parte de los elementos del conjunto se llama variación . Es importante resaltar que el orden es una característicaimportante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dosSea el conjunto : {a, b, c} , entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cbNúmero de arreglos = 6
  • 6. "El número de permutaciones de "n" objetos diferentes, tomados en grupos de k elementos (siendo k £ n) Estas permutaciones son llamados lineales , porque los objetos son ordenados en una línea recta de referenciaEn una carrera de 400metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugarescon medalla de oro , plata y bronce?Oro Plata Bronce10 x 9 x 8# maneras = 720Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)El número de permutaciones (P) distintas de "n" elementos tomados de "n" en "n" en donde hay un primer grupo de n1 objetosiguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un últimotipo, entonces:¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (trescírculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( un rombo), luego: =
  • 7. Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número depermutaciones circulares que se pueden formar con "n" objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de unelemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre lacircunferencia relativa al primer punto.El número de permutaciones circulares será:¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?Se trata de una permutación circular :¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y segundolas otras 6 cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de (6 –1 )! Formas , por lo tanto:# de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar elorden en su ubicaciónEl número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con k£ n ,está dada por:
  • 8. Si disponemos de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar?Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de unacombinación.Una señora tiene 3 frutas : manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar conestas frutas ?Fresa (F) , Piña (P) , Manzana (M)Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P ,MCuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PMCuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPMTotal de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7
  • 9. Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de lastres, además en este caso noimporta el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación:# maneras diferentes =# maneras diferentes =Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7 Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8físicos y 6 matemáticos. ¿De cuantas maneras podrá seleccionarse?1°Seleccionamos 4 físicos entre 8 enformas :2° Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 enAplico el principio de multiplicación x = 70 x 20 = 1400
  • 10. 1.¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3 , 5 y 7? a) 16 b) 12 c) 10 d) 14 e) 8Solución :Con los dígitos dados, formamos los siguientes números:Respuesta : se pueden formar 16 numeralesLa forma general del numeral pedido es :Los valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeralson:cantidad de números = 4 x 4 = 16
  • 11. 2. Determinar cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema de base seis. a) 160 b) 120 c) 100 d) 140 e) 180La forma general del numeral eshallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base seis y luego multiplicamos el número de las posibilidades5 x 6 x 6 = 180 numeralesRespuesta : se pueden formar 180 numerales3.¿Cuántos numerales de la forma: existen? a) 260 b) 200 c) 300 d) 240 e) 180En estos tipos de problemas hay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra, y ésta se repite enel numeral, entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales.En nuestro problema, con la indicación anterior, tendremos: cantidad de numerales = 5 x 5 x 8 = 200Respuesta : se pueden formar 200 numerales
  • 12. 4.¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura? a) 196 b) 188 c) 252 d) 480 e) 248Podemos representar el procedimiento de solución mediante un diagrama de Venn: # de cifras con por lo menos un 6 =# de tres cifras - # de tres cifras que no usan el6............ (1)Del gráfico anterior , se deduce que: a b ccantidad de #s = 9 x 10 x 10 = 900
  • 13. Calculamos el número de tres cifras que existen:a b c cantidad de #s = 8 x 9 x 9 = 648 X = 900 – 648 = 252Respuesta : se pueden formar 252 números5. De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse. a) 16 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18Como el grupo de alumnos ABC, CBA y BAC son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de loselementos y se trata de una combinación:Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes
  • 14. 6.Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar? a) 56 b) 35 c) 42 d) 64 e) 70En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos , por lo tanto se trata de una combinación; ademáspara cada suma se escogen grupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen.Respuesta : se pueden formar 35 sumas diferentes7.¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos 3 hombres y 4 mujeres, si estas deben ocupar loslugares impares? a) 160 b) 135 c) 144 d) 14 e) 170Representemos gráficamente el problema, y luego emplearemos el principio de multiplicación4332211# de formas = 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x1=144Respuesta : se pueden ubicar de144 formar diferentes
  • 15. 8.¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5 000 , se pueden formar con los siguientes dígitos : 1 , 3, 4 , 6 , 9? a) 52 b) 48 c) 27 d) 96 e) 49Sea : el número, entonces se tiene: a b c d# de números = 2 x 4 x 3 x 2 = 48Respuesta : se pueden formar 48 números de cuatro cifras diferentes9.Un grupo de 16 personas desean escoger entre sus miembros un comité de 3 personas que los represente. ¿De cuantasformas distintas se puede seleccionar dicho comité? a) 1120 b) 48 c) 300 d) 560 e) 440Para formar un comité , no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los posibles comités seráncombinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3, asíRespuesta : se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes
  • 16. 10.A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos? a) 1120 b) 48 c) 300 d) 560 e) 440Si "A" juega con "B" es lo mismo decir que "B" juega con "A", la partida es la misma, no interesa el orden de suselementos, pero es una agrupación de 2 en 2, de un total de 10 elementos. Por lo tanto se trata de una combinaciónRespuesta : se jugarán 45 partidas11.¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder? a) 24 b) 48 c) 36 d) 18 e) 30Identificamos con un nombre a cada camino diferente:
  • 17. Analizamos por tramos: para llegar a B, se puede utilizar cualquiera de los 3 caminos(1, 2, 3) señalados. De B a D se puede ir por el caminoz, luego habría 3 formas diferentes de llegar: 1z,2z,3z; por lo tanto en el tramo ABD hay 3 formas para llegar a C se puede utilizar un camino para llegar a B (1,2,3) y luego otro camino para llegar a C(4,5,6). Queaplicando el principio de multiplicación se tendría:# maneras de llegar de A a C = 3 x 3 = 9pasando por B-Pero también hay dos caminos directos para llegar a C (x,y); por lo tanto el número total de caminos para llegar deA a C es : 9 + 2 = 11 formas; y de C a D hay 3 formas (7,8,9)De A a C y de C a D AaD11formas 3formas 11 x 3 formas# total de formas diferentes = 33 formasEn conclusión los caminos de (I) y (II) , pueden ser ABD ó ACD = 3 + 33 = 36 formasRespuesta : 36 maneras diferentes
  • 18. 12.En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas.¿De cuántas formasdiferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas? a) 64 b) 55 c) 50 d) 110 e) 120El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas; ó cuatro de las primerascinco preguntas y 3 de las últimas ; ó cinco de las primeras cinco y dos de las últimas. Como no interesa el orden se trata deuna combinación, por lo tanto tenemos:Respuesta : se puede seleccionar de 110 formas diferentes13.El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientesletras: V, A, M , P ,I, R, O. ¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse? a) 2520 b) 1550 c) 1850 d) 1100 e) 1200#maneras = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2 520
  • 19. Respuesta: Se pueden formar 2520 palabras14.Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas, y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: asu hijo mayor, 4 ; a su segundo hijo, 3 ; y al menor 2. ¿De cuantas formas puede repartir los bonos? a) 1640 b) 1360 c) 680 d) 1100 e) 1120Se trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Hay 4! Maneras de arreglar los bonospara su hijo mayor; 3! Formas para arreglar los bonos para el segundo hijo y 2! Formas para el hijo menor. Luego se tiene:Respuesta : Los bonos se pueden repartir de 1360 formas
  • 20. 15.¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos, si 3 están enespera? a) 1640 b) 1344 c) 680 d) 1124 e) 1120El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es:El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es:(5 – 1)! =4! = 24# total de formas = 56 x 24 = 1344Respuesta : 1344 maneras diferentes
  • 21. 1.¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio?a) 20b) 56c) 28d) 14e) 162.Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos diferentes, B y C por 10 caminos diferentes y las ciudades C y D por 8 caminosdiferentes.¿De cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D pasando por B y C?a) 200b) 256c) 240d) 140e) 4803. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. ¿De cuántas formas sepueden distribuirse para remar?, sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?a) 3x (5!)2b) 6x (4!)2c) 3! x (5!)2d) 12 x (3!)2e) 6x (5!) x (4!)
  • 22. 4.¿Cuántos números de 3 cifras que sean impares, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos?a) 20b) 56c) 28d) 14e) 365. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formasque se pueden multiplicar, de tala) 60b) 96c) 128d) 140e) 1706.El equipo de fulbito de un salón de clase debe escoger 2 madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas; si en total hay8 candidatas. ¿De cuántas maneras se pueden escoger las 2 madrinas?a) 630b) 210c) 1080d) 108e) 1260
  • 23. 7.Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 yfinalmente 4?a) 20b) 50c) 100d) 40e) 808. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse.¿Decuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro chicas quieren estar juntas?a) 30b) 36c) 28d) 40e) 319.Luis tiene 10 amigos de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación si dosde sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos?a) 560b) 390c) 120d) 140e) 280
  • 24. 10.En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. De cuántas maneraspueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres?a) 60b) 56c) 128d) 40e) 7011. En el curso de matemáticas hay 4 profesores y 5 profesoras. Se quiere formar comisiones de 4 personas, sabiendo que losprofesores Martínez y Caballero no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté formada por lo menos por unamujer. ¿Cuál es el máximo número de comisiones que se puede formar?a) 108b) 140c) 80d) 124e) 12012. En una empresa trabajan 5 mecánicos. 4 Físicos y 2 ingenieros Geólogos . Se desea formar una comisión de 5 personas en la cualhaya siempre un Físico. ¿De cuántas formas se puede seleccionar dicha comisión?a) 138b) 340c) 280d) 454e) 180
  • 25. 13.¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1, 2, 4, 6, 7 y 8; de tal manera que sean menores que 5 000 y nopermitiéndose repeticiones de las cifras?a) 1956b) 2496c) 1080d) 1244e) 120014.Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas?a) 490b) 560c ) 546d) 480e) 52015. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos, suponiendo que cada uno es cortes con cada uno delos demás. ¿Cuántos apretones de manos hubieron?a) 1732b) 1525c ) 1840d) 960e) 1205
  • 26. http://perso.wanadoo.es/juan.puerma/estadistica/tema6.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos13/analisco/analisco.shtml