1. Elementos de la parábola.
Vamos a obtener analíticamente los elementos más característicos de la parábola que resulta de
representar una función cuadrática del tipo y = ax
2
+ bx + c
Obtención general del vértice y del eje de la parábola
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4
X
Y
V(p,0)
p
V(p,h)
En el apartado anterior vimos que las funciones cuadráticas
del tipo y = ax
2
+ bx, verifican que la primera coordenada del
vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos
0 y - b/a, es decir:
b
p
2a
= −
La gráfica de la función y = ax
2
+ bx + c es la misma gráfica que la de y = ax
2
+ bx trasladada
verticalmente c unidades.
Por tanto, la primera coordenada del vértice es
b
x
2a
= − .
La ecuación del eje de simetría es
b
x
2a
= −
Ejemplos
Calcular el vértice y el eje de simetría de las siguientes funciones
1) f(x) = x
2
- 4 x + 3
v
b ( 4)
x 2
2a 2
−
= − = − = ⇒ yv = f(2) = 2
2
- 4 · 2 + 3 = -1
Luego el vértice será V = (2,-1) y el eje de simetría x = 2
2) f(x) = x
2
+ 6x + 5
v
b 6
x 3
2a 2
= − = − = − ⇒ yv = f(-3) = (-3)
2
+ 6·(-3) + 5 = -4
Luego el vértice será V = (-3,-4) y el eje de simetría x = -3
2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas
• Los puntos de corte de la parábola con el eje OX son los puntos de coordenadas (x,y) cuando y = 0.
Las coordenadas de los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0), en los que el valor de x viene
dado las soluciones de la ecuación ax
2
+ bx + c = 0
• El punto de corte de la parábola con el eje OY es el punto de coordenadas (x,y) cuando x = 0
Si x = 0 ⇒ y = a · 0
2
+ b · 0 + c = c.
Por tanto, las coordenadas del punto su corte con el eje OY es (0,c)
Ejemplos
Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones con los ejes
a) y = - x2
+ 2x + 3
• Los puntos de corte con el eje X :(-1,0), (3,0).
-x
2
+ 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
2 4 12 2 4
x 1 2
2 2
− ± + − ±
= = = ±
− −
• El punto de corte con el eje Y : (0,3)
Si x = 0 ⇒ y = 3. 0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
b) y = x2
- 4x + 4
• Puntos de corte con el eje X:
Resolviendo la ecuación x
2
– 4x + 4 = 0, se obtiene
como única solución x = 2, que nos proporciona un solo
punto de corte con el eje X :(2,0).
• Punto de corte con el eje Y: (0,4).
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4
x
y
c) y = x2
- 2x + 3
• Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x
2
- 2x + 3 = 0 obtenemos
que
No existe solución, por tanto, no tiene cortes con el eje
X.
• Punto de corte con el eje Y: (0,3)
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
3. Gráfica de una parábola según sus elementos
Una segunda forma de representar la parábola sería:
1º.- Si a > 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba y el vértice es el mínimo absoluto de la
función.
Si a< 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo y el vértice es el máximo absoluto de la
función
2º.- Determinación de los puntos de corte con los ejes de coordenadas:
Corte eje OX: Estos puntos son las soluciones de la ecuación ax
2
+ bx + c = 0
Corte eje OY: (0,c)
3º.- Determinación del vértice:
La abscisa del vértice es el punto medio del segmento determinado por los dos puntos de corte con el
eje X. Se demuestra que el valor de la abscisa es
a2
bxv −=
El valor de la ordenada del vértice se determina sustituyendo en la función la x por xv
4º. - Obtención del eje de simetría: x = xv
5º. - Obtención de algunos puntos de la parábola:
Construyendo una tabla de valores se obtiene algunos puntos por donde pasa la parábola
Ejemplos
1.- Representar la función y = x
2
– 4x + 3.
• Los puntos de corte con el eje X son: (1,0) y (3, 0)
x
2
– 4x + 3 = 0 → x = 3, x = 1
• El eje de simetría es x = 2, ya que pasa por el punto medio
de los dos puntos de corte con el eje OX.
• Vértice: (2, -1)
o vx 2= , ya que está sobre el eje de simetría.
o yv = 2
2
– 4·2 + 3 = -1
• Corte con el eje Y: (0, 3)
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
y
2.- Representar la función y = - x
2
+ 2x – 3.
• Los puntos de corte con el eje X : No tiene
- x
2
+ 2x – 3= 0 ⇒
2 4 12
x
2
− ± −
=
−
• Corte con el eje Y: (0, -3)
• Vértice: (1, -2)
1
2
2
a2
bxv =
−
−=−= → yv = - 12 + 2 – 3 = -2
• El eje de simetría es x = 1
• Otro punto de la parábola es (2, -3):
Para x = 2 → y =-4 + 4 – 3= -3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2 -1 0 1 2 3
xy
4. 3.- Representar la función y = x
2
– 4x + 4
• Los puntos de corte con el eje X : (2, 0)
x
2
– 4x + 4 = 0 ⇒ x = 2
• Corte con el eje Y: (0 ,4)
• Vértice: (2, 0)
o 2
2
4
a2
bxv =−−=−=
o yv = 22 – 4·2 + 4 = 0
• Eje de simetría: x = 2
• Otro punto de la parábola es (4, 4)
Para x = 4 ⇒ y = 16 –16 + 4 = 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1 0 1 2 3 4 5
x
y
Actividades
1. - Representa la siguiente parábola y = x
2
– 3x + 2, indicando:
- Vértice
- Desplazamiento vertical
- Desplazamiento horizontal
- Coeficiente de abertura.
- Intervalo donde toma valores positivos.
2.- Dada la función: y = -4x
2
– 4x – 1
a) Determina los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
b) Determina las coordenadas de su vértice.
c) Dibuja su gráfica.
3.- Dada la función 3x2
2
x
=y
2
−+− :
a) Dibuja la gráfica, calculando el vértice.
b) Demuestra analíticamente que la parábola no corta al eje X.
c) ¿En qué punto corta al eje Y?
4.- Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).
5.- Si una parábola pasa por los puntos A(2,-3) y B(-1,-3), ¿cuál es su eje de simetría?
6.- Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje OX sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el
eje OY sea (0,4).
7.- Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X sólo en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).
8.- Determina la ecuación de la parábola que pasa por el punto (1,3) y cuyo vértice es (-1,-5)
9.- Encontrar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos A(0,0), B(4,-4) y C(8,0).
10.- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x
2
sobre la parábola y = 3x
2
– 9x + 4 .
11.- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = x
2
sobre la parábola y = x
2
– 3x
12.- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 2x
2
sobre la parábola y = 2x
2
+ 3
